Egységes államvizsga 4? Nem repessz a boldogságtól?

A kérdés, ahogy mondani szokás, érdekes... Lehet, 4-essel is lehet passzolni! És ugyanakkor, hogy ne törjön ki... A fő feltétel a rendszeres testmozgás. Íme az alapfelkészítés a matematika egységes államvizsgára. Az egységes államvizsga minden titkával és rejtélyével, amiről nem fogsz olvasni a tankönyvekben... Tanulmányozd ezt a részt, oldj meg több feladatot különböző forrásokból - és minden sikerülni fog! Feltételezhető, hogy az alapszakasz "A C elég neked!" nem okoz neked gondot. De ha hirtelen... Kövesd a linkeket, ne légy lusta!

És egy nagyszerű és szörnyű témával kezdjük.

Trigonometria

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Ez a téma sok problémát okoz a tanulóknak. Az egyik legsúlyosabbnak tartják. Mi a szinusz és a koszinusz? Mi a tangens és a kotangens? Mi az a számkör? Amint felteszi ezeket az ártalmatlan kérdéseket, az illető elsápad, és megpróbálja elterelni a beszélgetést... De hiába. Ezek egyszerű fogalmak. És ez a téma nem nehezebb, mint mások. Csak a kezdetektől fogva világosan meg kell értenie a válaszokat ezekre a kérdésekre. Ez nagyon fontos. Ha érted, szeretni fogod a trigonometriát. Így,

Mi a szinusz és a koszinusz? Mi a tangens és a kotangens?

Kezdjük az ősi időkkel. Ne aggódj, körülbelül 15 perc alatt végigmegyünk a trigonometriának mind a 20 évszázadán, és anélkül, hogy észrevennénk, megismételünk egy geometriát a 8. osztálytól.

Rajzoljunk egy derékszögű háromszöget oldalakkal a, b, cés szög x. Itt van.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a derékszöget bezáró oldalakat lábaknak nevezzük. a és c– lábak. Ketten vannak. A fennmaradó oldalt hipotenusznak nevezzük. Val vel– hypotenusa.

Háromszög és háromszög, gondolj csak! Mit kell vele csinálni? De az ókori emberek tudták, mit kell tenni! Ismételjük meg cselekedeteiket. Mérjük meg az oldalát V. Az ábrán a cellák speciálisan vannak megrajzolva, ahogy az az egységes államvizsga feladatoknál is történik. V Oldal egyenlő négy cellával. RENDBEN. Mérjük meg az oldalát A.

Három sejt. Most osszuk el az oldal hosszát A V oldalhosszonként Most osszuk el az oldal hosszát. Vagy ahogy szokták mondani, vegyük a hozzáállást V. Nak nek= 3/4.

a/v V Ellenkezőleg, lehet osztani egyenlő négy cellával. RENDBEN. Mérjük meg az oldalát tovább V 4/3-ot kapunk. Tud Oszd el Val vel. Val velÁtfogó Lehetetlen cellánként számolni, de egyenlő 5-tel jó minőség

És akkor mi van? Mi értelme ennek az érdekes tevékenységnek? Még nincs. Őszintén szólva értelmetlen gyakorlat.)

Most tegyük ezt. Nagyítsuk fel a háromszöget. Hosszabbítsuk meg az oldalakat benne és vele, hanem úgy, hogy a háromszög téglalap alakú maradjon. Sarok x természetesen nem változik. Ennek megtekintéséhez vigye az egeret a kép fölé, vagy érintse meg (ha táblagépe van). A felek a, b és cát fog alakulni m, n, k, és természetesen az oldalak hossza változni fog.

De a kapcsolatuk nem!

Hozzáállás Nak nek volt: Nak nek= 3/4, lett m/n= 6/8 = 3/4. Más érintett felek kapcsolatai is nem fog változni . Egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát tetszés szerint módosíthatja, növelheti, csökkentheti, az x szög megváltoztatása nélkül – az érintett felek közötti kapcsolat nem változik . Ellenőrizheti, vagy fogadhatja az ókori emberek szavát.

De ez már nagyon fontos! Egy derékszögű háromszög oldalainak aránya semmilyen módon nem függ az oldalak hosszától (azonos szögben). Ez annyira fontos, hogy a felek közötti kapcsolat sajátos nevet vívott ki magának. A ti neveiteket, hogy úgy mondjam.) Találkozzunk.

Mi az x szög szinusza ? Ez az ellenkező oldal és a hipotenusz aránya:

sinx = a/c

Mekkora az x szög koszinusza ? Ez a szomszédos láb és a hypotenus aránya:

Val velosx= jó minőség

Mi az x tangens ? Ez az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya:

tgx =Nak nek

Mekkora az x szög kotangense? ? Ez a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya:

ctgx = v/a

Minden nagyon egyszerű. Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens néhány szám. Mérettelen. Csak számok. Minden szögnek megvan a sajátja.

Miért ismételek mindent olyan unalmasan? Akkor mi ez emlékezni kell. Fontos emlékezni. A memorizálás megkönnyíthető. Ismerős a „Kezdjük messziről…” kifejezés? Kezdje tehát messziről.

Sinus szög egy arány távoli a lábszögtől a hypotenusig. Koszinusz– a szomszéd és a hipotenusz aránya.

Tangens szög egy arány távoli a lábszögtől a közeliig. Kotangens- oda-vissza.

Egyszerűbb, igaz?

Nos, ha emlékszel arra, hogy az érintőben és a kotangensben csak lábak vannak, a szinuszban és a koszinuszban pedig megjelenik a hipotenusz, akkor minden meglehetősen egyszerű lesz.

Ezt az egész dicsőséges családot - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens is hívják trigonometrikus függvények.

Most egy megfontolandó kérdés.

Miért mondjuk szinusznak, koszinusznak, érintőnek és kotangensnek? sarok? A felek közötti viszonyról beszélünk, mint... Mi köze ehhez? sarok?

Nézzük a második képet. Pontosan ugyanaz, mint az első.

Vigye az egeret a kép fölé. Megváltoztattam a szöget x. Növelte től x-ről x-re. Minden kapcsolat megváltozott! Hozzáállás Nak nek 3/4 volt, és a megfelelő arány tévé 6/4 lett.

És minden más kapcsolat más lett!

Ezért az oldalak arányai semmilyen módon nem függenek a hosszuktól (egy x szögben), hanem élesen ettől a szögtől! És csak tőle. Ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens kifejezések erre utalnak sarok. A szög itt a fő.

Világosan meg kell érteni, hogy a szög elválaszthatatlanul összefügg a trigonometrikus függvényeivel. Minden szögnek megvan a maga szinusza és koszinusza. És szinte mindenkinek megvan a maga érintője és kotangense. Fontos. Úgy tartják, ha megadunk egy szöget, akkor annak szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét tudjuk ! És fordítva. Adott egy szinusz, vagy bármilyen más trigonometrikus függvény, ez azt jelenti, hogy ismerjük a szöget.

Vannak speciális táblázatok, ahol minden szöghez leírják a trigonometrikus függvényeit. Ezeket Bradis asztaloknak hívják. Nagyon régen lettek összeállítva. Amikor még nem voltak számológépek vagy számítógépek...

Természetesen lehetetlen megjegyezni az összes szög trigonometrikus függvényét. Csak néhány szögből kell ismernie őket, erről később. De a varázslat Ismerek egy szöget, ami azt jelenti, hogy ismerem a trigonometrikus függvényeit" - mindig működik!

Így megismételtünk egy darab geometriát a 8. osztályból. Szükségünk van rá az egységes államvizsgához? Szükséges. Itt van egy tipikus probléma az egységes államvizsgáról. A probléma megoldásához elég a 8. osztály. Adott kép:

Minden. Nincs több adat. Meg kell találnunk a repülőgép oldalának hosszát.

A cellák nem sokat segítenek, a háromszög valahogy rosszul van elhelyezve.... Szándékosan, gondolom... Az információból ott van a hipotenusz hossza. 8 sejt. Valamiért a szög adott volt.

Itt azonnal emlékeznie kell a trigonometriára. Van egy szög, ami azt jelenti, hogy ismerjük az összes trigonometrikus függvényét. A négy függvény közül melyiket használjuk? Nézzük, mit tudunk? Ismerjük az alsó szöget és a szöget, de meg kell találnunk szomszédos katétert ehhez a sarokba! Egyértelmű, a koszinusznak működésbe kell lépnie! Essünk neki. Egyszerűen írjuk a koszinusz definíciójával (az arány szomszédos láb a hypotenusig):

cosC = BC/8

C szögünk 60 fok, koszinusza 1/2. Ezt tudnod kell, minden táblázat nélkül! Azaz:

1/2 = BC/8

Elemi lineáris egyenlet. Ismeretlen – Nap. Aki elfelejtette az egyenletek megoldását, nézze meg a linket, a többi megoldja:

BC = 4

Amikor az ókori emberek rájöttek, hogy minden szögnek megvannak a saját trigonometrikus függvényei, ésszerű kérdésük volt. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens valamilyen módon összefüggenek egymással? Tehát az egyik szögfüggvény ismeretében megtalálhatja a többit? A szög kiszámítása nélkül?

Olyan nyugtalanok voltak...)

Egy szög trigonometrikus függvényei közötti kapcsolat.

Természetesen az azonos szögű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens összefügg egymással. A kifejezések közötti kapcsolatot a matematikában képletek adják meg. A trigonometriában óriási számú képlet létezik. De itt megnézzük a legalapvetőbbeket. Ezeket a képleteket hívják: alapvető trigonometrikus azonosságok. Itt vannak:

Ezeket a képleteket alaposan ismernie kell. Ezek nélkül általában nincs mit tenni a trigonometriában. Ezekből az alapvető identitásokból további három kiegészítő identitás következik:

Azonnal figyelmeztetem, hogy az utolsó három képlet gyorsan kiesik az emlékezetéből. Valamiért.) Ezeket a képleteket természetesen az első háromból is levezethetjük. De nehéz időkben... Érted.)

A szabványos feladatokban, mint például az alábbiakban, van mód arra, hogy elkerüljük ezeket a felejthető képleteket. ÉS drámaian csökkenti a hibák számát a feledékenység miatt, és a számításokban is. Ez a gyakorlat az 555. szakaszban található, "Az azonos szögű trigonometrikus függvények közötti összefüggések" című leckében.

Milyen feladatokban és hogyan használják az alapvető trigonometrikus azonosságokat? A legnépszerűbb feladat valamilyen szögfüggvény megtalálása, ha adott egy másik. Az egységes államvizsgán ilyen feladat évről évre jelen van.) Például:

Határozzuk meg a sinx értékét, ha x hegyesszög és cosx=0,8.

A feladat szinte elemi. Olyan képletet keresünk, amely szinust és koszinust tartalmaz. Íme a képlet:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Itt behelyettesítünk egy ismert értéket, nevezetesen 0,8-at a koszinusz helyett:

sin 2 x + 0,8 2 = 1

Nos, a szokásos módon számolunk:

sin 2 x + 0,64 = 1

sin 2 x = 1 - 0,64

Gyakorlatilag ennyi. Kiszámoltuk a szinusz négyzetét, már csak a négyzetgyök kinyerése van hátra, és kész a válasz! A 0,36 gyöke 0,6.

A feladat szinte elemi. De a „majdnem” szó okkal van ott... Az tény, hogy a sinx= - 0,6 válasz is megfelelő... (-0,6) 2 is 0,36 lesz.

Két különböző válasz létezik. És kell egy. A második rossz. Hogyan legyen!? Igen, szokás szerint.) Olvassa el figyelmesen a feladatot! Valamiért ezt írja:... ha x hegyesszög... A feladatokban pedig minden szónak van jelentése, igen... Ez a kifejezés kiegészítő információ a megoldáshoz.

A hegyesszög 90°-nál kisebb szög. És az ilyen sarkokban Minden trigonometrikus függvények - szinusz, koszinusz és érintő a kotangenssel - pozitív. Azok. Itt egyszerűen elvetjük a nemleges választ. Jogunk van.

Valójában a nyolcadikosoknak nincs szükségük ilyen finomságokra. Csak derékszögű háromszögekkel dolgoznak, ahol a sarkok csak hegyesek lehetnek. És nem tudják, boldogok, hogy vannak negatív szögek és 1000°-os szögek is... És ezeknek a szörnyű szögeknek megvannak a maguk trigonometrikus funkciói, plusz és mínusz egyaránt...

De középiskolásoknak, a jel figyelembe vétele nélkül - dehogy. A sok tudás megsokszorozza a bánatot, igen...) A helyes megoldáshoz pedig szükségszerűen jelen van a feladatban további információ (ha szükséges). Megadható például a következő bejegyzéssel:

Vagy más módon. Az alábbi példákban látni fogja.) Az ilyen példák megoldásához tudnia kell Melyik negyedbe esik az adott x szög és milyen előjelű a kívánt trigonometrikus függvény ebben a negyedben?

A trigonometria ezen alapjait a trigonometrikus körről, a kör szögeinek méréséről, a szög radiánmértékéről szóló leckékben tárgyaljuk. Néha ismerni kell a szinuszok táblázatát, az érintők koszinuszait és a kotangenseket.

Tehát jegyezzük meg a legfontosabbat:

Gyakorlati tippek:

1. Emlékezzen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióira. Nagyon hasznos lesz.

2. Tisztán értjük: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens szorosan összefüggenek a szögekkel. Egy dolgot tudunk, ami azt jelenti, hogy tudunk egy másikat.

3. Tisztán értjük: egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense alapvető trigonometrikus azonosságokkal kapcsolódnak egymáshoz. Egy függvényt ismerünk, ami azt jelenti, hogy (ha rendelkezünk a szükséges további információkkal) ki tudjuk számítani az összes többit.

Most szokás szerint döntsünk. Először a 8. évfolyam körébe tartozó feladatok. De a középiskolások is megtehetik...)

1. Számítsa ki a tgA értékét, ha ctgA = 0,4.

2. β egy szög egy derékszögű háromszögben. Határozzuk meg a tanβ értékét, ha sinβ = 12/13.

3. Határozzuk meg az x hegyesszög szinuszát, ha tgх = 4/3.

4. Keresse meg a kifejezés jelentését:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Keresse meg a kifejezés jelentését:

(1-cosx)(1+cosx), ha sinx = 0,3

Válaszok (pontosvesszővel elválasztva, összevisszaságban):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Megtörtént? Nagy! A nyolcadikosok már mehetnek megszerezni az A-t.)

Nem sikerült minden? A 2. és 3. feladat valahogy nem túl jó...? Nincs mit! Van egy gyönyörű technika az ilyen feladatokhoz. Gyakorlatilag képletek nélkül is minden megoldható! És ezért hiba nélkül. Ezt a technikát az „Egy szög trigonometrikus függvényei közötti összefüggések” című leckében ismertetjük, az 555. szakaszban. Az összes többi feladattal is ott foglalkoznak.

Ezek olyan problémák voltak, mint az egységes államvizsga, de lecsupaszított változatban. Egységes államvizsga - fény). És most szinte ugyanazok a feladatok, de teljes értékű formában. Tudásterhelt középiskolásoknak.)

6. Határozzuk meg a tanβ értékét, ha sinβ = 12/13, és

7. Határozza meg a sinх értéket, ha tgх = 4/3, és x a (- 540°; - 450°) intervallumhoz tartozik.

8. Határozzuk meg a sinβ cosβ kifejezés értékét, ha ctgβ = 1.

Válaszok (rendetlenségben):

0,8; 0,5; -2,4.

Itt a 6. feladatban a szög nincs túl egyértelműen megadva... De a 8. feladatban egyáltalán nincs megadva! Ez szándékos). A kiegészítő információkat nemcsak a feladatból, hanem a fejből is veszik.) De ha úgy döntesz, egy helyes feladat garantált!

Mi van, ha még nem döntött? Hmm... Nos, az 555. szakasz segít itt. Ott részletesen le van írva mindezen feladatok megoldása, nehéz nem megérteni.

Ez a lecke nagyon korlátozott megértést nyújt a trigonometrikus függvényekről. 8 osztályon belül. És az idősebbeknek még mindig vannak kérdéseik...

Például ha a szög x(nézd meg a második képet ezen az oldalon) - csinálj hülyét!? A háromszög teljesen szétesik! Szóval mit kéne tennünk? Nem lesz láb, nem lesz hypotenus... A szinusz eltűnt...

Ha az ókori emberek nem találtak volna kiutat ebből a helyzetből, most nem lenne mobiltelefonunk, tévénk vagy elektromosságunk. Igen igen! Mindezen dolgok elméleti alapja trigonometrikus függvények nélkül pálca nélkül nulla. De az ókori emberek nem okoztak csalódást. Hogy hogyan jutottak ki, az a következő leckében lesz.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Mi a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens egy szögnek, segít megérteni a derékszögű háromszöget.

Hogy hívják egy derékszögű háromszög oldalait? Ez így van, befogó és lábak: a befogó a derékszöggel ellentétes oldal (példánkban ez az oldal \(AC\)); lábak a két fennmaradó oldal \(AB\) és \(BC\) (amelyek a derékszöggel szomszédosak), és ha a lábakat a \(BC\) szöghez viszonyítjuk, akkor az \(AB\) a szomszédos láb, és a \(BC\) láb ellentétes. Tehát most válaszoljunk a kérdésre: mi a szinusz, koszinusz, tangens és kotangens egy szögben?

Szög szinusza– ez az ellentétes (távoli) láb és a hypotenus aránya.

A mi háromszögünkben:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

A szög koszinusza– ez a szomszédos (közeli) láb és a hypotenus aránya.

A mi háromszögünkben:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

A szög érintője– ez az ellentétes (távoli) oldal és a szomszédos (közeli) oldal aránya.

A mi háromszögünkben:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Szög kotangense– ez a szomszédos (közeli) láb és az ellenkező (távoli) láb aránya.

A mi háromszögünkben:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ezek a meghatározások szükségesek emlékezik! Ahhoz, hogy könnyebben megjegyezze, melyik lábat mire kell felosztani, ezt egyértelműen meg kell értenie tangensÉs kotangens csak a lábak ülnek, és a hypotenusa csak a belsejében jelenik meg sinusÉs koszinusz. És akkor jöhet az asszociációk láncolata. Például ez:

koszinusz→érintés→érintés→szomszédos;

Kotangens→érintés→érintés→szomszédos.

Először is emlékeznie kell arra, hogy a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens, mivel a háromszög oldalainak aránya nem függ ezen oldalak hosszától (ugyanabban a szögben). Nem hiszek? Akkor győződj meg a képről:

Vegyük például a \(\beta \) szög koszinuszát. Definíció szerint egy \(ABC\) háromszögből: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), de kiszámolhatjuk a \(\beta \) szög koszinuszát az \(AHI \) háromszögből: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Látod, az oldalak hossza különböző, de egy szög koszinuszának értéke ugyanaz. Így a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke kizárólag a szög nagyságától függ.

Ha érti a definíciókat, akkor folytassa és konszolidálja azokat!

Az alábbi ábrán látható \(ABC \) háromszögre azt találjuk \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(tömb) \)

Nos, megkaptad? Majd próbáld ki magad: számítsd ki ugyanezt a \(\beta \) szögre is.

Válaszok: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Egység (trigonometrikus) kör

A fok és a radián fogalmát megértve egy olyan kört vettünk figyelembe, amelynek sugara egyenlő \(1\) . Egy ilyen kört neveznek egyetlen. Nagyon hasznos lesz a trigonometria tanulmányozása során. Ezért nézzük meg kicsit részletesebben.

Mint látható, ez a kör a derékszögű koordinátarendszerben van megszerkesztve. A kör sugara eggyel egyenlő, míg a kör középpontja a koordináták origójában van, a sugárvektor kezdeti helyzete az \(x\) tengely pozitív iránya mentén rögzített (példánkban ez a sugár \(AB\)).

A kör minden pontja két számnak felel meg: a koordinátának az \(x\) tengely mentén és a koordinátának az \(y\) tengely mentén. Mik ezek a koordinátaszámok? És egyáltalán, mi közük van a szóban forgó témához? Ehhez emlékeznünk kell a figyelembe vett derékszögű háromszögre. A fenti ábrán két teljes derékszögű háromszög látható. Tekintsük az \(ACG\) háromszöget. Téglalap alakú, mert a \(CG\) merőleges az \(x\) tengelyre.

Mi a \(\cos \ \alpha \) az \(ACG \) háromszögből? Úgy van \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ezen kívül tudjuk, hogy \(AC\) az egységkör sugara, ami azt jelenti, hogy \(AC=1\) . Helyettesítsük be ezt az értéket a koszinusz képletébe. Íme, mi történik:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Mivel egyenlő a \(\sin \ \alpha \) az \(ACG \) háromszögből? Hát persze, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Helyettesítse be a sugár értékét \(AC\) ebbe a képletbe, és kapja meg:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Tehát meg tudod mondani, hogy milyen koordinátái vannak a körhöz tartozó \(C\) pontnak? Nos, dehogy? Mi van, ha rájössz, hogy a \(\cos \ \alpha \) és a \(\sin \alpha \) csak számok? Milyen koordinátának felel meg a \(\cos \alpha \)? Hát persze, a koordináta \(x\)! És milyen koordinátának felel meg a \(\sin \alpha \)? Így van, koordinálja \(y\)! Szóval a lényeg \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Mi akkor \(tg \alpha \) és \(ctg \alpha \) egyenlő? Így van, használjuk az érintő és a kotangens megfelelő definícióit, és kapjuk meg \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Mi van, ha a szög nagyobb? Például, mint ezen a képen:

Mi változott ebben a példában? Találjuk ki. Ehhez forduljunk ismét egy derékszögű háromszöghöz. Tekintsünk egy derékszögű háromszöget \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : szög (a \(\beta \) szög szomszédságában). Mennyi a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke egy szögre \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Így van, ragaszkodunk a trigonometrikus függvények megfelelő definícióihoz:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(tömb) \)

Nos, mint látható, a szög szinuszának értéke továbbra is megfelel a \(y\) koordinátának; a szög koszinuszának értéke – koordináta \(x\) ; valamint az érintő és a kotangens értékei a megfelelő arányokhoz. Így ezek az összefüggések a sugárvektor bármely elforgatására vonatkoznak.

Már említettük, hogy a sugárvektor kezdeti helyzete a \(x\) tengely pozitív iránya mentén van. Eddig ezt a vektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgattuk, de mi történik, ha az óramutató járásával megegyező irányba forgatjuk? Semmi rendkívüli, egy bizonyos értékű szöget is kapsz, de csak az lesz negatív. Így a sugárvektort az óramutató járásával ellentétes irányba forgatva azt kapjuk pozitív szögek, és az óramutató járásával megegyező irányba forgatva – negatív.

Tehát tudjuk, hogy a sugárvektor kör körüli teljes fordulata \(360()^\circ \) vagy \(2\pi \) . Elforgatható a sugárvektor \(390()^\circ \) vagy \(-1140()^\circ \) értékkel? Hát persze, hogy lehet! Az első esetben \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), így a sugárvektor egy teljes fordulatot tesz, és megáll a \(30()^\circ \) vagy \(\dfrac(\pi )(6) \) pozícióban.

A második esetben \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), azaz a sugárvektor három teljes fordulatot tesz, és megáll a \(-60()^\circ \) vagy \(-\dfrac(\pi )(3) \) pozícióban.

Így a fenti példákból arra a következtetésre juthatunk, hogy azok a szögek, amelyek \(360()^\circ \cdot m \) vagy \(2\pi \cdot m \) különböznek egymástól (ahol \(m \) bármely egész szám ), megfelelnek a sugárvektor azonos pozíciójának.

Az alábbi ábra a \(\beta =-60()^\circ \) szöget mutatja. Ugyanez a kép a saroknak felel meg \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) stb. Ez a lista a végtelenségig folytatható. Mindezek a szögek felírhatók az általános képlettel \(\beta +360()^\circ \cdot m\) vagy \(\beta +2\pi \cdot m \) (ahol \(m \) bármely egész szám)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(tömb) \)

Most az alapvető trigonometrikus függvények definícióinak ismeretében és az egységkör használatával próbálja meg megválaszolni, hogy mik az értékek:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(tömb) \)

Íme egy egységkör, amely segít Önnek:

Nehézségei vannak? Akkor találjuk ki. Tehát tudjuk, hogy:

\(\begin(tömb)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(tömb)\)

Innen határozzuk meg az egyes szögmértékeknek megfelelő pontok koordinátáit. Nos, kezdjük sorban: a sarok be \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) egy \(\left(0;1 \right) \) koordinátájú pontnak felel meg, ezért:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Jobbra \text(tg)\ 90()^\circ \)- nem létezik;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Továbbá, ugyanazt a logikát követve, azt találjuk, hogy a sarkok be \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) koordinátákkal rendelkező pontoknak felel meg \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \jobbra) \), ill. Ennek ismeretében könnyű meghatározni a trigonometrikus függvények értékeit a megfelelő pontokban. Először próbálja ki saját maga, majd ellenőrizze a válaszokat.

Válaszok:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Jobbra \text(ctg)\ \pi \)- nem létezik

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Jobbra \text(tg)\ 270()^\circ \)- nem létezik

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Jobbra \text(ctg)\ 2\pi \)- nem létezik

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Jobbra \text(tg)\ 450()^\circ \)- nem létezik

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Így elkészíthetjük a következő táblázatot:

Nem szükséges mindezekre az értékekre emlékezni. Elég megjegyezni az egységkör pontjainak koordinátái és a trigonometrikus függvények értékei közötti megfelelést:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Meg kell emlékezned, vagy meg kell tudni jeleníteni!! \) !}

De a és a szögek trigonometrikus függvényeinek értékei \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) az alábbi táblázatban megadottak szerint emlékeznie kell:

Ne ijedjen meg, most mutatunk egy példát a megfelelő értékek meglehetősen egyszerű memorizálására:

A módszer használatához létfontosságú, hogy emlékezzen mindhárom szögmérték szinuszértékére ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), valamint a szög érintőjének értéke \(30()^\circ \) -ben. Ezen \(4\) értékek ismeretében meglehetősen egyszerű a teljes táblázat visszaállítása - a koszinuszértékek átvitele a nyilak szerint történik, azaz:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(tömb) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ennek ismeretében visszaállíthatja az értékeket \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). A "\(1 \)" számláló a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a "\(\sqrt(\text(3)) \)" nevező pedig \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . A kotangens értékek átvitele az ábrán látható nyilak szerint történik. Ha megérti ezt, és emlékszik a diagramra a nyilakkal, akkor elegendő, ha csak \(4\) értéket emlékezik a táblázatból.

Egy kör pontjának koordinátái

Meg lehet-e találni egy pontot (koordinátáit) a körön, ismerve a kör középpontjának koordinátáit, sugarát és elforgatási szögét? Hát persze, hogy lehet! Vezessünk le egy általános képletet egy pont koordinátáinak megkeresésére. Például itt van előttünk egy kör:

Megkaptuk ezt a pontot \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- a kör középpontja. A kör sugara \(1,5\) . Meg kell találni a \(P\) pont koordinátáit, amelyeket a \(O\) pont \(\delta \) fokkal történő elforgatásával kapunk.

Amint az ábrán látható, a \(P\) pont \(x\) koordinátája megfelel a \(TP=UQ=UK+KQ\) szakasz hosszának. A \(UK\) szakasz hossza megfelel a kör középpontjának \(x\) koordinátájának, azaz egyenlő \(3\) . A \(KQ\) szakasz hossza a koszinusz definíciójával fejezhető ki:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Ekkor megkapjuk a \(P\) pont koordinátáját \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Ugyanezt a logikát alkalmazva megtaláljuk a \(P\) pont y koordinátájának értékét. És így,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Tehát általában a pontok koordinátáit a képletek határozzák meg:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tömb) \), Ahol

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - a kör középpontjának koordinátái,

\(r\) - a kör sugara,

\(\delta \) - a vektor sugarának elforgatási szöge.

Mint látható, az általunk vizsgált egységkör esetében ezek a képletek jelentősen lecsökkennek, mivel a középpont koordinátái egyenlőek nullával, a sugár pedig eggyel:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

A Javascript le van tiltva a böngészőjében.
A számítások elvégzéséhez engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!

Utasítás

1. módszer. A Pitagorasz-tétel felhasználása. A tétel kimondja: a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Ebből következik, hogy egy derékszögű háromszög bármelyik oldala kiszámítható a másik két oldalának ismeretében (2. ábra).

2. módszer. Abból a tényből következik, hogy a felől a hipotenuszig húzott medián 3 hasonló háromszöget alkot egymás között (3. ábra). Ezen az ábrán az ABC, BCD és ACD háromszögek hasonlóak.

6. példa: Mértékegységkörök használata koordináták keresésére

Először megkeressük az adott szögnek megfelelő referenciaszöget. Ezután vesszük a referenciaszög szinusz- és koszinuszértékeit, és adjuk nekik a kvadráns y- és x-értékeinek megfelelő előjeleket. Ezután megkeressük az adott szög koszinuszát és szinuszát.

Szitaszög, szögháromszög és kockagyök

Az iránytűvel és vonalzóval megszerkeszthető sokszögek közé tartoznak.

Megjegyzés: a szitaszöget nem lehet körzővel és vonalzóval kialakítani. Ha egy kocka oldalhosszát megszorozzuk 2 kockagyökével, akkor egy kétszeres térfogatú kocka oldalhosszát kapjuk. Évariste Galois francia matematikus úttörő elméletét felhasználva kimutatható, hogy mindhárom klasszikus probléma esetén a körrel és vonalzóval való konstrukció lehetetlen.

A hipotenusz egy derékszögű háromszögnek az az oldala, amely a 90 fokos szöggel szemben van. A hosszának kiszámításához elegendő ismerni az egyik láb hosszát és a háromszög egyik hegyesszögének méretét.

Figyelem: Három részből álló szög- és kockagyökér-konstrukció nem lehetséges körzővel és vonalzóval.

Másrészt egy harmadfokú egyenlet megoldása Cardano képletével ábrázolható a szög és a kockagyök elosztásával. A jövőben körrel és vonalzóval alkotunk valamilyen szöget. Ha azonban a szöget háromszögbe zártuk, és meghatároztuk a kockagyököt, a szita négyzetes kialakítása elvégezhető egy iránytű és vonalzó segítségével.

Egy rácsos fedélzet építése ezen számítás szerint

A konstrukciós probléma algebrai megfogalmazása egy egyenlethez vezet, amelynek szerkezeti elemzése további információkat ad a hármas szerkezet felépítéséről. Itt egy szögnek a koszinuszához való egy-egy kapcsolatát használjuk: ha a szög nagysága ismert, akkor a szög koszinuszának hossza egyedileg ábrázolható az egységkörön és fordítva.

Utasítás

Adott egy ismert szár és egy derékszögű háromszög hegyesszöge, a befogó mérete megegyezik a szár és ennek a szögnek a koszinuszának/szinuszának arányával, ha ez a szög vele ellentétes/szomszédos:

h = C1(vagy C2)/sina;

h = C1 (vagy C2)/cosα.

Példa: Legyen adott egy ABC derékszögű háromszög, melynek szöge B és legyen 60 fok, A szög pedig 30 fok. Meg kell találnunk az AB hipotenusz hosszát. Ehhez használhatja a fent javasolt módszerek bármelyikét:

Ez az egy-egy feladat lehetővé teszi, hogy a szög meghatározásáról a szög koszinuszának meghatározására lépjen. A továbbiakban a 3φ a felosztandó szöget jelöli. Így φ egy szög, melynek értékét adott 3 φ-nél kell meghatározni. Kezdve a trigonometriából ismert összefüggésekkel.

Adott 3 φ szögben következik. A háromdimenziós egyenlet megoldhatóságának algebrai mérlegelése közvetlenül elvezet a megoldások megalkotásának lehetőségéhez, és ebből következően egy adott szög konstruktív hármasszögének lehetőségéhez vagy lehetetlenségéhez.

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

A hipotenusz egy derékszögű háromszög oldala, amely a derékszöggel szemben helyezkedik el. Ez a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Kiszámítható a Pitagorasz-tétellel vagy a trigonometrikus függvények képleteivel.

A kilépési szög nagysága nagyban befolyásolja a harmadik szög összekapcsolásának lehetőségét, hiszen ez abszolút tagként döntően meghatározza a megoldások típusát a háromdimenziós egyenletben. Ha egy háromszögelési egyenletnek van legalább egy valós megoldása, amelyet racionális műveletekkel vagy négyzetgyökök meghúzásával kaphatunk egy adott kezdőszögre, akkor ez a megoldás konstruktív.

Breidenbach kritériumként fogalmazta meg, hogy a három másodperces szög csak háromrészes egyenlet racionális megoldásában értelmezhető. Ha ilyen megoldás nem áll rendelkezésre, akkor a három részből álló tervezési probléma összeegyeztethetetlen az iránytűvel és a vonalzóval. A klaszteranalízis egy általános technika kis csoportok összeállítására nagy adatkészletből. A diszkriminanciaanalízishez hasonlóan a klaszteranalízist is használják a megfigyelések csoportokba sorolására. Másrészt a diszkriminatív elemzés megköveteli a csoporttagságok ismeretét azokban az esetekben, amikor az osztályozási szabályt levezetjük.

Utasítás

A derékszögű háromszög azon oldalait, amelyek egy derékszöggel szomszédosak, lábaknak nevezzük. Az ábrán a lábak jelölése AB és BC. Legyen megadva mindkét láb hossza. Jelöljük őket |AB|-ként és |BC|. Az |AC| hipotenusz hosszának meghatározásához a Pitagorasz-tételt használjuk. E tétel szerint a lábak négyzeteinek összege egyenlő a befogó négyzetével, azaz. ábránk jelölésében |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. A képletből azt találjuk, hogy az AC hipotenusz hosszát |AC|-ként találjuk = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

A klaszterelemzés primitívebb módszer, mivel nem tesz feltételezéseket a csoportok számáról vagy a csoporttagságról. Osztályozás A klaszteranalízis módot ad a lehetséges kapcsolatok feltárására és szisztematikus struktúra létrehozására számos változóban és megfigyelésben. A hierarchikus klaszteranalízis alapvető statisztikai módszer, amellyel mért jellemzők alapján viszonylag homogén esetcsoportokat találhatunk. Minden eset külön fürtként kezdődik.

A klasztereket ezután egymás után egyesítik, a klaszterek száma minden lépéssel csökken, amíg csak egy klaszter marad. A fürtözési módszer az objektumok közötti különbségeket használja fürtök létrehozásához. A hierarchikus klaszteranalízis a legalkalmasabb kis mintákhoz.

Nézzünk egy példát. Legyen a lábak hossza |AB| = 13, |BC| = 21. A Pitagorasz-tétellel azt találjuk, hogy |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. A hipotenusz hosszának meghatározásához ki kell vonni a befogó négyzetgyökét. a lábak négyzeteinek összege, azaz. 610. számtól: |AC| = √610. Az egész számok négyzettáblázatából kiderül, hogy a 610-es szám nem tökéletes négyzete egyetlen egész számnak sem. Ahhoz, hogy megkapjuk a befogó hosszának végső értékét, próbáljuk meg eltávolítani a teljes négyzetet a gyökjel alól. Ehhez adjuk meg a 610-es számot. 610 = 2 * 5 * 61. A prímszámok táblázatát felhasználva látjuk, hogy a 61 egy prímszám. Ezért a √610 szám további csökkentése lehetetlen. Megkapjuk a végső választ |AC| = √610.
Ha a befogó négyzete például 675, akkor √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ha lehetséges ilyen csökkentés, hajtson végre fordított ellenőrzést – négyzet alakú legyen az eredmény, és hasonlítsa össze az eredeti értékkel.

A hierarchikus klaszteranalízis csak egy módja annak, hogy megfigyeljük a homogén változócsoportok kialakulását. Nincs konkrét módszer a fürtök számának beállítására az elemzéshez. Előfordulhat, hogy meg kell néznie a dendrogramot, valamint a klaszterek jellemzőit, majd lépésről lépésre módosítania kell a számot, hogy jó klasztermegoldást kapjon.

Ha a változókat különböző skálákon mérik, háromféleképpen standardizálhatja a változókat. Ennek eredményeként az összes változó megközelítőleg egyenlő arányban járul hozzá a távolságméréshez, még akkor is, ha a változók szórásával kapcsolatos információ elveszhet.

Ismertesse velünk az egyik lábat és a vele szomszédos szöget. Hogy pontosak legyünk, legyen ezek az |AB| oldal és α szög. Ekkor használhatjuk a trigonometrikus függvény koszinusz képletét - egy szög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával. Azok. jelölésünkben cos α = |AB| / |AC|. Ebből megkapjuk a hipotenusz |AC| hosszát = |AB| / cos α.
Ha ismerjük az oldalt |BC| és α szöget, akkor a képlet segítségével számítjuk ki a szög szinuszát - a szög szinusza megegyezik a szemközti szár és a hipotenúzus arányával: sin α = |BC| / |AC|. Azt találtuk, hogy a hipotenusz hossza |AC| = |BC| / cos α.

Euklideszi távolság: Az euklideszi távolság a leggyakoribb mérési módszer. Négyzetes euklideszi távolság: A négyzetes euklideszi távolság az egymástól távolabb lévő tárgyakra összpontosítja a figyelmet. Várostömb távolság: Mind a várostömb, mind az euklideszi távolság a Minkowski-metrika speciális esetei. Míg az euklideszi távolság a két pont közötti legrövidebb út hosszának felel meg, a várostömb távolsága az egyes dimenziók mentén lévő távolságok összege. Pearson korrelációs távolság Az 1 és a két megfigyelés koszinusz együtthatója közötti különbség A koszinusz együttható a két vektor közötti szög koszinusza. Jaccard-távolság Az 1 és a Jaccard-együttható különbsége két megfigyelés esetén Bináris adatok esetén a Jaccard-együttható az átfedés mértékének és a két megfigyelés összegének az aránya. Nearest Neighbor (Legközelebbi szomszéd) Ez a módszer feltételezi, hogy a két klaszter közötti távolság megfelel a legközelebbi szomszédban lévő objektumok közötti távolságnak. Legjobb szomszéd Ebben a módszerben a két klaszter közötti távolság a különböző klaszterekben lévő két objektum közötti maximális távolságnak felel meg. Csoportátlag: Ezzel a módszerrel a két klaszter közötti távolság megfelel a különböző klaszterekben lévő összes objektumpár közötti átlagos távolságnak. Ez a módszer általában ajánlott, mivel nagyobb mennyiségű információt tartalmaz. Medián Ez a módszer megegyezik a centroid módszerrel, kivéve, hogy súlyozatlan. Ezután minden esetben kiszámítjuk a klaszter átlagától mért kvadratikus euklideszi távolságot. Azt a klasztert kell összevonni, amely legalább növeli az összeget. Vagyis ez a módszer minimálisra csökkenti a klasztereken belüli távolságok négyzetösszegének növekedését. Ez a módszer kisebb klasztereket hoz létre.

• Ez egy geometriai távolság többdimenziós térben.
• Csak folytonos változókhoz alkalmas.
• Koszinusz távolság Két értékvektor közötti szög koszinusza.
• Ez a módszer a kézzel rajzolt fürtök rajzolásakor javasolt.
• Ha a megrajzolt klaszterek egyedi "csomókat" alkotnak, a módszer megfelelő.
• Egy klaszter súlypontja a többdimenziós tér felezőpontja.
• Nem szabad használni, ha a fürt mérete jelentősen eltér.
• A Ward Means minden változóra kiszámításra kerül minden klaszterre.
• Ezeket a távolságokat minden esetben összegzik.

Az ötlet az, hogy minimalizáljuk az adatok és a megfelelő klasztercsoport közötti távolságot.

Az érthetőség kedvéért nézzünk egy példát. Legyen megadva a láb hossza |AB|. = 15. És α szög = 60°. Kapunk |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Nézzük meg, hogyan ellenőrizheti az eredményt a Pitagorasz-tétel segítségével. Ehhez ki kell számítanunk a második szakasz hosszát |BC|. A tan α = |BC| szög tangensének képletével / |AC|, megkapjuk a |BC|-t = |AB| * barn α = 15 * cser 60° = 15 * √3. Ezután alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Ellenőrzés kész.

A szinuszfüggvényt a szinusz fogalmából definiáljuk, mivel a szöget mindig radiánban kell kifejezni. A szinuszfüggvény több jellemzőjét is megfigyelhetjük.

• Az Ön domainje az összes valódit tartalmazza.
• Ebben az esetben a függvényt periodikusnak mondjuk, 2π periódussal.

A koszinuszfüggvényt a koszinusz fogalmából definiáljuk, mivel a szöget mindig radiánban kell kifejezni.

A koszinuszfüggvény több jellemzőjét is megfigyelhetjük. Tehát ez egy 2π periodikus periódus. . A korlátozás nem szünteti meg a képlet általánosságát, mert a második, harmadik és negyedik kvadráns szögeit mindig csökkenthetjük az elsőre. Gyakorlat. - Számolja ki a 15º szinuszát számológép használata nélkül.

A hipotenúza kiszámítása után ellenőrizze, hogy a kapott érték kielégíti-e a Pitagorasz-tételt.

Források:

• Prímszámok táblázata 1-től 10000-ig

Lábak egy derékszögű háromszög két rövid oldala, amelyek a 90°-os csúcsot alkotják. Az ilyen háromszög harmadik oldalát hipotenusznak nevezzük. A háromszög ezen oldalai és szögei bizonyos összefüggésekkel kapcsolódnak egymáshoz, amelyek lehetővé teszik a láb hosszának kiszámítását, ha számos egyéb paraméter ismert.

Két szög összegének koszinusza

Két szög különbségének koszinusza

A képlet megszerzéséhez ugyanúgy járhatunk el, mint az előző részben, de látni fogunk még egy nagyon egyszerű, a Pitagorasz-tételen alapuló demonstrációt. A jel egyszerűsítése és megváltoztatása megvan. Két szög érintőösszege és különbsége.

Gyakorlat. A mai cikkben egy nagyon specifikus részhalmazt fogunk megvizsgálni: a trigonometrikus függvényeket. Ahhoz, hogy élvezzük mindazt, amit a matematika kínál, importálnunk kell. A következő cikkben további importstílusokat fogunk látni, mindegyiknek megvannak a maga előnyei és hátrányai. Ezzel az egyszerű utasítással azonban már hozzáférhet a matematikai modul teljes névteréhez, amely tele van több tucat funkcióval, beleértve azokat is, amelyekkel ma foglalkozunk.

Utasítás

Használja a Pitagorasz-tételt az (A) láb hosszának kiszámításához, ha egy derékszögű háromszög másik két oldalának (B és C) hossza ismert. Ez a tétel kimondja, hogy a lábak négyzetes hosszának összege egyenlő a befogó négyzetével. Ebből az következik, hogy az egyes szárak hossza egyenlő a befogó és a második láb hosszának négyzetei közötti különbség négyzetgyökével: A=√(C²-B²).

Alapvetően egy szög szinuszát, koszinuszát és tangensét, valamint inverz függvényeit kell kiszámítanunk. Emellett szeretnénk radiánban és fokban is dolgozni, hogy a megfelelő konverziós függvényeket is tudjuk használni.

Ne feledje, hogy ezek a függvények azt várják, hogy az argumentumot radiánban, nem pedig fokban adják meg. Ebből a célból érdekelni fogja, hogy rendelkezik-e a következő állandóval. Tehát ezt a kifejezést használhatjuk numerikus érték helyett.

A koszekánsnak, szekánsnak és kotangensnek nincs közvetlen függvénye, mivel ez nem szükséges, mivel ezek egyszerűen a szinusz, koszinusz és érintő inverzei. Mint korábban, a visszaadott szög is radiánban van megadva. A matematika egy másik hasznos funkciója lehetővé teszi, hogy megtudjuk egy derékszögű háromszög befogójának értékét a lábai mellett, ami lehetővé teszi, hogy kiszámítsuk a négyzetösszeg négyzetgyökét.

Használja a „szinusz” direkt trigonometrikus függvény definícióját hegyesszögre, ha ismert a kiszámítandó szárral szemközti szög (α) nagysága és a hipotenusz (C) hossza. Ez a definíció kimondja, hogy ennek az ismert szögnek a szinusza egyenlő a kívánt láb hosszának és a hipotenuzus hosszának arányával. Ez azt jelenti, hogy a kívánt láb hossza megegyezik a hipotenusz hosszának és az ismert szög szinuszának szorzatával: A=C∗sin(α). Ugyanezen ismert mennyiségeknél használhatja a koszekáns függvény definícióját is, és úgy számíthatja ki a szükséges hosszt, hogy a hipotenúza hosszát elosztja az ismert A=C/cosec(α) szög koszekánsával.

Használja a direkt trigonometrikus koszinuszfüggvény definícióját, ha a hipotenusz hosszán (C) kívül a kívánt szárral szomszédos hegyesszög (β) nagysága is ismert. Ennek a szögnek a koszinuszát a kívánt láb és a befogó hosszának arányaként határozzuk meg, és ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a láb hossza egyenlő a befogó hosszának és az ismert koszinuszának szorzatával. szög: A=C∗cos(β). Használhatja a szekáns függvény definícióját, és úgy számíthatja ki a kívánt értéket, hogy a befogó hosszát elosztja az ismert A=C/sec(β) szög szekánsával.

Hasonló definícióból származtassa a szükséges képletet a trigonometrikus függvény érintőjének deriváltjára, ha a kívánt szárral (A) szemben fekvő hegyesszög (α) értéke mellett ismert a második láb (B) hossza. . A kívánt szárral ellentétes szög érintője ennek a lábnak a hosszának és a második láb hosszának az aránya. Ez azt jelenti, hogy a kívánt érték egyenlő lesz az ismert láb hosszának és az ismert szög érintőjének szorzatával: A=B∗tg(α). Ugyanezen ismert mennyiségekből egy másik képlet is levezethető, ha a kotangens függvény definícióját használjuk. Ebben az esetben a láb hosszának kiszámításához meg kell találni az ismert szár hosszának az ismert szög kotangenséhez viszonyított arányát: A=B/ctg(α).

Videó a témáról

A „kathet” szó a görögből jött az orosz nyelvbe. Pontos fordításban függővonalat jelent, vagyis merőleges a föld felszínére. A matematikában a lábak azok az oldalak, amelyek egy derékszögű háromszög derékszögét alkotják. Az ezzel a szöggel ellentétes oldalt hipotenusznak nevezzük. A „katét” kifejezést az építészetben és a hegesztéstechnikában is használják.

Rajzolj egy derékszögű háromszöget DIA. Jelölje a lábait a-val és b-vel, a befogóját pedig c-vel. A derékszögű háromszög minden oldalát és szögét bizonyos kapcsolatok kapcsolják össze. Az egyik hegyesszöggel szemközti láb és a hipotenusz arányát e szög szinuszának nevezzük. Ebben a háromszögben sinCAB=a/c. A koszinusz a szomszédos láb hipotenuszához viszonyított arány, azaz cosCAB=b/c. Az inverz összefüggéseket szekánsnak és koszekánsnak nevezzük.

Ennek a szögnek a szekánsát úgy kapjuk meg, hogy a hipotenuzust elosztjuk a szomszédos szárral, azaz secCAB = c/b. Az eredmény a koszinusz reciproka, azaz a secCAB=1/cosSAB képlettel fejezhető ki.
A koszekáns egyenlő a hipotenusz hányadosával, osztva a szemközti oldallal, és a szinusz reciproka. Kiszámítható a cosecCAB=1/sinCAB képlettel

Mindkét lábat érintő és kotangens köti össze. Ebben az esetben az érintő az a oldal és a b oldal aránya, vagyis a szomszédos oldallal ellentétes oldal. Ez az összefüggés a tgCAB=a/b képlettel fejezhető ki. Ennek megfelelően az inverz arány a kotangens lesz: ctgCAB=b/a.

A hipotenusz mérete és a két láb közötti összefüggést az ókori görög matematikus, Pythagoras határozta meg. Az emberek ma is használják a róla elnevezett tételt. Azt mondja, hogy a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével, azaz c2 = a2 + b2. Ennek megfelelően mindegyik láb egyenlő lesz az alsó és a másik láb négyzetei közötti különbség négyzetgyökével. Ez a képlet a következőképpen írható fel: b=√(c2-a2).

A láb hossza az általad ismert kapcsolatokon keresztül is kifejezhető. A szinuszok és koszinuszok tételei szerint egy láb egyenlő a hipotenusz és ezen függvények egyikének szorzatával. Kifejezhető érintővel vagy kotangenssel is. Az a láb például az a = b*tan CAB képlettel kereshető meg. Pontosan ugyanígy, az adott érintőtől vagy kotangenstől függően határozzuk meg a második szakaszt.

A "katét" kifejezést az építészetben is használják. Jón tőkére alkalmazzák, és a háta közepén áthaladó függővonalat jelöl. Vagyis ebben az esetben ez a kifejezés egy adott egyenesre merőlegest jelöl.

A hegesztési technológiában létezik a „filéhegesztési láb” fogalma. Mint más esetekben, ez a legrövidebb távolság. Itt az egyik alkatrész közötti résről beszélünk, amelyet a másik alkatrész felületén lévő varrat határához hegesztenek.

Videó a témáról

Források:

• mi a láb és a hypotenusa?

Videó a témáról

jegyzet

A derékszögű háromszög oldalainak kiszámításakor a jellemzőinek ismerete szerepet játszhat:
1) Ha a derékszög szára 30 fokos szöggel szemben helyezkedik el, akkor egyenlő a befogó felével;
2) A hypotenus mindig hosszabb, mint bármelyik láb;
3) Ha egy kör egy derékszögű háromszög körül van körülírva, akkor a középpontja a befogó közepén kell, hogy legyen.

Ahol a derékszögű háromszög megoldásával kapcsolatos problémákat vették figyelembe, megígértem, hogy bemutatok egy technikát a szinusz és koszinusz definícióinak memorizálására. Használatával mindig gyorsan emlékezni fog, hogy melyik oldal tartozik a hypotenushoz (szomszédos vagy ellentétes). Úgy döntöttem, hogy nem teszem ki, lent a szükséges anyag, kérlek olvasd el 😉

A tény az, hogy többször is megfigyeltem, hogy a 10-11. osztályos tanulók nehezen emlékeznek ezekre a meghatározásokra. Tökéletesen emlékeznek arra, hogy a láb a hypotenusára utal, de elfelejtik, hogy melyik és zavaros. A hiba ára, amint azt egy vizsgán tudja, elveszett pont.

Az általam közvetlenül bemutatott információknak semmi közük a matematikához. Összefügg a figuratív gondolkodással és a verbális-logikai kommunikáció módszereivel. Pontosan így emlékszem rá, egyszer s mindenkorra definíciós adatok. Ha elfelejti őket, mindig könnyen emlékezhet rájuk a bemutatott technikák segítségével.

Hadd emlékeztesselek a szinusz és a koszinusz definícióira egy derékszögű háromszögben:

Koszinusz A derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos láb és a hipotenusz aránya:

Sinus A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti oldal és a hipotenusz aránya:

Szóval, milyen asszociációid vannak a koszinusz szóval?

Valószínűleg mindenkinek megvan a sajátja 😉 Emlékezz a linkre:

Így a kifejezés azonnal megjelenik a memóriájában -

«… a SZOMSZÉD láb és a hypotenus aránya».

A koszinusz meghatározásával kapcsolatos probléma megoldódott.

Ha emlékeznie kell a szinusz definíciójára egy derékszögű háromszögben, akkor a koszinusz definíciójára emlékezve könnyen megállapíthatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti oldal és a hipotenusz aránya. Hiszen csak két láb van, ha a szomszédos szárat „foglalja” a koszinusz, akkor csak az ellenkező szár marad a szinusznál.

Mi a helyzet az érintővel és a kotangenssel? A zűrzavar ugyanaz. A tanulók tudják, hogy ez a lábak kapcsolata, de a probléma az, hogy emlékezzenek, melyik melyikre vonatkozik - vagy a szomszédos ellentéte, vagy fordítva.

Definíciók:

Tangens A derékszögű háromszög hegyesszöge a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya:

Kotangens A derékszögű háromszög hegyesszöge a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya:

Hogyan emlékezzünk? Két módja van. Az egyik szintén verbális-logikai kapcsolatot, a másik matematikai kapcsolatot használ.

MATEMATIKAI MÓDSZER

Van egy ilyen meghatározás - egy hegyesszög érintője a szög szinuszának és koszinuszának aránya:

*A képlet memorizálása után mindig meghatározhatja, hogy egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya.

Hasonlóképpen. Egy hegyesszög kotangense a szög koszinuszának és szinuszának aránya:

Így! Ha emlékszik ezekre a képletekre, mindig megállapíthatja, hogy:

A derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya

Egy derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos oldal és a szemközti oldal aránya.

SZÓLOGIKAI MÓDSZER

Az érintőről. Emlékezz a linkre:

Vagyis ha emlékeznie kell az érintő definíciójára, ezzel a logikai kapcsolattal könnyen megjegyezheti, mi az

"... az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya"

Ha kotangensről beszélünk, akkor az érintő definíciójára emlékezve könnyen hangozhatja a kotangens meghatározását -

"... a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya"

Van egy érdekes trükk a tangens és a kotangens emlékezésére a weboldalon " Matematikai tandem " , néz.

UNIVERZÁLIS MÓDSZER

Csak meg tudod jegyezni. De amint azt a gyakorlat mutatja, a verbális-logikai kapcsolatoknak köszönhetően az ember hosszú ideig emlékszik az információkra, és nem csak a matematikaira.

Remélem, hogy az anyag hasznos volt az Ön számára.

Üdvözlettel: Alexander Krutitskikh

P.S: Hálás lennék, ha mesélne az oldalról a közösségi oldalakon.

A trigonometria a matematikai tudomány egyik ága, amely a trigonometrikus függvényeket és azok geometriában való felhasználását vizsgálja. A trigonometria fejlődése az ókori Görögországban kezdődött. A középkor során a Közel-Kelet és India tudósai jelentősen hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk a trigonometria alapvető fogalmaival és definícióival foglalkozik. Az alapvető trigonometrikus függvények definícióit tárgyalja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometria kontextusában magyarázzuk és szemléltetjük.

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányában fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

Egy szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes szár és az alsó rész aránya.

A szög koszinusza (cos α) a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.

Szög érintő (t g α) - az ellenkező oldal és a szomszédos oldal aránya.

Szög kotangens (c t g α) - a szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya.

Ezek a meghatározások a derékszögű háromszög hegyesszögére vonatkoznak!

Adjunk egy illusztrációt.

A C derékszögű ABC háromszögben az A szög szinusza megegyezik a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékeinek kiszámítását a háromszög oldalainak ismert hosszából.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értéktartománya -1 és 1 között van. Más szóval a szinusz és a koszinusz értéke -1 és 1 között van. Az érintő és a kotangens értéktartománya a teljes számegyenes, vagyis ezek a függvények bármilyen értéket felvehetnek.

A fent megadott definíciók hegyesszögekre vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik az elforgatási szög fogalmát, amelynek értéke a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik 0 és 90 fok között.

Ebben az összefüggésben definiálhatunk tetszőleges nagyságú szög szinuszát, koszinuszát, érintőjét és kotangensét. Képzeljünk el egy egységkört, amelynek középpontja a derékszögű koordinátarendszer origójában van.

Az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont az egységkör középpontja körül egy bizonyos α szögben elfordul, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáiban adjuk meg.

A forgási szög szinusza (sin).

Az α elforgatási szög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sin α = y

Az elforgatási szög koszinusza (cos).

Az α elforgatási szög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcissza. cos α = x

Az elforgatási szög érintője (tg).

Az α elforgatási szög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

Az elforgatási szög kotangense (ctg).

Az α elforgatási szög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszájának az ordinátájához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely elforgatási szöghez definiálva van. Ez logikus, mert egy pont abszcissza és ordinátája elforgatás után tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő definiálatlan, ha egy pont az elforgatás után egy nulla abszcissza (0, 1) és (0, - 1) pontba kerül. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva olyan esetekben, amikor egy pont ordinátája nullára megy.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz minden α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Gyakorlati példák megoldásánál ne mondjuk, hogy „az α forgásszög szinusza”. A „forgásszög” szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből már világos, hogy miről van szó.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy olyan szám, amely egyenlő a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens in t radián.

Például a 10 π szám szinusza egyenlő a 10 π rad elforgatási szög szinuszával.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Nézzük meg közelebbről.

Bármilyen valós szám t az egységkör egy pontja a derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójának középpontjához kapcsolódik. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül határozható meg.

A kör kezdőpontja az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

Pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kiindulási pont megy, ha a kört az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, és áthalad a t úton.

Most, hogy létrejött a kapcsolat egy szám és egy kör pontja között, továbblépünk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciójára.

Sine (sin) a t

Egy szám szinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

t koszinusza (cos).

Egy szám koszinusza t- a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszán t. cos t = x

t érintője (tg).

Egy szám érintője t- a számnak megfelelő egységkör egy pontjának ordinátájának és abszcisszájának aránya t. t g t = y x = sin t cos t

A legújabb meghatározások összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. Mutasson a számnak megfelelő körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kiindulási pont egy szögnyi elfordulás után megy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értéke ennek a szögnek a szinuszának és koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg. Csakúgy, mint minden α szög, kivéve α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) egy bizonyos érintőértéknek felel meg. A kotangens a fentiek szerint minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α, cos α, t g α, c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós szám t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg t. A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám érintőértéknek felel meg. A kotangens ehhez hasonlóan minden számra definiálva van, kivéve π · k, k ∈ Z.

A trigonometria alapfunkciói

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens az alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy a trigonometrikus függvény melyik argumentumával (szögargumentumával vagy numerikus argumentumával) van dolgunk.

Térjünk vissza a legelején megadott definíciókhoz és az alfa szöghez, amely 0 és 90 fok között van. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus meghatározásai teljes mértékben összhangban vannak a derékszögű háromszög oldalarányai által adott geometriai definíciókkal. Mutassuk meg.

Vegyünk egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy középpontos egységkört. Forgassuk el az A (1, 0) kezdőpontot legfeljebb 90 fokos szöggel, és a kapott A 1 (x, y) pontból húzzunk merőlegest az abszcissza tengelyére. Az így kapott derékszögű háromszögben az A 1 O H szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az O H szár hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont abszcisszán. A szöggel szemközti láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti oldal és a hipotenúzus arányával.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ez azt jelenti, hogy egy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának a képarányon keresztül történő meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa 0 és 90 fok közötti tartományban van.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelése a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete