117. § A kör kerülete és területe.

1. Kerület. A kör egy zárt lapos görbe vonal, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van egy ponttól (O), amelyet a kör középpontjának nevezünk (27. ábra).

A kört iránytű segítségével rajzolják meg. Ehhez az iránytű éles lábát középre kell helyezni, a másikat pedig (ceruzával) az első körül forgatni, amíg a ceruza vége egy teljes kört nem rajzol. A középpont és a kör bármely pontja közötti távolságot nevezzük sugár. A definícióból az következik, hogy egy kör minden sugara egyenlő egymással.

A kör tetszőleges két pontját összekötő és a kör középpontján átmenő egyenes szakaszt (AB) nevezünk átmérő. Egy kör minden átmérője egyenlő egymással; az átmérő két sugárral egyenlő.

Hogyan lehet megtalálni a kör kerületét? Szinte néhány esetben a kerületet közvetlen méréssel lehet megállapítani. Ez megtehető például viszonylag kisméretű tárgyak (vödör, üveg stb.) kerületének mérésekor. Ehhez használhat mérőszalagot, zsinórt vagy zsinórt.

A matematikában a kerület közvetett meghatározásának technikáját alkalmazzák. Ez egy kész képlet segítségével történő számításból áll, amelyet most levezetünk.

Ha több nagy és kis kerek tárgyat (érme, üveg, vödör, hordó stb.) veszünk, és megmérjük mindegyik kerületét és átmérőjét, akkor minden tárgyra két számot kapunk (az egyik a kerületet, a másik pedig a az átmérő hossza). Természetesen kis tárgyak esetében ezek a számok kicsik, a nagyok esetében pedig nagyok.

Ha azonban mindegyik esetben a kapott két szám (kör és átmérő) arányát vesszük, akkor gondos méréssel közel azonos számot fogunk találni. Jelöljük betűvel a kör kerületét VEL, átmérőjű betű hossza D, akkor arányuk így fog kinézni C: D. A tényleges méréseket mindig elkerülhetetlen pontatlanságok kísérik. De miután befejeztük a jelzett kísérletet és elvégeztük a szükséges számításokat, megkapjuk az arányt C: D hozzávetőlegesen a következő számok: 3,13; 3,14; 3.15. Ezek a számok nagyon kevéssé különböznek egymástól.

A matematikában elméleti megfontolások révén megállapították, hogy a kívánt arány C: D soha nem változik, és egyenlő egy végtelen nem periódusos törttel, amelynek tízezrelék pontosságú közelítő értéke egyenlő 3,1416 . Ez azt jelenti, hogy minden kör ugyanannyiszor hosszabb az átmérőjénél. Ezt a számot általában görög betűvel jelölik π (pi). Ezután a kerület és az átmérő aránya a következőképpen lesz felírva: C: D = π . Ezt a számot csak századokra korlátozzuk, azaz vegyük π = 3,14.

Írjunk egy képletet a kerület meghatározására.

Mert C: D= π , Azt

C = πD

azaz a kerület egyenlő a szám szorzatával π átmérőnként.

1. feladat. Keresse meg a kerületet ( VEL) kerek helyiség, ha az átmérője az D= 5,5 m.

A fentiek figyelembevételével a probléma megoldásához az átmérőt 3,14-szeresére kell növelnünk:

5,5 3,14 = 17,27 (m).

2. feladat. Határozzuk meg annak a keréknek a sugarát, amelynek kerülete 125,6 cm.

Ez a feladat fordítottja az előzőnek. Nézzük meg a kerék átmérőjét:

125,6: 3,14 = 40 (cm).

Most keressük meg a kerék sugarát:

40:2 = 20 (cm).

2. Egy kör területe. A kör területének meghatározásához egy adott sugarú kört rajzolhatunk papírra, letakarjuk átlátszó kockás papírral, majd megszámoljuk a körön belüli cellákat (28. ábra).

De ez a módszer több okból is kényelmetlen. Először is, a kör kontúrja közelében számos hiányos cellát kapunk, amelyek méretét nehéz megítélni. Másodszor, nem lehet papírlappal letakarni egy nagy tárgyat (kerek virágágyás, medence, szökőkút stb.). Harmadszor, miután megszámoltuk a cellákat, még mindig nem kapunk olyan szabályt, amely lehetővé tenné egy másik hasonló probléma megoldását. Emiatt másként fogunk cselekedni. Hasonlítsuk össze a kört valamelyik számunkra ismerős figurával, és tegyük a következőképpen: vágjunk ki egy kört papírból, vágjuk ketté először az átmérő mentén, majd mindegyik felét vágjuk újra ketté, minden negyedet újra félbe, stb. a kört például 32 fog alakú részre vágjuk (29. ábra).

Ezután a 30. ábrán látható módon összehajtjuk, azaz először 16 fogat fűrész formájában elrendezünk, majd a kapott lyukakba 15 fogat helyezünk, végül az utolsó megmaradt fogat a sugár mentén kettévágjuk és rögzítse az egyik részt balra, a másikat jobbra. Ekkor egy téglalapra emlékeztető figurát kapsz.

Ennek az alaknak (alapnak) a hossza megközelítőleg megegyezik a félkör hosszával, a magassága pedig megközelítőleg megegyezik a sugárral. Ezután egy ilyen alak területét meg lehet találni a félkör hosszát és a sugár hosszát kifejező számok megszorzásával. Ha egy kör területét betűvel jelöljük S, egy betű kerülete VEL, sugarú betű r, akkor felírhatjuk a képletet a kör területének meghatározásához:

ami így szól: A kör területe egyenlő a félkör hosszának és a sugár szorzásával.

Feladat. Keresse meg a 4 cm sugarú kör területét először a kör hosszát, majd a félkör hosszát, majd szorozza meg a sugárral.

1) Kerület VEL = π D= 3,14 8 = 25,12 (cm).

2) Félkör hossza C / 2 = 25,12: 2 = 12,56 (cm).

3) A kör területe S = C / 2 r= 12,56 4 = 50,24 (négyzetcm).

118. § Henger felülete és térfogata.

1. feladat. Határozza meg annak a hengernek a teljes felületét, amelynek alapátmérője 20,6 cm és magassága 30,5 cm.

A következők henger alakúak (31. ábra): vödör, pohár (nem csiszolt), serpenyő és sok más tárgy.

A henger teljes felülete (mint a téglalap alakú paralelepipedon teljes felülete) egy oldalfelületből és két alapterületből áll (32. ábra).

Ahhoz, hogy világosan elképzelje, miről beszélünk, gondosan meg kell készítenie egy henger modelljét papírból. Ha ebből a modellből kivonunk két alapot, azaz két kört, és az oldalfelületet hosszában levágjuk és kihajtjuk, akkor teljesen világos lesz, hogyan kell kiszámítani a henger teljes felületét. Az oldalfelület téglalappá bontakozik ki, amelynek alapja megegyezik a kör hosszával. Ezért a probléma megoldása így fog kinézni:

1) Kerület: 20,6 x 3,14 = 64,684 (cm).

2) Oldalsó felület: 64,684 x ​​30,5 = 1972,862 (cm2).

3) Egy alap területe: 32,342 x 10,3 = 333,1226 (nm).

4) Teljes hengerfelület:

1972,862 + 333,1226 + 333,1226 = 2639,1072 (nm) ≈ 2639 (nm).

2. feladat. Határozza meg egy henger alakú vashordó térfogatát, amelynek méretei: alapátmérő 60 cm és magasság 110 cm.

Egy henger térfogatának kiszámításához emlékeznie kell arra, hogyan számítottuk ki egy téglalap alakú paralelepipedon térfogatát (hasznos elolvasni a 61. §-t).

Térfogatmértékegységünk köbcentiméter lesz. Először meg kell találnia, hogy hány köbcentiméter helyezhető el az alapterületre, majd a talált számot meg kell szorozni a magassággal.

Ahhoz, hogy megtudja, hány köbcentimétert lehet az alapterületre fektetni, ki kell számítania a henger alapterületét. Mivel az alap egy kör, meg kell találnia a kör területét. Ezután a hangerő meghatározásához szorozza meg a magassággal. A probléma megoldásának a következő formája van:

1) Kerület: 60 x 3,14 = 188,4 (cm).

2) A kör területe: 94,2 x 30 = 2826 (négyzetcm).

3) Hengertérfogat: 2826 110 = 310 860 (cc. cm).

Válasz. Hordó térfogata 310,86 köbméter. dm.

Ha egy henger térfogatát betűvel jelöljük V, alapterület S, hengermagasság H, akkor írhat egy képletet egy henger térfogatának meghatározásához:

V = S H

ami így szól: A henger térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

119. § Táblázatok a kör kerületének átmérő alapján történő kiszámításához.

Különböző gyártási problémák megoldásakor gyakran szükséges a kerület kiszámítása. Képzeljünk el egy munkást, aki az általa megadott átmérők szerint kerek alkatrészeket gyárt. Valahányszor ismeri az átmérőt, ki kell számítania a kerületet. Az időmegtakarítás és a hibák elkerülése érdekében kész táblázatokhoz fordul, amelyek jelzik az átmérőket és a megfelelő kerülethosszokat.

Bemutatjuk az ilyen táblázatok egy kis részét, és elmondjuk, hogyan kell használni őket.

Tudjuk, hogy a kör átmérője 5 m. A táblázatban a betű alatti függőleges oszlopban nézzük D szám 5. Ez az átmérő hossza. E szám mellett (jobbra, a „Körfogat” nevű oszlopban) a 15,708 (m) számot fogjuk látni. Pontosan ugyanígy találjuk, hogy ha D= 10 cm, akkor a kerülete 31,416 cm.

Ugyanezen táblázatok használatával fordított számításokat is végezhet. Ha egy kör kerülete ismert, akkor a megfelelő átmérő a táblázatban található. Legyen a kerülete megközelítőleg 34,56 cm. Keressük meg a táblázatban az ehhez legközelebb eső számot. Ez 34,558 lesz (a különbség 0,002). Az ennek a kerületnek megfelelő átmérő körülbelül 11 cm.

Az itt említett táblázatok különböző referenciakönyvekben érhetők el. Különösen V. M. Bradis „Négy számjegyű matematikai táblázatok” című könyvében találhatók meg. valamint S. A. Ponomarev és N. I. Sirneva számtani feladatfüzetében.

1. Nehezebb megtalálni kerület átmérője, ezért először nézzük meg ezt a lehetőséget.

Példa: Határozzuk meg egy 6 cm átmérőjű kör kerületét!. A fenti kör kerülete képletet használjuk, de először meg kell találnunk a sugarat. Ehhez a 6 cm-es átmérőt elosztjuk 2-vel, és megkapjuk a kör sugarát 3 cm-re.

Ezek után minden rendkívül egyszerű: szorozzuk meg a Pi számot 2-vel és a kapott 3 cm-es sugárral.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. Most nézzük újra az egyszerű lehetőséget keresse meg a kör kerületét, a sugara 5 cm

Megoldás: Szorozzuk meg az 5 cm-es sugarat 2-vel, és szorozzuk meg 3,14-gyel. Ne ijedjen meg, mert a szorzók átrendezése nem befolyásolja az eredményt, ill kerületi képlet bármilyen sorrendben használható.

5cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - ez a talált kerület 5 cm-es sugár esetén!

Online körméret kalkulátor

Kerület kalkulátorunk ezeket az egyszerű számításokat azonnal elvégzi, és sorba, megjegyzésekkel írja a megoldást. A kerületet 3, 5, 6, 8 vagy 1 cm-es sugár esetén számítjuk ki, vagy az átmérő 4, 10, 15, 20 dm, a számológépünk nem foglalkozik azzal, hogy melyik sugár értékét találja meg.

Minden számítás pontos lesz, amelyet speciális matematikusok tesztelnek. Az eredmények felhasználhatók a geometriai vagy matematikai iskolai feladatok megoldásában, valamint az építőiparban végzett munkaszámításokban vagy a helyiségek javításában és díszítésében, amikor pontos számításokra van szükség ezzel a képlettel.

Először is, értsük meg a különbséget a kör és a kör között. Ennek a különbségnek a megértéséhez elegendő figyelembe venni, hogy mi is a két szám. Ez végtelen számú pont a síkon, amelyek egy központi ponttól egyenlő távolságra helyezkednek el. De ha a kör belső térből is áll, akkor nem tartozik a körhöz. Kiderült, hogy a kör egyrészt egy kör, amely korlátozza azt (kör(r)), másrészt pedig számtalan olyan pont, amely a körön belül van.

A körön fekvő bármely L pontra érvényes az OL=R egyenlőség. (Az OL szakasz hossza megegyezik a kör sugarával).

A kör két pontját összekötő szakasz az akkord.

Közvetlenül a kör közepén áthaladó akkord az átmérő ez a kör (D). Az átmérő a következő képlettel számítható ki: D=2R

Kerület a következő képlettel számítjuk ki: C=2\pi R

Egy kör területe: S=\pi R^(2)

Egy kör íve Ennek azt a részét nevezzük, amely a két pontja között helyezkedik el. Ez a két pont egy kör két ívét határozza meg. Az akkord CD két ívet ölel fel: CMD és CLD. Azonos akkordok egyenlő íveket zárnak le.

Központi szög A két sugár közé eső szöget nevezzük.

Ív hossza képlet segítségével találhatjuk meg:

1. A fokmérő használata: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radián mértékkel: CD = \alpha R

A húrra merőleges átmérő a húrt és az általa összehúzott íveket kettéosztja.

Ha a kör AB és CD húrjai az N pontban metszik egymást, akkor az N pont által elválasztott húrok szakaszainak szorzatai egyenlők egymással.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Egy kör érintője

Egy kör érintője Egy olyan egyenest szokás hívni, amelynek egy közös pontja van a körrel.

Ha egy egyenesnek két közös pontja van, akkor ún metsző.

Ha a sugarat az érintőpontra rajzolja, akkor az merőleges lesz a kör érintőjére.

Ebből a pontból húzzunk két érintőt a körünkhöz. Kiderül, hogy az érintőszegmensek egyenlőek lesznek egymással, és a kör középpontja a csúcsponttal bezárt szög felezőjén lesz ezen a ponton.

AC = CB

Most húzzunk egy érintőt és egy szekánst a körhöz a pontunkból. Azt kapjuk, hogy az érintőszakasz hosszának négyzete egyenlő lesz a teljes szekáns szakasz és külső részének szorzatával.

AC^(2) = CD \cdot BC

Megállapíthatjuk: az első szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzata egyenlő a második szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzatával.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Szögek egy körben

A középponti szög és az ív, amelyen nyugszik, mértéke egyenlő.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Beírt szög Olyan szög, amelynek csúcsa egy körön van, és oldalai húrokat tartalmaznak.

Kiszámolhatja az ív méretének ismeretében, mivel ez egyenlő ennek az ívnek a felével.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Átmérő, beírt szög, derékszög alapján.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Az azonos ívet bezáró beírt szögek azonosak.

Az egyik húron nyugvó beírt szögek azonosak, vagy összegük 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Ugyanazon a körön vannak az azonos szögű háromszögek csúcsai egy adott alappal.

Az a szög, amelynek csúcsa a körön belül és két húr között helyezkedik el, megegyezik az adott és a függőleges szögeken belüli körívek szögértékeinek felével.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \jobb)

Az a szög, amelynek csúcsa a körön kívül van, és két szekáns között helyezkedik el, megegyezik a szög belsejében lévő körívek szögértékei közötti különbség felével.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Beírt kör

Beírt kör egy kör, amely egy sokszög oldalait érinti.

Abban a pontban, ahol a sokszög sarkainak felezői metszik egymást, ott van a középpontja.

Egy kör nem írható be minden sokszögbe.

Egy kör alakú sokszög területét a következő képlet határozza meg:

S = pr,

p a sokszög fél kerülete,

r a beírt kör sugara.

Ebből következik, hogy a beírt kör sugara egyenlő:

r = \frac(S)(p)

A szemközti oldalak hosszának összege azonos lesz, ha a kört egy konvex négyszögbe írjuk. És fordítva: egy kör konvex négyszögbe illeszkedik, ha a szemközti oldalak hosszának összege azonos.

AB + DC = AD + BC

Bármelyik háromszögbe beírható egy kör. Csak egyetlenegy. A beírt kör középpontja azon a ponton lesz, ahol az ábra belső szögeinek felezőszögei metszik egymást.

A beírt kör sugarát a következő képlettel számítjuk ki:

r = \frac(S)(p) ,

ahol p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Ha egy kör áthalad egy sokszög minden csúcsán, akkor egy ilyen kört általában hívnak sokszögről írták le.

Az ábra oldalainak merőleges felezőinek metszéspontjában lesz a körülírt kör középpontja.

A sugarat úgy kaphatjuk meg, hogy a sokszög bármely 3 csúcsával meghatározott háromszögre körülírt kör sugaraként számítjuk ki.

Ennek a feltétele a következő: egy kör csak akkor írható le egy négyszög körül, ha szemközti szögeinek összege 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Bármely háromszög körül leírhat egy kört, és csak egyet. Egy ilyen kör középpontja azon a ponton lesz, ahol a háromszög oldalainak merőleges felezői metszik egymást.

A körülírt kör sugara a következő képletekkel számítható ki:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c a háromszög oldalainak hossza,

S a háromszög területe.

Ptolemaiosz tétele

Végül nézzük Ptolemaiosz tételét.

Ptolemaiosz tétele kimondja, hogy az átlók szorzata azonos egy ciklikus négyszög szemközti oldalainak szorzatával.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Utasítás

Ne feledje, hogy Arkhimédész volt az első, aki matematikailag kiszámította ezt az összefüggést. Ez egy szabályos 96 oldalú háromszög egy körben és egy körben. A beírt sokszög kerületét a lehető legkisebb kerületnek, a körülírt alak kerületét pedig a legnagyobb méretnek vettük. Archimedes szerint a kerület és az átmérő aránya 3,1419. Jóval később ezt a számot Zu Chongzhi kínai matematikus nyolc karakterre „bővítette”. Számításai 900 évig a legpontosabbak maradtak. Csak a 18. században számoltak száz tizedesjegyet. És 1706 óta ez a végtelen tizedes tört, William Jonesnak köszönhetően, nevet kapott. A görög kerületi (periféria) szavak első betűjével jelölte. Ma a számítógép könnyen kiszámítja a Pi számjegyeit: 3,141592653589793238462643…

A számításokhoz csökkentse a Pi-t 3,14-re. Kiderült, hogy bármely kör esetében a hossza osztva az átmérővel egyenlő ezzel a számmal: L: d = 3,14.

Adjon meg ebből az állításból egy képletet az átmérő meghatározásához. Kiderült, hogy a kör átmérőjének meghatározásához el kell osztani a kerületét Pi-vel. Így néz ki: d = L: 3,14. Ez egy univerzális módszer az átmérő meghatározására, ha a kör kerülete ismert.

Tehát a kerület ismert, mondjuk 15,7 cm, ossza el ezt a számot 3,14-gyel. 5 cm lesz az átmérő Írd fel így: d = 15,7: 3,14 = 5 cm.

Keresse meg az átmérőt a kerületből a kerület kiszámításához használt speciális táblázatok segítségével. Ezeket a táblázatokat különféle referenciakönyvek tartalmazzák. Például V.M. „Négy számjegyű matematikai táblázatokban” vannak. Bradis.

Hasznos tanácsok

Emlékezzen a Pi első nyolc számjegyére egy vers segítségével:
Csak meg kell próbálni
És emlékezz mindenre úgy, ahogy van:
Három, tizennégy, tizenöt,
Kilencvenkettő és hat.

Források:

• A „Pi” szám rekordpontossággal kerül kiszámításra
• átmérője és kerülete
• Hogyan lehet megtalálni a kör kerületét?

A kör egy lapos geometriai alakzat, amelynek minden pontja azonos és nem nulla távolságra van egy kiválasztott ponttól, amelyet a kör középpontjának nevezünk. A kör bármely két pontját összekötő és a középponton átmenő egyenest nevezzük átmérő. Egy kétdimenziós alakzat összes határának teljes hosszát, amelyet általában kerületnek neveznek, gyakrabban nevezik egy kör „kerületének”. A kör kerületének ismeretében kiszámíthatja az átmérőjét.

Utasítás

Az átmérő meghatározásához használja a kör egyik fő tulajdonságát, amely az, hogy a kerülete hosszának és az átmérőnek az aránya abszolút minden kör esetében azonos. Természetesen az állandóságot a matematikusok nem hagyták figyelmen kívül, és ez az arány már régóta megkapta a magáét - ez a Pi szám (π az első görög szó " kör" és "körzet"). Ennek számértékét az eggyel egyenlő átmérőjű kör hossza határozza meg.

Az átmérő kiszámításához osszuk el egy kör ismert kerületét Pi-vel. Mivel ez a szám „ ”, nincs véges értéke – ez egy tört. Kerekítse a Pi-t az elérendő eredmény pontossága szerint.

Videó a témáról

4. tipp: Hogyan találjuk meg a kerület és az átmérő arányát

Csodálatos ingatlan kör Arkhimédész ókori görög tudós fedezte fel számunkra. Ez abban rejlik, hogy hozzáállás neki hossz az átmérőhöz hossz azonos bármely kör. „A kör méréséről” című munkájában kiszámította, és „Pi” számként jelölte meg. Irracionális, vagyis jelentése nem fejezhető ki pontosan. Ebből a célból értéke 3,14. Arkhimédész állítását egyszerű számításokkal saját maga is ellenőrizheti.

Szükséged lesz

• - iránytű;
• - vonalzó;
• - ceruza;
• - cérna.

Utasítás

Rajzolj egy tetszőleges átmérőjű kört papírra iránytűvel. Vonalzó és ceruza segítségével rajzoljon egy szakaszt a közepén keresztül, amely összeköti a vonal két vonalát kör. Használjon vonalzót a kapott szakasz hosszának mérésére. mondjuk kör ebben az esetben 7 centiméter.

Fogja meg a cérnát, és rendezze el hosszában kör. Mérje meg a kapott szál hosszát. Legyen egyenlő 22 centiméterrel. Lelet hozzáállás hossz körátmérőjének hosszához - 22 cm: 7 cm = 3,1428.... Kerekítsd a kapott számot (3,14). Az eredmény az ismerős „Pi” szám.

Bizonyítsa be ezt a tulajdonságot kör csészét vagy poharat használhat. Mérje meg az átmérőjüket vonalzóval. Tekerj egy szálat az edény tetejére, és mérd meg a kapott hosszt. A hossz felosztása kör csésze átmérője hosszával, akkor a „Pi” számot is megkapja, megbizonyosodva erről a tulajdonságról kör Arkhimédész fedezte fel.

Ezzel a tulajdonsággal kiszámolhatja bármelyik hosszát körátmérője mentén vagy a következő képletekkel: C = 2*p*R vagy C = D*p, ahol C kör, D az átmérőjének hossza, R a rádiuszának hossza kör) használja az S = π*R² képletet, ha ismert a sugara, vagy az S = π*D²/4 képletet, ha ismert az átmérője.

Kérjük, vegye figyelembe

Tudtad, hogy a Pi-napot több mint húsz éve ünneplik március tizennegyedikén? Ez a matematikusok nem hivatalos ünnepe ennek az érdekes számnak szentelve, amelyhez jelenleg számos képlet, matematikai és fizikai axióma kapcsolódik. Ezt az ünnepet az amerikai Larry Shaw találta ki, aki észrevette, hogy ezen a napon (3.14 az amerikai dátumrögzítő rendszerben) született a híres tudós, Einstein.

Források:

• Archimedes

Néha egy domború sokszög köré rajzolhatunk úgy, hogy az összes sarok csúcsa rajta legyen. Az ilyen kört a sokszöghez képest körülírtnak kell nevezni. Neki központ nem a beírt ábra kerületén belül kell lennie, hanem a leírtak tulajdonságait használja kör, ennek a pontnak a megtalálása általában nem túl nehéz.

Szükséged lesz

• Vonalzó, ceruza, szögmérő vagy négyzet, iránytű.

Utasítás

Ha a sokszög, amely körül egy kört kell leírnia, papírra van rajzolva, meg kell találnia központés egy kör is elég vonalzóval, ceruzával és szögmérővel vagy négyzettel. Mérje meg az ábra bármelyik oldalának hosszát, határozza meg a közepét, és helyezzen el egy segédpontot a rajzon erre a helyre. Egy négyzet vagy szögmérő segítségével rajzoljon egy szakaszt a sokszög belsejébe, merőlegesen erre az oldalra, amíg az nem metszi a szemközti oldalt.

Végezze el ugyanezt a műveletet a sokszög bármely másik oldalával. A két megszerkesztett szakasz metszéspontja lesz a kívánt pont. Ez a leírtak fő tulajdonságából következik kör- őt központ egy tetszőleges oldalú konvex sokszögben mindig az ezekre húzott merőleges felezők metszéspontjában van.

Szabályos sokszögekhez központés felírták kör lehetne sokkal egyszerűbb is. Például, ha ez egy négyzet, akkor rajzoljon két átlót - a metszéspontjuk lesz központ ohm felirattal kör. Egy tetszőleges páros oldalszámú sokszögben elegendő két ellentétes szögpárt a segédszögekkel összekapcsolni - központ leírta kör egybe kell esnie a metszéspontjukkal. Egy derékszögű háromszögben a probléma megoldásához egyszerűen határozza meg az ábra leghosszabb oldalának felezőpontját - a hipotenuszát.

Ha a feltételekből nem ismert, hogy elvileg lehetséges-e egy körülírt kör egy adott sokszögre, a várható pont meghatározása után központés a leírt módszerek bármelyikével megtudhatja. Tegye félre a távolságot a talált pont és az iránytű bármely pontja között, állítsa a várt értékre központ körés rajzoljon egy kört - minden csúcsnak ezen kell feküdnie kör. Ha ez nem így van, akkor az egyik tulajdonság nem tart fenn és nem ír le egy kört egy adott sokszög körül.

Az átmérő meghatározása nemcsak a geometriai feladatok megoldásában lehet hasznos, hanem a gyakorlatban is segítséget nyújthat. Például egy üveg nyakának átmérőjének ismeretében biztosan nem fog tévedni, ha fedőt választ neki. Ugyanez az állítás igaz nagyobb körökre is.

Utasítás

Tehát adja meg a mennyiségek jelölését. Legyen d a kút átmérője, L a kerülete, n a Pi szám, amelynek értéke megközelítőleg 3,14, R a kör sugara. A kerület (L) ismert. Tegyük fel, hogy 628 centiméter.

Ezután az átmérő (d) meghatározásához használja a kerület képletét: L = 2пR, ahol R egy ismeretlen mennyiség, L = 628 cm, és n = 3,14. Most használja a szabályt egy ismeretlen tényező megtalálásához: "A tényező megtalálásához el kell osztania a szorzatot egy ismert tényezővel." Kiderül: R=L/2p. Helyettesítse az értékeket a képletbe: R=628/2x3,14. Kiderül: R=628/6,28, R=100 cm.

Ha megtaláltuk a kör sugarát (R=100 cm), használjuk a következő képletet: a kör átmérője (d) egyenlő a kör két sugarával (2R). Kiderül: d=2R.

Most az átmérő meghatározásához helyettesítse be a d=2R értékeket a képletbe, és számítsa ki az eredményt. Mivel a sugár (R) ismert, így kiderül: d=2x100, d=200 cm.

Források:

• Hogyan határozzuk meg az átmérőt a kör kerülete alapján

A kerület és az átmérő egymással összefüggő geometriai mennyiségek. Ez azt jelenti, hogy ezek közül az első minden további adat nélkül lefordítható a másodikra. Az a matematikai állandó, amelyen keresztül kapcsolódnak egymáshoz, a π szám.

Utasítás

Ha a kört képként ábrázolják a papíron, és az átmérőjét hozzávetőlegesen meg kell határozni, mérje meg közvetlenül. Ha a középpontja látható a rajzon, húzzon rajta egy vonalat. Ha a középpont nem látható, keresse meg egy iránytű segítségével. Ehhez használjon egy négyzetet, amelynek szöge 90 és . Rögzítse 90 fokos szögben a körhöz úgy, hogy mindkét lába érintse, és nyomjon rá. Ezután rögzítse a négyzet 45 fokos szögét a kapott derékszöghez, rajzoljon. A kör közepén fog áthaladni. Ezután ugyanígy rajzoljunk egy második derékszöget és annak felezőjét a kör másik helyére. A központban keresztezik egymást. Ez lehetővé teszi az átmérő mérését.

Az átmérő mérésére célszerű a lehető legvékonyabb lemezanyagból készült vonalzót, vagy szabómérőt használni. Ha csak vastag vonalzónk van, akkor iránytűvel mérjük meg a kör átmérőjét, majd a megoldás megváltoztatása nélkül vigyük át milliméterpapírra.

Továbbá, ha a probléma körülményei között nincs számszerű adat, és csak rajz van, akkor görbemérővel megmérheti a kerületet, majd kiszámíthatja az átmérőt. A görbemérő használatához először forgassa el a kerekét, hogy a nyíl pontosan a nulla osztásra álljon. Ezután jelöljön ki egy pontot a körön, és nyomja a görbemérőt a laphoz úgy, hogy a kerék feletti vonal erre a pontra mutasson. Mozgassa a kereket a körvonal mentén, amíg a körvonal ismét e pont fölé nem kerül. Olvasd el a bizonyságot. Benne lesznek, szaggatott vonallal határolva. Ha egy b oldalú szabályos n-szöget írunk egy körbe, akkor egy ilyen P ábra kerülete egyenlő a b oldal n oldalszámának szorzatával: P=b*n. A b oldal a következő képlettel határozható meg: b=2R*Sin (π/n), ahol R annak a körnek a sugara, amelybe az n-szög be van írva.

Az oldalak számának növekedésével a beírt sokszög kerülete egyre inkább megközelíti az L-t. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Az L kerület és a D átmérő közötti kapcsolat állandó. Az L/D=n*Sin (π/n) arány, amint egy beírt sokszög oldalainak száma a végtelenbe hajlik, a π számhoz, egy állandó értékhez, amelyet „pi”-nek nevezünk, és végtelen tizedes törtként fejezzük ki. A számítástechnika nélküli számításokhoz a π=3,14 értéket veszik. A kör kerülete és átmérője a következő képlettel függ össze: L= πD. Az átmérő kiszámításához

Körfogatmérés

A geológiai kutatásokkal foglalkozó tudósok régóta tudják, hogy bolygónk gömb alakú. Éppen ezért a földfelszín kerületének első mérései a Föld leghosszabb párhuzamát, az Egyenlítőt érintették. A tudósok úgy vélték, hogy ez az érték bármely más mérési módszer esetében helyesnek tekinthető. Például azt hitték, hogy ha a bolygó kerületét méri a leghosszabb meridián, a kapott szám pontosan ugyanaz lesz.

Ez a vélemény egészen a 18. századig létezett. Az akkori vezető tudományos intézmény – a Francia Akadémia – tudósai azonban azon a véleményen voltak, hogy ez a hipotézis téves, és a bolygó alakja sem volt teljesen helyes. Ezért véleményük szerint a leghosszabb meridián és a leghosszabb párhuzamos kerülete különbözni fog.

Ennek bizonyítékaként 1735-ben és 1736-ban két tudományos expedícióra is sor került, amelyek igazolták ennek a feltételezésnek az igazságát. Ezt követően megállapították a kettő közötti különbség nagyságát - 21,4 kilométert tett ki.

Kerület

Jelenleg a Föld bolygó kerületét többször is megmérték, nem úgy, hogy a földfelszín egy adott szegmensének hosszát extrapolálják a teljes méretre, ahogy korábban tették, hanem modern, nagy pontosságú technológiákat alkalmazva. Ennek köszönhetően sikerült megállapítani a leghosszabb meridián és a leghosszabb párhuzamos pontos kerületét, valamint tisztázni e paraméterek közötti különbség nagyságát.

Tehát ma a tudományos közösségben a Föld bolygó egyenlítői kerületének hivatalos értékeként, azaz a leghosszabb párhuzamosságként 40075,70 kilométert szokás megadni. Ráadásul a leghosszabb meridián, azaz a Föld sarkain áthaladó kerület mentén mért hasonló paraméter 40 008,55 kilométer.

Így a kerületek közötti különbség 67,15 kilométer, az Egyenlítő pedig bolygónk leghosszabb kerülete. Ezenkívül a különbség azt jelenti, hogy a földrajzi meridián egy foka valamivel rövidebb, mint a földrajzi párhuzamos egy foka.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete