Правило свойства действий с рациональными числами. VI

Урок4
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Цели : способствовать формированию вычислительных умений и навыков, накоплению знаний о степенях на основе вычислительного опыта; познакомить с записью больших и маленьких чисел с помощью степеней числа 10.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний.

Учитель проводит анализ результатов проверочной работы, каждый ученик получает рекомендации по разработке индивидуального плана коррекции вычислительных умений и навыков.

Затем учащимся предлагается выполнить вычисления и прочитать имена известных математиков, внесших вклад в построение теории степеней:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Ключ:

С помощью компьютера или эпипроектора на экран проецируются портреты ученых Диофанта, Рене Декарта, Симона Стевина. Учащимся предлагается подготовить по желанию исторические справки о жизни и деятельности этих ученых-математиков.

II. Формирование новых понятий и способов действия.

Учащиеся записывают в тетради следующие выражения:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

а слагаемых

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

n множителей

5. а ∙ а ∙ … ∙ а ;

n множителей

Учащимся предлагается ответить на вопрос: «Как можно представить эти записи более компактно, чтобы они стали "обозримыми"»?

Затем учитель проводит беседу по новой теме, знакомит учащихся с понятием первой степени числа. Учащиеся могут подготовить инсценировку древней индийской легенды об изобретателе шахмат Сете и царе Шераме. Закончить беседу необходимо рассказом об употреблении при записи больших и малых величин степеней числа 10 и, предложив учащимся к рассмотрению несколько справочников по физике, технике, астрономии, дать им самим возможность найти в книгах примеры таких величин.

III. Формирование умений и навыков.

1. Решение упражнений № 40 г), д), е); 51.

В ходе решения учащиеся делают заключение о том, что полезно помнить: степень с отрицательным основанием положительна, если показатель степени четный, и отрицательна, если показатель степени нечетный.

2. Решение упражнений № 41, 47.

IV. Подведение итогов.

Учитель комментирует и оценивает работу учащихся на уроке.

Домашнее задание: п. 1.3, № 42, 43, 52; по желанию: подготовить сообщения о Диофанте, Декарте, Стевине.

Историческая справка

Диофант – древнегреческий математик из Александрии (III в.). Сохранилась часть его математического трактата «Арифметика» (6 книг из 13), где дается решение задач, в большинстве приводящихся к так называемым «диофантовым уравнениям», решение которых ищется в рациональных положительных числах (отрицательных чисел у Диофанта нет).

Для обозначения неизвестного и его степеней (до шестой), знака равенства Диофант употреблял сокращенную запись соответствующих слов. Обнаружен учеными также арабский текст еще 4 книг «Арифметики» Диофанта. Сочинения Диофанта явились отправной точкой для исследований П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других.

Декарт Рене (31. 03. 159 6 –11. 02. 1650) – французский философ и математик, происходил из старинного дворянского рода. Образование получил в иезуитской школе Ла Флеш в Анжу. В начале Тридцатилетней войны служил в армии, которую оставил в 1621 году; после нескольких лет путешествий переселился в Нидерланды (1629), где провел двадцать лет в уединенных научных занятиях. В 1649 году по приглашению шведской королевы переселился в Стокгольм, но вскоре умер.

Декарт заложил основы аналитической геометрии, ввел многие современные алгебраические обозначения. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин
(х , у , z …) и коэффициентов (а , b , с …), а также обозначения степеней (х 4 , а 5 …). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.

В аналитической геометрии основным достижением Декарта явился созданный им метод координат.

Стевин Симон (1548–1620) – нидерландский ученый и инженер. С 1583 года преподавал в Лейденском университете, в 1600 году организовал инженерную школу при Лейденском университете, где читал лекции по математике. Работа Стевина «Десятина» (1585) посвящена десятичной системе мер и десятичным дробям, которые Симон Стевин ввел в употребление в Европе.

На этом уроке мы вспомним основные свойства действий с числами. Мы не только повторим основные свойства, но и научимся применять их к рациональным числам. Все полученные знания закрепим с помощью решения примеров.

Основные свойства действий с числами:

Первые два свойства - это свойства сложения, следующие два - умножения. Пятое свойство относится к обеим операциям.

Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше (например, иррациональных).

Перестановочные свойства:

От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.

Сочетательные свойства: , .

Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.

Распределительное свойство: .

Свойство связывает обе операции - сложение и умножение. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону - правилом вынесения общего множителя за скобки.

Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.

Еще два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения, сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.

Следующее свойство: . Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.

Последнее свойство, которое мы рассмотрим: .

Умножив число на , получаем противоположное число. У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя остальные. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.

Умножение на

Докажем, что если умножить число на , то получим противоположное число. Используем для этого распределительное свойство: .

Оно верно для любых чисел. Подставим вместо числа и :

Слева в скобках стоит сумма взаимно противоположных чисел. Их сумма равна нулю (у нас есть такое свойство). Слева теперь . Справа , получаем: .

Теперь слева у нас стоит ноль, а справа - сумма двух чисел. Но если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны. Но у числа только одно противоположное число: . Значит, - это и есть : .

Свойство доказано.

Такое свойство, которое можно доказать, используя предыдущие свойства, называют теоремой

Почему здесь нет свойств вычитания и деления? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания: .

Но так как:

• вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:

• деление можно записать в виде умножения на обратное число:

Значит, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список свойства, которые необходимо запомнить, получается короче.

Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и другие числа, например, иррациональные. Например, сумма и противоположного ему числа равна нулю: .

Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.

Рациональные числа в жизни

Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами : длина, вес, температура, количество.

Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.

Например, ваш рост м - дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен см - это уже целое число (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.

Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел

Начнем со сложения. Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами. Например:

Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.

Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения, например, следующего выражения:

Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения следующего выражения:

Перейдем к умножению. Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.

Рассмотрим такой пример:

Если из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: .

Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения. Рассмотрим такой пример:

Рассмотрим пример с использованием распределительного свойства. Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко.

Рисунок. Арифметические действия над рациональными числами.

Текст:

Правила при действиях с рациональными числами:
. при сложении чисел с одинаковыми знаками необходимо сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак;
. при сложении двух чисел с разными знаками из числа с большим модулем вычитают число с меньшим модулем и перед полученной разностью ставят знак числа, имеющего больший модуль;
. при вычитании одного числа из другого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - b = а + (-b)
. при умножении двух чисел с одинаковыми знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак плюс;
. при умножении двух чисел с разными знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак минус;
. при делении чисел с одинаковыми знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак плюс;
. при делении чисел с разными знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак минус;
. при делении и умножении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль:
. на нуль делить нельзя.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.

Цели урока:

• Образовательные :
  • совершенствовать навыки решения примеров и уравнений по теме «Свойства действий с рациональными числами»;
  • закрепить умения выполнять арифметические действия над рациональными числами;
  • проверить умение использовать свойства арифметических действий для упрощения выражений с рациональными числами;
  • обобщить и систематизировать теоретический материал.
• Развивающие :
  • развивать навыки устного счёта;
  • развивать логическое мышление;
  • формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
  • развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала;
  • расширить кругозор учащихся.
• Воспитательные :
  • воспитывать умение работать с имеющейся информацией;
  • воспитывать уважение к предмету;
  • воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки;
  • способствовать воспитанию самоконтроля и взаимоконтроля учащихся.

Оборудование и наглядность: компьютер, мультимедийный проектор, экран, интерактивная презентация, сигнальные карточки для устного счета, цветные мелки.

Структура урока:

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Сообщение темы и целей урока

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.

– Тема нашего урока: «Свойства действий с рациональными числами», а девиз урока я прошу вас прочитать хором:

Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!

И сегодня мы с вами на уроке дружно и активно создадим математическую газету. Я – буду главным редактором, а вы – корректорами. Как вы понимаете значение этого слова?
Чтобы проверить других, нам необходимо систематизировать свои знания по теме «Свойства действий с рациональными числами».

А газета наша называется «Рациональные числа». А в переводе на татарский язык?
Я слышала, что вы хорошо знаете и английский язык, а как англичане назовут эту газету?
Представляю вам макет газеты, которая состоит из следующих рубрик: чтение хором: «Спрашивают – отвечаем », «Новости дня », «Аукцион проектов », «Актуальный репортаж », «А знаете ли вы…?» .

III. Актуализация опорных знаний

Устная работа:

В первой рубрике «Спрашивают – отвечаем» нам нужно проверить правильность информации, которую нам прислали в письмах наши корреспонденты. Посмотрите внимательно и скажите, какие правила нам нужно вспомнить, чтобы проверить эту информацию.

1.Правило сложения отрицательных чисел:

«Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули, 2) поставить перед полученным числом знак минус».

2. Правило деления чисел с разными знаками:

«При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя, 2) поставить перед полученным числом знак минус».

3. Правило умножения двух отрицательных чисел:

«Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули».

4. Правило умножения чисел с разными знаками:

«Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак минус».

5. Правило деления отрицательного числа на отрицательное число:

«Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное число, надо разделить модуль делимого на модуль делителя».

6. Правило сложения чисел с разными знаками:

«Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший, 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)

– Молодцы, хорошо справились.

IV. Закрепление пройденного материала

– А сейчас мы переходим к рубрике «Новости дня ». Чтобы заполнить эту рубрику, нам необходимо систематизировать знания о числах.
– Какие вы знаете числа? (Натуральные, дробные, рациональные)
– А какие числа относятся к рациональным? (Положительные, отрицательные и 0)
– А какие свойства рациональных чисел вы знаете? (Переместительное, сочетательное и распределительное, умножение на 1, умножение на 0)
– А теперь перейдем к письменной работе. Открыли тетради, записали число, классная работа, тема «Свойства действий с рациональными числами».
Используя эти свойства, упростим выражения:

А) х + 32 – 16 = х + 16
Б) – х – 18 – 23 = – х – 41
В) – 1,5 + х – 20 = – 21,5 + х
Г) 12 – 26 + х = х – 14
Д) 1,7 + 3,6 – х = 5,3 – х
Е) – х + а + 6,1 – а + 2,8 – 8,8 = – х + 0,1

– А следующие примеры требуют от нас еще более рационального решения с объяснением.

– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961

12.04.1961 – Вам о чем-нибудь говорят полученные ответы?
50 лет назад 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин полетел в космос. Город Заинск тоже имеет свою космическую историю: 9 марта 1961 года спускаемый аппарат №1 космического корабля «ВОСТОК-4» совершил мягкую посадку в районе села Старый Токмак Заинского района с манекеном человека, собакой и другими мелкими животными на борту. И в честь этого события в нашем районе поставят памятник. Сейчас в городе работает конкурсная комиссия. В конкурсе участвуют 3 проекта, они перед вами на экране. А сейчас мы с вами проведем аукцион проектов.
Я прошу проголосовать за понравившийся вам проект. Ваш голос может оказаться решающим.

V. Физкультминутка

– Свое мнение вы выражаете аплодисментами и топаньем. Давайте прорепетируем! Три хлопка и три притопа.
– Еще раз попробуем. Итак, голосование начинается:

– Отдаем свои голоса за Макет №1
– Отдаем свои голоса за Макет №2
– Отдаем свои голоса за Макет №3
– А теперь за все макеты вместе.
– Победу одержал Макет № ... Спасибо, я записала ваши голоса (поднимает сотовый телефон и показывает детям) и передам в счетную комиссию.
– Молодцы, спасибо. А впереди не менее важный – Актуальный репортаж.

VI. Подготовка к ГИА

В рубрику «Актуальный репортаж» пришло письмо, где ученик просит помочь ему в решении заданий к итоговому экзамену в 9 классе. Нам нужно каждому самостоятельно прорешать задания, тесты <Приложение 1 > у вас на столах:

1. Решить уравнения:

а) (х + 3)(х – 6) = 0

1) х = 3, х = – 6
2) х = – 3, х = – 6
3) х = – 3, х = 6