Решение уравнений с модулем. Решение модульных уравнений
Алгоритм решения уравнения ах 3 +bx 2 +cx+d=0:
1.Найти подбором корень уравнения (среди делителей свободного члена);
2.Разделить многочлен ах 3 + bx 2 + cx + d на х-х 1 , где х 1 - корень уравнения ах 3 + bx 2 + cx + d =0;
3.Частное приравнять к нулю и решить получившееся уравнение;
4.Записать ответ.
Решить уравнение-6х 3 -х 2 +5х+2=0
1. Находим делители свободного члена: ±1,±2,±3,±6.
2. х=1 является корнем уравнения.
3. Многочлен -6х 3 -х 2 +5х+2 делим на двучлен
х-1 (по следствию 1 из теоремы Безу).
3.Решим уравнение: -6х 2 -7х-2=0,
6х 2 -7х-2+0, х 1 = -, х 2 = -.
4. Ответ. х=1, х = -, х = -.
Этот способ решения уравнений – универсальный. Его можно применить для решения уравнений четвёртой, пятой и т.д. степеней, постепенно понижая их степени до второй.
Пример1.
Решить уравнение х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30=0.
1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 2 и -5.
2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 делится на х-2 и на х+5, а значит делится на (х-2)(х+5)=х 2 +3х-10.
3. Выполним деление многочленов: х 4 +3х 3 -13х 2 -9х+30 на х 2 +3х-10.
4.Решим
уравнение х 2 -3=0,
х 1,2
=
.
Ответ.
х =
,
х =-,
х=-5,х=2.
Решить уравнение 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4=0.
1.Среди делителей свободного члена находим корни уравнения. Это 1, -1, 2 и -2
2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 делится на х-1,х+1, х-2 и на х+2, а значит делится на (х-1)(х+1)(х-2)(х+2)=
(х 2 -1)(х 2 -4)=х 4 -5х 2 +4.
3. Выполним деление многочленов: 3х 5 +х 4 -15х 3 -5х 2 +12х+4 на х 4 -5х 2 +4.
4. Решим уравнение
3х+1 =0, х=-.
5. Ответ. х=-2,х=-1,х=-, х=1,х=2.
Решить уравнение
(2х 2 -1) 2 +х(2х-1) 2 =(х+1) 2 +16х 2 -6
Перенесём все члены в левую часть, раскроем скобки и приведём подобные члены.
4х 4 -4х 2 +1+4х 3 -4х 2 +х-х 2 -2х-1-16х 2 +6+0, 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6=0.(1)
Делители свободного члена: ±1;±2;±3;±6. Если уравнение имеет целые корни, то это один из делителей. Подстановка показала, что это 2. По теореме Безу многочлен 4х 4 +4х 3 -25х 2 –х+6 делится на х-2 без остатка. В частном получим: 4х 3 +12х 2 –х – 3.
Уравнение (1) перепишем в виде: (х-2)(4х 3 +12х 2 –х – 3)=0.
Решим уравнение 4х 3 +12х 2 –х – 3=0. -3 является корнем этого уравнения, так как при подстановке его вместо х уравнение обращается в верное числовое равенство. Разделим многочлен 4х 3 +12х 2 –х – 3 на х+3, получим 4х 2 -1. Квадратное уравнение 4х 2 -1=0 имеет корни х= ±.
Ответ. х = 2, х = -3, х = ± .
Если среди делителей свободного члена нет корней уравнения, то используй зависимость между коэффициентами и корнями уравнения.
Если
корень уравнения а
0
х
n
+
a
1
x
n
-1
+
a
2
x
n
-2
...+
a
n
-1
x
+
a
n
=0 , то
m
– делитель свободного члена, а с-делитель
старшего коэффициента.
Алгоритм решения таких уравнений:
1.Найди делители свободного члена и старшего коэффициента;
2.Составь различные дроби ,где m –делители свободного члена, а с-делители старшего коэффициента;
3. С помощью подстановки, определи, какая из дробей является корнем уравнения;
4. Выполни деление многочлена на многочлен;
5.Реши уравнение, приравняв частное к нулю;
6. Запиши ответ.
Решить уравнение 6х 3 -3х 2 -5х - 1=0.
1.Делители свободного члена: ±1. Эти числа не являются корнями уравнения. Находим делители старшего коэффициента: ±1, ±2,±3,±6.
2.
Составим различные дроби:
3. - является корнем уравнения.
2. По следствию 1 из теоремы Безу многочлен 6х 3 -3х 2 -5х – 1 делится на х+.
3. Выполним деление многочленов:
4.
Решим уравнение 6х 2 -6х-2=0,
3х 2 -3х-1=0, D
= 21, х 1,2 =
,
5. Ответ. х 1,2 =, х= -.
Деление
многочлена
на многочлен
можно выполнять другим
способом.
Пусть
=
∙(х-
а)+ R .
Пусть
Чтобы
найти коэффициенты многочлена
и число
,
раскроем скобки в правой части равенств:
и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях слева и справа. Получим
при
.
Отсюда следует, что
при
.[
4]
Вычисление коэффициентов многочлена и остатка производится с помощью следующей таблицы:
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Эта таблица называется схемой Горнера .
Пример1.
Выполнить деление 2х 3 -3х+5 на х-4.
воспользуемся схемой Горнера для вычисления коэффициентов частного и остатка.
|
|
|
|
Следовательно,
Схема Горнера дает общий метод разложения на множители любого многочлена.
3.2 Для уравнений с целыми коэффициентами, не имеющих рациональных корней, эффективен метод неопределённых коэффициентов.
3.3 Метод неопределённых коэффициентов.
Многочлен левой части уравнения представляется в виде произведения двух многочленов с неизвестными коэффициентами:
1.Для кубического уравнения: х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , х 3 +bx 2 +cx+d=(х 2 +рх+g)(x+t)=х 3 +х 2 t+px 2 +ptx+gx+gt=x 3 +(t+p)x 2 +(pt+g)x+gt.
Так
как многочлены равны, то и коэффициенты
при одинаковых степенях равны. Получим
систему уравнений:
2.Для уравнения четвёртой степени: х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d=0, а≠0
х 4 +ax 3 +bx 2 +cх+d =(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(m+mk+n)x 2 +(mt+nk)x+nt.
Так
как многочлены равны, то и коэффициенты
при одинаковых степенях равны. Получим
систему уравнений:
Решая систему, находим неизвестные
коэффициенты.
Решить уравнение х 4 -2x 2 - 8х - 3=0.
представим многочлен х 4 -2x 2 - 8х -3 в виде произведения двух трёхчленов с неизвестными коэффициентами: х 4 -2x 2 - 8х -3=
(x 2 +mx+n)(x 2 +kx+t)=x 4 +(k+m)x 3 +(n+mk+t)x 2 +(mt+nk)x+nt.
Получим
систему уравнений:
Из уравнения nt=-3
следует, что надо рассмотреть случаи:
1
.n=3,t=-1;
2.
n=-3,t=1;
3.
n=1,t=-3;
4
. n=-1,t=3.
Подстановкой
этих пар в остальные уравнения системы
получим, что при n=3,t=-1
х 4 -2x 2
- 8х -3= (x 2 +2x+3)(x 2 -2x-1)=0.
Решим уравнения x 2 +2x+3=0
и x 2 -2x-1=0.
Дискриминант первого уравнения
отрицательный, значит, оно не имеет
действительных корней. Дискриминант
второго уравнения равен 8, х 1,2 =1±
.
Ответ. х 1,2 =1±.
3.4. Для решения биквадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным часто используется метод введения новых переменных. Можно его использовать и для уравнений высших степеней.
Решить уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0.
Так как х=0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно разделить на х 2 без потери корней. Получим уравнение
х 2 +2х-22++
=0,
сгруппируем слагаемые
(х 2 +)+2(х+ )-22=0.
Сделаем замену х +=t, тогда (х +) 2 =t 2 . х 2 +2+= t 2 , х 2 += t 2 -2.Исходное уравнение сводится к уравнению t 2 -2 +2t-22= 0, t 2 +2t -24= 0,t 1 =-6, t 2 =4 Вернёмся к исходной переменной: 1). х +=-6, 2). х +=4.
Решим
каждое уравнение. 1). х +=-6,
х 2 +6х+1=0,
D=32,
x 1,2 =
,
x 1 =-3+2,
x 2 =
-3-2.
Ответ. x 1 = -3+2, x 2 = -3-2.
Уравнение вида:
(х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = E;
Пример1.
Решить уравнение(х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40.
Сгруппируем множители ((х+1)(х+5))∙((х+4)(х+2))=40, выполним умножение в скобках (х 2 +6х+5)(х 2 +6х+8)=40, Применим замену: х 2 +6х=t, тогда (t 2 +5)(t 2 +8)=40, t 4 +13t 2 +40=40, t 4 +13t 2 =0, t 2 (t 2 +13)=0, t=0, t 2 +13=0 не имеет действительных корней.
Вернёмся к исходной переменной х 2 +6х=0, х(х+6)=0, х=0, х= -6.
Ответ. х=0, х= -6.
Пример1.
Решить уравнение
(х 2 -3х+ 1)(х 2 +3х+2)(х 2 -9х+20)=-30.
разложим второй и третий трёхчлены на множители, для этого найдём корни многочленов, решив три уравнения:
х 2 +3х+2=0, х 1 = -1, х 2 = -2.
х 2 -9х+20=0, х 1 = 4, х 2 = 5. Получим уравнение
(х 2 -3х+ 1)(х+1)(х+2)(х-4)(х-5)=-30,
(х 2 -3х+ 1)((х+1)∙(х-4))((х+2)∙(х -_5))=-30,
(х 2 -3х+ 1)(х 2 -3х-4)(х 2 -3х-10)=-30, Введём новую переменную. Пусть
х 2 -3х+ 1=t, тогда t(t-5)(t-11)=-30, t=6 является корнем этого уравнения. Раскроем скобки и получим t 3 -16t 2 +55t+30=0,
Разделим многочлен t 3 -16t 2 +55t+30 на t-6, в частном получим t 2 -10t-5.
Решим
уравнение t 2 -10t-5=0,
t 1 =5+
,
t 2 =5-.
Вернёмся к исходно переменной, для этого решим три уравнения:
Ответ.
х 1,2 =,
х 3,4 =
,
х 5,6 =
.
Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Eх 2 ;
Решить уравнение:
(х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2
разложим на множители х 2 + 15 + 50.
х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10). Уравнение примет вид:
(х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2 ,
(х 2 + х – 20)(х 2 + 8х – 20) = 18х 2 . Так как х=0 не является корнем уравнения, то разделив обе части уравнения на х 2 , получим
(х+1-
)(х+8-)=18.
Введём новую переменную. Пусть t= x-, тогда (t+1)(t+8)=18,
t 2 +9t-10=0,t 1 =10, t 2 =-1.Вернёмся к исходной переменной:
Ответ.
x=-5,
x =
4, x=
-5 -3
,
x= -5 +3.
Уравнение вида ах 4 +bх 3 +cх 2 +bх+a=0, ax 6 +bx 5 +cx 4 +dx 3 +cx 2 +bx+a=0 и т.д. Такие уравнения называют возвратными .Они обладают своеобразной «симметрией»: коэффициент при х 6 равен свободному члену, коэффициент при х 5 и х, при х 4 и х 2 равны. Возвратные уравнения решаются с помощью замены х +=t.
Уравнение х 4 +2х 3 – 22х 2 +2х+1=0 не имеет целых корней (делители свободного члена ±1 не являются корнями уравнения).
Так как х=0 не является корнем
уравнения, то разделив обе части
уравнения на х 2 ,
получим (х 2 +
)
-2(х+)-22=0.
Введём новую переменную. Пусть t= x+, тогда х 2 +2+ =t 2 , получим уравнение t 2 -2-2t-22=0, t 2 -2t-24=0 t 1 =6, t 2 =-4. Вернёмся к исходной переменной:
Ответ. x 1,2 = 3 ±2, x 3,4 = -2 ±.
3.5.. Для решения квадратных уравнений применяется способ выделения полного квадрата. Для решения уравнений третьей и четвёртой степени также можно применять формулы двучлена.
Знакомые вам формулы сокращённого умножения:
(х±а) 2 =х 2 ±2х+а 2 ;
(х±а) 3 =х 3 ±3х 2 а+3ха 2 ±а 3 ;
(х+а)(х-а)=х 2 -а 2 ;
(х+а)(х 2 -х+а 2)= х 3 +а 3 ;
(х-а)(х 2 +х+а 2)= х 3 -а 3 ;
(x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz/
Формулу (х+а) 4 можно получить следующим образом: (х+а) 4 =(х+а) 3 (х+3)= (х 3 +3х 2 а+3ха 2 +а 3) (х+а)= х 4 +4х 3 а+6х 2 а 2 +4ха 3 +а 4 .
Коэффициенты разложения можно находить, используя треугольник Паскаля
(по имени французского математика Блеза Паскаля):
В каждой строке этого треугольника коэффициенты степени, кроме первого и последнего, получаются по парным сложением ближайших коэффициентов предыдущей строки.
Пример.1.
Для (х+а) 7: показатель степени равен числу 7, значит, его коэффициенты находятся в восьмой строке, это 1,7,21,35,35,21,7,1, которые получаются из предыдущей строки так:
7=1+6, 21=6+15, 35=15+20, 35= 20+15, 21=15+20, 7=6+1.
Получим:(х+а) 7 =х 7 +7х 6 а+21х 5 а 2 +35х 4 а 3 +35х 3 а 4 +21х 2 а 5 +7ха 6 +а 7 .
При написании формул сокращённого умножения старших степеней существуют следующие закономерности:
Число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени;
Показатель степени х у каждого следующего слагаемого на единицу меньше, а показатель степени a − на единицу больше;
Сумма показателей степеней х и а постоянна и равна показателю степени многочлена;
Коэффициенты многочлена, равноотстоящие от начала и конца, равны.
Решить уравнение х 3 +6х 2 +12х-16=0.
Решение: используем формулу (х+а) 3 = 1∙х 3 +3х 2 а+3ха 2 +1∙а 3 .
х 3 +6х 2 +12х+16=0, (х 3 +3∙2х 2 +3∙2 2 х+2 3) +8=0, (х+2) 3 +2 3 =0, (х+2+2)((х+2) 2 -2 (х+2)+4)=0, 1. х=-4, 2. (х+2) 2 -2 (х+2)+ 4=0,
х 2 +2х +4=0, D=-12, действительных корней нет.
Ответ. х = -4.
Решить уравнение х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48=0, х 4 -12х 3 +54х 2 -108х+48= (х 4 -4х 3 ∙3+6х 2 3 2 -4х3 3 + 4 4)-4 4 +48= (х-3) 4 -64+48=0, (х-3) 4 - 16=0. Применим разность квадратов (х-3-4)(х-3+4)=0, (х-7)(х+1)=0, х=7,х=-1.
Ответ: х=-1, х=7.
3.6. Применение теоремы Виета.
1.Теорема Виета для кубического уравнения :
если х 1 , х 2 , х 3 ─ корни уравнения х 3 +bx 2 +cx+d=0, а≠0 , то
х 1 + х 2 + х 3 =- b ,
x 1 х 2 + x 2 х 3 + x 1 x 3 = c ,
х 1 х 2 х 3 = - d .
2. Теорема Виета для уравнения четвёртой степени :
если х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения х 4 + b х 3 +cx 2 +x+dх+е=0, то
х 1 + х 2 + х 3 +х 4 =- b ,
x 1 х 2 + x 1 х 3 + x 1 х 4 + x 2 х 3 + x 2 x 4 +х 3 х 4 = c ,
х 1 х 2 х 3 х 4 = е,
x 1 х 2 х 3 + x 1 х 2 х 4 + x 1 х 3 х 4 + x 2 х 3 x 4 = - d .
Решить уравнение х 3 -4 x 2 +x+6=0.
пусть х 1 , х 2 , х 3, х 4 ─ корни уравнения, тогда х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Проверим, какие из чисел ±1, ±2, ±3,±6 удовлетворяют условиям: х 1 + х 2 + х 3 =4, x 1 х 2 +x 2 х 3 +x 1 x 3 =1, х 1 х 2 х 3 = -6. Это х=-1, х=2 и х=3.
Применение формул сокращённого умножения.
Литература
1. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М. государственное издательство физико-математической литературы, 1970.
2. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
3. Ю.М. Колягин. Алгебра и начала анализа: учебник(профильного и базового уровня) для 10 класса общеобразовательных учреждений-М.: Мнемозина 2006.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс М., Просвещение, 1996.
5. К.С. Муравин. Алгебра 8: учебник для общеобразовательных учреждений-М:Дрофа, 2008
6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 2007.
7. /spr/algebra/ferrary.htm
КОНТАКТЫ:
347611,Ростовская область, Сальский район, х. Маяк, ул. Центральная,4
С одним неизвестным, то есть уравнений вида (*) Pn(х)= ...
Календарно-тематический план проведения занятий > Методическая разработка «Решение целых уравнений» календарно тематический план «Школа будущего абитуриента» 10 класс
Календарно-тематический планДля уравнений высших степеней . Цель: Повторить формулы для квадратного уравнения , ввести формулы для уравнений высших степеней и показать... - многочлен стандартного вида, называют целым алгебраическим уравнением . С отдельными способами решения вы уже...
Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа , и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля , то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля , перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение, содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля .
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х 1 =0, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 2 =3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
х 1 =2, х 2 =3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.
Квадратные уравнения.
Квадратное уравнение - алгебраическое уравнение общего вида
где x - свободная переменная,
a, b, c, - коэффициенты, причём
Выражение 
называют квадратным трёхчленом.
Способы решения квадратных уравнений.
1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:
х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .
2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х 2 + 6х - 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде:
х 2 + 6х = х 2 + 2 х 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как
х 2 + 2 х 3 + 3 2 = (х + 3) 2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х 2 + 6х - 7 = 0 ,
прибавляя к ней и вычитая 3 2 . Имеем:
х 2 + 6х - 7 = х 2 + 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (х + 3) 2 - 9 - 7 = (х + 3) 2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3) 2 - 16 =0, (х + 3) 2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.
3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах) 2 + 2ах b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Примеры .
а) Решим уравнение: 4х 2 + 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, два разных корня;
Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при
b 2 - 4ac >0 , уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) Решим уравнение: 4х 2 - 4х + 1 = 0,
а = 4, b = - 4, с = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, один корень;
Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 - 4ac = 0
, то уравнение
ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,
в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0,
а = 2, b = 3, с = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.
Данное уравнение корней не имеет.
Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 - 4ac < 0 , уравнение
ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Формула (1) корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.
4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х 2 + px + c = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).
а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0 ), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p . Если р < 0 , то оба корня отрицательны, если р < 0 , то оба корня положительны.
Например,
x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .
Например,
x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;
x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.
Примеры.
1) Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то
х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345.
Ответ: 1; -208/345.
2)Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то
х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132.
Ответ: 1; 115/132.
Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
Пример.
Решим уравнение 3х2 - 14х + 16 = 0 .
Решение . Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7 ;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;
Ответ: 2; 8/3
В. Приведенное уравнение
х 2 + рх + q= 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
Принимает вид:
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р - четное число.
Пример.
Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х 1,2 =7±
Ответ: х 1 = 15; х 2 = -1.
5. СПОСОБ: Решение уравнений графически.
Пример. Решить уравнение х2 - 2х - 3 = 0.
Построим график функции у = х2 - 2х - 3
1) Имеем: а = 1, b = -2, х0 = = 1, у0 = f(1)= 12 - 2 - 3= -4. Значит, вершиной параболы служит точка (1; -4), а осью параболы - прямая х = 1.
2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки х = -1 и х = 3.
Имеем f(-1) = f(3) = 0. Построим на координатной плоскости точки (-1; 0) и (3; 0).
3) Через точки (-1; 0), (1; -4), (3; 0) проводим параболу (рис. 68).
Корнями уравнения х2 - 2х - 3 = 0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: х1 = - 1, х2 - 3.
Предыдущая статья: Чему равна скорость света Следующая статья: Углерод — характеристика элемента и химические свойства