Полигоны частот по теории вероятности. Контрольная работа по теории вероятности

Вопрос 1. Маржинальный доход представляет собой: [x] 3. сумму превышения выручки от реализации над суммой переменных затрат в себестоимости реализованной продукции Вопрос 2. Создание центров ответственности позволяет на крупных предприятиях: [x] 1. децентрализовывать ответственность за прибыль Вопрос 3. Управленческий учет отличается от финансового учета тем, что служит: [x] 1. Для внутренних пользователей, обеспечивает управленческий аппарат информацией для планирования, собственно управления и контроля за деятельностью организации. Вопрос 4. Организация управленческого учета на предприятии: [x] 1. зависит от решения администрации Вопрос 5. Источниками информации управленческого учета в отличие от финансового учета могут быть: [x] 1. Данные производственного учета, данные оперативного бухучета, любые документы бухучета либо разрабатываемые в организации документы, связанные с затратами и калькуляцией себестоимости. Вопрос 6. Верно ли утверждение, что система «стандарт-кост» наиболее эффективна при использовании гибких бюджетов: [x] 2. Да. Вопрос 7. Основным объектом управленческого учета является: [x] 3. Место возникновения затрат(цеха), носители затрат (продукт) либо продукция, выпущенная из производства в отчетном месяце, или «товарный» выпуск продукции, а также незавершенное производство; Вопрос 8. Какой вариант нормативного учета затрат может выбрать организация: [x] 3. Существует один нормативный метод и никакой более. Вопрос 9. Система учета по центрам ответственности необходима в условиях: [x] 3. Либо нормативного, либо стандартного. Вопрос 10. Преимущества использования системы «стандарт-кост» состоят в том, что она: [x] 2. Осуществляет планирование и контроль деятельности предприятия. Вопрос 11. Первым в процедуре оперативного планирования: [x] 3. План продаж Вопрос 12. Центры финансовой отчетности - это: [x] 1. структурные единицы предприятия, для которых формируются планы и которые отчитываются за результаты их выполнения Вопрос 13. Центр ответственности представляет собой: [x] 1. Структурные подразделения, которым выделены в определенные полномочия и ответственные за принятие решений. Вопрос 14. Нормативными являются затраты: [x] 2. учитываемые по нормам или нормативным значениям потребляемого ресурса. Вопрос 15. Какую систему бухгалтерского учета использует управленческий учет? [x] 3. Cистему управления производством, которая интегрирует в себе различные подсистемы и методы управления и подчиняет их достижению одной цели. Вопрос 16. В системе «стандарт-кост» расходы сверх установленных норм относятся: [x] 2. На финансовый результат периода возникновения расходов. Вопрос 17. Калькуляционные единицы представляют собой: [x] 2. количественный измеритель объекта калькулирования Вопрос 18. Какие измерители применяет управленческий учет? [x] 3. натуральные, трудовые, денежные Вопрос 19. Переменными считаются статьи издержек: [x] 2. Которые прямо связаны с изменениями объема производства. Вопрос 20. В чем состоят задачи управленческого учета? [x] 2. -формирование достоверной и полной информации о внутрихозяйственных процессах и результатах деятельности и предоставление этой информации руководству предприятия путем сопоставления внутренней финансовой отчетности; Вопрос 21. Параметры решений - это:

[x] 2. внешние и внутренние условия, которые должны быть приняты во внимание при принятии решений и которые "сужают" поле альтернатив Вопрос 22. Для решения задач управленческого учета используются следующие функции:

[x] 2. -координация целей и планов подразделений и предприятия в целом содействие руководству; Вопрос 23. При решении проблемы "отказ от выпуска или продолжение выпуска вида продукции" применяют методику: [x] 2. система "директ-костинг" Вопрос 24. В условиях индивидуального производства индивидуальная выработка рабочих определяется: [x] 3. Расчетным методом(стоимость / количество выработанной продукции) Вопрос 25. Управленческий учет придерживается следующих принципов: [x] 1. - достаточная экономическая и юридическая самостоятельность хоз систем; Вопрос 26. Отклонение в расценках для прямых трудовых затрат вычисляется по формуле:

[x] 2. (фактическая расценка прямых трудовых затрат – плановая расценка прямых трудовых затрат) * фактическое время работы. Вопрос 27. Чем было обусловлено выделение управленческого учета из единой системы бухгалтерского учета: [x] 3. спецификой целей и задач управленческого учета Вопрос 28. В чем состоит роль бухгалтера–аналитика в принятии управленческих решений? [x] 1. в принятии управленческих решений. Вопрос 29. При исчислении сокращенной себестоимости по методу директ-кост общепроизводственные расходы, носящие условно-постоянный характер: [x] 2. относятся на финансовый результат Вопрос 30. Этические стандарты бухгалтера по управленческому учету включают: [x] 1. -коммерческая тайна и корпоративная ответственность; Вопрос 31. Метод учета раскроя по партиям предполагает: [x] 2. периодическое составление отчета о фактическом выпуске готовой продукции и отпущенного материала Вопрос 32. Внутренняя управленческая отчетность используется для целей: [x] 1. Панирования, управления, контроля. Вопрос 33. Создание системы «стандарт-кост» имеет целью: [x] 1. -управление затратами; -установка цен и ценовой политики; -оценка деятельности персонала; -оценка бюджетов; -ценовая политика. Вопрос 34. План производства определяет: [x] 1. виды и количество продукции, которые должны быть выпущены в предстоящем бюджетном (плановом) периоде Вопрос 35. Является ли коммерческой тайной учетная политика в части управленческого учета? [x] 2. Да, является Вопрос 36. В условиях учета возмещения постоянных затрат на производство прямой убыток может быть определен: [x] 1. Как повышение постоянных затрат над маржинальным доходом или в сумме возмещения постоянных затрат Вопрос 37. Система «стандарт-кост» выявляет: [x] 2. отклонение фактических затрат от их плановых (страндартных) значений. Вопрос 38. Релевантными считаются данные о расходах и доходах: [x] 1. относящиеся к принимаемому управленческому решению Вопрос 39. Верно ли утверждение, что нормативные затраты позволяют руководителю работать в режиме «принципа исключений»: [x] 2. Отрицательное исключается - да, т.е. исключается прошлая норма, если существует экономия в смысле нормы. Вопрос 40. Основное требование к предоставлению информации в управленческом учете: [x] 3. Скорость предоставления.

Вопрос 41. Производимый организацией продукт приносит выручку 200 руб./ед. и маржинальную прибыль 80 руб./ед. Постоянные косвенные затраты за период составляют 40000 руб. Величина точки безубыточности для данного периода составит (в ед. продукта): [x] 2. 500

Вопрос 42. Для определения нормативных затрат необходимо обосновать: [x] 1. нормы потребления различных производственных ресурсов на единицу продукции. Вопрос 43. Потребителями информации управленческого учета являются: [x] 2. менеджеры предприятия Вопрос 44. Управленческий учет является подсистемой [x] 2. Бухгалтерского учета. Вопрос 45. Организация системы нормативных затрат предполагает: [x] 3. -наличие нормативного хозяйства; -наличие регламента ведения учета и анализа отклонений. Вопрос 46. Нормативные калькуляции себестоимости используются в следующих целях: [x] 3. обеспечение 2-х функций управления: планирования и контроля. Вопрос 47. Среди принципов нормативного подхода к калькулированию себестоимости можно выделить: [x] 2. Разработку нормативных калькуляций. Вопрос 48. Сколько единиц произведенной и реализованной продукции обеспечит получение прибыли в размере 200 денежных единиц, если цена реализации одного изделия - 16 денежных единиц, переменные затраты на единицу изделия - 6 денежных единиц, постоянные затраты за период - 100 денежных единиц. [x] 3. 30 единиц (16*х – 100 –6*х = 200, 10х = 300, х = 30) Вопрос 49. Понятие «отклонение» означает: [x] 1. Отклонение от норм и нормативов. Вопрос 50. Система «стандарт-кост» в отличие от отечественной системы нормативных затрат: [x] 1. Отличается порядком списания выявленных отклонений стандарт-кост – на финрезультат периода возникновения, не учитывается, сколько материалов передано в производство и сколько осталось на складе, все общее количество в ценах списывается на финрезультат. Вопрос 51. Отклонение по цене используемых материалов свидетельствует: [x] 1. О различии между значениями цен (фактической от нормативной–плановой)

Вопрос 52. Отклонение в цене для прямых материальных затрат вычисляется по формуле: [x] 3. (фактическая цена материалов – плановая цена) *фактическое количество материалов. Вопрос 53. Правила построения внутренней сегментарной отчетности устанавливаются: [x] 1. руководством организации Вопрос 54. "Центр доходов" несет ответственность за: [x] 2. выручку Вопрос 55. Допускается ли в условиях нормативного учета списание отклонений в полной сумме без распределения по объектам калькулирования? [x] 3. Нет Вопрос 56. Бухгалтер, осуществляющий управленческий учет, должен придавать особое значение соблюдению такого этического принципа, как: [x] 1. -коммерческая тайна и корпоративная ответственность; -конфиденциальность информации. Вопрос 57. При принятии управленческого решения, связанного с выбором одного из альтернативных вариантов, необходима информация о: [x] 1. Прогнозе продаж (рентабельности авансируемого капитала). Вопрос 58. Отклонение в количестве для прямых материальных затрат вычисляется по формуле: [x] 3. (фактическое количество – плановое количество) * плановую цену. Вопрос 59. Отклонение в количестве затраченного прямого труда вычисляется по формуле: [x] 2. (фактическое количество затраченного прямого труда – нормативное количество зпт) * фактическую ставку для прямого труда. Вопрос 60. Отклонение в эффективности использования общепроизводственных расходов вычисляется по формуле: [x] 3. ОПР = ОПРпостоян. /ОБЪЕМ ПРОИЗВОДСТВА +ОПРперемен./ ОБЪЕМ ПРОИЗВОДСТВА. Вопрос 61. Идеальные нормативы используют: [x] 3. Идеальных нормативов не бывает Вопрос 62. Для контроля и управления отклонениями в цене применяются следующие методы: [x] 3. Гибкий бюджет.

Вопрос 63. Для контроля и управления отклонениями в количестве применяются следующие методы: [x] 3. Гибкий бюджет. Вопрос 64. Отклонение по времени работы свидетельствует: [x] 1. Об отличии от нормативного значения, о необходимости пересмотра Вопрос 65. Ведется ли в системе «стандарт-кост» текущий учет изменения норм? [x] 1. Да. Вопрос 66. Генеральный (главный) бюджет - это: [x] 1. совокупность планов, составленных для предприятия в целом Вопрос 67. Нормативная себестоимость произведенной продукции, работ, услуг отражается в бухгалтерском учете следующими записями: [x] 1. Д-т 43 К-т 40 Вопрос 68. Фактическая себестоимость выпущенной с производства продукции, работ, услуг отражается в бухгалтерском учете следующими записями: [x] 3. Д-т 40 К-т 20 Вопрос 69. В какой форме отражают отклонение фактических затрат на оплату труда от нормативных затрат при нормативном методе учета затрат на производство? [x] 3. Разрабатывается по каждой производственной операции в сравнении с ее нормативным значением Вопрос 70. Дифференциация баз распределения косвенных затрат предполагает, что: [x] 3. могут использоваться различные базы распределения для различных статей затрат и различных мест возникновения затрат; Вопрос 71. Период планирования - это: [x] 3. временной промежуток, на который составляются и в течение которого реализуются планы Вопрос 72. К обязательным принципам управленческого учета относятся: [x] 2. полезность информации для принятия управленческого решения Вопрос 73. Назовите обязательные условия развития управленческого учета: [x] 2. Экономическая востребовательность. Вопрос 74. Функциональной обязанностью бухгалтера-аналитика является: [x] 2. -координация целей и планов подразделений и предприятия в целом; -содействие руководству; -организация работы по созданию и ведению системы управления учета; -бесперебойное осуществление процессов планирования, контроля экономических результатов деятельности; -обеспечение прозрачности затрат; -создание методической и конструктивной базы по управлению рентабельностью и ликвидностью предприятия; -консультация руководителей по выбору эффективности вариантов действий. Вопрос 75. Обязательна ли организация управленческого учета на предприятии? [x] 2. Нет. Вопрос 76. Трансфертная цена в общем виде определяется: [x] 2. Как внутренняя цена передачи продуктов и услуг одним сегментом другому сегменту того же предприятия. Вопрос 77. Традиционной отечественной бухгалтерской практике более соответствует вариант организации управленческого учета: [x] 2. котловой. Вопрос 78. Центром ответственности, руководитель которого должен контролировать доходы и расходы своего подразделения, является: [x] 1. Структурное подразделение (или вид деятельности)

Вопрос 79. Основная цель управленческого учета - предоставление данных необходимых для: [x] 3. формирование управленческих решений и организации контроля за их исполнением Вопрос 80. В условиях калькулирования полной фактической производственной себестоимости прямые затраты соотносятся: [x] 2. С нормативными значениями затрат Вопрос 81. При увеличении объема выпуска продукции в отчетном периоде постоянные затраты: [x] 3. остаются неизменными Вопрос 82. Отчет менеджера центра инвестиций обязательно включает сведения:

[x] 3. О затратах, доходах, прибыли использованных активов Вопрос 83. Соблюдение требований положений по бухгалтерскому учету, утвержденных приказами Минфина РФ, является обязательным при ведении (какого учета?): [x] 1. Финансового учета. Вопрос 84. Определить отклонение по цене основных материалов при условии: - нормативная цена - 10 д.ед.; - фактическая цена - 8,2 д.ед.; - фактическое количество -1000ед.; -покупочная стоимость- 8 д.ед. [x] 1. благоприятное - 1800 1000ед.* 10 д.ед. -1000ед.* 8,2 д.ед. = 1800 д.ед. Вопрос 85. К расходам периода относят: [x] 3. Текущие затраты, относимые к данному периоду. Вопрос 86. При планируемом объеме реализации продукта в количестве 12000 ед. выручка должна составить 840 000 руб. С помощью метода «гибкого бюджета» определить выручку для объема реализации продукта в количестве 10000 ед.: [x] 3. 700000 Вопрос 87. Значение статей сметы затрат рассчитывается: [x] 3. По нормам расхода ресурсов (по нормативам). Вопрос 88. В составе избыточных бесполезных затрат учитываются: [x] 3. Затраты на незадействованные мощности в производстве Вопрос 89. Объектом отнесения затрат при позаказном калькулировании является: [x] 3. отдельный производственный заказ Вопрос 90. Номенклатура статей затрат: [x] 2. устанавливается организацией самостоятельно Вопрос 91. Одноэлементными являются затраты: [x] 2. вызванные использованием одного вида ресурса Вопрос 92. Информация о затратах в резерве экономических элементов показывает: [x] 1. удельный вес того или иного элемента в общей сумме затрат Вопрос 93. Методы исключения и распределения являются: [x] 1. вариантами попередельного метода; Вопрос 94. Отчет менеджера центра затрат включает в себя: [x] 2. фактические и нормативные значения расхода материальных ресурсов и их остатков на начало и конец отчетного периода Вопрос 95. К какому виду затрат следует отнести затраты на услуги телефонной связи, если они включают фиксированную абонентскую плату и повременный тариф: [x] 3. смешанным; Вопрос 96. В системе управленческого учета обрабатываются данные о хозяйственных фактах: [x] 1. о расходах, доходах и результатах деятельности в необходимых для целей управления аналитических разрезах Вопрос 97. Нормативный метод учета затрат соответствует принципам западной системы управленческого учета: [x] 2. стандарт-кост Вопрос 98. Основными объектами управленческого учета являются: [x] 2. Доходы, расходы, издержки, результаты (прибыли, убытки), центр ответственности и система внутренней отчетности Вопрос 99. Из нижеперечисленных к финансовым планам/бюджетам относят: [x] 4. прогнозный баланс; Вопрос 100. Калькулирование ограниченной себестоимости в большей степени необходимо для: [x] 1. принятия оперативных управленческих решений Вопрос 101. Определить запас прочности организации в натуральных единицах, если фактический выпуск составляет 20 единиц, цена реализации одного изделия - 16 денежных единиц, переменные затраты на одно изделие - 6 денежных единиц, постоянные затраты периода - 100 денежных единиц. [x] 2. 10 единиц Вопрос 102. Косвенными являются затраты: [x] 1. которые не могут быть отнесены в момент возникновения прямо на носитель затрат Вопрос 103. Отклонение переменных затрат между значением по гибкому бюджету и фактическим значением (отклонение по затратам на единицу продукта) определяется по формуле: [x] 1. Фактическое количество реализованной продукции х (Фактическая величина переменных затрат на единицу продукции - Плановая величина переменных затрат на единицу продукции); Вопрос 104. Уровень ответственности центра инвестиций: [x] 2. выше уровня ответственности центра прибыли; Вопрос 105. При увеличении объема выпуска продукции в отчетном периоде как меняются постоянные затраты: [x] 1. Не меняются Вопрос 106. Нормы расхода ресурсов в производстве рассчитываются: [x] 1. от достигнутого, и как разработка технически обоснованных норм Вопрос 107. Обеспечение контролируемости затрат и доходов в условиях учета по центрам ответственности достигается: [x] 3. перераспределением полномочий между менеджерами, возглавляющими центры ответственности Вопрос 108. Уровень самостоятельности и ответственности центра инвестиций: [x] 2. выше уровня ответственности центра прибыли Вопрос 109. График документооборота представляет собой: [x] 1. График движения документов в организации Вопрос 110. Базовые нормативы используются для: [x] 3. Разработки более совершенных форм Вопрос 111. В системе управленческого учета обрабатываются данные о каких хозяйственных фактах? [x] 1. О фактах связанных с производством продукции (калькулирование ресурсов) Вопрос 112. "Расходы на подготовку и освоение производства" - это: [x] 2. статья затрат; Вопрос 113. Бюджет доходов и расходов: [x] 1. отражает структуру и величину доходов и расходов предприятия в целом, отдельных центров ответственности (или направлений деятельности) предприятия и планируемый к получению финансовый результат в предстоящем бюджетном периоде Вопрос 114. Для целей управления в бухгалтерском учете организуется учет расходов по статьям затрат. Перечень статей затрат устанавливается: [x] 2. организацией самостоятельно Вопрос 115. Публикация внутренней управленческой отчетности в средствах массовой информации осуществляется: [x] 5. не осуществляется ни при каких условиях Вопрос 116. "Незавершенное производство" - это: [x] 2. продукция, не прошедшая к концу отчетного периода всех стадий обработки и поэтому не признаваемая готовой продукцией Вопрос 117. Главным инструментом управленческого учета, позволяющим контролировать деятельность центра затрат является: [x] 2. смета затрат Вопрос 118. В условиях массового производства индивидуальная выработка определяется по данным: [x] 2. Нормативной калькуляции

Вопрос 119. Информационное обеспечение управления по отклонениям при нормативном учете достигается: [x] 1. Представлением информации об отклонениях между фактическими и нормативными значениями по видам продукции (отчет менеджера)

Вопрос 120. Используя систему "стандарт-кост", произвести оценку запасов готовой продукции и НЗП на отчетную дату при условии: - фактические затраты на изготовление 1000 ручек составили 4 д.ед.; - нормативные 4,2 д.ед. [x] 3. 4200 д.ед. Вопрос 121. На крупных предприятиях соотношение доходов и затрат измеряется: [x] 2. центрами прибыли Вопрос 122. В список возможных отчетов для "центра расходов" входят, в том числе, следующие: [x] 4. план производства Вопрос 123. Порядок и правила составления и предоставления внутрихозяйственной отчетности регулируется: [x] 1. организациями Вопрос 124. Балансовое уравнение запасов имеет следующий вид: [x] 3. Запасы на начало периода + Поступление запасов в течение периода = Выбытие запасов в течение периода + Запасы на конец периода Вопрос 125. Центр ответственности, руководитель которого должен иметь возможность контролировать прибыль и размер своих активов, является: [x] 3. центром инвестиций Вопрос 126. Объектом калькулирования является: [x] 2. носитель затрат Вопрос 127. К финансовым планам относят: [x] 2. прогнозный баланс Вопрос 128. Определить общее отклонение прямых трудовых затрат из условий: - Фактическая ставка ОТ - 200 руб. за час; - Нормативная ставка ОТ - 198 руб. за час; - Фактическое время работы - 40час; - Нормативное время - 42 часа; - Фактическое время на исправление брака - 3 часа. [x] 3. 284руб. Общее отклонение прямых трудовых затрат = (фактические часы + фактическое время на исправление брака) * фактическая ставка оплаты труда - нормативные часы * нормативная ставка оплаты труда = (40час + 3час) * 200руб. за час - 42час * 198руб. за час = 284руб. Вопрос 129. Отклонение переменных затрат между значением по гибкому бюджету и плановым значением (отклонение по объему выпуска продуктов) определяется по формуле: [x] 2. (Плановое количество реализованной продукции - Фактическое количество реализованной продукции) х Плановая величина переменных затрат на единицу; Вопрос 130. Выбор базы распределения косвенных расходов: [x] 3. определяется организацией самостоятельно Вопрос 131. Нормативные затраты это: [x] 3. тщательно рассчитанные предопределенные затраты в расчете на единицу готовой продукции Вопрос 132. При растущем уровне запасов незавершенного производства и нереализованной продукции финансовый результат при использовании метода «директ-костинг» будет: [x] 3. ниже, чем исчисленный на основе полных затрат Вопрос 133. Конечное сальдо может быть отрицательным: [x] 2. в бюджете доходов и расходов Вопрос 134. Планирование на период до 1 года можно охарактеризовать как: [x] 1. текущее Вопрос 135. Понятие «точка безубыточности» ("точка нулевой прибыли") означает: [x] 1. минимальный объем производства, который необходим для покрытия всех затрат, как переменных, так и постоянных Вопрос 136. Применение для учета материалов нормативного метода по сравнению с методом учета фактических затрат предпочтительнее, поскольку: [x] 1. наличие норм облегчает планирование потребности в производственных ресурсах (оборудование, материалы, персонал) и финансовых средств для приобретения этих ресурсов Вопрос 137. В условиях многоступенчатого учета затрат на проиводство условно-постоянные расходы: [x] 1. относятся на конкретные виды изделий, структурные подразделения, центры ответственности и предприятие целиком Вопрос 138. Процедура планирования начинается с составления: [x] 2. бюджета продаж

Решение.

Строим точки основываясь на данных из таблицы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. Обратите внимание на точки (0; 0) и (13; 0), расположенные на оси абсцисс и имеющие своими абсциссами числа, на 1 меньшее и большее, чем соответственно абсциссы самой левой и самой правой точек. Полигон частот изображен на рисунке.

Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов. Крайние левую и правую точки соединяют с точками оси абсцисс - серединами ближайших интервалов, частоты которых равны нулю. Конечно, в этом случае полигон лишь приближенно отображает зависимость частот от значений аргумента.

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

Пример построения кумуляты

По данным таблицы составить кумулятивный вариационный ряд, для которого построить кумуляту.

Решение.

Cоставим кумулятивный вариационный ряд (см. таблицу ниже), для которого построим кумуляту.

Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны частотам (или относительным частотам).

Если интервалы неравные, то на оси ординат следует откладывать в произвольно выбранном масштабе значения плотности распределения (абсолютной или относительной). Таким образом, высоты прямоугольников, которые мы строим, должны равняться плотностям соответствующих интервалов.

При графическом изображении вариационного ряда с помощью гистограммы плотность изображается так, как если бы она оставалась постоянной внутри каждого интервала. На самом деле, как правило, это не так. Если построить распределение по частям интервалов, то можно убедиться в том, что плотность распределения на различных участках интервала не остается постоянной. Плотность, полученная ранее, представляла лишь некоторую среднюю плотность. Итак, гистограмма изображает не фактическое изменение плотности распределения, а лишь средние плотности распределения на каждом интервале.

Если построена гистограмма интервального распределения, то полигон того же распределения можно получить, если соединить прямолинейными отрезками середины верхних оснований прямоугольников.

Пример построения гистограммы

По результатам тестирования по математике учащихся 7-го класса получены данные о доступности заданий теста (отношение числа учащихся, правильно выполнивших задания, к числу тестировавшихся учащихся), предствленные ниже, в таблице.
Тест содержал 25 заданий. Построить гистограмму.

Решение.

Откладываем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. На них, как на основаниях, строим прямоугольники, высоты которых соответственно равны 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Полученная ступенчатая фигура и является искомой гистограммой.

Пример построения гистограммы

Данные, приведенные в предыдущем примере представим более подробно (см. таблицу ниже.). Построить гистограмму.

26. Понятие выборки. Вариационный ряд. Полигон частот. Выборочная функция распределения. Гистограмма.

Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, на основе обработки статистических данных, полученных в результате наблюдений. Двумя основными задачами математической статистики являются:

Определение способов сбора и группировки этих статистических данных;

Разработка методов анализа полученных данных в зависимости от целей исследования, к которым относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости от других случайных величин и т.д.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о значениях параметров известного распределения.

Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов.

Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматривае-мой совокупности.

Виды выборки:

Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность;

Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описыва­ется случайной величиной X .

Рассмотрим выборку {х 1 ,х 2 ,...,х п } объема п из генеральной совокупности. этой выбор­ки представляют собой значения случайной величины X .

На первом этапе статистической обработки производят ран­жирование выборки, т.е. упорядочивание чисел х 1 ,х 2 ,...,х п по возрастанию.

Различные элементы выборки называются вариантами.

Час­тотой варианты называется число , показывающее, сколь­ко раз эта варианта встречается в выборке.

Частостью, относи­тельной частотой или долей варианты называется число

(1.1)

Частоты и частости называются весами .

Пусть х некоторое число. Тогда количество вариант , значе­ния которых меньше х, называется накопленной частотой, т.е.

(1.2)

Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений п называетсянакопленной частостью:

Ряд вариант, расположенных в порядке возрастания их зна­чений, с соответствующими им весами называется вариацион­ным рядом.

Вариационные ряды бывают:

Дискретные;

Интер­вальные.

Вариационный ряд называется дискретным , если он представляет собой выборку значений дискретной случайной ве­личины.

Ряд называется непрерывным (интервальным) , если он представляет выборку непрерывной случайной величины.

Общий вид дискретного вариационного ряда:

Интер­вальный ряд можно представить таблицей:

Полигон частот. Выборочная функция распределения и гистограмма.

Для наглядного представления о поведении исследуемой случайной величины в выборке можно строить различные графики. Один из них – полигон частот: ломаная, отрезки которой соединяют точки с координатами (x1, n1), (x2, n2),…, (xk, nk), где xiоткладываются на оси абсцисс, а ni– на оси ординат. Если на оси ординат откладывать не абсолютные (ni), а относительные (wi) частоты, то получим полигон относительных частот.

По аналогии с функцией распределения случайной величины можно задать некоторую функцию, относительную частоту события X < x.

Определение 15.1 . Выборочной (эмпирической) функцией распределения называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x. Таким образом,

где nх – число вариант, меньших х, n – объем выборки.

Замечание . В отличие от эмпирической функции распределения, найденной опытным путем, функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. F(x) определяет вероятность события X < x, а F*(x) – его относительную частоту. При достаточно больших п, как следует из теоремы Бернулли, F*(x) стремится по вероятности к F(x).

Из определения эмпирической функции распределения видно, что ее свойства совпадают со свойствами F(x), а именно:

1) 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

2) F*(x) – неубывающая функция.

3) Если х1 – наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х≤ х1; если хк – наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > хк.

Для непрерывного признака графической иллюстрацией служит гистограмма , то есть ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотами – отрезки длиной ni /h (гистограмма частот) или wi /h (гистограмма относительных частот). В первом случае площадь гистограммы равна объему выборки, во втором – единице.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение . Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , n 1), (x 2 , n 2), …, (x k , n k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат – соответствующие им частоты n i . Точки (x i , n i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , w 1), (x 2 , w 2), …, (x k , w k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат w i . Точки (x i , w i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Определение . Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Рис. 7. Гистограмма частот.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна =─ сумме частот вариантi-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.

Определение . Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадьi-го частичного прямоугольника равна =─ относительной частоте вариант, попавших вi-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

n = 3 + 10 + 7 = 20.

Получаем

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.

Найдем плотность частоты :