3.1. Полярные координаты
На плоскости часто применяется полярная система координат . Она определена, если задана точка O, называемая полюсом , и исходящий из полюса луч (для нас это ось Ox) – полярная ось. Положение точки M фиксируется двумя числами: радиусом (или радиус-вектором) и углом φ между полярной осью и вектором . Угол φ называется полярным углом; измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.
Положение точки в полярной системе координат задается упорядоченной парой чисел (r; φ). У полюса r = 0, а φ не определено. Для всех остальных точек r > 0, а φ определено с точностью до слагаемого кратного 2π. При этом парам чисел (r; φ) и (r 1 ; φ 1) сопоставляется одна и та же точка, если .
Для прямоугольной системы координат xOy декартовы координаты точки легко выражаются через ее полярные координаты следующим образом:
3.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy .
Любому комплексному числу z=(a, b) ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y ), где координата x = a, т.е. действительной части комплексного числа, а координата y = bi – мнимой части.
Плоскость, точками которой являются комплексные числа – комплексная плоскость.
На рисунке комплексному числу z = (a, b) соответствует точка M(x, y) .
Задание. Изобразите на координатной плоскости комплексные числа:
3.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексное число на плоскости имеет координаты точки M (x; y) . При этом:
Запись комплексного числа - тригонометрическая форма комплексного числа.
Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается . Модуль – неотрицательное вещественное число. Для .
Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда z = 0, т.е. a = b = 0 .
Число φ называется аргументом z и обозначается . Аргумент z определен неоднозначно, как и полярный угол в полярной системе координат, а именно с точностью до слагаемого кратного 2π.
Тогда принимаем: , где φ – наименьшее значение аргумента. Очевидно, что
.
При более глубоком изучении темы вводится вспомогательный аргумент φ*, такой, что
Пример 1 . Найти тригонометрическую форму комплексного числа .
Решение. 1) считаем модуль: ;
2) ищем φ: ;
3) тригонометрическая форма:
Пример 2. Найти алгебраическую форму комплексного числа .
Здесь достаточно подставить значения тригонометрических функций и преобразовать выражение:
Пример 3. Найти модуль и аргумент комплексного числа ;
1) ;
2) ; φ – в 4 четверти:
3.4. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме
· Сложение и вычитание удобнее выполнять с комплексными числами в алгебраической форме:
· Умножение – при помощи несложных тригонометрических преобразований можно показать, что при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются: ;
ЛекцияТригонометрическая форма комплексного числа
План
1.Геометрическое изображение комплексных чисел.
2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.
3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M ( a ; b ) (рис.1).
Рисунок 1
б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).
Рисунок 2
Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (рис.3).
Рисунок 3
Тригонометрическая запись комплексных чисел.
Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора с координатами ( a ; b ) (рис.4).
Рисунок 4
Определение . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается или r .
Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .
Определение . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается А rg z или φ .
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π] , то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку .
Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n N .
Пример 11. Вычислите (1 + i ) 100 .
Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.
a = 1, b = 1 .
cos φ = , sin φ = , φ = .
(1+i) 100 = [ (cos + i sin )] 100 = ( ) 100 (cos ·100 + i sin ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .
4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:
если b > о , то ;
В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы , методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
Где – этомодуль комплексного числа , а –аргумент комплексного числа .
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря,модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.
Модуль комплексного числа стандартно обозначают:или
По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедливадля любых значений «а» и «бэ».
Примечание : модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа , как расстояния от точки до начала координат.
Аргументом комплексного числа называетсяугол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа:.
Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.
Аргумент комплексного числа стандартно обозначают:или
Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.
Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.
Пример 7
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,. Выполним чертёж:
На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:
Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна ), аргумент – угол
1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Ясно, как день, обратное проверочное действие:
2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:. Очевидно, что(или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Используя , легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и
аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле:
Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:.
Проверка:
4) И четвёртый интересный случай. Очевидно, что. Формальный расчет по формуле:.
Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно:. Проверка:
Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов , то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить,
что и– это один и тот же угол.
Таким образом, запись принимает вид:
Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:
Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!
В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...» . Это действительно очевидно и легко решается устно.
Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. C модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число. При этом возможны три варианта (их полезно переписать):
1) Если (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле.
2) Если (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.
3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле.
Пример 8
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.
Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить . Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.
Представляем в комплексной форме числа и, первое и третье числа будут для самостоятельного решения.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 2), то
–вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:– числов тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.
Поскольку (случай 1), то(минус 60 градусов).
Таким образом:
–число в тригонометрической форме.
А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем .
Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций , при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол(или 300 градусов):– числов исходной алгебраической форме.
Числа ипредставьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.
В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.
Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:
Где – это модуль комплексного числа, а– аргумент комплексного числа.
Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .
Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент:,. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом:.
Число в показательной форме будет выглядеть так:
Число – так:
Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .
Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме
Алгебраической формой комплексного числа z = (a , b ).называется алгебраическое выражение вида
z = a + bi .
Арифметические операции над комплексными числами z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i , записанными в алгебраической форме, осуществляются следующим образом.
1. Сумма (разность) комплексных чисел
z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i ,
т.е. сложение (вычитание) осуществляются по правилу сложения многочленов с приведением подобных членов.
2. Произведение комплексных чисел
z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙i ,
т.е. умножение производится по обычному правилу умножения многочленов, с учетом того, что i 2 = 1.
3. Деление двух комплексных чисел осуществляется по следующему правилу:
, (z 2 ≠ 0),
т.е. деление осуществляется умножением делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Возведение в степень комплексных чисел определяется следующим образом:
Легко показать, что
Примеры .
1. Найти сумму комплексных чисел z 1 = 2 – i и z 2 = – 4 + 3i.
z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙i )+ (–4 + 3i ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.
2. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 2 – 3i и z 2 = –4 + 5i.
= (2 – 3i ) ∙ (–4 + 5i ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i )+ 2∙5i – 3i∙ 5i = 7+22i.
3. Найти частное z от деления z 1 = 3 – 2на z 2 = 3 – i.
z = .
4. Решить уравнение: , x и y Î R .
(2x + y ) + (x + y )i = 2 + 3i.
В силу равенства комплексных чисел имеем:
откуда x = –1 , y = 4.
5. Вычислить: i 2 , i 3 , i 4 , i 5 , i 6 , i -1 , i -2 .
6. Вычислить , если .
.
7. Вычислить число обратное числу z =3-i .
Комплексные числа в тригонометрической форме
Комплексной плоскостью называется плоскость с декартовыми координатами (x, y ), если каждой точке с координатами (a, b ) поставлено в соответствие комплексное число z = a + bi . При этом ось абсцисс называется действительной осью , а ось ординат – мнимой . Тогда каждое комплексное число a + bi геометрически изображается на плоскости как точка A (a, b ) или вектор .
Следовательно, положение точки А (и, значит, комплексного числа z ) можно задать длиной вектора | | = r и углом j , образованным вектором | | с положительным направлением действительной оси. Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается | z |=r , а угол j называется аргументом комплексного числа и обозначается j = arg z .
Ясно, что | z | ³ 0 и | z | = 0 Û z = 0.
Из рис. 2 видно, что .
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до 2pk, k Î Z .
Из рис. 2 видно также, что если z=a+bi и j=arg z, то
cosj = , sinj = , tgj = .
Если zÎ R и z > 0,то arg z = 0 +2pk ;
если z Î R и z < 0,то arg z = p + 2pk ;
если z = 0, arg z не определен.
Главное значение аргумента определяется на отрезке 0 £ arg z £ 2p,
либо -p £ arg z £ p .
Примеры:
1. Найти модуль комплексных чисел z 1 = 4 – 3i и z 2 = –2–2i.
2. Определить на комплексной плоскости области, задаваемые условиями:
1) | z | = 5; 2) | z | £ 6; 3) | z – (2+i ) | £ 3; 4) 6 £ | z – i | £ 7.
Решения и ответы:
1) | z | = 5 Û Û - уравнение окружности радиусом 5 и с центром в начале координат.
2) Круг радиусом 6 с центром в начале координат.
3) Круг радиусом 3 с центром в точке z 0 = 2 + i .
4) Кольцо, ограниченное окружностями с радиусами 6 и 7 с центром в точке z 0 = i .
3. Найти модуль и аргумент чисел: 1) ; 2) .
1) ; а = 1, b = Þ ,
Þ j 1 = .
2) z 2 = –2 – 2i ; a = –2, b = -2 Þ ,
.
Указание: при определении главного аргумента воспользуйтесь комплексной плоскостью.
Таким образом: z 1 = .
2) , r 2 = 1, j 2 = , .
3) , r 3 = 1, j 3 = , .
4) , r 4 = 1, j 4 = , .