Нахождение чисел по двум разностям.

На первый взгляд сложные для детей задачи, но если понять логику и уяснить алгоритм, они становятся предельно простыми

План (алгорим) решения задач на нахождение чисел по их сумме и частному

1. Нарисовать схему задачи.

2. Найти количество частей.

3. Разделить сумму чисел на количество частей.

4. Умножить полученное число на число его частей.

Задачи с решением

В математическом и историческом кружках занимаются 36 учащихся. В историческом кружке учащихся в 2 раза больше, чем в математическом. Сколько учащихся занимается в каждом из кружков?

Рисуем схему:

Если посмотрим на схему, то заметим, что для математического кружка мы взяли один отрезок, а для исторического - два, причем все отрезки равны. Найдем количество равных отрезков (частей):

1) 1+2 = 3 (ч.) - всего.

Вычислим, сколько учащихся приходится на один отрезок (часть), для этого сумму разделим на количество частей:

2) 36: 3 = 12 (уч.) - занимаются в математическом кружке.

Так как в историческом кружке занимается в два раза больше учащихся, чем в математическом, то:

3) 12 ∙ 2 = 24 (уч.) - занимаются в историческом кружке.

Ответ: 12 учащихся в математическом кружке; 24 учащихся в историческом.

Кот Матроскин пошёл на рыбалку и поймал 20 ершей и окуней, причём ершей в 3 раза больше. Сколько ершей и сколько окуней поймал Кот Матроскин?

Рисуем схему.

Желтым отрезком обозначим окуней, которые поймал Матроскин. Ершей в три раза больше, значит и отрезок будет в 3 раза длиннее – обозначим его фиолетовым цветом. А что значит в 3 раза длиннее? Это значит, что желтый отрезок поместится в фиолетовый 3 раза. А всего рыб 20.

Получилось, что количество окуней обозначено одним отрезком, т.е. одной частью, а количество ершей – тремя такими же частями. А все эти части вместе и составляют 20 рыб. Мы можем узнать, сколько всего частей.

1) 3 + 1 = 4 (части) составляют число 20

Итак, если 20 рыб – это 4 равных части, то мы можем узнать, сколько рыб в одной части. И это мы находим действием деления.

2) 20: 4 = 5 (рыб) – в одной части. А мы знаем, что одна часть – это количество окуней.

А если мы знаем, сколько было окуней, как узнать сколько ершей? Ершей в 3 раза больше, чем окуней, значит надо умножить.

3) 5 · 3 = 15 (рыб) – ершей

Ответ: Кот Матроскин поймал 5 окуней и 15 ершей.

Кот Мурзик охотился на мышей. За 4 дня он поймал 24 мыши, отлавливая в каждый следующий день столько, сколько за все предыдущие вместе. Сколько мышей поймал Мурзик в первый день и сколько в последний день?

Если кот ловил каждый день мышей столько, сколько в предыдущий день, то первый день - это 1 часть. Второй - еще 1 часть. Третий - 2 части. Четвертый - 4 части. Всего 8 частей. 24:8=3 (м.) 3 мыши кот поймал в первый день. В последний день он поймал 3 умноженное на 4 = 12 мышей.

Ответ: 3 мыши в 1 день и 12 мышей в последний поймал кот.

Задачи на нахождение чисел по их разности и частному

Пьеро в своей оранжерее выращивал розы, причём красных роз в 4 раза меньше, чем жёлтых. Сколько красных и сколько жёлтых роз вырастил Пьеро, если красных роз было на 24 меньше, чем жёлтых?

Рисуем схему.

Красным отрезком обозначим красные роза, жёлтым отрезком – жёлтые роза. Красный отрезок короче, т.к. по условию задачи красных роз меньше в 4 раза. Значит, жёлтый отрезок будет длиннее в 4 раза.

А если красных роз меньше на 24, то разница между двумя отрезками будет составлять 24 розы. Мы должны узнать, сколько частей составляют эти 24 розы. На рисунке мы видим, что верхний отрезок это одна часть, а нижний отрезок в 4 раза больше, т.е. 4 части. Узнаем, на сколько 4 больше одного.

1) 4 – 1 = 3 (ч.) – составляют 24 розы. Теперь мы можем узнать, по сколько роз в каждой части.

2) 24: 3 = 8 (роз) – составляет одна часть - это красные розы.

Если мы знаем, что красных в 4 раза меньше чем жёлтых. Как узнать, сколько жёлтых роз? Надо количество красных роз умножить на 4.

3) 8 · 4 = 32 (розы) – жёлтых роз вырастил Пьеро

Можно и по-другому найти количество жёлтых роз. Ведь мы знаем, что красных роз было на 24 меньше, чем жёлтых. Значит, жёлтых на 24 больше, чем красных. И мы к количеству красных роз можем прибавить 24. И это будет уже другой способ решения этой же задачи.

Первые два действия будут такие же, как и в первом способе. А в третьем действии мы просто 8 увеличим на 24. Ведь по условию сказано, что красных роз на 24 меньше, значит, жёлтых на 24 больше.

3) 8 + 24 = 32 (розы) – столько жёлтых роз вырастил Пьеро

Ответ: Пьеро вырастил 8 красных и 32 жёлтые розы.

Чтобы научиться быстро и успешно решать уравнения, нужно начать с самых простых правил и примеров. В первую очередь надо научиться решать уравнения, слева у которых стоит разность, сумма, частное или произведение некоторых чисел с одним неизвестным, а справа другое число. Иными словами, в этих уравнениях есть одно неизвестное слагаемое и либо уменьшаемое с вычитаемым, либо делимое с делителем и т.д. Именно об уравнениях такого типа мы с вами поговорим.

Эта статья посвящена основным правилам, позволяющим найти множители, неизвестные слагаемые и др. Все теоретические положения будем сразу пояснять на конкретных примерах.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Нахождение неизвестного слагаемого

Допустим, у нас есть некоторое количество шариков в двух вазах, например, 9 . Мы знаем, что во второй вазе 4 шарика. Как найти количество во второй? Запишем эту задачу в математическом виде, обозначив число, которое нужно найти, как x. Согласно первоначальному условию, это число вместе с 4 образуют 9 , значит, можно записать уравнение 4 + x = 9 . Слева у нас получилась сумма с одним неизвестным слагаемым, справа – значение этой суммы. Как найти x ? Для этого надо использовать правило:

Определение 1

Для нахождения неизвестного слагаемого надо вычесть известное из суммы.

В данном случае мы придаем вычитанию смысл, который является обратным смыслу сложения. Иначе говоря, есть определенная связь между действиями сложения и вычитания, которую можно в буквенном виде выразить так: если a + b = c , то c − a = b и c − b = a , и наоборот, из выражений c − a = b и c − b = a можно вывести, что a + b = c .

Зная это правило, мы можем найти одно неизвестное слагаемое, используя известное и сумму. Какое именно слагаемое мы знаем, первое или второе, в данном случае неважно. Посмотрим, как применить данное правило на практике.

Пример 1

Возьмем то уравнение, что у нас получилось выше: 4 + x = 9 . Согласно правилу, нам нужно вычесть из известной суммы, равной 9 , известное слагаемое, равное 4 . Вычтем одно натуральное число из другого: 9 - 4 = 5 . Мы получили нужное нам слагаемое, равное 5 .

Обычно решения подобных уравнений записывают следующим образом:

1. Первым пишется исходное уравнение.
2. Далее мы записываем уравнение, которое получилось после того, как мы применили правило вычисления неизвестного слагаемого.
3. После этого пишем уравнение, которое получилось после всех действий с числами.

Такая форма записи нужна для того, чтобы проиллюстрировать последовательную замену исходного уравнения равносильными и отобразить процесс нахождения корня. Решение нашего простого уравнения, приведенного выше, правильно будет записать так:

4 + x = 9 , x = 9 − 4 , x = 5 .

Мы можем проверить правильность полученного ответа. Подставим то, что у нас получилось, в исходное уравнение и посмотрим, выйдет ли из него верное числовое равенство. Подставим 5 в 4 + x = 9 и получим: 4 + 5 = 9 . Равенство 9 = 9 верное, значит, неизвестное слагаемое было найдено правильно. Если бы равенство оказалось неверным, то нам следовало бы вернуться к решению и перепроверить его, поскольку это знак допущенной ошибки. Как правило, чаще всего это бывает вычислительная ошибка или применение неверного правила.

Нахождение неизвестного вычитаемого или уменьшаемого

Как мы уже упоминали в первом пункте, между процессами сложения и вычитания существует определенная связь. С ее помощью можно сформулировать правило, которое поможет найти неизвестное уменьшаемое, когда мы знаем разность и вычитаемое, или же неизвестное вычитаемое через уменьшаемое или разность. Запишем эти два правила по очереди и покажем, как применять их при решении задач.

Определение 2

Для нахождения неизвестного уменьшаемого надо прибавить вычитаемое к разности.

Пример 2

Например, у нас есть уравнение x - 6 = 10 . Неизвестно уменьшаемое. Согласно правилу, нам надо прибавить к разности 10 вычитаемое 6 , получим 16 . То есть исходное уменьшаемое равно шестнадцати. Запишем все решение целиком:

x − 6 = 10 , x = 10 + 6 , x = 16 .

Проверим получившийся результат, добавив получившееся число в исходное уравнение: 16 - 6 = 10 . Равенство 16 - 16 будет верным, значит, мы все подсчитали правильно.

Определение 3

Для нахождения неизвестного вычитаемого надо вычесть разность из уменьшаемого.

Пример 3

Воспользуемся правилом для решения уравнения 10 - x = 8 . Мы не знаем вычитаемого, поэтому нам надо из 10 вычесть разность, т.е. 10 - 8 = 2 . Значит, искомое вычитаемое равно двум. Вот вся запись решения:

10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .

Сделаем проверку на правильность, подставив двойку в исходное уравнение. Получим верное равенство 10 - 2 = 8 и убедимся, что найденное нами значение будет правильным.

Перед тем, как перейти к другим правилам, отметим, что существует правило переноса любых слагаемых из одной части уравнения в другую с заменой знака на противоположный. Все приведенные выше правила ему полностью соответствуют.

Нахождение неизвестного множителя

Посмотрим на два уравнения: x · 2 = 20 и 3 · x = 12 . В обоих нам известно значение произведения и один из множителей, необходимо найти второй. Для этого нам надо воспользоваться другим правилом.

Определение 4

Для нахождения неизвестного множителя нужно выполнить деление произведения на известный множитель.

Данное правило базируется на смысле, который является обратным смыслу умножения. Между умножением и делением есть следующая связь: a · b = c при a и b , не равных 0 , c: a = b , c: b = c и наоборот.

Пример 4

Вычислим неизвестный множитель в первом уравнении, разделив известное частное 20 на известный множитель 2 . Проводим деление натуральных чисел и получаем 10 . Запишем последовательность равенств:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .

Подставляем десятку в исходное равенство и получаем, что 2 · 10 = 20 . Значение неизвестного множителя было выполнено правильно.

Уточним, что в случае, если один из множителей нулевой, данное правило применять нельзя. Так, уравнение x · 0 = 11 с его помощью решить мы не можем. Эта запись не имеет смысла, поскольку для решения надо разделить 11 на 0 , а деление на нуль не определено. Подробнее о подобных случаях мы рассказали в статье, посвященной линейным уравнениям.

Когда мы применяем это правило, мы, по сути, делим обе части уравнения на другой множитель, отличный от 0 . Существует отдельное правило, согласно которому можно проводить такое деление, и оно не повлияет на корни уравнения, и то, о чем мы писали в этом пункте, с ним полностью согласовано.

Нахождение неизвестного делимого или делителя

Еще один случай, который нам нужно рассмотреть, – это нахождение неизвестного делимого, если мы знаем делитель и частное, а также нахождение делителя при известном частном и делимом. Сформулировать это правило мы можем с помощью уже упомянутой здесь связи между умножением и делением.

Определение 5

Для нахождения неизвестного делимого нужно умножить делитель на частное.

Посмотрим, как применяется данное правило.

Пример 5

Решим с его помощью уравнение x: 3 = 5 . Перемножаем между собой известное частное и известный делитель и получаем 15 , которое и будет нужным нам делимым.

Вот краткая запись всего решения:

x: 3 = 5 , x = 3 · 5 , x = 15 .

Проверка показывает, что мы все подсчитали верно, ведь при делении 15 на 3 действительно получается 5 . Верное числовое равенство – свидетельство правильного решения.

Указанное правило можно интерпретировать как умножение правой и левой части уравнения на одинаковое отличное от 0 число. Это преобразование никак не влияет на корни уравнения.

Переходим к следующему правилу.

Определение 6

Для нахождения неизвестного делителя нужно разделить делимое на частное.

Пример 6

Возьмем простой пример – уравнение 21: x = 3 . Для его решения разделим известное делимое 21 на частное 3 и получим 7 . Это и будет искомый делитель. Теперь оформляем решение правильно:

21: x = 3 , x = 21: 3 , x = 7 .

Удостоверимся в верности результата, подставив семерку в исходное уравнение. 21: 7 = 3 , так что корень уравнения был вычислен верно.

Важно отметить, что это правило применимо только для случаев, когда частное не равно нулю, ведь в противном случае нам опять же придется делить на 0 . Если же частным будет нуль, возможны два варианта. Если делимое также равно нулю и уравнение выглядит как 0: x = 0 , то значение переменной будет любым, то есть данное уравнение имеет бесконечное число корней. А вот уравнение с частным, равным 0 , с делимым, отличным от 0 , решений иметь не будет, поскольку таких значений делителя не существует. Примером может быть уравнение 5: x = 0 , которое не имеет ни одного корня.

Последовательное применение правил

Зачастую на практике встречаются более сложные задачи, в которых правила нахождения слагаемых, уменьшаемых, вычитаемых, множителей, делимых и частных нужно применять последовательно. Приведем пример.

Пример 7

У нас есть уравнение вида 3 · x + 1 = 7 . Вычисляем неизвестное слагаемое 3 · x , отняв от 7 единицу. Получим в итоге 3 · x = 7 − 1 , потом 3 · x = 6 . Это уравнение решить очень просто: делим 6 на 3 и получаем корень исходного уравнения.

Вот краткая запись решения еще одного уравнения (2 · x − 7) : 3 − 5 = 2:

(2 · x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 · x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 · x − 7) : 3 = 7 , 2 · x − 7 = 7 · 3 , 2 · x − 7 = 21 , 2 · x = 21 + 7 , 2 · x = 28 , x = 28: 2 , x = 14 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям .

Таблица 3

Задача. Купили по одинаковой цене 14 м полотна и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на 280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько заплатили за полотно и шерсть в отдельности?

Задачи этого типа представляют определённую трудность для детей в связи с тем, что стоимость и количество заданы в виде разностей: купили больше и заплатили больше. В связи с этим работу над задачами данного типа нужно построить так, чтобы дети осознали, что (на примере данной задачи) за полотно, купленное сверх 10 м заплатили 280 р. В связи с этим до формального разбора при поиске решения задачи на этапе ознакомления целесообразно выполнить разбор по существу, позволяющий развязать этот «трудный узел» задачи. Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи данного типа, но прежде выполним разбор по существу, который осуществляется по вопросам учителя.

После выделения условия, требования задачи и выполнения краткой записи задачи в виде таблицы, учитель ставит вопросы:

За какое количество полотна уплатили столько же, сколько за всю шерсть? (За 10 м.)

Сколько уплатили за полотно, купленное сверх 10 м? (280 р.)

Если мы будем знать количество полотна, купленного сверх 10м и знаем его стоимость, то, что сможем узнать по этим данным? (Цену 1 м полотна или шерсти.)

4) Знаю, что купили 14 м полотна и 10м шерсти.

5) Могу узнать, сколько полотна купили за 280 р.

6) Действием вычитания.

4а) Знаю стоимость полотна (280 р.) и буду знать количество, за которое уплатили 280 р.

5а) Могу узнать цену полотна.

6а) Действием деления.

4б) Буду знать цену полотна и знаю его количество.

5б) Могу узнать стоимость полотна.

6б) Действием умножения.

4в) Буду знать стоимость полотна и знаю, что за полотно заплатили на 280 р. больше, чем за шерсть. Значит, за шерсть заплатили на 280 р. меньше.

5в) Могу узнать стоимость шерсти.

6в) Действием вычитания.

7. Составляю план решения: сначала действием вычитания узнаю, за какое количество полотна уплатили 280 р., затем действием деления узнаю цену полотна или шерсти, потом действием умножения узнаю стоимость полотна, затем действием вычитания узнаю стоимость шерсти.

8. Запишу решение по действиям с полным пояснением:

1) 14-10=4(м)- за столько полотна заплатили 280 р.;

2) 280:4=70(р.) - цена полотна (шерсти);

3) 70 14=980(р.) - стоимость полотна;

4) 980-280=700 (р.) - стоимость шерсти.

Ответ: 980 р. и 700 р.

На основе анализа содержания задачи и деятельности по её решению можно увидеть, что необходимые знания, умения и навыки у детей уже сформированы (знания связи между величинами цена, количество, стоимость и умение находить одну из них по двум значениям других величин) в процессе решения задач на нахождение четвёртого пропорционального и на пропорциональное деление. Однако в задачах данного типа дано не значение одной из переменных величин, а разность двух её значений, что и составляет проблему задачи (нужно найти цену, имея не значения стоимости и количества, а значения разности стоимостей и разности количеств).

В связи с этим на подготовительном этапе к введению задач данного типа необходимо предусмотреть специальные задания, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи:

1) Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. Каких тетрадей ученик купил больше? За какие тетради он уплатил денег больше?

Ученик купил по одинаковой цене тетрадей в клетку на 4 больше, чем тетрадей в линейку, и уплатил за них на 16 р. больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоила одна тетрадь? К первой задаче ученики выполняют чертёж, затем отвечают на поставленные вопросы (Ученик купил тетрадей в клетку на 4 тетради больше, чем в линейку; за тетради в клетку он уплатил больше, потому что он купил их больше, а цена одинаковая.). Далее выясняется, за сколько тетрадей в клетку он уплатил столько же, сколько за все тетради в линейку.

Как вы понимаете выражение «тетрадей в клетку купил на 4 больше, чем тетрадей в линейку»(тетрадей в клетку столько же, сколько в линейку и ещё 4). Покажите это на чертеже.

Что значит «уплатил за тетради в клетку на 16 р. больше»? (Уплатил за тетради в клетку столько же, сколько за тетради в линейку, и ещё 16 р.) Покажите это на чертеже.

За сколько тетрадей ученик уплатил 16 р.? (За 4 тетради.)

Значением какой величины является 16 р.? (16 р, - значение стоимости.)

Значением какой величины является 4 т.? (4 тетради - значение количества.)

Значит, нам известны значения двух величин - стоимости и количества - и знаем, что цена одинаковая. Что можно найти по этим данным? (Цену.) Каким действием? Учитель может предложить аналогичные задания из учебника, а также составленные им с другими величинами.

Ознакомление с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить разными путями: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав её из задачи на нахождение четвёртого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и другом случае работа над задачей ведётся по одному и тому же плану: выделение условия, требования задачи, её иллюстрации в виде краткой записи (в виде таблицы) и чертежа, затем разбор по существу, формальный разбор и т.д. (см. выше).

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать задания аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида по аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решений. Полезно также выполнить задания по сравнению задач на пропорциональное деление и задач с соответствующими величинами на нахождение неизвестных по двум разностям.

Цели:

образовательная: продолжить работу по формированию умения решения задач на нахождение неизвестного по двум разностям с использованием графической модели задачи;

развивающая: развивать мышление, математическую речь, зоркость, память, внимание;

воспитательная: воспитывать самостоятельность, находчивость, аккуратность, инициативу.

1. Сообщение темы.

На доске записан текст задачи.

В один магазин привезли 18 одинаковых бидонов молока, а в другой – 12 таких же бидонов. В первый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во второй. Сколько литров молока привезли в каждый магазин?

Прочитайте запись на доске и определите тему урока.

(На предыдущих уроках мы рассматривали решение задач на нахождение неизвестного по двум разностям. Сегодня мы продолжим работу над решением задач данного типа.)

2. Решение задач.

Прочитайте задачу;

Что известно в задаче?

Как понимаете одинаковые бидоны?

Что можете сказать о вопросе?

2) Графическая модель.

К доске пойдет…и составит графическую модель рассуждения.

3) Анализ задачи.

Рассуждай. Класс внимательно слушает, т.к. схему анализа задачи будете чертить самостоятельно.

(Чтобы ответить на первый главный вопрос задачи “Сколько литров молока привезли в первый магазин?” надо знать: сколько литров молока в первом бидоне, я это не знаю, и сколько таких бидонов привезли в первый магазин, я это знаю 18.

А чтобы узнать “сколько литров молока в одном бидоне?” надо знать: на сколько больше литров молока привезли в первый магазин, я это знаю - на 228 л и на сколько больше бидонов молока привезли в первый магазин, я это не знаю. А чтобы узнать: на сколько больше бидонов привезли в первый магазин, чем во второй (в этих “лишних” бидонах и содержатся 228 литров молока) надо знать: сколько бидонов молока привезли в первый магазин, я это знаю 18, и сколько бидонов молока привезли во второй магазин, я это знаю 12.

4) Схема анализа задачи.

Теперь самостоятельно начертите схемы анализа задачи. Один человек за доской.

5) Решение задачи.

Решайте задачу самостоятельно.

6) Проверка

Запишет решение задачи выражением…

228: (18 – 12) * 18 = 684 (л)

228: (18 – 12) * 12 = 456 (л)

Объясняй.

(Первым действием я узнал…

Вторым действием я узнал: сколько литров молока в одном бидоне)

Стоп! Дети, задайте ему вопрос по существу! Какие данные условия задачи помогли тебе ответить на этот вопрос?

(В задаче сказано, что в первый магазин привезли 18 бидонов молока, а во второй – 12, и говорится, что в первый магазин привезли на 228 л молока больше. Если в первый магазин привезли на 228 л молока больше, то эти лишние 228 л молока и находятся в “лишних” бидонах. Отсюда я смог найти, сколько молока в одном бидоне.)

Третьим действием…

Кто последнее действие выполнил по-другому? А можно его было выполнить по-другому? Как? А почему вы не стали выполнять по-другому?

(Я руководствовался своей схемой анализа задачи.)

Прочитайте вторую задачу

В один магазин привезли в одинаковых бидонах 684 л молока, а в другой – 456 л в таких же бидонах. В первый магазин привезли на 6 бидонов молока больше, чем во второй. Сколько бидонов молока привезли в каждый магазин?

Какие изменения надо внести в графическую модель и схему анализа задачи, чтобы она подходила ко второй задаче.

Составь графическую модель своего рассуждения.

Ваше мнение?

Как бы вы назвали вторую задачу по отношению к первой? (Обратной.)

Запишите решение этой задачи выражением.

У доски…

684: ((684 – 656) : 6) = 18 (б.)

656: ((684 – 656) : 6) = 12 (б.)

Ваше мнение?

Решение задачи с геометрическими величинами: длина, ширина, площадь.

На доске: Длина прямоугольника 12 см, что в три раза больше его ширины. Найти площадь этого прямоугольника.

Какие знания нам потребуются, чтобы решить эту задачу? (Знания нахождения площади.)

Как найти площадь? (Чтобы найти площадь, нужно длину умножить на ширину.)

Что мы знаем об этих величинах?

Зная это, как найдём ширину? Почему делением? (Если длина прямоугольника в три раза больше его ширины, то ширина в три раза меньше его длины.)

Смоделируй это.

Рассуждай. (Надо 12 разделить на 3 равные части и взять одну такую часть.)

Решаем самостоятельно. (12: 3) * 12 = 48 (см 2)

Проверка: чему равна площадь? (48 см 2)

Итак, чтобы грамотно выполнять все вычисления, которые встречаются в задачах, что мы должны хорошо знать? (Порядок выполнения действий.)

А что уметь выполнять? (Уметь выполнять арифметические действия с числами.)

3. Решение примеров.

Закрепим эти умения.

С этой целью самостоятельно вычислите значение выражения:

8014 – 132 * 54 + 44892: 36

Проверка:

1) расставить порядок действий;

2) объяснить вычислительный прием деления многозначного числа на двузначное;

3) назовите значение выражения;

4) ваше мнение.

4. Итог урока.

Итак, что нам помогает в решении задач?

1. Прочные вычислительные навыки.

2. Графическая модель задачи. Какую помощь она оказывает?

1) Помогает видеть зависимость между искомым и данными задачи.

2) Помогает составить схему анализа задачи.

3) Помогает проанализировать задачу, опираясь на схему анализа.

4) Помогает составить план решения задачи и решить её.

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО ПО ДВУМ РАЗНОСТЯМ

Рассмотрим пример решения задачи на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задача: Две машины шли с одинаковой скоростью. Одна прошла 400 км, а другая - 480 км. Вторая машина была в пути на 2 часа меньше первой. Сколько часов была в пути каждая машина?

Решение:

1. Найдем разность расстояний пройденных машинами:

480 - 400 = 80(км)

2. Вторая разность нам известна из условия задачи - это 2 часа (разность по времени в пути).

3. По этим двум разностям вычислим скорость машин:

80: 2 = 40 (км/ч)

4. Зная скорость машин и расстояния, пройденные каждой машиной, найдем время в пути каждой машины:

400: 40 = 10 (ч) время в пути первой машины;

480: 40 = 12 (ч) время в пути второй машины.

Ответ: 10ч, 12ч.

Примеры задач на нахождение неизвестного по двум разностям для тренировки:

1) В столовой в 1-м зале 15 одинаковых столов, а во 2-м зале 10 таких же столов. Сколько мест в 1-м зале и сколько во 2-м зале, если в 1-м зале на 20 мест больше, чем во 2-м зале?

2) Один шофер сделал за день 5 рейсов, другой - 3 рейса. В каждый рейс перевозили зерна поровну. Первый шофер перевез на 30 т зерна больше, чем второй. Сколько зерна перевёз каждый шофер?

3) Купили 5 красных карандашей и 7 синих. Синие на 4 рубля дороже, чем красные. Сколько стоит один красный и один синий карандаш?

4) В одном куске было 6 м ткани, а в другом - 12 м такой же ткани. Второй кусок стоил на 24 руб. дороже, чем первый. Сколько стоил каждый кусок ткани?

5) В первом куске 3 м ткани, во втором - 7 м ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей дороже. Сколько стоит каждый кусок?

6) Один мотоциклист был в пути 3 часа, другой - 5 часов. Они ехали с одинаковой скоростью. Второй проехал на 80 км больше первого. Сколько километров проехал каждый?

7) С базы отправили в один магазин 3 грузовика муки, а в другой - 5. Во второй магазин отправили на 40 ц больше. Сколько центнеров муки отправили в каждый магазин?

8) С одного участка собрали 25 мешков лука, а с другого 19. Со второго участка собрали на 360 кг меньше. Сколько килограммов лука собрали с каждого участка?

9) Магазин продал в 1-й день 72 кг слив, а во 2-й - 56 кг. Во 2-й день продано на 2 ящика меньше, чем в 1-й день. Сколько ящиков слив продали в каждый день?

10) Два велосипедиста выехали навстречу друг другу с одинаковой скоростью и встретились через 10 часов. Один ехал до встречи на 2 часа больше другого и проехал на 24 км больше. Какое расстояние между городами?

11) В мастерской было два куска материи длиной 96 м и 84 м. Из них сшили плащи. Из 2-го куска получили на 3 плаща меньше, чем из 1-го куска. Сколько всего плащей сшито из каждого куска?

12) На одной пасеке 48 ульев, а на другой 44. С 1-й пасеки сняли на 80 кг больше мёду, чем со 2-й. Сколько мёду собрали с каждой пасеки?

13) Для откачивания воды из баржи поставили 2 одинаковых насоса. Один работал 5 мин, а другой 8 мин. Сколько воды выкачал каждый насос, если 2-й выкачал на 15 вёдер больше 1-го насоса?

14) В одном мешке 54 кг муки, а в другом 72 кг. Муку рассыпали в пакеты. Из первого мешка получилось на 6 пакетов меньше. Сколько пакетов муки заготовили из двух мешков?