Тригонометрические формулы для тангенса. Формулы тригонометрии

Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α + β 2 и α - β 2 . Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Формулы суммы и разности для косинусов

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2

Данные формулы справедливы для любых углов α и β . Углы α + β 2 и α - β 2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2

Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму - формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Вывод формулы суммы косинусов

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2

Вывод формулы разности косинусов

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Примеры решения практических задач

Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов. Пусть α = π 2 , β = π 6 . Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

α = π 2 , β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 · 3 2 · 3 2 = 3 2

Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α = 165 ° , β = 75 ° . Вычислим значение разности синусов этих углов.

Пример 2. Применение формулы разности синусов

α = 165 ° , β = 75 ° sin α - sin β = sin 165 ° - sin 75 ° sin 165 - sin 75 = 2 · sin 165 ° - sin 75 ° 2 cos 165 ° + sin 75 ° 2 = = 2 · sin 45 ° · cos 120 ° = 2 · 2 2 · - 1 2 = 2 2

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Я не буду убеждать вас не писать шпаргалки. Пишите! В том числе, и шпаргалки по тригонометрии. Позже я планирую объяснить, зачем нужны шпаргалки и чем шпаргалки полезны. А здесь — информация, как не учить, но запомнить некоторые тригонометрические формулы. Итак — тригонометрия без шпаргалки!Используем ассоциации для запоминания.

1. Формулы сложения:

косинусы всегда «ходят парами»: косинус-косинус, синус-синус. И еще: косинусы — «неадекватны». Им «все не так», поэтому они знаки меняют: «-» на «+», и наоборот.

Синусы — «смешиваются» : синус-косинус, косинус-синус.

2. Формулы суммы и разности:

косинусы всегда «ходят парами». Сложив два косинуса — «колобка», получаем пару косинусов- «колобков». А вычитая, колобков точно не получим. Получаем пару синусов. Еще и с минусом впереди.

Синусы — «смешиваются» :

3. Формулы преобразования произведения в сумму и разность.

Когда мы получаем пару косинусов? Когда складываем косинусы. Поэтому

Когда мы получаем пару синусов? При вычитании косинусов. Отсюда:

«Смешение» получаем как при сложении, так и при вычитании синусов. Что приятнее: складывать или вычитать? Правильно, складывать. И для формулы берут сложение:

В первой и в третьей формуле в скобках — сумма. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Принципиален порядок только для второй формулы. Но, чтобы не путаться, для простоты запоминания мы во всех трех формулах в первых скобках берем разность

а во вторых — сумму

Шпаргалки в кармане дают спокойствие: если забыл формулу, можно списать. А дают уверенность: если воспользоваться шпаргалкой не удастся, формулы можно легко вспомнить.

Формул в тригонометрии много.

Запомнить их механически очень сложно, почти невозможно. На занятиях многие школьники и студенты пользуются распечатками на форзацах учебников и тетрадей, плакатами на стенах, шпаргалками, наконец. А как быть на экзамене?

Однако, если Вы присмотритесь к этим формулам повнимательнее, то обнаружите, что все они взаимосвязаны и обладают определенной симметрией. Давайте проанализируем их с учетом определений и свойств тригонометрических функций, чтобы определить тот минимум, который действительно стоит выучить наизусть.

I группа. Основные тождества

sin 2 α + cos 2 α = 1;

tgα = ____ sinα cosα ; ctgα = ____ cosα sinα ;

tgα·ctgα = 1;

1 + tg 2 α = _____ 1 cos 2 α ; 1 + ctg 2 α = _____ 1 sin 2 α .

Эта группа содержит самые простые и самые востребованные формулы. Большинство учащихся их знает. Но если всё-таки есть трудности, то чтобы запомнить первые три формулы, мысленно представьте себе прямоугольный треугольник с гипотенузой равной единице. Тогда его катеты будут равны, соответственно, sinα по определению синуса (отношение противолежащего катета к гипотенузе) и cosα по определению косинуса (отношение прилежащего катета к гипотенузе).

Первая формула представляет собой теорему Пифагора для такого треугольника - сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (1 2 = 1), вторая и третья - это определения тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему) и котангенса (отношение прилежащего катета к противолежащему).
Произведение тангенса на котангенс равно 1 потому, что котангенс, записанный в виде дроби (формула третья) есть перевернутый тангенс (формула вторая). Последнее соображение, кстати, позволяет исключить из числа формул, которые необходимо обязательно заучить, все последующие длинные формулы с котангенсом. Если в каком-либо сложном задании Вам встретится ctgα, просто замените его на дробь ___ 1 tgα и пользуйтесь формулами для тангенса.

Последние две формулы можно не запоминать досимвольно. Они встречаются реже. И если потребуются, то Вы всегда сможете вывести их на черновике заново. Для этого достаточно подставить вместо тангенса или контангенса их определения через дробь (формулы вторая и третья, соответственно) и привести выражение к общему знаменателю. Но важно помнить, что такие формулы, которые связывают квадраты тангенса и косинуса, и квадраты котангенса и синуса существуют. Иначе, Вы можете не догадаться, какие преобразования необходимы для решения той или иной конкретной задачи.

II группа. Формулы сложения

sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;

sin(α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ;

cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ;

cos(α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ;

tg(α + β) = tgα + tgβ _________ 1 − tgα·tgβ ;

tg(α − β) =

Вспомним свойства четности/нечетности тригонометрических функций:

sin(−α) = − sin(α); cos(−α) = cos(α); tg(−α) = − tg(α).

Из всех тригонометрических функций только косинус является четной функцией и не изменяет свой знак при смене знака аргумента (угла), остальные функции являются нечетными. Нечетность функции, фактически, означает, что знак минус можно вносить и выносить за знак функции. Поэтому, если Вам встретится тригонометрическое выражение с разностью двух углов, всегда можно будет понимать его как сумму положительного и отрицательного углов.

Например, sin(x − 30º) = sin(x + (−30º)).
Дальше пользуемся формулой суммы двух углов и разбираемся со знаками:
sin(x + (−30º)) = sinx ·cos(−30º) + cosx ·sin(−30º) =
= sinx ·cos30º − cosx ·sin30º.

Таким образом все формулы, содержащие разность углов, можно просто пропустить при первом заучивании. Затем стоит научиться восстанавливать их в общем виде сначала на черновике, а потом и мысленно.

Например, tg(α − β) = tg(α + (−β)) = tgα + tg(−β) ___________ 1 − tgα·tg(−β) = tgα − tgβ _________ 1 + tgα·tgβ .

Это поможет в дальнейшем быстрее догадываться о том, какие преобразования нужно применить для решения той или иной задачи из тригонометрии.

Ш группа. Формулы кратных аргументов

sin2α = 2·sinα·cosα ;

cos2α = cos 2 α − sin 2 α ;

tg2α = 2tgα _______ 1 − tg 2 α ;

sin3α = 3sinα − 4sin 3 α ;

cos3α = 4cos 3 α − 3cosα .

Необходимость в использовании формул для синуса и косинуса двойного угла возникает очень часто, для тангенса тоже нередко. Эти формулы следует знать наизусть. Тем более, что трудностей в их заучивании нет. Во-первых, формулы короткие. Во-вторых, их легко контролировать по формулам предыдущей группы, исходя из того, что 2α = α + α.
Например:
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ;
sin(α + α) = sinα·cosα + cosα·sinα;
sin2α = 2sinα·cosα.

Однако, если Вы быстрее выучили эти формулы, а не предыдущие, то можно поступать и наоборот: вспоминать формулу для суммы двух углов можно по соответствующей формуле для двойного угла.

Например, если нужна формула косинуса суммы двух углов:
1) вспоминаем формулу для косинуса двойного угла: cos2x = cos 2 x − sin 2 x ;
2) расписываем её длинно: cos(x + x ) = cosx ·cosx − sinx ·sinx ;
3) заменяем один х на α, второй на β: cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ.

Потренируйтесь аналогично восстанавливать формулы для синуса суммы и тангенса суммы. В ответственных случаях, таких как например ЕГЭ, проверяйте точность восстановленных формул по известным первой четверти: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.

Проверка предыдущей формулы (полученной заменой в строке 3):
пусть α = 60°, β = 30°, α + β = 90°,
тогда cos(α + β) = cos90° = 0, cosα = cos60° = 1/2, cosβ = cos30° = √3_ /2, sinα = sin60° = √3_ /2, sinβ = sin30° = 1/2;
подставляем значения в формулу: 0 = (1/2)·(√3_ /2) − (√3_ /2)·(1/2);
0 ≡ 0, ошибок не обнаружено.

Формулы для тройного угла, на мой взгляд, специально "зубрить" не нужно. Они достаточно редко встречаются на экзаменах типа ЕГЭ. Они легко выводятся из формул, которые были выше, т.к. sin3α = sin(2α + α) . А тем учащимся, которым по каким-то причинам всё же потребуется выучить эти формулы наизусть, советую обратить внимание на их некоторую "симметричность" и запоминать не сами формулы, а мнемонические правила. Например, порядок в котором расположены числа в двух формулах "33433433" и т.п.

IV группа. Сумма/разность - в произведение

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2 ;

sinα − sinβ = 2·sin α − β ____ 2 ·cos α + β ____ 2 ;

cosα + cosβ = 2·cosα + β ____ 2 ·cosα − β ____ 2 ;

cosα − cosβ = −2·sinα − β ____ 2 ·sinα + β ____ 2 ;

tgα + tgβ = sin(α + β) ________ cosα·cosβ ;

tgα − tgβ = sin(α − β) ________ cosα·cosβ .

Воспользовавшись свойствами нечетности функций синус и тангенс: sin(−α) = − sin(α); tg(−α) = − tg(α),
можно формулы для разностей двух функций свести к формулам для их сумм. Например,

sin90º − sin30º = sin90º + sin(−30º) = 2·sin 90º + (−30º) __________ 2 ·cos 90º − (−30º) __________ 2 =

2·sin30º·cos60º = 2·(1/2)·(1/2) = 1/2.

Таким образом, формулы разности синусов и тангенсов не обязательно сразу заучивать наизусть.
С суммой и разностью косинусов дело обстоит сложнее. Эти формулы не взаимозаменяемы. Но опять же, пользуясь четностью косинуса, можно запомнить следующие правила.

Сумма cosα + cosβ не может изменить свой знак ни при каких изменениях знаков углов, поэтому произведение также должно состоять из четных функций, т.е. двух косинусов.

Знак разности cosα − cosβ зависит от значений самих функций, значит знак произведения должен зависеть от соотношения углов, поэтому произведение должно состоять из нечетных функций, т.е. двух синусов.

И всё-таки эта группа формул не самая лёгкая для запоминания. Это тот случай, когда лучше меньше зубрить, но больше проверять. Чтобы не допустить ошибки в формуле на ответственном экзамене, обязательно сначала запишите её на черновике и проверьте двумя способами. Сначала подстановками β = α и β = −α, затем по известным значениям функций для простых углов. Для этого лучше всего брать 90º и 30º, как это было сделано в примере выше, потому что полусумма и полуразность этих значений, снова дают простые углы, и Вы легко можете увидеть, как равенство становится тождеством для верного варианта. Или, наоборот, не выполняется, если Вы ошиблись.

Пример проверки формулы cosα − cosβ = 2·sinα − β ____ 2 ·sinα + β ____ 2 для разности косинусов с ошибкой !

1) Пусть β = α, тогда cosα − cosα = 2·sinα − α _____ 2 ·sinα + α _____ 2 = 2sin0·sinα = 0·sinα = 0. cosα − cosα ≡ 0.

2) Пусть β = − α, тогда cosα − cos(− α) = 2·sinα − (−α) _______ 2 ·sinα + (−α) _______ 2 = 2sinα·sin0 = 0·sinα = 0. cosα − cos(− α) = cosα − cosα ≡ 0.

Эти проверки показали, что функции в формуле использованы правильно, но из-за того, что тождество получалось вида 0 ≡ 0, могла быть пропущена ошибка со знаком или коэффициентом. Делаем третью проверку.

3) Пусть α = 90º, β = 30º, тогда cos90º − cos30º = 2·sin90º − 30º ________ 2 ·sin90º + 30º ________ 2 = 2sin30º·sin60º = 2·(1/2)·(√3_ /2) = √3_ /2.

cos90 − cos30 = 0 − √3_ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.

Ошибка была действительно в знаке и только в знаке перед произведением.

V группа. Произведение - в сумму/разность

sinα·sinβ = 1 _ 2 ·(cos(α − β) − cos(α + β)) ;

cosα·cosβ = 1 _ 2 ·(cos(α − β) + cos(α + β)) ;

sinα·cosβ = 1 _ 2 ·(sin(α − β) + sin(α + β)) .

Само название пятой группы формул подсказывает, что эти формулы являются обратными по отношению к предыдущей группе. Понятно, что в этом случае проще восстановить формулу на черновике, чем учить её заново, увеличивая риск создания "каши в голове". Единственное, на чем имеет смысл заострить внимание для более быстрого восстановления формулы, это следующие равенства (проверьте их):

α = α + β ____ 2 + α − β ____ 2 ; β = α + β ____ 2 − α − β ____ 2 .

Рассмотрим пример: нужно преобразовать произведение sin5x ·cos3x в сумму двух тригонометрических функций.
Поскольку в произведение входят и синус, и косинус, то берём из предыдущей группы формулу для суммы синусов, которую уже выучили, и записываем её на черновике.

sinα + sinβ = 2·sin α + β ____ 2 ·cos α − β ____ 2

Пусть 5x = α + β ____ 2 и 3x = α − β ____ 2 , тогда α = α + β ____ 2 + α − β ____ 2 = 5x + 3x = 8x , β = α + β ____ 2 − α − β ____ 2 = 5x − 3x = 2x .

Заменяем в формуле на черновике значения углов, выраженные через переменные α и β, на значения углов, выраженные через переменную x .
Получим sin8x + sin2x = 2·sin5x ·cos3x

Делим обе части равества на 2 и записываем его на чистовик справа налево sin5x ·cos3x = 1 _ 2 (sin8x + sin2x ). Ответ готов.

В качестве упражнения: Объясните, почему в учебнике формул для преобразования суммы/разности в произведение 6, а обратных (для преобразования произведения в сумму или разность) - всего 3?

VI группа. Формулы понижения степени

cos 2 α = 1 + cos2α _________ 2 ;

sin 2 α = 1 − cos2α _________ 2 ;

cos 3 α = 3cosα + cos3α ____________ 4 ;

sin 3 α = 3sinα − sin3α ____________ 4 .

Первые две формулы этой группы очень нужны. Применяются часто при решении тригонометрических уравнений, в том числе уровня единого экзамена, а также при вычислении интегралов, содержащих подинтегральные функции тригонометрического типа.

Возможно, будет легче запомнить их в следующей "одноэтажной" форме
2cos 2 α = 1 + cos2α;
2 sin 2 α = 1 − cos2α,
а разделить на 2 всегда можно в уме или на черновике.

Необходимость в использовании следующих двух формул (с кубами функций) на экзаменах встречается гораздо реже. В другой обстановке у Вас всегда будет время воспользоваться черновиком. При этом возможны следующие варианты:
1) Если Вы помните последние две формулы III-ей группы, то пользуйтесь ими, чтобы выражать sin 3 α и cos 3 α путем несложных преобразований.
2) Если в последних двух формулах этой группы Вы заметили элементы симметрии, которые способствуют их запоминанию, то записывайте "эскизы" формул на черновике и проверяйте их по значениям основных углов.
3) Если, кроме того, что такие формулы понижения степени существуют, Вы о них ничего не знаете, то решайте задачу поэтапно, исходя из того, что sin 3 α = sin 2 α·sinα и прочих выученных формул. Потребуются формулы понижения степени для квадрата и формулы преобразования произведения в сумму.

VII группа. Половинный аргумент

sin α _ 2 = ± √ 1 − cosα ________ 2 ; _____

cos α _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2 ; _____

tg α _ 2 = ± √ 1 − cosα ________ 1 + cosα . _____

Не вижу смысла в заучивании наизусть этой группы формул в том виде, в котором они представлены в учебниках и справочниках. Если Вы понимаете, что α есть половина от 2α, то этого достаточно, чтобы быстро вывести нужную формулу половинного аргумента, исходя из первых двух формул понижения степени.

Это касается также тангенса половинного угла, формула для которого получается делением выражения для синуса на соответствующее выражение для косинуса.

Не забудьте только при извлечении квадратного корня поставить знак ± .

VIII группа. Универсальная подстановка

sinα = 2tg(α/2) _________ 1 + tg 2 (α/2) ;

cosα = 1 − tg 2 (α/2) __________ 1 + tg 2 (α/2) ;

tgα = 2tg(α/2) _________ 1 − tg 2 (α/2) .

Эти формулы могут оказаться чрезвычайно полезными для решения тригонометрических задач всех видов. Они позволяют реализовать принцип "один аргумент - одна функция", который позволяет делать замены переменных, сводящие сложные тригонометрические выражения к алгебраическим. Недаром эта подстановка названа универсальной.
Первые две формулы учим обязательно. Третью можно получить делением первых двух друг на друга по определению тангенса tgα = sinα ___ cosα

IX группа. Формулы приведения.

Чтобы разобраться с этой группой тригонометрических формул, передите

X группа. Значения для основных углов.

Значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти приведены

Итак, делаем вывод : Формулы тригонометрии знать надо. Чем больше, тем лучше. Но на что тратить своё время и усилия - на заучивание формул или на их восстановление в процессе решения задач, каждый должен решить самостоятельно.

Пример задачи на использование формул тригонометрии

Решить уравнение sin5x ·cos3x − sin8x ·cos6x = 0.

Имеем две разные функции sin() и cos() и четыре! разных аргумента 5x , 3x , 8x и 6x . Без предварительных преобразований свести к простейшим типам тригонометрических уравнений не получится. Поэтому сначала пробуем заменить произведения на суммы или разности функций.
Делаем это так же, как в примере выше (см. раздел ).

sin(5x + 3x ) + sin(5x − 3x ) = 2·sin5x ·cos3x
sin8x + sin2x = 2·sin5x ·cos3x

sin(8x + 6x ) + sin(8x − 6x ) = 2·sin8x ·cos6x
sin14x + sin2x = 2·sin8x ·cos6x

Выражая из этих равенств произведения, подставляем их в уравнение. Получим:

(sin8x + sin2x )/2 − (sin14x + sin2x )/2 = 0.

Умножаем на 2 обе части уравнения, раскрываем скобки и приводим подобные члены

Sin8x + sin2x − sin14x − sin2x = 0;
sin8x − sin14x = 0.

Уравнение значительно упростилось, но решать его так sin8x = sin14x , следовательно 8x = 14x + T, где Т - период, неверно, так как мы не знаем значения этого периода. Поэтому воспользуемся тем, что в правой части равенства стоит 0, с которым легко сравнивать множители в любом выражении.
Чтобы разложить sin8x − sin14x на множители, нужно перейти от разности к произведению. Для этого можно воспользоваться формулой разности синусов, или снова формулой суммы синусов и нечётностью функции синус (см. пример в разделе ).

sin8x − sin14x = sin8x + sin(−14x ) = 2·sin 8x + (−14x ) __________ 2 ·cos 8x − (−14x ) __________ 2 = sin(−3x )·cos11x = −sin3x ·cos11x .

Итак, уравнение sin8x − sin14x = 0 равносильно уравнению sin3x ·cos11x = 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух простейших уравнений sin3x = 0 и cos11x = 0. Решая последние, получаем две серии ответов
x 1 = πn /3, n ϵZ
x 2 = π/22 + πk /11, k ϵZ

Если Вы обнаружили ошибку или опечатку в тексте, сообщите о ней, пожалуйста, на электронный адрес [email protected] . Буду весьма признательна.

Внимание, ©mathematichka . Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте ссылки.

– уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля .

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

1. Синус разности : sin (a-b) = sin a cos (-b) +cos a sin (-b) = sin a cos b -cos a sin b
2. Косинус разности : cos (a-b) = cos a cos (-b) -sin a sin (-b) = cos a cos b +sin a sin b

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

1. Синус двойного угла : sin 2a = sin (a+a) = sin a cos a +cos a sin a = 2sin a cos a
2. Косинус двойного угла : cos 2a = cos (a+a) = cos a cos a -sin a sin a = cos 2 a -sin 2 a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

1. Синус тройного угла : sin 3a = sin (2a+a) = sin 2a cos a +cos 2a sin a = (2sin a cos a )cos a +(cos 2 a -sin 2 a )sin a = 2sin a cos 2 a +sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a cos 2 a -sin 3 a = 3sin a (1-sin 2 a )-sin 3 a = 3sin a -4sin 3 a
2. Косинус тройного угла : cos 3a = cos (2a+a) = cos 2a cos a -sin 2a sin a = (cos 2 a -sin 2 a )cos a -(2sin a cos a )sin a = cos 3 a-sin 2 a cos a -2sin 2 a cos a = cos 3 a-3sin 2 a cos a = cos 3 a-3(1-cos 2 a )cos a = 4cos 3 a-3cos a

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол - острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sin a = 3,а cos a = 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin 2 a +cos 2 a = 1 и разделим его на cos 2 a . Получим:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

Сразу выводится и

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:
cos 2 a = cos 2 a -sin 2 a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos 2a +1 = cos 2 a -sin 2 a +cos 2 a +sin 2 a
2cos 2 a = cos 2 a +1
Выражая cos a через cos 2 a и выполняя замену переменных, получаем:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой - сумму квадратов синуса и косинуса, получим:
cos 2a -1 = cos 2 a -sin 2 a -cos 2 a -sin 2 a
2sin 2 a = 1-cos 2 a

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sin a +sin b . Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sin a +sin b = sin (x+y)+sin (x-y) = sin xcos y+cos xsin y+sin xcos y-cos xsin y = 2sin xcos y. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

Сразу же можно вывести

1. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму : sin a cos b = 0.5(sin (a+b) +sin (a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Начальный этап

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

Сферическая тригонометрия

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание - она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Прямоугольный треугольник

Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.

Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза - это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.

Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.

Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.

Определение

Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза - это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.

Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.

Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.

Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.

Простейшие формулы

В тригонометрии не обойтись без формул - как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.

Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.

Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.

Формулы двойного угла и сложения аргументов

Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих - в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла - полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Ошибки по невнимательности

Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.

Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата - можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.

Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.

В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.

Применение

Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.

В заключение

Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.

Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.

Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение - это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства