Az ábra a differenciálható függvény grafikonjait mutatja.
02.01.2020
Ritka menyek büszkélkedhetnek azzal, hogy anyósukkal kiegyensúlyozott és baráti viszonyt ápolnak. Általában ennek pont az ellenkezője történik
DERIVÁLT– a függvény deriváltja y = f(x), adott időközönként ( a, b) pontban x Ennek az intervallumnak az a határértéke, amelyre a függvény növekményének aránya hajlik f ezen a ponton az argumentum megfelelő növekményére, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik.
A származékot általában a következőképpen jelölik:
Más megnevezéseket is széles körben használnak:
Azonnali sebesség.
Legyen a lényeg M egyenes vonalban mozog. Távolság s mozgópont, valamilyen kiindulási helyzetből számolva M 0 , időtől függ t, azaz s van az idő függvénye t: s= f(t). Engedje meg valamikor t mozgó pont M távol volt s a kiinduló helyzetből M 0, és a következő pillanatban t+D t helyzetbe került M 1 - a távolságban s+D s a kiinduló helyzetből ( lásd a képet.).
Így egy ideig D t távolság s D összeggel változott s. Ebben az esetben azt mondják, hogy a D időtartam alatt t nagyságrendű s növekményt kapott D s.
Az átlagsebesség nem minden esetben képes pontosan jellemezni egy pont mozgási sebességét M egy adott időpontban t. Ha például a test a D intervallum elején t nagyon gyorsan, a végén pedig nagyon lassan mozgott, akkor az átlagsebesség nem fogja tudni tükrözni a pont mozgásának jelzett jellemzőit és képet adni a mozgásának pillanatnyi sebességéről t. A valós sebesség pontosabb kifejezéséhez az átlagsebesség használatával, rövidebb D időtartamot kell venni t. Legteljesebben jellemzi egy pont mozgási sebességét pillanatnyilag t az a határ, amelyre az átlagsebesség D-nél hajlik t® 0. Ezt a határértéket aktuális sebességnek nevezzük:
Így egy adott pillanatban a mozgási sebességet a D útnövekedési arány határának nevezzük s időnövekedés D t, amikor az időnövekedés nullára hajlik. Mert
A származék geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője.
Az érintővonalak felépítése az egyik olyan probléma, amely a differenciálszámítás megszületéséhez vezetett. A differenciálszámítással kapcsolatos első publikált munka címet kapta, amelyet Leibniz írt A maximumok és minimumok, valamint érintők új módszere, amelyeknek sem a tört-, sem az irracionális mennyiségek nem jelentenek akadályt, és erre egy speciális számítási típus..
Legyen a görbe a függvény grafikonja y =f(x) téglalap alakú koordinátarendszerben ( cm. rizs.).
Valamilyen értékben x a funkció számít y =f(x). Ezek az értékek xÉs y a görbe pontja megfelel M 0(x, y). Ha az érvelés x adni növekedés D x, majd az argumentum új értéke x+D x megfelel az új függvényértéknek y+ D y = f(x + D x). A görbe megfelelő pontja lesz a pont M 1(x+D x,y+D y). Ha szekánst rajzol M 0M 1 és j-vel jelöljük az a szög, amelyet egy keresztirány a tengely pozitív irányával alkot Ökör, az ábráról azonnal kiderül, hogy.
Ha most D x nullára hajlik, akkor a lényeg M 1 a görbe mentén mozog, megközelítve a pontot M 0 és szög j változik D-vel x. Nál nél Dx® 0 a j szög egy bizonyos a határig tart és a ponton áthaladó egyenes M 0 és az x tengely pozitív irányú komponense, a szög, lesz a kívánt érintő. Lejtése:
Ennélfogva, f´( x) = tga
azok. származékos érték f´( x) adott argumentumértékhez x egyenlő a függvény grafikonjának érintője által alkotott szög érintőjével f(x) a megfelelő ponton M 0(x,y) pozitív tengelyiránnyal Ökör.
A funkciók differenciálhatósága.
Meghatározás. Ha a funkció y = f(x) származéka van a ponton x = x 0, akkor a függvény ezen a ponton differenciálható.
Egy függvény folytonossága, amelynek deriváltja van. Tétel.
Ha a funkció y = f(x) bizonyos pontokon differenciálható x = x 0, akkor ezen a ponton folytonos.
Így a függvénynek nem lehet deriváltja a folytonossági pontokon. Az ellenkező következtetés helytelen, i.e. attól, hogy valamikor x = x 0 funkció y = f(x) folytonos nem jelenti azt, hogy ezen a ponton differenciálható. Például a függvény y = |x| folyamatos mindenkinek x(–Ґ x x = 0-nak nincs deriváltja. Ezen a ponton nincs érintője a gráfnak. Van jobb oldali és bal oldali érintője, de ezek nem esnek egybe.
Néhány tétel a differenciálható függvényekről. Tétel a derivált gyökeiről (Rolle-tétel). Ha a funkció f(x) folyamatos a szakaszon [a,b], ennek a szegmensnek minden belső pontján és a végein differenciálható x = aÉs x = b nullára megy ( f(a) = f(b) = 0), majd a szegmensen belül [ a,b] van legalább egy pont x= Val vel, a c b, amelyben a derivált fў( x) nullára megy, azaz. fў( c) = 0.
Véges növekmény tétel (Lagrange-tétel). Ha a funkció f(x) folyamatos a [ a, b] és ennek a szegmensnek minden belső pontjában differenciálható, majd a szegmensen belül [ a, b] van legalább egy pont Val vel, a c b azt
f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).
Tétel két függvény növekményének arányáról (Cauchy-tétel). Ha f(x) És g(x) – két folyamatos függvény a szegmensen [a, b] és ennek a szegmensnek minden belső pontján differenciálható, és gў( x) nem tűnik el sehol ezen a szegmensen belül, majd a szegmensen belül [ a, b] van egy ilyen pont x = Val vel, a c b azt
Különféle rendelések származékai.
Legyen a függvény y =f(x) bizonyos intervallumon differenciálható [ a, b]. Származékos értékek f ў( x), általában attól függ x, azaz derivált f ў( x) is függvénye x. Ennek a függvénynek a differenciálásakor megkapjuk a függvény úgynevezett második deriváltját f(x), amelyet jelölünk f ўў ( x).
Derivált n- funkciói sorrend f(x) a derivált (elsőrendű) származékának nevezzük n- 1- és a szimbólum jelöli y(n) = (y(n– 1))ў.
Különböző sorrendű különbségek.
Funkció differenciál y = f(x), Ahol x– független változó, igen dy = f ў( x)dx, valamilyen funkciót x, hanem attól x csak az első tényezőtől függhet f ў( x), a második tényező ( dx) a független változó növekménye xés nem függ ennek a változónak az értékétől. Mert dy van egy függvény x, akkor meghatározhatjuk ennek a függvénynek a differenciálját. Egy függvény differenciáljának differenciálját e függvény másoddifferenciáljának vagy másodrendű differenciáljának nevezzük, és jelöljük d 2y:
d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .
Differenciális n- az elsőrendűt a differenciál első differenciáljának nevezzük n- 1- sorrend:
d n y = d(dn–1y) = f(n)(x)dx(n).
Részleges derivált.
Ha egy függvény nem egy, hanem több argumentumtól függ x i(én 1-től változik n,én= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), akkor a differenciálszámításban bevezetik a parciális derivált fogalmát, amely több változó függvényének változási sebességét jellemzi, amikor csak egy argumentum változik pl. x i. tekintetében elsőrendű részleges származékos x i közönséges deriváltként van definiálva, és feltételezzük, hogy minden argumentum, kivéve x i, tartsa állandó értékeket. A részleges deriváltoknál a jelölés kerül bevezetésre
Az így definiált I. rendű parciális deriváltoknak (azonos argumentumok függvényeiként) viszont lehetnek parciális deriváltak is, ezek másodrendű parciális deriváltok stb. Az ilyen, különböző argumentumokból vett származékokat vegyesnek nevezzük. Az azonos rendű folytonos kevert származékok nem függnek a differenciálási sorrendtől és egyenlőek egymással.
Anna Chugainova
Derivált funkciókat egy ponton a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, feltéve, hogy az nullára hajlik.
A derivált megtalálásának alapszabályai
Ha - és - egy pontban differenciálható függvények (azaz olyan függvények, amelyeknek egy pontban deriváltjai vannak), akkor:
Az alapfüggvények deriváltjainak táblázata
1. 8. 
2. 9. 
3. 
10.
5. 
12. 
6. 
13.
7. 
Az összetett függvény megkülönböztetésének szabálya. Ha és, azaz , ahol és származékai vannak, akkor
Paraméteresen megadott függvény differenciálása. Adjuk meg paraméteresen egy változó függését egy változótól egy paraméter segítségével:
3. feladat. Keresse meg ezeknek a függvényeknek a származékait!
1) 
Megoldás. A 2. szabályt alkalmazva a deriváltak és a derivált táblázat 1. és 2. képleteinek meghatározására, a következőt kapjuk:
Megoldás. A 4. szabályt alkalmazva a származékok keresésére, valamint a derivált táblázat 1. és 13. képletére, a következőt kapjuk:
.
Megoldás. Ha alkalmazzuk a 3. szabályt a deriváltak keresésére, valamint a derivált táblázat 5. és 11. képletét, a következőt kapjuk:
Megoldás. Feltéve, hogy a komplex függvény deriváltjának keresésére szolgáló képlet szerint hol kapjuk:
Megoldás. A következőket kapjuk: Ekkor a paraméteresen meghatározott függvény deriváltjának keresésére szolgáló képlet szerint kapjuk:
4. Magasabb rendű származékok. L'Hopital szabálya.
A függvény másodrendű deriváltja származékának származékának nevezzük, azaz. . A második származékra a következő jelöléseket használjuk: vagy, vagy.
A függvény elsőrendű deriváltja harmadrendű származékának deriváltjának nevezzük. A -edrendű származékhoz a következő jelöléseket használjuk: vagy, vagy.
L'Hopital szabálya. Legyenek a és függvények differenciálhatóak egy pont szomszédságában, és a derivált nem tűnik el. Ha a és függvények egyszerre vagy végtelenül kicsik, vagy végtelenül nagyok at, és ugyanakkor van határa az at aránynak, akkor az at aránynak is van határa. Ráadásul
.
A szabály akkor is érvényes, amikor.
Vegye figyelembe, hogy bizonyos esetekben a bizonytalanságok felfedése a L'Hopital szabályának ismételt alkalmazását teheti szükségessé.
Típusbizonytalanságok stb. elemi transzformációk segítségével könnyen redukálhatók a formai bizonytalanságok ill.
4. feladat. Keresse meg a határt a L'Hopital-szabály segítségével.
Megoldás Itt bizonytalan a forma, mert nál nél. Alkalmazzuk L'Hopital szabályát:
.
A L'Hopital-szabály alkalmazása után ismét megkaptuk a forma bizonytalanságát, mert nál nél. A L'Hopital szabályát ismét alkalmazva a következőket kapjuk:
.
5. Funkciótanulmány
a) Növekvő és csökkenő funkciók
A függvényt hívják növekvő a szegmensen , ha bármely pontra és abból a szegmensből, ahol, az egyenlőtlenség teljesül. Ha egy függvény folytonos egy intervallumon és at, akkor az intervallumon növekszik.
A függvényt hívják csökkenő a szegmensen ,ha bármely pontra és abból a szegmensből, ahol, az egyenlőtlenség teljesül. Ha egy függvény folytonos egy intervallumon és at, akkor az intervallumon csökken.
Ha egy függvény egy adott intervallumon csak növekszik vagy csak csökken, akkor hívják monoton az intervallumon.
b) A függvények szélsőértéke
minimum pont funkciókat .
Ha van a pont szomszédsága úgy, hogy ezen a környéken minden pontra érvényes az egyenlőtlenség, akkor a pontot nevezzük maximális pont funkciókat .
Egy függvény maximális és minimum pontját nevezzük függvényének szélsőséges pontok.
A lényeg az ún álló pont, ha létezik vagy nem.
Ha van egy stacionárius pontnak olyan -szomszédsága, hogy at és at, akkor a függvény maximális pontja.
Ha van egy stacionárius pontnak olyan -szomszédsága, hogy at és at, akkor -a függvény minimumpontja.
a) Konvex irány. Inflexiós pontok
domború felfelé az intervallumon , ha ezen intervallum bármely pontján a függvény grafikonjára ábrázolt érintő alatt helyezkedik el.
Egy függvény grafikonja egy intervallumon felfelé konvexitásának elégséges feltétele az egyenlőtlenség teljesülése bármelyik figyelembe vett intervallumra.
Egy differenciálható függvény gráfját ún domború lefelé az intervallumon , ha ezen intervallum bármely pontján a függvény grafikonjára ábrázolt érintő felett helyezkedik el.
Egy függvény grafikonja egy intervallumon lefelé konvexitásának elégséges feltétele az egyenlőtlenség teljesülése bármelyik figyelembe vett intervallumra.
Azt a pontot, ahol egy függvény grafikonjának konvexitási iránya megváltozik, nevezzük inflexiós pont.
Az a pont, ahol vagy nem létezik, egy inflexiós pont abszcisszája, ha a tőle balra és jobbra lévő előjelek eltérőek.
d) Aszimptoták
Ha egy függvény grafikonján lévő pont és egy bizonyos egyenes távolsága nullára hajlik, amikor a pont végtelenül távolodik az origótól, akkor az egyenest ún. a függvény grafikonjának aszimptota.
Ha van ilyen szám, akkor a vonal az függőleges aszimptota.
Ha vannak korlátok 
, akkor a vonal az ferde (k=0-nál vízszintes) aszimptota.
e) A funkció általános tanulmányozása
1. Funkciótartomány
2. A grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjai
3. Folytonossági, páros/páratlan és periodicitási függvény vizsgálata
4. Egy függvény monotonitásának intervallumai
5. A függvény szélsőpontjai
6. Függvénygráf konvexitási intervallumai és inflexiós pontjai
7. Egy függvény gráfjának aszimptotái
8. Függvénygrafikon.
5. feladat. Fedezze fel a függvényt, és készítse el a grafikonját.
Megoldás. 1) A függvény a teljes számegyenesen van definiálva, kivéve azt a pontot, ahol a tört nevezője nullává válik. . Van: nem tartozik ennek a függvénynek a definíciójának tartományába. Következésképpen ennek a függvénynek a stacionárius pontjai a minimális értékű pontok (ahogyan az ábrán látható).
A derivált előjele és a függvény monotonitásának természete közötti kapcsolat bemutatása.
Kérjük, legyen nagyon óvatos az alábbiakkal kapcsolatban. Nézze, az ütemterv, MI adatik neked! Függvény vagy származéka
Ha megadjuk a derivált grafikonját, akkor minket csak a függvényjelek és a nullák érdekelnek. Minket elvileg semmiféle „domb” vagy „üreg” nem érdekel!
1. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg azon egész pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja negatív!
Megoldás:
Az ábrán a csökkenő funkciójú területek színnel vannak kiemelve:
A függvénynek ezek a csökkenő régiói 4 egész értéket tartalmaznak.
2. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozza meg azon pontok számát, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az egyenessel.
Megoldás:
Ha egy függvény grafikonjának érintője párhuzamos (vagy egybeesik) egy egyenessel (vagy ami ugyanaz), lejtő, egyenlő nullával, akkor az érintőnek szögegyütthatója van.
Ez viszont azt jelenti, hogy az érintő párhuzamos a tengellyel, mivel a meredekség az érintő tengelyhez viszonyított dőlésszögének érintője.
Ezért a grafikonon szélsőpontokat (maximum és minimum pontokat) találunk - ezekben a pontokban lesznek párhuzamosak a grafikont érintő függvények a tengellyel.
4 ilyen pont van.
3. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Határozza meg azon pontok számát, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az egyenessel.
Megoldás:
Mivel egy függvény grafikonjának érintője párhuzamos (vagy egybeesik) egy olyan egyenessel, amelynek van meredeksége, akkor az érintőnek is van meredeksége.
Ez viszont azt jelenti, hogy az érintési pontokon.
Ezért nézzük meg, hogy a gráf hány pontjának ordinátája egyenlő -vel.
Amint látja, négy ilyen pont van.
4. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg azon pontok számát, amelyeknél a függvény deriváltja 0!
Megoldás:
A derivált a szélsőpontokban nullával egyenlő. Nálunk 4 db van:
5. feladat.
Az ábrán egy függvény és az x tengely tizenegy pontjának grafikonja látható:. Ezek közül hány pontban negatív a függvény deriváltja?
Megoldás:
A csökkenő függvény intervallumán a deriváltja negatív értékeket vesz fel. A függvény pedig pontokban csökken. 4 ilyen pont van.
6. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg a függvény szélsőpontjainak összegét!
Megoldás:
Extrém pontok– ezek a maximális pontok (-3, -1, 1) és a minimumpontok (-2, 0, 3).
Az extrémpontok összege: -3-1+1-2+0+3=-2.
7. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg a függvény növekedési intervallumait! Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét!
Megoldás:
Az ábra kiemeli azokat az intervallumokat, ahol a függvény deriváltja nem negatív.
A kis növekvő intervallumon nincs egész szám, a növekvő intervallumon négy egész szám található: , , és .
Az összegük:
8. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Keresse meg a függvény növekedési intervallumait! Válaszában adja meg a legnagyobb hosszát!
Megoldás:
Az ábrán minden olyan intervallum, amelyen a derivált pozitív, színnel kiemelve van, ami azt jelenti, hogy a függvény maga növekszik ezeken az intervallumokon.
Közülük a legnagyobb hossza 6.
9. feladat.
Az ábra egy intervallumon definiált függvény deriváltjának grafikonját mutatja. A szegmens melyik pontján veszi fel a legnagyobb értéket?
Megoldás:
Nézzük meg, hogyan viselkedik a grafikon a szegmensen, ami minket érdekel csak a származék jele .
A on derivált előjele mínusz, mivel ezen a szakaszon a grafikon a tengely alatt van.
Sok elméletet írtak a geometriai jelentésről. Nem megyek bele a függvénynövekmény származtatásába, de hadd emlékeztessem a feladatok elvégzésének alapjait:
A derivált az x pontban egyenlő az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének meredekségével ebben a pontban, azaz az X tengely hajlásszögének érintője.
Vegyük azonnal a feladatot az egységes államvizsgáról, és kezdjük el megérteni:
1. számú feladat. A képen látható függvény grafikonja y = f(x) és annak érintője az x0 abszcissza pontban. Keresse meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x0 pontban.
Aki siet és nem akarja megérteni a magyarázatokat:építs fel egy tetszőleges ilyen háromszöget (lásd alább), és oszd el az álló oldalt (függőleges) a fekvő (vízszintes) oldallal, és szerencséd lesz, ha nem felejted el a jelet (ha a vonal csökken (→↓) , akkor a válasz mínusz legyen, ha a sor növekszik (→), akkor a válasznak pozitívnak kell lennie!)
Meg kell találni az érintő és az X tengely közötti szöget, nevezzük α-nak: húzzunk az X tengellyel párhuzamos egyenest bárhol a grafikon érintőjén keresztül, ugyanazt a szöget kapjuk.
Az x0 pontot jobb nem venni, mert A pontos koordináták meghatározásához nagyméretű nagyítóra lesz szüksége.
Tetszőleges derékszögű háromszöget felvéve (az ábrán 3 lehetőség javasolt) tgα-t kapunk (a szögek ekkor megegyeznek, mint megfelelő), azaz. megkapjuk az f(x) függvény deriváltját az x0 pontban. Miért van ez így?
Ha más pontokban érintőket rajzolunk x2, x1 stb. az érintők mások lesznek.
Menjünk vissza a 7. osztályba, hogy vonalat építsünk!
Az egyenes egyenletét az y = kx + b egyenlet adja meg, ahol
k - dőlés az X tengelyhez képest.
b az Y tengellyel való metszéspont és az origó közötti távolság.
Az egyenes deriváltja mindig ugyanaz: y" = k.
Bármelyik ponton is vesszük a deriváltot, az változatlan marad.
Ezért nincs más hátra, mint megkeresni a tgα-t (ahogy fentebb említettük: az álló oldalt el kell osztani a fekvő oldallal). A szemközti oldalt elosztjuk a szomszédos oldallal, azt kapjuk, hogy k = 0,5. Ha azonban a grafikon csökken, akkor az együttható negatív: k = -0,5.
Azt tanácsolom, hogy ellenőrizze magát második út:
Két pont segítségével határozhat meg egy egyenest. Keressük meg bármely két pont koordinátáit. Például (-2;-2) és (2;-4):
Helyettesítsük be a pontok koordinátáit az y = kx + b egyenletbe y és x helyett:
−2 = −2k + b
Ezt a rendszert megoldva b = −3, k = −0,5 kapjuk
Következtetés: A második módszer hosszabb ideig tart, de nem felejti el a jelet.
Válasz: − 0,5
2. feladat. A képen látható derivált gráf f(x) függvények. Az abszcissza tengelyen nyolc pont van jelölve: x1, x2, x3, ..., x8. Hány pont található az f(x) növekvő függvény intervallumán?
Ha egy függvény grafikonja csökken - a derivált negatív (és fordítva igaz).
Ha egy függvény grafikonja nő, a derivált pozitív (és fordítva igaz).
Ez a két kifejezés segít a legtöbb probléma megoldásában.
Alaposan nézd meg egy derivált vagy függvény rajzát kapja meg, majd válasszon egyet a két kifejezés közül.
Készítsük el a függvény sematikus grafikonját. Mert Adjuk a derivált grafikonját, majd ahol negatív, ott csökken a függvény grafikonja, ahol pozitív, ott növekszik!
Kiderült, hogy 3 pont a növekvő területeken fekszik: x4; x5; x6.
Válasz: 3
3. feladat. Az f(x) függvény a (-6; 4) intervallumon van definiálva. A képen látható származékának grafikonja. Keresse meg annak a pontnak az abszcisszáját, ahol a függvény felveszi a legnagyobb értékét.
Azt tanácsolom, hogy mindig ábrázolja a függvénygrafikon menetét, ehhez hasonló nyilakkal vagy sematikusan előjelekkel (mint a 4. és 5. sz.):
Nyilvánvaló, hogy ha a gráf −2-re nő, akkor a maximális pont −2.
Válasz: −2
4. feladat. Az ábrán az f(x) függvény és az abszcissza tengely tizenkét pontjának grafikonja látható: x1, x2, ..., x12. Ezek közül hány pontban negatív a függvény deriváltja?
A probléma az ellenkezője, adott egy függvény grafikonja, vázlatosan meg kell konstruálni, hogy fog kinézni a függvény deriváltjának grafikonja, és meg kell számolni, hogy hány pont lesz a negatív tartományban.
Pozitív: x1, x6, x7, x12.
Negatív: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.
Válasz: 7
Egy másik típusú feladat, amikor néhány szörnyű „szélsőségről” kérdezik? Nem lesz nehéz megtalálni, mi ez, de a grafikonokhoz elmagyarázom.
5. feladat. Az ábra a (-16; 6) intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Határozzuk meg az f(x) függvény szélsőpontjainak számát a [-11; 5].
Jelöljük a -11-től 5-ig terjedő intervallumot!
Csillogó szemünket fordítsuk az előjelre: adott a függvény deriváltjának grafikonja =>, akkor a szélsőségek az X tengellyel való metszéspontok.
Válasz: 3
6. feladat. Az ábra a (-13; 9) intervallumon definiált f(x) függvény deriváltjának grafikonját mutatja. Határozzuk meg az f(x) függvény maximális pontjainak számát a [-12; 5].
Jelöljük a -12-től 5-ig terjedő intervallumot!
A táblázatot egy szemmel lehet nézni, úgy, hogy előtte a derivált pozitív (a függvény növekszik), utána pedig negatív (a függvény csökken). Az ilyen pontokat bekarikázzuk.
A nyilak mutatják, hogyan viselkedik a függvénygrafikon
Válasz: 3
7. feladat. Az ábra a (-7; 5) intervallumon definiált f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozzuk meg azon pontok számát, amelyekben az f(x) függvény deriváltja 0-val egyenlő!
Megnézheti a fenti táblázatot (a derivált nulla, ami azt jelenti, hogy ezek szélsőséges pontok). És ebben a feladatban a függvény grafikonja adott, ami azt jelenti, hogy meg kell találni inflexiós pontok száma!
Vagy a szokásos módon elkészítheti a derivált sematikus grafikonját.
A derivált nulla, ha egy függvény grafikonja megváltoztatja az irányát (növekvőről csökkenőre és fordítva)
Válasz: 8
8. feladat. A képen látható derivált gráf a (-2; 10) intervallumon definiált f(x) függvény. Keresse meg a növekvő függvény intervallumait f(x). Válaszában adja meg az ezekben az intervallumokban szereplő egész pontok összegét!
Készítsük el a függvény sematikus grafikonját:
Ahol növekszik, 4 egész pontot kapunk: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
Válasz: 22
9. számú feladat. A képen látható derivált gráf a (-6; 6) intervallumon definiált f(x) függvény. Határozzuk meg azon f(x) pontok számát, amelyeknél a függvény grafikonjának érintője párhuzamos vagy egybeesik az y = 2x + 13 egyenessel.
Megadjuk a derivált grafikonját! Ez azt jelenti, hogy az érintőnket is le kell „fordítani” deriválttá.
Az érintő deriváltja: y" = 2.
Most készítsük el mindkét származékot:
Az érintők három pontban metszik egymást, ami azt jelenti, hogy a válaszunk 3.
Válasz: 3
10. feladat. Az ábrán az f(x) függvény grafikonja látható, és a -2, 1, 2, 3 pontok közül melyikben a legkisebb a derivált értéke? Kérjük, válaszában jelezze ezt a pontot.
A feladat némileg hasonló az elsőhöz: a derivált értékének meghatározásához meg kell alkotni egy pontban ennek a gráfnak az érintőjét, és meg kell találni a k együtthatót.
Ha a vonal csökken, k< 0.
Ha az egyenes növekszik, k > 0.
Gondoljuk át, hogyan befolyásolja az együttható értéke az egyenes meredekségét:
Ha k = 1 vagy k = − 1, a grafikon félúton lesz az X és Y tengely között.
Minél közelebb van az egyenes az X tengelyhez, annál közelebb van a k együttható nullához.
Minél közelebb van az egyenes az Y tengelyhez, annál közelebb van a k együttható a végtelenhez.
A -2 és 1 k pontban<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>itt lesz a derivált legkisebb értéke
Válasz: 1
11. számú feladat. Az egyenes az y = 3x + 9 érintője az y = x³ + x² + 2x + 8 függvény grafikonjának. Keresse meg az érintőpont abszcisszáját!
Az egyenes akkor érinti a gráfot, ha a gráfoknak van közös pontja, akárcsak a származékaiknak. Tegyük egyenlővé a gráfegyenleteket és származékaikat:
A második egyenlet megoldása után 2 pontot kapunk. Annak ellenőrzésére, hogy melyik a megfelelő, behelyettesítjük az x-eket az első egyenletbe. Csak egy fog megtenni.
Egyáltalán nem akarok köbegyenletet megoldani, de másodfokú egyenletet szívesen megoldok.
De mit írj le válaszul, ha két „normális” választ kapsz?
Ha x(x)-et behelyettesítünk az eredeti grafikonokba y = 3x + 9 és y = x³ + x² + 2x + 8, akkor ugyanazt az Y-t kell kapnia.
y= 1³+1²+2×1+8=12
Jobb! Tehát x=1 lesz a válasz
Válasz: 112. feladat. Az y = − 5x − 6 egyenes érinti az ax² + 5x − 5 függvény grafikonját. Találni.
Hasonlóképpen egyenlőségjelet tegyünk a függvények és származékaik között:
Oldjuk meg ezt a rendszert a és x változókra:
Válasz: 25
Az Egységes Államvizsga első részében a származékos feladatot az egyik legnehezebbnek tartják, azonban egy kis odafigyeléssel és a kérdés megértésével sikerülni fog, és növelni fogja ennek a feladatnak a teljesítési százalékát!
A matematika egységes államvizsga profilszintjének 7. számú feladatában a derivált és az antiderivatív függvények ismeretének bizonyítása szükséges. A legtöbb esetben elegendő a fogalmak egyszerű meghatározása és a származék jelentésének megértése.
A matematika egységes államvizsga 7. számú feladatainak jellemző lehetőségeinek elemzése profilszinten
A feladat első verziója (demóverzió 2018)
Az ábrán az y = f(x) differenciálható függvény grafikonja látható. Az abszcissza tengelyen kilenc pont van megjelölve: x 1, x 2, ..., x 9. Ezen pontok között keresse meg azokat a pontokat, amelyekben az y = f(x) függvény deriváltja negatív. Válaszában tüntesse fel a talált pontok számát!
Megoldási algoritmus:
- Nézzük meg a függvény grafikonját.
- Olyan pontokat keresünk, ahol a függvény csökken.
- Számoljuk meg a számukat.
- Leírjuk a választ.
Megoldás:
1. A grafikonon a függvény periodikusan növekszik és periodikusan csökken.
2. Azokban az intervallumokban, ahol a függvény csökken, a derivált negatív értékekkel rendelkezik.
3. Ezek az intervallumok pontokat tartalmaznak x 3 , x 4 , x 5 , x 9. 4 ilyen pont van.
A feladat második változata (Jascsenkotól, 4. sz.)
Az ábra az y = f(x) függvény grafikonját mutatja. A -2, -1, 2, 4 pontok az abszcissza tengelyen vannak jelölve, ezek közül melyik pontban a legnagyobb a derivált értéke? Kérjük, válaszában ezt a pontot jelezze.
Megoldási algoritmus:
- Nézzük meg a függvény grafikonját.
- Figyelembe vesszük a függvény viselkedését az egyes pontokban és a derivált előjelét azokban.
- A pontokat a derivált legnagyobb értékénél találjuk meg.
- Leírjuk a választ.
Megoldás:
1. A függvénynek több csökkentési és növekedési intervalluma van.
2. Ahol a függvény csökken. A deriváltnak mínusz jele van. Az ilyen pontok a feltüntetettek között vannak. De vannak olyan pontok a grafikonon, ahol a függvény növekszik. Náluk a derivált pozitív. Ezek a pontok -2 és 2 abszcisszákkal.
3. Tekintsük a grafikont az x=-2 és x=2 pontokban. Az x=2 pontban a függvény meredekebben megy felfelé, ami azt jelenti, hogy az érintő ezen a ponton nagyobb meredekségű. Ezért a 2. abszcissza pontban. A deriváltnak van a legnagyobb értéke.
A feladat harmadik változata (Jascsenko, 21. szám)
Az egyenes érinti a függvény grafikonját 
. Találni.
Megoldási algoritmus:
- Tegyük egyenlővé az érintő és a függvényegyenleteket.
- Egyszerűsítsük le a kapott egyenlőséget.
- Megtaláljuk a diszkriminánst.
- A paraméter meghatározása A, amelyre egyetlen megoldás létezik.
- Leírjuk a választ.
Megoldás:
1. Az érintőpont koordinátái mindkét egyenletet kielégítik: az érintőt és a függvényt. Ezért egyenlőségjelet tehetünk az egyenletek között. Kapunk:
2. Egyszerűsítjük az egyenlőséget úgy, hogy az összes tagot egy oldalra mozgatjuk:
3. Az érintési ponton egy megoldásnak kell lennie, tehát a kapott egyenlet diszkriminánsának nullával kell egyenlőnek lennie. Ez a feltétele a másodfokú egyenlet gyökének egyediségének.
4. A következőket kapjuk:
Ha a feladatot helyesen oldja meg, megkapja 1 pont.
Körülbelül tart 5 perc.
A profilszintű matematika 7. feladatának megoldásához tudnia kell:
- A feladatok több típusra oszthatók:
- származék fizikai jelentése.
- a derivált és az érintő geometriai jelentése;
- a derivált alkalmazása a függvények tanulmányozására;
- antiderivatív.
- A derivált függvény ismerete és .
- És a legtöbb esetben csak a fogalmak meghatározása és a származék jelentésének megértése.
- Derivált - funkcióváltozás sebessége. A derivált pozitív időközönként hol funkció V növekszikÉs negatív olyan időközönként, amelyen a függvény csökken.
- Extrém, maximum és minimum pont. Extrém pont– egy függvény maximális/minimális értéke egy adott halmazon. Ha elérjük a maximumot, akkor a szélsőpontot „maximális pontnak” nevezzük, ha a minimumot elérjük, akkor a szélsőpontot „minimum pontnak” nevezzük.
- Antiderivatív. Funkció F(x) függvény antideriváltjának nevezzük f(x) adott intervallumon, ha mindenre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F′(x) = f(x). Egy függvény antideriváltjának megtalálásának műveletét integrációnak nevezzük.
- Integráció – a differenciálással fordított matematikai művelet, vagyis a derivált megtalálása. Az integráció lehetővé teszi, hogy egy függvény deriváltját használja magának a függvénynek a megtalálásához.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete