«В основе мироздания лежит понятие красоты»: физик объясняет квантовую теорию поля. Квантовая теория поля

Квантовая механика, не говоря уже о квантовой теории поля, имеет репутацию странной, пугающей и контринтуитивной науки. В научном сообществе есть те, кто по сей день ее не признает. Однако же квантовая теория поля - единственная подтвержденная экспериментом теория, способная объяснить взаимодействие микрочастиц при низких энергиях. Почему это важно? Андрей Ковтун, студент МФТИ и сотрудник кафедры фундаментальных взаимодействий, рассказывает, как с помощью этой теории добраться до главных законов природы или придумать их самим.

Как известно, все естественные науки подчиняются определенной иерархии. Например, биология и химия имеют физические основания. И если смотреть на мир через лупу и каждый раз увеличивать ее силу, проводя таким образом редукцию знания, мы потихоньку придем к квантовой теории поля. Это наука, которая описывает свойства и взаимодействия самых маленьких крупиц матери, из которых мы состоим, - частиц, которые принято называть элементарными. Некоторые из них - такие, как, например, электрон - существуют сами по себе, другие же объединяются и образуют составные частицы. Всем известные протоны и нейтроны как раз являются таковыми - они состоят из кварков. А вот сами по себе кварки уже элементарны. Так вот задача физиков - понять и вывести все свойства этих частиц и ответить на вопрос, есть ли еще что-то, что лежит глубже в иерархии фундаментальных физических законов.

Наша реальность - полевая, она состоит из полей, а мы лишь элементарные возбуждения этих полей

Для радикальных ученых конечная цель - полная редукция знаний о мире, для менее радикальных - более глубинное проникновение в тонкости микромира или сверхмикромира. Но как это возможно, если мы имеем дело лишь с частицами? Ответ очень прост. Мы просто берем и сталкиваем их, в прямом смысле разбиваем друг о друга - как дети, которые, желая посмотреть устройство какой-нибудь занятной вещицы, просто бросают ее на пол, а потом изучают осколки. Также и мы сталкиваем частицы, а потом смотрим, какие новые частицы получаются при столкновении, а какие распадаются после продолжительного путешествия в гордом одиночестве. Все эти процессы в квантовой теории описываются так называемыми вероятностями распада и рассеяния. Расчетами этих величин и занимается квантовая теория поля. Но не только ими.

Векторы вместо координат и скоростей

Основное отличие квантовой механики - в том, что мы больше не будем описывать физические тела с помощью координат и скоростей. Основное понятие в квантовой механике - это вектор состояния. Это шкатулка с квантово-механической информацией о физической системе, которую мы изучаем. Причем я использую слово «система», потому что вектор состояния - это штука, которая может описывать состояние как электрона, так и бабушки, лузгающей семечки на скамейке. То есть это понятие имеет очень широкий круг охвата. И мы хотим найти все векторы состояния, которые содержали бы в себе всю необходимую нам информацию об изучаемом объекте.

Далее естественно задаться вопросом «А как же нам эти векторы найти, а потом извлечь из них то, что хочется?». Здесь нам на помощь приходит следующее важное понятие квантовой механики - оператор. Это правило, по которому одному вектору состояния ставится в соответствие другой. Операторы должны обладать определенными свойствами, и некоторые из них (но не все) извлекают информацию из векторов состояния о нужных нам физических величинах. Такие операторы называются операторами физических величин.

Измерить то, что трудно измерить

Квантовая механика последовательно решает две задачи - стационарную и эволюционную, причем по очереди. Суть стационарной задачи состоит в том, чтобы определить все возможные векторы состояния, которые могут описывать физическую систему в данный момент времени. Такие векторы являются так называемыми собственными векторами операторов физических величин. Определив их в начальный момент, интересно проследить, как они будут эволюционировать, то есть меняться со временем.

Мюон - неустойчивая элементарная частица с отрицательным электрическим зарядом и спином 1⁄2. Антимюон - античастица с квантовыми числами (в том числе зарядом) противоположного знака, но с равной массой и спином.

Посмотрим на эволюционную задачу с точки зрения теории элементарных частиц. Пусть мы хотим столкнуть электрон и его партнера - позитрон. Другими словами, у нас есть вектор состояния-1, который описывает электрон-позитронную пару с определенными импульсами в начальном состоянии. А потом мы хотим узнать, с какой вероятностью после столкновения электрона и позитрона родятся мюон и антимюон. То есть система будет описываться вектором состояния, который содержит информацию про мюон и его антипартнера тоже с определенными импульсами в конечном состоянии. Вот вам и эволюционная задача - мы хотим узнать, с какой вероятностью наша квантовая система перескочит из одного состояния в другое.

Пусть мы также решаем задачу о переходе физической системы из состояния-1 в состояние-2. Допустим, у вас есть шарик. Он хочет попасть из точки A в точку B, и существует множество мыслимых путей, по которым он мог бы совершить это путешествие. Но повседневный опыт показывает, что если вы кидаете шарик под определенным углом и с определенной скоростью, то у него есть только один реальный путь. Квантовая же механика утверждает другое. Она говорит, что шарик путешествует одновременно по всем этим траекториям. Каждая из траекторий вносит свой (больший или меньший) вклад в вероятность перехода из одной точки в другую.

Поля

Квантовая теория поля называется так потому, что она описывает не частицы сами по себе, а некоторые более общие сущности, которые называются полями. Частицы же в квантовой теории поля являются элементарными переносчиками полей. Представьте воды мирового океана. Пусть наш океан спокоен, на его поверхности ничего не бурлит, нет волн, пены и так далее. Наш океан есть поле. А теперь представьте уединенную волну - только один гребень волны в форме горки, родившийся в результате какого-то возбуждения (например, удара по воде), который теперь путешествует по бескрайним просторам океана. Это частица. Эта аналогия иллюстрирует главную идею: частицы есть элементарные возбуждения полей. Таким образом, наша реальность - полевая, а мы состоим лишь из элементарных возбуждений этих полей. Будучи рожденными этими самыми полями, их кванты содержат в себе все свойства своих прародителей. Такова роль частиц в мире, в котором одновременно существует множество океанов, именуемых полями. С классической точки зрения поля сами по себе - это обычные числовые функции. Они могут состоять только из одной функции (скалярные поля), а могут - из множества (векторные, тензорные и спинорные поля).

Действие

Вот теперь пришло время снова вспомнить о том, что каждая траектория, по которой физическая система переходит из состояния-1 в состояние-2, формируется некоторой амплитудой вероятности. В своих работах американский физик Ричард Фейнман предположил, что вклады всех траекторий равны по величине, но отличаются на фазу. По-простому, если у вас волна (в данном случае - квантовая волна вероятности) путешествует из одной точки в другую, фаза (деленная на множитель 2π) показывает, сколько колебаний укладывается на этом пути. Эта фаза есть число, которое вычисляется с помощью некоторого правила. А число это называется действием.

В основе мироздания, по сути, лежит понятие красоты, которое получило отражение в термине «симметрия»

С действием связан основной принцип, на котором сейчас строятся все разумные модели, описывающие физику. Это принцип наименьшего действия, и, коротко говоря, суть его состоит в следующем. Пусть у нас есть физическая система - это может быть как точка, так и шарик, который хочет переместиться из одного места в другое, или это может быть какая-то конфигурация поля, которая хочет измениться и стать другой конфигурацией. Они могут сделать это множеством способов. Например, частичка пытается в поле тяготения Земли попасть из одной точки в другую, и мы видим, что, в общем-то, путей, по которым она может это сделать, бесконечно много. Но жизнь подсказывает, что в действительности при заданных начальных условиях траектория, которая позволит ей попасть из одной точки в другую, только одна. Теперь - к сути принципа наименьшего действия. Мы каждой траектории по определенному правилу приписываем число, называемое действием. Потом сравниваем все эти числа и выбираем только те траектории, для которых действие будет минимальным (в некоторых случаях - максимальным). Используя такой способ выбора путей наименьшего действия, можно получать законы Ньютона для классической механики или уравнения, описывающие электричество и магнетизм!

Остается осадок оттого, что не очень понятно, что это за число такое - действие? Если сильно не приглядываться, то это некоторая абстрактная математическая величина, которая, на первый взгляд, не имеет никакого отношения к физике - кроме того, что она случайным образом выплевывает известный нам результат. На самом деле все намного интереснее. Принцип наименьшего действия в самом начале был получен как следствие законов Ньютона. Потом на его основе сформулировали законы распространения света. Также его можно получить из уравнений, описывающих законы электричества и магнетизма, а потом в обратную сторону - из принципа наименьшего действия прийти к этим же законам.

Замечательно, что разные, на первый взгляд, теории обретают одинаковую математическую формулировку. И это наталкивает нас на следующее предположение: не можем ли мы сами придумывать какие-нибудь законы природы с помощью принципа наименьшего действия, а потом искать их в эксперименте? Можем и делаем! В этом и состоит значение этого неестественного и сложного для понимания принципа. Но он работает, что заставляет задуматься о нем именно как о некоторой физической характеристике системы, а не как об абстрактной математической формулировке современной теоретической науки. Важно также отметить, что мы не можем писать любые действия, которые подскажет нам наше воображение. Пытаясь придумать, как должно выглядеть действие очередной физической теории поля, мы используем симметрии, которыми обладает физическая природа, и наряду с фундаментальными свойствами пространства-времени мы можем использовать множество других интересных симметрий, которые подсказывает нам теория групп (раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. - Прим. ред.) .

О красоте симметрии

Замечательно, что мы получили не просто сводку законов, описывающую какие-то природные явления, а именно способ теоретически получать законы типа ньютоновских или уравнений Максвелла. И хотя квантовая теория поля описывает элементарные частицы лишь на уровне низких энергий, она уже сослужила хорошую службу физикам во всем мире и пока является единственной теорией, здраво описывающей свойства самых мелких кирпичиков, составляющих наш мир. То, чего, собственно, хотят ученые, - это написать такое вот действие, только квантовое, которое содержало бы в себе сразу все возможные законы природы. Хотя даже если бы это удалось, то не разрешило бы всех интересных нам вопросов.

В основе глубинного понимания законов природы лежат некоторые сущности, которые имеют чисто математическую природу. И сейчас, чтобы попытаться проникнуть в глубины мироздания, приходится отказываться от качественных, интуитивно понятных аргументов. Рассказывая о квантовой механике и квантовой теории поля, очень тяжело найти понятные и наглядные аналогии, но самое главное, что я хотел бы донести, - это то, что в основе мироздания лежит, по сути, понятие красоты, которое получило отражение в термине «симметрия». Симметрия поневоле ассоциируется с красотой, как это было, например, у древних греков. И именно симметрии наряду с законами квантовой механики лежат в основе устройства самых маленьких кирпичиков мира, до которых к настоящему моменту удалось добраться физикам.

Другие книги схожей тематики:

См. также в других словарях:

Уравнение Дирака - релятивистски инвариантное уравнение движения для би спинорного классического поля электрона, применимое также для описания других точечных фермионов со спином 1/2; установлено П. Дираком в 1928. Содержание 1 Вид уравнения 2 Физический смысл … Википедия

Матрицы Дирака - (также известные как гамма матрицы) набор матриц, удовлетворяющих особым антикоммутационным соотношениям. Часто используются в релятивистской квантовой механике. Содержание 1 Определение 1.1 Пятая гамма матрица … Википедия

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ (КТП), квантовая теория релятивистских систем с бесконечным числом степеней свободы (релятивистских полей), являющаяся теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и взаимопревращений.

Квантовые поля. Квантовое (квантованное) поле представляет собой синтез понятий классического поля типа электромагнитного и поля вероятностей квантовой механики. По современным представлениям, квантовое поле - наиболее фундаментальная и универсальная форма материи.

Представление о классическом электромагнитном поле возникло в теории электромагнетизма Фарадея - Максвелла и приобрело современный вид в специальной теории относительности, потребовавшей отказа от эфира как материального носителя электромагнитных процессов. При этом поле является не формой движения какой-либо среды, а специфической формой материи. В отличие от частиц, классическое поле непрерывно создаётся и уничтожается (испускается и поглощается зарядами), обладает бесконечным числом степеней свободы и не локализуется в определённых точках пространства-времени, но может распространяться в нём, передавая сигнал (взаимодействие) от одной частицы к другой с конечной скоростью, не превосходящей скорости света с.

Возникновение идей о квантовании привело к пересмотру классических представлений о непрерывности механизма испускания и поглощения света и к выводу, что эти процессы происходят дискретно - путём испускания и поглощения квантов электромагнитного поля - фотонов. Возникшую противоречивую с точки зрения классической физики картину, когда с электромагнитным полем сопоставлялись фотоны и одни явления поддавались интерпретации лишь в терминах волн, а другие - только с помощью представления о квантах, назвали корпускулярно-волновым дуализмом. Это противоречие разрешилось последовательным применением к полю идей квантовой механики. Динамические переменные электромагнитного поля - потенциалы А, φ и напряжённости электрического и магнитного полей Е, Н - стали квантовыми операторами, подчиняющимися определённым перестановочным соотношениям и действующими на волновую функцию (амплитуду или вектор состояния) системы. Так возник новый физический объект - квантовое поле, удовлетворяющее уравнениям классической электродинамики, но имеющее своими значениями квантово-механические операторы.

Введение понятия квантового поля связано также с волновой функцией частицы ψ(х, t), которая является не самостоятельной физической величиной, а амплитудой состояния частицы: вероятности любых относящихся к частице физических величин определяются билинейными по ψ выражениями. Т.о., в квантовой механике с каждой материальной частицей связано новое поле - поле амплитуд вероятностей. Обобщение на случай многих частиц, удовлетворяющих принципу неразличимости (тождественности принципу), означает, что для описания всех частиц достаточно одного поля в четырёхмерном пространстве-времени, являющегося оператором в квантовой механике. Это достигается переходом к новому квантово-механическому представлению - представлению чисел заполнения (или представлению вторичного квантования).

Введённое таким путём операторное поле аналогично квантованному электромагнитному полю и отличается от него лишь выбором представления группы Лоренца и, возможно, способом квантования. Подобно электромагнитному полю, одно такое поле соответствует всей совокупности тождественных частиц данного сорта; например, одно операторное поле Дирака описывает все электроны (и позитроны) Вселенной.

Таким образом, на смену полям и частицам классической физики пришли единые физические объекты - квантовые поля в четырёхмерном пространстве-времени, по одному для каждого сорта частиц или полей (классических). Элементарным актом всякого взаимодействия стало взаимодействие нескольких полей в одной точке пространства-времени или - на корпускулярном языке - локальное и мгновенное превращение одних частиц в другие. Классическое же взаимодействие в виде сил, действующих между частицами, оказывается вторичным эффектом, возникающим в результате обмена квантами поля, переносящего взаимодействие.

Свободные поля и корпускулярно-волновой дуализм. Существуют полевое и корпускулярное представления КТП. При полевом подходе рассматривается теория соответствующего классического поля, которое затем квантуется по предложенному В. Гейзенбергом и В. Паули образцу квантования электромагнитного поля, и далее строится его корпускулярная интерпретация. Исходным понятием здесь является поле u а (х) (индекс а нумерует компоненты поля), определённое в каждой пространственно-временной точке х = (ct, х) и осуществляющее какое-либо представление группы Лоренца. Далее теория строится с помощью лагранжева формализма: выбирают локальный [т. е. зависящий лишь от компонент поля u а (х) и их первых производных ∂ μ u а (х) = ∂u а (х) / ∂x μ = u μ а (х) (μ = 0,1,2,3) в одной точке х] квадратичный пуанкаре-инвариантный лагранжиан L(x) = L(u a , ∂ μ u b) и из принципа наименьшего действия δS = δ∫d 4 xL(x) = 0 получают уравнения движения. Для квадратичного лагранжиана они линейны - свободные поля удовлетворяют принципу суперпозиции.

В силу теоремы Нётер из инвариантности действия S относительно каждой однопараметрической группы следует сохранение (независимость от времени) одной, явно указываемой теоремой, интегральной функции от u а и ∂ μ u b . Поскольку сама группа Пуанкаре содержит 10 параметров, в КТП обязательно сохраняются 10 величин (которые иногда называют фундаментальными динамическими величинами): четыре компоненты вектора энергии-импульса Р μ и шесть компонент момента импульса - три компоненты трёхмерного момента импульса М i = (1/2)ε ijk M jk и три т.н. буста N i = c -1 M 0i (i,j,k= 1,2,3, ε ijk - единичный полностью антисимметричный тензор; по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). С математической точки зрения Р μ , M i , N i - генераторы группы Пуанкаре.

Каноническое квантование, согласно общим принципам квантовой механики, состоит в том, что обобщённые координаты (т. е. набор значений всех компонент поля u 1 ,..., u N во всех точках x пространства в некоторый момент времени t) и обобщённые импульсы π b (x, t) = ∂L/∂u b (x, t) объявляют операторами, действующими на амплитуду состояния (вектор состояния) системы, и налагают на них перестановочные соотношения:

Альтернативный вариант квантования, ковариантное квантование, состоит в установлении перестановочных соотношений на сами полевые операторы в двух произвольных точках х и у в релятивистски симметричной форме:

где D m - перестановочная функция Паули - Йордана, удовлетворяющая Клейна - Фока - Гордона уравнению (здесь и далее используется система единиц ħ = с = 1, ħ - постоянная Планка).

При корпускулярном подходе векторы состояния свободных частиц должны образовывать неприводимое представление группы Пуанкаре, которое фиксируется заданием значений операторов Казимира (операторов, коммутирующих со всеми десятью генераторами группы Р μ , M i и N i): оператора квадрата массы m 2 = Ρ μ Ρ μ и квадрата обычного (трёхмерного) спина, а при нулевой массе - оператора спиральности (проекции спина на направление движения). Спектр m 2 непрерывен, а спектр спина дискретен, он может иметь целые или полуцелые значения: 0,1/2,1,... в единицах магнетона Бора. Кроме того, надо задать поведение вектора состояния при отражении нечётного числа координатных осей. Если частица обладает ещё какими-либо характеристиками (электрическим зарядом, изоспином и пр.), то этому соответствуют новые квантовые числа; обозначим их буквой τ.

В представлении чисел заполнения состояние совокупности одинаковых частиц фиксируется числами заполнения n р,s,τ всех одночастичных состояний. В свою очередь, вектор состояния |n р,s,τ) записывают как результат действия на вакуумное состояние |0) (состояние, в котором вовсе нет частиц) операторов рождения а + (р, s, τ):

(3)

Операторы рождения а + и эрмитово сопряжённые им операторы уничтожения а - удовлетворяют перестановочным соотношениям

(4)

где знаки плюс и минус отвечают соответственно Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна квантованию, а числа заполнения являются собственными значениями операторов числа частиц n р, s, τ = а + аˉ.

Чтобы учесть локальные свойства теории, надо перевести операторы а ± в координатное представление и построить суперпозицию операторов рождения и уничтожения. Для нейтральных частиц это можно сделать непосредственно, определяя локальное лоренц-ковариантное поле как

Но для заряженных частиц такой подход неприемлем: операторы а τ + и а τ ˉ в (5) будут один увеличивать, а другой уменьшать заряд, и их линейная комбинация не будет обладать в этом отношении определёнными свойствами. Поэтому для образования локального поля приходится привлекать в пару к операторам рождения а τ + операторы уничтожения а τ ˉ не тех же частиц, а новых частиц, реализующих то же представление группы Пуанкаре, т. е. обладающих в точности теми же массой и спином, но отличающихся от первоначальных знаком заряда (знаками всех зарядов τ).

Из теоремы Паули следует, что для полей целочисленного спина, полевые функции которых однозначно представляют группы Лоренца, при квантовании по Бозе - Эйнштейну коммутаторы - или - пропорциональны функции Dm(х - у) и исчезают вне светового конуса, в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого спина то же достигается для антикоммутаторов [и(х), u(у)] + или + при квантовании по Ферми - Дираку. Связь между удовлетворяющими линейным уравнениям функциями поля и или v, v* и операторами рождения и уничтожения а τ ± и а ~ τ ± свободных частиц в стационарных квантово-механических состояниях есть точное математическое описание корпускулярно-волнового дуализма. Новые, «рождаемые» операторами а ~ τ ± частицы, без которых нельзя было построить локальные поля, по отношению к первоначальным называются античастицами. Неизбежность существования античастицы для каждой заряженной частицы - один из главных выводов квантовой теории свободных полей.

Взаимодействие полей. Решения уравнений свободного поля пропорциональны операторам рождения и уничтожения частиц в стационарных состояниях, т. е. могут описывать лишь такие ситуации, когда с частицами ничего не происходит. Чтобы рассмотреть также случаи, когда одни частицы влияют на движение других либо превращаются в другие, нужно сделать уравнения движения нелинейными, то есть включить в лагранжиан, кроме квадратичных по полям членов, ещё и члены с более высокими степенями. Лагранжиан взаимодействия L int (х) может быть любой функцией полей и их первых производных, удовлетворяющей ряду условий: 1) локальности взаимодействия, требующей, чтобы L int (х) зависел от различных полей u а (х) и их первых производных только в одной точке пространства-времени х; 2) релятивистской инвариантности, для выполнения которой L int (х) должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца; 3) инвариантности относительно преобразований из групп внутренних симметрий, если таковые имеются у рассматриваемой модели. Для теорий с комплексными полями существует также требование эрмитовости лагранжиана, что обеспечивает положительность вероятностей всех процессов.

Кроме того, можно требовать инвариантности теории относительно некоторых дискретных преобразований, таких как пространственная инверсия Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С (заменяющее частицы на античастицы). Доказано (теорема СРТ), что всякое взаимодействие, удовлетворяющее условиям 1-3, обязательно должно быть инвариантным относительно одновременного выполнения этих трёх дискретных преобразований.

Многообразие лагранжианов взаимодействия, удовлетворяющих условиям 1-3, столь же широко, как многообразие функций Лагранжа в классической механике. Однако после квантования в теории возникает проблема сингулярностей при перемножении операторов в одной точке, что приводит к так называемой проблеме ультрафиолетовых расходимостей (смотри Расходимости в КТП). Их устранение с помощью перенормировок в квантовой электродинамике (КЭД) выделило класс перенормируемых взаимодействий. Условие 4 - условие перенормируемости - оказывается весьма ограничивающим, и его добавление к условиям 1-3 допускает лишь взаимодействия с L int , имеющим вид полиномов невысокой степени по рассматриваемым полям, причём поля сколько-нибудь высоких спинов вообще исключаются из рассмотрения. Таким образом, взаимодействие в перенормируемой КТП не допускает (в отличие от классической и квантовой механики) никаких произвольных функций: как только выбран конкретный набор полей, произвол в L int ограничивается фиксированным числом констант взаимодействия (констант связи).

Полную систему уравнений КТП со взаимодействием (в представлении Гейзенберга) составляют уравнения движения, получающиеся из полного лагранжиана, и канонические перестановочные соотношения (1). Точное решение такой задачи удаётся найти лишь в небольшом числе случаев (например, для некоторых моделей в двумерном пространстве-времени).

Наибольшее распространение в КТП получил метод, основанный на переходе к представлению взаимодействия, в котором поля u а (х) удовлетворяют линейным уравнениям движения для свободных полей, а всё влияние взаимодействия и самодействия переведено на временную эволюцию амплитуды состояния Ф, которая теперь не постоянна, а изменяется в соответствии с уравнением типа уравнения Шрёдингера:

причем гамильтониан взаимодействия H int (t) в этом представлении зависит от времени через поля u а (х), подчиняющиеся свободным уравнениям и релятивистски-ковариантным перестановочным соотношениям (2); таким образом, оказывается ненужным явное использование канонических коммутаторов (1) для взаимодействующих полей. Для сравнения с опытом решается задача о рассеянии частиц, в постановке которой принимается, что асимптотически, при t → -∞ (+∞), система пребывала в стационарном состоянии (придёт в стационарное состояние) Ф -∞ (Ф +∞), причём Ф ±∞ таковы, что частицы в них не взаимодействуют из-за больших взаимных расстояний, так что всё взаимное влияние частиц происходит только при конечных временах вблизи t = 0 и преобразует Ф -∞ в Ф +∞ = SФ -∞ . Оператор S называется матрицей рассеяния (или S-матрицей); через квадраты его матричных элементов

(7)

выражаются вероятности переходов из данного начального состояния Ф i в некоторое конечное состояние Ф f , то есть эффективные сечения различных процессов. Таким образом, S-матрица позволяет находить вероятности физических процессов, не вникая в детали временной эволюции, описываемой амплитудой Ф(t). Тем не менее S-матрицу обычно строят исходя из уравнения (6), которое допускает формальное решение в компактном виде

(8)

с помощью оператора Т хронологического упорядочения, располагающего все операторы полей в порядке убывания времени t = х 0 . Выражение (8) есть символическая запись процедуры последовательного интегрирования уравнения (6) от - ∞ до + ∞ по бесконечно малым интервалам времени (t, t + ∆t), а не пригодное для использования решение. Для вычисления матричных элементов (7) необходимо представить матрицу рассеяния в форме не хронологического, а нормального произведения, в котором все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. Преобразование одного произведения в другое и составляет истинную трудность решения задачи.

Теория возмущений. По этой причине для конструктивного решения задачи приходится прибегать к предположению о слабости взаимодействия, т. е. малости лагранжиана взаимодействия L int . Тогда можно разложить хронологическую экспоненту в выражении (8) в ряд теории возмущений, и матричные элементы (7) будут выражаться в каждом порядке теории возмущений через матричные элементы простых хронологических произведений соответствующего числа лагранжианов взаимодействия. Эта задача практически выполняется с помощью техники Фейнмана диаграмм и правил Фейнмана. При этом каждое поле u а (х) характеризуется своей причинной функцией Грина (пропагатором, или функцией распространения) D c aa ’(x - у), изображаемой на диаграммах линией, а каждое взаимодействие - константой связи и матричным множителем из соответствующего слагаемого в L int , изображаемыми на диаграмме вершиной. Техника диаграмм Фейнмана проста в использовании и очень наглядна. Диаграммы позволяют представить процессы распространения (линии) и взаимопревращения (вершины) частиц - реальных в начальных и конечных состояниях и виртуальных в промежуточных (на внутренних линиях). Особенно простые выражения получаются для матричных элементов любого процесса в низшем порядке теории возмущений, которым соответствуют так называемые древесные диаграммы, не имеющие замкнутых петель, - после перехода к импульсному представлению в них не остаётся интегрирований. Для основных процессов КЭД такие выражения для матричных элементов были получены на заре возникновения КТП в конце 1920-х годов и оказались в разумном согласии с опытом (уровень соответствия 10ˉ 2 —10ˉ 3 , т. е. порядка постоянной тонкой структуры α). Однако попытки вычисления радиационных поправок (связанных с учётом высших приближений) к этим выражениям наталкивались на специфические трудности. Таким поправкам отвечают диаграммы с замкнутыми петлями из линий виртуальных частиц, импульсы которых не фиксированы законами сохранения, и полная поправка равна сумме вкладов от всех возможных импульсов. Оказалось, что в большинстве случаев возникающие при суммировании этих вкладов интегралы по импульсам виртуальных частиц расходятся в УФ-области, то есть сами поправки оказываются не только не малыми, но бесконечными. Согласно соотношению неопределённостей, большим импульсам отвечают малые расстояния. Поэтому можно полагать, что физические истоки расходимостей лежат в представлении о локальности взаимодействия.

Расходимости и перенормировки . Математически появление расходимостей связано с тем, что пропагаторы D c (х) являются сингулярными (точнее, обобщёнными) функциями, обладающими в окрестности светового конуса при х 2 ≈ 0 особенностями типа полюсов и дельта-функций по х 2 . Поэтому их произведения, возникающие в матричных элементах, которым на диаграммах отвечают замкнутые петли, плохо определены с математической точки зрения. Импульсные фурье-образы таких произведений могут не существовать, а формально выражаться через расходящиеся импульсные интегралы.

Проблема УФ-расходимостей была практически решена (т. е. получены конечные выражения для большинства важных физических величин) во 2-й половине 1940-х годов на основе идеи о перенормировках (ренормировках). Суть последней состоит в том, что бесконечные эффекты квантовых флуктуаций, отвечающих замкнутым петлям диаграмм, могут быть выделены в множители, имеющие характер поправок к исходным характеристикам системы. В итоге массы и константы связи g меняются за счёт взаимодействия, т. е. перенормируются. При этом из-за УФ-расходимостей ренормирующие добавки оказываются бесконечно большими. Соотношения перенормировок, связывающие исходные, так называемые затравочные, массы m 0 и затравочные заряды (константы связи) g 0 с физическими m, g:

(9)

(где Z m , Z g - множители перенормировки), оказываются сингулярными. Чтобы избежать сингулярности, вводят вспомо-гательную регуляризацию расходимостей. В аргументах [обозначенных в правых частях (9) многоточиями] радиационных поправок ∆m, ∆g и перенормировочных множителей Z i , наряду с m 0 и g 0 , содержатся сингулярные зависимости от параметров вспомогательной регуляризации. Расходимости устраняют, отождествляя перенормированные массы и заряды (константы связи) с их физическими значениями.

Класс моделей КТП, для которых все без исключения УФ-расходимости удаётся «убрать» в множители перенормировки масс и констант связи, называют классом перенормируемых теорий. В этих теориях все матричные элементы и функции Грина в результате оказываются выраженными несингулярным образом через физические массы, заряды и кинематические переменные. Математическую основу этого утверждения представляет теорема Боголюбова - Парасюка о перенормируемости, на основе которой достаточно просто получаются конечные однозначные выражения для матричных элементов.

В неперенормируемых моделях не удаётся «собрать» все расходимости в перенормировки масс и зарядов. В подобных теориях в каждом новом порядке теории возмущений возникают новые расходящиеся структуры, т. е. они содержат бесконечное число параметров. К такому классу теорий относится, например, квантовая теория гравитации.

Перенормируемые модели КТП характеризуются, как правило, безразмерными константами связи, логарифмически расходящимися вкладами в перенормировку констант связи и масс фермионов и квадратично расходящимися радиационными поправками к массам скалярных частиц (если они есть). Для подобных моделей в результате перенормировки получают перенормированную теорию возмущений, которая и служит основой практических расчётов.

Преобразования (9), связывающие затравочные и перенормируемые константы взаимодействия, имеют групповой характер и образуют непрерывную группу, называемую ренормализационной группой (ренормгруппой). При изменении масштаба функции Грина умножаются на множители, которые нелинейным образом зависят от констант взаимодействия и вычисляются по теории возмущений, а сами константы взаимодействия меняются согласно (9). Решая соответствующие такому масштабному преобразованию дифференциальные уравнения ренормгруппы, можно получить замкнутые решения как функции от эффективных констант взаимодействия, зависящих от масштаба, которые соответствуют суммированию бесконечного ряда теории возмущений. Это позволяет, в частности, найти высокоэнергетические и низкоэнергетические асимптотики функций Грина.

Функциональный интеграл. В КТП важную роль играют полные функции Грина, включающие в себя эффекты взаимодействия. Они могут быть представлены бесконечными суммами членов, отвечающих всё более усложняющимся диаграммам Фейнмана с фиксированным числом и типом внешних линий. Для подобных величин можно дать формальные определения либо через вакуумные средние хронологического произведений полевых операторов в представлении взаимодействия и S-матрицы (что эквивалентно вакуумным средним от Г-произведений полных, то есть гейзенберговых, операторов), либо через функциональные производные от производящего функционала, представленного в виде функционального интеграла, зависящего от вспомогательных классических источников J a (х) полей u а (х). Формализм производящих функционалов в КТП является аналогом соответствующего формализма статистической физики. Он позволяет для полных функций Грина и вершинных функций получить уравнения в функциональных производных, из которых, в свою очередь, можно получить бесконечную цепочку интегро-дифференциальных уравнений, подобных цепочке уравнений для корреляционной функции статистической физики.

Функционального интеграла метод, получивший значительной развитие с 1970-х годов, особенно в теории неабелевых калибровочных полей, является обобщением на КТП квантово-механического метода интегралов по траекториям. В КТП такие интегралы можно рассматривать как формулы усреднения соответствующих классических выражений (например, классической функции Грина для частицы, движущейся в заданном внешнем поле) по квантовым флуктуациям полей.

Первоначально идея перенесения метода функционального интеграла в КТП была связана с надеждой получить компактные замкнутые выражения для основных квантово-полевых величин, пригодные для конструктивных вычислений. Однако выяснилось, что из-за трудностей математического характера строгое определение можно дать лишь интегралам гауссова типа, которые только и поддаются точному вычислению. Поэтому представление функционального интеграла долгое время рассматривали как компактную формальную запись квантово-полевой теории возмущений. Позднее конечнократное представление функционального интеграла в евклидовом пространстве стали использовать для проведения компьютерных расчётов на пространственной решётке (смотри Решёточные теории поля), что позволяет получить результаты, не опирающиеся на теорию возмущений. Представление функционального интеграла сыграло также важную роль в работах по квантованию Янга - Миллса полей и доказательству их перенормируемости.

Лит.: Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. 4-е изд. М., 1981; Вайскопф В. Ф. Как мы взрослели вместе с теорией поля // Успехи физических наук. 1982. Т. 138. №11; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. 4-е изд. М., 1984; они же. Квантовые поля. 2-е изд. М., 1993; Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. М., 1984. Т. 1-2; Берестецкий В. Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. 4-е изд. М., 2002; Общие принципы квантовой теории поля. М., 2006.

Д. В. Ширков, Д. И. Казаков.

Предисловие

Соглашения, обозначения и единицы измерений

Часть I. МОТИВИРОВКА И ОБОСНОВАНИЕ

Глава 1.1. Кому это нужно?

Глава 1.2. Формулировка квантовой физики на языке интеграла по траекториям

Глава 1.3. От матраца к полю

Глава 1.4. От поля к частице и к силе

Глава 1.5. Кулон и Ньютон: отталкивание и притяжение

Глава 1.6. Закон обратных квадратов и плавающая 3-брана

Глава 1.7. Диаграммы Фейнмана

Глава 1.8. Каноническое квантование и возмущение вакуума

Глава 1.9. Симметрия

Глава 1.10. Теория поля в искривленном пространстве-времени

Глава 1.11. Резюме теории поля

Часть II. ДИРАК И СПИНОР

Глава II. 1. Уравнение Дирака

Глава II.2. Квантование дираковского поля

Глава II.3. Группа Лоренца и спиноры Вейля

Глава П.4. Связь спина со статистикой

Глава II.5. Энергия вакуума, грассмановы интегралы и фейнма-новские диаграммы для фермионов

Глава II.6. Рассеяние электронов и калибровочная инвариантность

Глава II.7. Диаграммное доказательство калибровочной инвариантности

Часть III. ПЕРЕНОРМИРОВКА И КАЛИБРОВОЧ

Глава III. 1. Обрезание нашего незнания

Глава III.2. Перенормируемые против неперенормируемых

Глава III.3. Контрчлены и физическая теория возмущений

Глава III.4. Калибровочная инвариантность: фотон не знает по

Глава III.5. Теория поля без релятивистской инвариантности

Глава III.6. Магнитный момент электрона

Глава III.7. Поляризуя вакуум и перенормируя заряд

Часть IV. СИММЕТРИЯ И НАРУШЕНИЕ СИМ

НАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

Глава IV. 1

Нарушение симметрии

Пион как намбу-голдстоуновский бозон

Глава IV. 3

Эффективный потенциал

Магнитный монополь

Глава IV.5. Неабелева калибровочная теория

Глава IV.6. Механизм Андерсона-Хиггса

Глава IV.7. Киральная аномалия

Часть V. ТЕОРИЯ ПОЛЯ И КОЛЛЕКТИВНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Глава V. 1. Сверхтекучие жидкости

Глава V.2. Евклид, Больцман, Хокинг и теория поля при конечной температуре

Глава V.3. Теория критических явлений Гинзбурга-Ландау

Глава V.4. Сверхпроводимость

Глава V.5. Пайерлсовская неустойчивость

Глава V.6. Солитоны

Глава V.7. Вихри, монополи и инстантоны

Часть VI. ТЕОРИЯ ПОЛЯ И КОНДЕНСИРОВАННЫЕ СРЕДЫ

Глава VI. 1. Дробная статистика, член Черна-Саймонса и топологическая теория поля

Глава VI.2. Квантовые холловские жидкости

Глава VI.3. Дуальность

Глава VI.4. сг-модели как эффективные теории поля

Глава VI.5. Ферромагнетики и антиферромагнетики

Глава VI.6. Поверхностный рост и теория поля

Глава VI.7. Беспорядок: реплики и грассманова симметрия..

Глава VI.8. Ренорм-групповой поток как естественное понятие в физике высоких энергий и конденсированных сред

Часть VII. ВЕЛИКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ

Глава VII. 1. Квантование теории Янга-Миллса и калибровочная теория на решетке

Глава VII.2. Электрослабое объединение

Глава VII.3. Квантовая хромодинамика

Глава VII.4. Разложение по большим N

Глава VII.5. Великое объединение

Глава VII.6. Протоны не вечны

Глава VII.7. Объединение 50(10)

Часть VIII. ГРАВИТАЦИЯ И ЗА ЕЕ ПРЕДЕЛАМИ А

Глава VIII. 1. Гравитация как теория поля и картина Калуцы-Клейна

Глава VIII.2. Проблема космологической постоянной и проблема космического совпадения

Глава VIII.3. Эффективная теория поля как подход к пониманию природы

Глава VIII.4. Суперсимметрия: очень краткое введение

Глава VIII.5. Немного о теории струн как 2-мерной теории поля Заключение

Приложение А. Гауссово интегрирование и основное тождество квантовой теории поля

Приложение В. Краткий обзор теории групп

Приложение С. Правила Фейнмана

Приложение D. Разные тождества и фейнмановские интегралы

Приложение Е. Пунктирные и непунктирные индексы. Майорановский спинор

Предметный указатель