Касательная к окружности перпендикулярна радиусу проведенному. Н.Никитин Геометрия

Давайте вспомним, как могут располагаться окружность и прямая в зависимости от отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности.

Напомним, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Сегодня мы особо рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности . А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности .

Давайте, на рисунке укажем касательные к окружности и назовем точки касания.

Здесь касательными к окружности будут прямые b и d, точками касания будут точки C и F.

Теперь давайте из центра окружности проведем радиусы к точкам касания. По рисунку можно предположить, что радиусы, проведенные к точке касания будут перпендикулярны касательной.

Давайте попробуем доказать или опровергнуть это утверждение.

Пусть прямая p – касательная к окружности с центром в точке О и точка А – точка касания.

Предположим, что касательная p не перпендикулярна радиусу ОА. Тогда радиус ОА – наклонная к прямой p. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую p. Поскольку перпендикуляр, проведенный из точки меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки, то получаем, что расстояние от точки О до прямой p меньше радиуса, то есть прямая и окружность пересекаются в двух точках. Но тогда прямая p – секущая, а по условию, она – касательная.

Таким образом, предположение о том, что касательная не перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, не подтвердилось.

То есть мы доказали свойство касательной к окружности. Сформулируем ее:

Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Задача. Радиус окружности с центром делит хорду пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку , параллельна хорде .

Доказательство.

Равнобедренный

Медиана и высота

Построим окружность, проведем хорду АB, проведем радиус ОК, который делит хорду АB пополам. Проведем касательную к окружности в точке К.

Проведем радиусы ОА и ОB и рассмотрим равнобедренный треугольник AOB. Поскольку ОК делит AB пополам, то часть этого отрезка OH будет являться медианой и высотой, то есть OH перпендикулярно AB. По свойству касательной, касательная, проведенная в точке К будет перпендикулярна ОК. Таким образом, мы получили две прямые, которые перпендикулярны радиусу ОК.

И

Что и требовалось доказать.

Теперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках B и C. Отрезки AB и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А. Эти отрезки обладают следующим свойством:

Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство.

, – общая, – как радиусы

Следовательно, ,

Что и требовалось доказать.

Это свойство запомнить не сложно, достаточно вспомнить героя сказок – Буратино. Его круглое личико мы примем за окружность. А стороны его колпачка – за касательные, проведенные из одной точки. Очевидно, что стороны колпачка равны, и если мы проведем линию из центра колпачка вертикально вниз, то углы тоже будут равны.

Задача. Через концы хорды , равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке . Найдите .

Решение. Выполним чертеж.

− равносторонний

(по свойству отрезков касательной)

(по свойству касательной)

(по свойству углов равнобедренного треугольника)

Ответ:

Теперь, давайте попробуем сформулировать и доказать признак касательной.

Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство.

По условию теоремы, данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. А значит, он является расстоянием от центра окружности до прямой. То есть радиус окружности и расстояние до прямой равны, а, значит, окружность с прямой имеют одну общую точку. То есть, прямая является касательной к окружности, что и требовалось доказать.

Задача. Через данную точку окружности с центром провести касательную к этой окружности.

Решение.

Построим прямую ОА. Через точку А проведем прямую p перпендикулярно прямой ОА. По признаку касательной, эта прямая будет касательной к окружности в точке А.

Задача. К окружности с радиусом проведена касательная из точки , удаленной от центра на расстояние, равное . Найти длину отрезка касательной от точки до точки касания.

Решение. Сделаем чертеж.

Рассмотрим треугольник АОB. (по свойству касательной) (по теореме Пифагора)

;

Ответ:

Задача. Доказать, что касательные к окружности, проведенные через концы диаметра, параллельны.

Вспомним случаи взаимного расположения прямой и окружности.

Задана окружность с центром О и радиусом r. Прямая Р, расстояние от центра до прямой, то есть перпендикуляр ОМ, равна d.

Случай 1 - расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:

Мы доказали, что в случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, прямая и окружность имеют только две общие точки (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к случаю 1

Случай второй - расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности:

Мы доказали, что в данном случае общая точка единственная (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к случаю 2

Случай 3 - расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:

Мы доказали, что в данном случае окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к случаю 3

На данном уроке нас интересует второй случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку.

Определение:

Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности, общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Прямая р - касательная, точка А - точка касания (рис. 4).

Рис. 4. Касательная

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

От противного - пусть ОА не перпендикулярно прямой р. В таком случае, опустим из точки О перпендикуляр на прямую р, который будет расстоянием от центра окружности до прямой:

Из прямоугольного треугольника можем сказать, что гипотенуза ОН меньше катета ОА, то есть , прямая и окружность имеют две общие точки, прямая р является секущей. Таким образом, мы получили противоречие, а, значит, теорема доказана.

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Справедлива и обратная теорема.

Теорема:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

Доказательство:

Поскольку прямая перпендикулярна радиусу, то расстояние ОА - это расстояние от прямой до центра окружности и оно равно радиусу: . То есть , а в этом случае, как мы ранее доказывали, у прямой и окружности единственная общая точка - это точка А, таким образом, прямая р является касательной к окружности по определению (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Прямую и обратную теоремы можно объединить следующим образом (рис. 8):

Задана окружность с центром О, прямая р, радиус ОА

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Теорема:

Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей.

Данная теорема означает, что если прямая является касательной, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей, и наоборот, из перпендикулярности ОА и р следует, что р - касательная, то есть, прямая и окружность имеют единственную общую точку.

Рассмотрим две касательные, проведенные из одной точки к окружности.

Теорема:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проведенной через эту точку и центр окружности.

Задана окружность, центр О, точка А вне окружности. Из точки А проведены две касательные, точки В и С - точки касания. Требуется доказать, что и что равны углы 3 и 4.

Рис. 9. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Доказательство основано на равенстве треугольников . Объясним равенство треугольников. Они являются прямоугольными, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, углы и прямые и равны по . Катеты ОВ и ОС равны, так как являются радиусом окружности. Гипотенуза АО - общая.

Таким образом, треугольники равны по равенству катета и гипотенузы. Отсюда очевидно, что катеты АВ и АС также равны. Также углы, лежащие напротив равных сторон, равны, значит, равны углы и , .

Теорема доказана.

Итак, мы познакомились с понятием касательной к окружности, на следующем уроке мы рассмотрим градусную меру дуги окружности.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. - М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7-9, № 634-637, с. 168.

Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .

Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.