Tanulság a sorozatból " Geometriai algoritmusok»

Szia kedves olvasó.

A számítási geometria számos problémájának megoldása a megtaláláson alapul sokszög terület. Ebben a leckében levezetünk egy képletet egy sokszög területének kiszámítására a csúcsok koordinátái alapján, és írunk egy függvényt ennek a területnek a kiszámításához.

Feladat. Számítsa ki a sokszög területét, koordinátákkal megadva csúcsaik, az óramutató járásával megegyező irányban megkerülve.

Insights from Computational Geometry

A sokszög területének képletének levezetéséhez a számítási geometriából származó információkra van szükségünk, nevezetesen a háromszög orientált területének fogalmára.

A háromszög orientált területe egy táblával ellátott közönséges terület. Egy háromszög orientált területének jele ABC ugyanaz, mint a és a vektorok közötti orientált szög. Vagyis az előjele attól függ, hogy milyen sorrendben szerepelnek a csúcsok.

Tovább rizs. 1 ABC háromszög– téglalap alakú. Irányított területe egyenlő (it Nulla felett, mivel a pár pozitívan orientált). Ugyanez az érték más módon is kiszámítható.

Hadd RÓL RŐL– a sík tetszőleges pontja. Ábránkon a terület ABC háromszögúgy kapjuk, hogy az OAB és OCA területeket kivonjuk az OBC háromszög területéből. Szóval csak kell orientált területek hozzáadása OAB, OBC és OCA háromszögek. Ez a szabály bármely pontválasztásra érvényes RÓL RŐL.

Hasonlóképpen, bármely sokszög területének kiszámításához össze kell adnia a háromszögek orientált területeit

Az összeg a sokszög területe lesz pluszjellel, ha a sokszög áthaladásakor a sokszög bal oldalon van (a határ óramutató járásával ellentétes irányban), és mínuszjellel, ha a jobb oldalon van ( az óramutató járásával megegyező irányban haladva).

Tehát a sokszög területének kiszámítása egy háromszög területének meghatározására csökkent. Lássuk, hogyan fejezzük ki koordinátákkal.

Két vektor keresztszorzata egy síkon az ezekre a vektorokra felépített paralelogramma területe.

Keresztszorzat vektorkoordinátákkal kifejezve:

A háromszög területe ennek a területnek a fele lesz:

A koordináták origóját célszerű O pontnak venni, ekkor azoknak a vektoroknak a koordinátái, amelyek alapján az orientált területeket számítják, egybeesnek a pontok koordinátáival.

Legyen (x 1, y 1), (x 2, y 2), ..., (x N, y N) - egy adott sokszög csúcsainak koordinátái az óramutató járásával megegyező vagy azzal ellentétes bejárási sorrendben. Ekkor az S orientált területe egyenlő lesz:

Ez a miénk munkaképlet, ezt használjuk programunkban.

Ha a csúcsok koordinátáit az óramutató járásával ellentétes sorrendben adtuk meg, akkor a szám S, ezzel a képlettel számítva pozitív lesz. BAN BEN másképp negatív lesz, és a szokásos geometriai terület eléréséhez fel kell venni az abszolút értékét.

Tehát nézzünk meg egy programot egy sokszög területének megtalálására a csúcsok koordinátái által.

Program geom6; Állandó n_max=200; ( maximális összeget pont+1) típus b=rekord x,y:real;

vége; myArray= b tömbje; var input:text; A:myArray;

s:real;

1.2 i,n:integer; eljárás ZapMas(var n:integer; var A:myArray); (A tömb kitöltése) begin assign(input,"input.pas");

reset(input);

readln(bemenet, n);

for i:=1 to n do read(bemenet, a[i].x,a[i].y);

1.3 bezár(input); vége; függvény Négyzet (A:myarray): valós; (Egy sokszög területének kiszámítása) var i:integer;

S: valódi; kezdődik a.x:=a.x; a.y:=a.y;

s:=0;

ha i:=1-től n do s:= s + (a[i].x*a.y - a[i].y*a.x);

s:=abs(s/2);

Négyzet:= S vége; (négyzet) kezd (fő) Zapmas(n, a);

PrintMas(a);

S:= Négyzet(a);

writeln("S= ",s:6:2); vége.

A csúcsok koordinátái az input.pas. fájlból kerülnek kiolvasásra, egy tömbben tárolva

A

két mezős rekordként. A sokszög bejárásának kényelme érdekében n+1 elem kerül be a tömbbe, amelyek értéke megegyezik a tömb első elemének értékével.

1.1 Területszámítás az ókorban

Különböző megközelítések

a „terület”, „sokszög”, „egy sokszög területe” fogalmak tanulmányozására

1.2.1 A terület fogalma. Terület tulajdonságai

1.2.2 A sokszög fogalma

1.2.3 A sokszög területének fogalma. Leíró meghatározás

2. fejezet A sokszögek területeinek tanulmányozásának módszertani jellemzői a matematika órákon

2.1 Tematikus tervezésés a matematika elmélyült tanulmányozásával járó osztályok tanításának jellemzői

2.2 A tanórák levezetésének módszertana

2.3 A kísérleti munka eredményei

Következtetés

Irodalom

Bevezetés

A „Sokszögek területe” téma az iskolai matematika tanfolyam szerves része, ami teljesen természetes. Hiszen történelmileg a geometria megjelenése összefügg az összehasonlítás igényével földterületek ilyen vagy olyan formában. Meg kell azonban jegyezni, hogy oktatási lehetőségek ebben a témában Gimnázium messze vannak a teljes kihasználástól.

A matematika iskolai tanításának fő feladata, hogy a tanulók erős és tudatosan elsajátítsák a matematikai ismeretek és készségek rendszerét. Mindennapi életÉs munkaügyi tevékenység minden tagja modern társadalom, elegendő a tanuláshoz kapcsolódó tudományágakés a továbbképzés.

A matematika elmélyült tanulmányozása a fő probléma megoldása mellett magában foglalja a tantárgy iránti fenntartható érdeklődés kialakítását a hallgatókban, matematikai képességeik azonosítását és fejlesztését, a matematikához jelentős mértékben kapcsolódó szakmákra való orientációt, valamint az egyetemi tanulmányokra való felkészítést. .

A minősítő munka magában foglalja a matematika tantárgy tartalmát középiskolaés egy sor További kérdések, amely közvetlenül kapcsolódik ehhez a kurzushoz és mélyíti azt a fő ideológiai irányvonalak mentén.

A további kérdések felvételének két, egymással összefüggő célja van. Ez egyrészt a tantárgy főbb részeivel összekapcsolva a matematika iránti érdeklődést kielégítő, képességfejlesztési bázis megteremtése, másrészt ennek kiteljesítése a főétel tartalmi hiányosságait, a tartalom megadását elmélyült tanulmányozása szükséges integritás.

A minősítő munka egy bevezetőből, két fejezetből, egy következtetésből és a hivatkozott irodalomból áll. Az első fejezet a sokszögek területeinek tanulmányozásának elméleti alapjait tárgyalja, a második fejezet pedig közvetlenül módszertani jellemzői területek tanulmányozása.

1. fejezet. Elméleti alap sokszögek területeinek tanulmányozása

1.1 Területszámítás az ókorban

Rudiments geometriai ismeretek, a területek mérésével kapcsolatos, évezredek mélyén elvesznek.

Még 4-5 ezer évvel ezelőtt a babilóniaiak meg tudták határozni egy téglalap és a trapéz területét. négyzetegységek. A négyzet már régóta szabványként szolgál a területek mérésére számos figyelemre méltó tulajdonsága miatt: egyenlő oldalak, egyenlő és derékszögek, szimmetria és általános forma tökéletesség. A négyzeteket könnyű megépíteni, vagy kitöltheti a síkot hézagok nélkül.

BAN BEN ősi Kína A terület mértéke egy téglalap volt. Amikor a kőművesek meghatározták egy ház téglalap alakú falának területét, megszorozták a fal magasságát és szélességét. Ez a geometriában elfogadott definíció: a téglalap területe egyenlő a szorzatával szomszédos oldalak. Mindkét oldalt egyformán kell kifejezni lineáris egységek. A szorzatuk a téglalap területe lesz, a megfelelő négyzetegységekben kifejezve. Tegyük fel, hogy ha egy fal magasságát és szélességét deciméterben mérjük, akkor mindkét mérés szorzata négyzetdeciméterben lesz kifejezve. És ha az egyes szemközti tutaj területe az négyzet deciméter, akkor a kapott termék jelzi a burkoláshoz szükséges csempék számát. Ez következik a területek mérésének alapjául szolgáló állításból: a nem metsző alakzatokból összeállított alakzat területe egyenlő a területük összegével.

Az ókori egyiptomiak 4000 évvel ezelőtt majdnem ugyanazokat a technikákat alkalmazták, mint mi a téglalap, háromszög és trapéz területének mérésére: a háromszög alapját kettéosztották és megszorozták a magassággal; trapézhoz ugyanennyi párhuzamos oldalak ketté kell osztani és megszorozni a magassággal stb. Terület kiszámításához

oldalú négyszög (1.1. ábra), a képletet használtuk (1.1)

azok. A szemközti oldalak fele összegét megszoroztuk.

Ez a képlet nyilvánvalóan helytelen bármely négyszögre, ebből különösen az következik, hogy az összes rombusz területe azonos. Eközben nyilvánvaló, hogy az ilyen rombuszok területe a csúcsok szögeinek nagyságától függ. Ez a képlet csak téglalapra igaz. Segítségével megközelítőleg kiszámíthatja azon négyszögek területét, amelyek szögei közel állnak a derékszögekhez.

A terület meghatározásához

egyenlő szárú háromszög(1.2. ábra), amelyben az egyiptomiak közelítő képletet használtak:
(1.2) Rizs. 1.2 Az ebben az esetben elkövetett hiba annál kisebb, minél kisebb a különbség a háromszög oldala és magassága között, vagyis minél közelebb van a csúcs (és ) a -tól számított magasság alapjához. Éppen ezért az (1.2) közelítő képlet csak olyan háromszögekre alkalmazható, amelyek csúcsszöge viszonylag kicsi.

De már az ókori görögök tudták, hogyan kell helyesen megtalálni a sokszögek területét. Eukleidész „Elvei”-ben nem használja a „terület” szót, mivel magával az „figura” szóval a sík egyik vagy másik által határolt részét érti. zárt sor. Euklidész nem számmal fejezi ki a területmérés eredményét, hanem a területeket hasonlítja össze különböző figurák egymás között.

Mint mások ókori tudósok, Eukleidész egyes figurák azonos méretűvé alakításának kérdéseivel foglalkozik. Négyzet összetett figura nem fog változni, ha a részei eltérően vannak elrendezve, de metszéspont nélkül. Ezért például egy téglalap területére vonatkozó képletek alapján lehet képleteket találni más ábrák területére. Így egy háromszöget részekre osztunk, amelyekből azután azonos nagyságú téglalapot lehet kialakítani. Ebből a konstrukcióból az következik, hogy a háromszög területe egyenlő az alapja és magassága szorzatának felével. Egy ilyen átvágáshoz folyamodva azt találják, hogy a paralelogramma területe egyenlő az alap és a magasság szorzatával, a trapéz területe pedig az alapok és a magasság összegének felének a szorzata. .

Amikor a kőműveseknek bonyolult konfigurációjú falat kell csempézniük, meg tudják határozni a fal területét a burkoláshoz használt csempék számának megszámlálásával. Egyes csempéket természetesen le kell csiszolni, hogy a burkolat szélei egybeessenek a fal szélével. A munkában felhasznált összes csempe darabszáma a falfelületet felesleggel, a bontatlan csempék számát – hiányossággal – becsüli. A cellák méretének csökkenésével a hulladék mennyisége is csökken, és a csempék számán keresztül meghatározott falfelület egyre pontosabban kerül kiszámításra.

Az egyik későbbi görög matematikus és enciklopédista, akinek munkái főleg alkalmazott jellegűek voltak, Alexandriai Heron volt, aki az I. században élt. n. e. Lény kiváló mérnök, "Heron Mechanicus"-nak is nevezték. "Dioptrics" című munkájában Heron különféle gépeket és praktikus mérőműszereket ír le.

Heron egyik könyvét „Geometrics”-nek hívták, és egyfajta képletek és megfelelő problémák gyűjteménye. Példákat tartalmaz a négyzetek, téglalapok és háromszögek területének kiszámítására. A háromszög területének az oldalai alapján történő megtalálásáról Heron ezt írja: „Legyen például a háromszög egyik oldalának hossza 13 mérőzsinór, a másodiké 14, a harmadiké 15. A terület megkereséséhez folytassa. alábbiak szerint. Adjunk hozzá 13-at, 14-et és 15-öt; 42 lesz. Ennek a fele lesz 21. Vonjuk ki ebből egyenként a három oldalt; először vonj ki 13-at - marad 8, majd 14 - marad 7, végül 15 - marad 6. Most szorozd meg őket: 21-szer 8 168-at ad, ezt 7-szer - kapsz 1176-ot, és vedd meg ez még 6-szor - 7056-ot kapsz. Innentől a négyzetgyök 84 lesz. Ennyi mérőzsinór lesz a háromszög területén."

Terület meghatározásának képessége különféle figurák minden ember életében jelentős szerepet játszik. Előbb-utóbb meg kell birkózni ezzel a tudással. Például egy helyiség felújítása során a szükséges tapéta, linóleum, parketta, csempe tekercsek számának meghatározásához a fürdőszobában vagy a konyhában ki kell tudni számítani a szükséges területet.

A geometria területén szerzett ismereteket az ókori Babilonban és más országokban használták fel. A kultúra felé vezető első lépéseknél mindig szükség volt a terület, a távolság mérésére. Az első jelentős építmények építése során szükség volt a vertikális tartás képességére és a tervtervezésre.

Az emberek esztétikai igényeinek szerepe is jelentős volt. Az otthonok díszítése, a ruházat és a festés hozzájárult ahhoz a folyamathoz, amely a geometriával kapcsolatos információk kialakulását és felhalmozódását eredményezte, amelyet az akkori emberek megszereztek. empirikusan, apránként és nemzedékről nemzedékre továbbadva.

Ma a geometria ismerete szükséges a vágónak, az építőnek, az építésznek és mindenkinek az egyszerű embernek otthon.

Ezért meg kell tanulnia kiszámítani a különböző ábrák területét, és ne feledje, hogy a képletek mindegyike hasznos lehet később a gyakorlatban, beleértve a képletet is. szabályos hatszög. A hatszög egy sokszögű alak, amely teljes amelynek hat szöge van.

Szabályos hatszög területe

A szabályos hatszög egy hatszögletű alak, amelynek egyenlő oldalai vannak. Egy szabályos hatszög szögei is egyenlők egymással.

A mindennapi életben gyakran találkozhatunk olyan tárgyakkal, amelyek szabályos hatszög alakúak. Ez egy fém anya, és méhsejt sejtek, és egy hópehely szerkezete. A hatszögletű formák tökéletesen kitöltik a síkokat. Így például a térburkoló lapok burkolásakor megfigyelhetjük, hogy a csempék egymás mellé kerülnek, nem hagynak üres helyet.

Szabályos hatszög tulajdonságai

• Egy szabályos hatszögnek mindig egyenlő szögei vannak, amelyek mindegyike 120˚.
• Az ábra oldala megegyezik a körülírt kör sugarával.
• A szabályos hatszög minden oldala egyenlő.
• Egy szabályos hatszög szorosan kitölti a síkot.

A szabályos hatszög területe úgy számítható ki, hogy hat háromszögre osztja, amelyek mindegyikének egyenlő oldala lesz.

Terület kiszámításához szabályos háromszög a következő képletet használják:

Az egyik háromszög területének ismeretében könnyen kiszámíthatja a hatszög területét. A kiszámításának képlete egyszerű: mivel egy szabályos hatszög hat egyenlő háromszögek, meg kell szoroznunk a háromszögünk területét 6-tal.

Ha az ábra középpontjából merőlegest húzunk valamelyik oldalára, akkor egy apotém nevű szakaszt kapunk. Nézzük meg, hogyan találjuk meg egy ismert apotémű hatszög területét:

1. Terület = 1/2 * kerület * apothema.
2. Tegyük fel, hogy az apotémunk 5√3 cm.

1. Az apotém segítségével megtaláljuk a kerületet: Mivel az apotém a hatszög oldalára merőlegesen helyezkedik el, az apotém segítségével létrehozott háromszög szögei 30˚-60˚-90˚ lesznek. Az eredményül kapott háromszög mindkét oldala megfelel: x-x√3-2x, ahol a 30°-os szöggel szemben lévő rövid oldal x, a 60°-os szöggel szemközti hosszú oldal x√3, a befogó pedig 2x .
2. Mivel az apotémet x√3-ként ábrázoljuk, behelyettesíthetjük az a = x√3 képletbe, és megoldhatjuk. Ha például apothem = 5√3, akkor ezt az értéket behelyettesítjük a képletbe, és így kapjuk: 5√3 cm = x√3, vagy x = 5 cm.
3. Tehát a háromszög rövid oldala 5 cm. Mivel ez az érték a hatszög oldalának a fele, megszorozzuk 5-öt 2-vel, és 10 cm-t kapunk, ami az oldal hossza.
4. Az oldal hosszának ismeretében szorozza meg 6-tal, és kapja meg a hatszög kerületét: 10 cm x 6 = 60 cm
5. Helyettesítsük be a kapott eredményeket a képletünkbe:

Terület = 1/2 * kerület * apothema

Terület = ½*60cm*5√3

Most már le kell egyszerűsíteni a választ, hogy megszabaduljon tőle négyzetgyök, és adja meg a kapott eredményt négyzetcentiméterben:

½ * 60 cm * 5 √ 3 cm = 30 * 5 √ 3 cm = 150 √ 3 cm = 259,8 cm²

Videó arról, hogyan lehet megtalálni egy szabályos hatszög területét

Szabálytalan hatszög területe

Számos lehetőség van egy szabálytalan hatszög területének meghatározására:

• Trapéz módszer.
• Egy módszer a szabálytalan sokszögek területének kiszámítására a koordinátatengely segítségével.
• Módszer egy hatszög más alakzatokra való feltörésére.

Az Ön által ismert kezdeti adatoktól függően kiválasztják a megfelelő módszert.

Trapéz módszer

Egy tetszőleges (szabálytalan) alakú hatszög területét trapéz módszerrel számítják ki, amelynek lényege, hogy a hatszöget külön trapézokra osztják, majd kiszámítják mindegyik területét.

Módszer koordinátatengelyekkel

Ezenkívül a szabálytalan hatszög területe kiszámítható a szabálytalan sokszögek területének kiszámításának módszerével. Nézzük meg a következő példa segítségével:

A számítást a sokszög csúcsainak koordinátáinak felhasználásával végezzük:

1. Ebben a szakaszban készítsen egy táblázatot, és írja fel a csúcsok x és y koordinátáit. A csúcsokat szekvenciális sorrendben, az óramutató járásával ellentétes irányban választjuk ki, a lista végét az első csúcs koordinátáinak újbóli rögzítésével zárjuk:

1. Most meg kell szoroznia az 1. csúcs x koordinátáit a 2. csúcs y koordinátájával, és így folytatni kell a szorzást. Ezután össze kell adnia az eredményeket. Esetünkben 82 lett:

1. Az y1. csúcs koordinátaértékeit egymás után megszorozzuk a 2. csúcs x koordinátaértékeivel. Foglaljuk össze a kapott eredményeket. A mi esetünkben 38 lett:

1. A negyedik szakaszban kapott összeget levonjuk a harmadik szakaszban kapott összegből: 82 – (-38) = 120

1. Most el kell osztania a kapott eredményt előző szakaszbanés keresse meg az ábránk területét: S = 120/2 = 60 cm²

Módszer hatszög más alakzatokra való feltörésére

Minden sokszög több más alakzatra osztható. Ezek lehetnek háromszögek, trapézok, téglalapok. Az ismert adatok alapján a felsorolt ​​ábrák területeinek meghatározására szolgáló képletek segítségével szekvenciálisan kiszámolják, majd összegzik területeiket.

Néhány szabálytalan hatszög két paralelogrammából áll. A paralelogramma területének meghatározásához szorozza meg a hosszát a szélességével, majd adja hozzá a már ismert két területet.

Videó a sokszög területének megtalálásáról

Egy egyenlő oldalú hatszög területe

Egy egyenlő oldalú hatszögnek hat van egyenlő oldalakés szabályos hatszög.

Egy egyenlő oldalú hatszög területe megegyezik azon háromszögek 6 területével, amelyekre egy szabályos hatszögű alak van felosztva.

Minden háromszög egy hatszögben helyes forma egyenlőek, ezért egy ilyen hatszög területének meghatározásához elegendő legalább egy háromszög területét ismerni.

Egy egyenlő oldalú hatszög területének meghatározásához természetesen a szabályos hatszög területének fent leírt képletét használjuk.

Tudtad, hogyan kell megtalálni a hatszög területét? Mit gondol, hol lesz hasznos ez a tudás az életben? Ossza meg véleményét a

A geometriai problémák gyakran megkövetelik egy sokszög területének kiszámítását. Sőt, eléggé bírhat különféle formák- az ismerős háromszögből egy n-szögbe, ahol elképzelhetetlenül sok csúcs van. Ezenkívül ezek a sokszögek lehetnek domborúak vagy konkávak. Az összesben konkrét helyzet innen kell indulnia kinézet figurák. Így kiválaszthatja a probléma megoldásának optimális módját. Az ábra helyesnek bizonyulhat, ami nagyban leegyszerűsíti a probléma megoldását.

Egy kis elmélet a sokszögekről

Ha három vagy több metsző vonalat rajzol, akkor ezek egy bizonyos alakot alkotnak. Ő a sokszög. A metszéspontok száma alapján kiderül, hogy hány csúcsa lesz. Adják a nevet a kapott alaknak. Lehet, hogy:

Egy ilyen alakot minden bizonnyal két pozíció jellemez:

1. A szomszédos oldalak nem tartoznak ugyanahhoz az egyeneshez.
2. A nem szomszédosaknak nincs közös pontok, vagyis nem metszik egymást.

Annak megértéséhez, hogy mely csúcsok szomszédosak, meg kell nézni, hogy ugyanahhoz az oldalhoz tartoznak-e. Ha igen, akkor a szomszédok. Ellenkező esetben össze lehet őket kötni egy szegmenssel, amelyet átlónak kell nevezni. Csak olyan sokszögekben hajthatók végre, amelyeknek háromnál több csúcsa van.

Milyen típusok léteznek belőlük?

A négynél több sarkú sokszög lehet konvex vagy konkáv. Ez utóbbi között az a különbség, hogy egyes csúcsai mentén fekszenek különböző oldalak a sokszög tetszőleges oldalán áthúzott egyenesből. Konvex esetben az összes csúcs mindig egy ilyen egyenes egyik oldalán fekszik.

BAN BEN iskolai tanfolyam geometria a legtöbb időt kifejezetten konvex figurákra fordítanak. Ezért a problémák megkövetelik egy konvex sokszög területének megtalálását. Ezután van egy képlet a körülírt kör sugarára vonatkozóan, amely lehetővé teszi, hogy megtalálja a kívánt értéket bármely alakhoz. Más esetekben nincs egyértelmű megoldás. Háromszögnél a képlet egy, de négyzetnél vagy trapéznél teljesen más. Olyan helyzetekben, amikor az ábra szabálytalan vagy sok csúcs van, szokás egyszerű és ismerősre osztani.

Mi a teendő, ha az alaknak három vagy négy csúcsa van?

Az első esetben ez egy háromszög lesz, és használhatja az alábbi képleteket:

• S = 1/2 * a * n, ahol a az oldal, n a magassága hozzá;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), ahol a, b a háromszög oldalai, A az ismert oldalak közötti szög;
• S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), ahol c a háromszög oldala, a már jelzett kettőhöz p a fél kerülete, azaz mindhárom oldal összege osztva kettővel .

Egy négy csúcsú ábra paralelogrammává válhat:

• S = a*n;
• S = 1/2 * d 1 * d 2 * sin(α), ahol d 1 és d 2 átló, α a köztük lévő szög;
• S = a * in * sin(α).

A trapéz területének képlete: S = n * (a + b) / 2, ahol a és b az alapok hossza.

Mi a teendő egy szabályos sokszöggel, amelynek több mint négy csúcsa van?

Először is, egy ilyen alakra az a tény jellemző, hogy minden oldal egyenlő. Ráadásul a sokszögnek egyenlő szögei vannak.

Ha kört rajzol egy ilyen alakra, akkor annak sugara egybeesik a sokszög közepétől az egyik csúcsig tartó szegmenssel. Ezért a terület kiszámításához szabályos sokszög Val vel bármilyen szám csúcsok esetén a következő képletre lesz szüksége:

S n = 1/2 * n * R n 2 * sin (360º/n), ahol n a sokszög csúcsainak száma.

Ebből könnyen beszerezhető egy speciális esetekre hasznos:

1. háromszög: S = (3√3)/4 * R 2 ;
2. négyzet: S = 2 * R2;
3. hatszög: S = (3√3)/2 * R2.

A helyzet rossz alakkal

A megoldás arra, hogyan lehet megtudni egy sokszög területét, ha az nem szabályos és nem tulajdonítható egyik korábban ismert ábrának sem, a következő algoritmus:

• bontsa le egyszerű figurák például háromszögek, hogy ne metsszék egymást;
• számítsa ki területeiket bármilyen képlet segítségével;
• összeadjuk az összes eredményt.

Mi a teendő, ha a feladat egy sokszög csúcsainak koordinátáit adja meg?

Vagyis minden ponthoz ismert egy olyan számpár, amely az ábra oldalait korlátozza. Általában (x 1 ; y 1) az elsőhöz, (x 2 ; y 2) a másodikhoz, és az n-edik csúcsnak a következő értékei vannak (x n ; y n). Ezután a sokszög területét n tag összegeként határozzuk meg. Mindegyik így néz ki: ((y i+1 +y i)/2) * (x i+1 - x i). Ebben a kifejezésben i egytől n-ig változik.

Érdemes megjegyezni, hogy az eredmény előjele az ábra bejárásától függ. Ha a megadott képletet használja és az óramutató járásával megegyező irányba mozog, a válasz negatív lesz.

Minta feladat

Feltétel. A csúcsok koordinátáit a következő értékek határozzák meg (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Ki kell számolnia egy sokszög területét.

Megoldás. A fenti képlet szerint az első tag egyenlő lesz (1,8 + 0,6)/2 * (3,6 - 2,1). Itt csak ki kell venni az Y és X értékeket a második és az első pontból. Egy egyszerű számítás az 1.8 eredményhez vezet.

A második tagot hasonlóan kapjuk meg: (2,2 + 1,8)/2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Az ilyen problémák megoldása során ne féljen a negatív mennyiségektől. Minden úgy megy, ahogy kell. Ezt tervezik.

A harmadik (0,29), a negyedik (-6,365) és az ötödik tag (2,96) értékeit hasonló módon kapjuk meg. Ekkor a végső terület: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = -3,915.

Tanácsok olyan feladat megoldásához, ahol kockás papírra sokszöget rajzolnak

A leggyakrabban az a zavaró, hogy az adatok csak a cellaméretet tartalmazzák. De kiderül, hogy nincs szükség több információra. Javasoljuk ennek a feladatnak a megoldását, hogy az ábrát több háromszögre és téglalapra ossza fel. Területüket meglehetősen könnyű kiszámítani az oldalak hosszával, amely aztán könnyen összeadható.

De gyakran létezik egyszerűbb megközelítés is. Ez abból áll, hogy egy téglalapra rajzolunk egy ábrát, és kiszámítjuk a területét. Ezután számítsa ki azon elemek területét, amelyek feleslegesnek bizonyultak. Vonja le őket ebből általános jelentése. Ez a lehetőség néha valamivel kevesebb műveletet foglal magában.

Egy sokszög területe. Barátok! Itt van néhány probléma egy sokszöggel és egy körrel, amibe van írva. Van egy képlet, amely a sugárhoz kapcsolódik meghatározott körés a kerület egy ilyen sokszög területével. Itt is van:

Hogyan keletkezik ez a képlet? Éppen!

Van egy sokszögünk és egy beírt körünk. * Nézzük meg a következtetést egy ötszög példaként. Osszuk háromszögekre (kössük össze a kör középpontját és a csúcsokat szakaszokkal). Kiderül, hogy minden háromszög alapja a sokszög oldala és a magasságok háromszögeket alkottak egyenlő a beírt kör sugarával:

A háromszög területének képletével felírhatjuk:

Vegyük sorra a gyakori tényezőket:

Biztos vagyok benne, hogy maga az elv világos az Ön számára.

*A képlet levezetésénél nem számít a felvett sokszög oldalainak száma. BAN BEN Általános nézet a képlet kimenete így nézne ki:

*További információ!

A háromszögbe írt kör sugarának képlete ismert:

Nem nehéz észrevenni, hogy a kapott képletből származik, nézd (a, b, c a háromszög oldalai):

27640. Egy 20 kerületű sokszöget írunk le egy kör körül, amelynek sugara 3. Határozza meg a területét!

Kiszámoljuk:

Még néhány probléma a sokszögekkel.

27930. Szög a jobb oldal között n-gon egy körbe írva, és ennek a körnek az oldal egyik csúcsára húzott sugara 54 0. megtalálja n.

Ha a kör sugara és a sokszög oldala közötti szög 54 0, akkor a sokszög oldalai közötti szög 108 0 lesz. Itt emlékeznie kell a szabályos sokszög szögének képletére:

Már csak a szögértéket kell behelyettesíteni a képletbe, és kiszámítani az n-t:

27595. Két hasonló sokszög kerülete 2:7 arányban van. A kisebb sokszög területe 28. Keresse meg a nagyobb sokszög területét.

Itt emlékeznünk kell arra, hogy ha lineáris méretek Ha az ábra k-szeresére nő, akkor az ábra területe k-szeresére nő. *Az ábrák hasonlóságának tulajdonsága.

A nagyobb poligon kerülete 7/2-szer nagyobb, mint a kisebbé, ami azt jelenti, hogy a terület (7/2) 2-szeresére nőtt. Így a nagyobb sokszög területe egyenlő.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete