Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Инструкция

В том случае, если в основании пирамиды лежит квадрат, известна длина его диагонали, а также длина ребра этой пирамиды , то высоту этой пирамиды можно выразить из теоремы Пифагора, ведь треугольник, который образован ребром пирамиды , и половиной диагонали в основании - это прямоугольный треугольник.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы в прямоугольном по величине равен сумме квадратов его катетов(a² = b² + c²). Грань пирамиды - гипотенуза, один из катетов - половина диагонали квадрата. Тогда длина неизвестного катета (высоты) находится по формулам:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

Чтобы обе ситуации были максимально ясны и понятны, можно рассмотреть пару .
Пример 1: Площадь основания пирамиды 46 см², ее объем равен 120 см³. Исходя из этих данных, высота пирамиды находится так:
h = 3*120/46 = 7.83 см
Ответ: высота данной пирамиды составит, приблизительно, 7.83 см
Пример 2: У пирамиды , в основании которого лежит многоугольник - квадрат, его диагональ равна 14 см, длина ребра составляет 15 см. Согласно этим данным, чтобы найти высоту пирамиды , требуется воспользоваться следующей формулой (которая как следствие из теоремы Пифагора):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 см
Ответ: высота данной пирамиды составляет √29 см или, приблизительно, 5.4 см

Обратите внимание

Если в основании пирамиды находится квадрат или иной правильный многоугольник, то данную пирамиду можно называть правильной. Такая пирамида обладает рядом свойств:
ее боковые ребра равны;
грани ее - равнобедренные треугольники, которые равны между собой;
около такой пирамиды можно описать сферу, а также и вписать ее.

Источники:

Правильная пирамида

Пирамидой называют фигуру, в основании которой лежит многоугольник, при этом её грани представляют собой треугольники с общей для всех вершиной. В типовых задачах часто требуется построить и определить длину перпендикуляра, проведённого из вершины пирамиды к плоскости её основания. Длина этого отрезка называется высотой пирамиды .

Вам понадобится

- линейка
- карандаш
- циркуль

Инструкция

Для выполнения постройте пирамиду в соответствии с условием задачи. Например, для построения правильного тетраэдра необходимо начертить фигуру так, чтобы все 6 рёбер были равны между собой. Если требуется построить высоту четырёхугольной , то равными должны быть лишь 4 ребра основания. Тогда рёбра боковых граней можете строить неравными с рёбрами многоугольника. Назовите пирамиду, обозначив все вершины буквами латинского . Например, для пирамиды с треугольником в основании можно выбрать A, B, C (для основания), S (для вершины). Если в условии заданы конкретные размеры рёбер, то при построении фигуры исходите из данных величин.

Для начала условно подберите при помощи циркуля , касающуюся изнутри всех рёбер многоугольника. Если пирамида , то точка (назовите её, например, Н) на основании пирамиды , в которую опускается высота, должна соответствовать центру окружности вписанной в правильный основания пирамиды . Центру будет соответствовать точка, равноудалённая от любой другой точки на окружности. Если соединить вершину пирамиды S с центром окружности H, то отрезок SH и будет высотой пирамиды . При этом помните, что окружность можно вписать в четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого одинаковы. Это касается квадрата и ромба. При этом точка H будет лежать четырёхугольника. Для любого треугольника есть возможность вписать и описать окружность.

Чтобы построить высоту пирамиды , воспользуйтесь циркулем для рисования окружности, а затем при помощи линейки соедините её центр H с вершиной S. SH – искомая высота. Если в основании пирамиды SABC неправильная фигура, то высота будет соединять вершину пирамиды с центром окружности, в которую вписан многоугольник основания. Все вершины многоугольника лежат на такой окружности. При этом данный отрезок будет перпендикуляром к плоскости основания пирамиды . Описать окружность вокруг четырёхугольника можно, если сумма противоположных углов равна 180о. Тогда центр такой окружности будет лежать на пересечении диагоналей соответствующих

Объемной фигурой, которая часто появляется в геометрических задачах, является пирамида. Самая простая из всех фигур этого класса - треугольная. В данной статье разберем подробно основные формулы и свойства правильной

Геометрические представления о фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.

Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.

Она состоит из 4-х сторон, причем все они являются треугольниками. Точки, в которых соединяются три грани, называются вершинами. Их у фигуры также четыре. Линии пересечения двух граней - это ребра. Ребер у рассматриваемой пирамиды 6. Рисунок ниже демонстрирует пример этой фигуры.

Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.

Правильная пирамида

Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.

Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.

Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема

Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.

Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.

Для высоты h получаем выражение:

Эта формула следует из теоремы Пифагора для которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.

Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы a b равна:

a b = √(b 2 - a 2 /4)

Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.

Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.

Объем фигуры

Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:

Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:

Где высота правильной треугольной пирамиды равна h, а ее сторона основания - a.

Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:

То есть он определяется длиной стороны a однозначно.

Площадь поверхности

Продолжим рассматривать треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.

Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:

Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.

Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.

Полная площадь поверхности фигуры равна:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:

Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной

Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.

В случае с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.

Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.

Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a 1 и a 2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна a b . Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Здесь первое слагаемое - это площадь боковой поверхности, второе слагаемое - площадь треугольных оснований.

Объем фигуры рассчитывается следующим образом:

V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)

Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами. Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр . Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора :
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства следует совпадение центра P многоугольника с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA

Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным , а второй реберным . К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды :
1) , где – площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где – радиус вписанного шара, а – площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике : обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.