Belépő szint

Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Miért van szükség diplomára? Hol lesz rájuk szüksége? Miért érdemes időt szánni ezek tanulmányozására?

Hogy mindent megtudjon a diplomákról, mire valók, hogyan hasznosíthatja tudását mindennapi élet olvassa el ezt a cikket.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz sikeres befejezése OGE vagy egységes államvizsga és felvétel álmai egyetemére.

Gyerünk... (Menjünk!)

Fontos megjegyzés! Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a Cmd+R (Mac rendszeren) billentyűkombinációt.

BEVEZETŐ SZINT

A hatalomra emelés ugyanaz matematikai művelet mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent elmagyarázok emberi nyelv nagyon egyszerű példák. Legyen óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben észrevették, hogy mind a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyen okos számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent ez? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeld négyzet alakú medence méterről méterre méretű. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó részét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha 1 méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempéket? A csempe nagy valószínűséggel cm-es lesz, és akkor megkínozzák az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent ez? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy azt is mondhatjuk, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. Számuk kiszámításához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolc négyzetet írhat. Kapsz sejteket. () Szóval?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként -ban mérik köbméter. Váratlan, igaz?) Rajzolj egy medencét: egy méteres fenéket és egy méter mélységet, és próbáld megszámolni, hogy hány méteres méteres kocka fér bele a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Ennyi! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzzek arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki, hogy megoldják a sajátjukat. életproblémák, és hogy ne okozzunk neked problémákat, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és „az ujjaddal számolsz”, az azt jelenti, hogy nagyon dolgos emberés.. hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

Valós példa #5

Egymilliód van. Minden év elején minden keresett millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy évben? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebb lesz az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Ön szerint mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen végzettségi alap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Hát be általános nézet, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot a „fok”-nak olvassuk, és a következőképpen írjuk:

c szám hatványa természetes mutató

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét” utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes (vagyis mínuszjellel vett) számokat és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális számok. Hogyan keletkeztek, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy hiányoznak természetes számok hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Több is van irracionális számok. Mik ezek a számok? Röviden, ez egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Folytatás:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszor megszorozzuk önmagával:

Meghatározás. Egy szám természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

Definíció szerint:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhat ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet tetszőleges szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít.

Varázsütésre a kifejezések helyet cseréltek. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Egész a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

egész pozitív szám , és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Most nézzük az új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, rá. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Szóval mennyi igaz ebből? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi az a negatív fokozat, tegyük úgy, mint itt utoljára: szorozni néhány normál szám ugyanilyen negatív mértékben:

Innentől kezdve könnyen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy negatív hatványú szám ugyanannak a pozitív hatványú számnak a reciproka. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha, akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. Szám, nem egyenlő nullával, negatív fokon ugyanannak a számnak az inverze pozitív fokra: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák erre önálló döntés:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontoljuk meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderül, hogy. Nyilván ezt speciális eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: tetszőleges számra emelve páros fokozat- a szám pozitív. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukálható törtek formájában is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak kettő különböző bejegyzések ugyanaz a szám.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha máshogy írjuk fel a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát ha:

• — természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a kifejezések gyökeres transzformációjához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, egy kivétellel

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...negatív egész fokozat- Mintha valami történt volna fordított folyamat", vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem elosztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatvány hatványra emelésének szokásos szabályával:

Most nézze meg a mutatót. Nem emlékeztet semmire? Emlékezzünk vissza a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

IN ebben az esetben,

Kiderül, hogy:

Válasz: .

2. A kitevőben lévő törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — fokozatalap;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha, akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• — természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

Definíció szerint:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára!

Semmi esetre sem írhat ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Rendezzük át ezt a munkát így:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie indikátor fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet tetszőleges szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következőket tudjuk megfogalmazni egyszerű szabályok:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap nullánál kisebb. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a 3. szabály alkalmazható lenne. De hogyan? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így alakul:

Varázsütésre a kifejezések helyet cseréltek. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk. De fontos emlékezni: Minden jel egyszerre változik! Nem helyettesítheti azzal, hogy csak egy olyan hátrányt változtat meg, amelyet nem szeretünk!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám mintegy önmagával szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevőjével - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Inkább tiszta matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjeszthessék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk hát, ha látjuk irracionális mutató fokok? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

1. Emlékezzünk a négyzetek különbségére. Válasz: .
2. A törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapjuk például: .
3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZÓ...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

FOKOZAT RACIONÁLIS MUTATÓVAL,

TELJESÍTMÉNY FUNKCIÓ IV

71. § Nulla és negatív kitevős hatványok

A 69. §-ban bebizonyítottuk (lásd 2. tétel), hogy azért t > p

(a =/= 0)

Teljesen természetes, hogy ezt a képletet ki akarjuk terjeszteni arra az esetre, amikor T < n . De akkor a szám t - p negatív vagy nulla lesz. V. Eddig csak természetes kitevős fokokról beszéltünk. Így a fokozatok bevezetésének szükségességével állunk szemben valós számok nulla és negatív mutatókkal.

1. definíció. Bármilyen szám A , nem egyenlő nullával, a nulla teljesítmény egyenlő eggyel, vagyis mikor A =/= 0

A 0 = 1. (1)

Például (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. A 0 számnak nincs nulla foka, vagyis a 0 0 kifejezés nincs definiálva.

2. definíció. Ha A=/= 0 és n akkor természetes szám

A - n = 1 /a n (2)

vagyis bármely nullával nem egyenlő szám hatványa negatív egész kitevővel egyenlő egy törttel, amelynek a számlálója egy, a nevezője pedig ugyanannak a számnak a hatványa, de ennek a hatványnak a kitevőjével ellentétes kitevővel .

Például,

E definíciók elfogadása után igazolható, hogy mikor a =/= 0, képlet

minden természetes számra igaz T És n , és nem csak azért t > p . Ennek bizonyításához elegendő két esetre korlátozni magunkat: t = n És T< .п , mivel az eset m > n 69. §-ában már tárgyaltuk.

Hadd t = n ; Majd . Eszközök, bal oldalt egyenlőség (3) egyenlő 1-gyel. A jobb oldal at t = n apellál

A m - n = A n - n = A 0 .

De definíció szerint A 0 = 1. Így jobb oldalon a (3) egyenlőség is egyenlő 1-gyel. Ezért amikor t = n a (3) képlet helyes.

Most tegyük fel T< п . Osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét ezzel A m , kapunk:

Mert n > t , Azt . ezért . A hatvány negatív kitevőjű definícióját felhasználva írhatunk .

Szóval, mikor , amit bizonyítani kellett. A (3) képletet most bármilyen természetes számra bebizonyították T És n .

Megjegyzés. A negatív kitevők lehetővé teszik, hogy nevezők nélkül írjunk törteket. Például,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1; egyáltalán, a / b = a b - 1

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy ezzel a jelöléssel a törtek egész számokká alakulnak. Például 3 - 1 ugyanaz, mint 1/3, 2 5 - Az 1 ugyanaz, mint a 2/5 stb.

Gyakorlatok

529. Számolja ki:

530. Írj egy törtet nevező nélkül:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Adatok tizedesjegyek segítségével egész kifejezéseket írjon negatív mutatók:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Van egy szabály, amely szerint a nullától eltérő bármely szám nulla hatványra emelve egyenlő eggyel:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Azonban miért van ez így?

Ha egy számot természetes kitevővel rendelkező hatványra emelünk, az azt jelenti, hogy annyiszor szorozzuk meg önmagával, mint a kitevővel:
43 = 4...

0 0

Az algebrában gyakori a nulla hatványra való emelés. Mi az a 0 fok? Mely számok emelhetők nullára, és melyek nem?

Meghatározás.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám, a nulla kivételével, egyenlő eggyel:

Így nem számít, hogy melyik számot emeljük 0 hatványára, az eredmény mindig ugyanaz – egy.

És 1 a 0 hatványára, és 2 a 0 hatványára, és bármely más szám - egész, tört, pozitív, negatív, racionális, irracionális - nullára emelve egyet ad.

Az egyetlen kivétel a nulla.

A nullától a nulláig terjedő hatvány nincs definiálva, az ilyen kifejezésnek nincs jelentése.

Vagyis nulla kivételével tetszőleges szám emelhető nulla hatványra.

Ha egy kifejezés hatványokkal történő egyszerűsítésekor egy számot nulla hatványra kap, akkor eggyel helyettesítheti:

Ha...

0 0

Belül iskolai tananyag A $%0^0$% kifejezést nem definiáltnak tekintjük.

A modern matematika szempontjából célszerű azt feltételezni, hogy $%0^0=1$%. Az ötlet itt a következő. Legyen $%n$% számok szorzata $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Minden $%n\ge2$% esetén érvényes a $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% egyenlőség. Célszerű ezt az egyenlőséget a $%n=1$% esetén is értelmesnek tekinteni, feltételezve, hogy $%p_0=1$%. A logika itt a következő: a termékek kiszámításakor először 1-et veszünk, majd sorban megszorozzuk a következővel: $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Ez az az algoritmus, amelyet a termékek keresésére használnak a programok írásakor. Ha valamilyen oknál fogva a szorzás nem történt meg, akkor a szorzat egyenlő marad eggyel.

Más szóval, célszerű egy ilyen fogalmat „0 tényező szorzatának” tekinteni, definíció szerint 1-gyel egyenlőnek tekintve. Ebben az esetben is beszélhetünk „üres szorzatról”. Ha egy számot megszorozunk ezzel...

0 0

Nulla - ez nulla. Nagyjából egy szám bármely hatványa szorzata egynek, és a kitevő szorzata ennek a számnak. A harmadikban kettő mondjuk 1*2*2*2, az első mínuszában lévő kettő pedig 1/2. És akkor szükséges, hogy ne legyen lyuk az átmenet során pozitív fokozatok negatívra és fordítva.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

ez az egész lényeg.

egyszerű és világos, köszönöm

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

például csak az kell bizonyos képleteket, amelyek pozitív kitevőkre érvényesek - például x^n*x^m=x^(m+n) - továbbra is érvényesek voltak.
Egyébként ugyanez vonatkozik a negatív fok meghatározására és a racionálisra is (azaz például 5 a 3/4 hatványára)

> és miért van erre egyáltalán szükség?
Például a statisztikákban és az elméletben gyakran játszanak nulla fokkal.

Zavarnak a negatív fokok?
...

0 0

Továbbra is figyelembe vesszük a fokok tulajdonságait, vegyük például a 16:8 = 2-t. Mivel 16=24 és 8=23, ezért az osztás felírható exponenciális formában úgy, hogy 24:23=2, de ha kivonjuk a kitevőket, akkor 24:23=21. Tehát el kell ismernünk, hogy 2 és 21 ugyanaz, tehát 21 = 2.

Ugyanez a szabály vonatkozik minden másra is exponenciális számígy a szabály általános formában megfogalmazható:

az első hatványra emelt szám változatlan marad

Lehetséges, hogy ez a következtetés megdöbbentette. Valahogy még mindig érthető a 21 = 2 kifejezés jelentése, bár az „egy szám kettő szorozva önmagával” meglehetősen furcsán hangzik. De a 20-as kifejezés azt jelenti, hogy „nem egy kettes szám,...

0 0

Fokozat definíciók:

1. nulla fok

Bármely nullától eltérő szám nulla hatványra emelve egyenlő eggyel. A nullától a nulláig terjedő hatvány nem definiált

2. nullától eltérő természetes fok

Bármely x szám, amelyet nullától eltérő n természetes hatványra emelünk, egyenlő n szám x összeszorzásával

3.1 páros gyökér természetes fok, nullától eltérő

Bármely pozitív x szám nullától eltérő páros természetes hatványának gyöke egy pozitív y szám, amelyet n hatványra emelve az eredeti x számot kapja

3,2 páratlan természetes fok gyöke

Bármely x szám páratlan n természetes hatványának gyöke egy y szám, amely n hatványra emelve az eredeti x számot adja

3.3 bármely természetes erő gyöke tört hatványként

Bármely, nullától eltérő n természetes hatvány gyökének kivonása bármely x számból ugyanaz, mintha ezt az x számot az 1/n törthatványra emelnénk.

0 0

Szia kedves RUSSEL!

A fokozat fogalmának bevezetésekor a következő bejegyzés szerepel: "Az a^0 =1 kifejezés értéke" ! Ez életbe lép logikai koncepció fok és semmi más!
Dicséretes, amikor egy fiatalember megpróbálja a végére járni! De van néhány dolog, amit egyszerűen természetesnek kell venni!
Új matematikát csak akkor konstruálhat, ha már tanult évszázadok óta nyitva vissza!
Persze, ha kizárjuk, hogy „nem e világból való vagy”, és sokkal többet kaptál, mint nekünk, bűnösöknek!

Megjegyzés: Anna Misheva kísérletet tett a bizonyíthatatlan bizonyítására! Szintén dicséretes!
De van egy nagy „DE” – ez hiányzik a bizonyítékából lényeges elem: NULLÁVAL osztás esete!

Nézd meg magad, mi történhet: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

De NEM OSZTHAT NULLÁVAL!

Kérem, legyen óvatosabb!

Masszával Minden jótés boldogság a magánéletedben...

0 0

Válaszok:

Nincs név

ha figyelembe vesszük, hogy a^x=e^x*ln(a), akkor kiderül, hogy 0^0=1 (korlát, x->0 esetén)
bár a „bizonytalanság” válasz is elfogadható

A nulla a matematikában nem üresség, hanem a „semmihez” nagyon közeli szám, ahogy a végtelen is csak fordítva

Írd le:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0/0
Kiderült, hogy ebben az esetben nullával osztunk, és ez a művelet a valós számok terén nincs definiálva.

6 évvel ezelőtt

Az RPI.su a legnagyobb orosz nyelvű kérdések és válaszok adatbázisa. Projektünk az otvety.google.ru népszerű szolgáltatás folytatásaként valósult meg, amelyet 2015. április 30-án bezártunk és töröltünk. Úgy döntöttünk, feltámasztjuk a hasznos Google Answers szolgáltatást, hogy bárki nyilvánosan megtudja a választ kérdésére az internetes közösségtől.

A Google Answers webhelyhez hozzáadott összes kérdést átmásoltuk és itt tároltuk. A régi felhasználónevek is úgy jelennek meg, ahogy korábban léteztek. Csak újra kell regisztrálnia, hogy kérdéseket tegyen fel, vagy válaszoljon másoknak.

Ha az OLDALRA VONATKOZÓ kérdése van (reklám, együttműködés, visszajelzés a szolgáltatással kapcsolatban), írjon a címre [e-mail védett]. Csak mindent általános kérdéseket közzéteszik a weboldalon, levélben nem kapnak választ.

Mivel lesz egyenlő a nulla, ha nulla hatványra emeljük?

Miért egyenlő a 0 hatványához tartozó szám 1-gyel? Van egy szabály, amely szerint a nullától eltérő, nulla hatványra emelt szám egyenlő eggyel: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 De miért van ez így? Ha egy számot természetes kitevővel rendelkező hatványra emelünk, az azt jelenti, hogy annyiszor szorozzuk meg önmagával, mint a kitevővel: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Ha a kitevő egyenlő 1-gyel, akkor a konstrukció során csak egy tényező van (ha egyáltalán beszélhetünk faktorokról), és ezért a konstrukció eredménye egyenlő az alappal fokok: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 De mi van ebben az esetben a nulla mutatóval? Mit szorozunk mivel? Próbáljunk más úton haladni. Ismeretes, hogy ha két foknak ugyanaz az alapja, de különböző mutatók, akkor az alap változatlan marad, és a kitevőket vagy összeadhatjuk egymással (ha a hatványokat szorozzuk), vagy az osztó kitevőjét kivonhatjuk az osztó kitevőjéből (ha a hatványokat osztjuk) : 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45-3 = 42 = 4 × 4 = 16 És most vegyük ezt a példát: 82 ÷ 82 = 82-2 = 80 = ? Mi van, ha nem használjuk a hatalom tulajdonságait ugyanaz az alapés végezzük el a számításokat a megjelenési sorrendben: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Tehát megkaptuk a kincses egységet. Így a nulla kitevő azt jelzi, hogy a számot nem szorozzák, hanem osztják önmagával. És innentől világossá válik, hogy a 00 kifejezésnek miért nincs értelme. Elvégre nem oszthatsz 0-val. Lehet másképp is érvelni. Ha van például 52 × 50 = 52+0 = 52 hatványok szorzata, akkor ebből az következik, hogy 52-t megszoroztuk 1-gyel. Ezért 50 = 1.

A hatványok tulajdonságaiból: a^n / a^m = a^(n-m) ha n=m, az eredmény egy lesz, kivéve természetesen a=0, ebben az esetben (mivel nulla bármely hatványhoz nulla lesz) osztás nulla kerülne sor, tehát 0^0 nem létezik

Számvitel különböző nyelveken

A számok nevei 0-tól 9-ig népszerű nyelvek béke.

Nyelv	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
angol	nulla	egy	két	három	négy	öt	hat	hét	nyolc	kilenc
bolgár	nulla	egy dolog	két	három	négy	kedvenc	pólus	készülünk	tengelyek	devet
magyar	nulla	egy	kettõ	harom	négy	ot	kalap	het	nyolc	kilenc
holland	null	een	csipesz	megszáradni	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
dán	null	hu	hogy	tre	Tűz	fem	seks	syv	otte	ni
spanyol	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	nueve
olasz	nulla	uno	esedékes	tre	quattro	cinque	sei	sette	ottó	nove
litván	nullis	vienas	du	trys	keturi	penki	ðeði	hét	aðtuoni	kilenc
német	null	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	sieben	acht	neun
orosz	nulla	egy	két	három	négy	öt	hat	hét	nyolc	kilenc
lengyel	nulla	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
portugál	hm	dois	três	quatro	cinco	seis	sete	oito	nove
francia	nulla	ENSZ	deux	trois	négyes	cinq	hat	szeptember	huit	neuf
cseh	nula	jedna	dva	toi	ètyøi	gödör	¹est	sedm	osm	devìt
svéd	noll	ett	tva	tre	fyra	fem	szex	sju	atta	nio
észt	null	üks	kaks	kolm	neli	viis	kuus	hét	nyolc	kilenca

Egy szám negatív és nulla hatványa

Nulla, negatív és tört hatványok

Nulla jelző

Egyenesen adott szám bizonyos mértékig azt jelenti, hogy annyiszor ismételjük meg, ahány egység van a kitevőben.

E meghatározás szerint a kifejezés: a A 0-nak nincs értelme. De hogy az azonos szám osztóhatványainak szabálya akkor is érvényes legyen, ha az osztó kitevője egyenlő az indikátorral az osztalék tekintetében egy meghatározást vezettek be:

Bármely szám nulla hatványa egyenlő lesz eggyel.

Negatív mutató

Kifejezés a -m, önmagában nincs értelme. Ám annak érdekében, hogy az azonos szám hatványainak osztószabálya akkor is értelmes legyen, ha az osztó kitevője nagyobb, mint az osztó kitevője, egy definíciót vezettünk be:

1. példa Ha egy adott szám 5 százból, 7 tízesből, 2 egységből és 9 századból áll, akkor a következőképpen ábrázolható:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

2. példa Ha egy adott szám a tízesből, b egységből, c tizedből és d ezredből áll, akkor a következőképpen ábrázolható:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Műveletek negatív kitevővel rendelkező hatványokon

Ugyanazon szám hatványainak szorzásakor a kitevők összeadódnak.

Azonos szám hatványainak osztásakor az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből.

Egy szorzat hatványra emeléséhez elegendő minden tényezőt külön-külön erre a hatványra emelni:

Egy tört hatványra emeléséhez elegendő a tört mindkét tagját külön-külön erre a hatványra emelni:

Ha egy hatványt egy másik hatványra emelünk, a kitevők megszorozódnak.

Törtmutató

Ha k nem többszöröse n, akkor a kifejezés: nincs értelme. De annak érdekében, hogy a fok gyökének kivonására vonatkozó szabály a kitevő bármely értékére érvényes legyen, egy definíciót vezettünk be:

Egy új szimbólum bevezetésének köszönhetően a gyökérkivonást mindig felválthatja a hatványozás.

Műveletek tört kitevővel rendelkező hatványokon

A tört kitevővel rendelkező hatványokon végzett műveletek ugyanazok a szabályok szerint kerülnek végrehajtásra, mint az egész kitevőkre vonatkozóan.

Ennek az állításnak a bizonyításakor először feltételezzük, hogy a kitevőként szolgáló: és törtek tagjai pozitívak.

Különleges esetben n vagy q egyenlő lehet eggyel.

Ugyanazon szám hatványainak szorzásakor törtkitevőket adunk hozzá:

Ha azonos szám hatványait tört kitevőkkel osztjuk, az osztó kitevőjét levonjuk az osztó kitevőjéből:

Törtkitevők esetén egy hatvány másik hatványra emeléséhez elegendő a kitevőket megszorozni:

A tört hatvány gyökének kinyeréséhez elegendő a kitevőt elosztani a gyökér kitevőjével:

A cselekvési szabályok nem csak a pozitív törtmutatók, hanem arra is negatív.

Van egy szabály, amely szerint a nullától eltérő bármely szám nulla hatványra emelve egyenlő eggyel:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Azonban miért van ez így?
Ha egy számot természetes kitevővel rendelkező hatványra emelünk, az azt jelenti, hogy annyiszor szorozzuk meg önmagával, mint a kitevővel:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Ha a kitevő egyenlő 1-gyel, akkor a konstrukció során csak egy tényező van (ha egyáltalán beszélhetünk itt faktorokról), ezért a konstrukció eredménye egyenlő a fokszám alapjával:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
De mi a helyzet a nulla jelzővel ebben az esetben? Mit szorozunk mivel?
Próbáljunk más úton haladni.

Miért egyenlő a 0 hatványához tartozó szám 1-gyel?

Ismeretes, hogy ha két hatványnak ugyanaz az alapja, de más a kitevője, akkor az alap ugyanaz marad, és a kitevőket vagy összeadhatjuk (ha a hatványokat szorozzuk), vagy az osztó kitevőjét. le kell vonni az osztalék kitevőjéből (ha a hatványok oszthatók):
3 2 × 3 1 = 3^ (2+1) = 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5-3) = 4 2 = 4×4 = 16
Most nézzük ezt a példát:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2-2) = 8 0 = ?
Mi van, ha nem használjuk az azonos bázisú hatványok tulajdonságát, és a számításokat a megjelenés sorrendjében végezzük:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Így megkaptuk az áhított egységet. Így a nulla kitevő azt jelzi, hogy a számot nem szorozzák, hanem osztják önmagával.
És innentől világossá válik, hogy a 0 0 kifejezésnek miért nincs értelme. Nem lehet 0-val osztani.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete