Теорема Нётер. Непрерывные пространственно-временные симметрии (глобальные симметрии). Группа Лоренца. Группа Пуанкаре

Симметрия - инвариантность(неизменность) структуры, свойств, формы, состояния системы. относительно данного преобразования. Понятие симметрии неразрывно связано с представлениями о красоте. «Все симметричное автоматически красиво». Однако, в природе может наблюдаться небольшое нарушение симметрии. Состояние физической системы определяется оператором Гамильтона (гамильтонианом) или оператором Лагранжа (лагранжианом) для полей.

Преобразования симметрии для физической системы являются преобразования, не меняющие гамильтониана или лагранжиана системы. В математике такие преобразования составляют группу.

Теорема Нётер: Для каждой физической системы, уравнения которой могут быть получены из вариационного принципа, каждому однопараметрическому непрерывному преобразованию симметрии отвечает один закон сохранения некоторой физической величины.

Теорема Нётер самое универсальное средство, позволяющее находить законы сохранения в лагранжевой классической механике, теории поля, квантовой теории.

Из физических представлений об однородности и изотропии пространства-времени следует, что для любой замкнутой системы действие должно быть инвариантно относительно преобразований группы Пуанкаре. В силу теоремы Нётер это приводит к существованию 10 фундаментальных сохраняющихся величин: энергии, трех компонентов импульса, и 6 компонент 4-момента импульса.

Эти сохраняющиеся физические величины являются генераторами этих преобразований. В физике симметрии делятся на геометрические и внутренние. Геометрические симметрии подразделяются на непрерывные и дискретные. Преобразования, отвечающие геометрическим симметриям, в четырехмерном прострастве-времени содержат пространственные и временные сдвиги, вращения, зеркальные отражения координатных осей.

Непрерывныепространственно-временные симметрии (глобальные симметрии)

1.Перенос (сдвиг) системы, как целого в пространстве понимается как реальный перенос физической системы или параллельный перенос системы отсчета. Симметрия физических законов относительно сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства (однородность пространства). Ему соответствует закон сохранения импульса в замкнутой системе.

2. Изменение начала отсчета времени (сдвиг во времени). Симметрия относительно сдвига во времени означает эквивалентность всех моментов времени (однородность времени). Ему соответствует закон сохранения энергии в замкнутой системе.

3. Поворот системы как целого в пространстве. Симметрия относительно поворотов означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропность пространства). «В пространстве нет выделенных направлений». Ему соответствует закон сохранения углового момента(момента импульса) замкнутой системы.

4.Переход к системе отсчета, движущейся относительно данной системы с постоянной (по величине и направлению) скоростью. Симметрия относительного этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчета. Ему соответствует закон сохранения равномерного и прямолинейного движения центра инерции в инерциальной системе координат.

Эти четыре непрерывные симметрии отражают свойства плоского 4–мерного пространства Минковского с псевдоэвклидовой метрикой. Преобразования 1 и 2 –сдвиги, 3 и 4 –повороты в пространстве Минковского.

Группа Лоренца – группа вещественных линейных однородных преобразований. 4-векторов пространства Минковского М 4 сохраняющих скалярное произведение:

где - метрический тензор в М 4 (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Группа Лоренца является подгруппой группы Пуанкаре (группы симметрии пространства-времени в отсутствие гравитации). Инвариантность действия относительно преобразований группы Лоренца отражает изотропность пространства-времени и влечет за собой сохранение 4-тензора момента.

Группа Лоренца-шестипараметрическая группа Ли. Имеется три независимых пространственных вращения на угол в плоскости :

и три независимых (частных) преобразования Лоренца –гиперболические повороты (бусты ) на угол в плоскости :

здесь и их циклические перестановки: 2,3,1 ; 3,2,1.

Трансформационные свойства физического поля по отношению к преобразованиям группы Лоренца задают спин частицы: скаляру соответствует спин , спинору – спин , вектору спин .

ПУАНКАРЕ ГРУППА

(неоднородная группа Лоренца) - группа всех вещественных преобразований 4-век-торов пространства Минковского М 4 вида где L - преобразование из Лоренца группы, а - 4-вектор смещения (трансляции). Элемент П. г. обычно обозначается {a , L}, а закон композиции имеет вид

П. г. играет чрезвычайно важную роль в релятивистской физике, являясь группой её глобальной симметрии. Она была введена в 1905 А. Пуанкаре (Н. Poincare). Как и группа Лоренца, П. г. имеет четыре компоненты связности, различаемые значениями и знаком, а именно: и . Это - неабелева, некомпактная группа Ли. Наиб. важной является компонента , представляющая собой множество преобразований содержащая единичное преобразование. В дальнейшем речь будет идти именно об этой группе.

Группа - 10-параметрическая; к шести генераторам группы Лоренца добавляются четыре генератора трансляций. Ли алгебра П. г. определяется перестановочными соотношениями для генераторов:

где - метрич. тензор. 10 генераторов П. г. являются осн. динамич. величинами в релятивистской механике. Величину наз. вектором энергии-импульса или 4-импульсом; 3-вектор есть угл. момент. В квантовой теории поля для любого оператора А (х )

В частности, эволюция во времени определяется оператором P 0 , или гамильтонианом системы.

Для П. г. имеется два Казимира оператора, коммутирующих со всеми её генераторами и, следовательно, релятивистски инвариантных. Это p, где псевдовектор а - полностью антисимметричный тензор.

При 0 имеется ещё одна дискретная инвариантная характеристика - знак энергии: с собств. значениями b1.

Как и в случае группы Лоренца, представления П. г. строят с помощью односвязной группы - универсальной накрывающей для группы (см. Группа). Для квантовой теории поля важны унитарные неприводимые представления (см. Представление группы). Согласно требованию релятивистской инвариантности, векторам состояния отвечают т. н. проективные представления, задаваемые с точностью до фазового множителя. Имеет место теорема Вигнера - Баргмана, утверждающая, что любое проективное представление группы, порождается обычным однозначным унитарным представлением группы

Изучение важных для физики унитарных представлений группы сводится к классификации её неприводимых унитарных представлений, т. к. хотя и некомпактна, любое её унитарное представление может быть разложено в прямую сумму (или интеграл) неприводимых представлений.

Группа локально изоморфна группе и имеет те же генераторы и те же операторы Казимира, что и . В зависимости от значений оператора P 2 представления группы могут быть разделены на следующие классы:

1) Р 2 = m 2 > 0.

1а) e = 1 (т. е. Р 0 > 0). Соответствующие представления описывают трансформац. свойства реальных частиц с массой покоя т.

1б) e = -1 (т. е. Р 0 < 0). Эти представления комплексно сопряжены с представлениями класса 1а.

2) Р 2 = 0, P 0.

2а) e=1 ( Р 0 > 0). Соответствующие представления описывают частицы с нулевой массой покоя (нейтрино и фотон).

2б) e = -1 ( Р 0 < 0). Представления этого класса комплексно сопряжены с представлениями класса 2а.

3) Р 2 = -m 2 <0 (т. е. вектор P пространственно подобен). Согласно осн. принципам релятивистской механики, частицы с таким импульсом не могут реально существовать. Однако представления класса 3 также встречаются в квантовой теории поля, напр. при описании трансформац. свойств взаимодействующих полей.

4) P = 0. Все состояния с таким P трансляционно инвариантны. Все унитарные представления этого класса, кроме единичного, бесконечномерны. Единичное представление соответствует вакууму, инвариантному относительно всех преобразований из П. г.

Физ. смысл инварианта выявляется просто при т 2 > 0, Р 0 > 0. В этом случае величина равна квадрату угл. момента М 2 в состоянии покоя, т. е. квадрату спина.

Т. о., неприводимое унитарное представление П. г. характеризуется значениями массы т, спина S изнака энергии (при m 2 > 0).

Лит.: Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Tодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; Новожилов Ю. В., Введение в теорию элементарных частиц, М., 1972; Мишель Л., Шааф М., Симметрия в квантовой физике, пер. с англ., М., 1974; Ба-рут А., Рончка Р., Теория представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, М., 1980; Эллиот Дж., Добер П., Симметрия в физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1983.

• - о возвращении - одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы с инвариантной мерой...

  Физическая энциклопедия

• - Раймон - франц. политич. деятель, умеренный республиканец, представитель монополистич. кругов. Адвокат по профессии. В 1887-1903 - чл. палаты депутатов; в 1903-13 - сенатор...

  Советская историческая энциклопедия

• - президент Франции в 1913 - январе 1920 гг., премьер-министр в 1912 - январе 1913 гг., 1922-24 гг. и 1926-29 гг. Проводил милитаристскую политику...

  Исторический словарь

• - франц. политический и государственный деятель) О вздернутых Врангелем, / о расстрелянном, / о заколотом / память на каждой крымской горе. / Какими пудами / какого золота / оплатите это, господин Пуанкаре? Ирон. М922 ...

  Собственное имя в русской поэзии XX века: словарь личных имён

• - Жюль Анри, французский математик. Автор более 500 работ в различных областях, включая математический АНАЛИЗ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ТОПОЛОГИЮ, теорию ВЕРОЯТНОСТИ и ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - Жюль Анри - французский мыслитель, математик и астроном, автор философской доктрины конвенционализма, труды которого, с одной стороны, завершили построение математики и физики классического периода, а с другой...

  История философии

• - французский политический деятель, один из руководителей французской внешней и внутренней политики в период от кануна первой мировой войны до конца 20-х годов...

  Дипломатический словарь

• - Жюль Анри - фр. математик и физик, один из последних универсалистов, оставивший свой след практически во всех областях физико-математического знания...

  Философская энциклопедия

• - ".....

  Официальная терминология

• - французский политический деятель, род. в 1860 г.; получив юридическое образование в Париже, П. сперва занимался адвокатурой; в течение 1½ лет заведовал канцелярией министерства земледелия...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - знаменитый французский математик, род. в 1854 г. в Нанси. Поступил в 1873 г. в политехническую школу, а в 1875 г. в горную школу, откуда вышел в 1879 г. горным инженером...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - I - французский политический деятель, род. в 1860 г.; получив юридическое образование в Париже, П. сперва занимался адвокатурой; в течение 11/2 лет заведовал канцелярией министерства земледелия...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - Пуанкаре́ Раймон, президент Франции в 1913 — январе 1920, премьер-министр в 1912 — январе 1913, 1922—24 и 1926—29, неоднократно министр. Двоюродный брат Ж. А. Пуанкаре. Проводил милитаристскую политику...
• - президент Франции в 1913 - январе 1920, премьер-министр в 1912 - январе 1913, 1922-24 и 1926-29, неоднократно министр. Проводил милитаристскую политику...

  Большой энциклопедический словарь

• - ...

  Орфографический словарь-справочник

"ПУАНКАРЕ ГРУППА" в книгах

Семья Пуанкаре