Пифагоровы тройки. Невероятные числа профессора стюарта

Обучающая : изучить ряд пифагоровых троек, разработать алгоритм их применения в различных ситуациях, составить памятку по их использованию.

Воспитательная : формирование сознательного отношения к учебе, развитие познавательной активности, культуры учебного труда.

Развивающая : развитие геометрической, алгебраической и числовой интуиции, сообразительности, наблюдательности, памяти.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Объяснение нового материала

Учитель: Загадка притягательной силы пифагоровых троек давно волнует человечество. Уникальные свойства пифагоровых троек объясняют их особую роль в природе, музыке, математике. Пифагорово заклинание, теорема Пифагора, остается в мозге миллионов, если не миллиардов, людей. Это – фундаментальная теорема, заучивать которую, заставляют каждого школьника. Несмотря на то, что теорема Пифагора доступна пониманию десятилетних, она является вдохновляющим началом проблемы, при решении которой потерпели фиаско величайшие умы в истории математики, теорема Ферма. Пифагор с острова Самос (см. Приложение 1 , слайд 4 )был одной из наиболее влиятельных и тем не менее загадочных фигур в математике. Поскольку достоверных сообщений о его жизни и работе не сохранилось, его жизнь оказалась окутанной мифами и легендами, и историкам бывает трудно отделить факты от вымысла. Не подлежит сомнению, однако, что Пифагор развил идею о логике чисел и что именно ему мы обязаны первым золотым веком математики. Благодаря его гению, числа перестали использоваться только для счета и вычислений и были впервые оценены по достоинству. Пифагор изучал свойства определенных классов чисел, соотношения между ними и фигуры, которые образуют числа. Пифагор понял, что числа существуют независимо от материального мира, и поэтому на изучении чисел не сказывается неточность наших органов чувств. Это означало, что Пифагор обрел возможность открывать истины, независимые от чьего-либо мнения или предрассудка. Истины более абсолютные, чем любое предыдущее знание. На основе изученной литературы, касающейся пифагоровых троек, нас будет интересовать возможность применения пифагоровых троек при решении задач тригонометрии. Поэтому мы поставим перед собой цель: изучить ряд пифагоровых троек, разработать алгоритм их применения, составить памятку по их использованию, провести исследование по их применению в различных ситуациях.

Треугольник (слайд 14 ), стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, т.е. таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них – египетский треугольник со сторонами (3, 4, 5).

Составим ряд пифагоровых троек путем домножения чисел (3, 4, 5) на 2, на 3, на 4. Получим ряд пифагоровых троек, отсортируем их по возрастанию максимального числа, выделим примитивные.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Ход урока

1. Покрутимся вокруг задач:

1) Используя соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента найдите, если

известно, что .

2) Найдите значение тригонометрических функций угла?, если известно, что:

3) Система тренировочных задач по теме “Формулы сложения”

зная, что sin = 8/17, cos = 4/5, и – углы первой четверти, найдите значение выражения:

зная, что и – углы второй четверти, sin = 4/5, cos = – 15/17, найдите: .

4) Система тренировочных задач по теме “Формулы двойного угла”

a) Пусть sin = 5/13, – угол второй четверти. Найдите sin2, cos2, tg2, ctg2.

b) Известно, что tg? = 3/4, – угол третьей четверти. Найдите sin2, cos2, tg2, ctg2.

c) Известно, что , 0 < < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

d) Известно, что , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) Найдите tg( + ), если известно что cos = 3/5, cos = 7/25, где и – углы первой четверти.

f) Найдите , – угол третьей четверти.

Решаем задачу традиционным способом с использованием основных тригонометрических тождеств, а затем решаем эти же задачи более рациональным способом. Для этого используем алгоритм решения задач с использованием пифагоровых троек. Составляем памятку решения задач с использованием пифагоровых троек. Для этого вспоминаем определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, острого угла прямоугольного треугольника, изображаем его, в зависимости от условий задачи на сторонах прямоугольного треугольника правильно расставляем пифагоровы тройки (рис. 1 ). Записываем соотношение и расставляем знаки. Алгоритм выработан.

Рисунок 1

Алгоритм решения задач

Повторить (изучить) теоретический материал.

Знать наизусть примитивные пифагоровы тройки и при необходимости уметь конструировать новые.

Применять теорему Пифагора для точек с рациональными координатами.

Знать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, уметь изобразить прямоугольный треугольник и в зависимости от условия задачи правильно расставить пифагоровы тройки на сторонах треугольника.

Знать знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от их расположения в координатной плоскости.

Необходимые требования:

знать, какие знаки синус, косинус, тангенс, котангенс имеют в каждой из четвертей координатной плоскости;
знать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника;
знать и уметь применять теорему Пифагора;
знать основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного угла, формулы половинного аргумента;
знать формулы приведения.

С учетом вышеизложенного заполним таблицу (таблица 1 ). Ее нужно заполнять, следуя определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса или с использованием теоремы Пифагора для точек с рациональными координатами. При этом постоянно необходимо помнить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в зависимости от их расположения в координатной плоскости.

Таблица 1

Тройки чисел		sin	cos	tg	ctg
(3, 4, 5)	I ч.
(6, 8, 10)	II ч.			-	-
(5, 12, 13)	III ч.	-	-
(8, 15, 17)	IV ч.	-		-	-
(9, 40, 41)	I ч.

Для успешной работы можно воспользоваться памяткой применения пифагоровых троек.

Таблица 2


(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Решаем вместе .

1) Задача: найдите cos, tg и ctg, если sin = 5/13, если – угол второй четверти.

«Областной центр образования»

Методическая разработка

Использование пифагоровых троек при решении

геометрических задач и тригонометрических заданий ЕГЭ

г. Калуга, 2016

I. Введение

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: a2+ b2= c2 . Однако не Пифагор открыл теорему, носящую его имя. Она была известна еще раньше, но, возможно, только как факт, выведенный из измерений. Надо думать, Пифагор знал это, но нашел доказательство.

Существует бесчисленное множество натуральных чисел a, b, c , удовлетворяющих соотношению a2+ b2= c2 .. Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника – будем называть их пифагоровыми треугольниками.

Цель работы: изучить возможность и эффективность применения пифагоровых троек для решения задач школьного курса математики, заданий ЕГЭ.

Исходя из цели работы, поставлены следующие задачи :

Изучить историю и классификацию пифагоровых троек. Проанализировать задачи с применением пифагоровых троек, имеющиеся в школьных учебниках и встречающиеся в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. Оценить эффективность применения пифагоровых троек и их свойств для решения задач.

Объект исследования : пифагоровы тройки чисел.

Предмет исследования : задачи школьного курса тригонометрии и геометрии, в которых используются пифагоровы тройки.

Актуальность исследования . Пифагоровы тройки часто используются в геометрии и тригонометрии, знание их избавит от ошибок в вычислениях и экономит время.

II. Основная часть. Решение задач с помощью пифагоровых троек.

2.1.Таблица троек пифагоровых чисел (по Перельману)

Пифагоровы числа имеют вид a = m·n , , где m и n – некоторые взаимно простые нечетные числа.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

Один из «катетов» должен быть кратным трем.

Один из «катетов» должен быть кратным четырем.

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

В книге «Занимательная алгебра» приводится таблица пифагоровых троек, содержащих числа до ста, не имеющих общих множителей.

		32+42=52
		52+122=132
		72+242=252
		92+402=412
		112+602=612
		132+842=852
		152+82=172
		212 +202=292
		332+562=652
		392+802=892
		352+122=372
		452+282=532
		552+482=732
		652+722=972
		632+162=652
		772+362=852

2.2. Классификация пифагоровых троек по Шустрову.

Шустровым была обнаружена такая закономерность: если все пифагоровы треугольники распределить по группам, то для нечетного катета x, четного y и гипотенузы z справедливы следующие формулы:

х = (2N-1)·(2n+2N-1); y = 2n·(n+2N-1); z = 2n·(n+2N-1)+(2N-1) 2, где N – номер семейства и n – порядковый номер треугольника в семействе.

Подставляя в формулу в место N и n любые целые положительные числа, начиная с единицы, можно получить, все основные пифагоровы тройки чисел, а также кратные определенного вида. Можно составить таблицу всех пифагоровых троек по каждому семейству.

2.3. Задачи по планиметрии

Рассмотрим задачи из различных учебников по геометрии и выясним, насколько часто встречаются пифагоровы тройки в этих заданиях. Тривиальные задачи на нахождение третьего элемента по таблице пифагоровых троек рассматривать не будем, хотя они тоже встречаются в учебниках. Покажем, как свести решение задачи, данные которой не выражены натуральными числами, к пифагоровым тройкам.

Рассмотрим задачи из учебника по геометрии для 7-9 класса .

№ 000. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по катетам а =, b =.

Решение. Умножим длины катетов на 7, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 4. Недостающий элемент 5, который делим на 7. Ответ .

№ 000. В прямоугольнике ABCD найдите BC, если CD=1,5, AC=2,5.

https://pandia.ru/text/80/406/images/image007_0.gif" width="240" height="139 src=">

Решение. Решим прямоугольный треугольник АСD. Умножим длины на 2, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 5, Недостающий элемент 4, который делим на 2. Ответ: 2.

При решении следующего номера проверять соотношение a2+ b2= c2 совершенно необязательно, достаточно воспользоваться пифагоровыми числами и их свойствами.

№ 000. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:

а) 6,8,10 (пифагорова тройка 3,4.5) – да;

Один из катетов прямоугольного треугольника должен делиться на 4. Ответ: нет.

в) 9,12,15 (пифагорова тройка 3,4.5) – да;

г) 10,24,26 (пифагорова тройка 5,12.13) – да;

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти. Ответ: нет.

ж) 15, 20, 25 (пифагорова тройка 3,4.5) – да.

Из тридцати девяти заданий данного параграфа (теорема Пифагора) двадцать два решаются устно с помощью пифагоровых чисел и знания их свойств.

Рассмотрим задачу № 000 (из раздела «Дополнительные задачи»):

Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9 см, DА=15 см, АС=12 см.

В задаче надо проверить соотношение a2+ b2= c2 и доказать, что данный четырехугольник состоит из двух прямоугольных треугольников (обратная теорема). А знание пифагоровых троек: 3, 4, 5 и 5, 12, 13, избавляет от вычислений.

Приведем решения нескольких задач из учебника по геометрии для 7-9 класса .

Задача 156 (з). Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

Решение. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Пифагорова тройка 9,40 и 41. Следовательно, медиана равна 20,5.

Задача 156 (и). Боковые стороны треугольника равны: а = 13 см, b = 20 см, а высота hс = 12 см. Найдите основание с.

Задача (КИМы ЕГЭ). Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота ВH равна12 и известно, что sin А=, sin С=left">

Решение. Решаем прямоугольный ∆ АСК: sin А=, ВH=12 , отсюда АВ=13,АК=5 (Пифагорова тройка 5,12,13). Решаем прямоугольный ∆ ВСH: ВH =12, sin С===https://pandia.ru/text/80/406/images/image015_0.gif" width="12" height="13">3=9 (Пифагорова тройка 3,4,5). Радиус находим по формуле r ===4. Ответ.4.

2.4. Пифагоровы тройки в тригонометрии

Основное тригонометрическое тождество – частный случай теоремы Пифагора: sin2a + cos2a = 1; (a/c) 2 + (b/c)2 =1. Поэтому некоторые тригонометрические задания легко решаются устно с помощью Пифагоровых троек.

Задачи, в которых требуется по заданному значению функции найти значения остальных тригонометрических функций, можно решить без возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Все задания этого типа в школьном учебнике алгебры (10-11) Мордковича (№ 000-№ 000) можно решить устно, зная всего несколько пифагоровых троек: 3,4,5 ; 5,12,13 ; 8,15,17 ; 7,24,25 . Рассмотрим решения двух заданий.

№ 000 а). sin t = 4/5, π/2< t < π.

Решение . Пифагорова тройка: 3, 4, 5. Следовательно, cos t = -3/5; tg t = -4/3,

№ 000 б). tg t = 2,4, π< t < 3π/2.

Решение. tg t = 2,4=24/10=12/5. Пифагорова тройка 5,12,13. Учитывая знаки, получаем sin t = -12/13, cos t = -5/13, ctg t = 5/12.

3. Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ

а) cos (arcsin 3/5)=4/5 (3, 4, 5)

б) sin (arccos 5/13)=12/13 (5, 12, 13)

в) tg (arcsin 0,6)=0,75 (6, 8, 10)

г) ctg (arccos 9/41) =9/40 (9, 40, 41)

д) 4/3 tg (π–arcsin (–3/5))= 4/3 tg (π+arcsin 3/5)= 4/3 tg arcsin 3/5=4/3·3/4=1

е) проверьте верность равенства:

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2.

Решение. arcsin 4/5 + arcsin 5/13 + arcsin 16/65 = π/2

arcsin 4/5 + arcsin 5/13 = π/2 - arcsin 16/65

sin (arcsin 4/5 + arcsin 5/13) = sin (arсcos 16/65)

sin (arcsin 4/5) · cos (arcsin 5/13) + cos (arcsin 4/5) · sin (arcsin 5/13) = 63/65

4/5 · 12/13 + 3/5 · 5/13 = 63/65

III. Заключение

В геометрических задачах часто приходится решать прямоугольные треугольники, иногда несколько раз. Проанализировав задания школьных учебников и материалов ЕГЭ, можно сделать вывод, что в основном используются тройки: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25; 9, 40, 41; 8,15,17; которые легко запомнить. При решении некоторых тригонометрических заданий классическое решение с помощью тригонометрических формул и большим количеством вычислений занимает время, а знание пифагоровых троек избавит от ошибок в вычислениях и сэкономит время для решения более трудных задач на ЕГЭ.

Библиографический список

1. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений / [ и др.]; под ред. . – 8-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2007. – 315 с. : ил.

2. Перельман алгебра. – Д.: ВАП, 1994. – 200 с.

3. Рогановский: Учеб. Для 7-9 кл. с углубл. изучением математики общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения, - 3-е изд. – Мн.; Нар. Асвета, 2000. – 574 с.: ил.

4. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике. / Сост. . – М.: Изд-во УРАО, 2001. – 384 с.

5. Журнал «Математика в школе» №1, 1965 год.

6. Контрольно-измерительные материалы ЕГЭ.

7. Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /, и др. – 13-е изд.. – М. : Просвещение,2003. – 384 с. : ил.

8. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ , и др. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993, - 207 с.: ил.

Перельман алгебра. – Д.: ВАП, 1994. – 200 с.

Журнал «Математика в школе» №1, 1965 год.

Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразовательных учреждений /, и др. – 13-е изд.. – М. : Просвещение,2003. – 384 с. : ил.

Рогановский: Учеб. Для 7-9 кл. с углубл. изучением математики общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения, - 3-е изд. – Мн.; Нар. Асвета, 2000. – 574 с.: ил.

Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для общеобразовательных учреждений / [ и др.]; под ред. . – 8-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2007. – 315 с. : ил., стр.18.

Свойства

Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно , при домножении x , y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной , если она не может быть получена таким способом, то есть - взаимно простые числа .

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи , можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

См. также

Ссылки

Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение . - 2008. - В. 12. - С. 105-125.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пифагоровы числа" в других словарях:

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Большой Энциклопедический словарь

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, например тройка чисел: 3, 4, 5. * * * ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА, тройки таких натуральных чисел, что… … Энциклопедический словарь

Тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора (см. Пифагора теорема), для этого достаточно, чтобы они… …

Тройки целых положительных чисел х, у,z, удовлетворяющих уравнению x2+у 2=z2. Все решения этого уравнения, а следовательно, и все П. ч. выражаются формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, где а, b произвольные целые положительные числа (а>b). П. ч … Математическая энциклопедия

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон к рого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Естествознание. Энциклопедический словарь

В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2. Содержание 1 Свойства 2 Примеры … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб». Содержание… … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Различают следующие виды фигурных чисел: Линейные числа числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их… … Википедия

- «Парадокс числа пи» шутка на тему математики, имевшая хождение в среде студентов до 80 х годов (фактически, до массового распространения микрокалькуляторов) и была связана с ограниченной точностью вычислений тригонометрических функций и… … Википедия

- (греч. arithmetika, от arithmys число) наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение… … Большая советская энциклопедия

Книги

Архимедово лето, или История содружества юных математиков. Двоичная система счисления , Бобров Сергей Павлович. Двоичная система счисления, "Ханойская башня", ход коня, магические квадраты, арифметический треугольник, фигурные числа, сочетания, понятие о вероятностях, лента Мёбиуса и бутылка Клейна.…

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к еще одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) - проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора , а ее решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (1.2.1), - называются пифагоровыми тройками . В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами x , y и целочисленной гипотенузой z .

Частные решения задачи Пифагора были известны в глубокой древности. В папирусе времен фараона Аменемхета I (ок. 2000 до н. э.), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношением сторон (). По мнению крупнейшего немецкого историка математики М. Кантора (1829 - 1920), в Древнем Египте существовала особая профессия гарпедонаптов - «натягивателей веревок», которые во время торжественной церемонии закладки храмов и пирамид размечали прямые углы с помощью веревки, имеющей 12 (= 3 + 4 + 5) равноотстоящих узлов. Способ построения прямого угла гарпедонаптами очевиден из рисунка 36.

Надо сказать, что с Кантором категорически не согласен другой знаток древней математики - ван дер Варден, хотя сами пропорции древнеегипетской архитектуры свидетельствуют в пользу Кантора. Как бы то ни было, сегодня прямоугольный треугольник с отношением сторон называется египетским .

Как отмечалось на с. 76, сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. Помимо тривиальной тройки, получаемой из египетской (3, 4, 5) умножением на 15 (45, 60, 75), здесь есть и весьма сложные пифагоровы тройки, такие, как (3367, 3456, 4825) и даже (12709, 13500, 18541)! Нет никаких сомнений, что эти числа были найдены не простым перебором, а по неким единым правилам.

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (1.2.1) в натуральных числах был поставлен и решен только пифагорейцами. Общая постановка какой бы то ни было математической задачи была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (1.2.1) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. Попробуем реконструировать эти решения.

Ясно, что уравнение (1.2.1) Пифагор мыслил не в аналитической форме, а в виде квадратного числа , внутри которого нужно было отыскать квадратные числа и . Число естественно было представить в виде квадрата со стороной y на единицу меньше стороны z исходного квадрата, т. е. . Тогда, как легко видеть из рисунка 37 (именно видеть!), для оставшегося квадратного числа должно выполняться равенство . Таким образом, мы приходим к системе линейных уравнений

Складывая и вычитая эти уравнения, находим решение уравнения (1.2.1):

Легко убедиться в том, что полученное решение дает натуральные числа только при нечетных . Таким образом, окончательно имеем

И т. д. Это решение традиция связывает с именем Пифагора.

Заметим, что система (1.2.2) может быть получена и формально из уравнения (1.2.1). В самом деле,

откуда, полагая , приходим к (1.2.2).

Ясно, что решение Пифагора найдено при достаточно жестком ограничении () и содержит далеко не все пифагоровы тройки. Следующим шагом можно положить , тогда , так как только в этом случае будет квадратным числом. Так возникает система также будет пифагоровой тройкой. Теперь может быть доказана основная

Теорема. Если p и q взаимно простые числа разной четности , то все примитивные пифагоровы тройки находятся по формулам

» заслуженного профессора математики Уорикского университета, известного популяризатора науки Иэна Стюарта, посвященной роли чисел в истории человечества и актуальности их изучения в наше время.

Пифагорова гипотенуза

Пифагоровы треугольники имеют прямой угол и целочисленные стороны. У простейшего из них самая длинная сторона имеет длину 5, остальные - 3 и 4. Всего существует 5 правильных многогранников. Уравнение пятой степени невозможно решить при помощи корней пятой степени - или любых других корней. Решетки на плоскости и в трехмерном пространстве не имеют пятилепестковой симметрии вращения, поэтому такие симметрии отсутствуют и в кристаллах. Однако они могут быть у решеток в четырехмерном пространстве и в занятных структурах, известных как квазикристаллы.

Гипотенуза самой маленькой пифагоровой тройки

Теорема Пифагора гласит, что самая длинная сторона прямоугольного треугольника (пресловутая гипотенуза) соотносится с двумя другими сторонами этого треугольника очень просто и красиво: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Традиционно мы называем эту теорему именем Пифагора, но на самом деле история ее достаточно туманна. Глиняные таблички позволяют предположить, что древние вавилоняне знали теорему Пифагора задолго до самого Пифагора; славу первооткрывателя принес ему математический культ пифагорейцев, сторонники которого верили, что Вселенная основана на числовых закономерностях. Древние авторы приписывали пифагорейцам - а значит, и Пифагору - самые разные математические теоремы, но на самом деле мы представления не имеем о том, какой математикой занимался сам Пифагор. Мы даже не знаем, могли ли пифагорейцы доказать теорему Пифагора или просто верили в то, что она верна. Или, что наиболее вероятно, у них были убедительные данные о ее истинности, которых тем не менее не хватило бы на то, что мы считаем доказательством сегодня.

Доказательства Пифагора

Первое известное доказательство теоремы Пифагора мы находим в «Началах» Евклида. Это достаточно сложное доказательство с использованием чертежа, в котором викторианские школьники сразу узнали бы «пифагоровы штаны»; чертеж и правда напоминает сохнущие на веревке подштанники. Известны буквально сотни других доказательств, большинство из которых делает доказываемое утверждение более очевидным.

// Рис. 33. Пифагоровы штаны

Одно из простейших доказательств - это своего рода математический пазл. Возьмите любой прямоугольный треугольник, сделайте четыре его копии и соберите их внутри квадрата. При одной укладке мы видим квадрат на гипотенузе; при другой - квадраты на двух других сторонах треугольника. При этом ясно, что площади в том и другом случае равны.

// Рис. 34. Слева: квадрат на гипотенузе (плюс четыре треугольника). Справа: сумма квадратов на двух других сторонах (плюс те же четыре треугольника). А теперь исключите треугольники

Рассечение Перигаля - еще одно доказательство-пазл.

// Рис. 35. Рассечение Перигаля

Существует также доказательство теоремы с использованием укладки квадратов на плоскости. Возможно, именно так пифагорейцы или их неизвестные предшественники открыли эту теорему. Если взглянуть на то, как косой квадрат перекрывает два других квадрата, то можно увидеть, как разрезать большой квадрат на куски, а затем сложить из них два меньших квадрата. Можно увидеть также прямоугольные треугольники, стороны которых дают размеры трех задействованных квадратов.

// Рис. 36. Доказательство мощением

Есть интересные доказательства с использованием подобных треугольников в тригонометрии. Известно по крайней мере пятьдесят различных доказательств.

Пифагоровы тройки

В теории чисел теорема Пифагора стала источником плодотворной идеи: найти целочисленные решения алгебраических уравнений. Пифагорова тройка - это набор целых чисел a, b и c, таких что

Геометрически такая тройка определяет прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами.

Самая маленькая гипотенуза пифагоровой тройки равна 5.

Другие две стороны этого треугольника равны 3 и 4. Здесь

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Следующая по величине гипотенуза равна 10, потому что

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Однако это, по существу, тот же треугольник с удвоенными сторонами. Следующая по величине и по-настоящему другая гипотенуза равна 13, для нее

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклид знал, что существует бесконечное число различных вариантов пифагоровых троек, и дал то, что можно назвать формулой для нахождения их всех. Позже Диофант Александрийский предложил простой рецепт, в основном совпадающий с евклидовым.

Возьмите любые два натуральных числа и вычислите:

их удвоенное произведение;

разность их квадратов;

сумму их квадратов.

Три получившихся числа будут сторонами пифагорова треугольника.

Возьмем, к примеру, числа 2 и 1. Вычислим:

удвоенное произведение: 2 × 2 × 1 = 4;

разность квадратов: 22 - 12 = 3;

сумма квадратов: 22 + 12 = 5,

и мы получили знаменитый треугольник 3–4–5. Если взять вместо этого числа 3 и 2, получим:

удвоенное произведение: 2 × 3 × 2 = 12;

разность квадратов: 32 - 22 = 5;

сумму квадратов: 32 + 22 = 13,

и получаем следующий по известности треугольник 5 - 12 - 13. Попробуем взять числа 42 и 23 и получим:

удвоенное произведение: 2 × 42 × 23 = 1932;

разность квадратов: 422 - 232 = 1235;

сумма квадратов: 422 + 232 = 2293,

никто никогда не слышал о треугольнике 1235–1932–2293.

Но эти числа тоже работают:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

В диофантовом правиле есть еще одна особенность, на которую уже намекали: получив три числа, мы можем взять еще одно произвольное число и все их на него умножить. Таким образом треугольник 3–4–5 можно превратить в треугольник 6–8–10, умножив все стороны на 2, или в треугольник 15–20–25, умножив все на 5.

Если перейти на язык алгебры, правило приобретает следующий вид: пусть u, v и k - натуральные числа. Тогда прямоугольный треугольник со сторонами

2kuv и k (u2 - v2) имеет гипотенузу

Существуют и другие способы изложения основной идеи, но все они сводятся к описанному выше. Этот метод позволяет получить все пифагоровы тройки.

Правильные многогранники

Существует ровным счетом пять правильных многогранников. Правильный многогранник (или полиэдр) - это объемная фигура с конечным числом плоских граней. Грани сходятся друг с другом на линиях, именуемых ребрами; ребра встречаются в точках, именуемых вершинами.

Кульминацией евклидовых «Начал» является доказательство того, что может быть только пять правильных многогранников, то есть многогранников, у которых каждая грань представляет собой правильный многоугольник (равные стороны, равные углы), все грани идентичны и все вершины окружены равным числом одинаково расположенных граней. Вот пять правильных многогранников:

тетраэдр с четырьмя треугольными гранями, четырьмя вершинами и шестью ребрами;

куб, или гексаэдр, с 6 квадратными гранями, 8 вершинами и 12 ребрами;

октаэдр с 8 треугольными гранями, 6 вершинами и 12 ребрами;

додекаэдр с 12 пятиугольными гранями, 20 вершинами и 30 ребрами;

икосаэдр с 20 треугольными гранями, 12 вершинами и 30 ребрами.

// Рис. 37. Пять правильных многогранников

Правильные многогранники можно найти и в природе. В 1904 г. Эрнст Геккель опубликовал рисунки крохотных организмов, известных как радиолярии; многие из них по форме напоминают те самые пять правильных многогранников. Возможно, правда, он немного подправил природу, и рисунки не отражают полностью форму конкретных живых существ. Первые три структуры наблюдаются также в кристаллах. Додекаэдра и икосаэдра в кристаллах вы не найдете, хотя неправильные додекаэдры и икосаэдры там иногда попадаются. Настоящие додекаэдры могут возникать в виде квазикристаллов, которые во всем похожи на кристаллы, за исключением того, что их атомы не образуют периодической решетки.

// Рис. 38. Рисунки Геккеля: радиолярии в форме правильных многогранников

// Рис. 39. Развертки правильных многогранников

Бывает интересно делать модели правильных многогранников из бумаги, вырезав предварительно набор соединенных между собой граней - это называется разверткой многогранника; развертку складывают по ребрам и склеивают соответствующие ребра между собой. Полезно добавить к одному из ребер каждой такой пары дополнительную площадку для клея, как показано на рис. 39. Если такой площадки нет, можно использовать липкую ленту.

Уравнение пятой степени

Не существует алгебраической формулы для решения уравнений 5-й степени.

В общем виде уравнение пятой степени выглядит так:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Проблема в том, чтобы найти формулу для решений такого уравнения (у него может быть до пяти решений). Опыт обращения с квадратными и кубическими уравнениями, а также с уравнениями четвертой степени позволяет предположить, что такая формула должна существовать и для уравнений пятой степени, причем в ней, по идее, должны фигурировать корни пятой, третьей и второй степени. Опять же, можно смело предположить, что такая формула, если она существует, окажется очень и очень сложной.

Это предположение в конечном итоге оказалось ошибочным. В самом деле, никакой такой формулы не существует; по крайней мере не существует формулы, состоящей из коэффициентов a, b, c, d, e и f, составленной с использованием сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корней. Таким образом, в числе 5 есть что-то совершенно особенное. Причины такого необычного поведения пятерки весьма глубоки, и потребовалось немало времени, чтобы в них разобраться.

Первым признаком проблемы стало то, что, как бы математики ни старались отыскать такую формулу, какими бы умными они ни были, они неизменно терпели неудачу. Некоторое время все считали, что причины кроются в неимоверной сложности формулы. Считалось, что никто просто не может как следует разобраться в этой алгебре. Однако со временем некоторые математики начали сомневаться в том, что такая формула вообще существует, а в 1823 г. Нильс Хендрик Абель сумел доказать обратное. Такой формулы не существует. Вскоре после этого Эварист Галуа нашел способ определить, решаемо ли уравнение той или иной степени - 5-й, 6-й, 7-й, вообще любой - с использованием такого рода формулы.

Вывод из всего этого прост: число 5 особенное. Можно решать алгебраические уравнения (при помощи корней n-й степени для различных значений n) для степеней 1, 2, 3 и 4, но не для 5-й степени. Здесь очевидная закономерность заканчивается.

Никого не удивляет, что уравнения степеней больше 5 ведут себя еще хуже; в частности, с ними связана такая же трудность: нет общих формул для их решения. Это не означает, что уравнения не имеют решений; это не означает также, что невозможно найти очень точные численные значения этих решений. Все дело в ограниченности традиционных инструментов алгебры. Это напоминает невозможность трисекции угла при помощи линейки и циркуля. Ответ существует, но перечисленные методы недостаточны и не позволяют определить, каков он.

Кристаллографическое ограничение

Кристаллы в двух и трех измерениях не имеют 5-лучевой симметрии вращения.

Атомы в кристалле образуют решетку, то есть структуру, которая периодически повторяется в нескольких независимых направлениях. К примеру, рисунок на обоях повторяется по длине рулона; кроме того, он обычно повторяется и в горизонтальном направлении, иногда со сдвигом от одного куска обоев к следующему. По существу, обои - это двумерный кристалл.

Существует 17 разновидностей обойных рисунков на плоскости (см. главу 17). Они различаются по типам симметрии, то есть по способам сдвинуть жестко рисунок таким образом, чтобы он точно лег сам на себя в первоначальном положении. К типам симметрии относятся, в частности, различные варианты симметрии вращения, где рисунок следует повернуть на определенный угол вокруг определенной точки - центра симметрии.

Порядок симметрии вращения - это то, сколько раз можно повернуть тело до полного круга так, чтобы все детали рисунка вернулись на первоначальные позиции. К примеру, поворот на 90° - это симметрия вращения 4-го порядка*. Список возможных типов симметрии вращения в кристаллической решетке вновь указывает на необычность числа 5: его там нет. Существуют варианты с симметрией вращения 2, 3, 4 и 6-го порядков, но ни один обойный рисунок не имеет симметрии вращения 5-го порядка. Симметрии вращения порядка больше 6 в кристаллах тоже не бывает, но первое нарушение последовательности происходит все же на числе 5.

То же происходит с кристаллографическими системами в трехмерном пространстве. Здесь решетка повторяет себя по трем независимым направлениям. Существует 219 различных типов симметрии, или 230, если считать зеркальное отражение рисунка отдельным его вариантом - притом, что в данном случае нет зеркальной симметрии. Опять же, наблюдаются симметрии вращения порядков 2, 3, 4 и 6, но не 5. Этот факт получил название кристаллографического ограничения.

В четырехмерном пространстве решетки с симметрией 5-го порядка существуют; вообще, для решеток достаточно высокой размерности возможен любой наперед заданный порядок симметрии вращения.

// Рис. 40. Кристаллическая решетка поваренной соли. Темные шарики изображают атомы натрия, светлые - атомы хлора

Квазикристаллы

Хотя симметрия вращения 5-го порядка в двумерных и трехмерных решетках невозможна, она может существовать в чуть менее регулярных структурах, известных как квазикристаллы. Воспользовавшись набросками Кеплера, Роджер Пенроуз открыл плоские системы с более общим типом пятикратной симметрии. Они получили название квазикристаллов.

Квазикристаллы существуют в природе. В 1984 г. Даниэль Шехтман открыл, что сплав алюминия и марганца может образовывать квазикристаллы; первоначально кристаллографы встретили его сообщение с некоторым скепсисом, но позже открытие было подтверждено, и в 2011 г. Шехтман был удостоен Нобелевской премии по химии. В 2009 г. команда ученых под руководством Луки Бинди обнаружила квазикристаллы в минерале с российского Корякского нагорья - соединении алюминия, меди и железа. Сегодня этот минерал называется икосаэдрит. Измерив при помощи масс-спектрометра содержание в минерале разных изотопов кислорода, ученые показали, что этот минерал возник не на Земле. Он сформировался около 4,5 млрд лет назад, в то время, когда Солнечная система только зарождалась, и провел большую часть времени в поясе астероидов, обращаясь вокруг Солнца, пока какое-то возмущение не изменило его орбиту и не привело его в конце концов на Землю.

// Рис. 41. Слева: одна из двух квазикристаллических решеток с точной пятикратной симметрией. Справа: атомная модель икосаэдрического алюминиево-палладиево-марганцевого квазикристалла

Предыдущая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства Следующая статья: Чувственное и рациональное в познавательном процессе