Normál logaritmus. Logaritmus - tulajdonságok, képletek, grafikon
A logaritmus elfogadható értékeinek tartománya (APV).
Most beszéljünk a korlátozásokról (ODZ - a változók megengedett értékeinek tartománya).
Emlékezzünk rá, hogy például a négyzetgyök nem vehető negatív számokból; vagy ha törtünk van, akkor a nevező nem lehet egyenlő nullával. A logaritmusoknak hasonló korlátai vannak:
Vagyis az argumentumnak és az alapnak is nagyobbnak kell lennie nullánál, de az alap még nem lehet egyenlő.
Miert van az?
Kezdjük egy egyszerű dologgal: mondjuk azt. Ekkor például a szám nem létezik, hiszen akármilyen hatványra emelünk, mindig kiderül. Ráadásul senki számára nem létezik. De ugyanakkor bármivel egyenlő lehet (ugyanazért - bármilyen mértékben egyenlő). Ezért az objektum nem érdekes, és egyszerűen kidobták a matematikából.
Hasonló problémánk van ebben az esetben: bármilyen pozitív hatványra van, de egyáltalán nem emelhető negatív hatványra, mert ez nullával való osztást eredményez (hadd emlékeztesselek rá).
Amikor a törthatványra emelés problémájával állunk szemben (amely gyökérként van ábrázolva: . Például (vagyis), de nem létezik.
Ezért könnyebb eldobni a negatív okokat, mint trükközni velük.
Nos, mivel az a bázisunk csak pozitív lehet, akkor akármilyen hatványra emeljük is, mindig szigorúan pozitív számot kapunk. Tehát az érvelésnek pozitívnak kell lennie. Például nem létezik, mivel semmilyen mértékben nem lesz negatív szám (vagy akár nulla, ezért szintén nem létezik).
A logaritmusokkal kapcsolatos problémák esetén az első dolog, amit meg kell tennie, az ODZ felírása. Hadd mondjak egy példát:
Oldjuk meg az egyenletet.
Emlékezzünk a definícióra: a logaritmus az a hatvány, amelyre az alapot fel kell emelni, hogy argumentumot kapjunk. És a feltétel szerint ez a fok egyenlő: .
A szokásos másodfokú egyenletet kapjuk: . Oldjuk meg Vieta tételével: a gyökök összege egyenlő, és a szorzat. Könnyen felvehető, ezek a számok és.
De ha azonnal felveszi és beírja mindkét számot a válaszba, 0 pontot kaphat a feladatért. Miért? Gondoljuk át, mi történik, ha ezeket a gyököket behelyettesítjük a kezdeti egyenletbe?
Ez egyértelműen helytelen, mivel az alap nem lehet negatív, vagyis a gyökér „harmadik fél”.
Az ilyen kellemetlen buktatók elkerülése érdekében még az egyenlet megoldásának megkezdése előtt le kell írnia az ODZ-t:
Ezután, miután megkaptuk a gyökereket és azonnal eldobjuk a gyökeret, és megírjuk a helyes választ.
1. példa(próbáld megoldani magad) :
Keresse meg az egyenlet gyökerét. Ha több gyök van, válaszában tüntesse fel közülük a legkisebbet.
Megoldás:
Először is írjuk meg az ODZ-t:
Most emlékezzünk arra, hogy mi a logaritmus: milyen hatványra kell emelni az alapot, hogy megkapjuk az érvet? A másodikra. Azaz:
Úgy tűnik, hogy a kisebb gyökér egyenlő. De ez nem így van: az ODZ szerint a gyök idegen, vagyis egyáltalán nem ennek az egyenletnek a gyökere. Így az egyenletnek csak egy gyöke van: .
Válasz: .
Alapvető logaritmikus azonosság
Emlékezzünk vissza a logaritmus általános definíciójára:
Helyettesítsük be a logaritmust a második egyenlőségbe:
Ezt az egyenlőséget hívják alapvető logaritmikus azonosság. Bár lényegében ez egyenlőség – csak máshogy írva a logaritmus meghatározása:
Ez az az erő, amelyre emelned kell, hogy eljuss.
Például:
Oldja meg a következő példákat:
2. példa
Keresse meg a kifejezés jelentését.
Megoldás:
Emlékezzünk a szabályra a szakaszból:, vagyis ha egy hatványt hatványra emelünk, akkor a kitevőket megszorozzuk. Alkalmazzuk:
3. példa
Bizonyítsd.
Megoldás:
A logaritmusok tulajdonságai
Sajnos a feladatok nem mindig ilyen egyszerűek - gyakran először le kell egyszerűsíteni a kifejezést, vissza kell vinni a szokásos formájába, és csak ezután lehet kiszámítani az értéket. Ezt a legegyszerűbb megtenni, ha tudod a logaritmusok tulajdonságai. Tehát ismerjük meg a logaritmusok alapvető tulajdonságait. Mindegyiket be fogom bizonyítani, mert minden szabályt könnyebb megjegyezni, ha tudod, honnan származik.
Ezeket a tulajdonságokat emlékezni kell nélkülük, a logaritmusokkal kapcsolatos legtöbb probléma nem megoldható.
És most részletesebben a logaritmusok összes tulajdonságáról.
1. tulajdonság:
Bizonyíték:
Akkor legyen.
Nálunk van: stb.
2. tulajdonság: logaritmusok összege
Az azonos bázisú logaritmusok összege megegyezik a szorzat logaritmusával: .
Bizonyíték:
Akkor legyen. Akkor legyen.
Példa: Keresse meg a kifejezés jelentését: .
Megoldás: .
Az imént tanult képlet a logaritmusok összegének egyszerűsítésében segít, nem a különbségben, ezért ezeket a logaritmusokat nem lehet azonnal összevonni. De megteheti az ellenkezőjét is - „osztja” az első logaritmust két részre: És itt van a megígért egyszerűsítés:
.
Miért van erre szükség? Nos, például: mivel egyenlő?
Most már ez nyilvánvaló.
Most egyszerűsítsd le magad:
Feladatok:
Válaszok:
3. tulajdonság: A logaritmusok különbsége:
Bizonyíték:
Minden pontosan ugyanaz, mint a 2. pontban:
Akkor legyen.
Akkor legyen. Nekünk van:
Az előző bekezdés példája most még egyszerűbbé válik:
Egy bonyolultabb példa: . Kitalálod magad, hogyan oldod meg?
Itt meg kell jegyezni, hogy nincs egyetlen képletünk a logaritmus négyzetére. Ez egy kifejezéshez hasonló – nem lehet azonnal leegyszerűsíteni.
Ezért tartsunk egy kis szünetet a logaritmusokkal kapcsolatos képletekben, és gondoljuk át, milyen képleteket használunk leggyakrabban a matematikában? 7. osztálytól!
Ez - . Hozzá kell szokni, hogy mindenhol ott vannak! Exponenciális, trigonometrikus és irracionális problémákban fordulnak elő. Ezért emlékezni kell rájuk.
Ha alaposan megnézzük az első két kifejezést, világossá válik, hogy ez négyzetek különbsége:
Válasz az ellenőrzéshez:
Egyszerűsítse le saját maga.
Példák
Válaszok.
4. tulajdonság: A kitevő kivétele a logaritmus argumentumból:
Bizonyíték:És itt is használjuk a logaritmus definícióját: legyen, akkor. Nálunk van: stb.
Ez a szabály így értelmezhető:
Ez azt jelenti, hogy az argumentum foka a logaritmus elé kerül, mint együttható.
Példa: Keresse meg a kifejezés jelentését.
Megoldás: .
Döntsd el magad:
Példák:
Válaszok:
5. tulajdonság: A kitevő levétele a logaritmus alapjából:
Bizonyíték: Akkor legyen.
Nálunk van: stb.
Ne feledje: tól okokból a mértéket úgy fejezzük ki az ellenkező szám, az előző esettől eltérően!
6. tulajdonság: A kitevő eltávolítása a logaritmus alapjából és argumentumából:
Vagy ha a fokok megegyeznek: .
7. tulajdonság: Áttérés új bázisra:
Bizonyíték: Akkor legyen.
Nálunk van: stb.
8. tulajdonság: Cserélje fel a logaritmus alapját és argumentumát:
Bizonyíték: Ez a 7-es képlet speciális esete: ha behelyettesítjük, kapjuk: , stb.
Nézzünk még néhány példát.
4. példa
Keresse meg a kifejezés jelentését.
A 2. számú logaritmus tulajdonságait használjuk - az azonos bázisú logaritmusok összege megegyezik a szorzat logaritmusával:
5. példa.
Keresse meg a kifejezés jelentését.
Megoldás:
A 3. és 4. logaritmus tulajdonságait használjuk:
6. példa.
Keresse meg a kifejezés jelentését.
Megoldás:
Használjuk a 7-es tulajdonságot – lépjen tovább a 2. bázisra:
7. példa.
Keresse meg a kifejezés jelentését.
Megoldás:
Hogy tetszik a cikk?
Ha ezeket a sorokat olvassa, akkor az egész cikket elolvasta.
És ez klassz!
Most pedig mondd el, hogy tetszik a cikk?
Megtanultad logaritmusokat megoldani? Ha nem, mi a probléma?
Írja meg nekünk az alábbi megjegyzésekben.
És igen, sok sikert a vizsgákhoz.
Az egységes államvizsgáról és az egységes államvizsgáról és általában az életről
LOGARITMUS
szám, amellyel számos összetett aritmetikai művelet egyszerűsíthető. A számok helyett a logaritmusok használata a számításokban lehetővé teszi, hogy a szorzást az összeadás egyszerűbb műveletével, az osztást a kivonással, a hatványozást a szorzással és a gyökök kivonását osztással helyettesítsük. Általános leírása. Egy adott szám logaritmusa az a kitevő, amelyre egy másik, a logaritmus alapjának nevezett számot fel kell emelni, hogy az adott számot megkapjuk. Például a 100-as 10-es bázis logaritmusa 2. Más szóval, 10-et négyzetre kell emelni, hogy 100-at kapjunk (102 = 100). Ha n egy adott szám, b az alap és l a logaritmus, akkor bl = n. Az n számot l bázis b antilogaritmusának is nevezik. Például a 2 és a 10 közötti antilogaritmus egyenlő 100-zal. Ez logb n = l és antilogb l = n összefüggésként írható fel. A logaritmus alapvető tulajdonságai:
Az egy kivételével bármely pozitív szám szolgálhat logaritmus alapjául, de sajnos kiderül, hogy ha b és n racionális számok, akkor ritka esetekben van olyan l racionális szám, amelyre bl = n. Azonban lehetséges egy l irracionális szám meghatározása, például úgy, hogy 10l = 2; ez az l irracionális szám tetszőleges pontossággal közelíthető racionális számokkal. Kiderült, hogy a megadott példában l megközelítőleg egyenlő 0,3010-nel, és a 2-es 10-es alap logaritmusának ez a közelítése megtalálható a decimális logaritmusok négyjegyű táblázataiban. A 10-es (vagy 10-es) logaritmusokat olyan gyakran használják a számításokban, hogy ezeket közönséges logaritmusoknak nevezik, és a log2 = 0,3010 vagy log2 = 0,3010 formátumban írják le, a logaritmusalap kifejezett megjelölése nélkül. Az e alapú logaritmusokat, amelyek körülbelül 2,71828-cal egyenlő transzcendentális számok, természetes logaritmusoknak nevezik. Főleg a matematikai elemzéssel és annak különféle tudományokban való alkalmazásaival foglalkozó munkákban találhatók meg. A természetes logaritmusokat is úgy írják le, hogy a bázist nem kifejezetten megadják, hanem az ln speciális jelöléssel: például ln2 = 0,6931, mert e0,6931 = 2.
Lásd még SZÁM e. Közönséges logaritmus táblázatok használata. Egy szám szabályos logaritmusa egy kitevő, amelyre 10-et kell emelni, hogy megkapjuk az adott számot. Mivel 100 = 1, 101 = 10 és 102 = 100, azonnal azt kapjuk, hogy log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 stb. 10 egész hatványainak növelésére. Hasonlóképpen, 10-1 = 0,1, 10-2 = 0,01 és ezért log0,1 = -1, log0,01 = -2 stb. minden negatív egész hatványra 10. A fennmaradó számok szokásos logaritmusai a 10 legközelebbi egész hatványainak logaritmusai közé vannak zárva; A log2-nek 0 és 1 között kell lennie, a log20-nak 1 és 2 között, a log0.2-nek pedig -1 és 0 között kell lennie. Tehát a logaritmusnak két része van, egy egész szám és egy decimális, 0 és 1 között. Az egész részt a következő karakterisztikának nevezzük: a logaritmus és maga a szám határozza meg, a tört részt mantisszának nevezik, és táblázatokból lehet megtalálni. Továbbá log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. A 2 logaritmusa 0,3010, tehát log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Hasonlóképpen log0,2 = log(2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Kivonással a log0,2 = - 0,6990 értéket kapjuk. Kényelmesebb azonban a log0.2-t 0,3010 - 1-ként vagy 9,3010 - 10-ként kifejezni; Megfogalmazható egy általános szabály is: egy adott számból 10 hatványával kapott összes szám mantisszája megegyezik az adott szám mantisszával. A legtöbb táblázat a számok mantisszáját 1-től 10-ig terjedő tartományban mutatja, mivel az összes többi szám mantisszáját a táblázatban megadottakból kaphatjuk meg. A legtöbb táblázat négy-öt tizedesjegyű logaritmusokat ad, bár vannak hétjegyű és még több tizedesjegyű táblázatok is. Az ilyen táblázatok használatát a legegyszerűbben példákon keresztül tanulhatja meg. A log3.59 megtalálásához először is figyeljük meg, hogy a 3.59 szám 100 és 101 között van, tehát karakterisztikája 0. Megkeressük a 35-ös számot (bal oldalon), és a sorban haladva haladunk az oszlophoz a 9-es szám felül; ennek az oszlopnak és a 35. sor metszéspontja 5551, tehát log3,59 = 0,5551. A négy jelentős számjegyből álló szám mantisszának meghatározásához interpolációt kell alkalmazni. Egyes táblázatokban az interpolációt megkönnyítik a táblázatok minden oldalának jobb oldalán az utolsó kilenc oszlopban megadott arányok. Keressük most a log736.4-et; a 736,4 szám 102 és 103 között van, tehát logaritmusának karakterisztikája 2. A táblázatban találunk egy sort, aminek bal oldalán 73 és 6 oszlop található. Ennek a sornak és ennek az oszlopnak a metszéspontjában a 8669-es szám található. A lineáris részek között találjuk a 4-es oszlopot. A 73-as sor és a 4-es oszlop metszéspontjában van a 2-es szám. Ha 8669-hez hozzáadunk 2-t, megkapjuk a mantisszát - ez egyenlő 8671-gyel. Így log736.4 = 2, 8671.
Természetes logaritmusok. A természetes logaritmusok táblázatai és tulajdonságai hasonlóak a közönséges logaritmusok táblázataihoz és tulajdonságaihoz. A kettő között az a fő különbség, hogy a természetes logaritmus egész része nem jelentős a tizedesvessző helyzetének meghatározásában, ezért a mantissza és a karakterisztika különbsége nem játszik különösebb szerepet. Számok természetes logaritmusa 5,432; 54,32 és 543,2 egyenlő 1,6923-mal; 3,9949 és 6,2975. A logaritmusok közötti kapcsolat nyilvánvalóvá válik, ha figyelembe vesszük a köztük lévő különbségeket: log543,2 - log54,32 = 6,2975 - 3,9949 = 2,3026; az utolsó szám nem más, mint a 10-es szám természetes logaritmusa (így írva: ln10); log543,2 - log5,432 = 4,6052; az utolsó szám 2ln10. De 543,2 = 10 * 54,32 = 102 * 5,432. Így egy adott a szám természetes logaritmusából meg lehet találni az a szám és a 10 tetszőleges n hatványának szorzatával egyenlő számok természetes logaritmusát, ha az lna-hoz hozzáadjuk az n-nel szorzott ln10-et, azaz. ln(a*10n) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. Például ln0,005432 = ln(5,432*10-3) = ln5,432 - 3ln10 = 1,6923 - (3*2,3026) = -5,2155. Ezért a természetes logaritmusok táblázatai a közönséges logaritmusokhoz hasonlóan általában csak 1-től 10-ig terjedő számok logaritmusait tartalmazzák. A természetes logaritmusok rendszerében beszélhetünk antilogaritmusokról, de gyakrabban beszélnek exponenciális függvényről vagy kitevőről. Ha x = lny, akkor y = ex, és y-t x kitevőjének nevezzük (a tipográfiai kényelem érdekében gyakran y = exp x-et írunk). A kitevő az x szám antilogaritmusának szerepét tölti be. A tizedes és természetes logaritmustáblázatok használatával a 10-től és az e-től eltérő bázisú logaritmustáblázatokat hozhat létre. Ha logb a = x, akkor bx = a, és ezért logc bx = logc a vagy xlogc b = logc a, vagy x = logc a/logc b = logb a. Ezért ennek az inverziós képletnek a használatával a logaritmustáblázattól a c bázisig logaritmustáblázatokat hozhat létre bármely más b bázishoz. Az 1/logc b tényezőt a c bázisból a b bázisba való átmenet modulusának nevezzük. Semmi sem akadályozza meg például az inverziós képlet használatát vagy az egyik logaritmusrendszerből a másikba való átmenetet, a természetes logaritmusok megtalálását a közönséges logaritmusok táblázatából vagy a fordított átmenetet. Például log105.432 = loge 5.432/loge 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350. A 0,4343 szám, amellyel egy adott szám természetes logaritmusát meg kell szorozni, hogy közönséges logaritmust kapjunk, a közönséges logaritmusok rendszerére való átmenet modulusa.
Különleges asztalok. A logaritmusokat eredetileg azért találták ki, hogy logab = loga + logb és loga/b = loga - logb tulajdonságaikat használva a szorzatokat összegekké, a hányadosokat pedig különbségekké alakítsák. Vagyis ha ismert a loga és a logb, akkor összeadás és kivonás segítségével könnyen megtalálhatjuk a szorzat és a hányados logaritmusát. A csillagászatban azonban gyakran meg kell találni a log(a + b) vagy log(a - b) értékeket a loga és logb értékek alapján. Természetesen először logaritmustáblázatok segítségével megkereshetjük a-t és b-t, majd végrehajthatjuk a jelzett összeadást vagy kivonást, és ismét a táblázatokra lapozva megkereshetjük a szükséges logaritmusokat, de egy ilyen eljáráshoz háromszor kellene hozzáférni a táblázatokhoz. Z. Leonelli 1802-ben táblázatokat közölt az ún. Gauss-logaritmusok - összegek és különbségek összeadásának logaritmusai -, amelyek lehetővé tették, hogy a táblázatokhoz való hozzáférésre korlátozódjunk. I. Kepler 1624-ben javasolta az arányos logaritmusok táblázatait, i.e. a/x számok logaritmusai, ahol a valamilyen pozitív állandó érték. Ezeket a táblázatokat elsősorban csillagászok és navigátorok használják. Az a = 1-es arányos logaritmusokat kologaritmusoknak nevezzük, és a szorzatok és hányadosok számításánál használatosak. n logaritmusa egyenlő a reciprok logaritmusával; azok. köln = log1/n = - logn. Ha log2 = 0,3010, akkor colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. A kologaritmus használatának az az előnye, hogy a pq/r alakú kifejezések logaritmusának kiszámításakor a logp + logq + cologr pozitív tizedesjegyek hármas összege könnyebb megtalálni, mint a vegyes összeg és különbség logp + logq - logr.
Sztori. A logaritmusrendszerek alapelve nagyon régóta ismert, és az ókori babiloni matematikára vezethető vissza (Kr. e. 2000 körül). Akkoriban a kamatos kamat kiszámításához az egész számok pozitív egész hatványainak táblázatértékei közötti interpolációt használták. Jóval később Arkhimédész (Kr. e. 287-212) 108-as erejét használta, hogy megtalálja az akkor ismert Univerzum teljes kitöltéséhez szükséges homokszemek számának felső határát. Arkhimédész felhívta a figyelmet a kitevők azon tulajdonságára, amely a logaritmusok hatékonyságának hátterében áll: a hatványok szorzata a kitevők összegének felel meg. A középkor végén és a modern kor elején a matematikusok egyre inkább a geometriai és az aritmetikai progresszió kapcsolatára kezdtek fordulni. M. Stiefel egész számok aritmetikája (1544) című munkájában táblázatot adott a 2-es szám pozitív és negatív hatványairól:
Stiefel észrevette, hogy az első sorban (a kitevő sorában) lévő két szám összege egyenlő az alsó sorban (a kitevő sorában) lévő két megfelelő szám szorzatának megfelelő kettő kitevőjével. Ezzel a táblázattal kapcsolatban Stiefel négy szabályt fogalmazott meg, amelyek egyenértékűek a kitevőkkel végzett műveletek négy modern szabályával vagy a logaritmusok műveleteinek négy szabályával: a felső sorban szereplő összeg az alsó sorban lévő szorzatnak felel meg; a felső sorban lévő kivonás az alsó sorban lévő osztásnak felel meg; a felső sorban a szorzás az alsó sorban lévő hatványozásnak felel meg; felosztás a felső sorban az alsó sorban történő gyökeresedésnek felel meg. Nyilvánvalóan a Stiefel-féle szabályokhoz hasonló szabályok vezették J. Napier-t az első logaritmusrendszer formális bevezetéséhez az 1614-ben megjelent Leírás egy csodálatos logaritmustáblázat című művében. Napier gondolatait azonban a szorzatok összegekké alakításának problémája foglalkoztatta azóta. Napier több mint tíz évvel munkája megjelenése előtt hírt kapott Dániából, hogy a Tycho Brahe Obszervatóriumban asszisztenseinek olyan módszerük van, amely lehetővé tette a termékek összegekké alakítását. A Napier által kapott üzenetben tárgyalt módszer olyan trigonometrikus képletek használatán alapult, mint pl
Ezért a Napier-táblázatok főként trigonometrikus függvények logaritmusaiból álltak. Bár a bázis fogalma nem szerepelt kifejezetten a Napier által javasolt definícióban, az ő rendszerében a logaritmusrendszer bázisával egyenértékű szerepet az (1 - 10-7)ґ107 szám játszotta, amely megközelítőleg 1/e. . Napiertől függetlenül és vele szinte egyidejűleg egy meglehetősen hasonló típusú logaritmusrendszert J. Bürgi talált ki és adott ki Prágában, aki 1620-ban adta ki az Aritmetikai és geometriai haladás táblázatait. Ezek az antilogaritmusok táblázatai voltak az alaphoz (1 + 10-4)*10 4, ami elég jó közelítés az e számhoz. Napier rendszerében a 107-es szám logaritmusát nullának vették, és a számok csökkenésével a logaritmusok növekedtek. Amikor G. Briggs (1561-1631) meglátogatta Napier-t, mindketten egyetértettek abban, hogy kényelmesebb lenne a 10-es számot használni, és az egyes logaritmusát nullának tekinteni. Aztán a számok növekedésével a logaritmusuk növekedni fog. Így megkaptuk a decimális logaritmusok modern rendszerét, amelynek táblázatát Briggs Logaritmikus aritmetika (1620) című munkájában publikálta. Az e-alapú logaritmusokat, bár nem pontosan a Napier által bevezetetteket, gyakran nem-pier logaritmusnak nevezik. A "karakterisztikus" és a "mantissza" kifejezéseket Briggs javasolta. Az első logaritmusok történelmi okokból közelítéseket használtak az 1/e és e számokhoz. Valamivel később a természetes logaritmus gondolatát az xy = 1 hiperbola alatti területek tanulmányozásával kezdték összekapcsolni (1. ábra). A 17. században kimutatták, hogy az e görbe, az x tengely és az x = 1 és x = a ordináták által határolt terület (az 1. ábrán ezt a területet vastagabb és ritkább pontok borítják) növekszik az aritmetikai progresszióban, ha a geometriai haladás nő . Pontosan ez a függőség merül fel a kitevőkkel és logaritmusokkal végzett műveletek szabályaiban. Emiatt a Neper-féle logaritmusokat „hiperbolikus logaritmusoknak” nevezték.
Logaritmikus függvény. Volt idő, amikor a logaritmusokat kizárólag számítási eszköznek tekintették, de a 18. században, elsősorban Euler munkásságának köszönhetően, kialakult a logaritmikus függvény fogalma. Egy ilyen y = lnx függvény grafikonja, amelynek ordinátái aritmetikai, míg az abszcisszái geometriai haladásban nőnek, az ábrán látható. 2, a. Az y = ex inverz, vagyis exponenciális (exponenciális) függvény grafikonja, amelynek ordinátái a geometriai, az abszcisszák pedig aritmetikai haladásban nőnek, az ábrán láthatók. 2, b. (Az y = logx és y = 10x görbék alakjukban hasonlóak az y = lnx és y = ex görbékhez.) A logaritmikus függvény alternatív definícióit is javasolták, pl.
Euler munkájának köszönhetően ismertté váltak a logaritmusok és a trigonometrikus függvények összefüggései az összetett síkban. Az eix = cos x + i sin x azonosság alapján (ahol az x szöget radiánban mérjük) Euler arra a következtetésre jutott, hogy minden nullától eltérő valós számnak végtelen sok természetes logaritmusa van; negatív számok esetén mindegyik komplex, pozitív szám esetén egy kivételével mindegyik komplex. Mivel eix = 1 nem csak x = 0, hanem x = ± 2kp esetén is, ahol k bármely pozitív egész szám, a 0 ± 2kpi számok bármelyike felvehető az 1 szám természetes logaritmusaként; és ehhez hasonlóan a -1 természetes logaritmusai (2k + 1)pi alakú komplex számok, ahol k egész szám. Hasonló állítások igazak az általános logaritmusokra vagy más logaritmusrendszerekre. Ezenkívül a logaritmus definíciója általánosítható az Euler-azonosságok segítségével, hogy magában foglalja a komplex számok összetett logaritmusait is. A logaritmikus függvény alternatív definícióját a funkcionális analízis adja. Ha f(x) egy x valós szám folytonos függvénye, amelynek a következő három tulajdonsága van: f(1) = 0, f(b) = 1, f(uv) = f(u) + f(v), akkor f(x ) az x és a b bázis logaritmusa. Ez a meghatározás számos előnnyel rendelkezik a cikk elején megadott meghatározáshoz képest.
Alkalmazások. A logaritmusokat eredetileg kizárólag a számítások egyszerűsítésére használták, és ez az alkalmazás még mindig az egyik legfontosabb alkalmazásuk. A szorzatok, hányadosok, hatványok és gyökök kiszámítását nemcsak a publikált logaritmustáblázatok széles körű elérhetősége segíti elő, hanem az ún. dia szabály - egy számítási eszköz, amelynek működési elve a logaritmus tulajdonságain alapul. A vonalzó logaritmikus skálákkal van felszerelve, azaz. az 1-től tetszőleges x-ig terjedő távolságot úgy választjuk meg, hogy egyenlő legyen log x-szel; Az egyik skála a másikhoz viszonyított eltolásával lehetőség nyílik a logaritmusok összegeinek vagy különbségeinek ábrázolására, ami lehetővé teszi, hogy a skáláról közvetlenül leolvassuk a megfelelő számok szorzatait vagy hányadosait. Kihasználhatja a számok logaritmikus formában történő ábrázolásának előnyeit is. logaritmikus papír grafikonok ábrázolásához (mindkét koordinátatengelyen logaritmikus skálákkal nyomtatott papír). Ha egy függvény teljesíti az y = kxn alakú hatványtörvényt, akkor logaritmikus gráfja egyenesnek tűnik, mert log y = log k + n log x - egyenlet lineáris log y-ban és log x-ben. Ellenkezőleg, ha valamely funkcionális függőség logaritmikus gráfja egyenesnek tűnik, akkor ez a függőség hatványfüggvény. A félig log papír (ahol az y tengely logaritmikus, az x tengely pedig egységes léptékű) akkor hasznos, ha exponenciális függvényeket kell azonosítani. Az y = kbrx formájú egyenletek akkor merülnek fel, amikor egy mennyiség, például a populáció, a radioaktív anyag mennyisége vagy a banki egyenleg a lakosság, a radioaktív anyag vagy a jelenleg rendelkezésre álló pénz mennyiségével arányos mértékben csökken vagy növekszik. Ha egy ilyen függőséget féllogaritmikus papíron ábrázolunk, a grafikon egyenesnek fog kinézni. A logaritmikus függvény sokféle természeti formával kapcsolatban merül fel. A napraforgóvirágzatban a virágok logaritmikus spirálokba rendeződnek, a Nautilus puhatestű héja, a hegyi juhok szarvai és a papagájok csőrei csavarodnak. Mindezek a természetes alakzatok a logaritmikus spirálként ismert görbék példái, mivel a poláris koordináta-rendszerben az egyenlete r = aebq vagy lnr = lna + bq. Egy ilyen görbét egy mozgó pont ír le, melynek pólusától mért távolsága mértani haladással növekszik, a sugárvektora által leírt szög pedig aritmetikai haladással növekszik. Egy ilyen görbe, tehát a logaritmikus függvény mindenütt jelenléte jól mutatja, hogy olyan távoli és teljesen eltérő területeken fordul elő, mint egy excentrikus bütyök körvonala és néhány, a fény felé repülő rovar pályája.
Collier enciklopédiája. - Nyílt társadalom. 2000 .
Nézze meg, mi a "LOGARITHM" más szótárakban:
- (görögül, logosz relációból és aritmosz számból). Egy geometriai sorozatszámnak megfelelő aritmetikai sorozatszám. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Chudinov A.N., 1910. LOGARITMUS Görög, logoszból, relációból,... ... Orosz nyelv idegen szavak szótára
Adott az N szám az a bázison annak az y hatványnak a kitevője, amelyre az a számot fel kell emelni, hogy N-t kapjunk; így N = ay. A logaritmus jelölése általában logaN. Logaritmus e-vel? A 2,718... természetesnek nevezik, és lnN jelöli.… … Nagy enciklopédikus szótár
- (a görög logosz arányból és aritmosz számból) N számok a bázisra (O ... Modern enciklopédia
Egy pozitív b szám logaritmusa a bázishoz (a>0, a nem egyenlő 1-gyel) egy c szám, így a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Vegye figyelembe, hogy a nem pozitív számok logaritmusa nincs meghatározva. Ezenkívül a logaritmus alapjának egy pozitív számnak kell lennie, amely nem egyenlő 1-gyel. Például, ha a -2 négyzetre emeljük, akkor a 4-et kapjuk, de ez nem jelenti azt, hogy a logaritmus a 4 -2 alapjához egyenlő 2-vel.
Alapvető logaritmikus azonosság
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Fontos, hogy ennek a képletnek a jobb és bal oldalának meghatározása eltérő. A bal oldal csak b>0, a>0 és a ≠ 1 esetén van definiálva. A jobb oldal bármely b esetén definiálva van, és egyáltalán nem függ a-tól. Így az alapvető logaritmikus „azonosság” alkalmazása az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során az OD változásához vezethet.
A logaritmus meghatározásának két nyilvánvaló következménye
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Valóban, amikor az a számot az első hatványra emeljük, ugyanazt a számot kapjuk, ha pedig nulla hatványra emeljük, akkor egyet kapunk.
A szorzat logaritmusa és a hányados logaritmusa
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Szeretném óva inteni az iskolásokat attól, hogy ezeket a képleteket meggondolatlanul használják logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során. Ha „balról jobbra” használja őket, az ODZ szűkül, és amikor a logaritmusok összegéről vagy különbségéről a szorzat vagy hányados logaritmusára lépünk, az ODZ kitágul.
Valójában a log a (f (x) g (x)) kifejezés két esetben van definiálva: amikor mindkét függvény szigorúan pozitív, vagy ha f (x) és g (x) egyaránt kisebb, mint nulla.
Ezt a kifejezést a log a f (x) + log a g (x) összegre alakítva kénytelenek vagyunk csak arra az esetre korlátozódni, amikor f(x)>0 és g(x)>0. Az elfogadható értékek köre szűkül, és ez kategorikusan elfogadhatatlan, mivel megoldások elvesztéséhez vezethet. Hasonló probléma áll fenn a (6) képletnél.
A fokszám kivehető a logaritmus előjeléből
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)És ismét óvatosságra szeretnék inteni. Tekintsük a következő példát:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Az egyenlőség bal oldala nyilvánvalóan minden f(x) értékre definiálva van, kivéve a nullát. A jobb oldal csak f(x)>0-ra vonatkozik! Ha kivesszük a fokot a logaritmusból, ismét leszűkítjük az ODZ-t. A fordított eljárás az elfogadható értékek tartományának kiterjesztéséhez vezet. Mindezek a megjegyzések nemcsak a 2. hatványra vonatkoznak, hanem minden páros hatványra is.
Képlet az új alapra költözéshez
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Az a ritka eset, amikor az ODZ nem változik az átalakítás során. Ha bölcsen választotta a c bázist (pozitív és nem egyenlő 1-gyel), az új bázisra költözés képlete teljesen biztonságos.
Ha a b számot választjuk új c alapnak, akkor a (8) képlet fontos speciális esetét kapjuk:
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Néhány egyszerű példa logaritmussal
Példa 1. Számítsa ki: log2 + log50.
Megoldás. log2 + log50 = log100 = 2. A logaritmusok összege (5) képletét és a decimális logaritmus definícióját használtuk.
2. példa Számítsa ki: lg125/lg5.
Megoldás. log125/log5 = log 5 125 = 3. Az új bázisra lépés képletét (8) használtuk.
A logaritmusokhoz kapcsolódó képletek táblázata
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
A logaritmusok hagyományos fejfájást okoznak sok középiskolás diáknak. Különösen az egyenletek és a logaritmusú egyenlőtlenségek. A középiskolások valamiért nem szeretik a logaritmusokat. És ezért félnek. És teljesen hiába.) Hiszen maga a logaritmus egy nagyon-nagyon egyszerű fogalom. Ne higgy nekem? Nézd meg magad! A mai leckében.
Szóval ismerkedjünk.)
Először fejben oldjuk meg ezt a nagyon egyszerű egyenletet:
2 x = 4
Ez a legegyszerűbb exponenciális egyenlet. Azért hívják, mert az ismeretlen X benne van kitevő. Még ha nem is tudja, hogyan oldják meg az exponenciális egyenleteket, csak gondolatban válassza ki az X-et, hogy az egyenlőség teljesüljön. Gyerünk?! Biztosan, x = 2. Kettő négyzet alakú- ez négy.)
És most csak egy számot fogok megváltoztatni benne. Most oldjuk meg ezt az egyenletet:
2 x = 5
És ismét megpróbáljuk felvenni X-et...
Mi van, csak nem illik? A kettő négyzet négy. Két kocka már nyolc. És van ötünk. Elsikltunk... Mit tegyünk? Ne mondd, hogy nincs ilyen X! nem hiszem el.)
Fogadd el, hogy ez valahogy igazságtalan: négyessel fejben megoldható az egyenlet, de ötössel semmiképpen nem. A matematika nem fogad el ilyen diszkriminációt! Számára minden szám egyenlő partner.)
Ebben a szakaszban csak hozzávetőlegesen tudjuk megbecsülni, hogy x az valami törtszám kettő között ( 2 2 = 4 ) és három ( 2 3 = 8 ). Még a számológépen is bíbelődhetünk, és megközelítőleg megkereshetjük ezt a számot. De akkora felhajtás minden alkalommal... Egyetértek, ez elég szomorú...
A matematika ezt a feladatot nagyon egyszerűen és elegánsan oldja meg – a bevezetéssel logaritmus fogalmak.
Tehát mi az a logaritmus? Térjünk vissza titokzatos egyenletünkhöz:
2 x = 5
Értsük meg a problémát: meg kell találnunk egy bizonyos számot x, amire emelned kell 2-t, hogy 5-öt kapj . Világos ez a kifejezés? Ha nem, olvassa el újra. És mégis... Amíg észre nem veszed. Mert ez nagyon fontos!
Tehát hívjuk ezt a rejtélyes számot x az öt logaritmusa a kettőhöz! Matematikai formában ezek a szavak így néznek ki:
X = log 2 5
És ezt a bejegyzést így ejtik: "X egyenlő az öt és a kettő közötti logaritmussal."
Az alábbi számot (kettőt) hívják logaritmus alapja. Az alábbiakban ugyanúgy írjuk, mint a 2 x exponenciális kifejezésben. Nagyon könnyű megjegyezni.)
Nos, ez minden! Megoldottunk egy ijesztő exponenciális egyenletet!
2 x = 5
X = log 2 5
Ez minden! Ez a helyes és teljes válasz!
Talán zavar, hogy egy konkrét szám helyett furcsa betűket és ikonokat írok?
Nos, oké, meggyőztük... Főleg neked:
X = log 2 5 = 2,321928095…
Ne feledje, hogy ez a szám soha nem ér véget. Igen igen! Ez irracionális...
Itt a válasz a kérdésedre, mire használják a logaritmusokat?. A megoldáshoz elsősorban logaritmusokra van szükségünk exponenciális egyenletek! Amiket logaritmus nélkül egyáltalán nem lehet megoldani...
Például az exponenciális egyenlet megoldása
3 x = 9,
Nem kell emlékezni a logaritmusokra. Azonnal világos, hogy x = 2.
De az egyenletet megoldva mondjuk ezt
3 x = 7,
te hozzávetőlegesen, körülbelül ezt a bozontos választ kapod:
X ≈ 1,77124375
De a logaritmuson keresztül adott hangmagasság tökéletes válasz:
X = log 3 7.
És ez minden.) Ezért írnak logaritmusokat a csúnya irracionális számok helyett. Akinek numerikus válaszra van szüksége, az számolhat számológéppel vagy legalább Excelben.) És korábban, amikor még egyáltalán nem voltak számológépek és számítógépek, léteztek speciális logaritmustáblázatok. Terjedelmes és súlyos. Ugyanaz, mint a Bradis táblák szinuszokhoz és koszinuszokhoz. És még egy ilyen eszköz is volt - logaritmikus vonalzó. Ez lehetővé tette sok hasznos dolog jó pontosságú kiszámítását. És nem csak logaritmus.)
Tessék. Most magunktól észrevétlenül megtanultunk dönteni Minden ennek a brutális típusnak az exponenciális egyenletei.
Például:
2 x = 13
Nincs mit:
X = log 2 13
5 x = 26
Elemi is!
X = log 5 26
11 x = 0,123
És nincs kérdés:
X = log 11 0,123
Ezek mind helyes válaszok! Szóval hogyan? Csábító, nem?
Most gondoljuk át magának a logaritmus megtalálásának műveletének jelentését.
Mint tudjuk, a matematikusok minden cselekvésre megpróbálnak reakciót találni (pl. az ellenkező akció). Összeadásnál kivonás, szorzásnál osztás. Mi az ellenkező hatás hatványozás?
Nézzük meg. Melyek a fő aktív figuráink, amikor hatalomra emelünk? Itt vannak:
a n = b
a - alap,
n - index,
b - maga a diploma.
Most gondoljuk meg: ha tudjuk fokozat(b) és ismert index ez a fok (n), de meg kell találnod alap (a) , mit csinálunk általában? Jobb! Az n-edik gyökér kinyerése! Mint ez:
Most nézzünk egy másik helyzetet: ismét tudjuk fokozat(b), de ezúttal az n kitevő helyett tudjuk bázis(a), de csak meg kell találnia ezt mutató (n). Mit fogunk csinálni?
Itt a logaritmusok segítenek! Pontosan ezt írják:
"En" (n) az a szám, amelyre emelni kell "a", Megszerezni "b". Ez minden. Ez a logaritmus lényege. A logaritmus megtalálásának művelete csak keresés indikátor fokok szerint ismert fokonÉs alapon.
Így a matematikában van hatványozás két különböző természetű fordított műveletek. Ez gyökér kivonásÉs a logaritmus megtalálása. De tegyük fel, hogy a szorzáshoz csak egy fordított művelet van – az osztás. Ez érthető: az ismeretlen tényezők bármelyikét - mind az elsőt, mind a másodikat - egy művelettel - osztással - keresik.)
A legegyszerűbb példák logaritmussal.
Most nem túl jók a hírek. Ha a logaritmust pontosan kiszámoljuk, akkor az számolni kell, Igen.
Tegyük fel, ha valahol az egyenletben van
x = log 3 9 ,
Senki nem fog értékelni egy ilyen választ. Ki kell számítanunk a logaritmust, és fel kell írnunk:
x = 2
Hogyan értettük, hogy log 3 9=2? Fordítsuk le az egyenlőséget a matematikai nyelvből oroszra: a kilenc és a három közötti logaritmus az a szám, amelyre a hármat fel kell emelni, hogy kilencet kapjunk. És milyen számra kell emelni a hármat, hogy kilenc legyen? Hát persze! Négyzet alakúnak kell lennie. Vagyis kettesben.)
Mit jelent mondjuk a log 5 125? Mennyire ad egy ötös 125-öt? A harmadikban természetesen (mármint kockában)!
Ezért log 5 125 = 3.
Napló 7 7 = ?
Milyen hatványra kell emelni a 7-et, hogy 7-et kapjunk? Első!
Íme a válasz: log 7 7 = 1
Mit szól ehhez a példához?
Napló 3 1 = ?
És milyen hatalomra kell emelni a hármat, hogy egy legyen? Nem tippelted? Fogsz emlékezni .) Igen! Nullára! Tehát ezt írjuk:
Napló 3 1 = 0
Megértetted az elvet? Akkor edzünk:
2. napló 16 = ...
Napló 4 64 = ...
Napló 13 13 = …
Log 3 243 = ...
Napló 15 1 = ...
Válaszok (rendetlenségben): 1; 3; 5; 0; 4.
Mit? Elfelejtette, hogy a 3 milyen hatványt ad a 243-nak? Nos, nincs mit tenni: meg kell találnia a népszerű számok fokozatait. Arcban! Nos, a szorzótábla megbízható társ és asszisztens. És nem csak logaritmusban.)
Nos, nagyon egyszerű példákat oldottunk meg, és most egy lépéssel feljebb megyünk. Emlékezzünk a negatív és a töredékmutatókra.)
Oldjuk meg ezt a példát:
4. napló 0,25 = ?
Hmm... És milyen teljesítményre kell emelni négyet, hogy 0,25 legyen? Ezt nem lehet azonnal kimondani. Ha csak természetes mutatókkal dolgozik. De a matematika fokozatai, mint ismeretes, nemcsak természetesek. Itt az ideje, hogy összekapcsoljuk tudásunkat negatív mutatók, és ne feledje
0,25 = 1/4 = 4 -1
Ezért nyugodtan írhatjuk:
Log 4 0,25 = log 4 4 -1 = -1.
Ez minden.)
Egy másik példa:
Napló 4 2 = ?
Milyen hatványra kell emelni a négyet, hogy kettőt kapjunk? A kérdés megválaszolásához a gyökerekkel kapcsolatos ismereteinket kell felhasználnunk. És ne feledd, hogy a kettes az négyzetgyöke négy:
A matematika pedig lehetővé teszi, hogy a négyzetgyököt fokként ábrázolja! 1/2-es mutatóval. Tehát ezt írjuk:
Ezért logaritmusunk egyenlő lesz:
Hát gratulálok! Így megismerkedtünk a logaritmusokkal. A legprimitívebb kezdeti szinten.) És te magad is személyesen láttad, hogy egyáltalán nem olyan ijesztőek, mint korábban gondoltad. De a logaritmusoknak, mint minden más matematikai fogalomnak, megvannak a saját tulajdonságaik és sajátos jellemzőik. Mindkettőről (a tulajdonságokról és a chipekről) - a következő leckében.
Most mi magunk döntünk.
Kiszámítja:
Válaszok (rendetlenségben): 4,4; 0; 1; 6; 4; 2.
(görögül λόγος - „szó”, „kapcsolat” és ἀριθμός – „szám”) számok b alapján a(log α b) ilyen számnak nevezik c, És b= a c, azaz log α-t rögzít b=cÉs b=ac egyenértékűek. A logaritmus akkor értelmezhető, ha a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Más szavakkal logaritmus számok b alapján A kitevőként fogalmazódik meg, amelyre egy számot kell emelni a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).
Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x= log α b, ekvivalens az a x =b egyenlet megoldásával.
Például:
log 2 8 = 3, mert 8 = 2 3 .
Hangsúlyozzuk, hogy a logaritmus jelzett megfogalmazása azonnali meghatározást tesz lehetővé logaritmus érték, amikor a logaritmusjel alatti szám az alap bizonyos hatványaként működik. Valójában a logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa b alapján a egyenlő Val vel. Az is jól látható, hogy a logaritmusok témaköre szorosan kapcsolódik a témához egy szám hatványai.
A logaritmus kiszámítását ún logaritmus. A logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmusok felvételekor a tényezők szorzatai tagok összegévé alakulnak.
Potencírozás a logaritmus inverz matematikai művelete. A potencírozás során egy adott bázist arra az expressziós fokra emelnek, amely felett a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegei faktorok szorzatává alakulnak.
Gyakran valós logaritmusokat használnak 2-es bázissal (bináris), Euler-számmal ≈ 2,718 (természetes logaritmus) és 10-vel (tizedes).
Ebben a szakaszban tanácsos mérlegelni logaritmus minták napló 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Az lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 bejegyzéseknek pedig nincs értelme, hiszen az elsőben negatív szám van a logaritmus előjele alatt, a másodikban negatív szám található. az alapban, a harmadikban pedig a logaritmus előjele alatt egy negatív szám és az alapon lévő mértékegység található.
A logaritmus meghatározásának feltételei.
Külön érdemes figyelembe venni azokat a feltételeket, amelyek a > 0, a ≠ 1, b > 0. a logaritmus meghatározása. Nézzük meg, miért került sor ezekre a korlátozásokra. Ebben segítségünkre lesz egy x = log α alakú egyenlőség b, az úgynevezett alapvető logaritmikus azonosság, ami közvetlenül következik a logaritmus fenti definíciójából.
Vegyük a feltételt a≠1. Mivel egy tetszőleges hatványhoz egyenlő eggyel, akkor az x=log α egyenlőség b csak akkor létezhet b=1, de log 1 1 bármilyen valós szám lesz. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére vesszük a≠1.
Bizonyítsuk be a feltétel szükségességét a>0. Nál nél a=0 a logaritmus megfogalmazása szerint csak akkor létezhet b=0. És ennek megfelelően akkor log 0 0 bármely nullától eltérő valós szám lehet, mivel nullától bármely nem-nulla hatvány nulla. Ez a kétértelműség kiküszöbölhető a feltétellel a≠0. És mikor a<0 el kell vetnünk a logaritmus racionális és irracionális értékeinek elemzését, mivel a racionális és irracionális kitevővel rendelkező fokot csak nem negatív bázisokra határozzuk meg. Ez az oka annak, hogy a feltétel ki van kötve a>0.
És az utolsó feltétel b>0 egyenlőtlenségből következik a>0, mivel x=log α b, és a fokozat értéke pozitív bázissal a mindig pozitív.
A logaritmus jellemzői.
Logaritmusok jellegzetessége jellemzi jellemzők, ami széleskörű használatukhoz vezetett, hogy jelentősen megkönnyítsék a gondos számításokat. Amikor „a logaritmusok világába” lépünk, a szorzás sokkal könnyebb összeadássá, az osztás kivonássá, a hatványozás és a gyökkivonás pedig a kitevővel szorzássá, illetve osztássá alakul.
A logaritmusok megfogalmazását és értékeinek táblázatát (a trigonometrikus függvényekhez) először 1614-ben tette közzé John Napier skót matematikus. A más tudósok által felnagyított és részletezett logaritmikus táblázatokat széles körben használták tudományos és mérnöki számításokban, és az elektronikus számológépek és számítógépek használatáig relevánsak maradtak.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete