Gyors Fourier transzformálja a fizikai jelentést. A Fourier transzformáció tulajdonságai
Annak ellenőrzésére, hogy a program megfelelően működik-e, egy mintatömböt alkotunk két sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) szinusz összegéből, és becsúsztatjuk a programba. . A program a következőket rajzolta:
1. ábra A jelidő függvény grafikonja
2. ábra Jelspektrum grafikon
A spektrumgrafikonon két pálca (harmonikus) található, 0,5 V amplitúdójú 5 Hz és 1 V amplitúdójú 10 Hz, minden ugyanaz, mint az eredeti jel képletében. Minden rendben, ügyes programozó! A program megfelelően működik.
Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszos keverékből valós jelet viszünk az ADC bemenetre, akkor hasonló, két harmonikusból álló spektrumot kapunk.
Összesen, a miénk igazi mért jel 5 másodpercig tart, amelyet az ADC digitalizált, azaz ábrázol diszkrét számít, van diszkrét nem periodikus hatótávolság.
Matematikai szempontból hány hiba van ebben a kifejezésben?
Most döntöttek az illetékesek, úgy döntöttünk, hogy az 5 másodperc túl hosszú, mérjük 0,5 másodperc alatt a jelet.
3. ábra: A sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) függvény grafikonja 0,5 másodperces mérési időszakra
4. ábra Funkcióspektrum
Valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus rendesen megrajzolódik, de az 5 Hz-es pálca helyett több furcsa harmonikus is megjelenik. Az interneten nézzük, mi történik…
Nos, azt mondják, hogy nullákat kell hozzáadni a minta végéhez, és a spektrum a szokásos módon rajzolódik ki.
5. ábra Nullák hozzáadva 5 másodpercig
6. ábra Fogadott spektrum
Még mindig nem ugyanaz, mint 5 másodpercnél volt. Az elmélettel kell foglalkoznunk. Menjünk-hoz Wikipédia- tudásforrás.
2. Folyamatos függvény és Fourier-soros ábrázolása
Matematikailag a T másodperc időtartamú jelünk a (0, T) szakaszon meghatározott f(x) függvény (X in ebben az esetben- idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható a következő alakú harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:
(1), ahol:
K - szám trigonometrikus függvény(harmonikus komponens száma, harmonikus száma)
T - szegmens, ahol a függvény definiálva van (jel időtartama)
Ak a k-adik harmonikus komponens amplitúdója,
θk- a k-adik harmonikus komponens kezdeti fázisa
Mit jelent „egy függvényt sorozat összegeként ábrázolni”? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sor harmonikus összetevőinek értékeit minden pontban összeadva megkapjuk a függvényünk értékét ebben a pontban.
(Szigorúbban, szórás Az f(x) függvény sorozata nullára hajlik, de az átlagos négyzetkonvergencia ellenére a függvény Fourier-sorának általában nem kell pontszerűen konvergálnia hozzá. Lásd: https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)
Ezt a sorozatot így is írhatjuk:
(2),
Ahol , k-edik komplexum amplitúdó.
Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletekkel fejezzük ki:
Megjegyzendő, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. Néha, amikor Fourier-sorokkal dolgozunk, kényelmesebb a képzeletbeli argumentum kitevőit használni a szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformációt komplex formában használni. De kényelmes az (1) képlet használata, ahol a Fourier-sort koszinuszhullámok összegeként mutatjuk be a megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal. Mindenesetre helytelen azt állítani, hogy egy valós jel Fourier-transzformációja összetett harmonikus amplitúdókat eredményez. Ahogy a Wiki helyesen mondja, „A Fourier-transzformáció (ℱ) egy olyan művelet, amely egy valós változó egyik függvényét társítja egy másik, szintén valós változóhoz.
Teljes:
Matematikai alap spektrális elemzés jelek a Fourier transzformáció.
A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy reprezentáljuk folyamatos funkció f(x) (jel), a (0, T) intervallumon összegként definiálva végtelen szám(végtelen sorozat) bizonyos amplitúdójú és fázisú trigonometrikus függvények (szinusz és/vagy koszinusz), figyelembe véve a (0, T) szakaszon is. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezik.
Jegyezzünk meg még néhány pontot, amelyek megértéséhez szükséges helyes alkalmazás Fourier transzformációk jelanalízishez. Ha figyelembe vesszük a Fourier-sort (a szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen, akkor láthatjuk, hogy a (0, T) szakaszon kívül a Fourier-sor által reprezentált függvény periodikusan megismétli függvényünket.
Például a 7. ábra grafikonján az eredeti függvény a (-T\2, +T\2) szakaszon van definiálva, és a Fourier-sor a teljes x tengelyen meghatározott periodikus függvényt reprezentál.
Ez azért történik, mert a szinuszosok maguk is periodikus függvények, és ennek megfelelően az összegük periodikus függvény lesz.
7. ábra A nem periodikus ábrázolása eredeti funkció Fourier közelében
És így:
Eredeti függvényünk folytonos, nem periodikus, egy bizonyos T hosszúságú szakaszon definiált.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus komponensek végtelen sorozata - a Fourier-sor - formájában jelenik meg.
Valójában a Fourier-sor meghatároz egy bizonyos periodikus függvényt, amely egybeesik a miénkkel a (0, T) szakaszon, de számunkra ez a periodicitás nem jelentős.
A harmonikus komponensek periódusai annak a szakasznak a (0, T) értékének a többszörösei, amelyen az eredeti f(x) függvény definiálva van. Más szavakkal, a harmonikus periódusok a jelmérés időtartamának többszörösei. Például a Fourier-sor első harmonikusának periódusa megegyezik azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvény definiálva van. A Fourier-sor második harmonikusának periódusa megegyezik a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd 8. ábra).
8. ábra A Fourier-sor harmonikus komponenseinek periódusai (frekvenciái) (itt T = 2π)
Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái 1/T többszörösei. Azaz az Fk harmonikus komponensek frekvenciája egyenlő Fk= k\T-vel, ahol k 0-tól ∞-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nulla frekvencián - állandó komponens).
Legyen eredeti függvényünk egy T=1 sec alatt rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával T1=T=1 sec, a harmonikus frekvencia pedig 1 Hz lesz. A második harmonikus periódusa megegyezik a jel időtartamának osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 mp), a frekvencia pedig 2 Hz lesz. A harmadik harmonikusnál T3=T/3 sec és a frekvencia 3 Hz. Stb.
A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.
Így egy 1 másodperc időtartamú jel harmonikus komponensekre bontható (spektrumot nyerve) 1 Hz frekvenciafelbontással.
A felbontás kétszeresére 0,5 Hz-re történő növeléséhez a mérés időtartamát kétszeresére kell növelni - legfeljebb 2 másodpercig. A 10 másodpercig tartó jel harmonikus komponensekre bontható (spektrum előállításához), 0,1 Hz frekvenciafelbontással. Nincs más mód a frekvenciafelbontás növelésére.
Van mód a jel időtartamának mesterséges növelésére úgy, hogy nullákat adunk a minták tömbjéhez. De nem növeli a tényleges frekvenciafelbontást.
3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier transzformáció
A digitális technika fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módjai is megváltoztak. Ha korábban egy jelet magnóra lehetett rögzíteni és analóg formában szalagon tárolni, most a jeleket digitalizálják és a számítógép memóriájában tárolt fájlokban számok (minták) halmazaként tárolják.A jel mérésének és digitalizálásának szokásos sémája a következő.
9. ábra A mérőcsatorna diagramja
A mérőátalakító jele T időtartam alatt érkezik meg az ADC-hez. A T idő alatt kapott jelminták (mintavételezés) a számítógépre kerülnek és a memóriában tárolódnak.
10. ábra Digitalizált jel - T idő alatt N minta érkezett
Milyen követelmények vonatkoznak a jeldigitalizálási paraméterekre? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális konverternek (ADC) (Wiki) nevezzük.
Az ADC egyik fő paramétere a maximális mintavételezési frekvencia (vagy mintavételezési frekvencia, angolul sample rate) - az időfolytonos jel mintavételezési gyakorisága a mintavételezéskor. Hertzben mérik. ((Wiki))
Kotelnyikov tétele szerint, ha egy folytonos jelnek az Fmax frekvencia által korlátozott spektruma van, akkor az időközönként vett diszkrét mintáiból teljesen és egyértelműen rekonstruálható. 
, azaz Fd ≥ 2*Fmax frekvenciával, ahol Fd a mintavételi frekvencia; Fmax - a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szóval, a jel digitalizálási frekvenciájának (ADC mintavételezési frekvenciának) legalább kétszerese kell legyen a mérni kívánt jel maximális frekvenciájának.
Mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által megköveteltnél alacsonyabb frekvenciával veszünk mintát?
Ebben az esetben jön létre az „aliasing” effektus (más néven stroboszkópos effektus, moaré effektus), amelyben a nagyfrekvenciás jel a digitalizálás után alacsony frekvenciájú jellé alakul, ami valójában nem létezik. ábrán. 11 piros nagyfrekvenciás szinuszhullám valós jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinusz egy fiktív jel, amely abból adódik, hogy a mintavételezési idő alatt a nagyfrekvenciás jel több mint felének van ideje áthaladni.
Rizs. 11. Hamis alacsony frekvenciájú jel megjelenése nem kellően magas mintavételezési gyakoriság mellett
Az aliasing hatás elkerülése érdekében az ADC elé egy speciális élsimító szűrőt helyeznek el - egy aluláteresztő szűrőt (LPF), amely az ADC mintavételi frekvenciájának fele alatti frekvenciákat engedi át, és levágja a magasabb frekvenciákat.
Egy jel spektrumának kiszámításához a diszkrét mintákból a diszkrét Fourier transzformációt (DFT) használjuk. Ismét megjegyezzük, hogy a spektrum diszkrét jel„definíció szerint” az Fd mintavételi frekvencia felénél kisebb Fmax frekvenciára korlátozódik. Ezért egy diszkrét jel spektruma véges számú harmonikus összegével ábrázolható, ellentétben a folytonos jel Fourier-sorának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. Kotelnyikov tétele szerint egy harmonikus maximális frekvenciájának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát jelentsen, ezért a harmonikusok száma egyenlő egy diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha N minta van a mintában, akkor a spektrum harmonikusainak száma N/2 lesz.
Nézzük most a diszkrét Fourier transzformációt (DFT).
Összehasonlítás a Fourier sorozattal
Látjuk, hogy egybeesnek, kivéve, hogy a DFT-ben az idő diszkrét természetű, és a harmonikusok száma N/2-vel - a minták számának felével - korlátozott.
A DFT képleteket k, s dimenzió nélküli egész változókba írjuk, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s érték a mennyiséget mutatja teljes habozás harmonikusok a T perióduson (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikus módszerrel történő megkeresésére használjuk, pl. "a számítógépen"
Visszatérve az elején elért eredményekhez. Ahogy fentebb említettük, ha egy nem periódusos függvényt (a jelünket) Fourier-sorrá terjesztünk ki, az így kapott Fourier-sor valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).
12. ábra F(x) periódusos függvény T0 periódussal, T>T0 mérési periódussal
Amint a 12. ábrán látható, az f(x) függvény T0 periódusú periodikus. Tekintettel azonban arra, hogy a T mérési minta időtartama nem esik egybe a T0 függvény periódusával, a Fourier-sorként kapott függvénynek megszakadása van a T pontban. Ennek eredményeként ennek a függvénynek a spektruma tartalmazni fog nagyszámú nagyfrekvenciás harmonikus. Ha a T mérési minta időtartama egybeesne a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrum csak az első harmonikust (a mintavételi időtartammal megegyező periódusú szinuszost) tartalmazná, mivel az f(x) függvény egy szinuszoid.
Más szóval, a DFT program „nem tudja”, hogy a jelünk „egy szinusz darabja”, hanem egy periodikus függvényt próbál ábrázolni sorozat formájában, amely az egyes darabok inkonzisztenciája miatt megszakad. a szinuszoid.
Ennek eredményeként harmonikusok jelennek meg a spektrumban, amelyeknek összegezniük kell a függvény alakját, beleértve ezt a megszakadást is.
Így annak érdekében, hogy megkapjuk egy jel „helyes” spektrumát, amely több szinusz összege különböző időszakok, szükséges, hogy a jel mérési periódusa minden szinuszos periódusból egész számot tartalmazzon. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamára teljesíthető.
13. ábra Példa a sebességváltó kinematikai hibajelének működésére és spektrumára
Rövidebb időtartammal a kép „rosszabbul” fog kinézni:
14. ábra Példa a rotor rezgésjelének funkciójára és spektrumára
A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hol vannak a „valódi komponensek”, és hol vannak a „műtermékek”, amelyeket a komponensek nem többszörös periódusai, valamint a jelmintavételezés időtartama vagy a jel alakjában bekövetkező „ugrások és megszakítások” okoznak. . Természetesen a „valódi összetevők” és a „termékek” szavakat nem ok nélkül teszik idézőjelbe. A sok harmonikus jelenléte a spektrumgráfon nem jelenti azt, hogy a jelünk valójában ezekből „áll”. Ez ugyanaz, mint azt gondolni, hogy a 7-es szám a 3-as és a 4-es számokból áll. A 7-es szám ábrázolható a 3-as és a 4-es számok összegeként – ez így van.
Tehát a jelünk... vagy inkább nem is „a mi jelünk”, hanem a jelünk ismétlődéséből összeállított periodikus függvény (mintavételezés) bizonyos amplitúdójú és fázisú harmonikusok (szinuszhullámok) összegeként ábrázolható. De sok esetben, ami a gyakorlat szempontjából fontos (lásd a fenti ábrákat), valóban lehetséges a spektrumban kapott harmonikusokat a valós folyamatok, amelyek ciklikus jellegűek, és jelentősen hozzájárulnak a jel alakjához.
Néhány eredmény
1. Egy T másodperc időtartamú, ADC-vel digitalizált, azaz diszkrét minták halmazával (N darab) ábrázolt valós mért jel diszkrét nem periodikus spektrummal rendelkezik, amelyet felharmonikusok halmaza képvisel (N/ 2 darab).2. A jelet valós értékek halmaza, spektrumát pedig valós értékek halmaza képviseli. A harmonikus frekvenciák pozitívak. Az a tény, hogy a matematikusok számára kényelmesebb a spektrumot komplex formában negatív frekvenciák használatával ábrázolni, nem jelenti azt, hogy „ez helyes” és „mindig ezt kell tenni”.
3. A T időintervallumban mért jelet csak egy T időintervallumban határozzuk meg. Hogy mi történt a jel mérésének megkezdése előtt, és mi lesz ezután, az ismeretlen a tudomány számára. És a mi esetünkben ez nem érdekes. Az időkorlátos jel DFT-je megadja „valódi” spektrumát, abban az értelemben, hogy mikor bizonyos feltételek lehetővé teszi összetevői amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.
Felhasznált anyagok és egyéb hasznos anyagok.
A Fourier-transzformáció egy olyan transzformáció, amely függvényeket társít egy bizonyos valós változóhoz. Ezt a műveletet minden alkalommal végrehajtjuk, amikor észleljük különféle hangok. A fül automatikus „számítást” végez, amelyet tudatunk csak a megfelelő szakasz tanulmányozása után tud végrehajtani. felsőbb matematika. Az ember hallószerve olyan átalakuláson megy keresztül, amelynek eredményeként hang keletkezik ( oszcilláló mozgás feltételes részecskék be rugalmas közeg szilárd, folyékony vagy gázhalmazállapotú közegben hullám formában terjed) a hangok hangerőszintjének szekvenciális értékeinek spektruma formájában van biztosítva különböző magasságúak. Ezt követően az agy megfordul ez az információ ismerős hangba.
Matematikai Fourier transzformáció
Átalakítás hang hullámok vagy más oszcillációs folyamatok (tól fénysugárzásés az óceán árapálya és egészen a csillagok ciklusaiig ill naptevékenység) matematikai módszerekkel is elvégezhető. Tehát ezekkel a technikákkal kibővítheti a függvényeket reprezentációval oszcillációs folyamatok szinuszos komponensek halmaza, azaz hullámos görbék, amelyek minimumról maximumra, majd vissza minimumra mennek, mint pl. tengeri hullám. A Fourier-transzformáció olyan transzformáció, amelynek függvénye leírja az egyes szinuszok fázisát vagy amplitúdóját egy bizonyos frekvenciának megfelelően. A fázis azt jelenti kiindulópont görbe, az amplitúdó pedig a magassága.
A Fourier-transzformáció (a példák a képen láthatók) egy nagyon hatékony eszköz, amelyet a tudomány különböző területein használnak. Egyes esetekben a megoldás eszközeként használják elég összetett egyenletek, amelyek leírják a dinamikus folyamatokat, amelyek fény, hő, ill elektromos energia. Más esetekben lehetővé teszi a rendszeres komponensek meghatározását összetett vibrációs jelekben, aminek köszönhetően helyesen értelmezheti a kémia, az orvostudomány és a csillagászat különböző kísérleti megfigyeléseit.
Történelmi hivatkozás
Az első, aki ezt a módszert alkalmazta, az volt francia matematikus Jean Baptiste Fourier. A később róla elnevezett átalakulást eredetileg a hővezető képesség leírására használták. Fourier egész felnőtt életét a hő tulajdonságainak tanulmányozásával töltötte. Közreműködött hatalmas hozzájárulás V matematikai elmélet algebrai egyenletek gyökeinek meghatározása. Fourier a Politechnikai Iskola elemző professzora, az Egyiptológiai Intézet titkára volt, és a birodalmi szolgálatban szolgált, amelyben a torinói út építése során kitüntette magát (vezetése alatt több mint 80 ezer négyzetkilométernyi terület). maláriás mocsarak lecsapolták). Mindezt azonban aktív munka nem akadályozta meg a tudóst a tanulásban matematikai elemzés. 1802-ben levezetett egy egyenletet, amely leírja a hő terjedését szilárd anyagok. 1807-ben a tudós felfedezett egy megoldási módszert adott egyenlet, amelyet „Fourier-transzformációnak” neveznek.
Hővezetőképesség elemzés
A tudós matematikai módszerrel írta le a hővezető képesség mechanizmusát. Kényelmes példa, amelyben nincs nehézség a számítással, a hőenergia terjedése vasgyűrű, egyik része tűzbe merülve. A kísérletek elvégzéséhez Fourier ennek a gyűrűnek egy részét vörösre melegítette, és finom homokba temette. Ezt követően hőmérsékletméréseket végzett a másik részén. Kezdetben a hőeloszlás szabálytalan: a gyűrű egy része hideg, a másik meleg, e zónák között éles hőmérsékleti gradiens figyelhető meg. Ahogy azonban a hő a fém teljes felületén szétterjed, egyenletesebbé válik. Igen hamarosan ez a folyamat szinuszos formát ölt. Először is, a gráf simán növekszik és ugyanolyan simán csökken, pontosan a koszinusz vagy szinusz függvény változásának törvényei szerint. A hullám fokozatosan kiegyenlítődik, és ennek eredményeként a hőmérséklet a gyűrű teljes felületén azonos lesz.
A módszer szerzője azt javasolta, hogy a kezdeti szabálytalan eloszlás teljesen felbontható számos elemi szinuszra. Mindegyiknek megvan a saját fázisa (kezdeti helyzete) és saját hőmérsékleti maximuma. Ebben az esetben minden ilyen komponens minimumról maximumra változik, majd visszafelé teljes fordulat a gyűrű körül egész számú alkalommal. Az egy periódusú összetevőt alapharmonikusnak, a két vagy több periódusú értéket pedig másodiknak és így tovább. Így, matematikai függvény, amely a hőmérséklet maximumát, fázisát vagy pozícióját írja le, az eloszlási függvény Fourier transzformációjának nevezzük. A tudós egyetlen összetevőt hozott össze, amelyet nehéz matematikai leírás, egy könnyen használható eszközre - a koszinusz és szinusz sorozatra, amelyek együttesen adják az eredeti eloszlást.
Az elemzés lényege
Jelentkezés ezt az elemzést A matematikus úgy érvelt, hogy a hő terjedését egy szilárd, gyűrű alakú tárgyon át kell alakítani, a szinuszos komponens periódusainak növelése annak gyors gyengüléséhez vezet. Ez jól látható az alap- és a második harmonikuson. Utóbbiban a hőmérséklet kétszer éri el maximumát és minimális értékeket egy menetben, és az elsőben - csak egyszer. Kiderül, hogy a hő által megtett távolság a második harmonikusban fele lesz az alapharmonikusénak. Ráadásul a másodikban a lejtő is kétszer olyan meredek lesz, mint az elsőé. Következésképpen, mivel az intenzívebb hőáram kétszer rövidebb utat tesz meg, ez a harmonikus az idő függvényében négyszer gyorsabban bomlik le, mint az alapharmonikus. A későbbiekben ez a folyamat még gyorsabb lesz. A matematikus úgy vélte, hogy ez a módszer lehetővé teszi a hőmérséklet kezdeti időbeli eloszlásának folyamatának kiszámítását.
Kihívás a kortársaknak
A Fourier-transzformációs algoritmus kihívást jelent elméleti alapok akkori matematikusok. A tizenkilencedik század elején a legjelentősebb tudósok, köztük Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre és Biot, nem fogadták el kijelentését, miszerint a kezdeti hőmérséklet-eloszlás komponensekre bomlik fel egy alapharmonikus és magasabb frekvenciák formájában. A Tudományos Akadémia azonban nem hagyhatta figyelmen kívül a matematikus eredményeit, és díjjal jutalmazta a hővezetési törvények elméletéért, valamint összehasonlításáért fizikai kísérletek. A Fourier-megközelítésben a fő kifogást az okozta, hogy a nem folytonos függvényt több folytonos szinuszos függvény összege reprezentálja. Végül is leírják az egyenes és íves vonalak törését. A tudós kortársai soha nem találkoztak hasonló helyzet, amikor a nem folytonos függvényeket folytonos függvények kombinációjával írták le, például másodfokú, lineáris, szinuszos vagy exponenciális. Ha a matematikusnak igaza volt az állításaiban, akkor egy trigonometrikus függvény végtelen sorozatának összegét pontos lépésfüggvényre kell redukálni. Akkoriban egy ilyen kijelentés abszurdnak tűnt. A kételyek ellenére azonban egyes kutatók (például Claude Navier, Sophie Germain) kibővítették kutatásaik körét, és túlmutattak a hőenergia-eloszlás elemzésén. Mindeközben a matematikusokat továbbra is gyötörte az a kérdés, hogy vajon több szinuszfüggvény összege leredukálható-e egy nem folytonos függvény pontos ábrázolására.
200 éves történelem
Ez az elmélet két évszázad alatt fejlődött ki, és ma végre kialakult. Segítségével a térbeli vagy időbeli függvényeket szinuszos komponensekre osztják, amelyeknek saját frekvenciájuk, fázisuk és amplitúdójuk van. Ezt a transzformációt két különböző matematikai módszerrel kapjuk meg. Ezek közül az elsőt abban az esetben használjuk, ha az eredeti függvény folytonos, a másodikat pedig abban az esetben, ha sok diszkrét egyedi változás reprezentálja. Ha a kifejezést diszkrét intervallumokkal meghatározott értékekből kapjuk, akkor több szinuszos kifejezésre osztható diszkrét gyakorisággal - a legalacsonyabbtól, majd kétszer, háromszor és így tovább a fő felett. Ezt az összeget általában Fourier-sornak nevezik. Ha kezdeti kifejezés ha minden valós számhoz adott egy érték, akkor az összes lehetséges frekvenciájú több szinuszosra bontható. Általában Fourier-integrálnak nevezik, és a megoldás a függvény integrál transzformációit foglalja magában. Az átalakítás módjától függetlenül minden frekvenciához két számot kell megadni: amplitúdót és frekvenciát. Ezeket az értékeket a következőképpen fejezzük ki egységes elméletösszetett változók kifejezései a Fourier-transzformációval együtt lehetővé tették a számítások elvégzését különféle konstrukciók során elektromos áramkörök, elemzés mechanikai rezgések, a hullámterjedés mechanizmusának tanulmányozása és egyebek.
Fourier transzformáció ma
Manapság ennek a folyamatnak a tanulmányozása főként a megtaláláson múlik hatékony módszerekátmenet egy függvényből az átalakított formájába és vissza. Ezt a megoldást nevezzük direkt és inverz konverzió Fourier. Mit jelent? A közvetlen Fourier-transzformáció végrehajtásához használhat matematikai módszereket vagy analitikus módszereket. Annak ellenére, hogy a gyakorlati használat során bizonyos nehézségek merülnek fel, a legtöbb integrált már megtalálták és beépítették a matematikai kézikönyvekbe. Használva numerikus módszerek Kiszámíthat olyan kifejezéseket, amelyek alakja kísérleti adatokon alapul, vagy olyan függvényeket, amelyek integráljai nem szerepelnek a táblázatokban, és nehezen mutathatók be analitikus formában.
A számítástechnika megjelenése előtt az ilyen átalakítások számítása nagyon fárasztó volt, és kézi végrehajtást igényelt. nagy mennyiség aritmetikai műveletek, amelyek a leíró pontok számától függtek hullámfüggvény. A számítások megkönnyítése érdekében ma vannak speciális programok, amely lehetővé tette újak bevezetését. Így 1965-ben James Cooley és John Tukey megalkotta a „gyors Fourier-transzformáció” néven ismert szoftvert. Lehetővé teszi a számítási idő megtakarítását azáltal, hogy csökkenti a szorzások számát egy görbe elemzésekor. A gyors Fourier-transzformációs módszer a görbe felosztásán alapul nagy szám egységes mintaértékek. Ennek megfelelően a szorzások száma felére csökken a pontok számának azonos csökkentésével.
A Fourier transzformáció alkalmazása
Ezt a folyamatot használják különböző területeken tudományok: fizika, jelfeldolgozás, kombinatorika, valószínűségszámítás, kriptográfia, statisztika, óceántan, optika, akusztika, geometria és mások. Alkalmazásának gazdag lehetőségei számos hasznos funkciókat, amelyeket „a Fourier-transzformáció tulajdonságainak” neveznek. Nézzük meg őket.
1. A függvénytranszformáció lineáris operátor, és megfelelő normalizálással unitér. Ez az ingatlan Parseval tételeként ismert, vagy in általános eset Plancherel tétele, vagy Pontrjagin dualizmusa.
2. Az átalakulás reverzibilis. Ráadásul ellenkező eredményt majdnem ugyanolyan formája van, mint a közvetlen megoldásnak.
3. A szinuszos báziskifejezések natívak differenciált funkciók. Ez azt jelenti, hogy egy ilyen ábrázolás állandó tényezővel közönséges algebraivá változik.
4. A konvolúciós tétel szerint ez a folyamat átalakul összetett működés elemi szorzásba.
5. A diszkrét Fourier-transzformáció gyorsan kiszámítható számítógépen a "gyors" módszerrel.
A Fourier-transzformáció fajtái
1. Leggyakrabban ezt a kifejezést olyan folyamatos transzformáció jelölésére szolgál, amely bármely négyzetbe integrálható kifejezést komplex komplexek összegeként jeleníti meg demonstratív kifejezések meghatározott szögfrekvenciákkal és amplitúdókkal. Ez a típus több van különféle formák, amelyek eltérőek lehetnek állandó együtthatók. A folytonos módszer tartalmaz egy átváltási táblázatot, amely matematikai kézikönyvekben található. Egy általánosított eset az tört átalakítás, mellyel ez a folyamat a szükséges valós teljesítményre emelhető.
2. A folytonos módszer a korábbi különféle Fourier-sorok technikájának általánosítása periodikus függvények vagy olyan kifejezések, amelyek korlátozott területen léteznek, és szinuszos sorozatként ábrázolják őket.
3. Diszkrét Fourier transzformáció. Ezt a módszert a számítástechnikában használják tudományos számításokhoz és digitális jelfeldolgozáshoz. Az ilyen típusú számítások elvégzéséhez olyan függvényekre van szükség, amelyek a folytonos Fourier-integrálok helyett egyedi pontokat, periodikus vagy korlátos területeket határoznak meg egy diszkrét halmazon. A jel transzformációt ebben az esetben szinuszok összegeként ábrázoljuk. A „gyors” módszer alkalmazása ugyanakkor lehetővé teszi diszkrét megoldások alkalmazását bármilyen gyakorlati problémára.
4. Az ablakos Fourier-transzformáció egy általánosított forma klasszikus módszer. Ellentétben a standard megoldással, amikor egy adott változó létezésének teljes tartományában alkalmazzuk, itt csak a lokális frekvenciaeloszlás az érdekes, feltéve, hogy az eredeti változó (idő) megmarad.
5. Kétdimenziós Fourier transzformáció. Ez a módszer kétdimenziós adattömbökkel dolgoztak. Ebben az esetben az átalakítás először az egyik, majd a másik irányban történik.
Következtetés
Napjainkban a Fourier-módszer szilárdan megalapozott a tudomány különböző területein. Például 1962-ben megnyitották az űrlapot DNS kettős hélix Fourier analízist alkalmazva ez utóbbival kombinálva a DNS-szálak kristályaira fókuszáltak, ennek eredményeként a sugárzási diffrakcióval kapott képet filmre rögzítették. Ez a kép információt adott az amplitúdó értékéről, amikor a Fourier-transzformációt egy adott kristályszerkezetre használjuk. A fázisadatokat a DNS diffrakciós térképének összehasonlításával kaptuk a hasonló elemzések során kapott térképekkel. kémiai szerkezetek. Ennek eredményeként a biológusok helyreállították kristályos szerkezet- az eredeti funkció.
A Fourier-transzformációk óriási szerepet játszanak a vizsgálatban világűr, félvezető anyagok és plazma fizikája, mikrohullámú akusztika, oceanográfia, radar, szeizmológia és orvosi vizsgálatok.
Hiszem, hogy minden van általános vázlat tudni egy olyan csodálatos matematikai eszköz létezéséről, mint a Fourier-transzformáció. Valamiért azonban olyan rosszul tanítják az egyetemeken, hogy viszonylag kevesen értik, hogyan működik ez az átalakítás, és hogyan kell helyesen használni. Eközben ennek az átalakulásnak a matematikája meglepően szép, egyszerű és elegáns. Meghívok mindenkit, hogy tanuljon egy kicsit többet a Fourier-transzformációról és a kapcsolódó témáról, hogy hogyan lehet az analóg jeleket hatékonyan átalakítani digitális jelekké a számítási feldolgozáshoz.
Használat nélkül összetett képletekés a Matlab a következő kérdésekre próbálok választ adni:
- FT, DTF, DTFT – mi a különbség, és hogyan adnak a látszólag teljesen eltérő képletek ilyen fogalmilag hasonló eredményt?
- Hogyan kell helyesen értelmezni az eredményeket gyors konverzió Fourier (FFT)
- Mi a teendő, ha 179 mintából álló jelet kap, és az FFT hosszúságú bemeneti sorozatot igényel egyaránt deuces
- Egy szinusz spektrumának Fourier segítségével történő megszerzésekor a várt egyetlen „pálcika” helyett miért jelenik meg furcsa kancsalság a grafikonon, és mit lehet tenni ellene
- Miért helyezik az analóg szűrőket az ADC elé és a DAC után?
- Lehetséges-e a mintavételi frekvencia felénél nagyobb frekvenciájú ADC jelet digitalizálni (az iskolai válasz hibás, a helyes válasz lehetséges)
- Hogyan állítsuk vissza az eredeti jelet digitális sorozat segítségével
Abból a feltételezésből indulok ki, hogy az olvasó megérti, mi az integrál, egy komplex szám (valamint annak modulusa és argumentuma), a függvények konvolúciója, valamint legalább egy „gyakorlati” elképzelése arról, hogy mi a Dirac-delta függvény. van. Ha nem tudja, semmi gond, olvassa el a fenti linkeket. Ebben a szövegben a „függvények szorzata” alatt a „pontos szorzást” fogom érteni.
Valószínűleg azzal kellene kezdenünk, hogy a szokásos Fourier-transzformáció valami olyasmi, ami a névből sejthető, hogy az egyik függvényt a másikká alakítja át, vagyis egy x(t) valós változó minden függvényét társítja a függvényéhez. spektrum vagy Fourier-kép y (w):
Ha analógiákat adunk, akkor a jelentésben hasonló transzformációra példa lehet például a differenciálás, egy függvény származékává alakítása. Vagyis a Fourier-transzformáció lényegében ugyanaz a művelet, mint a derivált felvétele, és gyakran hasonló módon jelölik, háromszög alakú „sapkát” húzva a függvényre. Csak ellentétben a valós számokra is definiálható differenciálással, a Fourier-transzformáció mindig „működik” általánosabb komplex számokkal. Emiatt mindig vannak problémák az átalakítás eredményeinek megjelenítésével, mivel komplex számok nem egy, hanem két koordináta határozza meg egy valós számokkal operáló grafikonon. A legkényelmesebb módszer általában az, ha a komplex számokat modulus és argumentum formájában ábrázoljuk, és külön-külön két külön grafikonként rajzoljuk meg:
Érv gráf komplex érték Ebben az esetben gyakran „fázisspektrumnak”, a modulusgráfot pedig „amplitúdóspektrumnak” nevezik. Az amplitúdóspektrum általában sokkal nagyobb érdeklődésre tart számot, ezért a spektrum „fázis” részét gyakran kihagyják. Ebben a cikkben az „amplitúdós” dolgokra is fókuszálunk, de nem szabad megfeledkezni a grafikon hiányzó fázisrészének létezéséről sem. Ráadásul a szokásos összetett értékmodul helyett gyakran rajzolják decimális logaritmus szorozva 10-zel. Az eredmény egy logaritmikus grafikon, amelyen az értékek decibelben (dB) vannak megjelenítve.
Felhívjuk figyelmét, hogy nem nagyon negatív számok logaritmikus gráf (-20 dB vagy kevesebb) gyakorlatilag megfelel nulla szám a „normál” diagramon. Ezért az ilyen grafikonokon a különböző spektrumok hosszú és széles „farka”, ha „közönséges” koordinátákban jelennek meg, általában gyakorlatilag eltűnnek. Az ilyen első pillantásra furcsa ábrázolás kényelme abból adódik, hogy a különféle funkciók Fourier-képeit gyakran meg kell sokszorosítani egymás között. A komplex értékű Fourier-képek ilyen pontszerű szorzásával fázisspektrumaik összeadódnak, amplitúdóspektrumaik pedig megszorozódnak. Az elsőt könnyű elkészíteni, míg a másodikat viszonylag nehéz. Az amplitúdó logaritmusai azonban összeadódnak az amplitúdók szorzásakor, így a logaritmikus amplitúdógráfok a fázisgráfokhoz hasonlóan egyszerűen pontonként összeadhatók. Ráadásul be gyakorlati problémák Gyakran kényelmesebb nem a jel „amplitúdójával”, hanem a „teljesítményével” (az amplitúdó négyzetével) működni. A logaritmikus skálán mindkét grafikon (amplitúdó és teljesítmény) azonosnak tűnik, és csak az együtthatóban különbözik - a teljesítménygrafikonon szereplő összes érték pontosan kétszer akkora, mint az amplitúdóskálán. Ennek megfelelően a teljesítményeloszlás frekvencia szerinti ábrázolásához (decibelben) nem lehet semmit négyzetre emelni, hanem kiszámítja a decimális logaritmust, és megszorozza 20-zal.
Unatkozol? Várj még egy kicsit, hamarosan elkészülünk a cikk unalmas, a grafikonok értelmezését ismertető részével :). De előtte van egy rendkívül fontos dolog, amit meg kell érteni: bár a fenti spektrumgrafikonok mindegyike bizonyos korlátozott értéktartományokra (különösen pozitív számokra) készült, ezek a grafikonok valójában továbbra is plusz és mínusz végtelen. A grafikonok egyszerűen a grafikon néhány „legjelentősebb” részét ábrázolják, amely általában a paraméter negatív értékeinél tükröződik, és gyakran ismétlődik egy bizonyos lépéssel, ha nagyobb léptékben nézzük.
Miután eldöntöttük, mit rajzolunk a gráfokra, térjünk vissza magához a Fourier-transzformációhoz és annak tulajdonságaihoz. Több is van különböző utak hogyan határozható meg ez a transzformáció, amely apró részletekben különbözik (különböző normalizálások). Például egyetemeinken valamiért gyakran alkalmazzák a Fourier-transzformáció normalizálását, amely a spektrumot szögfrekvenciával (radián per másodperc) határozza meg. Egy kényelmesebb nyugati megfogalmazást fogok használni, amely a spektrumot a közönséges frekvenciával (hertz) határozza meg. A direkt és inverz Fourier-transzformációt ebben az esetben a bal oldali képletek határozzák meg, és ennek a transzformációnak néhány tulajdonságát, amelyekre szükségünk lesz, a jobb oldali hét pontból álló lista határozza meg:
Ezen tulajdonságok közül az első a linearitás. Ha a függvények valamilyen lineáris kombinációját vesszük, akkor ennek a kombinációnak a Fourier-transzformációja megegyezik a függvények Fourier-képeinek lineáris kombinációjával. Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy csökkentse összetett funkciókés Fourier-juk egyszerűbbekké alakul át. Például egy f frekvenciájú és a amplitúdójú szinuszos függvény Fourier-transzformációja két, az f és -f pontban elhelyezkedő deltafüggvény kombinációja a/2 együtthatóval:
Ha egy szinuszhalmaz összegéből álló függvényt veszünk azzal különböző frekvenciák, akkor a linearitás tulajdonsága szerint ennek a függvénynek a Fourier-transzformációja a megfelelő delta-függvényhalmazból fog állni. Ez lehetővé teszi a spektrum naiv, de vizuális értelmezését a „ha egy függvény spektrumában az f frekvencia az a amplitúdónak felel meg, akkor az eredeti függvény szinuszok összegeként ábrázolható, amelyek közül az egyik f frekvenciájú és 2a amplitúdójú szinuszos. Szigorúan véve ez az értelmezés hibás, hiszen a delta függvény és a pont a gráfon teljesen más dolog, de mint később látni fogjuk, a diszkrét Fourier-transzformációknál ez nem lesz olyan messze az igazságtól.
A Fourier-transzformáció második tulajdonsága az amplitúdóspektrum függetlensége a jel időeltolódásától. Ha egy függvényt az x tengely mentén balra vagy jobbra mozgatunk, akkor csak a fázisspektruma fog megváltozni.
A harmadik tulajdonság az, hogy az eredeti függvény időtengely (x) mentén történő nyújtása (tömörítése) arányosan tömöríti (nyújtja) a Fourier-képét a frekvenciaskálán (w). Konkrétan egy véges időtartamú jel spektruma mindig végtelenül széles, és fordítva, a véges szélességű spektrum mindig egy korlátlan időtartamú jelnek felel meg.
A negyedik és ötödik tulajdonság talán a leghasznosabb az összes közül. Lehetővé teszik a függvények konvolúcióját a Fourier-képeik pontszerű szorzására, és fordítva - a függvények pontszerű szorzását Fourier-képeik konvolúciójára. Kicsit tovább mutatom, milyen kényelmes ez.
A hatodik tulajdonság a Fourier-képek szimmetriájáról beszél. Ebből a tulajdonságból különösen az következik, hogy egy valós értékű függvény Fourier-transzformációjában (azaz bármely „valós” jelnél) az amplitúdóspektrum mindig páros függvény, a fázisspektrum pedig (ha a -pi tartományba kerül). ...pi) egy furcsa . Ez az oka annak, hogy a spektrum negatív része szinte soha nem rajzolódik meg spektrumgrafikonon - valós értékű jeleknél nem ad semmit. új információ(de ismétlem, ez sem nulla).
Végül az utolsó, hetedik tulajdonság azt mondja, hogy a Fourier-transzformáció megőrzi a jel „energiáját”. Csak véges időtartamú jelek esetén van értelme, amelyek energiája véges, és arra utal, hogy az ilyen jelek spektruma a végtelenben gyorsan megközelíti a nullát. Pontosan e tulajdonság miatt a spektrumgrafikonok általában csak a jel „fő” részét ábrázolják, amely az energia oroszlánrészét hordozza - a grafikon többi része egyszerűen nullára hajlik (de ismét nem nulla).
Ezzel a 7 tulajdonsággal felvértezve nézzük meg a jel „digitalizálásának” matematikáját, amely lehetővé teszi a folyamatos jel számsorozattá alakítását. Ehhez a „Dirac fésű” néven ismert függvényt kell vennünk:
A Dirac-fésű egyszerűen delta függvények periodikus sorozata egységegyütthatóval, nullától kezdve és a T lépéssel haladva. A jelek digitalizálásához a T a lehető legkisebb számot választja, T.<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:
Folyamatos függvény helyett ilyen szorzás után egy bizonyos magasságú delta-impulzussorozatot kapunk. Ezenkívül a Fourier-transzformáció 5. tulajdonsága szerint a kapott diszkrét jel spektruma az eredeti spektrum konvolúciója a megfelelő Dirac-fésűvel. Könnyen érthető, hogy a konvolúció tulajdonságai alapján az eredeti jel spektrumát a frekvenciatengely mentén 1/T lépéssel végtelen számú alkalommal „lemásolják”, majd összegzik.
Megjegyzendő, hogy ha az eredeti spektrum véges szélességű és kellően magas mintavételi frekvenciát használtunk, akkor az eredeti spektrum másolatai nem fedik át egymást, így nem is összegeznek egymással. Könnyű megérteni, hogy egy ilyen „összeomlott” spektrumból könnyű lesz visszaállítani az eredetit - elég lesz egyszerűen a spektrumkomponenst a nulla tartományba venni, „levágva” a végtelenbe tartó extra másolatokat. Ennek legegyszerűbb módja, ha a spektrumot megszorozzuk egy téglalapfüggvénnyel, amely egyenlő T-vel a -1/2T...1/2T tartományban és nullával ezen a tartományon kívül. Egy ilyen Fourier-transzformáció megfelel a sinc(Tx) függvénynek, és a 4. tulajdonság szerint egy ilyen szorzás egyenértékű a delta függvények eredeti sorozatának a sinc(Tx) függvényével.
Vagyis a Fourier-transzformáció segítségével lehetőségünk nyílik az eredeti jel egyszerű rekonstrukciójára egy időmintavételezettből, feltéve, hogy legalább kétszeres mintavételezési frekvenciát használunk (a spektrum negatív frekvenciáinak jelenléte miatt) magasabb, mint az eredeti jelben jelenlévő maximális frekvencia. Ez az eredmény széles körben ismert, és „Kotelnikov/Shannon-Nyquist tételnek” nevezik. Ez az eredmény azonban, amint azt ma már könnyű észrevenni (a bizonyítást megértve), a széles körben elterjedt tévhittel ellentétben meghatározza elegendő, de nem szükséges az eredeti jel visszaállításának feltétele. Csak arra van szükségünk, hogy a jel mintavételezése után minket érdeklő spektrumrész ne fedje át egymást, és ha a jel kellően keskeny sávú (a spektrum nullától eltérő részének kis „szélessége” van), akkor ez az eredmény gyakran a jel maximális frekvenciájának kétszeresénél jóval alacsonyabb mintavételezési frekvencián érhető el. Ezt a technikát „alulmintavételezésnek” (subsampling, bandpass mintavételezés) nevezik, és meglehetősen széles körben alkalmazzák mindenféle rádiójel feldolgozására. Például, ha egy 88-108 MHz-es frekvenciasávban működő FM-rádiót veszünk, akkor annak digitalizálásához a Kotelnyikov-tételben feltételezett 216 MHz-es helyett csak 43,5 MHz-es ADC-t használhatunk. Ebben az esetben azonban jó minőségű ADC-re és jó szűrőre lesz szükség.
Hadd jegyezzem meg, hogy a magas frekvenciák „megkettőzése” alacsonyabb rendű frekvenciákkal (aliasing) a jelmintavétel azonnali tulajdonsága, amely visszafordíthatatlanul „elrontja” az eredményt. Ezért, ha a jel elvileg tartalmazhat magasrendű frekvenciákat (vagyis szinte mindig), akkor az ADC elé egy analóg szűrőt helyeznek el, amely közvetlenül az eredeti jelben „levág” mindent, ami felesleges (hiszen a mintavételezés után). túl késő lesz ehhez). Ezeknek a szűrőknek, mint analóg eszközöknek a jellemzői nem ideálisak, így a jelben némi „sérülés” továbbra is előfordul, és a gyakorlatban ebből az következik, hogy a spektrum legmagasabb frekvenciái rendszerint megbízhatatlanok. A probléma csökkentése érdekében a jelet gyakran túlmintavételezik, a bemeneti analóg szűrőt alacsonyabb sávszélességre állítva, és az ADC elméletileg elérhető frekvenciatartományának csak az alsó részét használják.
Egy másik gyakori tévhit egyébként az, amikor a jelet a DAC kimenetén „lépésenként” húzzák. A „lépések” egy mintavételezett jelsorozat konvolúcióját jelentik T szélesség és 1 magasságú négyszögfüggvénnyel:
A jelspektrumot ezzel a transzformációval megszorozzuk ennek a téglalapfüggvénynek a Fourier-képével, és egy hasonló téglalapfüggvénynél ismét sinc(w), minél jobban „nyújtjuk”, minél kisebb a megfelelő téglalap szélessége. A mintavételezett jel ilyen „DAC” spektrumát pontról pontra megszorozzuk ezzel a spektrummal. Ebben az esetben a szükségtelenül magas frekvenciákat a spektrum „extra másolataival” nem vágják le teljesen, hanem éppen ellenkezőleg, a spektrum „hasznos” részének felső része csillapodik.
A gyakorlatban ezt persze senki nem csinálja. Sokféle megközelítés létezik a DAC felépítésére, de még a legközelebbi súlyozású DAC-okban is a DAC-ban a téglalap alakú impulzusok a lehető legrövidebbek legyenek (közelítve a delta függvények valós sorozatát). hogy elkerüljük a spektrum hasznos részének túlzott elnyomását. Az így létrejövő szélessávú jel „extra” frekvenciáit szinte mindig kiiktatjuk, ha a jelet analóg aluláteresztő szűrőn vezetjük át, így nincs „digitális lépés” sem az átalakítón „belül”, sem különösen a kimenetén.
De térjünk vissza a Fourier-transzformációhoz. A fent leírt Fourier-transzformációt, amelyet egy előre mintavételezett jelsorozatra alkalmaznak, diszkrét idejű Fourier-transzformációnak (DTFT) nevezik. Az ilyen transzformációval kapott spektrum mindig 1/T-periodikus, ezért a DTFT spektrumát teljesen meghatározzák annak értékei azon az intervallumon, amely kielégíti a Fourier-sorba való kiterjesztés feltételeit, ezen az intervallumon trigonometrikusan ábrázolható. sorozat Az (1) sorozat a* és 6" együtthatóit az Euler-képletek határozzák meg - Fourier: FOURIER TRANSFORM Fourier integrál Összetett forma integrál Fourier transzformáció Koszinusz- és szinusztranszformációk Amplitúdó- és fázisspektrumok Tulajdonságok Alkalmazások Az (1) egyenlőség jobb oldalán lévő sorozat más formában is felírható. Ebből a célból a (2) képletekből beírjuk az a" és az op együtthatók értékeit, az integrálok előjelei alá tesszük a cos ^ x és sin x (ami lehetséges, mivel az integrációs változó m) O) és használja a különbség koszinuszának képletét. Ha a /(g) függvényt kezdetben az intervallumon határoztuk meg számtengely, nagyobb, mint a szegmens [-1,1] (például a teljes tengelyen), akkor a (3) bővítés csak a [-1,1] szakaszon reprodukálja ennek a függvénynek az értékeit, és az egészben folytatódik numerikus tengely, mint periodikus függvény 21-es periódussal (1. ábra). Ezért, ha az f(x) (általában nem periodikus) függvény a teljes számegyenesen definiálva van, a (3) képletben megpróbálhatunk az I +oo-nál lévő határértékre menni. Ebben az esetben természetes, hogy megköveteljük, hogy a következő feltételek teljesüljenek: 1. f(x) az Ox tengely bármely véges szakaszán teljesíti a Fourier-sorozattá való bővítés feltételeit\ 2. az f(x) függvény abszolút integrálható a teljes valós számegyenesen Ha a 2. feltétel teljesül, akkor a (3) egyenlőség jobb oldalán lévő első tag, mint I -* +oo, nullára hajlik. Valójában próbáljuk meg megállapítani, hogy a (3) jobb oldalán lévő összeg mennyivé válik az I +oo határértékben. Tegyük fel, hogy ekkor a (3) jobb oldalán lévő összeg a következőt ölti: Az integrál abszolút konvergenciája miatt ez az összeg nagy I-re alig különbözik attól a kifejezéstől, amely hasonlít az összeállított £ változó függvényének integrálösszegére. a változás (0, +oo) intervallumára tehát természetes, hogy az (5) összegre az integrálba kerül, viszont a (3) képletből az következik az egyenlőséget a (7) képlet érvényességének elégséges feltétele a következő tétellel fejeződik ki. 1. Tétel. Ha az f(x) függvény abszolút integrálható a teljes valós számegyenesen, és deriváltjával együtt véges számú első típusú szakadási pontja van bármely [a, 6] intervallumon, akkor az egyenlőség teljesül. : Ezen túlmenően, bármely xq pontban, amely az 1-edik típusú f(x) szakadási pont függvénye, a (7) jobb oldalán lévő integrál értéke egyenlő a (7) képlettel, ezt Fourier-integrál képletnek nevezzük, a jobb oldalán lévő integrált pedig Fourier-integrálnak nevezzük. Ha a különbség koszinuszának képletét használjuk, akkor a (7) képletet felírhatjuk az alábbi formában. Az a(ξ), b(ζ) függvények egy 2m-es periódusos függvény megfelelő an és bn Fourier-együtthatóinak analógjai. , de ez utóbbiak n diszkrét értékeire vannak definiálva, míg a(0> DE definiálva van folytonos értékek£ G (-oo, +oo). A Fourier-integrál összetett alakja Feltételezve, hogy /(x) abszolút integrálható a teljes Ox tengelyen, tekintsük az integrált. Ez az integrál egyenletesen konvergál, mivel, és ezért a De akkor folytonos és nyilvánvalóan páratlan függvényét jelenti. Az integrál a változó páros függvénye, ezért a Fourier-integrál képlet a következőképpen írható fel: Szorozzuk meg az egyenlőséget az i képzeletbeli egységgel, és adjuk hozzá a (10) egyenlőséghez. Azt kapjuk, ahonnan az Euler-formula értelmében ez lesz a Fourier-integrál összetett formája. Itt a £ feletti külső integráció a Cauchy-főérték értelmében értendő: §2. Fourier transzformáció. Koszinusz és szinusz Fourier transzformációk Legyen az f(x) függvény darabonként sima az Ox tengely bármely véges szakaszán és abszolút integrálható a teljes tengelyen. Meghatározás. Azt a függvényt, amelyből az Euler-képlet alapján megkapjuk, az /(r) függvény Fourier-transzformációjának nevezzük (spektrális függvény). Ez az f(r) függvény integráltranszformációja a (-oo,+oo) intervallumon a kernellel. A Fourier-integrál képlet segítségével megkapjuk. Ez az úgynevezett inverz Fourier-transzformáció, amely az F-ből való átmenetet adja. (t) - f(x). Néha a direkt Fourier-transzformációt a következőképpen definiáljuk: Ekkor az inverz Fourier-transzformációt a következő képlettel definiáljuk. Az /(x) függvény Fourier-transzformációját szintén a következőképpen definiáljuk: FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ Fourier-integrál Az integrál Fourier-transzformáció összetett alakja Koszinusz és szinusz átalakítja Amplitúdó és fázis spektrumot Tulajdonságok Alkalmazások Ekkor viszont, Ebben az esetben a ^ tényező helyzete meglehetősen tetszőleges: szerepelhet akár az (1"), akár a (2") képletben. Példa 1. Keresse meg a -4 függvény Fourier-transzformációját Megvan Ez az egyenlőség lehetővé teszi a differenciálást £-hoz képest az integrál előjele alatt (a differenciálás után kapott integrál egyenletesen konvergál, ha ( bármely véges szegmenshez tartozik): Részekkel integrálva kapunk Az integrálon kívüli tag eltűnik, és azt kapjuk, hogy ahol (C az integráció állandója) a (4)-ben C = F(0) van Ismeretes, hogy különösen a) kapjuk meg a 2. példát (a kódkészlet kiürítése a kopropilénen keresztül). Tekintsük a 4 függvényt. Az F(ξ) függvény spektrumaihoz így kapjuk (2. ábra). Az f(x) függvény teljes számegyenesen való abszolút integrálhatóságának feltétele nagyon szigorú. Kizárja például az ilyeneket elemi függvények, as) = cos x, f(x) = e1, amelyre a Fourier-transzformáció (az itt vizsgált klasszikus formában) nem létezik. Csak azok a függvények, amelyek gyorsan nulláznak, mint |x|, rendelkeznek Fourier-transzformációval. -+ +oo (mint az 1. és 2. példában). 2.1. Koszinusz és szinusz Fourier transzformációk A koszinusz és differencia képlet segítségével átírjuk a Fourier-integrál formulát a következő alakra: Legyen f(x) páros függvény. Ekkor van (5) egyenlőségünk. Páratlan f(x) esetén hasonlóképpen megkapjuk, ha f(x) csak (0, -foo) van megadva, akkor a (6) képlet kiterjeszti az f(x)-et az egészre. Az ökör tengelye páros, a (7) képlet pedig páratlan. (7) Meghatározás. A függvényt f(x) Fourier-koszinusz transzformációjának nevezzük. A (6)-ból az következik, hogy egy páros f(x) függvényre Ez azt jelenti, hogy f(x) viszont koszinusz transzformáció Fc(£) függvényre. Más szóval, a / és az Fc függvény kölcsönös koszinusz transzformáció. Meghatározás. A függvényt f(x) szinusz Fourier transzformációjának nevezzük. A (7)-ből azt kapjuk, hogy páratlan függvény f(x) azaz. f és Fs kölcsönös szinusztranszformációk. 3. példa (téglalap alakú impulzus). Legyen f(t) a következőképpen definiált páros függvény: (3. ábra). Használjuk a kapott eredményt az integrál kiszámításához A (9) képlet alapján megkapjuk a 3. ábra 0 0 A t = 0 pontban az f(t) függvény folytonos és egyenlő egységgel. Ezért (12")-ből 2.2-t kapunk. A Fourier-integrál amplitúdója és fázisspektruma. A 2m periódusú /(x) periodikus függvényt bővítsük Fourier-sorrá. Ez az egyenlőség olyan formában írható fel, ahol a Az n frekvenciájú rezgés amplitúdója a fázis Ezen az úton jutunk el egy periodikus függvény amplitúdójának és fázisspektrumának fogalmához ), bizonyos feltételek mellett lehetségesnek bizonyul egy Fourier-integrál, amely kiterjeszti ezt a függvényt az összes frekvenciára (kiterjesztés egy folytonos frekvenciaspektrumon). Spektrális függvény , vagy a Fourier integrál kifejezésének (az f függvény közvetlen Fourier-transzformációját amplitúdóspektrumnak, az Ф«) = -аggSfc függvényt pedig az f(«) függvény fázisspektrumának nevezzük. Az A(ξ) amplitúdóspektrum a ζ frekvencia f(x) függvényhez való hozzájárulásának mértéke. Példa 4. Keresse meg a 4. függvény amplitúdó- és fázisspektrumát. Keresse meg a spektrális függvényt Innen Ezen függvények grafikonjait az ábra mutatja. 4. §3. A Fourier-transzformáció tulajdonságai 1. Linearitás. Ha és G(0 az f(x) és d(x) függvény Fourier transzformációja, akkor bármely a és p állandó esetén az a f(x) + p d(x) függvény Fourier transzformációja lesz a függvény. a Az integrál linearitási tulajdonságát felhasználva, így a Fourier-transzformáció egy lineáris operátor a teljes numerikus tengelyre, akkor az f(x) függvény abszolút integrálható a teljes tengelyen - az f(x) függvény Fourier transzformációja a Fourier transzformáció definíciója, mutassuk meg, hogy az f(z) függvénynek legyen az F(0> h - Fourier transzformációja). valós szám. Mutassuk meg, hogy 3. Fourier transzformációs és differenciálási műveletek. Legyen egy abszolút integrálható f(x) függvénynek egy f"(x) deriváltja, amely szintén abszolút integrálható a teljes Ox tengelyen, így f(x) nullára hajlik, mint |x| -» +oo. Figyelembe véve f" (x) egy sima függvény , részenkénti integrálást írunk, akkor az out-integral tag eltűnik (hiszen, és kapjuk Így az f(x) függvény differenciálása megfelel a Fourier-képének ^Π/ ] tényezővel Ha az f(x) függvénynek m-es nagyságrendig simán meghatározható deriváltjai vannak, és ezek mindegyike, akárcsak maga az f(x) függvény, nullára hajlik, akkor a szükséges számú részenként integrálva A Fourier-transzformáció éppen azért nagyon hasznos, mert a differenciálás műveletét felváltja az értékkel való szorzás műveletével, és ezáltal leegyszerűsíti bizonyos típusú differenciálegyenletek integrálásának problémáját, mivel egy abszolút integrálható függvény Fourier-transzformációja f^k \x) az. korlátozott funkció-ból (2. tulajdonság), majd a (2) relációból a következő becslést kapjuk: FOURIER-TRANSFORM Fourier-integrál Az integrál Fourier-transzformáció összetett formája Koszinusz- és szinusztranszformációk Amplitúdó- és fázisspektrumok Tulajdonságok Alkalmazások Ebből a becslésből az következik: több funkciót f(x) abszolút integrálható deriváltjai, annál gyorsabban nullázódik a Fourier-transzformációja. Megjegyzés. A feltétel teljesen természetes, hiszen a Fourier-integrálok szokásos elmélete olyan folyamatokkal foglalkozik, amelyeknek ilyen vagy olyan értelemben van kezdete és vége, de nem folytatódnak a végtelenségig megközelítőleg azonos intenzitással. 4. Összefüggés az f(x) függvény csökkenési sebessége között, mint |z| -» -f oo és négyes átalakulásának simasága. Tegyük fel, hogy nemcsak f(x), hanem xf(x) szorzata is abszolút integrálható függvény a teljes Ox tengelyen. Ekkor a Fourier-transzformáció) differenciálható függvény lesz. Valójában az integrandus £ paraméterére vonatkozó formális differenciálás olyan integrálhoz vezet, amely abszolút és egyenletesen konvergens a paraméterhez képest, ezért lehetséges a differenciálás, vagyis az f(x) szorzata a paraméterrel. Az x argumentum a Fourier-transzformáció után megy át a t műveletbe. Ha az f(x) függvénnyel együtt a függvények abszolút integrálhatók a teljes Ox tengelyen, akkor a differenciálási folyamat folytatható. Azt kapjuk, hogy a függvénynek m-ig terjedő deriváltjai vannak, és így minél gyorsabban csökken az f(x) függvény, annál simábbá válik a 2. Tétel (a fúrásról). Legyen az f,(x) és f2(x) függvény Fourier transzformációja. Aztán hol kettős integrál abszolút a jobb oldalon konvergál. Tegyük fel - x. Ekkor lesz, vagy az integráció sorrendjét megváltoztatva, A függvényt függvények konvolúciójának nevezzük, és szimbólummal jelöljük. Az (1) képlet most a következőképpen írható fel: Ez azt mutatja, hogy az f függvények konvolúciójának Fourier-transzformációja \(x) és f2(x) egyenlő y/2x szorzattal a konvolválható függvények Fourier transzformációival. Könnyen telepíthető következő tulajdonságokat konvolúció: 1) linearitás: 2) kommutativitás: 4. §. A Fourier transzformáció alkalmazásai 1. Legyen P(^) lineáris differenciál operátor m rend állandó együtthatókkal, Az y(x) függvény deriváltjainak Fourier-transzformációjának képletével azt kapjuk, hogy " Tekintsük a differenciálegyenletet, ahol P a fent bemutatott differenciáloperátor. Tegyük fel, hogy a kívánt megoldás y(x) van az y Fourier transzformációja (O. és az f (x) függvénynek a /(£) transzformációja A Fourier transzformációt az (1) egyenletre alkalmazva a differenciál helyett kapjuk algebrai egyenlet a tengelyen, ahol tehát formálisan ahol a szimbólum az inverz Fourier transzformációt jelöli. A módszer alkalmazhatóságának fő korlátja az a következő tény. Hétköznapi megoldás differenciálegyenletállandó együtthatókkal eL*, eaz cos fix alakú függvényeket tartalmaz, eax bűn px. Nem teljesen integrálhatók az -oo tengelyen< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete