Смена движения в противоположном направлении. Задачи на движение навстречу и в противоположных направлениях
Задачи на встречное движение
К задачам этого вида относятся задачи, в которых рассматривается процесс движения двух тел, отправившихся одновременно из двух пунктов (точек) навстречу друг другу. В зависимости от условия задачи требуется определить расстояние между пунктами, если известно время движения до встречи и скорости тел; время движения до встречи, если известно расстояние между пунктами и скорости движения; скорости движения одного тела, если известно расстояние, время движения до встречи и скорость движения второго тела.
Алгебраическая модель: (v 1 +v 2)t= s,
Где s- расстояние между начальными точками движения, v 1 и v 2 - скорости тел, t - время движения.
Пример Из Москвы и Санкт-Петербурга навстречу друг другу вышли одновременно два поезда, скорости которых 56 км/ч и 72 км/ч соответственно. Они встретились через 5 ч. Вычислите расстояние между городами.
Графическая модель задачи представлена на рисунке 1.
Чтобы определить расстояние между городами, надо узнать, сколько километров прошел до встречи первый поезд и сколько второй. К моменту встречи оба поезда вместе прошли все расстояние. Чтобы знать расстояние, пройденное первым поездом до встречи со вторым, надо знать его скорость и время движения от выхода до встречи. То и другое есть в условии. Для определения расстояния, пройденного вторым поездом до встречи, надо также знать скорость и время движения от выхода до встречи. Эти данные есть в условии.
1. 56 5 = 280 (км) - прошел первый поезд за 8 ч;
2. 72 5 = 360 (км) - прошел второй поезд за 8 ч;
3. 280 + 360 = 640 (км) - расстояние между городами.
Ответ: расстояние между городами 640 км.
Задачи на движение в одном направлении
К задачам этого вида относятся задачи, в которых рассматривается процесс движения двух тел, отправившихся одновременно из двух пунктов (точек) в одном направлении. В зависимости от условия задачи требуется определить, за какое время одно тело догонит другое, на каком расстоянии от данного пункта одно тело догонит другое и т. п.
Алгебраическая модель:
(v 1 - v 2)t= s,
где s - расстояние между начальными точками движения, v, и v 2 - скорости тел,t - время движения.
В данном уравнении имеются 4 обозначения величин, поэтому оно дает возможность решать четыре типа задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные три - данными.
Примечание. По арифметическому содержанию эти задачи могут быть отнесены к задачам на нахождение неизвестных по двум разностям (см. § 3 данной главы).
Пример Два пешехода вышли одновременно в одном направлении из двух мест, находящихся на расстоянии 10 км одно от другого. Первый шел по 3 км в час, второй - по 5 км. Через сколько часов второй догонит первого?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 2.
 |
Чтобы узнать, через сколько часов второй пешеход догонит первого, надо знать, каково первоначальное расстояние между ними (дано в условии) и на сколько километров сокращается это расстояние за 1 ч. Для ответа на второй вопрос надо знать скорость движения обоих пешеходов. Эти данные есть в условии.
Оформим решение по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.
1) На сколько километров в час больше проходил второй пешеход, чем первый?
5-3 = 2 (км/ч).
2) Через сколько часов второй пешеход догонит первого?
Ответ: второй пешеход догонит первого через 5 ч.
Задачи на движение в противоположных направлениях
К задачам этого вида относятся задачи, в которых рассматривается процесс движения двух тел, отправившихся одновременно из двух пунктов (точек) в разных направлениях. В зависимости от условия задачи требуется определить, за какое время тела окажутся на данном расстоянии друг от друга; на каком расстоянии друг от друга окажутся тела через заданное время; с какими скоростями должны двигаться тела, чтобы через заданное время оказаться на требуемом расстоянии друг от друга.
Алгебраическая модель:
(v 1 +v 2)t +s =s 1
где s- расстояние между начальными точками движения, s 1 - расстояние между телами через времяt, v, иv 2 - скорости тел,t - время движения.
В данном уравнении имеются 5 обозначений величин, поэтому оно дает возможность решать пять типов задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные четыре - данными.
Пример Два мотоциклиста одновременно выехали из города в противоположных направлениях. Их скорости 40 км/ч и 50 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут через 4 ч после начала движения?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 3.
 |
Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти расстояние, которое проехали первый и второй мотоциклисты за 4 ч, и полученные результаты сложить.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1) 40 4 = 160 (км) - проехал первый мотоциклист за 4 ч;
2) 50 4 = 200 (км) - проехал второй мотоциклист за 4 ч;
3) 160 + 200 = 360 (км) - будет между мотоциклистами через 4 ч после начала движения.
Задачу можно проверить, решив ее другим способом, воспользовавшись понятием скорости удаления:
a. 40 + 50 = 90 (км/ч) - скорость удаления мотоциклистов;
b. 90 4 = 360 (км) - расстояние между мотоциклистами через 4 ч.
Задачи на движение навстречу и в противоположных направлениях.
Цель: формировать умение решать задачи данного вида.
Ход урока.
1.Организационный момент.
2.Устная работа. Вычислите:
а) 170+180; б)330-90; в)135+265; г)280+265; д)415-235; е)155+275; ж)210-85; з)390+490;
3.Актуализация знаний. Заполните таблицу:
Скорость | ||||
Расстояние |
После окончания работы учащиеся, сидящие за одной партой, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, сравнивая полученные ответы с верными, которые записаны учителем на доске.
4. Объяснение нового материала.
Анализ задачи на движение тел в противоположных направлениях.
Задача 1. Два пешехода вышли одновременно из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 4 км/ч и 6 км/ч.
Ответьте на вопросы:
Сколько километров за 3 часа пройдет первый пешеход?
Сколько километров за 3 часа пройдет второй пешеход?
Сколько километров за 3 часа пройдут оба пешехода?
Какое расстояние будет между пешеходами через 3 часа?
У ч и т е л ь. Узнать расстояние между пешеходами через какое – то время, например, через 7 часов можно двумя способами.
Способ первый:
4∙7=28 (км) пройдет первый пешеход за 7 часов. 6∙7=42 (км) пройдет второй пешеход за 7 часов. 28 + 42=70 (км).
Способ второй:
4 + 6=10 (км) на столько увеличивается расстояние между пешеходами за 1ч. 7∙10= 70 (км) расстояние между пешеходами через 7 часов.
Складывая скорости пешеходов, мы нашли скорость, с которой пешеходы удаляются друг от друга – скорость удаления. Тогда мы можем легко найти расстояние между пешеходами через любое количество времени. Найдите, на каком расстоянии будут друг от друга пешеходы через 0,6 ч; 1,7ч; 12,25ч.
Теперь давайте ответим на такой вопрос: Через сколько часов расстояние между пешеходами будет 25км? Нам известна скорость удаления пешеходов, отсюда мы сможем найти время:
25: 10 = 2,5 (ч)
Найдите, через сколько часов расстояние между пешеходами будет равно 37км; 40,8км.
Учитель. Какие выводы можно сделать, отвечая на вопросы этой задачи?
Если известны скорости тел, движущихся в противоположных направлениях, то можно найти скорость их удаления. Она будет равна сумме скоростей данных тел. Зная скорость удаления тел, можно узнать расстояние между ними через любой промежуток времени и узнать время, за которое они удаляются на определённое расстояние
Анализ задачи на движение тел навстречу друг другу.
Задача 2.Из двух пунктов, расстояние между которыми 55км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода со скоростями 5 км/ч и 6км/ч.
Ответьте на вопросы:
Сколько километров пройдет первый пешеход за 2 часа?
Сколько километров пройдет второй пешеход за 2 часа?
Сколько километров пройдут вместе пешеходы за 2 часа?
Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?
Учитель. Узнать расстояние между пешеходами через какое – то время, например, через 3ч можно двумя способами.
3∙5 = 15 (км) пройдет первый пешеход за 3 ч. 3∙6 = 18 (км) пройдет второй пешеход за 3 ч. 15 + 18= 33 (км) пройдут вместе. 55 – 33 = 22 (км) станет между пешеходами через 3 ч.
5 + 6 =11 (км) на столько сокращается расстояние между пешеходами за один час. 11∙3 =33 (км) пройдут вместе 55 – 33 = 22 (км) станет между пешеходами через 3 ч.
Складывая скорости пешеходов, мы нашли скорость, с которой пешеходы приближаются друг к другу – скорость сближения. Зная эту скорость, нетрудно найти расстояние между пешеходами через любое количество времени. Найдите, какое расстояние между пешеходами через 1,5ч; 4,2ч.
Теперь узнаем, через сколько часов пешеходы встретятся. Расстояние до встречи пешеходов равно 55 км, скорость их сближения равна 11 км/ч. Отсюда найдём, что пешеходы встретятся через 55: 11 =5 (ч).Найдите, через какое время пешеходы пройдут вместе 44 км; 38,5 км.
Учитель. Какие выводы можно сделать, отвечая на вопросы задачи?
Сближения. Она будет равна сумме скоростей данных тел. Зная скорость сближения тел, можно найти Если известны скорости тел, движущихся навстречу друг другу, то можно найти скорость их расстояние между ними через любой промежуток времени и найти время, за которое они сближаются на определённое расстояние.
5.Формирование умений и навыков.
№ 000(в, г); № 000(в, г) – устно.
Два одновременно выехали из одного пункта в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч.
На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч? 0,5 ч? Через 1,1 ч? Через сколько часов расстояние между ними будет 33 км?
10 + 12 = 22(км/ч) скорость удаления. 22 ∙ 1 =22(км) будет между ними через 1 ч. 22 ∙ 0,5 = 11(км) будет между ними через 0,5 ч. 22 ∙ 1,1 =24,2(км) будет между ними через 1,1 ч. 33: 22 =1,5(ч).
Ответ: через 1,5 ч расстояние между ними будет 33 км.
№ 000(а). Два велосипедиста выехали из двух сел одновременно навстречу друг другу и встретились через 1,6 ч. Скорость одного 10 км/ч, другого 12 км/ч. Каково расстояние между селами? Решение:
10 + 12 =22(км/ч) скорость сближения. 22 ∙ 1,6 =35,2 (км) расстояние между селами.
Ответ: 35,2 км.
№ 000. Два поезда выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Расстояние между пунктами А и В равно 350 км. Скорость одного 65 км/ч, другого – 75 км/ч. Через сколько часов расстояние между поездами составит 70 км? Почему задача имеет два решения?
Случай 1: поезда не доехали друг до друга 70км.
65+75=140 (км/ч) скорость сближения поездов. 350 – 70=280 (км) нужно проехать поездам. 280: 140 =2 (ч).
Случай 2: поезда встретились и удалились друг от друга в противоположных направлениях на 70км.
65 + 75 =140 (км/ч) скорость сближения и скорость удаления. 350 + 70 =420 (км) проедут поезда. 420: 140 =3 (ч).
Ответ: расстояние 70 км будет между поездами через 2 часа и через 3 часа.
Из двух городов, расстояние между которыми 420 км, одновременно навстречу друг другу выехали грузовая машина со скоростью 60 км/ч и легковая – со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов после их встречи грузовая машина прибудет в пункт назначения?
60+80=140 (км/ч) скорость сближения машин. 420: 140 =3 (ч) через столько времени машины встретятся. 420:60=7(ч) тратит грузовая машина на весь путь. 7 – 3 =4 (ч) будет ехать грузовая машина после встречи.
Ответ: через 4 часа.
6.Итоги урока.
Вопросы учащимся:
Что можно найти, если известны скорости тел, движущихся в противоположных направлениях?
Что можно найти, если известны скорости тел, движущихся навстречу друг другу, и расстояние между телами?
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали два автомобиля со скоростью 60 км/ч и 70 км/ч. Поставьте разумные вопросы к задаче и ответьте на них.
Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 75 км, выехали одновременно навстречу друг другу велосипедиста со скоростью 15 км/ч и 10 км/ч. . Поставьте разумные вопросы к задаче и ответьте на них.
Домашнее задание: № 000; № 000(б); № 000(б).
Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t
, υ = S: t
, t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.
Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.
Скорость сближения
– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления
– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.
Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .
Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.
Рассмотрим таблицу.
Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .
Примеры решения задач.
Задача №1.
Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2
– скорость сближения в разных направлениях
)
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 140 км/ч.
Задача №2.
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2
– скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость удаления 140 км/ч.
Задача №3.
Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2
– скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении
)
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 20 км/ч.
То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .
Рассмотрим другие задачи.
Задача № 4.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях
)
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ:
через 3 ч расстояние будет 27 км.
Задача № 5.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения
(знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ:
встретятся через 2 ч.
Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение
.
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления
(знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях
)
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t
⇒ t
= S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ:
через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:
Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2
;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t
—расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t
— расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S =
S 1 + S 2
= υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2)
= t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2)
— время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:
расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.
1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.
Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача
. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача
. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?
Математика - довольно сложный предмет, но в школьном курсе ее придется пройти абсолютно всем. Особое затруднение у учеников вызывают задачи на движение. Как решать без проблем и массы потраченного времени, рассмотрим в данной статье.
Отметим, что если потренироваться, то эти задания не будут вызывать никаких трудностей. Процесс решения можно выработать до автоматизма.
Разновидности
Что имеется ввиду под таким типом задания? Это довольно-таки простые и нехитрые задачи, которые включают в себя следующие разновидности:
- встречное движение;
- вдогонку;
- движение в противоположном направлении;
- движение по реке.
Предлагаем каждый вариант рассмотреть в отдельности. Конечно же, разбирать будем исключительно на примерах. Но прежде, чем перейдем к вопросу, как на движение, стоит ввести одну формулу, которая будет нам необходима при решении абсолютно всех заданий этого типа.
Формула: S=V*t. Немного пояснений: S - это путь, буквой V обозначается скорость движения, а буква t означает время. Все величины можно выражать через эту формулу. Соответственно, скорость равна пути, разделенному на время, а время - это путь, поделенный на скорость.
Движение навстречу
Это самый распространенный тип задач. Чтобы понять суть решения, рассмотрим следующий пример. Условие: "Два друга на велосипедах отправились одновременно друг другу навстречу, при этом путь от одного дома до другого составляет 100 км. Каково будет расстояние через 120 минут, если известно, что скорость одного - 20 км в час, а второго - пятнадцать". Переходим к вопросу, как решить задачу на встречное движение велосипедистов.
Для этого нам необходимо ввести еще один термин: "скорость сближения". В нашем примере она будет равна 35 км в час (20 км в час + 15 км в час). Это и будет первое действие в решении задачи. Далее умножаем скорость сближения на два, так как они двигались два часа: 35*2=70 км. Мы нашли расстояние, на которое сблизятся велосипедисты через 120 минут. Осталось последнее действие: 100-70=30 километров. Этим вычислением мы нашли расстояние между велосипедистами. Ответ: 30 км.
Если вам непонятно, как решить задачу на встречное движение, используя скорость сближения, то воспользуйтесь еще одним вариантом.
Второй способ
Сначала мы находим путь, который проехал первый велосипедист: 20*2=40 километров. Теперь путь 2-го друга: пятнадцать умножаем на два, что равняется тридцати километрам. Складываем расстояние, пройденное первым и вторым велосипедистом: 40+30=70 километров. Мы узнали, какой путь преодолели они совместно, поэтому осталось из всего пути вычесть пройденный: 100-70=30 км. Ответ: 30 км.
Мы рассмотрели первый тип задачи на движение. Как решать их, теперь понятно, переходим к следующему виду.
Движение в противоположном направлении
Условие: "Из одной норки в противоположном направлении ускакали два зайца. Скорость первого - 40 км в час, а второго - 45 км в час. Как далеко они будут друг от друга через два часа?"
Здесь, как и в предыдущем примере, возможно два варианта решения. В первом мы будем действовать привычным способом:
- Путь первого зайца: 40*2=80 км.
- Путь второго зайца: 45*2=90 км.
- Путь, который они прошли совместно: 80+90=170 км. Ответ: 170 км.
Но возможен и другой вариант.
Скорость удаления
Как вы уже успели догадаться, в этом задании, аналогично первому, появится новый термин. Рассмотрим следующий тип задачи на движение, как решать их с помощью скорости удаления.
Ее мы в первую очередь и найдем: 40+45=85 километров в час. Осталось выяснить, каково расстояние, разделяющее их, поскольку все остальные данные уже известны: 85*2=170 км. Ответ: 170 км. Мы рассмотрели решение задач на движение традиционным способом, а также с помощью скорости сближения и удаления.
Движение вдогонку
Давайте рассмотрим пример задачи и попробуем вместе ее решить. Условие: "Два школьника, Кирилл и Антон, ушли из школы и двигались со скоростью 50 метров в минуту. Костя вышел за ними через шесть минут со скоростью 80 метров в минуту. Через какое количество времени Костя догонит Кирилла и Антона?"
Итак, как решать задачи на движение вдогонку? Здесь нам понадобится скорость сближения. Только в этом случае стоит не складывать, а вычитать: 80-50=30 м в минуту. Вторым действием узнаем, сколько метров разделяет школьников до выхода Кости. Для этого 50*6=300 метров. Последним действием находим время, за которое Костя догонит Кирилла и Антона. Для этого путь 300 метров необходимо разделить на скорость сближения 30 метров в минуту: 300:30=10 минут. Ответ: через 10 минут.
Выводы
Исходя из сказанного ранее, можно подвести некоторые итоги:
- при решении задач на движение удобно использовать скорость сближения и удаления;
- если речь идет о встречном движении или движении друг от друга, то эти величины находятся путем сложения скоростей объектов;
- если перед нами задача на движение вдогонку, то употребляем действие, обратное сложению, то есть вычитание.
Мы рассмотрели некоторые задачи на движение, как решать, разобрались, познакомились с понятиями "скорость сближения" и "скорость удаления", осталось рассмотреть последний пункт, а именно: как решать задачи на движение по реке?
Течение
Здесь могут встречаться опять же:
- задачи на движение навстречу друг другу;
- движение вдогонку;
- движение в противоположном направлении.
Но в отличие от предыдущих задач, у реки есть скорость течения, которую не стоит игнорировать. Здесь объекты будут двигаться либо по течению реки - тогда эту скорость стоит прибавить к собственной скорости объектов, либо против течения - ее необходимо вычесть из скорости движения объекта.
Пример задачи на движение по реке
Условие: шел по течению со скоростью 120 км в час и вернулся обратно, при этом затратил время меньше на два часа, чем против течения. Какова скорость водного мотоцикла в стоячей воде?" Нам дана скорость течения, равная одному километру в час.
Переходим к решению. Предлагаем составить таблицу для наглядного примера. Примем скорость мотоцикла в стоячей воде за х, тогда скорость по течению равна х+1, а против х-1. Расстояние туда и обратно равняется 120 км. Получается, что время, затраченное на движение против течения равно 120:(х-1), а по течению 120:(х+1). При этом известно, что 120:(х-1) на два часа меньше, чем 120:(х+1). Теперь можем переходить к заполнению таблицы.
Что мы имеем: (120/(х-1))-2=120/(х+1) Домножим каждую часть на (х+1)(х-1);
120(х+1)-2(х+1)(х-1)-120(х-1)=0;
Решаем уравнение:
Замечаем, что здесь два варианта ответа: +-11, так как и -11 и +11 дают в квадрате 121. Но наш ответ будет положительным, поскольку скорость мотоцикла не может иметь отрицательного значения, следовательно, можно записать ответ: 11 км в час. Таким образом, мы нашли необходимую величину, а именно скорость в стоячей воде.
Мы рассмотрели все возможные варианты задач на движение, теперь при их решении у вас не должно возникать проблем и затруднений. Для их решения необходимо узнать основную формулу и такие понятия, как "скорость сближения и удаления". Наберитесь терпения, отработайте эти задания, и успех придет.
>> Урок 27. Движение в противоположных направлениях
1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 6 км, вышли одновременно в противоположных направлениях 2 пешехода. Скорость первого пешехода 3 км/ч, а скорость второго пешехода 5 км/ч. Как изменяется расстояние между ними за 1 час? Чему оно будет равно через 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч? Произойдет ли встреча? Закончи рисунок и заполни таблицу. Запиши формулу зависимости расстояния между пешеходами d от времени движения t.
2. Реши задачу двумя способами. Объясни, какой из них удобнее и почему?
Из двух городов, находящихся на расстоянии 65 км друг от друга, вышли одновременно в противоположных направлениях два автомобиля. Один из них шел со скоростью 80 км/ч, а другой - 110 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут автомобили через 3 часа после выезда?
3. одной пристани одновременно в противоположных направлениях отплыли 2 катера. Через 3 ч расстояние между ними стало равно 168 км. Найди скорость второго катера, если известно, что скорость первого катера составляет 25 км/ч.
4. Составь по схемам взаимно обратные задачи и реши их:
5. Придумай задачу на движение в противоположных направлениях, в которой надо найти:
а) скорость одного из движуицихся объектов;
б) первоначальное расстояние между ними; в) время движения.
6. Из двух городов, удаленных друг от друга на 1680 км, вышли одновременно навстречу друг другу 2 поезда. Первый поезд проходит все это расстояние за 21 ч, а второй поезд - за 28 ч. Через сколько часов поезда встретятся?
7. Подбери выражения, соответствующие данной задаче, и поставь рядом с ним знак "+". Остальные выражения зачеркни.
8. Реши уравнения:
а) (а 16 - 720): 30 = 400 - 392;
б) (95 - 380: b) + 35 = 16 + 94.
9. Переменные х и у связаны зависимостью: у = (х - 2) х + х 3.
| х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| у |
Что ты замечаешь? Попробуй зависимость между переменными х и у выразить более простой формулой.
10. а) Расшифруй высказывание известного американского ученого и предпринимателя Томаса Эдисона, автора свыше 1000 изобретений!
б) Запиши последовательно остатки от деления данных чисел в пустые клетки - и ты узнаешь годы жизни Томаса Эдисона:
1) 76: 15 4) 322: 35 7) 19 203: 96
2) 176: 24 5) 470: 67 8) 74 429: 92
3) 148: 16 6) 609: 75
11. Ледокол 3 дня пробивал себе путь во льдах. В первый день он проплыл всего пути, во второй день - оставшегося пути, а в третий день - оставшиеся 90 км. Какой путь проплыл ледокол за 3 дня пути? Сколько километров он проплыл в первый и во второй день?
12. Составь программу действий и вычисли:
а) (600: 30 - 7) 5 - (24 - 4 4) (32: 16) + 60: 4 10;
б) 500 - (28 5 + 25 4 - 120: 2) : 6 - (28: 14 + 420: 140) 30.
13*. Старинная задача.
Одного мужика спросили, сколько у него денег. Он ответил: "Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а у всех нас ровно 1000 р. Вот и узнайте, сколько у меня денег ".
14*. Игра "Найди неизвестный рисунок".
Петерсон Людмила Георгиевна. Математика. 4 класс. Часть 2. - М.: Издательство "Ювента", 2005, - 64 с.: ил.
Рефераты, домашняя работа по математике скачать , учебники скатать бесплатно, онлайн уроки, вопросы и ответы
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиПредыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства