Hogyan készítsünk koordinátasíkot. Koordinátasík: mi ez? Pontok jelölése és alakzatok szerkesztése a koordinátasíkon

Egy repülőn. Legyen az egyik x, a másik y. És legyenek ezek a vonalak egymásra merőlegesek (azaz derékszögben metsszék egymást). Ráadásul a metszéspontjuk mindkét egyenes koordinátáinak origója lesz, és az egységszakasz ugyanaz (1. ábra).

Szóval megkaptuk derékszögű koordinátarendszer, és a mi síkunk koordinátasík lett. Az x és y egyeneseket koordinátatengelyeknek nevezzük. Ezenkívül az x tengely az abszcissza tengely, az y tengely pedig az ordináta tengely. Az ilyen síkot általában a tengelyek nevével és a referenciaponttal jelölik - xOy. A derékszögű koordináta-rendszert is nevezik Derékszögű koordinátarendszer, mivel a francia matematikus és filozófus, Rene Descartes először kezdte el aktívan használni.

Az x és y egyenesek által alkotott derékszögeket nevezzük koordinátaszögek. Mindegyik saroknak saját száma van, amint az az ábrán látható. 2.

Tehát, amikor a koordinátaegyenesről beszéltünk, ezen az egyenesen minden pontnak volt egy koordinátája. Most, amikor a koordinátasíkról beszélünk, akkor ennek a síknak minden pontjában már két koordináta lesz. Az egyik az x egyenesnek felel meg (ezt a koordinátát hívják abszcissza), a másik az y egyenesnek felel meg (ezt a koordinátát hívják ordináta). Ez így írható: M(x;y), ahol x az abszcissza és y az ordináta. Olvassa el: „M pont x, y koordinátákkal.”

Hogyan határozzuk meg egy pont koordinátáit egy síkon?
Most már tudjuk, hogy a síkon minden pontnak két koordinátája van. Ahhoz, hogy megtudjuk a koordinátáit, csak két egyenest kell húznunk ezen a ponton, merőlegesen a koordinátatengelyekre. Ezeknek az egyeneseknek a koordinátatengelyekkel való metszéspontjai lesznek a szükséges koordináták. Így például az ábrán. A 3. ábrán megállapítottuk, hogy az M pont koordinátái 5 és 3.

Hogyan készítsünk pontot egy síkon a koordinátái alapján?
Az is előfordul, hogy már ismerjük egy pont koordinátáit a síkon. És meg kell találnunk a helyét. Tegyük fel, hogy pontunk koordinátái (-2;5). Vagyis az abszcissza egyenlő -2-vel, az ordináta pedig 5-tel. Vegyünk egy pontot az x egyenesen (abszcissza tengely) -2 koordinátájú, és húzzunk rajta egy a egyenest, párhuzamosan az y tengellyel. Vegye figyelembe, hogy ezen az egyenesen bármely pont abszcissza értéke -2 lesz. Most keressünk egy 5-ös koordinátájú pontot az y tengelyen (ordinátatengelyen), és húzzunk rajta egy b egyenest, párhuzamosan az x tengellyel. Jegyezzük meg, hogy ezen az egyenes bármely pontjának ordinátája 5 lesz. Az a és b egyenesek metszéspontjában lesz egy (-2;5) koordinátájú pont. Jelöljük P betűvel (4. ábra).

Tegyük hozzá azt is, hogy az a egyenest, amelynek minden pontjában -2 abszcissza van, az egyenlet adja meg
x = -2 vagy hogy x = -2 az a egyenes egyenlete. Az egyszerűség kedvéért nem azt mondhatjuk, hogy „az egyenes, amelyet az x = -2 egyenlet ad meg”, hanem egyszerűen „az egyenes x = -2”. Valójában az a egyenes bármely pontjára igaz az x = -2 egyenlőség. A b egyenest pedig, amelynek minden pontjában 5 ordináta van, az y = 5 egyenlet adja, vagy hogy y = 5 a b egyenes egyenlete.

Mi az a koordinátasík?

A „koordináták” kifejezés latinból fordítva „rendezett” szót jelent.

Tegyük fel, hogy meg kell jelölnünk egy pont helyzetét a síkon. Ehhez veszünk 2 merőleges egyenest, amelyeket koordinátatengelyeknek nevezünk, ahol X lesz az abszcissza tengely, Y az ordináta tengely, a koordináták origója pedig az O pont. A koordinátatengelyek segítségével képzett derékszögek koordinátaszögeknek nevezzük.

Így jutunk el a definícióhoz, és most már tudjuk, hogy a koordinátasík egy adott koordinátarendszerű sík.

Most nézzük meg a koordinátaszögek számozását:

Most jelenítsünk meg egy téglalap alakú koordináta-rendszert, és jelöljük meg benne az M pontot.

Ezután egy egyenest kell húznunk az M ponton keresztül, amely párhuzamos lesz az Y tengellyel. Most lássuk, mit kaptunk. Amint látjuk, az egyenes metszi az X tengelyt abban a pontban, ahol a koordináta -2 lesz. Ez a koordináta az M pont abszcisszán.

Most egy egyenest kell húznunk az M ponton keresztül, amely párhuzamos lesz az X tengellyel.

Látjuk, hogy ez az egyenes abban a pontban metszi az X tengelyt, amelynek koordinátája három. Ez a koordináta lesz az M pont ordinátája.

Az aktuális M koordinátáinak rögzítése így fog kinézni:

Az ilyen jelöléseknél mindig az abszcissza kerül az első helyre, az ordináta pedig a második helyre. Ha figyelembe vesszük az M(-2;3) pont koordinátáinak példáját, akkor a -2 az M pont abszcisszájaként működik, és ennek a pontnak az ordinátája a 3 lesz.

Ebből következik, hogy a koordinátasíkon minden M pont egy számpárnak felel meg, mint például az abszcisszája és az ordinátája. Az ellentétes állítás is igaz lesz, vagyis minden ilyen számpár a sík egy pontjának felel meg, amelyre ezek a számok koordinátái.

Gyakorlat:

Koordináta sík az életben

Véleménye szerint a koordinátasíkkal kapcsolatos ismeretek hasznosak lehetnek a mindennapi életben? És hallottál már olyan kifejezést, hogy „hagyd a koordinátáidat” vagy „milyen koordinátákon található”? És gondoltál már arra, hogy mit jelenthetnek ezek a kifejezések?

Kiderül, hogy minden nagyon egyszerű és banális, és ez egy vagy annak az objektumnak a helyét jelenti, amellyel könnyű megtalálni egy személyt vagy egy adott helyet. Bátran kijelenthetjük, hogy a koordinátarendszerek mindenhol szükségesek az ember gyakorlati életében.

Ilyen koordinátarendszer lehet lakcím, telefonszám, munkahely stb.

Hiszen a vonatjegyek vásárlásakor is nemcsak a számát és az úti célt kell tudni, hanem a kocsi számát és az ülésszámot is fel kell tüntetni.

Ahhoz, hogy egy osztálytársat meglátogassunk, nem elég csak azt a házat tudni, amelyben lakik, hanem a lakásszámot is tudni kell.

Gyakorlat

1. Milyen információkat kell tudnia ahhoz, hogy helyet foglaljon a színházban?
2. Milyen adatokra van szükség a földfelszíni pontok meghatározásához?
3. Milyen koordináták alapján határozható meg egy hely a moziban?
4. Mit kell tudni egy figura helyzetének meghatározásához a sakktáblán?
5. Milyen koordinátákat használsz tengeri csatában?

Történelmi háttér

A koordináták használatának ötlete az ókorba nyúlik vissza. Kezdetben a csillagászok kezdték használni őket az égitestek és a geográfusok meghatározására - a Föld felszínén lévő hely és objektumok meghatározására.

Az ókori görög csillagász, Claudius Plotomeus munkáinak köszönhetően a tudósok már a második században megtanulták meghatározni a hosszúságot és a szélességi fokot.

Tudod, miért van a matematikában olyan, hogy „derékszögű koordinátarendszer”? Kiderül, hogy az általános matematikai jelentőségű koordináta-módszert Pierre Fermat és Rene Descartes francia matematikusok fedezték fel a 17. században, és 1637-ben Rene Descartes írta le először egy geometriai könyvben.

De az „abszcissza”, „ordináta” és „koordináta” kifejezéseket először Wilhelm Leibniz vezette be a XVII.

Házi feladat:

A koordinátasík megértése

Minden objektumnak (például egy háznak, egy helynek a nézőtéren, egy pontnak a térképen) megvan a maga rendezett címe (koordinátái), amely szám- vagy betűjellel rendelkezik.

A matematikusok olyan modellt fejlesztettek ki, amely lehetővé teszi egy objektum helyzetének meghatározását, és az ún koordinátasík.

Koordinátasík megszerkesztéséhez $2$-t kell rajzolni merőleges vonalak, amelynek végén a „jobbra” és a „felfelé” irányt nyilak jelzik. Az egyenesekre osztásokat alkalmazunk, és a vonalak metszéspontja mindkét skála nullapontja.

1. definíció

A vízszintes vonalat ún x tengelyés x-szel jelöljük, és a függőleges vonalat hívjuk y tengelyés y-val jelöljük.

Két egymásra merőleges osztású x és y tengely alkotja négyszögletes, vagy kartéziánus, koordinátarendszer amelyet javasoltak francia filozófusés Rene Descartes matematikus.

Koordináta sík

Pont koordinátái

A koordinátasíkon egy pontot két koordináta határoz meg.

Meghatározni pont koordinátái$A$ a koordinátasíkon keresztül egyenes vonalakat kell húzni rajta, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel (az ábrán pontozott vonallal vannak kiemelve). Az egyenesnek az x tengellyel való metszéspontja adja meg az $A$ pont $x$ koordinátáját, az y tengellyel való metszéspont pedig a $A$ pont y koordinátáját. Egy pont koordinátáinak felírásakor először a $x$ koordináta, majd az $y$ koordináta kerül felírásra.

Az ábra $A$ pontjának $(3; 2)$, a $B (–1; 4)$ pontjának koordinátái vannak.

Pont ábrázolása a koordinátasíkon cselekedni fordított sorrendben.

Pont felépítése meghatározott koordinátákon

1. példa

A koordinátasíkon alkossunk $A(2;5)$ és $B(3; –1).$ pontokat

Megoldás.

$A$ pont építése:

• helyezzük a $2$ számot a $x$ tengelyre, és rajzoljunk egy merőleges vonalat;
• Az y tengelyen ábrázoljuk a $5$ számot, és húzunk egy egyenest a $y$ tengelyre merőlegesen. A merőleges egyenesek metszéspontjában megkapjuk a $A$ pontot a $(2; 5)$ koordinátákkal.

$B$ pont építése:

• Ábrázoljuk a $3$ számot az $x$ tengelyen, és rajzoljunk egy egyenest az x tengelyre merőlegesen;
• Az $y$ tengelyen ábrázoljuk a $(–1)$ számot, és húzunk egy egyenest a $y$ tengelyre merőlegesen. A merőleges egyenesek metszéspontjában megkapjuk a $B$ pontot a $(3; –1)$ koordinátákkal.

2. példa

Szerkesszünk pontokat a koordinátasíkon megadott $C (3; 0)$ és $D(0; 2)$ koordinátákkal.

Megoldás.

$C$ pont építése:

• tegye a $3$ számot a $x$ tengelyre;
• $y$ koordináta egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a $C$ pont a $x$ tengelyen fog feküdni.

$D$ pont építése:

• tegye a $2$ számot az $y$ tengelyre;
• A $x$ koordináta egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a $D$ pont az $y$ tengelyen lesz.

1. megjegyzés

Ezért a $x=0$ koordinátánál a pont az $y$ tengelyen, a $y=0$ koordinátánál pedig a $x$ tengelyen lesz.

3. példa

Határozzuk meg az A, B, C, D pontok koordinátáit.$

Megoldás.

Határozzuk meg a $A$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenes metszéspontja az x tengellyel adja a $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel a $y$ koordinátát. Így azt kapjuk, hogy a $A (1; 3).$ pont

Határozzuk meg a $B$ pont koordinátáit. Ehhez a $2$ ponton keresztül egyenes vonalakat húzunk, amelyek párhuzamosak lesznek a koordinátatengelyekkel. Az egyenes metszéspontja az x tengellyel adja a $x$ koordinátát, az egyenes metszéspontja az y tengellyel a $y$ koordinátát. Megtaláljuk, hogy a $B (–2; 4).$ pont

Határozzuk meg a $C$ pont koordinátáit. Mert az $y$ tengelyen található, akkor ennek a pontnak a $x$ koordinátája nulla. Az y koordináta $–2 $. Így a $C (0; –2)$ pont.

Határozzuk meg a $D$ pont koordinátáit. Mert a $x$ tengelyen van, akkor az $y$ koordinátája nulla. Ennek a pontnak a $x$ koordinátája $–5$. Így a $D (5; 0).$ pont

4. példa

Szerkessze meg a $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0) pontokat.

Megoldás.

$E$ pont építése:

• helyezze a $(–3)$ számot az $x$ tengelyre, és rajzoljon egy merőleges vonalat;
• az $y$ tengelyen ábrázoljuk a $(–2)$ számot, és merőleges vonalat húzunk a $y$ tengelyre;
• merőleges egyenesek metszéspontjában megkapjuk a $E (–3; –2).$ pontot

$F$ pont építése:

• $y=0$ koordináta, ami azt jelenti, hogy a pont a $x$ tengelyen fekszik;
• Ábrázoljuk a $5$ számot a $x$ tengelyen, és megkapjuk a $F(5; 0).$ pontot.

$G$ pont építése:

• tegye a $3$ számot az $x$ tengelyre, és rajzoljon egy merőleges vonalat a $x$ tengelyre;
• az $y$ tengelyen ábrázoljuk a $4$ számot, és merőleges vonalat húzunk a $y$ tengelyre;
• merőleges egyenesek metszéspontjában megkapjuk a $G(3; 4).$ pontot

$H$ pont építése:

• $x=0$ koordináta, ami azt jelenti, hogy a pont az $y$ tengelyen fekszik;
• Ábrázoljuk a $(–4)$ számot az $y$ tengelyen, és megkapjuk a $H(0;–4).$ pontot.

$O$ pont építése:

• a pont mindkét koordinátája nulla, ami azt jelenti, hogy a pont egyidejűleg fekszik az $y$ és a $x$ tengelyen is, tehát mindkét tengely metszéspontja (a koordináták origója).