Применение производной к построению графиков функций. Применение производной к исследованию функций

Тема: «Применение производной к построению графиков функции»

Цели урока:

1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и по­строению графика;

2) воспитательная : воспитание требовательно­го отношения к себе при самостоятельном изучении нового мате­риала;

3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассу­ждать и аргументировать свои действия.

Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор, таблица производных, правила дифференцирования.

Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.

Ход урока

I. Организационный момент

Настрой к уроку. Музыка – «Зимнее утро», приветствие гостей (слайд 2-4) .

Сообщение темы и целей урока (слайд 5) .

Разбор значения слов Анатоль Франс: «Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». (слайд 6)

Новая тема (слайд 7)

Зарядка для памяти (слайд 8,9,10)

П. Проверка домашнего задания

При изучении нового материала необходимы знания, полученные ранее: «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», «Формулы производных». (Выполняется устно.)

Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции. (Слайд 11,12)

Работа по графикам (слайд 13-14)

(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопро­веркой на компьютере.)

По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.

Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите руки, те у кого нет ошибок. Поднимите теперь те у кого ошибки.

III. Актуализация опорных знаний

На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.

Игра «Карусель» (для проверки темы «Производные»).

IV. Работа с учебником (стр 145 - 154 - высветить на экран)

Самостоятельное изучение нового материала по плану, записан­ному на доске.

Записать в тетрадь схему исследования функции.

Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.

Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.

Образцы решений.

Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.

1. Область определения D (f ) = R .

Найдем производную f "(x ) = (х 3 - 2х 2 + х)" = 3х 2 - 4х +1.


f "(x ) = 0. 3х 2 - 4х + 1 = 0,

(3х-1) (х-1) = 0

х 1 =1, х 2 = 1/3

4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.

Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f "(x )

Так как f "(x ) на промежутке (1/3, 1), значит, функция убывает на этом промежутке.

5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:

f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;

Составим таблицу по результатам исследования

7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
х 3 -2х 2 + х = 0, х (х 2 -2х + 1) =0,

х (х -1) 2 =0, х = 0 или х = 1.

8. Построим график функции.

Физминутка

Работа по учебнику

Задание 3. Постройте график функции f (х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .

Решение.

Область определения D (f ) = R .

Найдем производную f "(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3).

Найдем критические точки, решив уравнение f "(x ) = 0. -5х(1 + х 3) = 0, следовательно,

Х 1 =0, х 2 = -1.

4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:

для производной
f "(x =-5х (1+х 3) имеем 3 интервала знак постоянства:

(-∞;-1); (-1;0); (0;+ ∞).

f "( x )0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.

Аналогично f "( x ) 0 на промежутках (-∞;-1) и (0; +∞), зна­чит, функция на них убывает.

5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка мак­симума. Значения в экстремумах равны:

f (-1)=-0,5 f (0)=1

5.Творческое задание

Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.

Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.

Задание 4.

Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f (x ) - четная функция,

Ответ:

Ответ:

VI. Закрепление изученного материала

Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.

Задание 8. Постройте график функции.

Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой груп­пы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)

а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;

б) у = 4х 5 -5х 4 ;

в) у = Зх 5 -5х 3 .

VII. Подведение итогов урока

По какой схеме проводится исследование свойств функции?

Ответ:

Надо найти:

Область определения функции ( D ( f ) = R a ).

Производную (f"(x)).

Стационарные точки (f"(x = 0)

Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).

Точки экстремума и значение функции в этих точках.

а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);

б) несколько дополнительных точек графика (для более точно­го построения).

А сейчас проведем аукцион понимания графиков.

Дома. Закончить задания

Построить график функции:

a)у= 3х +1/3х б) у = 2 + 3 х - х 3 .

Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.

(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оцени­вается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, на­бравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)

Свойства:

1. возрастает;

   точки минимума;

   точки максимума;

   точки перегиба;

   четность (нечетность);

   область определения;

область значений;

точки пересечения с Ох;

точки пересечения с Оу;

симметричность графика функции;

функция принимает положительные значения;

функция принимает отрицательные значения;

наибольшее значение функции;

наименьшее значение функции.

Домашнее задание

Задание 10.

Построить график функции:

a)у= = 3х +1/3х

б) у = хе х ;

в) у = 2 + Зх - х 3 .

Приложение

Решения Задание 7.

а) Решение.

1.D ( f ) = R .

2. Функция у(-х) = 6(-х) 4 -4(-х) 6 = 6х 4 -4х 6 = у(х) четная, гра-
фик симметричен относительно Оу.

Исследуем на (0; +∞),

3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .

4.Находим критические точки: у" = 0, 24х 3 (1 –х 2 ) = 0, х 1 = 0,
х 2,3 =±1.

График

б) Решение.

Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -

2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞).

Находим производную f "( x ) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.

Находим критические точки: f "( x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,

Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1

График

В)Решение

Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.

Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =

= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.

5. Знаки производной.

6. Промежутки возрастания и убывания.

.

Задание 8.

а) Решение.

5.Промежутки возрастания и убывания.

б) Решение.

D (y) = R.

Находим производную у" = 20х 4 -20х 3 .

Находим критические точки: у" = 0, 20х 3 (х-1) = 0,

4. Знаки производной.

5. Промежутки возрастания и убывания.

в) Решение.

D (y) = R.

2. Функция у(-х) = 3(-х) 5 -5(-х) 3 = -Зх 5 +5х 3 = -(Зх 5 -5х 3) не-
четная, график функции симметричен относительно начала коор-
динат. Исследуем функцию на (0; +оо).

3. Находим производную у" = 15х 4 - 15х 2 = 15х 2 (х 2 -1).

Находим критические точки: у" = 0, 15х 2 (х 2 -1) = 0, х, =0, х 2,3 =±1.

Знаки производной.

______________________________________________

6. Промежутки возрастания и убывания.

Тип задания: 7

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Решение

Проводим касательные к графику функции в точках с указанными абсциссами. Определяем, под каким углом они наклонены к положительному направлению оси Ox . Как известно, значение тангенса указанного угла это и есть значение производной в указанных точках.

В точках -1 и 4 касательные наклонены под острым углом, поэтому в этих точках значение производной отрицательно. Учитывая, что в точке x=-6 касательная наклонена под меньшим тупым углом (ближе к вертикальной прямой), значение производной в этой точке наименьшее.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-9; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Как известно, функция f(x) возрастает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) больше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-9; -8); (-5; -1); (1; 4).

Длина наибольшего из них (-5; -1), равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 7
Тема: Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-4; 3].

Переменная величина называетсяфункцией переменной величины , если каждому допустимому значениюсоответствует единственное значение. Переменная величинапри этом называетсянезависимой переменной или аргументом функции.

Множество всех значений аргумента, при которых функция принимает определенные действительные значения, называется областью определения этой функции. Множество всех значений функции называется областью ее значений .

Область определения и область значений функции f обозначают символами
и
соответственно. Область определения
называетсясимметричным множеством , если вместе с каждым элементом оно содержит и противоположный элемент (
).

Исследовать, является ли функция четной или нечетной.

Функция
называетсячетной

при всех
.

Функция f называется нечетной , если ее область определения
- симметричное множество и выполняется равенство
при всех
.

График четной функции симметричен относительно оси ординат О Y , а график нечетной функции – относительно начала координат. Поэтому, если исследуемая функция четная или нечетная, то ее достаточно исследовать при положительных значениях аргумента из области ее определения.

Исследовать, является ли функция периодической.

Множество
называетсяпериодическим с периодом Т (
), если для любого
выполняется
и
.

Функция f называется периодической с периодом Т , если
- периодическое множество с периодомТ и для любого
выполняется равенство
.

График периодической с периодом Т функции переходит в себя при сдвиге на Т вдоль оси абсцисс.

Прямая
на плоскости
называетсявертикальной асимптотой функции
, если один из односторонних пределов
или
равен
.

Таким образом, прямая
является вертикальной асимптотой функции
, если точка- точка разрыва второго рода для функции
.

Исследовать поведение функции на бесконечности и найти ее горизонтальные и наклонные асимптоты.

Прямая
называетсянаклонной асимптотой графика функции
при
(
), если
при
(
).

Теорема 1. Для существования наклонной асимптоты
при
функции
необходимо и достаточно, чтобы при
выполнялись условия:

1.
,
,

2.
,
.

Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции.

Функция
называетсявозрастающей (убывающей ) на
, если для любых
из неравенства
следует неравенство
(
).

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными .

Теорема 2 (достаточное условие монотонности). Пусть функция
определена и непрерывна на
и дифференцируема на
. Если
(
), то
возрастает (убывает) на
.

Точка
называетсяточкой максимума (точкой минимума ) функции
, если во всех точках, достаточно близких к точке
(
).

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом ) функции.

Точка
называетсяточкой строгого максимума (строгого минимума ) функции
, если во всех точках, достаточно близких к точкеи отличных от нее, выполнено неравенство
(
).

Значение функции в точке называетсястрогим максимумом (строгим минимумом ) функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в них – экстремумами функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция
имеет в точкеэкстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Точка называетсястационарной точкой функции
, если
. Точканазываетсякритической точкой функции
, если
или не существует.

Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Теорема 4 (Достаточное условие экстремума. Первое правило). Пусть в точке
производная функции
обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, тогда точка- точка экстремума функции, причем если:

1)
при
и
при
, то
- точка строгого максимума;

2)
при
и
при
, то
- точка строгого минимума.

Теорема 5 (Достаточное условие экстремума. Второе правило). Если в точке
первая производная функции
равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то- точка экстремума, причем:

1) - точка максимума, если
;

2) - точка минимума, если
.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на
:

Найдем критические точки
функции
на
. Расположим их в порядке возрастания:. Они делят
на интервалы
,
,…,
. В каждом из них
, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по теореме 4.

Определение направлений выпуклости графика функции и точек перегиба.

Пусть функция
дифференцируема на
. Тогда существует касательная к графику функции
в любой точке
,
, причем эти касательные не параллельны оси
.

Функция
называетсявыпуклой вверх (вниз ) на
, если график функции в пределах
лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 6 (достаточное условие выпуклости). Пусть функция
дважды дифференцируема на
. Тогда если
(
) на
, то функция выпукла вниз (вверх) на
.

Точка называется точкой перегиба функции
, если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции
.

Теорема 7 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба функции
вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Теорема 8 (достаточное условие перегиба). Если
и

1)
меняет знак при переходе через , то - точка перегиба функции
;

2)
не меняет знака при переходе через, тоне является точкой перегиба функции
.

Построение графика функции.

Графиком функции
называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости.

Пример 7.1. Исследовать функцию

Решение.

, так как данная функция – многочлен.

Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.

Найдем вначале критические точки функции.

, так как производная тоже является многочленом.


или
, или
. Следовательно,
,
,
– критические точки функции.

Нанесем критические точки функции на числовую прямую и определим знакипроизводной

На промежутках
,
функция убывает, на промежутках
,
функция возрастает.

Точки
и
– точки минимума функции, .

Точка
– точка максимума функции,
.

Исследуем функцию на направление выпуклости, найдем точки перегиба.



.

Нанесем точки х 1 и х 2 на числовую прямую и определим знаки второй производной в каждом из получившихся промежутков.

На промежутках
и
функция выпукла вниз, на промежутке
функция выпукла вверх. Точки
и
являются точками перегиба.

Пример 7.2. Исследовать функцию
на монотонность и направление выпуклости, найти экстремумы и точки перегиба.

Решение.

Найдем область определения функции.

:

 .

2. Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума.

, .



. Следовательно,
– критическая точка функции.

Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую прямую. Определим знаки производной на каждом из получившихся промежутков.

На промежутках
,
функция убывает, на промежутке
функция возрастает. Точка
– точка максимума,
.

3. Определим направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба.



.

Точка
- точка возможного перегиба. Определим знаки второй производной в промежутках
,
,
.

На промежутках
,
функция выпукла вверх, на промежутке
функция выпукла вниз. Точка
– точка перегиба.

Пример 7.3. Провести полное исследование функции
и построить ее график.

Решение. 1.
.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция не является периодической.

4. Найдем точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства. Ось Ох график не пересекает, так как
для всех
. Ось Оу :
,
.

при
,
при
.

5. Функция непрерывна на области определения, так как является элементарной,
– точка разрыва. Исследуем характер разрыва:

,
.

Следовательно,
– точка разрыва второго рода, прямая
– вертикальная асимптота графика функции.

6. Исследуем поведение функции при
и при
:

,
. Следовательно, прямая
– горизонтальная асимптота графика функции при
.

Так как
, то других наклонных асимптот при
нет.

Выясним, есть ли наклонные асимптоты при
:

. Следовательно, при
наклонных асимптот нет.

7. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

,

–точка минимума,
– минимум.

8. Исследуем функцию на направление выпуклости и перегиб.

=

.

на
,не существует в точке
.Точек перегиба нет.

9. Построим график функции (рис. 4).

Рисунок 4 – Иллюстрация к примеру 7.3.

Пример 7.4. Исследовать функцию
и построить её график.

Решение. Исследуем данную функцию.

,
.

Исследуем поведение функции на бесконечности и найдем горизонтальные и наклонные асимптоты:

Так как
, то горизонтальных асимптот нет.

,

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

Исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы:

.

Из
следует
, откуда
,
.

В интервале

, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в

, т. е. функция убывает. Поэтому точка
является точкой максимума:
. В интервале

, следовательно, функция убывает на этом интервале; в

, т. е. функции возрастает. В точке
имеем минимум:
.

Исследуем график функции на направление выпуклости и определим точки перегиба. Для этого найдем

Очевидно, что в интервале

, следовательно, в этом интервале кривая выпукла вверх; в интервале

, т. е. в этом интервале кривая выпукла вниз. Так как при
функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

График функции изображен на рис. 5.

Рисунок 5 – Иллюстрация к примеру 7.3.

Осипцова Галина Петровна

Место работы, должность:

МБОУ "Средняя общеобразовательная школа №12" города Выборга, учитель математики.

Ленинградская область

Характеристики урока (занятия)

Уровень образования:

Среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория:

Учитель (преподаватель)

Класс(ы):

Предмет(ы):

Алгебра

Предмет(ы):

Математика

Цель урока:

Сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков.

Развивать логическое мышление, умение анализировать, умение ставить проблему, решать ее.

Воспитывать желание высказывать свое мнение.

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Учеников в классе:

Используемые учебники и учебные пособия:

УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин

Используемая методическая литература:

М.К. Потапов, А.В.Шевкин "Алгебра и начала математического анализа, 10". Книга для учителя. М: "Просвещение" 2010.

Используемое оборудование:

Компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Краткое описание:

1. Системно-деятельностный подход при построении урока алгебры и начал анализа в 11 классе.

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе

(УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин)

Тема урока : «Применение производной к построению графиков функций»

Основные цели урока:

сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;

развивать умение ставить проблему, решать ее, логическое мышление, умение анализировать;

воспитывать желание высказывать свое мнение.

Оборудование и раздаточный материал: компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Ход урока

Мотивация учебной деятельности.

Здравствуйте, ребята.

Что нового вы узнали на предыдущих уроках? (как с помощью производной найти критические точки, промежутки возрастания, убывания функции, ее экстремумы, наибольшее (наименьшее) значение).

На этом уроке мы продолжим исследовать функции с помощью производной.

Актуализация знаний.

На экране вы видите график функции y = f (x):

Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их.

Ответ: 1) D(f) = R;

2) функция непрерывна

3) Функция возрастает на отрезке [-2; 0,5] и на промежутке и на , а, значит, f "(x) < 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

точки максимума функции:x точки минимума: x = -2 x = 3;

4)наибольшее значение функции не существует, наименьшее равно-2 при = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Как найти точки экстремумов функции? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума, если же производная при переходе через критическую точку меняет знак с

«-»на «+», то данная точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку знак не меняет, то данная критическая точка не является точкой экстремума.

− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f (x ), заданной аналитически.

Учащиеся формулируют, на экране последовательно открываются шаги алгоритма.

Алгоритм.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

А теперь исследуйте функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.

1. D(f) = R, f(x) непрерывна на D(f).

   Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

Точки пересечения

с осью х: (0; 0) и (-3; 0), т. к.

f(x) = 0, т. е. ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x (x² + 6 x + 9) = 0

⅓x (х + 3)² = 0

с осью у: (0; 0).

Производная функции: f "(x) = x² + 4х + 3, D(f "(x)) =R

критические точки: f "(x) = 0 при х = -3, х = -1.

Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках:

f "(x) > 0 на (-∞; -3) и на (-1; +∞); f "(x) < 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

fmax = 0 при х = -3, fmin = -4 при х = -1

4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Что вы повторили?

Как вы думаете, какое следующее задание я вам предложу?

Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя результаты исследования, построить график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Возникнут ли у вас затруднения?

3. Выявление затруднений, проблемы

Учитель предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.

Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции).

Почему у вас возникли затруднения? (Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции).

Что вы используете для исследования функции? (Производную).

4. Построение проекта выхода из затруднения .

Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функций с помощью производной).

Сформулируйте тему урока. (Применение производной для построения графиков функций).

Тема урока открывается на доске.

Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графиков функций? (таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику).

Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу? (нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график).

5. Реализация построенного проекта

На доске открывается пустая таблица:

Вы исследовали функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Перечислите шаги, которые вы выполняли при исследовании функции.(По ходу заполняется таблица)

Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.

Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих графику функции).

На доске появляется график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Вы построили график функции.

Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика). (Еще раз проговариваем этапы исследования функции и построения ее графика).

Алгоритм построения графика с помощью производной..

1. D (f), непрерывность f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) не существует;

дополнительные точки;

6. Первичное закрепление приобретенных знаний.

Что теперь необходимо сделать? (надо научиться использовать алгоритм для построения графиков).

Постройте теперь график функции. f (x ) = х + .

Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) непрерывна на D (f).
2. Производная функции:f "(x) = 1 - 4/ x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Критические точки: = 0 при х = 2 и х = -2, точек, в которых f"() не существует - нет.

5. Дополнительные точки:

6. График функции:

Попытайтесь изобразить график самостоятельно.

На экране появляется график для проверки.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

	Вариант 1. Исследовать функцию и построить ее график Вариант 2. По частично проведенному исследованию построить график функции

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:

Вариант 1 .

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D (f | ) = R

х 1 = 0; х 2 = 2

¦ / (х )

Вариант 2.

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y ¢ = 6x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D (f | ) = R

х 1 = − 1; х 2 = 1

− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге алгоритма?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

8. Включение в систему знаний и повторение.

Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решите задачи:

1. Найдите множество значений функции .

2. При каких значениях параметра р уравнение = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?

1) Ответ: (− ¥; − 4] U }

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства