На тему: «Подобие фигур»
Выполнила:
Проверила:
1. Преобразование подобия
2. Свойства преобразования подобия
3. Подобие фигур
4. Признак подобия треугольников по двум углам
5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
6. Признак подобия треугольников по трем сторонам
7. Подобие прямоугольных треугольников
8. Углы, вписанные в окружность
9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
10. Задачи на тему «Подобие фигур»
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры F в фигуру F" называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X", Y" фигуры F", то X"Y" = k-XY, причем число k - одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.
Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k·OX, где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X", построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F" называются гомотетичными.
Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия
Доказательство. Пусть О - центр гомотетии, k - коэффициент гомотетии, X и Y - две произвольные точки фигуры (рис.3)
Рис.3 Рис.4
При гомотетии точки X и Y переходят в точки X" и Y" на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX" = k·OX, OY" = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ" = kOX, OY" = kOY.
Вычитая эти равенства почленно, получим: OY"-OX" = k (OY- OX).
Так как OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, то Х" Y" = kХY. Значит, /X"Y"/=k /XY/, т.e. X"Y" = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.
Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А 1 , В 1 , С 1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В 1 лежит между точками А 1 и С 1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А 1 В 1 С 1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А 2 и С 2 . Треугольники А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 . Значит, углы ABC и А 1 В 1 С 1 равны, что и требовалось доказать.
Медианы треугольников; 4. , где BH и B1H1 высоты треугольников. §5. Опытная работа Цель опытной работы: выявление методических особенностей изучения темы «Подобные треугольники» в средней школе. Идея: для выявления методических особенностей необходимо провести несколько уроков по разработанной методики, в конце обучения провести контрольную работу, при анализе которой можно судить о...
Позитивизма. Для позитивистов верным и испытанным является только то, что получено с помощью количественных методов. Признают наукой лишь математику и естествознание, а обществознание относят к области мифологии. Неопозитивизм, Слабость педагогики неопозитивисты усматривают в том, что в ней доминируют бесполезные идеи и абстракции, а не реальные факты. Яркий...
Мы уже знаем, что такое равные фигуры: это фигуры, которые можно совместить наложением. Но в жизни мы чаще встречаемся не с равными, а с похожими фигурами. Например, и монета, и Солнце имеют форму круга. Они похожи, но не равны. Такие фигуры называются подобными. На данном уроке мы узнаем, какие фигуры называются подобными и какими свойствами они обладают.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок и ,
Теорема Фалеса
Стороны угла рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части (см. рис.5). То есть:
Аналогичное соотношение можно записать и для суммы длин отрезков:
Рис. 5. Иллюстрация к теореме Фалеса
Рассмотрим два треугольника и , у которых соответствующие углы равны (см. рис. 6):
Рис. 6. Треугольники с равными углами
Стороны, которые лежат против равных углов треугольников, называются сходственными .
Перечислим сходственные стороны: и (лежат против равных углов ), и (лежат против равных углов ), и (лежат против равных углов ).
Определение
Два треугольника и называются подобными , если соответствующие углы равны, а сходственные стороны - пропорциональны:
Причем , где - это коэффициент подобия треугольников .
Из подобия прямоугольных треугольников вытекает такое.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
; ,
или
; .
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
,
или .
3. Свойство биссектрисы треугольника:
биссектриса треугольника (произвольного) делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
На рисунке в BP
- биссектриса .
, или .
РЕФЕРАТ
На тему: «Подобие фигур»
Выполнила:
ученица
Проверила:
1. Преобразование подобия
2. Свойства преобразования подобия
3. Подобие фигур
4. Признак подобия треугольников по двум углам
5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
6. Признак подобия треугольников по трем сторонам
7. Подобие прямоугольных треугольников
8. Углы, вписанные в окружность
9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
10. Задачи на тему «Подобие фигур»
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры Fв фигуру F"называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Yфигуры Fпри преобразовании подобия переходят в точки X", Y"фигуры F",то X"Y" = k-XY, причем число k- одно и то же для всех точек X, Y. Число kназывается коэффициентом подобия. При k = lпреобразование подобия, очевидно, является движением.
Пусть F - данная фигура и О - фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ", равный k·OX, где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X", построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F" называются гомотетичными.
Теорема 1.Гомотетия есть преобразование подобия
Доказательство. Пусть О - центр гомотетии, k - коэффициент гомотетии, X и Y- две произвольные точки фигуры (рис.3)
Рис.3 Рис.4
При гомотетии точки X и Y переходят в точки X" и Y" на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX" = k·OX, OY" = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ" = kOX, OY" = kOY. Вычитая эти равенства почленно, получим: OY"-OX" = k (OY- OX). Так как OY" - OX"= X"Y", OY -OX=XY, то Х"Y" = kХY. Значит, /X"Y"/=k /XY/, т.e. X"Y" = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А 1 , В 1 , С 1 , также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В 1 лежит между точками А 1 и С 1 . Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А 1 В 1 С 1 (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А 2 и С 2 . Треугольники А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А 2 ВС 2 и А 1 В 1 С 1 . Значит, углы ABC и А 1 В 1 С 1 равны, что и требовалось доказать.
3. ПОДОБИЕ ФИГУР
Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F" читается так: «Фигура F подобна фигуре F"».
Докажем, что если фигура F 1 подобна фигуре F 2 , а фигура F 2 подобна фигуре F 3 , то фигуры F 1 и F 3 подобны.
Пусть Х 1 и Y 1 - две произвольные точки фигуры F 1 . Преобразование подобия, переводящее фигуру F 1 в F 2 , переводит эти точки в точки Х 2 , Y 2 , для которых X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 .
Преобразование подобия, переводящее фигуру F 2 в F 3 , переводит точки Х 2 , Y 2 в точки Х 3 , Y 3 , для которых X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 .
Из равенств
X 2 Y 2= kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2
следует, что X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . А это значит, что преобразование фигуры F 1 в F 3 , получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F 1 и F 3 подобны, что и требовалось доказать.
В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А 1 , В - в B 1 и С - в С 1 .
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А 1 В 1 С 1
A=А 1 , В=В 1 , С=С 14. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ
Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1