Цилиндр с разными основаниями. Конспект урока по геометрии "цилиндр, его элементы"
Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.
У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.
Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.
Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .
Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).
После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.
Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.
Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh
Площадь полной поверхности цилиндра
Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра. Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).
Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра
Примеры расчета площади поверхности цилиндра
Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.
1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh
S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 34.6 . Всего получено оценок: 990.
Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος - валик, каток) - геометрическое тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность - поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.
В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая - окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.
Другие виды цилиндра - (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.
Призма также является разновидностью цилиндра - с основанием в виде многоугольника.
Площадь поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности
К вычислению площади боковой поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:
В частности, для прямого кругового цилиндра:
, иДля наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:
Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма, к сожалению, не существует.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.
Для прямого кругового цилиндра:
Объём цилиндра
Для наклонного цилиндра существуют две формулы:
где - длина образующей, а - угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра .Для прямого цилиндра , и , и объём равен:
Для кругового цилиндра:
где d - диаметр основания.
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Смотреть что такое "Цилиндр" в других словарях:
- (лат. cylindrus) 1) геометрическое тело, ограниченное с концов двумя кругами, с боков плоскостью, огибающею эти круги. 2) в часовом мастерстве: особого рода рычаг двойного колеса. 3) шляпа, имеющая форму цилиндра. Словарь иностранных слов,… … Словарь иностранных слов русского языка
цилиндр - а, м. cylindre m., нем. Zylinder <, лат. cylindrus <гр. 1. Геометрическое тело, образуемое вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон. Объем цилиндра. БАС 1. Толстота цилиндра равна площади его основанья, помноженной на высоту. Даль … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Муж., греч. прямая стопка, вал; облец, обляк; тело, ограниченное с концов двумя кругами, а с боков гнутою по кругам плоскостью. Толстота цилиндра равна площади его основанья, помноженной на высоту, геом. Паровой цилиндр, халява, труба, в которой… … Толковый словарь Даля
Цилиндрическая поверхность, барабан, вал; шапокляк, шляпа, ролик, рол, дорн, цилиндрик, пойнт, царга, тело, вальц Словарь русских синонимов. цилиндр сущ., кол во синонимов: 22 атактостела (2) … Словарь синонимов
- (от греч. kylindros) в элементарной геометрии геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника около одной стороны: объем цилиндра V=?r2h, а площадь боковой поверхности S = 2?rh. Боковая поверхность цилиндра есть часть цилиндрической… …
Полая деталь с цилиндрической внутренней поверхностью, в которой движется поршень. Одна из основных деталей поршневых машин и механизмов … Большой Энциклопедический словарь
Высокая мужская шляпа из шелкового плюша с небольшими твердыми полями … Большой Энциклопедический словарь
ЦИЛИНДР, твердое тело или поверхность, образуемые вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон в качестве оси. Объем цилиндра, если обозначить его высоту как h, а радиус основания как r, равен pr2h, а площадь изогнутой поверхности 2prh … Научно-технический энциклопедический словарь
ЦИЛИНДР, цилиндра, муж. (от греч. kylindros). 1. Геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольника около одной из его сторон, называемой осью, и имеющее в основаниях круг (мат.). 2. Часть машин (двигателей, насосов, компрессоров и т.д.) в… … Толковый словарь Ушакова
ЦИЛИНДР, а, муж. 1. Геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 2. Колонновидный предмет, напр. часть поршневой машины. 3. Высокая твёрдая шляпа такой формы с небольшими полями. Чёрный ц. | прил.… … Толковый словарь Ожегова
- (Steam cylinder) одна из основных деталей поршневых машин. Выполняется в виде полого круглого Ц., в котором движется поршень. Ц. паровых машин снабжается обычно паровой рубашкой для обогревания его стенок в целях уменьшения конденсации пара.… … Морской словарь
Тема урока: Цилиндр, его элементы.
Цель урока:
Закрепление у учащихся знаний о теле вращения – цилиндре (элементы цилиндра, формулы площади боковой и полной поверхности цилиндра).
Цель ученика: уметь решать типовые задачи на цилиндр в заданиях ЕНТ.
Задачи урока:
1. сформировать навыки решения типовых задач;
2. развивать пространственные представления на примере круглых тел;
3. продолжить формирование логических и графических умений.
Тип урока : комбинированный.
Методы обучения: словесный, практическая деятельность, работа с книгой, проблемный.
Оборудование: доска, таблица №3, набор моделей.
Ход урока
1. Организационный момент:
1. целеполагание
2. психологический настрой.
2. Актуализация опорных знаний.
1) Работа по карточкам.
Учащимся предлагается заполнить лист с заданиями.
Возможен вариант работы с применением копировки (в таком случае один экземпляр сдается учителю, а второй ученик проверяет в ходе дальнейшей работы на уроке).
Карточка.
1. Нанесите на рисунок основные элементы цилиндра.
2
.Изобразите а) осевое сечение цилиндра; б) сечение цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра; в) сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра. Какая фигура получается в каждом случае?
3. Запишите формулы для вычисления площади поверхности цилиндра.
Что можно найти по этим формулам? Что должно быть известно в этих случаях?
Учащиеся сдают листы с заданием.
3. Устная работа по моделям. (с целью обобщения знаний и проверки выполненной работы)
1) Какая фигура называется цилиндром?
Цилиндр – это геометрическое тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих кругов.
2) Почему цилиндр называют телом вращения?
Цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
3) Назовите виды цилиндров?
Наклонные цилиндры, прямые цилиндры, цилиндрические поверхности.
4) Назовите элементы цилиндра.
Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях.
Высота цилиндра - это расстояние между плоскостями его оснований.
Радиус цилиндра – это радиус его основания.
Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).
Образующая цилиндра - это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.
Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра .
5) Что представляет собой развертка цилиндра?
Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C , где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания.6) Как найти площадь боковой поверхности цилиндра?
S б = H · C = 2 π RH
7) Как найти площадь полной поверхности цилиндра?
S п = S б + 2 S = 2 π R (R + H ).
8) Назовите основные виды сечений цилиндра. Какая фигура получается в каждом случае?
Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники.
Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра. В сечении – прямоугольники.
Сечение плоскостью перпендикулярной оси цилиндра . В сечении круги, равные основанию.
9) Приведите примеры использования цилиндров.
Цилиндрическая гастрономия. Цилиндрическая архитектура. Цилиндры фараона (выступление ученика 1-2 мин).
4. Закрепление материала. Решение задач.
У
ченики видят список задач для классной работы. По желанию учащиеся имеют возможность решать с опережением на оценку.
№ 2 . Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) So цилиндра.
№3 Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м 2 , а площадь основания – 5 м 2 . Найдите высоту цилиндра.
№4 Концы отрезка АВ лежат на разных основаниях цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота – h , расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d . Найдите: a ) высоту, если r = 10, d = 8, AB = 13.
№5* Через образующую АА 1 цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен j .
5. Обучающая самостоятельная работа. Самостоятельная работа по вариантам. (Возможна организация парной работы).
Плоскость g , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу Am D с градусной мерой a . Радиус цилиндра равен a , высота равна h , расстояние между осью цилиндра ОО 1 и плоскостью g равно d .
Вариант 2. 1) Составьте план вычисления площади сечения по данным a , h , d .2) Найдите AD, если a =8 см, a = 120° .6. Постановка домашнего задания. Повторить формулы 1 и решать № 25.7. Рефлексивно- оценочный блок. Рефлексия. Что нового вы узнали на уроке?
Чему вы научились?
Какое у вас настроение в конце урока?
Можете ли вы объяснить решение данных задач однокласснику, пропустившему урок сегодня?
Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой - направляющей . Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности .
Прямой цилиндр - это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр .
Круговой цилиндр - цилиндр, основанием которого является круг.
Круглый цилиндр - такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.
Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L , которая равна высоте цилиндра H .
Призма - это частный случай цилиндра.
Формулы нахождения элементов цилиндра.
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
S бок = 2πRH
Площадь полной поверхности прямого кругового цилиндра:
S = S бок + 2S осн = 2 π R(H + R)
Объем прямого кругового цилиндра:
V = S осн H = πR 2 H
Прямой круговой цилиндр со скошенным основанием либо кратко скошенный цилиндр определяют с помощью радиуса основания R , минимальной высоты h 1 и максимальной высоты h 2 .
Площадь боковой поверхности скошенного цилиндра:
S бок = πR(h 1 + h 2)
Площадь оснований скошенного цилиндра.
В сети начнем новую тему, а когда приеду проведем зачет и контрольную работу по теме "Движение и вектора".
- Мы начинаем знакомство с новым классом геометрических тел – тела вращения. Первый представитель этого класса, с которым мы знакомимся – это цилиндр.
- Почему цилиндр называют телом вращения?
Цилиндр, получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
- Цилиндр состоит из двух кругов и множества отрезков.
- Цилиндр – это геометрическое тело, состоящее из двух равных кругов, расположенных в параллельных плоскостях и множества отрезков, соединяющих соответственные точки этих кругов.
- Определения элементов цилиндра :
Основания цилиндра – равные круги, расположенные в параллельных плоскостях
Высота цилиндра - это расстояние между плоскостями его оснований.
Ось цилиндра – это прямая, проходящая через центры основания цилиндра (ось цилиндра является осью вращения цилиндра).
Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение цилиндра является плоскостью симметрии цилиндра). Все осевые сечения цилиндра – равные прямоугольники
Образующая цилиндра - это отрезок соединяющий точку окружности верхнего основания с соответственной точкой окружности нижнего основания. Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра.
Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра .
Радиус цилиндра – это радиус его основания.
Прямой цилиндр – это цилиндр, образующие которого перпендикулярны основанию.
Равновеликий цилиндр – цилиндр, у которого высота равна диаметру (показать равновеликий цилиндр: кнопкой со значком руки перевести модель обратно в интерактивный режим и изменить значение высоты и радиуса у предложенной модели так, чтобы ).
- Вывод формулы площади боковой поверхности.
Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C , где H – высота цилиндра, а C – длина окружности основания. Получим формулы для вычисления площадей боковой S б и полной S п поверхностей: S б = H · C = 2π RH , S п = S б + 2 S = 2π R (R + H ).
- Р.S/ кому интересно попрбуйте пройти по ссылке и посмотреть электронный ресурс про цилиндр для начала на странице установите у себя на ПК модуль ОМS и закачайте модуль. На выскочившей таблице кликните воспроизвести. А дальше по порядку просмотрите все странички.
- ВСЕМ СПАСИБО.
Закрепление
Задача № 1. Вычислить площадь боковой и полной поверхности цилиндра, у которого радиус равен 3 см, а высота 5 см (число пи и ответ округлить до целых).
2. Высота цилиндра равна h , радиус основания R . Найти площадь сечения плоскостью, проведенной параллельно оси цилиндра на, расстоянии a от нее.
Домашнее задание:522, 524, 526.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Гармонические колебания Физика формула частоты колебаний