Способы расчета температуры дебая. Теплоемкость решетки

Температура Принято считать, что нормальная температура тела человека - 36,6 °C. Однако подобное утверждение и верно, и в то же время не верно. Ученые проводили эксперименты по замеру температуры в разных ситуациях и обнаружили, что нет ничего более непостоянного в

Температура

Температура Погубить способно не только пламя. Температура воздуха в горящем здании быстро подскакивает до уровня 600 градусов по Фаренгейту. Жар сушит лёгкие, испепеляет кожу и волосы, доводит одежду до тления. Чем ближе к полу и земле, тем ниже температура. Выбираясь из

Дебая - Шеррера метод

Дебая температура

Температура Дебая определяется следующей формулой:

где h {\displaystyle h} - постоянная Планка , ν D {\displaystyle \nu _{D}} - максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, - постоянная Больцмана .

Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.

Физическая интерпретация

При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая , пропорциональна кубу температуры.

При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти , согласно которому теплоёмкость постоянна и равна 3 N r k B {\displaystyle 3Nrk_{B}} , где N {\displaystyle N} количество элементарных ячеек в теле, r {\displaystyle r} - количество атомов в элементарной ячейке , k B {\displaystyle k_{B}} - постоянная Больцмана .

При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов , количества атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой

где θ D {\displaystyle \theta _{D}} - температура Дебая, а функция

называется функцией Дебая .

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

Оценка температуры Дебая

При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейный закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если q D {\displaystyle q_{D}} радиус такой сферы, то ω D = q D s {\displaystyle \omega _{D}=q_{D}s} , где s {\displaystyle s} скорость звука , называется частотой Дебая . Температура Дебая определяется из соотношения

Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведено в таблице.

Температура Дебая - температура, при которой возбуждаются все моды колебаний в данном твёрдом теле. Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод колебаний, а лишь ведет к увеличению амплитуд уже существующих, т.е. средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт. Температура Дебая - физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел - теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.

Температура Дебая определяется следующей формулой:

где - постоянная Планка, - максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, -постоянная Больцмана. Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты

ещё один ответ про температуру

ДЕБАЯ ТЕМПЕРАТУРА - характеристич. темп-ра твёрдого тела, вводимая соотношением:

где - макс. частота колебаний кристаллич. решётки, определяемая из условий равенства числа колебаний, приходящихся на частотный интервал от 0 до , полному числу колебат. степеней свободы решётки.

При низких темп-pax в кристалле возбуждаются только низкочастотные колебания, частота к-рых . Эти колебания характеризуются линейной зависимостью частоты от волнового вектора , где с- скорость звука (см. Колебания кристаллической решётки). Исходным пунктом теории Дебая является распространение акустич. закона дисперсии на все частоты вплоть до предельной . Поскольку длина звуковой волны должна быть велика по сравнению с постоянной решётки а , то предельная частота по порядку величины равна: . Следовательно, для Д. т. справедлива порядковая оценка:

Более строгая ф-ла для Д. т. имеет вид:

где N - число элементарных ячеек, V - объём тела, - число частиц в элементарной ячейке. Д. т. характеризует мн. свойства твёрдых тел: теплоёмкость,тепло- и электропроводность, упругие свойства, уширение линии рентг. спектров и т. п. Д. т. является характерным масштабом, разделяющим область высоких темп-р , в к-рой колебания кристаллич. решётки можно описывать классич. теорией и где, в частности, справедлив Дюлонга и Пти закон,и область низких темп-р , где становятся существенными квантовомеханич. эффекты.

Зависимость удельного сопротивления металлов от температуры.

Зависимость удельного электрического сопротивления металлов от температуры. Удельное сопротивление металлов при нагревании увеличивается приблизительно по линейному закону (рис. 152):

где - удельное электрическое сопротивление металла при температуре T, - его удельное сопротивление при 0 °С, - температурный коэффициент сопротивления, особый для каждого металла.

С приближением температуры к абсолютному нулю удельное сопротивление монокристаллов становится очень малым. Этот факт свидетельствует о том, что в идеальной кристаллической решетке металла электроны перемещаются под действием электрического поля, не взаимодействуя с ионами решетки. Длина их свободного пробега при этом может достигать значений порядка 1 см, т. е. в 10 7 - 10 8 раз превышает межатомные расстояния в кристалле. Электроны взаимодействуют лишь с ионами, не находящимися в узлах кристаллической решетки.

При повышении температуры возрастает число дефектов в кристаллической решетке из-за тепловых колебаний ионов,- это при водит к возрастанию удельного сопротивления кристалла.

В том, что электрическое сопротивление металлов обусловлено взаимодействиями электронов проводимости с различными дефектами решетки, убеждает и тот факт, что удельное сопротивление кристаллов металлов сильно зависит от наличия в них примесей. Например, введение 1 % примеси марганца увеличивает удельное сопротивление меди в три раза.

вопрос 52 . Общая характеристика теплообмена при течении жидкости в трубах.

Интенсивность теплообмена определяется гидродинамическими условиями развития процесса. Вынужденное течение жидкости характеризуется двумя режимами: ламинарным и турбулентным. Ламинарный режим наблюдается при малых скоростях движения жидкости. Повышение скорости приводит к турбулизации потока. Если величина критерия Рейнольдса меньше 2320, наблюдается ламинарный режим. Развитый турбулентный режим течения устанавливается при значениях
Re > 10 4 .

При ламинарном режиме наблюдается параболическое распределение скоростей по сечению трубы, причем отношение средней скорости к максимальной постоянно и равно

Развитый турбулентный режим характеризуется распределением скоростей близким к усеченной параболе. Вблизи стенки трубы кривая изменяется резко, а в турбулентном ядре потока - полого. Максимальная скорость также наблюдается на оси трубы.

Но такое распределение скоростей наблюдается только после процесса гидродинамической стабилизации, которая наступает на некотором расстояния от входа в трубу. Стабилизация происходит следующим образом. На поверхности трубы у входа в нее образуется динамический пограничный слой, толщина которого увеличивается по мере увеличения расстояния от входа. На каком-то расстоянии Нη (рис. 13.2) происходит смыкание слоев, после чего течение имеет стабилизированный характер. На рисунке 13.2 показана гидродинамическая стабилизация течения жидкости при турбулентном режиме.

Рис. 13.2. Гидродинамическая стабилизация течения жидкости в трубе

Кроме гидродинамической стабилизации при течении жидкости в трубах наблюдается также тепловая стабилизация. Около поверхности трубы, начиная со входа в нее, формируется тепловой пограничный слой, толщина которого увеличивается в направлении движения потока. И на некотором расстоянии от входа в трубу тепловые пограничные слои смыкаются. После смыкания слоев в теплообмене начинает участвовать весь поток.

Для ламинарного режима длина участка тепловой стабилизации может быть достаточно большой. При ламинарном течении перенос тепла от одного слоя жидкости к другому происходит не только путем теплопроводности, но и дополняется переносом тепла в продольном направлении, так как разные слои имеет различную скорость движения. Расчет теплоотдачи в условиях ламинарного режима можно вести с помощью зависимости (13.13)

. (13.13)

Перенос тепла внутри жидкости при турбулентном режиме происходит при интенсивном перемешивании потока. Из-за интенсивного перемешивания температура жидкости внутри ядра потока практически одинакова. Изменение температуры наблюдается лишь внутри тонкого вязкого подслоя у поверхности. Наиболее тщательно теплоотдача при турбулентном режиме была исследована Нуссельтом. На основе анализа и обобщения результатов его экспериментов была получена критериальная зависимость, которую принято считать классической:

. (13.14)

Зависимость (13.14) применима к трубам любой формы поперечного сечения, для всех упругих и капельных жидкостей при Re = 10 4 ...5·10 6 и .

Формула (13.14) значительно упрощается, если в качестве теплоносителя используется воздух или двухатомные газы

. (13.141)

Несколько видоизменяется зависимость (13.14) при движении жидкости в кольцевом зазоре, который возникает в теплообменнике типа «труба в трубе»

. (13.15)

вопрос 53 . Магнитные свойства вещества. Природа диамагнетизма, парамагнетизма и ферромагнетизма.

Магнитное поле может создаваться, ослабляться или усиливаться переменным электрическим полем, электрическими токами в виде потоков заряженных частиц или магнитными моментами частиц.

Конкретные микроскопические структуры и свойства различных веществ (а также их смесей, сплавов, агрегатных состояний, кристаллических модификаций и т. д.) приводят к тому, что на макроскопическом уровне они могут вести себя достаточно разнообразно под действием внешнего магнитного поля (в частности, ослабляя или усиливая его в разной степени).

В связи с этим вещества (и вообще среды) в отношении их магнитных свойств делятся на такие основные группы:

Антиферромагнетики - вещества, в которых установился антиферромагнитный порядок магнитных моментов атомов или ионов: магнитные моменты веществ направлены противоположно и равны по силе.

Диамагнетики - вещества, намагничивающиеся против направления внешнего магнитного поля.

Парамагнетики - вещества, которые намагничиваются во внешнем магнитном поле в направлении внешнего магнитного поля.

Ферромагнетики - вещества, в которых ниже определённой критической температуры (точки Кюри) устанавливается дальний ферромагнитный порядок магнитных моментов.

Ферримагнетики - материалы, у которых магнитные моменты вещества направлены противоположно и не равны по силе.

К перечисленным выше группам веществ в основном относятся обычные твердые или (к некоторым) жидкие вещества, а также газы. Существенно отличается взаимодействие с магнитным полем сверхпроводников и плазмы

Всякое вещество является магнетиком, т. е. оно способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Для понимания механизма этого явления необходимо рассмотреть действие магнитного поля на движущиеся в атоме электроны.

Ради простоты предположим, что электрон в атоме движется по круговой орбите. Если орбита электрона ориентирована относительно вектора произвольным образом, составляя с ним угол α (рис. 1), то можно доказать, что она приходит в такое движение вокруг , при котором вектор маг­нитного момента , сохраняя постоянным угол α, вращается вокруг вектора с некоторой угловой скоростью. Такое движение в механике называется прецессией. Прецессию вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры, совершает, например, диск волчка при замедлении движения.

Магнетики можно разделить на три основные группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Таким образом, электронные орбиты атома под действием внешнего магнитного поля совершают прецессионное движение, которое эквивалентно круговому току. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным полем, то, согласно правилу Ленца, у атома появляется составляющая магнитного поля, направленная противоположно внешнему полю. Наведенные составляющие магнитных полей атомов (молекул) складываются и образуют собственное магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект получил название диамагнитного эффекта, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками.

В отсутствие внешнего магнитного поля диамагнетик немагнитен, поскольку в данном случае магнитные моменты электронов взаимно компенсируются, и суммарный магнитный момент атома [он равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых) составляющих атом электронов] равен нулю. К диамагнетикам относятся многие металлы (например, Bi, Ag, Аu, Сu), большинство органических соединений, смолы, углерод и т.д.

Так как диамагнитный эффект обусловлен действием внешнего магнитного поля на электроны атомов вещества, то диамагнетизм свойствен всем веществам. Однако наряду с диамагнетиками существуют и парамагнетики - вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле по направлению поля.

У парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты электронов не компенсируют друг друга, и атомы (молекулы) парамагнетиков всегда обладают магнитным моментом. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не обладают. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю (полной ориентации препятствует тепловое движение атомов). Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным.

Парамагнетизм (от греч. para – возле, рядом и магнетизм) - свойство веществ во внешнем магнитном поле намагничиваться в направлении этого поля, поэтому внутри парамагнетика к действию внешнего поля прибавляется действие наведенного внутреннего поля.

К парамагнетикам относятся многие щелочные металлы, кислород , оксид азота NO, хлорное железо и др.

В отсутствие внешнего магнитного поля намагниченность парамагнетика , так как векторы разных атомов ориентированы беспорядочно.

При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле происходит преимущественная ориентация собственных магнитных моментов атомов по направлению поля, так что парамагнетик намагничивается. Значения для парамагнетиков положительны () и находятся в пределах , то есть примерно как и у диамагнетиков.

Диамагнетизм (от греч. dia – расхождение и магнетизм) - свойство веществ намагничиваться навстречу приложенному магнитному полю.

При внесении диамагнитного вещества в магнитное поле его атомы приобретают наведенные магнитные моменты. В пределах малого объема ΔV изотропного диамагнетика наведенные магнитные моменты всех атомов одинаковы и направлены противоположно вектору .

Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещения других соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных друг с другом атомов, обладающую степенями свободы.

В § 100 2-го тома мы выяснили, что произвольное колебание струны является суперпозицией гармонических стоячих волн. Следовательно, каждое нормальное колебание струны представляет собой стоячую волну. Аналогично, каждому нормальному колебанию кристаллической решетки соответствует стоячая волна, устанавливающаяся в объеме кристаллического тела.

Действительно, из-за связи между атомами колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Дойдя до границы кристалла, волна отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна. Стоячие волны могут возникать лишь для частот (или длин волн), удовлетворяющих определенным условиям. Если взять кристаллическое тело в виде параллелепипеда со сторонами а, b и с, то эти условия выражаются формулами (5.23).

Число стоячих волн, т. е. нормальных колебаний, частоты которых заключены в интервале от до , определяется выражением (5.26). Объем кристалла V входит в это выражение в виде отдельного множителя. Поэтому можно говорить о числе нормальных колебаний, приходящихся на единицу объема кристалла. В соответствии с (5.27) это число равно

где v - фазовая скорость волны в кристалле. Подчеркнем, что теперь под мы понимаем число стоячих волн, приходящихся на единицу объема; в § 5 это число обозначалось символом Однако в связи с тем, что букву нам придется использовать для обозначения числа атомов в единице объема, целесообразно вместо писать

Формула (48.1) не учитывает возможных видов поляризации волны. В твердой среде вдоль некоторого направления могут распространяться три разные волны с одним и тем же значением о, отличающиеся направлением поляризации: одна продольная и две поперечные с взаимно перпендикулярными направлениями колебаний. В соответствии с этим формулу (48.1) нужно видоизменить следующим образом:

Здесь - фазовая скорость продольных, - поперечных упругих волн. Положим для простоты, что Тогда

Максимальную частоту нормальных колебаний решетки можно найти, приравняв полное число колебаний числу степеней свободы, равному ( - число атомов в единице объема кристалла; напомним, что расчет производится для единицы объема):

Отметим, что в соответствии с (48.3) наименьшая длина волны, возбуждаемая в кристалле, оказывается равной

где d - расстояние между соседними атомами в решетке. Этот результат согласуется с тем, что волны, длина которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не имеют физического смысла.

Исключив из равенств (48.2) и (48.3) скорость v, получим для числа нормальных колебаний в интервале частот приходящегося на единицу объема кристалла, следующее выражение:

Внутренняя энергия единицы объема кристалла может быть представлена в виде

где среднее значение энергии нормального колебания частоты . Подставив выражение (46.1) для для придем к формуле

Здесь -энергия нулевых колебаний кристалла.

Производная от U по Т дает теплоемкость единицы объема кристалла:

Величину , определяемую условием: называют характеристической температурой Дебая. По определению,

Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний.

Введем переменную Тогда выражение для теплоемкости примет вид

где . При верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности . Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число, и теплоемкость С окажется пропорциональной кубу температуры: . Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо.

При , т. е. при , формулу (48.5) можно упростить, положив

Тогда для внутренней энергии получается выражение

а для теплоемкости - значение фигурирующее в законе Дюлонга и Пти.

О согласии теории Дебая с опытом можно судить по рис. 48.1, на котором приведены данные для теплоемкости алюминия и меди ; - классическое значение теплоемкости, получающееся из квантовых формул при . Кривые построены по формуле (48.7), кружками показаны экспериментальные точки.

Формула Дебая хорошо передает ход теплоемкости с температурой лишь для тел с простыми кристаллическими решетками, т. е. для химических элементов и некоторых простых соединений.

К телам с более сложной структурой формула Дебая неприменима. Это вызвано тем, что у таких тел спектр колебаний оказывается чрезвычайно сложным. В рассмотренном нами выше случае простой кристаллической решетки (у которой в элементарной ячейке содержится только один атом) каждому значению волнового вектора к соответствовали три значения собственной частоты колебаний решетки (одно для продольной и два совпадающих друг с другом значения для поперечных волн). Если число атомов в элементарной ячейке кристалла равно , каждому значению к соответствует в общем случае различных значений , следовательно, частота является многозначной функцией волнового вектора, обладающей ветвями. Так, например, в случае одномерной цепочки, построенной из чередующихся атомов двух сортов зависимость о от k имеет вид, показанный на рис. 48.2. Одна из ветвей называется акустической, вторая - оптической. Эти ветви отличаются дисперсией, т. е. характером зависимости от . Акустическая ветвь при убывании k идет в нуль, оптическая ветвь имеет своим пределом конечное значение

В трехмерном случае из ветвей три являются акустическими, остальные оптическими. Акустическим ветвям соответствуют звуковые частоты, оптическим - частоты, лежащие в инфракрасной области спектра. При нормальном колебании акустической частоты колеблются друг относительно друга аналогичные атомы, помещающиеся в различных элементарных ячейках. При нормальных колебаниях оптической частоты колеблются друг относительно друга различные атомы внутри каждой из элементарных ячеек; аналогичные атомы различных ячеек находятся при этом на неизменных расстояниях друг от друга.