A trapéz átlói. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz párhuzamos az alapjaival, és egyenlő azok félkülönbségével
4. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz párhuzamos az alapjaival, és egyenlő az alapok különbségének felével.
5. Igazolja, hogy a felezőpontokat összekötő szakaszok ellentétes oldalak tetszőleges négyszög, a metszéspontot ketté kell osztani.
6. Legyen , és a háromszög mediánja, és egy tetszőleges pont. Bizonyítsd .
7. Adott egy négyszög és egy pont. Milyen ez a négyszög? 
.
Vegye figyelembe, hogy annak érdekében, hogy az ismétlés bizonyos szerepet játsszon pozitív szerepet, nem epizodikus, hanem szisztematikus, célzott felhasználásra van szükség a különböző témák, szakaszok és a teljes kurzus egészének tanulmányozása után.
3. § Tanári felkészítés az ismétlő órákra
Az iskolai gyakorlat azt mutatja, hogy a felejtés ismétlés általi időben történő megelőzésének problémája nagyon fontos és egyben kihívást jelentő feladat ami mindenekelőtt jelentős szakmai felkészültséget igényel a tanártól.
A leírtak megismétlése gyakran a korábban tanulmányozottak sztereotip reprodukálására vezethető vissza, új összefüggések nem derülnek ki ezen anyag és a vizsgált anyag között, nem tesznek általánosításokat, és a téma vagy szakasz alapjául szolgáló gondolatok. program és a kurzus egésze nincs kialakítva.
A fontosság ellenére racionális rendszer ismétlés, még mindig sok hiányosság van a gyakorlatban, amelyek néha az ismétlés megfelelő megszervezésének képtelenségének a következményei; Emiatt az ismétlés ezeknél a tanároknál módszertanilag átgondolatlan, ezért kevés hasznot hoz.
Ezek a hátrányok főként a következők:
1. A tanárok ritkán készülnek a szemlélő órákra, tévesen azt hiszik, hogy a szemlélő órák nem igényelnek különösebb előkészületet, aminek következtében ezek a tanárok szemlélőórái nem átgondoltak, módszertanilag alkalmatlan és monoton lefolytatásúak.
2. Ismétlés csak év végén kerül megrendezésre. Ez a tanulók túlterheltségéhez vezet, az anyag megértését és elmélyítését gyakran felváltja a leírtak mechanikus, sztereotip reprodukálása. Az ismétlés felveszi a „képzés” jellegét.
3. A tanárok nem tudják, hogyan emeljék ki belőle a főbb, lényeges dolgokat oktatási anyag az ismétléshez.
4. Az ismétlésre szánt anyag időben rosszul oszlik el, és nem jön létre megfelelő kapcsolat az előző anyag ismétlése és az új anyag tanulmányozása között.
5. Az ismétléshez szükséges anyag kiválasztásakor a következőket nem mindig veszik figyelembe:
a) az ismételt anyag és az újonnan tanulmányozott anyag jelentőségének és kapcsolatának mértéke;
b) a tanulók nehézségi foka az anyag elsajátításában;
c) a matematika tantárgyi alapfogalmak bővítésének, elmélyítésének igénye, hozzájárulva az ismeretek általánosításához, rendszerezéséhez.
6. Az ismétlés során nincs jól átgondolt kérdés- és gyakorlatrendszer.
7. Rendszertelen és epizodikus ismétlés.
8. Elégtelen, és gyakran visszaélés láthatóság.
9. Az ismétléstípusok alkalmatlan használata, azok kombinációja, váltakozása.
10. Az ismétlés többszörös hiánypótlásra és jegyek felhalmozására szolgál.
11. A tanárnak nincs elég világos megértése arról, hogy mire irányítsa a tanulók figyelmét, milyen sorrendben és mikor célszerű és hatékony az ismétlés.
12. Az ismétlés monoton módon, azonos módszerekkel és technikákkal, ugyanabban a sorrendben és azonos formában történik.
13. Hiányzik szerves kapcsolat a magyarázat és az ismétlés között időben élesen elkülönülnek.
14. Az ismétlés a régiek kellő megértése és megértése nélkül való memorizálásból ered, ami általában az oktatási anyagok felületes asszimilációjával és a tanulók memóriájának elviselhetetlen túlterhelésével végződik.
15. Egyes tanárok számára az ismétlés során a kontroll aktusa elnyomja a tanulás pillanatát, aminek következtében az ismétlés egy végtelen és nem segítő párbeszédté válik tanár és diák között.
16. Egyes tanárok esetében az ismétlés leginkább a vizsgákra való felkészülés során történő „coaching”-nak felel meg; Az ezeken a leckéken található gyakorlatok vizsgák képzési jellegűek, a tanulók tudása nem általánosított vagy rendszerezett.
17. Néha az ismétlés teljesen különböző típusú gyakorlatokra korlátozódik, amelyek nem helyettesíthetik és nem is helyettesíthetik a szisztematikus ismétlést.
Az ilyen ismétlés kevéssé javítja a tanulók tudását és fejleszti őket kognitív képesség. Korlátozza az ismétlődő munkák, például az elmélyítés és a rendszerezés lehetőségét előző tudás, oktatási anyagok csoportosítása a tanfolyam fő gondolatai köré stb.
Ha egy leckét sablonos módon tanítanak, mindig ugyanazon terv szerint, ugyanazokkal a kifejezésekkel, akkor lényegében mechanikai folyamat, nagyon kevéssé különbözik a leckét könyvből való tanulástól, és a tanár szerepe egyszerű parancsra redukálódik.
A már ismert (de talán részben elfeledett) tananyag új megközelítése újszerű elemet ad az ismétlésnek, érdekessé teszi, megakadályozza az „ismétlődő” órák unalmát, és növeli a tanulók figyelmét és érdeklődését az oktatási anyagok ismétlése iránt.
Ezért az ismétlés technikái és módszerei, valamint szervezeti formák, amelyben ez az ismétlés történik, nagyon fontosak az ismétlés céljainak eléréséhez.
Az ismétlés megszervezésében és módszertanában észlelt hiányosságok kiküszöbölése érdekében minden óra előtt alaposan át kell gondolni az óra tartalmát és céljait, nemcsak elméleti, hanem módszertani oldalról is. Különösen szükséges, hogy az ismétlés harmonikus, módszertanilag mélyen indokolt rendszer szerint történjen. Az ilyen ismétlés természetesen nem feladatokkal, hanem intenzív és finom órai munkával érhető el.
Mindig alaposan fel kell készülni a leckékre az átadott tananyag ismétlésére, felismerve, hogy az ismétlés során jól megszilárdult tudás megerősödik. Sok figyelem meg kell adni az ilyen órák lebonyolításának módszertanát, olyan formákat és tanítási módszereket használva, amelyek aktiválják mentális tevékenység hallgatók, növekvő érdeklődés az iránt, amit tanulnak. Minden elhangzott különösen fontos a végén megtartott leckéknél tanév a teljes program tanfolyam elvégzése után.
Az ismétléstervezést személyre szabottan kell elvégezni kreativ munka tanárok. Világosan meg kell érteni, hogy miért érdemes ezt az anyagot vagy ezeket a gyakorlatokat ismétlésre használni. A tanárnak ki kell térnie a téma leglényegesebb kérdéseire, és azokat be kell rendeznie logikai sorrend. Ezzel három célt lehet elérni: az új tananyag megértésének elősegítése, a tantárgy logikájának bemutatása a hallgatóknak, valamint a korábban tanult anyagok bizonyos rendszerezése.
Gyakran előfordulnak olyan körülmények, amelyek arra kényszerítik az adott órán a tanárt, hogy egy másik órával ellentétben mélyebben ismételje meg ezt vagy azt az anyagot, és ennek tükröződnie kell a tervezésben.
Az órákra való felkészülés során az ismétlés mindenekelőtt alapvetően meghatározott fontos elemei ismeretek, készségek és képességek, amelyekkel a tanulónak rendelkeznie kell egy ismételt témában; ezen elemek kiválasztása határozza meg az ismételt anyag mennyiségét. Ezután az oktatási anyag sajátosságai alapján, annak az osztálynak a jellemzőiből, amelyben az órát tartják, meg kell határozni, hogy szükséges-e betartani a tankönyv által javasolt ismétlési sorrendet, vagy célszerű-e átrendezni az anyagot, meghatározva új egyenruha kapcsolataik kombinációi.
A revíziós órákon olyan anyagok kerülnek bevezetésre, amelyek a kurzus vezető gondolataival ismertetik meg a hallgatókat, fontos ideológiai jelentőséggel bírnak, valamint olyan anyagok, amelyek a későbbiekben tantárgyból más anyagok tanulmányozásának eszközévé fejlődnek. Az általánosítás tárgya lehet fogalmak, tételbizonyítási módszerek, problémamegoldási módszerek stb. Az órák tartalma alapulhat elméleti anyagon, gyakorlati rendszeren, vagy a kettő kombinációján.
Az általánosító ismétlések levezetésének módszerei az ismételt-általánosító beszélgetés, áttekintő előadás, tankönyvvel és egyéb szakirodalommal való munka stb. Ezen módszerek bármelyikének alkalmazását a tanulók önálló munkájával kell kombinálni. A tanár gyakran anélkül, hogy magába az általánosítás folyamatába vonná be a tanulókat, ismét, mint az új anyagok tanulmányozása során, már elmondja nekik kész eredmények. Az ilyen általánosítás hatástalan, mivel csak a folyamatban önálló tevékenység elért tanulói tudás magas szintáltalánosság, rendszeresség.
Az ismétlési óra legfontosabb állomása az önálló munka, amelynek célja a tanulók indoklási képességének fejlesztése. Ehhez a szakaszhoz a tanár több feladatot (egylépéses, kétlépéses, ritkábban háromlépéses) választ ki egy ismételhető témában. A leírtak abban különböznek a hétköznapi önálló munkától, hogy a tanulóknak nem kell a szokásos értelemben vett megoldásokat megfogalmazniuk (ami kolosszálisan sok időt venne igénybe az óra során). Csak a megoldás elméleti alapját kell rögzíteni, vagyis felsorolni azokat elméleti rendelkezéseket olyan témákat tanulmányozott, amelyek a probléma megoldásának indoklásában szerepelnek.
A végén önálló munkavégzés A tesztelését célszerű ugyanabban a leckében (teljesen vagy részben) megszervezni.
Például a vonalak párhuzamosságának jeleinek megismétlésekor önálló munkát végezhet:
1. Párhuzamosak-e az ábrán látható d és e egyenesek, ha , ?
2. Háromszögben, . A csúcson keresztül egy egyenest húzunk úgy, hogy a sugár a szög felezője. Bizonyítsd .
Az osztályban ellenőriznie kell a második problémát.
Amikor ezt vagy azt a feladatot az általános ismétlési órákon önálló felülvizsgálatra ajánlja fel, a tanárnak meg kell határoznia a tanulók önállóságának fokát, a munka időtartamát, a végrehajtás formáit és módszereit, az útmutatás és a tesztelés jellegét. Felsorolt komponensek a tananyag és a tanulók önálló munkára való felkészültsége határozza meg.
Az ismétlődő órákra való felkészülés során többek között az is foglalkoztat bennünket, hogy a tanuló mit tanult a legrosszabbul, hol veszített erejéből a tudás.
Az ismétlési órák előtt a programanyag tudásának minőségéről és erősségéről való információszerzést megelőzi a házi feladat azon részének teljesítésének ellenőrzése, amelyik az ismétlésben szereplő kérdéseket tartalmazza.
Az év végi érettségi leckékre való felkészüléskor a tanár konzultál a tanulókkal arról is, hogy a záróvizsga előtt mely témákat kell átnézni. A tanulók tájékozódásához az év során megoldott témakörök és problématípusok listáját kínáljuk, amely táblázatokba helyezhető, ahol a bal oldalon a tanult téma, a jobb oldalon pedig a megfelelő gyakorlatok típusai szerepelnek; .
Az általánosított ismétlés megszervezésének módszertana osztályonként változik. Ha tehát a középső évfolyamon maga a tanár egy beszélgetés vagy mese formájában hívja fel a tanulók figyelmét az egyes fogalmak, jelenségek átfogó tanulmányozásának szükségességére, a tanult fogalmak összefüggéseire, akkor felső tagozaton célszerű a munkát úgy megszervezni, hogy a tanulók önállóan jöjjenek új összefüggések felfedezésére a tanult fogalmak között, általánosítsák a megszerzett ismereteket.
4. § Az ismétlés módszerei, formái és eszközei
Az ismétlés formái változatosak lehetnek. Ide tartozik a tankönyvvel való önálló munka az órán és az osztállyal folytatott beszélgetés, a tanári előadás és a tanulói beszámolók, a szóbeli gyakorlatok és További kérdések problémák megoldására stb. Szükséges, hogy az ilyen munka formái megfeleljenek az anyag természetének és nehézségi fokának. Az önálló otthoni ismétlésre szánt anyagrésznek olyannak kell lennie, hogy ne legyen szó túlterhelésről, és a javasolt anyag mindenki számára hozzáférhető legyen; A fő munkát az osztályban kell elvégezni.
Nagy szerep Az ismétlés hatékonyságában a tisztaság játszik szerepet. Minden geometria leckét fel kell szerelni modellekkel, egyeseknél táblázatokkal, célszerű számítógépet, írásvetítőt, kódpozitívokat, filmszalagokat vagy filmeket használni. Például megismételheti a háromszögek egyenlőségének jeleit az alábbi feladatok szóbeli megoldásával. Az áttekinthetőség és az időmegtakarítás érdekében ebben az esetben pozitív kódot kell használni.
Problémák megoldása szóban (pozitív kódok használatával).
1. Miért egyenlő a szegmenssel ?
2. 
Adott: 
.
3. Adott: 
Megtalálja: .
4. Keresse meg: .
Keresőtáblák Célszerű hosszabb ideig kiakasztani őket, hogy az anyagaik elsajátítása fokozatosan történjen.
A tanulókkal való munkavégzéshez hasznosak a rajzok formájában megadott feladatfeltételeket tartalmazó táblázatok; adott témában állnak össze, és a feladatok legjellemzőbb és leggyakrabban előforduló elemeit tartalmazzák. Kényelmes időszakonként visszatérni ezekhez a táblázatokhoz, szóbeli gyakorlatokat végezni rajtuk, és további kérdéseket feltenni. Különösen tanácsos néhány táblázatot használni a tananyag ismétléséhez és a tanulók önálló felkészítéséhez a megfelelő tesztek előtt. Ezen rajzok segítségével a tanulók szövegeket találhatnak ki a feladatokhoz, ami az anyag ismétléséhez is hasznos.
Az ismétlésnél a legfontosabb, hogy elkerüljük, hogy bármilyen módszer rutinná váljon, és a tanulók érdeklődésének, aktivitásának növelése az ismétlés során szükséges különféle technikákés munkamódszereket, változatossá tenni az ismétlődő anyagot az újdonság elemeinek bevezetésével. Csak így tudjuk kiküszöbölni azt az ellentmondást, amely egyrészt abból adódik, hogy a tanulók egy része nem akarja megismételni a tanultakat, másrészt a sorrendben való ismétlés szükségessége miatt. a korábban tanulmányozott anyagok elmélyítésére, általánosítására és rendszerezésére.
Az iskolai gyakorlatban használják különféle módszerek ismétlések. Nézzük a főbbeket.
Beszélgetés az új anyag ismertetése előtt
A tanár az új tananyag bemutatásának első percétől, a bemutatás előtt gondoskodik az ismétlésről. A bevezető beszélgetés során a tanár arra kényszeríti a tanulókat, hogy emlékezzenek arra, amit korábban tárgyaltak, amire támaszkodniuk kell a világos megértéshez. új anyag. Tehát például mielőtt a háromszögek hasonlóságának első jelét bizonyítaná (ha az egyik háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével, akkor az ilyen háromszögek hasonlóak), a tanár a diákokkal beszélgetve reprodukálja a következőt: emlékük a meghatározás hasonló háromszögek, a háromszög szögeinek összegére és két hasonló háromszög területeinek arányára vonatkozó tétel.
Az új tananyag kifejtését megelőző beszélgetésen keresztül a tanár elvezeti a tanulókat a tanult témához, így a tanulókban szükség lesz annak feltárására, és felkeltheti az érdeklődést a további ismeretek megszerzése iránt.
Az új anyag ismertetése után azonnal ismétlés
Az új anyag ismertetése után a tanár azonnal megszervezi az újonnan bemutatott anyag fő tartalmának frontális megismétlését (esetleg egyes tanulók behívásával), meghatározott sorrendben, és kérdéseket és gyakorlatokat kínál a tanulóknak a téma témájában. lecke. A kérdések és gyakorlatok olyan jellegűek legyenek, hogy segítségükkel meg lehessen ítélni a tanár által elmondottak teljességének és asszimilációjának mértékét. Például a paralelogramma jellemzőinek mérlegelése után a tanár megkérheti a tanulókat, hogy szóban oldják meg a következő problémákat:
1. 
Adott: ABCD négyszög.
a) AB=CD, BC=AD;
Bizonyítsuk be: ABCD paralelogramma.
2. Az ABCD négyszög átlóinak metszéspontja az A és C csúcsoktól 7 cm-rel, a B és D csúcsoktól 4 cm-rel távolodik el. Határozza meg az ABCD négyszög típusát és átlóját!
3. Az ABCD négyszögben BO a medián, CO a medián. Határozza meg az ABCD típusát!
E feladatok megoldása során szükséges, hogy a tanulók a paralelogramma jellemzőire hivatkozva részletesen kifejtsék válaszukat, azt teljes körűen meg kell fogalmazniuk.
Ha bebizonyosodik, hogy a tanulók nem értik kellőképpen az anyagot, akkor ismételten prezentációt kell tartani, ebben az esetben új példákat és bizonyítékokat, elérhetőbb előadási formákat támaszkodva, és ismét példákat oldva feltárni a tananyag tartalmát. bemutatott anyag. ezt a leckét elméletek.
Ismétlés különböző gyakorlatokkal és önálló munkával
Teljesen világos, hogy állandó gyakorlatok és önálló munka nélkül lehetetlen a matematikai elmélet világos megértését és tartós memorizálását elérni.
A tanulók gyakorlatok során végzett tevékenységeinek elemzése azt mutatja, hogy a gyakorlatok nem egyszerű edzés, nem ugyanazon cselekvések megismétlése, hanem kreatív tevékenység. A tanulók feladata a gyakorlatok végrehajtása során a régi vagy új ismeretek alkalmazása. Bármilyen szabály, törvény vagy definíció formájában kifejezett tudás bizonyos mértékig általánosítás, elvonatkoztatás egy bizonyos kategóriájú tárgyak, jelenségek sajátos tulajdonságaitól és jellemzőitől. Csak az általánost jelöli, ami egyformán vonatkozik e kategória összes objektumára. Egy szabály vagy törvény gyakorlatban való alkalmazása megköveteli a tanulótól, hogy ezeket tudatosan reprodukálja, és meghatározott körülmények között használja fel, ezért a tanulónak minden új gyakorlat egyediségét fel kell ismernie, és meg kell állapítania, mi a közös a korábban tárgyalt gyakorlattal. A gyakorlatok elvégzése megköveteli kreatív alkalmazás korábbi és új tudásának hallgatója.
A tanulás szempontjából kiemelten fontos, hogy a tanulók milyen mértékben tudják felhasználni a korábban megszerzett készségeket az ismétlés során felvetett módosított példák, problémák megoldása során, hogyan válasszák ki és végezzék el az ismétlődő gyakorlatokat annak érdekében, hogy olyan képességeket fejlesszenek ki bennük, amelyeket alkalmazni tudnak.
Ahogy N.A. Menchinskaya írja, a készségek átadása csak akkor érhető el, ha a tanulók tisztában vannak vele Általános szabályok, általános módszerek akciókat. Ha a tanulók bizonyos készségeket a különálló, elszigetelt gyakorlatok képzése során sajátítanak el, akkor az átadás ebben az esetben lehetetlenné válik.
Ezek a körülmények magyarázatot adhatnak a gyakorlatrendszerek természetére és jellemzőire, amikor egy adott témát vagy a kurzus szakaszát ismételjük.
De az ismétlődő gyakorlatok funkciói nem korlátozódnak erre. Az edzéshez többre van szükség, mint az adatok memorizálására. Ezeket az adatokat összességében kell „megragadni”, megértve az egyes részek kölcsönös függését a többitől.
Így a gyakorlatok végrehajtása során az elmélet mélyebb megértése következik be, és javul a különféle tárgyakra való alkalmazásának készsége.
Az ismétlés során ki kell választani a stabil tankönyvben nem szereplő feladatokat, amelyek segítségével szemléltetjük a vizsgált ábrák tulajdonságait és a köztük lévő kapcsolatokat. Amikor a planimetria kurzus befejeződött, és több leckét is szánnak az ismétlésre, célszerű olyan feladatsort kiválasztani, amely nemcsak az elméletet a legteljesebben érinti, hanem egy új, jobb szintre emeli a tanulókat. A geometria iránti érdeklődés kialakulását ugyanakkor elősegíti a témában vagy megoldási módban javasolt problémák közötti kapcsolat. A gyerekek aktivitását tovább fokozza, ha ezekben a feladatokban arra kérik őket, hogy találjanak összefüggéseket a figurák vagy azok elemei között. Ugyanakkor nemcsak az ismeretek rendszerezése következik be, hanem az improvizáció, az új feladatok létrehozásának, az ábrák közötti általánosítások, összefüggések önálló megtalálásának vágya is felmerül.
Mindez azt sugallja, hogy az ismétlés nem végezhető el a gyakorlatoktól elszigetelten, mert a tudományok tanulmányozásában, ahogyan Isaac Newton helyesen érvelt, a példák nem kevésbé tanulságosak, mint a szabályok.
Például egy áttekintő leckében a „Négyszögek” témakörben a következő feladatrendszert használhatja:
ÉN. 
Megoldás összetett feladat. Mielőtt egy meglehetősen összetett rajzot igénylő feladat elé állítaná a tanulókat, a tanár egy sorozatot ad az osztálynak egyszerű feladatokatépítkezéshez, amelyből fokozatosan kialakul a rajz: építs ABCD paralelogramma; konstruálja meg átlóit, jelölje meg metszéspontjukat O-n keresztül; építsünk egy egyenest, amely átmegy az O ponton és metszi az AD oldalt a P pontban, és a BC oldalt az N pontban; szerkeszteni egy egyenest, amely áthalad az O ponton, és metszi az AB oldalt az M pontban, és a CD oldalt a Q pontban. Ezen konstrukciók végén a tanulók kapnak egy rajzot, mint az ábra. 3. A rajz alapján a következő feladatot javasoljuk:
Adott egy ABCD paralelogramma. Átlóinak metszéspontján keresztül két egyenest húzunk, amelyek az M és Q, N és P pontokban metszik az AB és CD, BC és AD oldalakat. Bizonyítsuk be, hogy az MNQP négyszög paralelogramma.
II. Megoldás nem szabványos feladatok gyakorlati jellegű:
1) Hogyan mérjük meg az A és B pontok távolságát a talajon, egy paralelogramma oldalainak tulajdonságával (4. ábra)?
2) Elegendő-e ellenőrizni, hogy egy adott négyszögletű anyag rombusz alakú-e úgy, hogy minden átló mentén meghajlítjuk az élek egybeesését?
3) Csak párhuzamos élű vonalzóval rajzoljunk merőlegest a szakaszra a közepén keresztül (a szakasz hossza nagyobb, mint a vonalzó szélessége).
4) Ismertesse a párhuzamos vonalak rajzolására szolgáló eszközt (5. ábra).
Az ilyen feladatok jellemzően felkeltik a diákok érdeklődését a geometria iránt, és fejlesztik megfigyelő- és találékonyságukat.
A gyakorlatok ismétlés során betöltött szerepének alábecsülése, valamint túlértékelése mindig az elméleti ismeretek formalizmusához és a tanulók iskolai végzettségének csökkenéséhez vezet.
Az iskolában egyetlen koncepciót vagy tanítást sem lehet teljesen megérteni jól megválasztott gyakorlatok rendszere nélkül.
Ez nem jelenti azt, hogy minden ismétlést csak gyakorlatokkal kell helyettesíteni. Gyakorlatok lévén szerves része az ismétlések azonban nem helyettesíthetik magát az ismétlést.
A hallgatók elméleti ismereteinek megszilárdításához nagyobb mértékben kell kihasználni a különféle típusú problémák megoldását.
Mindegyik feladat rendkívül fontos és sokoldalú eszköz az elmélet áttekintésére, az elmélet főbb rendelkezéseinek megerősítésére és a tanulási készségek fejlesztésére. Ez különösen akkor szembetűnő, ha egy probléma megoldásának főbb szakaszai és az azokban végrehajtott átalakítások indokoltak. A tanuló a feladatokban, gyakorlatokban új összefüggésekben, új kombinációkban, némileg átrendezett formában találkozik elméleti kérdésekkel, és ezt az elméletet a megoldandó probléma körülményeihez képest kell alkalmaznia. A hallgató ez irányú erőfeszítései segítenek felszámolni tudásában a formalizmust.
Rendszerezett feladatok használata egy bizonyos módon az egyik módja az ismétlési folyamat hatékonyságának növelésének. Mivel a legtöbb geometriai probléma kevésbé algoritmikus, mint az algebrai, ezért különleges jelentéseáltalános problémamegoldó technikákat tanít a hallgatóknak. Ezért nemcsak a definíciók és a tételek ismétlődnek, hanem az is általános technikák problémamegoldás, logikai konstrukciók, geometriai konfigurációk.
Nagy didaktikai célja olyan feladatai vannak, amelyekben meg kell találni azokat a tulajdonságokat és kapcsolatokat, amelyek egy adott konfiguráción megvalósíthatók. Egy jól megválasztott konfigurációval sok kérdést megismételhet a geometria tanfolyamról. De a lényeg az, hogy az ilyen példákon keresztül a tanulók szisztematikus, átfogó elemzés rajz, formálódik és fejlődik „geometriai látásuk”, csiszolódik intuíciójuk.
Például be ABC háromszög Magasság , , . A , , , pontok sorba vannak kötve (6. ábra). Keresse meg az ezen a konfiguráción végrehajtott tulajdonságokat és kapcsolatokat."
Ez a konfiguráció gazdag anyagot biztosít a „Szögek egy háromszögben”, „Hasonlóság”, „Területek” kérdések megismétléséhez. hasonló figurák" A körülírt kör összeadásával beírt szögeket, stb.
A konfigurációval dolgozva a tanulók „saját” tételeket fedezhetnek fel, például: „Egy háromszög magassága tartalmazza a háromszög felezőit.”
Ha ilyen problémákkal dolgozik, használhatja a következő technikát. A tanulók házi feladatot kapnak – meg kell találni az adott konfigurációban megvalósított tulajdonságokat és kapcsolatokat, majd a talált tulajdonságok felhasználásával létrehozni saját problémáikat. Ezeket a feladatokat meg lehet beszélni a következő órán az egész osztállyal, vagy javasolni is lehet önálló döntés osztályban. Egyfajta matematikai verseny folyik – ki tudja a legtöbb „saját” feladatot kitalálni, és a legtöbb „mások” problémáját megoldani.
A gyakorlatok, különösen, ha ismétlődnek, nehéz leckék. Itt a tanárnak figyelembe kell vennie az időfaktort, és egyúttal meg kell ismételnie a téma fő tartalmát. Ehhez egy átgondolt gyakorlati rendszert kell ismétlésre leadni, amely biztosítaná az oktatási anyag mély és átfogó megértését.
Az is nagyon hasznos, különösen év végén, amikor az összes anyagot megismétlik, javasolni a tanulóknak, hogy ugyanazokra a problémákra találjanak megoldást. különböző utak. Néha ez a probléma rajzának különböző változataival érhető el. Először maga a tanár javasol egy feladatot és hozzá egy rajzot különféle változatokban, majd követeli, hogy a javasolt rajz alapján készítsék el a feladat megoldását.
Például egy feladat. "Határozza meg egy trapéz területét, amelynek alapjai 60 cm és 20 cm, oldalai 13 cm és 37 cm."
Oldja meg a feladatot a rajzok alapján egyenlet összeállításával (7. ábra).
| |
A tanulók a feladat megoldását a rajzhoz igazítják, különféle kombinációkban mutatják be a korábban tárgyalt anyag egyes rendelkezéseit, miközben nem mindig ugyanazok a rendelkezések szolgálnak alapul (ötletként) egy adott probléma megoldásához. Következésképpen az órán megvizsgálva, majd otthon elemezve egy probléma megoldását különféle rajzok segítségével, a tanulók rövid időszak ismételje meg a lényeges anyagokat a tárgyaltakból. De az ilyen munka más szempontból is pozitívum A hallgatók az ilyen példákból látják, hogy a gyakorlatban közvetlen földi mérésekre van szükség, az adatok kiválasztását gyakran a terület adottságai határozzák meg, ezért szükséges az adatok előkészítése. e feltételeknek megfelelően.
A sokféle problémamegoldás tapasztalatai alapján megkérdeztük a hallgatókat az egyes megoldási módok összehasonlító értékeléséről, az erőfeszítés gazdaságosság, a kecsesség és az egyszerűség kritériumának való megfelelésének mértékéről, egyszóval arra kértük őket, hogy értékeljék. a megoldás minősége.
Ismétléskor önálló munka alkalmazására van szükség.
A vizsgált példák azt mutatják be, hogy egy értelmes gyakorlat hogyan kényszeríti a hallgatót arra, hogy hivatkozzon a korábban megszerzett tudásra, frissítse azokat emlékezetében és alkalmazza a gyakorlatban.
Ismétlés szavazáskor
A tanulók tudásának figyelembe vétele is szolgálja az áttekintett tananyag megismétlését. A tudás tesztelése a képzés során az oktatási anyagok megszilárdítása érdekében nagyon hatékonyan használható az állandó és szisztematikus ismétlésre. Csak gondosan kell kiválasztani a kérdéseket és a gyakorlatokat (példákat és feladatokat), hogy ugyanaz a példa a leckében egyaránt szolgálja az új megszilárdítását és a régi megismétlését.
A matematikatanítás gyakorlatában gyakran végeznek frontális tudáspróbát, amely lehetőséget ad a tanárnak, hogy sok tanulót a helyszínen kikérdezzen. A frontális tudástesztet egy tapasztalt tanár is használja a tanuláshoz vezető anyagok ismétlésére új téma.
Az elülső ellenőrzést általában betörés után alkalmazzák tréningek annak érdekében, hogy a szünet előtt ellenőrizze a vizsgált anyag asszimilációs erejét.
Elvégzett témában végzett tananyag ismétlésekor, illetve negyedév, félév, tanév végén célszerű frontellenőrzést végezni. Az elülső ellenőrzés az ismétlés megerősítésének eszköze és egyben az ellenőrzés egy formája.
De az ismétlés más típusú felmérésekkel is elvégezhető; csak az a kérdés, hogy a tanár hogyan tudja erre a célra felhasználni a kérdőíveket.
A kérdezés az oktatási anyagok ismétlésének egyik aktív eszköze, és egyben a tanulók szisztematikus ismétlésre való befolyásolásának eszköze.
Egy barát válaszának és a tanár megjegyzéseinek vagy mások magyarázatainak, kiegészítésének meghallgatásával a tanulók kiegészítik és elmélyítik tudásukat a témában, megismétlik és megszilárdítják az anyagot.
Mindegyik az övé személyes tapasztalat elmondhatjuk, hogy semmi sem olyan egyértelműen és határozottan asszimilálható, mint az az anyag, amelyre a hallgató válaszolt vagy elmagyarázta másoknak.
A kérdezés segítségével a tanár különféle problémákat old meg.
A nevelési vizsgálat révén a tanár jobban végrehajtja az ismétlési feladatokat. Ez látszólag azzal magyarázható, hogy egy ilyen felméréssel nyugodt, nyugodtabb kapcsolat jön létre az osztály és a tanár között, megszűnik a félelem a rossz választól, a félelem hiánya pedig kedvező pszichológiai környezetet teremt, ill. a tanulók intenzíven dolgoznak.
Természetesen a felmérés az anyag konszolidációjának egyik módja, de az ismétlést csak a felmérés során szabad elvégezni, vagy fordítva, a felmérés csak ismétlésre redukálható. baklövés.
Azok. feladatvégzéskor meg kell követelni a hallgatótól, hogy elméletre hivatkozva igazolja tetteit, akkor itt már van egy elméletismétlés, ami a megoldásban is alkalmazásra talált. ennek a megbízásnak.
Csak egy ilyen felmérés segítségével lehet megállapítani a korábban elsajátított elmélet tudatosságának és erejének fokát, valamint a problémamegoldásban való alkalmazásának képességét.
A frontális tesztelés a tudás erősségének szóbeli tesztelésének kényelmes formája a matematika órákon. Itt a tesztet nem azért nevezik frontálisnak, mert a tanár az osztály összes tanulójának tudását teszteli, hanem azért, mert egy ilyen teszt során az összes fő kérdést az egész osztálynak felteszik, és a feltett kérdésekre adott válaszokat elfogadja. nagy szám hallgatók.
Az elülső ellenőrzés időtartama a körülményektől függően változhat.
A frontális teszt előnye, hogy lehetővé teszi sok diák tudásának tesztelését kevés időveszteséggel, ami lehetővé teszi a korábban tanult anyagok asszimilációjának minőségének teljesebb és pontosabb meghatározását.
Ez az ellenőrzési forma jól kombinálható az ismétlés funkcióival, különösen az egyes befejezett témák vagy programrészek általános ismétlésével.
Ezen kívül frontális ellenőrzés is a legjobb orvosság szóbeli válaszkészség tesztelésére, megtanítja a tanulókat gondolataik pontos és tömör kifejezésére, figyelmességre, ami kiemelten fontos, aktivizálja, élénkíti a tanulók munkáját.
Matematika órán a frontális ellenőrzés hoz nagy haszonúj tananyag bemutatása előtt, amikor a tesztelt tartalma az alapja annak, hogy a tanár az új anyagot bemutatja. Például, mielőtt elmagyarázná a kör arányos vonalairól szóló anyagot, elölről megismételheti a következő kérdéseket:
1) Mit nevezünk akkordnak?
2) Mit nevezünk átmérőnek, és milyen tulajdonságai vannak?
3) Milyen háromszögeket nevezünk hasonlónak?
4) Fogalmazd meg a háromszögek hasonlóságának mindhárom kritériumát!
5) Milyen szöget nevezünk beírt szögnek, és hogyan mérjük?
6) Mit mondhatunk az azonos ív alapján írt szögekről?
7) Melyik két szöget nevezzük függőlegesnek?
8) Milyen tulajdonságai vannak a függőleges szögeknek?
Az összes anyag megismétlése után a tanulók könnyen észlelik és világosan megértik az ebben a részben bemutatott anyagot.
Az ismétlési kérdőív nem külön kérdőív, azonban vannak olyan jellemzői, amelyeket nem lehet figyelmen kívül hagyni. Ezek a jellemzők abban rejlik, hogy ebben az esetben több, esetenként a program különböző szakaszaiból vett anyagról van szó, és a hallgatónak össze kell hasonlítania, szembe kell állítania ezt az anyagot, jeleznie kell a hasonlóságokat és különbségeket, más logikai összefüggésben kell megértenie, mi az új és korábban tárgyalt, és általánosításokat tenni.
Ismétlés házi feladaton keresztül
A tanuló nevelő-oktató munkája nem korlátozódik Nagyszerű munka; otthon folytatódik, a házi feladatokkal nagyszerű hely az elmélet megszilárdítása és a releváns készségek fejlesztése közben. Két szélsőség létezik ebben a látszólag egyértelmű kérdésben, ami a tanári házi feladatot illeti.
1) A leckében nem történik kellő munka az újonnan tanult anyag megszilárdítására, ezt az anyagot otthon hagyják az önálló konszolidációhoz.
2) Minden megerősítési munkát az órán végeznek, és semmit nem hagynak otthon a tanuló önálló munkájára.
Mindkét szélsőség egyformán elfogadhatatlan az iskola számára. Itt a két munkatípus pedagógiailag megfelelő kombinációjára van szükség, az egész szerves részeként oktatási tevékenységek diák.
Anyag kiválasztásakor házi feladat a tanár figyelembe veszi az új anyag mély és tudatos asszimilációjához szükséges anyag felvételének szükségességét. A házi feladat a felejtés megelőzésére szolgáló anyagot is tartalmaz. A házi feladatnak általában tartalmaznia kell: elméleti anyagot, különféle gyakorlatokat, diagramok és táblázatok készítését, szemléltető segédanyagok készítését, grafikonok rajzolását stb.
A házi feladat változatos legyen az anyag tartalmában és a feladat elvégzésének módszereiben.
A kreatív házi feladat nagyon hasznos: ismételje meg a „Négyszögek” témát otthon, „nyitva” amennyire csak lehetséges több jel rombusz (I lehetőség), téglalap jellemzői (II lehetőség), négyzet jellemzői ( lehetőség III). A megfogalmazott tételeket támaszd alá bizonyítással!
A házi feladat céljától függően feloszthatók a következő típusok:
1) Házi feladat a konszolidáció céljából elméleti anyag, elmagyarázzák az órán, és gyakorlatok a készség megszilárdítására.
2) Házi feladat ismétlés (tehát elmélyítés és kiegészítés) céljára.
3) Házi feladat az egyes tanulókban vagy az egész osztályban feltárt hiányosságok orvoslására.
4) Házi feladat egy adott témakör vagy szakasz anyagának összefoglalására, annak utólagos rendszerezésére.
5) Egy-egy ismétléssel kapcsolatos házi feladat, különösen a negyedév végi tematikus és záró ismétléssel, év végén az anyag egészének áttekintésére.
A tananyag jellegétől és a házi feladat elkészítésének módjától függően a házi feladatok megfigyelése elvégezhető az órán szóban, írásban vagy a füzetek otthoni átnézésével.
A feltárt tudáshiányok kiküszöböléséhez, illetve a tanulók ismereteinek elmélyítéséhez kapcsolódó házi feladatok összeállításának és lebonyolításának módszertanára vonatkozóan bizonyos kérdésekben. Ehhez használhatja a rendszert egyéni feladatokat egy sor speciális kártya formájában a tanfolyam különböző szakaszaihoz. Ezeknek a kártyáknak teljes egészében le kell fedniük a program egy témájának vagy szakaszának összes kérdését, több sorozatban vannak összeállítva, míg a következő sorozat anyaga logikus folytatása az előzőnek.
A tanulókkal való munka ezen formája megvan az az előnye, hogy először is ezeken a speciálisan a téma egyes szakaszaihoz összeállított kártyákon a tanár gyorsan megtalálja. szükséges anyag, amelyet fel kell ajánlani a hallgatónak, másodszor pedig ugyanazokat a kártyákat, amelyekkel nagy siker osztályban használható kikérdezésre, rövid távra tesztek ah, stb.
Annak érdekében, hogy az ilyen ismétlés ne csak a készségeket, hanem a készségeket is elmélyítse elméleti tudás, a tankönyv megfelelő bekezdéseit jelezték; osztályban ezek közül a kérdések és gyakorlatok közül a legfontosabbakat közösen mérlegelték, megfelelő általánosításokat és elmélyítéseket tettek, az ismétlések eredményeit összegezték.
A tesztek helye az ismétlési rendszerben
A matematika tesztek szerves részét képezik tanterv; a tanuló önálló munkavégzésének egyik formáját képviselik.
A tesztek elősegítik a tanulók bekapcsolódását a folyamatos, mindennapi önálló munkába, tudásuk és készségeik elmélyítésére; mozgósítják és megszervezik a hallgatókat az anyag szisztematikus elmélyült tanulmányozására.
A teszteknek eszközként és módszerként kell szolgálniuk, ösztönözve a tanulókat az oktatási anyagok szisztematikus ismétlésére.
Az iskolák és a tanárok számára a tesztelés az önkontroll eszköze tudományos munka hallgatók, így ellenőrizheti, hogy a hallgatók elsajátították a tananyagot.
Az ismétlés során a tesztek témái és tartalma a tanár céljaitól és szándékaitól függ; ezeket azonban mindig a kurzus azon részén belül kell elvégezni, amelyet a teszt időpontjában megismételtek.
A tesztek tartalma olyan legyen, hogy kizárja annak lehetőségét, hogy a tanuló tankönyvekből kész választ adjon a feltett kérdésekre. A teszt kitöltése előtt a tanulónak nemcsak tankönyvekből kell anyagot gyűjtenie, hanem az ismételt anyag komoly feldolgozását is el kell végeznie: a jelenségek és tények összehasonlítását, összehasonlítását, elemzésüket, a teljes téma anyagának általánosítását, elmélyítését stb.
Ha a teszt a program következő témájában történik, akkor ebben az esetben a korábban kitöltött és már megismételt oktatási anyagot ezen a ponton kell tartalmaznia. Ez a korábban tárgyalt anyagokból származó kérdések bekerülése a tesztdolgozatok szövegébe, ha azok be vannak jelentkezve a rendszerbe, arra kényszeríti a tanulókat, hogy a korábban tárgyalt anyagot valamivel szélesebb körben ismételjék meg.
Ami a jelenlegi és a korábban lefedett anyag arányát illeti a tesztben, ajánlatos, hogy 30-40% legyen régi, ismétlődő anyag. A teszt időtartama eltérő lehet - 20 perctől. legfeljebb 2 óráig. De általában az iskolai gyakorlatban találkozunk egy órára tervezett tesztekkel. Ez az időtartam teljesen normális; fokozott aktivitást vált ki, és megtanítja a tanulókat az idő okos felhasználására.
A tesztmunka lehetőségeinek számának biztosítania kell, hogy a tanulók önállóan is elvégezhessék azt. A tapasztalat azt mutatja, hogy a lehetőségek száma nem lehet kevesebb négynél.
A tesztnek lehet elméleti és gyakorlatias természet; elméleti kérdéseket és gyakorlatokat egyaránt tartalmazhat.
A tesztnek minden esetben a következőket kell mutatnia:
a) hogyan sajátította el a hallgató a tananyagot, és milyen mértékben sajátította el a gyakorlati ismereteket;
b) milyen mértékben sajátította el a hallgató a téma önálló munkamódszerét;
c) a teszt kitöltésének tudatosságának fokát, azt, hogy a hallgató milyen mértékben tud általánosítást tenni a témában és azt helyesen előadni írás;
d) a feltett kérdésekre adott válaszok mélysége és teljessége, kutatási készségek, a matematikai terminológia elsajátítása, a munka külső megtervezése.
A módszertanilag helyesen megszervezett tesztmunka rászoktatja a tanulót, hogy az aktuális ismétléshez szisztematikusan és körültekintően végezze el a feladatokat, így az ellenőrzés hatékonyabbá válik.
Így a korábban tárgyalt tananyagot tartalmazó tesztek hozzájárulnak a korábban tárgyalt oktatási anyagok szisztematikus ismétlésének megszervezéséhez.
Nem kevesebb fontos rendelkezik ellenőrzési papírokkal. Tól től helyes beállítás a tesztdolgozatok időbeni ellenőrzése pedig nagymértékben függ a tanulók önálló tananyagismétlésének minőségétől és sikerétől.
A tanuló munkájának ellenőrzésekor a tanárnak minden hibát, hiányosságot meg kell jegyeznie, az elemzés során jelezve, hogy mi a hiba lényege.
A munka gondos ellenőrzése, a szövegben megfelelő javítások és megjegyzések elvégzése után a tanárnak ki kell választania az összes szükséges adatot a teszt osztálybeli elemzéséhez.
A munka eredményeinek elemzése nagyon fontos szakasz a vezérlőrendszerben. Lehetővé teszi a diákok számára, hogy lássák fejlődésüket, valamint azokat a hiányosságokat, amelyeket még orvosolni kell.
A teszteredmények elemzésekor meg kell jegyezni a legsikeresebb munkákat; de részletesebben meg kell időznünk azokon jellemző hiányosságok, amely helyet kapott a tesztekben. Itt meg kell adnia a tesztek szövegében szereplő hibák elemzését és osztályozását. Ebben az esetben mindenekelőtt a probléma elméleti oldalát érintő hiányosságokat észlelik, és megfelelő utasításokat készítenek, vagy a legtöbb hibát tartalmazó szakaszokat megismétlik az órán. Ez a rész jelzi azokat a kérdéseket is, amelyeket nem sikerült megfelelően elsajátítani, és hiányosan mutatták be a tesztben.
Ha a szövegben feltárt hibák és hiányosságok olyan súlyosak, hogy akadályozhatják a kurzus további tanulmányozását, akkor a tesztben szereplő oktatási anyag alapos megismétlése után újra el kell végezni az ilyen munkát.
Így az egész szituációnak a teszt előtt olyannak kell lennie, hogy a tanuló akarva-akaratlanul is ismétlésre kényszerüljön.
Részletes elemzés a tesztmunka eredményei, a hibák elemzése, e hibák okainak megjelölése és magyarázata hozzájárult a régi anyag ismétléséhez, másodlagos megértéséhez, erősítéséhez.
Következtetés
Ez a tanulmányévfolyamon valósult meg azzal a céllal, hogy az ismétlés szervezési lehetőségeit tanulmányozzák egy geometria tanfolyamon a 7-9.
A tanulmány megkezdése előtt kitűzött főbb feladatok a munka megírása során elkészültek.
Az oktatási, módszertani és pszichológiai szakirodalom elemzése kimutatta, hogy az ismétlési órarendszer biztosítja a matematika megfelelő szintű oktatását, a tanulók tudása meglehetősen teljessé és erőssé válik.
Meghatározzák az ismétlés megszervezésének alapvető követelményeit.
A dolgozat két megközelítést vizsgál az ismétléstípusok osztályozására: az ismétlés időpontjától és az ismétlendő anyag tartalmától függően. Az egyes ismétléstípusokat röviden jellemzik, és kiemelik ennek az ismétlésnek a fő céljait és célkitűzéseit.
Meghatározták azokat a főbb ismétlési formákat, módszereket, amelyek elősegítik a tanulók ismétlési érdeklődésének, aktivitásának növelését.
A lektori leckék elkészítésének felsorolt követelményei lehetővé teszik az ismétlés lebonyolításának megszervezésében és módszertanában meglévő hiányosságok kiküszöbölését.
A munka elején feltett hipotézis a vizsgálat során beigazolódott.
Bibliográfia
1. A matematika oktatásának módszerei in Gimnázium: Általános technika. – M.: Nevelés, 1985.
2. Bradis V. M. A matematikatanítás módszerei a középiskolában. – M.: Uchpedgiz, 1954.
3. Osip A. A. A matematika középiskolai ismétlésének néhány kérdése. – M.: Uchpedgiz, 1960.
4. Geometria tanulása 7-9. – M.: Oktatás, 2000.
6. Korotkov V.I. Felkészülés az ismétlési órák levezetésére. // Matematika az iskolában. – 1980. – 6. sz.
7. Suvorova M. V. Leckék ismétlése és általánosítása egy matematika tanfolyamon. // Matematika az iskolában. – 1999. – 2. sz.
8. Grigorieva T. P., Perevoshchikova E. N. A tematikus ismétlés óráihoz a 7. osztályban. // Matematika az iskolában. – 1986. – 2. sz.
9. Barchunova F. M., Roitman P. B. Geometria tantárgy ismétlésének szervezése a X. osztályban. // Matematika az iskolában. – 1985. – 1. sz.
10. Mishchenko T. M. A planimetria tanfolyam utolsó megismétlése. // Matematika az iskolában. – 2001. – 3. sz.
11. Mishchenko T. M. A planimetria általánosító ismétlése. // Matematika az iskolában. – 2001. – 2. sz.
12. Berezina L. Yu., Nikolskaya I. L. Irányelvekévfolyam geometria tanfolyamának záróismétlésére a VI – VIII tankönyv A. V. Pogorelova. // Matematika az iskolában. – 1985. – 1. sz.
13. Pidkasisty P.I., Portnov M.L. A tanítás művészete. – M.: Orosz Pedagógiai Ügynökség, 1998.
14. Grudenov Ya I. A matematikatanítás módszereinek pszichológiai és pedagógiai alapjai. – M.: Nevelés, 1987.
15. Sevcsenko S. D. Iskolai lecke: hogyan kell mindenkit megtanítani. – M.: Oktatás, 1991.
16. Gazdagító ismétlés. // Matematika. – 2002. – 11. sz.
17. Kharitonov B.F. Ismétlési technikák és megoldási módszerek módszertana geometriai problémák. // Matematika az iskolában. – 1990. – 4. sz.
18. Kushnir I. A. A tanulók kreatív tevékenységének ápolása geometria-ismétlés órán. // Matematika az iskolában. – 1991. – 1. sz.
19. Kulikova M. A., Radkevich L. A. Ismétlés és általános geometriaórák szervezése a VIII. évfolyamon. // Matematika az iskolában. – 1980. – 6. sz.
20. Zaichenko N.V. A VIII. fokozatú algebratanfolyam általános ismétlésének három szakasza. // Matematika az iskolában. – 1985. – 1. sz.
21. Grishina T. S. Az ismétlés egyik formája. // Matematika az iskolában. – 2001. – 4. sz.
22. Geometria: Tankönyv. 7-9 évfolyamnak. / L. S. Atanasyani stb. - M.: Prosveshchenie, 1995.
23. Chulkova E. A háromszögek egyenlőségének jelei. Problémamegoldás. // Matematika. – 1990. – 3. sz.
24. Alieva N. Párhuzamos. Meghatározás és jel. // Matematika. – 2001. – 33. sz.
Alkalmazás
alatt tapasztalt oktatás folyt tanítási gyakorlat az 5. évben. A 10. osztályban kidolgozták és végrehajtották választható tevékenység a „háromszögek” téma általános megismétlése formájában. Ezt a témát ismétlésnek választottuk, mivel a háromszög a planimetria egyik fő alakja.
Javasoljuk ennek a leckének a továbbfejlesztését.
Általános lecke a „Háromszögek” témában.
Az óra céljai:
Tanterv:
1. Idő szervezése.
2. Elméleti anyag ismétlése.
3. Problémamegoldás.
4. A lecke összegzése.
5. Házi feladat.
Felszerelés:
A lecke menete:
1. Magyarázza meg, melyik alakzatot nevezzük háromszögnek! Nevezze meg a háromszög fő elemeit!
2. Nevezze meg a háromszögek főbb típusait!
3. Határozza meg egyenlő számok.
4. 
Egyenlőek-e a háromszögek (1. ábra). Magyarázza meg válaszát.
5. Fogalmazza meg az egyenlőség jeleit:
a) egyenlő oldalú háromszögek (1 lehetőség);
b) egyenlő szárú háromszögek (2. lehetőség);
c) derékszögű háromszögek (3. lehetőség).
6. Határozza meg a háromszög mediánját, felezőjét és magasságát!
7. Fogalmazza meg a medián tulajdonságát (felező, magasság) egyenlő szárú háromszög, az alaphoz tartva.
8. Problémák megoldása:
a) Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszög magassága kettéosztja az alapját, akkor a háromszög egyenlő szárú.
b) Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszög mediánja merőleges arra az oldalra, amelyre húzzuk, akkor a háromszög egyenlő szárú.
c) Bizonyítsa be egyenlő oldalú háromszög minden medián, magasság és felező egyenlő.
9. Mennyi egy háromszög szögeinek összege?
10. Adja meg a háromszög külső szögének meghatározását és tulajdonságait!
11. Problémák megoldása:
a) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög azonos csúcsában lévő belső és külső szögek felezőszögei merőlegesek.
b) Bizonyítsuk be, hogy egy egyenlő szárú háromszög alapjával párhuzamos csúcsán át húzott egyenes a külső szög felezője ebben a csúcsban.
c) Egy egyenlő szárú háromszög egyik szöge egyenlő a többiek különbségével. Keresse meg a háromszög szögeit!
d) Bizonyítsuk be, hogy a felezőmetszeteket tartalmazó egyenesek közötti szög éles sarkok derékszögű háromszögnek van egy állandó értéke.
e) Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszög két külső szöge egyenlő, akkor a háromszög egyenlő szárú.
12. Határozzon meg hasonló háromszögeket! Fogalmazzon meg egy tételt két hasonló háromszög területének arányáról!
13. Fogalmazza meg a háromszögek hasonlóságának jeleit!
a) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög bármely oldalával párhuzamos egyenes egy hasonló háromszöget vág le belőle.
b) Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra csökkentett magasság két, az eredetihez hasonló és egymáshoz hasonló háromszögre osztja.
c) Bizonyítsuk be, hogy két magasság alapjait összekötő szakasz hegyesszögű háromszög, levág egy ehhez hasonló háromszöget.
d) Fogalmazza meg a háromszögek hasonlóságának jellemzőit: téglalap, egyenlő szárú, egyenlő oldalú!
Problémamegoldás.
1. ábrán. 2, - szögfelező.
a) Bizonyítsd be, hogy .
b) Határozza meg a háromszögek területének arányát és , ha , .
2. 
ábrán. 3 derékszögű háromszög hypotenusával, .
a) Bizonyítsuk be, hogy a háromszög hasonló a háromszöggel.
b) Határozzuk meg a háromszög szárait, ha , , .
c) Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög körül kör írható. 
... – pedagógiai kísérlet. A kísérlet három szakaszban zajlott: 1. szakasz – megállapító kísérlet. Lebonyolítása során a hallgatók ismeretei tárultak fel a „Mérések felhasználása és helyszíni problémák megoldása bizonyos témák tanulmányozása során” témában. iskolai tanfolyam geometria" használatával különféle formákés módszerek az ismeretek azonosítására, mint például: felmérések, beszélgetések diákokkal és tanárokkal, ...
Rá célzott gyakorlati megvalósítás. 1.2.1. táblázat. A tanulás differenciálása. Külső Belső A tanulók tanulási szintjének megfelelő öndifferenciálása (változó összetettségű problémák megoldására) Speciális iskolák Órák elmélyülten A matematika tanulása a tanár határozza meg a fejlettségi és...
Problémás jellegű osztályozással, elemzéssel és szintézissel kapcsolatos feladatok, referencia diagramok. Mindez technikákat jelent kognitív tevékenység hallgatók. 3. fejezet A tanulók aktivizálásának technikái az általános iskolai matematika tanítási folyamatában a számozás tanulása során többjegyű számok 3.1. Az aktiválási technikák lényege A tanulói aktivitás elérése érdekében a matematika órán, ...
- A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz felével egyenlő alapkülönbségek
- A trapéz alapjai által alkotott háromszögek és az átlók metszéspontjáig terjedő szakaszai hasonlóak
- A trapéz átlóinak szegmenseiből álló háromszögek, amelyek oldalai a trapéz oldalsó oldalain fekszenek - egyenlő méretűek (ugyanolyan területűek)
- Ha a trapéz oldalait kiterjeszti a kisebb alap felé, akkor azok egy ponton metszik az alapok felezőpontjait összekötő egyenest
- A trapéz alapjait összekötő és a trapéz átlóinak metszéspontján átmenő szakaszt elosztjuk ezzel a ponttal a trapéz alapjainak hosszának arányában
- Vonalszakasz, párhuzamos az alapokkal az átlók metszéspontján áthúzott trapézt ezzel a ponttal felezzük, hossza pedig egyenlő 2ab/(a + b), ahol a és b a trapéz alapja
A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz tulajdonságai
Kössük össze az ABCD trapéz átlóinak felezőpontjait, aminek eredményeként lesz egy LM szakaszunk.
A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz a trapéz középvonalán fekszik.
Ez a szegmens párhuzamos a trapéz alapjaival.
A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz hossza megegyezik az alapjai különbségének felével.
LM = (KR - BC)/2
vagy
LM = (a-b)/2
A trapéz átlói által alkotott háromszögek tulajdonságai
Háromszögek, amelyeket a trapéz alapjai és a trapéz átlóinak metszéspontja alkotnak - hasonlóak.
A BOC és az AOD háromszögek hasonlóak. Mivel a BOC és az AOD szögek függőlegesek, egyenlőek.
Az OCB és OAD szögek olyan belső szögek, amelyek keresztben fekszenek az AD és BC párhuzamos egyenesekkel (a trapéz alapjai párhuzamosak egymással) és egy AC metszővonallal, ezért egyenlők.
Az OBC és az ODA szögei ugyanazon okból egyenlőek (belső keresztben).
Mivel egy háromszög mindhárom szöge egyenlő egy másik háromszög megfelelő szögeivel, ezek a háromszögek hasonlóak.
Mi következik ebből?
A geometriai problémák megoldásához a háromszögek hasonlóságát használják a következő módon. Ha ismerjük a hasonló háromszög két megfelelő elemének hosszát, akkor megtaláljuk a hasonlósági együtthatót (egyet osztunk a másikkal). Ahonnan az összes többi elem hossza pontosan azonos értékkel kapcsolódik egymáshoz.
A trapéz oldaloldalán fekvő háromszögek és átlói tulajdonságai
Tekintsünk két háromszöget, amelyek az AB és a CD trapéz oldaloldalain helyezkednek el. Ezek az AOB és a COD háromszögek. Annak ellenére, hogy ezeknek a háromszögeknek az egyes oldalainak mérete teljesen eltérő lehet, de a trapéz oldaloldalai és átlóinak metszéspontja által alkotott háromszögek területe egyenlő, azaz a háromszögek egyenlő méretűek.
Ha a trapéz oldalait kiterjesztjük a kisebb alap felé, akkor az oldalak metszéspontja egybeesik az alapok közepén áthaladó egyenes vonallal.
Így bármely trapéz háromszöggé bővíthető. Ahol:
- Hasonlóak a háromszögek, amelyeket egy trapéz alapjai alkotnak, amelyeknek közös csúcsa van a kiterjesztett oldalak metszéspontjában
- A trapéz alapjainak felezőpontjait összekötő egyenes egyúttal a megszerkesztett háromszög mediánja is
A trapéz alapjait összekötő szakasz tulajdonságai
Ha olyan szakaszt rajzolunk, amelynek végei egy trapéz alapjain fekszenek, és amely a trapéz átlóinak metszéspontjában van (KN), akkor az azt alkotó szakaszainak az alap oldalától a metszésponthoz viszonyított aránya az átlók közül (KO/ON) egyenlő lesz a trapéz alapjainak arányával(BC/Kr. u.).
KO/ON = BC/AD
Ez az ingatlan a megfelelő háromszögek hasonlóságából következik (lásd fent).
A trapéz alapjaival párhuzamos szakasz tulajdonságai
Ha a trapéz alapjaival párhuzamos szakaszt rajzolunk, amely átmegy a trapéz átlóinak metszéspontján, akkor a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- Meghatározott távolság (KM) kettévágja a trapéz átlóinak metszéspontja
- Szakasz hosszaáthalad a trapéz átlóinak metszéspontján és párhuzamos az alapokkal egyenlő KM = 2ab/(a + b)
Képletek a trapéz átlóinak megtalálásához
a, b- trapéz alapok
CD- a trapéz oldalai
d1 d2- trapéz átlói
α β - szögek a trapéz nagyobb alapjával
Képletek a trapéz átlóinak megtalálásához az alapokon, oldalakon és az alapnál lévő szögeken keresztül
Az (1-3) képletek első csoportja az egyiket tükrözi alapvető tulajdonságait trapéz átlói:
1. A trapéz átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalsó oldalak négyzetösszegével plusz dupla termék az alapjait. A trapézátlók ezen tulajdonsága külön tételként igazolható
2 . Ez a képlet az előző képlet átalakításával kapott. A második átló négyzetét átdobjuk az egyenlőségjelen, majd kivonjuk a négyzetgyököt a kifejezés bal és jobb oldaláról.
3 . A trapéz átlójának hosszának meghatározására szolgáló képlet hasonló az előzőhöz, azzal a különbséggel, hogy egy másik átló marad a kifejezés bal oldalán
A következő képletcsoport (4-5) hasonló jelentésű és hasonló kapcsolatot fejez ki.
A (6-7) képletcsoport lehetővé teszi a trapéz átlójának megkeresését, ha ismert a trapéz nagyobb alapja, egyik oldala és az alapnál bezárt szög.
Képletek a trapéz átlóinak megtalálásához a magasságon keresztül
Feladat.
Az ABCD (AD | | BC) trapéz átlói az O pontban metszik egymást. Határozzuk meg a trapéz BC alapjának hosszát, ha AD alap = 24 cm, AO hossza 9 cm, OS hossza 6 cm.
Megoldás.
A probléma megoldása ideológiailag abszolút megegyezik az előző problémákkal.
Az AOD és a BOC háromszögek három szögben hasonlóak - az AOD és a BOC függőlegesek, a többi szög pedig páronként egyenlő, mivel egy egyenes és két párhuzamos egyenes metszéspontjából jönnek létre.
Mivel a háromszögek hasonlóak, minden geometriai méretük összefügg egymással, akárcsak az általunk ismert AO és OC szakaszok geometriai méretei a feladat feltételei szerint. Azaz
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/Kr. e
Kr.e. = 24 * 6/9 = 16
Válasz: 16 cm
Feladat .
Az ABCD trapézben ismert, hogy AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Keresse meg a trapéz területét. 
Megoldás .
Ahhoz, hogy megtaláljuk a trapéz magasságát a kisebb B és C alap csúcsaiból, két magasságot csökkentünk a nagyobb alapra. Mivel a trapéz nem egyenlő, jelöljük a hosszúságot AM = a, hosszúságot KD = b ( nem tévesztendő össze a képletben szereplő jelöléssel a trapéz területének megtalálása). Mivel a trapéz alapjai párhuzamosak, és a nagyobb alapra merőlegesen ejtettünk két magasságot, akkor az MBCK egy téglalap.
Eszközök
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
A DBM és ACK háromszögek téglalap alakúak, így derékszögüket a trapéz magassága alkotja. Jelöljük a trapéz magasságát h-val. Aztán a Pitagorasz-tétel szerint
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
És
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Vegyük figyelembe, hogy a = 16 - b, akkor az első egyenletben
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Helyettesítsük be a magasság négyzetének értékét a Pitagorasz-tétel segítségével kapott második egyenletbe. Kapunk:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Tehát KD = 12
Ahol
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Keresse meg a trapéz területét a magasságán és az alapok összegének felén keresztül
, ahol a b - a trapéz alapja, h - a trapéz magassága
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm2
Válasz: a trapéz területe 80 cm2.
A különféle tesztek és vizsgák anyagaiban nagyon gyakran megtalálhatók trapézproblémák, melynek megoldásához tulajdonságainak ismerete szükséges.
Nézzük meg, milyen érdekes és hasznos tulajdonságokkal rendelkezik a trapéz a problémák megoldásához.
A trapéz középvonalának tulajdonságainak tanulmányozása után megfogalmazható és bizonyítható egy trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz tulajdonsága. A trapéz átlóinak felezőpontjait összekötő szakasz egyenlő az alapok különbségének felével.
MO – középvonal ABC háromszögés egyenlő 1/2ВС (1. ábra).
MQ az ABD háromszög középső vonala, és egyenlő 1/2AD-vel.
Ekkor OQ = MQ – MO, tehát OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).
Ha sok feladatot megoldunk egy trapézon, az egyik fő technika az, hogy két magasságot rajzolunk bele.
Tekintsük a következő feladat.
Legyen BT a magasság egyenlő szárú trapéz ABCD BC és AD bázisokkal, BC = a, AD = b. Határozza meg az AT és TD szakaszok hosszát!
Megoldás.
A probléma megoldása nem nehéz (2. ábra), de lehetővé teszi, hogy megkapja a csúcsból húzott egyenlő szárú trapéz magasságának tulajdonsága tompaszög : egy tompaszög csúcsából húzott egyenlőszárú trapéz magassága a nagyobb alapot két szegmensre osztja, amelyek közül a kisebbik az alapok különbségének felével, a nagyobb pedig az alapok összegének felével .
A trapéz tulajdonságainak tanulmányozásakor figyelni kell egy ilyen tulajdonságra, mint a hasonlóságra. Tehát például egy trapéz átlói négy háromszögre osztják, és az alapokkal szomszédos háromszögek hasonlóak, az oldalakkal szomszédos háromszögek pedig egyenlő méretűek. Ezt az állítást nevezhetjük olyan háromszögek tulajdonsága, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Sőt, az állítás első része nagyon könnyen igazolható a kétszögű háromszögek hasonlóságának jelével. Bizonyítsuk be nyilatkozat második része.
A BOC és a COD háromszögeknek közös a magassága (3. ábra), ha a BO és OD szakaszokat vesszük alapul. Ekkor S BOC /S COD = BO/OD = k. Ezért S KOI = 1/k · S BOC .
Hasonlóképpen a BOC és az AOB háromszögek magassága közös, ha a CO és OA szakaszokat vesszük alapul. Ekkor S BOC /S AOB = CO/OA = k és S A O B = 1/k · S BOC .
Ebből a két mondatból az következik, hogy S COD = S A O B.
Ne a megfogalmazott állításnál időzzünk, hanem találjunk azoknak a háromszögeknek a területei közötti kapcsolat, amelyekre a trapéz az átlóival fel van osztva. Ehhez oldjuk meg a következő problémát.
Legyen O pont az ABCD trapéz átlóinak a BC és AD alapokkal való metszéspontja. Ismeretes, hogy a BOC és AOD háromszögek területe S 1, illetve S 2. Keresse meg a trapéz területét.
Mivel S COD = S A O B, akkor S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.
A BOC és AOD háromszögek hasonlóságából az következik, hogy BO/OD = √(S₁/S 2).
Ezért S1/S COD = BO/OD = √(S1/S 2), ami azt jelenti, hogy S COD = √(S 1 · S 2).
Ekkor S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.
A hasonlóságot felhasználva bebizonyosodik, hogy az alapokkal párhuzamos trapéz átlóinak metszéspontján átmenő szakasz tulajdonsága.
Mérlegeljük feladat:
Legyen O pont az ABCD trapéz átlóinak a BC és AD alapokkal való metszéspontja. BC = a, AD = b. Határozza meg a trapéz alapokkal párhuzamos átlóinak metszéspontján átmenő PK szakasz hosszát! Mely szakaszokat osztja PK az O ponttal (4. ábra)?
Az AOD és BOC háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/OC = AD/BC = b/a.
Az AOP és ACB háromszögek hasonlóságából következik, hogy AO/AC = PO/BC = b/(a + b).
Ezért PO = BC b / (a + b) = ab / (a + b).
Hasonlóképpen a DOK és DBC háromszögek hasonlóságából az következik, hogy OK = ab/(a + b).
Ezért PO = OK és PK = 2ab/(a + b).
Tehát a bizonyított tulajdonság a következőképpen fogalmazható meg: a trapéz alapjaival párhuzamos szakaszt, amely áthalad az átlók metszéspontján, és összeköt két pontot az oldalsó oldalakon, felezik a trapéz metszéspontjával. Diagonal vonalok. Hossza a trapéz alapjainak harmonikus középértéke.
Következő négypontos tulajdonság: trapézban az átlók metszéspontja, az oldalak folytatásának metszéspontja, a trapéz alapjainak felezőpontjai egy egyenesen fekszenek.
A BSC és az ASD háromszögek hasonlóak (5. ábra)és mindegyikben az ST és SG mediánok egyenlő részekre osztják az S csúcsszöget. Ezért az S, T és G pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el.
Ugyanígy a T, O és G pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el. Ez a BOC és az AOD háromszögek hasonlóságából következik.
Ez azt jelenti, hogy mind a négy S, T, O és G pont ugyanazon az egyenesen fekszik.
A trapézt két hasonló szakaszra osztó szakasz hosszát is megtalálhatja.
Ha az ALFD és az LBCF trapézok hasonlóak (6. ábra), akkor a/LF = LF/b.
Ezért LF = √(ab).
Így a trapézt két hasonló trapézre osztó szakasz hossza megegyezik az átlaggal geometriai hosszúság okokból 
Bizonyítsuk be A trapézt két egyenlő területre osztó szakasz tulajdonsága.
Legyen a trapéz területe S (7. ábra). h 1 és h 2 a magasság részei, x pedig a kívánt szakasz hossza.
Ekkor S/2 = h 1 (a + x)/2 = h 2 (b + x)/2 és
S = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.
Hozzunk létre egy rendszert
(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h 1 · (a + x) = (h 1 + h 2) · (a + b)/2.
Ezt a rendszert megoldva x = √(1/2(a 2 + b 2)) kapjuk.
És így, a trapézt két egyenlő részre osztó szakasz hossza egyenlő √((a 2 + b 2)/2)(az alaphosszak átlagos négyzete).
Tehát az AD és BC bázisú ABCD trapézre (BC = a, AD = b) bebizonyítottuk, hogy a szakasz:
1) A trapéz oldalsó oldalainak felezőpontjait összekötő MN párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok félösszegével (átlag számtani számok a és b);
2) A trapéz alapjaival párhuzamos átlóinak metszéspontján áthaladó PK egyenlő
2ab/(a + b) (átlag harmonikus számok a és b);
3) Az LF, amely egy trapézt két hasonló trapézre oszt, hossza megegyezik az átlaggal geometriai számok a és b, √(ab);
4) EH, amely egy trapézt két egyenlő részre oszt, hossza √((a 2 + b 2)/2) (az a és b számok négyzetes középértéke).
Beírt és körülírt trapéz jele és tulajdonsága.
A beírt trapéz tulajdonságai: trapéz akkor és csak akkor írható a körbe, ha egyenlő szárú.
A leírt trapéz tulajdonságai. A trapéz akkor és csak akkor írható le egy kör körül, ha az alapok hosszának összege egyenlő az oldalak hosszának összegével.
Hasznos következményei annak, hogy egy kört trapézba írnak:
1. A körülírt trapéz magassága megegyezik a beírt kör két sugarával.
2. Oldal A leírt trapéz a beírt kör középpontjából derékszögben látható.
Az első nyilvánvaló. A második következmény bizonyításához meg kell állapítani, hogy a COD szög megfelelő, ami szintén nem nehéz. De ennek a következménynek az ismerete lehetővé teszi a derékszögű háromszög használatát a problémák megoldása során.
Pontosítsuk egy egyenlő szárú körülírt trapéz következményei:
Egy egyenlő szárú körülírt trapéz magassága a trapéz alapjainak geometriai átlaga
h = 2r = √(ab).
A figyelembe vett tulajdonságok lehetővé teszik a trapéz mélyebb megértését, és sikert biztosítanak a problémák megoldásában a tulajdonságai segítségével.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan oldja meg a trapézproblémákat?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!
blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete