По смыслу значительной части экономических задач, относящихся к задачам линейного программирования, компоненты решения должны выражаться в целых числах, т.е. быть целочисленными. К ним относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при загрузке оборудования, число судов при распределениях по линиям, число турбин в энергосистеме, число вычислительных машин в управляющем комплексе и многие другие.

Задача линейного целочисленного программирования формулируется следующим образом: найти такое решение (план) i, при котором линейная функция

принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях

(8.2)

(8.3)

– целые числа. (8.4)

Следует отметить, что классическая транспортная задача и некоторые другие задачи транспортного типа "автоматически" обеспечивают решение задачи в целых числах (если, конечно, целочисленны параметры условий). Однако в общем случае условие целочисленности (8.4), добавляемое к обычным задачам линейного программирования, существенно усложняет ее решение.

Для решения задач линейного целочисленного программирования используется ряд методов. Самый простой из них – обычный метод линейного программирования. В случае если компоненты оптимального решения оказываются нецелочисленными, их округляют до ближайших целых чисел. Этот метод применяют тогда, когда отдельная единица совокупности составляет малую часть объема всей совокупности. В противном случае округление может привести к далекому от оптимального целочисленному решению, поэтому используют специально разработанные методы.

Методы целочисленной оптимизации можно разделить на три основные группы: а) методы отсечения; б) комбинаторные методы; в) приближенные методы. Остановимся подробнее на методах отсечения.

Методы отсечения. Метод Гомори

Сущность методов отсечения состоит в том, что сначала задача решается без условия целочисленное™. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

• оно должно быть линейным;
• должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план;
• не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением .

Геометрически добавление каждого линейного ограничения отвечает проведению прямой (гиперплоскости), которая отсекает от многоугольника (многогранника) решений некоторую его часть вместе с оптимальной точкой с нецелыми координатами, но не затрагивает ни одной из целых точек этого многогранника. В результате новый многогранник решений содержит все целые точки, заключавшиеся

в первоначальном многограннике решений, и соответственно полученное при этом многограннике оптимальное решение будет целочисленным (рис. 8.1).

Один из алгоритмов решения задачи линейного целочисленного программирования (8.1)-(8.4), предложенный Р. Гомори, основан на симплексном методе и использует достаточно простой способ построения правильного отсечения.

Пусть задача линейного программирования (8.1)-(8.3) имеет конечный оптимум, и на последнем шаге ее решения симплексным методом получены следующие уравнения, выражающие основные переменные через неосновные переменные оптимального решения:

(8.5)

так что оптимальным решением задачи (8.1)-(8.3) является i, в котором, например, β; – нецелая компонента. В этом случае можно доказать, что неравенство, сформированное по i- му уравнению системы (8.5), обладает всеми свойствами правильного отсечения.

Для решения задачи целочисленного линейного программирования (8.1)-(8.4) методом Гомори используется следующий алгоритм.

• 1. Симплексным методом решить задачу (8.1)-(8.3) без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования (8.1)-(8.4). Если первая задача (8.1)-(8.3) неразрешима (т.е. нс имеет конечного оптимума или условия ее противоречивы), то и вторая задача (8.1)-(8.4) также неразрешима.
• 2. Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то выбрать компоненту с наибольшей целой частью и по соответствующему уравнению системы (8.5) сформировать правильное отсечение (8.6).
• 3. Неравенство (8.6) введением дополнительной неотрицательной целочисленной переменной преобразовать в равносильное уравнение и включить его в систему ограничений (8.2).
• 4. Полученную расширенную задачу решить симплексным методом. Если найденный оптимальный план будет целочисленным, то задача целочисленного программирования (8.1)–(8.4) решена. В противном случае вернуться к п. 2 алгоритма.

Если задача разрешима в целых числах, то после конечного числа шагов (итераций) оптимальный целочисленный план будет найден.

1 В неравенстве (8.6) присутствует символ { }, означающий дробную часть числа. Целой частью числа а называется наибольшее целое число [в], не превосходящее а, дробной частью числа – число {а}, равное разности между этим числом и его целой частью, т.е. {а} = а-[в].

Например, для (обратите внимание, именно -3, а не -2) и

Если в процессе решения появится уравнение (выражающее основную переменную через неосновные) с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В этом случае и данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.

8.1. Для приобретения оборудования по сортировке зерна фермер выделяет 34 ден. ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 60 кв. м. Фермер может заказать оборудование двух видов: менее мощные машины типа А стоимостью 3 ден. ед., требующие производственную площадь 3 кв. м (с учетом проходов), и производительностью за смену 2 т зерна, и более мощные машины типа В стоимостью 4 ден. ед., занимающие площадь 5 кв. м, и производительностью за смену 3 т сортового зерна.

Требуется составить оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность при условии, что фермер может приобрести не более 8 машин типа В.

Решение. Обозначим черезколичество машин соответственно типа А и В, через Z – общую производительность. Тогда математическая модель задачи примет вид

(!!!8.8)

при ограничениях:

(8.2)

– целые числа. (8.4)

Приведем задачу к каноническому виду, введя дополнительные неотрицательные переменные. Получим систему ограничений:

(8.5)

Решаем задачу симплексным методом. Для наглядности решение иллюстрируем графически (рис. 8.2).

На рис. 8.2 OKLM – область допустимых решений задачи (8.Г)–(8.3"), ограниченная прямыми (1), (2), (3) и осями координат; L (2/3; 8) – точка оптимального, но нецелочисленного решения задачи (8.1")–(8.3"); (4) – прямая, отсекающая это нецелочисленное решение; OKNM – область допустимых решений расширенной задачи (8.1")–(8.3"), (8.6"); N(2; 7) – точка оптимального целочисленного решения.

I шаг. Основные переменные Неосновные переменные

Первое базисное решение– допусти

мое. Соответствующее значение линейной функции

Переводим в основные переменные переменную, которая входит в выражение линейной функции с наибольшим положительным коэффициентом. Находим максимально возможное значение переменной, которое "позволяет"

принять система ограничений, из условия минимума соответствующих отношений:

т.е. разрешающим (выделенным) является третье уравнение. При х. 2 = 8 в этом уравнении х- = 0, и в неосновные переходит переменная х 5.

II шаг. Основные переменные х 2, х 3, х 4.

Неосновные переменные.г, ху

После преобразований получим

Переводим в основные переменнуюа в неосновные х4.

III шаг. Основные переменные х, х 2, х 3.

Неосновные переменные х4, х5.

После преобразований получим

Базисное решение X., оптимально для задачи (8.1")–(8.3") (), так как в выражении линейной функции

отсутствуют неосновные переменные с положительными коэффициентами.

Однако решение Х 3 не удовлетворяет условию целочисленности (8.4") По первому уравнению с переменной х, получившей нецелочисленное значение в оптимальном решении (2/3), составляем дополнительное ограничение (8.6):

Обращаем внимание на то, что согласно (8.5) и (8.6) берем дробную часть свободного члена с тем же знаком, который он имеет в уравнении, а дробные части коэффициентов при неосновных переменных х 4 и х- – с противоположными знаками.

Так как дробные части,

, го последнее неравенство запишем

(8.6")

Введя дополнительную целочисленную переменную х6 ≥ 0, получим равносильное неравенству (8.6") уравнение

(8.7")

Уравнение (8.7") необходимо включить в систему ограничений (8.5") исходной канонической задачи, после чего повторить процесс решения задачи симплексным методом применительно к расширенной задаче. При этом для сокращения числа шагов (итераций) рекомендуется вводить дополнительное уравнение (8.7") в систему, полученную на последнем шаге решения задачи (без условия целочисленности).

IV шаг. Основные переменные x v х 2, х3, χβ.

Неосновные переменные х4, х5.

Базисное решение – недопусти

мое. (Заметим, что после включения в систему ограничений дополнительного уравнения, соответствующего правильному отсечению, всегда будет получаться недопустимое базисное решение.)

Для получения допустимого базисного решения необходимо перевести в основные переменную, входящую с положительным коэффициентом в уравнение, в котором свободный член отрицательный, т.е. х, или х. (на этом этапе линейную функцию не рассматриваем). Переводим в основные, например, переменную х5 .

V шаг. Основные переменные х, х2, х3, х5.

Неосновные переменные х4, х6.

Получим после преобразований

Так как в выражении линейной функции нет основных переменных с положительными коэффициентами, то Х 5 – оптимальное решение.

Итак, Zmax = 25 при оптимальном целочисленном решении X* = Х 5 = (2; 7; 19; 0; 1; 0), т.е. максимальную производительность 25 т сортового зерна за смену можно получить приобретением 2 машин типа Л и 7 машин типа В при этом незанятая площадь помещения составит 19 кв. м, остатки денежных средств из выделенных равны нулю, в резерве для покупки – 1 машина типа В (шестая компонента содержательного смысла не имеет).

Замечание. Для геометрической интерпретации на плоскости Ох,х2 (см. рис. 8.2) отсечения (8.6") необходимо входящие в него переменные х 4 и х- выразить через переменные х, и х2. Получим (см. 2-е и 3-е уравнения системы ограничений (8.5"))

• (см. отсечение прямой (4) на рис. 8.2).
• 8.2. Имеется достаточно большое количество бревен длиной 3 м. Бревна следует распилить на заготовки двух видов: длиной 1,2 и 0,9 м, причем заготовок каждого вида должно быть получено не менее 50 и 81 шт. соответственно. Каждое бревно можно распилить на указанные заготовки несколькими способами: 1) на 2 заготовки но 1,2 м; 2) па 1 заготовку 1,2 м и 2 заготовки по 0,9 м; 3) на 3 заготовки по 0,9 м. Найти число бревен, распиливаемых каждым способом, с тем чтобы заготовок любого вида было получено из наименьшего числа бревен.

Решение. Обозначим через х {} х2, х3 число бревен, распиливаемых соответственно 1, 2 и 3-м способами. Из них можно получить 2xj +х2 заготовок по 1,2 м и 2х х +3х2 заготовок по 0,9 м. Общее количество бревен обозначим Z. Тогда математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

Введя дополнительные переменныепри

ведем систему неравенств к равносильной системе уравнений:

(8.5")

Решая полученную каноническую задачу (без условия целочисленности) симплексным методом, на последнем, III, шаге решения найдем следующие выражения основных переменных и линейной функции через неосновные переменные (рекомендуем студентам получить их самостоятельно).

III шаг. Основные переменные x v х 2.

Неосновные переменные х у х А, х 5.

т.е.при оптимальном решении

Получилось, что две компоненты оптимального решения не удовлетворяют условию целочисленности (8.4"), причем бо́льшую целую часть имеет компонента х 2. В соответствии с ∏. 2 алгоритма решения задачи целочисленного программирования (см. с. 166) по второму уравнению, содержащему эту переменную х 2, составляем дополнительное ограничение (8.6):

Найдем дробные части

и запишем последнее неравенство в виде

(8.6")

Введя дополнительную переменнуюполучим

равносильное неравенству (8.6") уравнение:

(8.7")

Выразим из (8.7") дополнительную переменную х6 и полученное уравнение введем в систему ограничений, которую мы имели на последнем, III, шаге решения задачи (8.1")– (8.3") (без условия целочисленности).

IV шаг. Основные переменные х {, х у х 6.

Неосновные переменные х 3, х4, х 5.

Решая эту расширенную задачу симплексным методом (предлагаем студентам выполнить самостоятельно), получим следующее.

V шаг. Основные переменные х); х 2, х3.

Неосновные переменные х4, х5, хб.

т.е.при оптимальном решении

Полученное оптимальное решение расширенной задачи (8.1")–(8.3"), (8.6") вновь не удовлетворяет условию целочисленности (8.4"). По первому уравнению с переменной Xj, получившей нецелочисленное значение в оптимальном

решении (), еоставляем второе дополнительное ограни

чение (8.6):

которое приводим к виду

С помощью дополнительной переменнойприво

дим это неравенство к равносильному уравнению, которое включаем в систему ограничений, полученную на последнем, V, шаге решения расширенной задачи (8. Г")–(8.3"), (8.6") симплексным методом.

VI шаг. Основные переменные x v х 2, х у х т

Неосновные переменные х 4, X-, х 6.

Опуская дальнейшее решение задачи симплексным методом (предлагаем сделать это самим студентам), на заключительном, VII, шаге получим.

VII шаг. Основные переменные x v х т х3, х г

Неосновные переменные x v х 6, х т

Так как в выражении линейной функции нет неосновных переменных с отрицательными коэффициентами, то Х 7 – оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

Следует обратить внимание на то, что в полученном выражении линейной функции Z отсутствуют неосновные переменные х Г) и х 6. Это означает, что, вообще говоря, существует бесконечное множество оптимальных решений (любых, не обязательно целочисленных), при которых Z" = Zmjn = 46. Эти решения получаются при значении неосновной переменной х 7 (входящей в выражение для Z), равной нулю (т.е. при х 7 = 0), и при любых значениях неосновных переменных ж5 и х 6 (не входящих в выражение для Z), которые "позволяет" принять система ограничений: 0<лг5 х 5 ≤ 1 и 0 < x (i ≤ 1. Но в силу условия целочисленности переменные х- и х (> могут принять только значения 0 или 1. Поэтому задача будет иметь четыре целочисленных оптимальных решения, когда х. и *6 в любой комбинации принимают значения 0 или 1, а х 7 = 0. Подставляя эти значения в систему ограничений на VII шаге, найдем эти оптимальные решения:

Наличие альтернативных оптимальных целочисленных решений позволяет осуществить выбор одного из них, руководствуясь дополнительными критериями, не учитываемыми в математической модели задачи. Например, из условия данной задачи следует, что распиливание бревен не дает отходов лишь по 3-му способу, поэтому естественно при выборе одного из четырех оптимальных решений отдать предпочтение решению Х^ 3 при котором максимальное число бревен (х 2 = 41) распиливается без отходов.

Итак, Zmin=46 при оптимальных целочисленных решениях (5; 41; 0), (6; 39; 1), (7; 36; 3), (6; 38; 2). При записи оптимальных решений мы оставили лишь первые три компоненты, выражающие число бревен, распиливаемых соответственно 1, 2 и 3-м способами, и исключили последние четыре компоненты, не имеющие смыслового значения.

Недостатком метода Гомори является требование целочисленности для всех переменных – как основных (выражающих, например, в задаче об использовании ресурсов единицы продукции), так и дополнительных (выражающих величину неиспользованных ресурсов, которые могут быть и дробными).

• Можно убедиться, что при этом решение задачи короче.

Пусть оптимальный план, полученный симплекс-методом для задачи (5.1)-(5.3), следующий: и получен на базисе
Тогда последняя симплексная таблица имеет следующий вид:

Таблица 5.1

Приведённая к базису симплексная таблица для задачи целочисленного программирования

Предположим, что
дробное; тогда некоторое
также дробное (в противном случае задача не имеет целочисленного решения). Обозначим через
и
целые части чисели, т.е. наибольшие целые числа, не превосходящие числаи. Тогда величины дробных частейичиселиопределяются как разности:

где и

Например,

.

Так как по условию
– неотрицательные целые числа, то и разностьтакже целое неотрицательное число.

Преобразуя это неравенство в уравнение, вычитая из его левой части целую неотрицательную дополнительную переменную
умножим уравнение на –1, добавим к последней симплексной таблице и, применяя симплексный метод (желательно двойственный), находим новый план. Если он не является целочисленным, то по последней симплексной таблице составляем новое дополнительное ограничение.

Если в оптимальном плане задачи (5.1)-(5.3) несколько дробных
то дополнительное ограничение составляют дляmax. Это ускоряет процесс получения оптимального целочисленного решения.

Рассмотрим геометрический смысл введения дополнительного ограничения (см. рис. 5.2). Пусть в точке A многогранника решений Q функция Z достигает максимального значения Z (A )=max, но координаты точки A – дробные. Тогда введенные ограничения по целочисленности I и II от области Q отсекают область с угловой точкой
, координаты которой целочисленные и в которой линейная функция достигает максимального значения.

Рис.5.2. Геометрический смысл ограничения Гомори

Метод Гомори рассмотрим на примере следующей задачи.

Пример 5.1. Найти максимальное значение функции

при условиях

Дать геометрическую интерпретацию решения задачи.

Решение. Для определения оптимального плана задачи (5.5)-(5.8) сначала находим оптимальный план задачи (5.5)-(5.7):

Таблица 5.2

базис
план
– неоптимальный,
.

Таблица 5.3

Симплекс-таблица, приведённая к базису

,
– неоптимальный, базис
,
.

Таблица 5.4

Симплекс-таблица, приведённая к базису

Оптимальный план
, базис
. Этот оптимальный план не является оптимальным планом задачи (5.5)-(5.8), поскольку две компонентыиимеют нецелочисленное значение. При этом дробные части этих чисел
равны между собой. Поэтому для одной из этих переменных составляется дополнительное ограничение. Составим, например, такое ограничение для переменной(чаще берут первую строку). Из последнейсимплекс-таблицы имеем:

.

Таким образом, к системе ограничений задачи (5.5)-(5.7) добавляем неравенство

Теперь находим максимальное значение функции (5.5) при выполнении условий (5.6), (5.7) и (5.9). В условие (5.9) вводим дополнительную переменную :

Таблица 5.5

Ввод в симплекс-таблицу дополнительной переменной

Выберем .
базис.

Таблица 5.6

Приведение симплекс-таблицы к базису

Базис
.
.

Запишем оптимальный план для исходной задачи:
При этом плане значение целевой функции равно
.

Геометрическая интерпретация решения задачи.

Рис.5.3. Геометрическая интерпретация решения задачи

Областью допустимых решений задачи (5.5)-(5.7) является многоугольник ОАВС D (рис. 5.3). Из рисунка видно, что максимальное значение целевая функция принимает в точке
т.е.
является оптимальным планом. Так как этот план не является оптимальным планом задачи (5.5)-(5.8) (числаи– дробные), то вводится дополнительное ограничение

Исключая из этого неравенства иподстановкой вместо них соответствующих значений из уравнений системы ограничений (5.6), получим
.

.

Этому неравенству соответствует полуплоскость, ограниченная прямой
отсекающей отмногоугольника ОАВСD треугольник EFC .

Как видно из рисунка, областью допустимых решений полученной задачи является многоугольник OABEFD . В точке E (9;4) этого многоугольника целевая функция данной задачи принимает максимальное значение. Так как координаты точки Е – целые числа и неизвестные
ипринимают целочисленные значения при подстановке в уравнения (5.6) значений
и
то
является оптимальным планом задачи (5.5)-(5.8). Это следует и из таблицы симплекс-метода.

Замечание к использованию метода Гомори: если в первоначальный базис задачи входили искусственные векторы, то при составлении дополнительного ограничения искусственные переменные необходимо опустить.

Вопросы для самопроверки

Области применения целочисленного программирования.

Постановка задачи целочисленного программирования.

Графический способ решения задачи целочисленного программирования.

Алгоритм метода Гомори.

Правило составления дополнительного ограничения (сечения Гомори).

Геометрический смысл введения сечения Гомори.

>>Ранг матрицы

Ранг матрицы

Определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r , то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор порядка, большего чем r , равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

Вычисление ранга матрицы с помощью миноров

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k .

Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

.

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М 1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M 2 = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М 2 . Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: = 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

.

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2 Найти ранг матрицы

А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу

В = ,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

.

Ранг матрицы представляет собой важную числовую характеристику. Наиболее характерной задачей, требующей нахождения ранга матрицы, является проверка совместности системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы дадим понятие ранга матрицы и рассмотрим методы его нахождения. Для лучшего усвоения материала подробно разберем решения нескольких примеров.

Навигация по странице.

Определение ранга матрицы и необходимые дополнительные понятия.

Прежде чем озвучить определение ранга матрицы, следует хорошо разобраться с понятием минора, а нахождение миноров матрицы подразумевает умение вычисления определителя. Так что рекомендуем при необходимости вспомнить теорию статьи методы нахождения определителя матрицы, свойства определителя.

Возьмем матрицу А порядка . Пусть k – некоторое натуральное число, не превосходящее наименьшего из чисел m и n , то есть, .

Определение.

Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы порядка , составленной из элементов матрицы А , которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется.

Другими словами, если в матрице А вычеркнуть (p–k) строк и (n–k) столбцов, а из оставшихся элементов составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А , то определитель полученной матрицы есть минор порядка k матрицы А .

Разберемся с определением минора матрицы на примере.

Рассмотрим матрицу .

Запишем несколько миноров первого порядка этой матрицы. К примеру, если мы выберем третью строку и второй столбец матрицы А , то нашему выбору соответствует минор первого порядка . Иными словами, для получения этого минора мы вычеркнули первую и вторую строки, а также первый, третий и четвертый столбцы из матрицы А , а из оставшегося элемента составили определитель. Если же выбрать первую строку и третий столбец матрицы А , то мы получим минор .

Проиллюстрируем процедуру получения рассмотренных миноров первого порядка
и .

Таким образом, минорами первого порядка матрицы являются сами элементы матрицы.

Покажем несколько миноров второго порядка. Выбираем две строки и два столбца. К примеру, возьмем первую и вторую строки и третий и четвертый столбец. При таком выборе имеем минор второго порядка . Этот минор также можно было составить вычеркиванием из матрицы А третьей строки, первого и второго столбцов.

Другим минором второго порядка матрицы А является .

Проиллюстрируем построение этих миноров второго порядка
и .

Аналогично могут быть найдены миноры третьего порядка матрицы А . Так как в матрице А всего три строки, то выбираем их все. Если к этим строкам выбрать три первых столбца, то получим минор третьего порядка

Он также может быть построен вычеркиванием последнего столбца матрицы А .

Другим минором третьего порядка является

получающийся вычеркиванием третьего столбца матрицы А .

Вот рисунок, показывающий построение этих миноров третьего порядка
и .

Для данной матрицы А миноров порядка выше третьего не существует, так как .

Сколько же существует миноров k-ого порядка матрицы А порядка ?

Число миноров порядка k может быть вычислено как , где и - число сочетаний из p по k и из n по k соответственно.

Как же построить все миноры порядка k матрицы А порядка p на n ?

Нам потребуется множество номеров строк матрицы и множество номеров столбцов . Записываем все сочетания из p элементов по k (они будут соответствовать выбираемым строкам матрицы А при построении минора порядка k ). К каждому сочетанию номеров строк последовательно добавляем все сочетания из n элементов по k номеров столбцов. Эти наборы сочетаний номеров строк и номеров столбцов матрицы А помогут составить все миноры порядка k .

Разберем на примере.

Пример.

Найдите все миноры второго порядка матрицы .

Решение.

Так как порядок исходной матрицы равен 3 на 3, то всего миноров второго порядка будет .

Запишем все сочетания из 3 по 2 номеров строк матрицы А : 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 . Все сочетания из 3 по 2 номеров столбцов есть 1, 2 ; 1, 3 и 2, 3 .

Возьмем первую и вторую строки матрицы А . Выбрав к этим строкам первый и второй столбцы, первый и третий столбцы, второй и третий столбцы, получим соответственно миноры

Для первой и третьей строк при аналогичном выборе столбцов имеем

Осталось ко второй и третьей строкам добавить первый и второй, первый и третий, второй и третий столбцы:

Итак, все девять миноров второго порядка матрицы А найдены.

Сейчас можно переходить к определению ранга матрицы.

Определение.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Ранг матрицы А обозначают как Rank(A) . Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A) .

Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы.

Нахождение ранга матрицы по определению.

Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров . Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Пусть нам требуется найти ранг матрицы А порядка .

Вкратце опишем алгоритм решения этой задачи способом перебора миноров.

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю).

Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум.

Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

Отметим, что ранг матрицы не может превышать наименьшего из чисел p и n .

Пример.

Найдите ранг матрицы .

Решение.

Так как матрица ненулевая, то ее ранг не меньше единицы.

Минор второго порядка отличен от нуля, следовательно, ранг матрицы А не меньше двух. Переходим к перебору миноров третьего порядка. Всего их штук.

Все миноры третьего порядка равны нулю. Поэтому, ранг матрицы равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2 .

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Существуют другие методы нахождения ранга матрицы, которые позволяют получить результат при меньшей вычислительной работе.

Одним из таких методов является метод окаймляющих миноров .

Разберемся с понятием окаймляющего минора .

Говорят, что минор М ок (k+1)-ого порядка матрицы А окаймляет минор M порядка k матрицы А , если матрица, соответствующая минору М ок , «содержит» матрицу, соответствующую минору M .

Другими словами, матрица, соответствующая окаймляемому минору М , получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M ок , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Для примера рассмотрим матрицу и возьмем минор второго порядка . Запишем все окаймляющие миноры:

Метод окаймляющих миноров обосновывается следующей теоремой (приведем ее формулировку без доказательства).

Теорема.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n , равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю.

Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицы А порядка , находится по формуле . Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А , не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А . Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.

Перейдем к нахождению ранга матрицы методом окаймляющих миноров. Кратко опишем алгоритм этого метода.

Если матрица А ненулевая, то в качестве минора первого порядка берем любой элемент матрицы А , отличный от нуля. Рассматриваем его окаймляющие миноры. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если же есть хотя бы один ненулевой окаймляющий минор (его порядок равен двум), то переходим к рассмотрению его окаймляющих миноров. Если все они равны нулю, то Rank(A) = 2 . Если хотя бы один окаймляющий минор отличен от нуля (его порядок равен трем), то рассматриваем его окаймляющие миноры. И так далее. В итоге Rank(A) = k , если все окаймляющие миноры (k + 1)-ого порядка матрицы А равны нулю, либо Rank(A) = min(p, n) , если существует ненулевой минор, окаймляющий минор порядка (min(p, n) – 1) .

Разберем метод окаймляющих миноров для нахождения ранга матрицы на примере.

Пример.

Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение.

Так как элемент a 1 1 матрицы А отличен от нуля, то возьмем его в качестве минора первого порядка. Начнем поиск окаймляющего минора, отличного от нуля:

Найден окаймляющий минор второго порядка, отличный от нуля . Переберем его окаймляющие миноры (их штук):

Все миноры, окаймляющие минор второго порядка , равны нулю, следовательно, ранг матрицы А равен двум.

Ответ:

Rank(A) = 2 .

Пример.

Найдите ранг матрицы с помощью окаймляющих миноров.

Решение.

В качестве отличного от нуля минора первого порядка возьмем элемент a 1 1 = 1 матрицы А . Окаймляющий его минор второго порядка не равен нулю. Этот минор окаймляется минором третьего порядка
. Так как он не равен нулю и для него не существует ни одного окаймляющего минора, то ранг матрицы А равен трем.

Ответ:

Rank(A) = 3 .

Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

• перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;
• умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k , отличное от нуля;
• прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k .

Матрица В называется эквивалентной матрице А , если В получена из А с помощью конечного числа элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначается символом « ~ » , то есть, записывается A ~ B .

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B) .

Справедливость этого утверждения следует из свойств определителя матрицы:

• При перестановке строк (или столбцов) матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то при перестановке строк (столбцов) он остается равным нулю.
• При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k отличное от нуля, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, умноженному на k . Если определитель исходной матрицы равен нулю, то после умножения всех элементов какой-либо строки или столбца на число k определитель полученной матрицы также будет равен нулю.
• Прибавление к элементам некоторой строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на некоторое число k , не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Приведем иллюстрации матриц, одна из которых должна получиться после преобразований. Их вид зависит от порядка матрицы.

Эти иллюстрации являются шаблонами, к которым будем преобразовывать матрицу А .

Опишем алгоритм метода .

Пусть нам требуется найти ранг ненулевой матрицы А порядка (p может быть равно n ).

Итак, . Умножим все элементы первой строки матрицы А на . При этом получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (1) :

К элементам второй строки полученной матрицы А (1) прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . К элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на . И так далее до p-ой строки. Получим эквивалентную матрицу, обозначим ее А (2) :

Если все элементы полученной матрицы, находящиеся в строках со второй по p-ую , равны нулю, то ранг этой матрицы равен единице, а, следовательно, и ранг исходной матрицы равен единице.

Если же в строках со второй по p-ую есть хотя бы один ненулевой элемент, то продолжаем проводить преобразования. Причем действуем абсолютно аналогично, но лишь с отмеченной на рисунке частью матрицы А (2)

Если , то переставляем строки и (или) столбцы матрицы А (2) так, чтобы «новый» элемент стал ненулевым.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства