Доверительный интервал прогноза. Определения доверительных интервалов прогноза
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Планирование и прогнозирование
в условиях рынка»
на тему: Доверительные интервалы прогноза
Оценка адекватности и точности моделей
Глава 1. Теоретическая часть. 3
Глава 2. Практическая часть. 9
Список используемой литературы.. 13
Глава 1. Теоретическая часть
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
1.1 Доверительные интервалы прогноза
Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.
На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.
Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:
1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;
2. погрешностью оценивания параметров кривых;
3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
где n - длина временного ряда;
L -период упреждения;
y n + L -точечный прогноз на момент n+L;
t a - значение t-статистики Стьюдента;
S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.
Предположим, что тренд характеризуется прямой:
Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:
(1.2.),
где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;
t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;
t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;
Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, 
Тогда доверительный интервал можно представить в виде:
(1.3.),
Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:
(1.4.),
Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:
(1.5.),
(1.6.),
Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
(1.7.),
где y t - фактические значения уровней ряда,
Расчетные значения уровней ряда,
n- длина временного ряда,
k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.
Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения
Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда
Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).
В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.
Таблица 1.1.
Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).
| Линейный тренд | Параболический тренд |
||
| Длина ряда (п) | Период упреждения (L) | длина ряда (п) | период упреждения (L) |
| 7 | 2,6380 2,8748 3,1399 | 7 | 3,948 5,755 8,152 |
| 8 | 2,4631 2,6391 2,8361 | 8 | 3,459 4,754 6,461 |
| 9 | 2,3422 2,4786 2,6310 | 9 | 3,144 4,124 5,408 |
| 10 | 2,2524 2,3614 2,4827 | 10 | 2,926 3,695 4,698 |
| 11 | 2,1827 2,2718 2,3706 | 11 | 2,763 3,384 4,189 |
| 12 | 2,1274 2,2017 2,2836 | 12 | 2,636 3,148 3,808 |
| 13 | 2,0837 2,1463 2,2155 | 13 | 2,536 2,965 3,516 |
| 14 | 2,0462 2,1000 2,1590 | 14 | 2,455 2,830 3,286 |
| 15 | 2,0153 2,0621 2,1131 | 15 | 2,386 2,701 3,100 |
| 16 | 1,9883 2,0292 2,0735 | 16 | 2,330 2,604 2,950 |
| 17 | 1,9654 2,0015 2,0406 | 17 | 2,280 2,521 2,823 |
| 18 | 1,9455 1,9776 2,0124 | 18 | 2,238 2,451 2,717 |
| 19 | 1,9280 1,9568 1,9877 | 19 | 2,201 2,391 2,627 |
| 20 | 1,9117 1,9375 1,9654 | 20 | 2,169 2,339 2,549 |
| 21 | 1,8975 1,9210 1,9461 | 21 | 2,139 2,293 2,481 |
| 22 | 1,8854 1,9066 1,9294 | 22 | 2,113 2,252 2,422 |
| 23 | 1,8738 1,8932 1,9140 | 23 | 2,090 2,217 2,371 |
| 24 | 1,8631 1,8808 1,8998 | 24 | 2,069 2,185 2,325 |
| 25 | 1,8538 1,8701 1,8876 | 25 | 2,049 2,156 2,284 |
Глава 2. Практическая часть
Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании
1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.
Таблица 1.2.
Курс акций фирмы IBM
| 1 | 510 | 11 | 494 | 21 | 523 |
| 2 | 497 | 12 | 499 | 22 | 527 |
| 3 | 504 | 13 | 502 | 23 | 523 |
| 4 | 510 | 14 | 509 | 24 | 528 |
| 5 | 509 | 15 | 525 | 25 | 529 |
| 6 | 503 | 16 | 512 | 26 | 538 |
| 7 | 500 | 17 | 510 | 27 | 539 |
| 8 | 500 | 18 | 506 | 28 | 541 |
| 9 | 500 | 19 | 515 | 29 | 543 |
| 10 | 495 | 20 | 522 | 30 | 541 |
2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а=0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.
Если при анализе развития объекта прогноза есть основания принять два базовых допущения экстраполяции, то процесс экстраполяции заключается в подстановке соответствующей величины периода упреждения в формулу, описывающую тренд. Причем, если по каким-либо соображениям при экстраполяции удобнее начало отсчета времени установить на момент, отличающийся от начального момента, принятого при оценивании параметров уравнения, то для этого в соответствующем многочлене достаточно изменить постоянный член. Так в уравнении прямой при сдвиге начала отсчета времени на т лет вперед постоянный член будет равен a + bm, для параболы второй степени он составит величину а + bт + ст2.
Экстраполяция, вообще говоря, дает точечную прогностическую оценку. Интуитивно ощущается недостаточность такой оценки и необходимость получения интервальной оценки с тем, чтобы прогноз, охватывая некоторый интервал значений прогнозируемой переменной, был бы более надежным. Как уже сказано выше, точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, - явления маловероятное. Соответствующая погрешность имеет следующие источники: выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной или тем более наилучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;
- 1. оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению о пространстве свойственна некоторая неопределенность;
- 2. тренд характеризует некоторый средний уровень ряда, на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом. Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.
Погрешность, связанная со вторым и третьим ее источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный экстраполяционный прогноз преобразуется в интервальный. Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно изменяться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения прогноза. Одна из основных задач, возникающих при экстраполяции тренда, заключается в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в основу расчета доверительного интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда наблюдаемых значений признака. Чем выше эта колеблемость, тем менее определенно положение тренда в пространстве "уровень - время" и тем шире должен быть интервал для вариантов прогноза при одной и той же степени доверия. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно такой измеритель определяют в виде среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) фактических наблюдений от расчетных, полученных при выравнивании динамического ряда. В общем виде среднее квадратическое отклонение от тренда можно выразить как:
В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:
Если t = i + L, то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени. Доверительный интервал для прогноза, очевидно должен учитывать не только неопределенность, связанную с положением тренда, но возможность отклонения от этого тренда. В практике встречаются случаи, когда более или менее обоснованно для экстраполяции можно применить несколько типов кривых. При этом рассуждения иногда сводятся к следующему. Поскольку каждая из кривых характеризует один из альтернативных трендов, то очевидно, что пространство между экстраполируемыми трендами представляет собой некоторую естественную доверительную область для прогнозируемой величины. С таким утверждением нельзя согласиться.
Прежде всего потому, что каждая на возможных линий тренда отвечает некоторой заранее принятой гипотезе развития. Пространство же между трендами не связано ни с одной из них - через него можно провести неограниченное число трендов. Следует также добавить, что доверительный интервал связан с некоторым уровнем вероятности выхода за его границы. Пространство между трендами не связано ни с каким уровнем вероятности, а зависит от выбора типов кривых. К тому же при достаточно продолжительном периоде упреждения это пространство, как правило, становится настолько значительным, что подобный доверительный интервал теряет всякий смысл.
Рисунок 2 - Поиск максимального интервала корреляции
Анимация: Кадров: 20, Количество повторений: 7, Объем: 55,9 Кб
Для сравнения качества решения задач прогнозирования при традиционном и предлагаемом подходе используются доверительные интервалы прогноза для линейного тренда. В качестве примера анализа влияния качественных характеристик временных рядов на глубину прогноза были взяты три временных ряда размерностью n равной 30 с различными колеблемостями вокруг тренда. В итоге вычислений значений площади участков кривых выборочных автокорреляционных функций получились следующие оценки для оптимальной глубины прогноза: для слабоколеблемого ряда - 9 уровней, для среднеколеблемого - 3 уровня, для сильноколеблемого - 1 уровень (Рисунок
Рисунок 3 - Полученные результаты оценки глубины прогноза
Анализ результатов показывает, что даже при средней колеблемости значений ряда вокруг тренда доверительный интервал оказывается весьма широким (при доверительной вероятности 90%) для периода упреждения, превышающего расчетный предлагаемым способом. Уже для упреждения на 4 уровня доверительный интервал составил почти 25% расчетного уровня. Довольно быстро экстраполяция приводит к неопределенным в статистическом смысле результатам. Это доказывает возможность применения предложенного подхода.
Поскольку выше расчет проводился основываясь на оценках величин, представляется возможным построить зависимость оценки глубины экономического прогноза от значений его базы, задав значения временного лага k и соответствующие им значения глубины экономического прогноза.
Таким образом, предложенный новый подход к оценке глубины экономического прогноза синтезирует количественную и качественную характеристики исходных значений динамического ряда и позволяет обоснованно с математической точки зрения задавать период упреждения для экстраполируемых временных рядов.
прогноз экстраполяция стратегическое планирование
Одна из базовых задач, возникающих при прогнозировании, состоит в определении доверительных интервалов прогноза. Интуитивно понятно, что в базе расчета доверительности интервала прогноза должен быть положен измеритель колеблемости ряда. Чем выше эта колеблемость, тем шире интервал для прогноза. Следовательно, вопрос о доверительном интервале прогноза следует начать с рассмотрения измерителя колеблемости. Обычно таким измерителем является среднее квадратическое отклонение:
где - соответственно фактическое и расчетное значения ряда;
f – число степеней свободы, определяемое исходя из числа наблюдений (n ) и числа оцениваемых параметров.
f = n – z,
где z – число оцениваемых параметров.
К примеру, для параболы второй степени f = n – 3, третьей степени f = n – 4 и т.д.
Сумму квадратов отклонений от тренда можно разложить следующим образом:
Последнее выражение можно упростить. Допустим, что начало отсчета находится в середине ряда, тогда , а параметры а и b будут равны:
После преобразований получим:
Разность первых двух членов правой стороны равна сумме квадратов отклонений от средней арифметической, ᴛ.ᴇ. 
.
Таким образом,
Последнее выражение показывает, что сумма квадратов отклонений от линий тренда меньше, чем от средней арифметической.
Сумма квадратов отклонений от линий тренда, ᴛ.ᴇ. и среднее квадратическое отклонение от тренда Sy
является основой при определении средней квадратической ошибки параметров.
Прежде чем приступить к определению доверительного интервала прогноза, следовало бы сделать оговорку. Дело в том, что предположение о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может ни утверждаться и не быть проверено при анализе рядов. Дискуссии еще в 30-40-х годах пролили свет на трудности, связанные с этой проблемой. В итоге, принципиальный новый подход так и не был найден. Все предложения так или иначе связаны с определением доверительного интервала на базе оценки среднего квадратического отклонения членов ряда.
Полученные в ходе оценивания параметры не свободны от погрешности. Расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.
В общем виде доверительный интервал прогноза определяется как
где - средняя квадратическая ошибка;
Расчетное значение у t ;
Значение t -критерия Стьюдента.
В случае если t = I + L , то последнее определит значение доверительного интервала на L единиц времени.
Доверительный интервал прогноза должен учитывать не только неопределенность, но возможность отклонения, ᴛ.ᴇ. диапазон варьирования. В случае если обозначим среднюю квадратическую ошибку как S p , тогда доверительный интервал прогноза составит:
Доверительные интервалы прогноза - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Доверительные интервалы прогноза" 2017, 2018.
Вопрос 4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.
На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать «вилку» возможных значений прогнозируемого показателя, ᴛ.ᴇ. вычислить прогноз интервальный.
Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста͵ может быть вызвано:
1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;
2) погрешностью оценивания параметров кривых;
3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
, (5.26)
где п - длина временного ряда;
L - период упреждения; - точечный прогноз на момент n+L ;
t a - значение t -статистики Стьюдента;
S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.
Предположим, что тренд характеризуется прямой:
Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а 0 приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра а 1 изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S 2 p можно представить в виде:
, (5.27)
где: S y 2 -дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;
t l - время упреждения, для которого делается экстраполяция, t l = n + L ;
t - порядковый номер уровней ряда, t =1, 2,..., п ;
Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, ;
Тогда доверительный интервал можно представить в виде:
. (5.28)
Обозначим корень в выражении (5.28) через К . Значение К зависит только от п и L , ᴛ.ᴇ. от длины ряда и периода упреждения. По этой причине можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:
. (5.29)
Выражение, аналогичное (5.28), можно получить для полинома второго порядка:
(5.30)
. (5.31)
Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
, (5.32)
где: y t - фактические значения уровней ряда,
Расчетные значения уровней ряда,
п - длина временного ряда,
k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения.
Рис. 5.4. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда
Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме бывают определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (к примеру, для модифицированной экспоненты).
В таблице 5.4 приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда п и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (п ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений п : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .
Таблица 5.4
Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Планирование и прогнозирование
в условиях рынка»
на тему: Доверительные интервалы прогноза
Оценка адекватности и точности моделей
Глава 1. Теоретическая часть. 3
Глава 2. Практическая часть. 9
Список используемой литературы.. 13
Глава 1. Теоретическая часть
Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей
1.1 Доверительные интервалы прогноза
Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.
На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.
Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:
1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;
2. погрешностью оценивания параметров кривых;
3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.
Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:
где n - длина временного ряда;
L -период упреждения;
y n + L -точечный прогноз на момент n+L;
t a - значение t-статистики Стьюдента;
S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.
Предположим, что тренд характеризуется прямой:
Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:
(1.2.),
где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;
t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;
t 1 = n + L ;
t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;
Порядковый
номер уровня, стоящего в середине ряда, 
Тогда доверительный интервал можно представить в виде:
(1.3.),
Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:
(1.4.),
Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:
(1.5.),
(1.6.),
Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:
(1.7.),
где y t - фактические значения уровней ряда,
Расчетные значения уровней ряда,
n - длина временного ряда,
k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.
Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.
Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения
Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда
Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.
По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).
В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .
Таблица 1.1.
Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).
|
Линейный тренд |
Параболический тренд |
||
|
Длина ряда (п) |
Период упреждения (L) |
длина ряда (п) |
период упреждения (L) |
| 7 | 2,6380 2,8748 3,1399 | 7 | 3,948 5,755 8,152 |
| 8 | 2,4631 2,6391 2,8361 | 8 | 3,459 4,754 6,461 |
| 9 | 2,3422 2,4786 2,6310 | 9 | 3,144 4,124 5,408 |
| 10 | 2,2524 2,3614 2,4827 | 10 | 2,926 3,695 4,698 |
| 11 | 2,1827 2,2718 2,3706 | 11 | 2,763 3,384 4,189 |
| 12 | 2,1274 2,2017 2,2836 | 12 | 2,636 3,148 3,808 |
| 13 | 2,0837 2,1463 2,2155 | 13 | 2,536 2,965 3,516 |
| 14 | 2,0462 2,1000 2,1590 | 14 | 2,455 2,830 3,286 |
| 15 | 2,0153 2,0621 2,1131 | 15 | 2,386 2,701 3,100 |
| 16 | 1,9883 2,0292 2,0735 | 16 | 2,330 2,604 2,950 |
| 17 | 1,9654 2,0015 2,0406 | 17 | 2,280 2,521 2,823 |
| 18 | 1,9455 1,9776 2,0124 | 18 | 2,238 2,451 2,717 |
| 19 | 1,9280 1,9568 1,9877 | 19 | 2,201 2,391 2,627 |
| 20 | 1,9117 1,9375 1,9654 | 20 | 2,169 2,339 2,549 |
| 21 | 1,8975 1,9210 1,9461 | 21 | 2,139 2,293 2,481 |
| 22 | 1,8854 1,9066 1,9294 | 22 | 2,113 2,252 2,422 |
| 23 | 1,8738 1,8932 1,9140 | 23 | 2,090 2,217 2,371 |
| 24 | 1,8631 1,8808 1,8998 | 24 | 2,069 2,185 2,325 |
| 25 | 1,8538 1,8701 1,8876 | 25 | 2,049 2,156 2,284 |
Глава 2. Практическая часть
Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании
1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.
Таблица 1.2.
Курс акций фирмы IBM
| 1 | 510 | 11 | 494 | 21 | 523 |
| 2 | 497 | 12 | 499 | 22 | 527 |
| 3 | 504 | 13 | 502 | 23 | 523 |
| 4 | 510 | 14 | 509 | 24 | 528 |
| 5 | 509 | 15 | 525 | 25 | 529 |
| 6 | 503 | 16 | 512 | 26 | 538 |
| 7 | 500 | 17 | 510 | 27 | 539 |
| 8 | 500 | 18 | 506 | 28 | 541 |
| 9 | 500 | 19 | 515 | 29 | 543 |
| 10 | 495 | 20 | 522 | 30 | 541 |
2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.
3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка
,
где - период упреждения.
На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:
На 1 день вперед (=1);
На 2 дня вперед (=2).
Решение задания 1.5
1. Определим
Найдем значения экспоненциальной средней при а =0,1.
. а
=0,1 – по условию;
; S 1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;
; S 2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;
; S 3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31
и т.д.
а =0,5 – по условию.
; S 1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;
; S 2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и
т.д.
Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.
Таблица 1.3.
Экспоненциальные средние
|
Экспоненциальная средняя |
Экспоненциальная средняя |
||||
|
а =0,1 |
а =0,5 |
а =0,1 |
а =0,5 |
||
| 1 | 506,4 | 508 | 16 | 505,7 | 513,3 |
| 2 | 505,5 | 502,5 | 17 | 506,1 | 511,7 |
| 3 | 505,3 | 503,2 | 18 | 506,1 | 508,8 |
| 4 | 505,8 | 506,6 | 19 | 507,0 | 511,9 |
| 5 | 506,1 | 507,8 | 20 | 508,5 | 517 |
| 6 | 505,8 | 505,4 | 21 | 509,9 | 520 |
| 7 | 505,2 | 502,7 | 22 | 511,6 | 523,5 |
| 8 | 504,7 | 501,4 | 23 | 512,8 | 523,2 |
| 9 | 504,2 | 500,7 | 24 | 514,3 | 525,6 |
| 10 | 503,4 | 497,8 | 25 | 515,8 | 527,3 |
| 11 | 502,4 | 495,9 | 26 | 518,0 | 532,7 |
| 12 | 502,0 | 497,5 | 27 | 520,1 | 525,8 |
| 13 | 502,0 | 499,7 | 28 | 522,2 | 538,4 |
| 14 | 502,7 | 504,4 | 29 | 524,3 | 540,7 |
| 15 | 505,0 | 514,7 | 30 | 525,9 | 540,9 |
Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А – фактические данные; В – экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С – экспоненциальная средняя при альфа = 0,5
При а =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.
3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.
Прогноз на 1 день вперед (= 1):
Прогноз на 2 дня вперед (= 2):
Список используемой литературы
1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.: МЭСИ, 2003. – 52с.
2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.
3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. – М.: МЭСИ, 1997.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний