Különböző előjelű egyenlőtlenségek kivonása. Lineáris egyenlőtlenségek

Egyenlőtlenség egy olyan rekord, amelyben a számokat, változókat vagy kifejezéseket előjel köti össze<, >, vagy . Vagyis az egyenlőtlenséget számok, változók vagy kifejezések összehasonlításának nevezhetjük. Jelek < , > , ⩽ És ⩾ hívják egyenlőtlenség jelei.

Az egyenlőtlenségek típusai és értelmezésük:

Amint a példákból látható, minden egyenlőtlenség két részből áll: bal és jobb oldali részből, amelyeket az egyik egyenlőtlenségi jel köt össze. Az egyenlőtlenségek részeit összekötő előjeltől függően szigorúra és nem szigorúra osztják őket.

Szigorú egyenlőtlenségek- egyenlőtlenségek, amelyek részeit előjel köti össze< или >. Nem szigorú egyenlőtlenségek- egyenlőtlenségek, amelyekben a részeket a jel ill.

Tekintsük az algebra összehasonlításának alapvető szabályait:

• Bármilyen pozitív szám, amely nagyobb nullánál.
• Bármely negatív szám kisebb, mint nulla.
• Két negatív szám közül az a nagyobb, amelynek abszolút értéke kisebb. Például -1 > -7.
• aÉs b pozitív:

  a - b > 0,

  Hogy a több b (a > b).

• Ha két egyenlőtlen szám különbsége aÉs b negatív:

  a - b < 0,

  Hogy a Kevésbé b (a < b).

• Ha a szám nagyobb nullánál, akkor pozitív:

  a> 0, ami azt jelenti a- pozitív szám.

• Ha a szám kisebb, mint nulla, akkor negatív:

  a < 0, значит a- negatív szám.

Egyenértékű egyenlőtlenségek- olyan egyenlőtlenségek, amelyek más egyenlőtlenségek következményei. Például ha a Kevésbé b, Azt b több a:

a < bÉs b > a- ekvivalens egyenlőtlenségek

Az egyenlőtlenségek tulajdonságai

1. Ha egy egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk ugyanazt a számot, vagy mindkét oldalról kivonjuk ugyanazt a számot, akkor ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, azaz

   Ha a > b, Azt a + c > b + c És a - c > b - c

   Ebből az következik, hogy az egyenlőtlenség kifejezéseit az egyik részből a másikba lehet ellenkező előjellel átvinni. Például az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadva a - b > c - d Által d, kapunk:

   a - b > c - d

   a - b + d > c - d + d

   a - b + d > c

2. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, azaz
3. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor az adott egyenlőtlenséggel ellentétes egyenlőtlenséget kapjuk, vagyis, ha az egyenlőtlenség mindkét részét negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, az az egyenlőtlenséget az ellenkezőjére kell változtatni.

   Ezzel a tulajdonsággal megváltoztathatjuk az egyenlőtlenség összes tagjának előjelét úgy, hogy mindkét oldalt -1-gyel megszorozzuk, és az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére változtatjuk:

   -a + b > -c

   (-a + b) · -1< (-c) · -1

   a - b < c

   Egyenlőtlenség -a + b > -c egyenlőtlenséggel egyenlő a - b < c

A valós számok mezője a rendezettség tulajdonságával rendelkezik (6. szakasz, 35. o.): bármely a, b számra egy, és a három reláció közül csak az egyik teljesül: vagy . Ebben az esetben az a > b bejegyzés azt jelenti, hogy a különbség pozitív, a bejegyzési különbség pedig negatív. Ellentétben a valós számok mezőjével, a komplex számok mezője nincs rendezve: a komplex számok esetében a „több” és a „kevesebb” fogalma nincs meghatározva; Ezért ez a fejezet csak valós számokkal foglalkozik.

A relációkat egyenlőtlenségnek nevezzük, az a és b számok az egyenlőtlenség tagjai (vagy részei), a > (nagyobb, mint) előjeleket és az a > b és c > d egyenlőtlenségeket ugyanazon (vagy egy és ugyanazon) egyenlőtlenségeknek nevezzük. jelentése; egyenlőtlenségek a > b és c Az egyenlőtlenség definíciójából rögtön az következik

1) bármely nullánál nagyobb pozitív szám;

2) bármely negatív szám kisebb, mint nulla;

3) bármely pozitív szám nagyobb bármely negatív számnál;

4) két negatív szám közül az, amelyik abszolút értéke kisebb, nagyobb.

Mindezek az állítások egyszerű geometriai értelmezést tesznek lehetővé. Legyen a számtengely pozitív iránya a kezdőponttól jobbra; akkor bármilyen előjele is legyen a számoknak, a nagyobbat a kisebb számot jelző ponttól jobbra eső pont ábrázolja.

Az egyenlőtlenségek a következő alapvető tulajdonságokkal rendelkeznek.

1. Aszimmetria (irreverzibilitás): ha , akkor , és fordítva.

Valójában, ha a különbség pozitív, akkor a különbség negatív. Azt mondják, hogy egy egyenlőtlenség feltételeinek átrendezése során az egyenlőtlenség jelentését az ellenkezőjére kell változtatni.

2. Tranzitivitás: ha , akkor . A különbségek pozitivitásából valóban az következik

Az egyenlőtlenségjelek mellett az egyenlőtlenségjeleket és a következőképpen definiálják: a bejegyzés azt jelenti, hogy vagy vagy Ezért például írhat, és azt is. Jellemzően a jelekkel írt egyenlőtlenségeket szigorú egyenlőtlenségeknek, a jelekkel írt egyenlőtlenségeket pedig nem szigorú egyenlőtlenségeknek nevezzük. Ennek megfelelően magukat a jeleket a szigorú vagy nem szigorú egyenlőtlenség jeleinek nevezzük. A fent tárgyalt 1. és 2. tulajdonság a nem szigorú egyenlőtlenségekre is igaz.

Tekintsük most azokat a cselekvéseket, amelyeket egy vagy több egyenlőtlenséggel végezhetünk.

3. Ugyanazon szám hozzáadása egy egyenlőtlenség feltételeihez nem változtatja meg az egyenlőtlenség jelentését.

Bizonyíték. Legyen megadva egy egyenlőtlenség és egy tetszőleges szám. Értelemszerűen a különbség pozitív. Ehhez a számhoz adjunk hozzá két ellentétes számot, ami nem változtat rajta, pl.

Ez az egyenlőség a következőképpen írható át:

Ebből az következik, hogy a különbség pozitív, vagyis az

és ezt kellett bizonyítani.

Ez az alapja annak a lehetőségnek, hogy az egyenlőtlenség bármely tagja ellentétes előjellel egyik részről a másikra torzuljon. Például az egyenlőtlenségtől

ezt követi

4. Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a pozitív számmal, az egyenlőtlenség jelentése nem változik; Ha egy egyenlőtlenség tagjait megszorozzuk ugyanazzal a negatív számmal, az egyenlőtlenség jelentése az ellenkezőjére változik.

Bizonyíték. Legyen akkor Ha akkor, mivel a pozitív számok szorzata pozitív. Az utolsó egyenlőtlenség bal oldalán lévő zárójeleket megnyitva megkapjuk, azaz . Az esetet hasonló módon vizsgálják.

Pontosan ugyanezt a következtetést vonhatjuk le az egyenlőtlenség részeinek nullától eltérő számmal való osztásakor, mivel a számmal való osztás egyenértékű a számmal való szorzással, és a számok előjele megegyezik.

5. Legyenek pozitívak az egyenlőtlenség feltételei. Ekkor, ha a feltételeit ugyanarra a pozitív hatványra emeljük, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Bizonyíték. Legyen ebben az esetben a tranzitív tulajdonság által, és . Ekkor a for és a pozitív hatványfüggvény monoton növekedése miatt meglesz

Különösen, ha hol van természetes szám, akkor azt kapjuk

vagyis ha egy egyenlőtlenség mindkét oldaláról kinyerjük a gyökét pozitív kifejezésekkel, az egyenlőtlenség jelentése nem változik.

Legyenek az egyenlőtlenség feltételei negatívak. Ekkor nem nehéz bebizonyítani, hogy ha a kifejezéseit páratlan természetes hatványra emeljük, az egyenlőtlenség jelentése nem változik, de ha páros természetes hatványra emeljük, akkor az ellenkezőjére változik. A negatív tagú egyenlőtlenségekből kivonható a páratlan fok gyöke is.

Ezenkívül az egyenlőtlenség feltételeinek különböző előjelei vannak. Ekkor páratlan hatványra emelve az egyenlőtlenség jelentése nem változik, páros hatványra emelve viszont általános esetben semmi határozottat nem lehet mondani a keletkező egyenlőtlenség jelentéséről. Valójában, ha egy számot páratlan hatványra emelünk, a szám előjele megmarad, és ezért az egyenlőtlenség jelentése nem változik. Ha egy egyenlőtlenséget egyenletes hatványra emelünk, akkor egy pozitív feltételű egyenlőtlenség jön létre, és annak jelentése az eredeti egyenlőtlenséggel azonos jelentésű egyenlőtlenség abszolút értékétől függ ellenkező értelmű, és akár egyenlőség is elérhető!

Hasznos az alábbi példa segítségével ellenőrizni mindazt, amit az egyenlőtlenségek hatványra emeléséről mondtak.

Példa 1. Emelje fel a következő egyenlőtlenségeket a megadott hatványra, ha szükséges, változtassa az egyenlőtlenség jelét ellentétes vagy egyenlőségjelre.

a) 3 > 2 4 hatványára; b) a 3. fokozatig;

c) 3. fokozatra; d) 2. fokozatra;

e) 5 hatványára; e) a 4. fokozatig;

g) 2 > -3 2 hatványára; h) 2 hatványára,

6. Egy egyenlőtlenségből továbbléphetünk a közötti egyenlőtlenségre, ha az egyenlőtlenség mindkét tagja pozitív vagy negatív, akkor a reciprok között ellentétes jelentésű egyenlőtlenség van:

Bizonyíték. Ha a és b azonos előjelű, akkor a szorzatuk pozitív. Oszd egyenlőtlenséggel

vagyis amit meg kellett szerezni.

Ha egy egyenlőtlenség tagjainak ellentétes előjelei vannak, akkor a reciprok közötti egyenlőtlenség ugyanazt jelenti, mivel a reciprok előjelei megegyeznek maguknak a mennyiségeknek az előjeleivel.

2. példa Ellenőrizze az utolsó 6. tulajdonságot a következő egyenlőtlenségek segítségével:

7. Az egyenlőtlenségek logaritmusa csak abban az esetben végezhető el, ha az egyenlőtlenségek tagjai pozitívak (negatív számok és nulla logaritmusok nem rendelkeznek).

Hadd . Aztán lesz

és mikor lesz

Ezen állítások helyessége a logaritmikus függvény monotonitásán alapul, amely növekszik, ha az alap, és csökken

Tehát, ha egy pozitív tagokból álló egyenlőtlenség logaritmusát egynél nagyobb bázisra visszük, akkor a megadottal megegyező jelentésű egyenlőtlenség jön létre, ha pedig a logaritmust egynél kisebb pozitív bázisra visszük, akkor az egyenlőtlenség egyenlőtlensége. ellentétes jelentés alakul ki.

8. Ha, akkor ha, de, akkor.

Ez azonnal következik az exponenciális függvény monotonitási tulajdonságaiból (42. szakasz), amely növekszik abban az esetben, és csökken, ha

Ha azonos jelentésű kifejezési egyenlőtlenségeket adunk hozzá, az adatokkal azonos jelentésű egyenlőtlenség jön létre.

Bizonyíték. Bizonyítsuk be ezt az állítást két egyenlőtlenségre, bár bármennyi hozzáadott egyenlőtlenségre igaz. Legyenek adottak az egyenlőtlenségek

Értelemszerűen a számok pozitívak lesznek; akkor az összegük is pozitívnak bizonyul, i.e.

A kifejezéseket eltérően csoportosítva azt kapjuk

és ezért

és ezt kellett bizonyítani.

Egy két vagy több különböző jelentésű egyenlőtlenség összeadásával kapott egyenlőtlenség jelentéséről általános esetben nem lehet semmi határozottat mondani.

10. Ha az egyik egyenlőtlenségből tagonként kivonunk egy másik, ellenkező értelmű egyenlőtlenséget, akkor az elsővel azonos értelmű egyenlőtlenség jön létre.

Bizonyíték. Legyen két eltérő jelentésű egyenlőtlenség adott. Közülük a második az irreverzibilitás tulajdonsága szerint a következőképpen írható át: d > c. Adjunk hozzá két azonos jelentésű egyenlőtlenséget, és kapjuk meg az egyenlőtlenséget

ugyanaz a jelentés. Ez utóbbiból azt találjuk

és ezt kellett bizonyítani.

Lehetetlen általános esetben semmi határozottat mondani egy olyan egyenlőtlenség jelentéséről, amelyet úgy kapunk, hogy az egyik egyenlőtlenségből kivonunk egy másik azonos jelentésű egyenlőtlenséget.

Egyenlőtlenségrendszernek szokás nevezni több egyenlőtlenség göndör kapcsos kapcsos zárójel alatti rögzítését (ebben az esetben a rendszerben szereplő egyenlőtlenségek száma és típusa tetszőleges lehet).

Egy rendszer megoldásához meg kell találni a benne lévő összes egyenlőtlenség megoldásának metszéspontját. A matematikában az egyenlőtlenség megoldása bármely változási érték, amelyre az egyenlőtlenség igaz. Más szóval, meg kell találnia az összes megoldás halmazát - ezt hívják válasznak. Példaként próbáljuk meg megtanulni, hogyan lehet az intervallum módszerrel megoldani egy egyenlőtlenségrendszert.

Az egyenlőtlenségek tulajdonságai

A probléma megoldásához fontos ismerni az egyenlőtlenségekben rejlő alapvető tulajdonságokat, amelyek a következőképpen fogalmazhatók meg:

• Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadható egy és ugyanaz a függvény, amely ennek az egyenlőtlenségnek a megengedett értékeinek tartományában (ADV) van meghatározva;
• Ha f(x) > g(x) és h(x) az egyenlőtlenség ODZ-jében meghatározott bármely függvény, akkor f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
• Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk ennek az egyenlőtlenségnek az ODZ-jében meghatározott pozitív függvényével (vagy egy pozitív számmal), akkor az eredetivel egyenértékű egyenlőtlenséget kapunk;
• Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk az adott egyenlőtlenség ODZ-jében meghatározott negatív függvénnyel (vagy negatív számmal), és az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére változtatjuk, akkor a kapott egyenlőtlenség ekvivalens az adott egyenlőtlenséggel;
• Az azonos jelentésű egyenlőtlenségeket szóról szóra összeadhatjuk, az ellenkező értelmű egyenlőtlenségeket pedig szóról szóra kivonhatjuk;
• A pozitív részekkel azonos jelentésű egyenlőtlenségeket tagonként szorozhatjuk, a nem negatív függvények által alkotott egyenlőtlenségeket pedig tagonként pozitív hatványra emelhetjük.

Egy egyenlőtlenségrendszer megoldásához minden egyenlőtlenséget külön kell megoldani, majd össze kell hasonlítani őket. Az eredmény pozitív vagy negatív válasz lesz, ami azt jelenti, hogy a rendszernek van-e megoldása vagy sem.

Intervallum módszer

Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása során a matematikusok gyakran az intervallum módszert veszik igénybe, mint az egyik leghatékonyabbat. Lehetővé teszi, hogy a megoldást az f(x) > 0 egyenlőtlenségre redukáljuk (<, <, >) az f(x) = 0 egyenlet megoldásához.

A módszer lényege a következő:

• Keresse meg az egyenlőtlenség elfogadható értékeinek tartományát;
• Csökkentse az egyenlőtlenséget f(x) > 0(<, <, >), azaz mozgassa a jobb oldalt balra és egyszerűsítse;
• Oldja meg az f(x) = 0 egyenletet;
• Rajzolj függvénydiagramot egy számegyenesen! Az ODZ-n jelölt és azt korlátozó összes pont ezt a halmazt úgynevezett állandó előjelű intervallumokra osztja. Minden ilyen intervallumban meghatározzuk az f(x) függvény előjelét;
• Írja fel a választ olyan egyedi halmazok uniójaként, amelyeken f(x) a megfelelő előjele van. A határt jelentő ODZ-pontok további ellenőrzés után szerepelnek (vagy nem szerepelnek) a válaszban.

1 . Ha a>b, Azt b< a ; ellenkezőleg, ha A< b , Azt b > a.

Példa. Ha 5x – 1 > 2x + 1, Azt 2x +1< 5x — 1 .

2 . Ha a>bÉs b > c, Azt a > c. Hasonló, A< b És b< с , Azt a< с .

Példa. Az egyenlőtlenségektől x > 2у, 2 év > 10 ezt követi x >10.

3 . Ha a > b, Hogy a + c > b + cÉs a – c > b – c. Ha A< b , Azt a + c És a - c , azok. az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatja (vagy kivonhatja) ugyanazt a mennyiséget