Постройте график функции с модулем огэ. МОУ «Колталовская СОШ»

Функция – это такая вещь, которая связывает две (или более) переменных между собой. Другими словами, функция помогает найти одну переменную, если мы знаем значение второй переменной. Например, если у нас в кармане есть 100 рублей, а шоколадка стоит 50 рублей, то мы можем купить 2 шоколадки. Если у нас в кармане есть 200 рублей, то мы можем купить 4 шоколадки. В этом случае первая переменная – это сумма, которая есть в кармане, а вторая переменная – количество шоколадок, которые мы можем купить. Стоимость шоколадки составляет 50 рублей, она не зависит от того сколько у нас денег, поэтому эта величина является постоянной.

Можно составить функцию для этого случая: у = 50 х , где у – деньги в кармане, х – количество шоколадок.

Естественно функции бывают более сложными. Но для решения заданий ОГЭ по математике достаточно знать как выглядят графики основных функций.

1. Функция вида y = kx + b (прямая линия)

В этой функции k и b это числа. Функция может быть записана в разном виде: y = x , y = 2x , y = 3x – 4, y = -9x +44, y = и т д. Главным признаком является присутствие икса (х ) в первой степени (то есть все случаи, когда мы не делим на х ).
Число k в этом случае отвечает за то, в какую сторону наклонена линия. Если k > 0 , то функция возрастает вправо. Если k < 0 , то функция возрастает влево.

Число b y . Если b >0 , то график пересекает ось y выше начала координат, если b < 0 – ниже.

2. Функция вида y = ax 2 + bx +c (парабола)

В этой функции a, b, c – числа. Функция может быть записана в разном виде: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10, y = -x 2 – 9x +1, y = – 7 и т. д. Главным признаком является наличие икса в квадрате (x 2).

Число а отвечает за то, в какую сторону (вверх или вниз) направлены ветви параболы (я еще называю веселый смайлик и грустный смайлик). Если a > 0 , то веселый смайлик, если a < 0 – грустный.

Число b отвечает за то в какую сторону (вправо или влево) смещена точка начала параболы (точка перегиба) относительно оси y . Если b > 0 , то график смещен влево, если b < 0 – вправо.

Число c – это точка пересечения графика с осью y . Если c >0 , то график пересекает ось y выше начала координат, если c < 0 – ниже.

3. Функция вида y = k/x + b (гипербола)

Эта функция по виду напоминает функцию прямой, за тем исключением, что х находится в знаменателе . Это как раз и является ее отличительной особенностью. Число k отвечает за расположение функции по четвертям, если k > 0 , то ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях, если k < 0 , то ветви располагаются во второй и четвертой четвертях.

Число а отвечает за сдвиг всей функции вниз (а < 0 ) или вверх (a > 0 ).

4. Функция вида y = a (прямая)

В этом случае функция выглядит как прямая, параллельная оси х . Например у = 2, это прямая линия, которая проходит параллельно оси х и пересекает ось у в точке 2.

5. Функция вида y = √x

Этот вид встречается в заданиях редко, однако лучше запомнить. Это практически парабола, но повернутая по часовой стрелке на 90 0 , а также в ней отсутствует ее нижняя половина. Если не понятно, то просто смотрите на рисунок:

Данная статья посвящена решению примеров заданий 23 из ОГЭ по математике. В этих заданиях школьников обычно просят построить график той или иной функции, а затем указать, при каких значениях параметра этот график пересекается с неким другим графиком, касается его или же, к примеру, имеет с ним несколько точек пересечения. Ну и тому подобное. В данной статье вы найдёте разбор примеров решения заданий 23 из ОГЭ по математике от профессионального репетитора, на протяжении многих лет занимающегося подготовкой школьников к этому экзамену.

Примеры решения заданий 23 из ОГЭ по математике

Пример 1. Постройте график функции

Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции всегда нужно начинать с указания области определения этой функции. В данном случае ограничения на эту область задаются тем, что в знаменателе не должно быть нуля, потому что деление на нуль не имеет математического смысла. То есть областью определения данной функции являются все числа, за исключением 1. Записать это можно следующим образом:

После того, как мы указали область определения исходной функции, можно попробовать её упростить. Для этого вынесем минус в знаменателе за скобку и сократим. В результате получим следующее выражение:

График данной функции получается из графика функции путём её отражения относительно оси OX и параллельного переноса всех точек на 0,25 единичного отрезка вниз. При этом мы должны удалить из этого графика точку , потому что она не входит в область определения исходной функции. То есть искомый график выглядит следующим образом:

Теперь отвечаем на главный вопрос задачи. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При этом в зависимости от коэффициента эта прямая имеет разный наклон относительно оси OX . Когда это прямая имеет ровно одну общую точку с изображённым графиком? Только в двух случаях. Рассмотрим их по отдельности.

Первый случай . Когда данная прямая касается изображённого графика. Это ситуация изображена на рисунке:

Сложность состоит в том, чтобы определить значения , при которых эта ситуация реализуется. Для решения этой задачи можно использовать несколько различных подходов. Используем наиболее типичный.

Суть в том, что в точке касания графики проходят через одну и ту же точку на координатной плоскости. Значит, в этой точке имеет место равенство:

Дискриминант последнего квадратного уравнения равен , и в зависимости от коэффициента он может быть:

отрицательным, тогда корней у этого уравнения не будет, как не будет и точек пересечения соответствующей прямой с изображённым графиком;
положительным, тогда корней будет два, а значит и точек пересечения будет две (этот случай нам также не подходит);
равен нулю, именно этот случай соответствует касанию прямой с графиком, поскольку записанное уравнение в этом случае будет иметь только одно решение.

То есть , то есть . Соответствующие прямые как раз и изображены на рисунке выше.

Второй случай . Не забываем, что точка с абсциссой не принадлежит нашему графику. Значит, открывается ещё одна возможность, когда прямая будет иметь с графиком ровно одну общую точку. Вот этот случай:

Для нахождения в этом случае подставляем координаты точки в уравнение прямой . В результате получаем .

Сразу отметим, что в область определения данной функции входят все числа: . Наша задача теперь, как это часто бывает при решении заданий 23 из ОГЭ по математике, состоит в том, чтобы построить график этой функции. Для тех кто не сталкивался ранее с подобными заданиями, это может показаться странным, но график данной функции можно построить из графика функции . Нужно только выделить в подмодульном выражении полный квадрат. Для этого проведём следующие преобразования:

Из последнего с помощью формулы «квадрат разности» получаем:

Построим сначала график функции . Этот график получается из графика функции путём его переноса на единичного отрезка вправо и на единичного отрезка вниз:

При этом нули функции равны 2 и -1. Что произойдёт с этой параболой, если взять модуль от всего выражения, стоящего справа? Все точки, лежащие ниже оси OX (с отрицательными ординатами), отразятся вверх относительно оси OX . В результате получится вот такой график:

Теперь, глядя на этот график, уже понятно, что максимальное число точек пересечения данного графика с линией, параллельной оси абсцисс, будет равно 4. В качестве примера можно взять прямую :

Вот так решаются задания 23 из ОГЭ по математике. Как я уже говорил, это довольно интересные задания, которые к тому же можно научиться решать по ясному и запоминающемуся алгоритму. И как только вы овладеете этим мастерством, все задачи 23 из ОГЭ по математике будут казаться вам простыми и даже очевидными. Это станет для вас ещё одним заветным ключиком, который поможет получить максимальный балл на экзамене. Так что желаю вам успехов в подготовке и удаче на экзамене!

Сергей Валерьевич

учитель математики

МОУ «Колталовская СОШ»

Калининского района

Тверской области

Цели урока:

Обобщить и систематизировать знания, умения, навыки по теме урока
Продолжить работу по подготовке к ОГЭ
Развивать логическое мышление, речь, память, внимание
Воспитывать аккуратность, самостоятельность

1. График какой функции изображён на рисунке:

y=2x+4
y=-2x+4
y=x ²-4
y=-x²+4

2. Какая из следующих парабол отсутствует на рисунке?

y=(x-2) ²
y= (x+2) ²
y=x²+2
y=x²-2

3. Каждую прямую соотнесите с её формулой:

4. Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой:

5. Используя график функции y=f(x), определите, какое утверждение верно:

f(-1)
Функция y=f(x) возрастает на промежутке Функция убывает на промежутке [-3;∞) Наибольшее значение функции равно 1, при х=-3 " width="640"
Построить график функции и по графику выяснить ее свойства.
У = -х 2 -6х-8
Свойства функции:
у0 на промежутке
(-∞;-4)U(-2;∞)
Функция возрастает на промежутке
(-∞;-3]
Функция убывает на промежутке
[-3;∞)
Наибольшее значение функции равно
1, при х=-3

План построения
1) Построить вершину параболы
2) Построить ось симметрии x=-1
3) Найти нули функции
4) Дополнительные точки
(-4; 11) ; (3;11)
5) Построить параболу по точкам

Задание 1

Задание 2
На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

Задание 3
На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

Задание 4
На каком рисунке изображён график функции y=f(x), обладающий свойствами:f(0)=2 и функция убывает на промежутке

Параболу, построенную в координатной плоскости, соотнесите с ее уравнением
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ПОДУМАЙ!

Напишите уравнение параболы, изображенной на рисунке.
ВЕРНО!
у=–(х–1) 2 +2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=(х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–(х–1) 2 –2

По графику функции найдите наименьшее значение функции.
ПОДУМАЙ!
1 2 3 4 5 6 7
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!

Какая из функций является ограниченной сверху?
ПОДУМАЙ!
у=(–х–2) 2 +1
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!
у=(х+2) 2 –1
ВЕРНО!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
у=–(х+2) 2 –1

0 " width="640"
Какая из функций является ограниченной снизу?
ВЕРНО!
у=(–х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–(х–1) 2 +2
ПОДУМАЙ!
у=–2(х–1) 2 –2
ПОДУМАЙ!
= (–(х+1)) 2 +2
у=(–х–1) 2 +2
a 0

у = х 2 – 7х + 12 с осью Оу.
у = х 2 – 7х + 12
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Найдите координаты точки пересечения графика функции
у = х 2 – 7х + 12 с осью Оу.
у = х 2 – 7х + 12
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

По графику функции найдите промежутки ее возрастания.
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 6 7
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Выберите график, соответствующий функции
у = (х – 1) 2 – 1
ПОДУМАЙ!
Верно!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Какую из функций можно назвать обратной пропорциональностью?
ПОДУМАЙ!
ВЕРНО!
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Какая линия является графиком функции
ПОДУМАЙ!
прямая, проходящая через начало координат
прямая, проходящая через II и IV координатные четверти
ПОДУМАЙ!
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
гипербола
1 2 3 4 5 6 7
ВЕРНО!
парабола
ПОДУМАЙ!

График какой из приведенных ниже функций
изображен на рисунке?

Какой из графиков функций, представленных на рисунке является гиперболой?
ПОДУМАЙ!
гипербола
ПОДУМАЙ!
ПОДУМАЙ!

Нахождение значения коэффициента а
- 1) по графику определяем координаты вершины ( m , n )
- 2) по графику определяем координаты любой точки А (х 1 ;у 1 )
- 3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в виде:
У= a (х- m ) 2 + n
- 4) решаем полученное уравнение.
- Найдите значение а по графику функции
у=ax 2 +bx+c , изображенному на рисунке.
- Координаты вершины: (m;n)=(-1;1);
- Подставляем в формулу У=a(х-m) 2 +n:
3=а(1-(-1)) 2 +1;
3=а(1+1) 2 +1;

Нахождение коэффициента b по графику квадратичной функции
- Находим значение коэффициента a (смотри выше)
- В формулу для абсциссы вершины параболы
m= -b/2a подставляем значения m и a
- Вычисляем значение коэффициента b .
- Найдите значение b по графику функции
- Решение:
1. Находим значение коэффициента а
Координаты вершины: (m ; n)=(-1;1);
Координаты любой точки графика: (х 1 ;у 1)=(1;-3);
Подставляем в формулу У= a (х- m) 2 + n:
3=а(1-(-1)) 2 +1;
3=а(1+1) 2 +1;
- 2. подставляем значения а и m в формулу
1=- b /(2 · (-1));
b =-2

Нахождение коэффициента с по графику квадратичной функции
- Находим ординату точки пересечения графика с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения параболы с осью Оу.
- Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то находим коэффициенты a ; b
- Подставляем найденные значения a , b , координаты А(х 1 ; у 1 ) в уравнение
у= ax 2 + bx + c и находим с.
- Найдите значение с по графику функции
у= ax 2 + bx + c , изображенному на рисунке.
1. Ордината точки пересечения графика с осью Оу равна 0, следовательно,
- Найдите значение коэффициентов а, b ,с по графику функции
у= ax 2 + bx + c , изображенному на рисунке.
- Находим значение коэффициента а:
1=а(3-2) 2 –3;
2 . Находим значение коэффициента b :
- Находим значение с:
3=2*4-8*2+с с=5

Найдите значение а по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.
Подсказка

Найдите значение b по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.
Подсказка
Если нажать на прямоугольник «Подсказка» - переход на следующий слайд с разбором решения задания.

Найдите значение c по графику
функции у = aх 2 + bx + c ,
изображенному на рисунке.

Список литературы:
1. "Алгебра. Учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2014.;
2. "Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений" Ю.Н. Макарычев и др., изд-во «Просвещение», 2011.;
3. ОГЭ, Математика, 3000 задач с ответами, Часть 1, 2014. Семенов А.Л., Ященко И.В., 2013.

учитель математики МКОУ «СОШ № 8»

г. Ефремов Тульской области
Пономарева Светлана Владимировна

Урок по алгебре для 9 класса по теме:

«Построение графиков. Повторение. Подготовка к ОГЭ. Построение графика квадратичной функции, содержащей модуль».

Конспект урока

Цели урока:

Систематизировать знания учащихся по теме «Функции и графики», показать применение этих знаний при исследовании свойств и построении графиков функций на примерах заданий из второй части

Исследование расположения графика квадратичной функции в зависимости от модуля.

Развитие исследовательских умений и навыков самостоятельной работы.

Развитие умений анализировать и на основе экспериментальных данных делать выводы.

Применение графиков функций, содержащих модуль, к решению задач.

Задачи урока:

Повторить графики функции, формулы, задающие изученные функции и способы построения их графиков;

Рассмотреть построение графиков функций с модулем;

Применить графики функций в заданиях с параметрами.

Оборудование:

Компьютер учителя

Мультимедийный проектор

Экран

Карточки с заданиями для работы в группах

Электронные презентации для устной работы, выполненные в Microsoft Power Point.

План урока .

Устная работа с использованием электронной презентации

Практическая работа

Отчет по практической работе. Демонстрация полученных графиков функций на экране.Выводы.

Решение задач на применение графиков функций с модулем.

Подведение итогов урока.

Ход урока.

1. Актуализация знаний

Учитель: Фронтальная беседа с классом:

1. Вспомним формулы, задающие линейную функцию; функцию прямой пропорциональности; функцию обратной пропорциональности; квадратичную функцию.

2. Назовите для каждой формулы соответствующий график

4. Знание свойств функций, умение работать с графиками помогает решать многие задачи, в том числе экзаменационные.

5. На рисунке изображен график квадратичной функции. Какая из перечисленных формул задает эту функцию?

2. Практическая работа.

Учитель : Каждому ряду я даю задание. Вы можете работать парами. В ходе работы необходимо исследовать расположение графика квадратичной функции в зависимости от модуля. Результатом работы должен стать вывод о поведении графика. При анализе полученных результатов, обратите внимание на следующие моменты:

Какая часть графика не изменилась?

Что произошло с оставшейся частью графика?

Начать наше исследование мне хочется словами И.Гете:

«Настоящий ученик умеет выводить известное из неизвестного и этим приближаться к учителю».

Но прежде, чем приступить к заданию ответьте на вопрос, который должен вам помочь в дальнейшей работе: Что можно сказать о симметрии графиков?

Карточки с заданиями для групп

Ряд № 1 Построение графика функции вида

Ответьте на вопросы:

Построить график функции y =….

Часть графика ……………………………………………..оставить без изменения

Часть графика, расположенную в …………………………………
отобразить в ……………………………………………………….

Ряд №2 Построение графика функции вида

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

Ответьте на вопросы :

Какая часть графика осталась без изменений?

Что произошло с частью графика, расположенной в нижней полуплоскости?

Сформулируйте правило построения графика функции

Построить функцию………………….

……………………………………………………………………….

………………………………………………………………………

Ряд № 3 Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y=2x-6x+4
y=2x-6+4

Ответьте на вопросы:

Какая часть графика осталась без изменений?

Часть графика, расположенную……………………………..
оставить без изменений и отобразить в …………………………

Группа № 4(индивид) Построение графика функции вида y=f()

Постройте на одной координатной плоскости графики функций

y=-2x+4x+1
y=-2x+4+1

Ответьте на вопросы :

Какая часть графика осталась без изменений?

Что произошло с частью графика, расположенной правее оси ОY?

Сформулируйте правило построения графика функции y=f()

Построить график функции y=…….

……………………………………………………………………

3. Отчет групп.

Учитель: Приступаем к обсуждению результатов.

Группы №1,№2 работали с функцией вида. Результаты работы посмотрим на экране.

(Группы делают вывод о поведении графика, формулируют правило построения графика функции.Примерные результаты работы групп см. в Презентации )

Учитель : Группы №3,№4 работали с функцией вида

(Группы №3,№4 аналогично анализируют итоги своей работы)

Пример результата работы одной из групп:

4. Применение графиков квадратичной функции с модулем к решению задач.

Учитель: С помощью графиков можно решать уравнения и системы уравнений. Свободное владение техникой построения графиков помогает решать многие нестандартные задачи и порой являются единственным или наиболее простым средством их решения. Рассмотрим некоторые такие задания .

Задачи

Задание № 1.

Найдите значение параметра «а» , при котором прямая у=а имеет а) 3 общие точки; б) 2 общие точки; в) 4 общие точки с графиком функции

y=2x -6+4

Задание № 2

Найдите наибольшее целое значение параметра «а» при котором уравнение 2x+4+1=а имеет более двух корней (при решении используйте графики функций).

Задание №3

Используя график функции y= , найдите значение а ,чтобы прямая у= а имела с функцией 3 точки пересечения.

Задание № 4

При каком значении параметра «а» уравнение = а имеет 4 корня? Решите уравнение,используя графики функций y= и y=a.

5. Разбор заданий

(Результаты работ групп демонстрируются на экране, ученики каждой группы представляют решение своих задач.

Пример решения задачи одной из групп:

6. Итог урока

Учитель : Сегодня в ходе практической работы мы выявили способы построения графика квадратичной функции, содержащей модуль, увидели красоту этих графиков, научились анализировать и делать выводы. Мы также рассмотрели некоторые задачи на применение графиков функций.

Все группы справились с поставленной задачей.

7. Домашнее задание

Построить у=(х-6)(х-2). Построить у= , у= х 2 - 8х +12
Графики? - Легко! (ОГЭ: задание 23) .
Довольно часто встречаются ученики, пасующие перед второй частью, и, особенно перед 23-м заданием, где нужно построить график и ответить на вопрос по нему.
Некоторые мотивируют нежелание рассматривать это задание тем, что в школе (имея ввиду обычную, не математическую) такие задания не рассматриваются вовсе - зачастую школьные учителя из второй части рассмотрениют только задание 21. Другие считают, что раз даже на "пятёрку" решать это задание не требуется (как известно, на оценку "отлично" достаточно решить правильно 21 задание - такие требования предъявляются, например, на экзаменах 2018 года), то вообще непонятно, зачем оно даётся. Третьи испытывают скорее психологический страх, полагая, что все задания второй части такие сложные, что и готовить их к успешной сдаче экзамена не следует.
Между тем, задания на построение графиков с модулями и выколотыми точками не такие уж и сложные. И, как показывает опыт, научиться строить такие графики, при его на то желании может не только ученик, претендующий на "пятёрку", но также и любой хорошист. Для этого нужно только желание научиться строить такие графики.
Действительно, задания 23 из года в год предлагаются примерно одинаковые. Существует не более десятка (в действительности несколько меньше) типовых заданий, отличающихся друг от друга только числами. Опыт показывает, что освоить эти задания может любой достаточно мотивированный ученик за 3-4 занятия с репетитором. Исходя из моего многолетнего опыта подготовки учеников к экзамену ОГЭ (ГИА), многие из них, понимая, что решать эти задания можно легко научиться, после занятий со мной успешно решают это задание и на экзамене.
Ниже приведены два примера заданий 23. Конечно, это далеко не все типы этого задания. Все типы заданий № 23 я рассматриваю на занятиях со своими учениками.
Областью определения функции являются все значения кроме x = 0.
Решим неравенства и методом интервалов определим промежутки, при которых выполняется первое условие и при которых выполняется второе условие: На участках [ - 2 ; 0) и [ 2 ; + ∞) выполняется первое условие системы, а на участках
(- ∞ ; -2] и (0 ; 2 ] выполняется второе условие системы. Значит, записать функцию можно в следующем виде: Строим график:

Прямая y = m - это прямая, параллельная оси OX. Такая прямая имеет одну обшую точку с графиком при m 1 = -1 или m 2 = 1 Запишем функцию в следующем виде:
значит, Таким образом, график функции делится на два участка, причём на каждом участке базовым графиком будут параболы. Найдём вершины каждой по формуле
Прямая y = m - это прямая или параллельная оси абсцисс, или совпадающая с ней. По графику получаются два варианта. Если прямая y = m совпадает с осью OX, то m 1 = 0. Рассмотрим случай, когда прямая проходит через точку, абсцесса которой равна -0,5 (на графике эта прямая изображена пунктиром). Для определения значени m 2 нужно найти ординату точки, абсцисса которой равна -0,5. Для этого подставим это значение в формулу функции:

Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства