Fok egész és tört kitevővel. Egy szám természetes hatványra emelése

Nézzünk egy kis példát. Számítsuk ki 4√(5 12).

Használjuk a szám gyökének és hatványának tulajdonságait. 5 12 = (5 3) 4, ezért a következőképpen írhatjuk fel a feltételt:

• 4√((5 3) 4) = (4√(5 3)) 4 = 5 3 = 125.

Így azt kapjuk, hogy 4√(5 12) = 5 (12/4) . Az is kimutatható, hogy pl.

• 5√(3 (-4)) = 3 (-4/3) .

Bizonyíték

• Ha n néhány természetes szám, és n nagyobb vagy egyenlő 2-vel, m valamilyen egész szám, és az m/n hányados egész szám lesz, akkor >0 esetén a következő egyenlőség érvényesül: n√(a m) = a (m/n) .

Bizonyítsuk be ezt a tényt. m/n valamilyen egész szám (feltétel szerint), vagyis az osztás eredményeként a k egész számot kapjuk (m/n = k). Ekkor felírhatjuk, hogy m=k*n. Ezután a fok és a tulajdonságait felhasználva számtani gyök kapunk:

• n√ (a m) = n√(a (n*k)) =n√((a k) n) = a k = a (m/n) .

Vagyis n√(a m) = a (m/n) . Q.E.D.

Ha m-t n-nel osztva nem egész számot kapunk, akkor az a (m/n) alakú fokot, ahol a>0, úgy határozzuk meg, hogy a fenti képlet (n√(a m) = a (m/n)), hű maradt.

• Vagyis a képlet n√(a m) = a (m/n) bármely m egész számra érvényes lesz, bármely n természetes szám kettőnél nagyobb vagy egyenlő, és a>0.

Például,

• 16 (3/4) = 4√(16 3) = 4√(2 12) = 2 3 = 8.
• 7 (5/4) = 4√(7 5) = 4√((7 4)*7) = 7*4√7.

Mint már tudjuk, az m/n alakú számokat, ahol n valamilyen természetes szám, m pedig egész szám, tört- vagy racionális számoknak nevezzük.

A fentiek mindegyikéből azt kapjuk, hogy a fok bármely racionális kitevőre és a fok bármely pozitív bázisára definiálva van.

Sajátosságok

Érdemes megjegyezni, hogy ha a racionális szám a kitevőben pozitív, akkor az n√(a m) kifejezésnek nem csak pozitív a, hanem nullával egyenlő értéke esetén is van értelme.

• n√(0 m) = 0.

Ezért a matematikában úgy gondolják, hogy ha m/n > 0, a 0 (m/n) = 0 egyenlőség fennáll.

Vegye figyelembe azt is, hogy bármely egész számra, bármely természetes m-re és n-re, valamint pozitív a-ra a következő egyenlőség igaz:

a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Például 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Folytatva a beszélgetést egy szám erejéről, logikus, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg a hatvány értékét. Ezt a folyamatot ún hatványozás. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan történik a hatványozás, miközben érintjük az összes lehetséges kitevőt - természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különféle hatalmakba emelésének példáit.

Oldalnavigáció.

Mit jelent a "hatványosítás"?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.

Meghatározás.

Hatványozás- ez egy szám hatványértékének megállapítása.

Így az a szám hatványának r kitevőjű megtalálása és az a szám r hatványra emelése ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány (0,5) 5 értékét”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5-öt 5-ös hatványra.”

Most közvetlenül léphet a szabályokhoz, amelyek alapján a hatványozás történik.

Egy szám természetes hatványra emelése

A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz egy a szám m/n törthatványra emelésekor először az a szám n-edik gyökét veszik fel, majd az eredményt m egész hatványra emelik.

Nézzük meg a törthatványra emelés példáit.

Példa.

Számítsa ki a fokozat értékét!

Megoldás.

Két megoldást mutatunk be.

Első út. A fokozat meghatározása szerint c törtmutató. Kiszámoljuk a fok értékét a gyökérjel alatt, majd kivonjuk a kockagyököt: .

Második út. A tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján és a gyökök tulajdonságai alapján a következő egyenlőségek igazak: . Most kivonjuk a gyökeret , végül egész hatványra emeljük .

Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.

Válasz:

Vegye figyelembe, hogy a tört kitevőt fel lehet írni decimális vagy vegyes szám, ezekben az esetekben le kell cserélni a megfelelő közönséges törtre, majd hatványra kell emelni.

Példa.

Számítsd ki (44,89) 2.5.

Megoldás.

Írjuk fel a kitevőt közönséges tört formájában (ha szükséges, lásd a cikket): . Most végrehajtjuk az emelést törthatványra:

Válasz:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a tört kitevő számlálója és nevezője kellően nagy számokat tartalmaz), amelyet általában a számítástechnika.

Ennek a pontnak a befejezéseként a nulla szám tört hatványra való emelésére fogunk összpontosítani. Az alak nulla törthatványának a következő jelentést adtuk: amikor van , és nullánál az m/n teljesítmény nincs meghatározva. Tehát nulla a törtben pozitív fokozat egyenlő nullával, Például . És nulla a törtben negatív fokozat nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.

Irracionális hatalommá emelés

Néha szükségessé válik egy irracionális kitevővel rendelkező szám hatványértékének kiderítése. Ugyanakkor be gyakorlati célokraÁltalában elég egy bizonyos előjelig megkapni a fokozat értékét. Azonnal jegyezzük meg, hogy ezt az értéket a gyakorlatban elektronikus számítástechnikával számítják ki, az emelés óta ir racionális fok manuálisan sok nehézkes számítást igényel. De akkor is leírjuk általános vázlat az akció lényege.

Egy irracionális kitevővel rendelkező a szám hatványának közelítő értékének meghatározásához a kitevő tizedes közelítését veszik, és kiszámítják a hatvány értékét. Ez az érték az a szám hatványának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb egy szám decimális közelítését veszi kezdetben, annál többet pontos érték diplomát a végén szereznek.

Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük a következő decimális közelítést irracionális mutató: . Most felemeljük a 2-t az 1,17 racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈2,250116 kapunk. Így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha például az irracionális kitevő pontosabb decimális közelítését vesszük, akkor az eredeti kitevő pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Hivatkozások.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika tankönyv 5. osztálynak. oktatási intézményekben.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7. osztálynak. oktatási intézményekben.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézményekben.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9. osztálynak. oktatási intézményekben.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10 - 11. évfolyamai számára.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).

Ebben a cikkben megtudjuk, mi ez egy szám hatványa. Itt megadjuk egy szám hatványának definícióit, miközben részletesen megvizsgáljuk az összes lehetséges kitevőt, kezdve a természetes kitevővel és az irracionális kitevővel bezárólag. Az anyagban sok példát talál a fokozatokra, amelyek lefedik az összes felmerülő finomságot.

Oldalnavigáció.

Hatvány természetes kitevővel, szám négyzete, szám kocka

Kezdjük azzal. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy egy n természetes kitevővel rendelkező a szám hatványának definíciója adott a-ra, amit nevezünk fokozat alapján, és n, amelyeket hívni fogunk kitevő. Azt is megjegyezzük, hogy a természetes kitevővel rendelkező fokot egy szorzat határozza meg, így az alábbi anyag megértéséhez ismernie kell a számok szorzását.

Meghatározás.

n természetes kitevővel rendelkező szám hatványa az a n alakú kifejezés, amelynek értéke egyenlő n tényező szorzatával, amelyek mindegyike egyenlő a-val, azaz .
Konkrétan egy 1 kitevővel rendelkező a szám hatványa maga az a szám, azaz a 1 =a.

Rögtön említést érdemel a diplomaolvasás szabályairól. Univerzális módszer az a n bejegyzést olvasva: „a n hatványára”. Egyes esetekben a következő opciók is elfogadhatók: „a az n-edik hatványra” és „a n-edik hatványa”. Például vegyük a 8 12 hatványt, ez „nyolc a tizenkettő hatványához”, vagy „nyolc a tizenkettedik hatványhoz”, vagy „nyolc tizenkettedik hatványa”.

A szám második hatványának, valamint a szám harmadik hatványának saját neve van. Egy szám második hatványát nevezzük négyzetre a számot, például a 7 2 „hét négyzet” vagy „a hetes szám négyzete”. Egy szám harmadik hatványát nevezzük kockás számok, például az 5 3 úgy is olvasható, hogy „öt kocka”, vagy azt is mondhatja, hogy „az 5-ös szám kocka”.

Ideje hozni példák a végzettségre természetbeni mutató mi. Kezdjük az 5 7 fokkal, itt az 5 a fok alapja, a 7 pedig a kitevő. Adjunk egy másik példát: 4,32 az alap, a természetes szám pedig 9 a kitevő (4,32) 9 .

Felhívjuk figyelmét, hogy a utolsó példa A 4,32 fokszám alapját zárójelben írjuk: az eltérések elkerülése érdekében zárójelbe teszünk minden természetes számtól eltérő fokalapot. Példaként a következő fokokat adjuk meg természetes kitevőkkel , alapjaik nem természetes számok, ezért zárójelben vannak írva. Nos, a teljes érthetőség kedvéért ezen a ponton megmutatjuk a (−2) 3 és −2 3 formájú rekordokban rejlő különbséget. A (−2) 3 kifejezés a −2 hatványa 3 természetes kitevőjével, és a −2 3 kifejezés (ahogyan írható fel −(2 3) ) a számnak, a 2 3 hatvány értékének felel meg. .

Figyeljük meg, hogy van egy jelölés az a szám hatványára, amelynek n kitevője a^n. Sőt, ha n egy többértékű természetes szám, akkor a kitevő zárójelben van. Például a 4^9 a 4 9 hatványának másik jelölése. És itt van még néhány példa a fokozatok „^” szimbólummal történő írására: 14^(21) , (−2,1)^(155) . A következőkben elsősorban az a n alakú fokjelölést fogjuk használni.

A természetes kitevővel rendelkező hatványra emelés ellentétes problémája az, hogy meg kell találni a hatvány alapját ismert érték foka és ismert mutatója. Ez a feladat oda vezet.

Köztudott, hogy sokan racionális számok egész és tört számokból áll, mindegyik törtszám pozitív vagy negatív közös törtként ábrázolható. Az előző bekezdésben egész kitevővel definiáltuk a fokot, ezért ahhoz, hogy a fok definícióját racionális kitevővel kiegészítsük, az a szám hatványát m/n tört kitevővel kell értelmeznünk, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Tegyük ezt.

Tekintsünk egy fokot a forma tört kitevőjével. Ahhoz, hogy a hatalom-hatalom tulajdonság érvényben maradjon, az egyenlőségnek fennállnia kell . Ha figyelembe vesszük a kapott egyenlőséget és azt, hogy hogyan határoztuk meg, akkor logikus az elfogadása, ha adott m, n és a esetén van értelme a kifejezésnek.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az egész kitevővel rendelkező fok összes tulajdonsága érvényes-e (ezt a racionális kitevővel rendelkező fok metszettulajdonságaiban tették meg).

A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy a következőket tegyük következtetés: ha adott m, n és a kifejezésnek van értelme, akkor az m/n törtkitevővel rendelkező a hatványt a m hatványának n-edik gyökének nevezzük.

Ez az állítás közel visz minket a törtkitevővel rendelkező fok definíciójához. Már csak le kell írni, hogy m, n és a miben van értelme a kifejezésnek. Az m, n és a korlátozásoktól függően két fő megközelítés létezik.

A legegyszerűbb mód az a megszorítása, ha pozitív m esetén a≥0, negatív m esetén a>0 (mivel m≤0 esetén m 0 foka nincs meghatározva). Akkor kapunk következő definíciót fokot törtkitevővel.

Meghatározás.

Pozitív a szám hatványa m/n tört kitevővel, ahol m egész szám és n természetes szám, az a szám n-edik gyökének nevezzük m hatványához, azaz .

Szintén meghatározva tört hatvány nulla, azzal az egyetlen figyelmeztetéssel, hogy a mutatónak pozitívnak kell lennie.

Meghatározás.

Nulla hatványa tört pozitív kitevővel m/n, ahol m pozitív egész szám, n pedig természetes szám, a következőképpen definiálható .
Ha a fokszám nincs meghatározva, vagyis a nulla szám fokszáma törttel negatív mutató nincs értelme.

Megjegyzendő, hogy a törtkitevős fok ilyen definíciójával van egy figyelmeztetés: egyes negatív a, valamint néhány m és n esetén a kifejezésnek van értelme, és ezeket az eseteket elvetettük az a≥0 feltétel bevezetésével. Például a bejegyzéseknek van értelme vagy , és a fent megadott definíció arra kényszerít bennünket, hogy azt mondjuk, hogy a hatványok az alak törtkitevőjével nincs értelme, mivel az alap nem lehet negatív.

Egy másik megközelítés a fok meghatározására m/n tört kitevővel az, hogy a gyök páros és páratlan kitevőit külön kell figyelembe venni. Ez a megközelítés további feltételt igényel: a hatványát, amelynek kitevője , a hatványának tekintjük, amelynek kitevője a megfelelő redukálhatatlan tört(Ennek a feltételnek a fontosságát alább ismertetjük.) Vagyis ha m/n egy irreducibilis tört, akkor bármely k természetes szám esetén a fokszámot először helyettesíti a -val.

Páros n és pozitív m esetén a kifejezésnek értelme van bármely nem negatív a (gyök páros fokozat negatív számból nincs értelme), negatív m esetén az a számnak továbbra is különböznie kell nullától (különben nullával osztás lesz). Páratlan n és pozitív m esetén pedig az a szám tetszőleges lehet (gyök páratlan fokozat bármely valós számra definiálva van), negatív m esetén pedig az a számnak nullától eltérőnek kell lennie (hogy ne legyen nullával osztás).

A fenti érvelés elvezet bennünket a törtkitevővel rendelkező fok ezen definíciójához.

Meghatározás.

Legyen m/n irreducibilis tört, m egész szám, n pedig természetes szám. Bármely redukálható törtnél a fokot helyettesíti a. Az m/n irreducibilis törtkitevőjű szám hatványa az



Magyarázzuk meg, miért cseréljük le először egy redukálható tört kitevővel rendelkező fokot egy irreducibilis kitevővel rendelkező fokra. Ha egyszerűen definiálnánk a fokot, és nem tennénk fenntartást az m/n tört redukálhatatlanságával kapcsolatban, akkor a következőhöz hasonló helyzetekkel állnánk szemben: mivel 6/10 = 3/5, akkor az egyenlőségnek teljesülnie kell. , De , A .

1) Fokok természetes mutatóval:

Problémák vannak a számok országában. A csillagászok összegyűltek, hogy kiszámítsák az Univerzum látható részének méretét. Azzal érveltek, hogy ehhez meg kell szorozni a 10-et önmagával 25-ször. Mivel ez sok helyet igényelt, követelték az Eucydian Algoritmus palotájának lebontását, ikerszámok kiállítását és sok más tárgyat. Bár mindenki tudni akarta, milyen az Univerzumunk, senki sem akart ilyen szép és értékes építményeket feláldozni. Létrehoztak egy bizottságot, amely elkezdte keresni a szükséges szabad helyet, de hamarosan zsákutcába jutott.

Váratlanul a szorzótábla helyzete. Elmesélte a történetét: - Arra találtak ki, hogy ne hajtsam be nagy számban azonos kifejezések. Hiszen most senki nem ír 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3-at, most 3 x 7-et. Ezzel sok helyet takarítanak meg. Találjunk ki valami hasonlót a szorzáshoz.

És rögtön kitaláltak. A faktorok számát kis számmal kezdték felírni a szám mögé:

Az egész kifejezést kezdték nevezni fokozat, a faktorok száma (a felül lévő kis szám) a kitevő, maga a faktor pedig a kitevő alapja.

Nem telt el fél óra, mire ünnepélyesen bevezettek egy új akciót - a hatványozást -, és az 5 6 , 17 4 és még sokan mások rohanni kezdtek a számok országában. De egyszerűen nem érdekes összeadást, szorzást, kivonást végezni, vagyis úgy viselkedni, mint minden tisztességes szám. És akkor a következő problémák merültek fel. A telepítéshez szükséges műveletek bemutatása után cselekvési szabályokat, hogy ne zavarjon senkit és ne sértsen meg semmilyen törvényt.

Először megpróbáltuk kiegészíteni, megnyitottuk a törvénykönyvet, de nem találtunk semmit. A kivonásra nem is gondoltak, de a szorzás nagyon könnyen ment, mert minden fokot faktorokból kapunk, ami azt jelenti, hogy ha ugyanazokat a fokszámokat vesszük, akkor

Azonnal új szabályt írtak a törvénykönyvbe:

Ha a hatványokat ugyanazzal a bázissal szorozzuk, az alap változatlan marad, és a kitevők összeadódnak

Problémák voltak az osztással. Mindenkinek úgy tűnt, hogy ha az osztás a szorzás ellentéte, akkor az osztást ki kell vonni, de ha , és ha Akkor úgy döntöttek (a konzervatív kisebbség hatására).

, ha m>n, és , ha n>m.

6 5 és 6 3 javasoltak az új szabályok tesztelésére: , és

Ha a hatványokat azonos alapokkal osztjuk fel mutatók levonásra kerülnek . de nehéz megfogalmazni a teljes szabályt.

A diplomákkal is foglalkoztunk különböző okokbólÉs ugyanazok a mutatók. A kommutatív és asszociatív törvények jöttek a segítségre: , mert ;

A hatványok azonos kitevőkkel való szorzásához meg kell szorozni az alapokat, és a kitevőt változatlanul kell hagyni.

A fokok azonos alapokkal való felosztásához el kell választani az alapokat, és a kitevőt változatlanul kell hagyni.

Kiderült, hogy akár hatalmat is lehet hatalommá emelni.

Általános ünnep érkezett. Különösen tetszett a törtek csökkentése a faktorálással:

Az ajándékot az elosztási törvény adta. Javasolta, hogyan hajtogatni egyenlő fokozatok , Például, , ,azok . hozzáadhatja az együtthatókat.

És ha a fokok azonos alapokkal, de különböző együtthatókkal, akkor lehet közös szorzó zárójelbe tedd:

2) fokok negatív kitevővel:

Mindenki hozzászokott már a természetes kitevős hatványokkal végzett műveletekhez (ezt azért hívják így, mert a kitevők természetes számok).

És voltak, akik elégedetlenek voltak, akik nem vettek részt az új számok létrehozásában, a negatív számok forradalmi beállítottságú képviselői kijelentették, hogy elnyomják őket, és nem engedik a tudomány fejlődését.

Mindenki tudja, hogy a kivonás 0-t eredményezhet, és azt is negatív számok, mondták, és mozgalmat szerveztek a fokozatok támogatására negatív mutatóval.

Hogyan lehet negatív tényezők száma – lepődtek meg a természetes számok.

Meg kell határoznia, hogy ez pontosan megfelel-e a szabálynak: .

És a negatív kitevővel rendelkező fokokat hogyan határozzuk meg (Z - - negatív egész számok).

Például,

Ekkor a hatalommegosztás képlete egyszerűvé válik

„Rendben” – mondták a törvénykönyv őrei –, akkor bizonyítsd be, hogy a fokozatok kezelésének minden szabálya megmarad akkor is, ha negatív kitevős fokozatokat vezetnek be.

Sőt, a negatív számok bizonyítási tervet kínáltak a hatványokkal végzett műveletekre vonatkozó összes tételhez.

1. Egy kifejezésben definíció szerint cseréljünk ki egy fokot negatív kitevővel egy természetes kitevővel.

2. Végezzen műveleteket a természetes kitevős fokozatú cselekvések szabályai szerint

3. Definíció szerint lépjen a természetes kitevős fokokról a negatív kitevős fokokra.

Szemléltető példákat is hoztak: , írhatod rövidebben is:

Tehát kiderült, hogy a negatív kitevővel rendelkező fokokra minden cselekvési szabály megmarad.

3) fokok törtmutatóval:

a gyökér kivonásakor a fokból a kitevőt el kell osztani a gyök kitevőjével, ha az ilyen osztást teljes egészében végrehajtjuk; például: √ a 4 = a 2 , 3 √x 9 = x 3 stb. Most egyezzünk meg abban, hogy kiterjesztjük ezt a szabályt azokra az esetekre, amikor a kitevő nem osztható a gyökér kitevőjével. Például beleegyezünk abba, hogy ezt elfogadjuk

Általában egyetértünk ebben a kifejezés azt a gyöket jelent, amelynek kitevője a nevező, és a kitevő gyökszám- törtmutató számlálója (azaz. n √a m ).

Egyezzünk meg abban is, hogy engedélyezzük a negatív tört kitevőket abban az értelemben, ahogyan a negatív egész kitevőket is engedélyeztük; például abban egyezzünk meg

Megjegyzés. A törtkitevőket főként Simon Stevin holland mérnök vezette be az algebrába ben eleje XVII századokkal később, a végén század XVII, John Wallis oxfordi professzor negatív kitevőket mutatott be.

259. A törtmutató fő tulajdonsága. A tört kitevővel rendelkező hatvány értéke nem fog változni, ha a törtkitevő számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vagy elosztjuk azonos számmal (nullától eltérően). Így:

Valójában a tört kitevő nevezője a gyök kitevőjét jelenti, a számlálója pedig a kitevőt radikális kifejezés, és az ilyen mutatók, mint láttuk, szorozhatók és oszthatók ugyanazzal a számmal.

Ezen tulajdonság alapján megtehetjük törtmutatót pontosan ugyanúgy konvertálni, mint közönséges tört : például csökkenthetünk egy törtmutatót, vagy több törtmutatót hozhatunk egy nevezőre.

Fokozatképletek a csökkentés és az egyszerűsítés folyamatában összetett kifejezések, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. C hatványainak szorzása ugyanaz az alap mutatóik összeadódnak:

a m·a n = a m + n .

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:

3. A szorzat teljesítménye 2 ill több tényezők egyenlő e tényezők hatványainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n /b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(a m) n = a m n .

Mindegyik fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. A hozzáállás gyökere egyenlő az aránnyal a gyökér osztója és osztója:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyidejűleg vonjuk ki a gyökeret n-gyökszám hatványa, akkor a gyök értéke nem változik:

Egy fok negatív kitevővel. Egy nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával egyenlő kitevővel abszolút érték nem pozitív indikátor:

Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, nulla fok megléte szükséges.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullával nem egyenlő szám hatványa nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete