Függvény hullámos grafikonnal a trigonometriában. Numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az inverzek definíciói megadva vannak. trigonometrikus függvényekés a menetrendjüket. Valamint inverz trigonometrikus függvényeket összekötő képletek, összegek és különbségek képletei.

Inverz trigonometrikus függvények meghatározása

Mivel a trigonometrikus függvények periodikusak, inverz függvényeik nem egyediek. Tehát az y = egyenlet bűn x, adott , végtelen sok gyökere van. Valóban, a szinusz periodicitása miatt, ha x ilyen gyök, akkor az is x + 2πn(ahol n egész szám) lesz az egyenlet gyöke is. És így, az inverz trigonometrikus függvények többértékűek. A velük való munka megkönnyítése érdekében bemutatjuk a fő jelentésük fogalmát. Tekintsük például a szinusz: y = bűn x. bűn x Ha az x argumentumot az intervallumra korlátozzuk, akkor rajta az y = függvény monoton növekszik. Ezért van egy egyértelmű inverz függvény , amelyet arcszinusznak nevezünk: x =.

arcsin y

Hacsak másképp nem jelezzük, inverz trigonometrikus függvények alatt azok fő értékeit értjük, amelyeket a következő definíciók határoznak meg. Arcsine ( y =) arcsin x a szinusz inverz függvénye ( x =

siny Arcsine ( ív koszinusz () arccos x a szinusz inverz függvénye ( a koszinusz inverz függvénye ( kényelmes

), amelynek egy definíciós tartománya és egy értékkészlete van. Arcsine ( Arktangens () arctan x a szinusz inverz függvénye ( az érintő inverz függvénye ( kényelmes

tg y Arcsine ( arccotangens () arcctg x a szinusz inverz függvénye ( a kotangens inverz függvénye ( kényelmes

ctg y

Inverz trigonometrikus függvények grafikonjai Az inverz trigonometrikus függvények grafikonjai a trigonometrikus függvények grafikonjaiból származnak tükörkép

Arcsine ( y =

Arcsine ( ív koszinusz (

Arcsine ( Arktangens (

Arcsine ( arccotangens (

az y = x egyeneshez képest.

Lásd a Szinusz, koszinusz, Tangens, kotangens fejezeteket.

Alapképletek Itt különös figyelmet kell fordítani az intervallumokra, amelyekre a képletek érvényesek.
arcsin(sin x) = x
nál nél Itt különös figyelmet kell fordítani az intervallumokra, amelyekre a képletek érvényesek.
sin(arcsin x) = x

arccos(cos x) = x Itt különös figyelmet kell fordítani az intervallumokra, amelyekre a képletek érvényesek.
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x Itt különös figyelmet kell fordítani az intervallumokra, amelyekre a képletek érvényesek.
tg(arctg x) = x

arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó képletek

Összeg és különbség képletek

vagy

Inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó képletek

Összeg és különbség képletek

vagy

és

és

és

és

nál nél nál nél Trigonometrikus függvények képviselni elemi függvények, akinek az érve sarok. Trigonometrikus függvények segítségével az oldalak közötti kapcsolatok ill éles sarkok V derékszögű háromszög trigonometrikus függvények összegeként ábrázolható (). Ezek a függvények gyakran megjelennek a funkcionális egyenletek megoldása során.

A trigonometrikus függvények a következő 6 függvényt tartalmazzák: sinus , koszinusz , tangens , kotangens , metszőÉs koszekáns. Mindegyik funkcióhoz létezik inverz trigonometrikus függvény .

Geometriai meghatározás segítségével kényelmesen bevihetők a trigonometrikus függvények egységkör . Az alábbi ábra egy \(r = 1\) sugarú kört mutat. A kör pontja \(M\left((x,y) \right)\). Az \(OM\) és a sugárvektor közötti szög pozitív irány tengely \(Ox\) egyenlő \(\alpha\).

Sinus A \(\alpha\) szög az \(M\left((x,y) \right)\) pont \(y\) ordinátájának és az \(r\) sugárnak az aránya:
\(\sin \alpha = y/r\).
Mivel \(r = 1\), akkor a szinusz egyenlő a \(M\left((x,y) \right)\ pont ordinátájával.

Koszinusz A \(\alpha\) szög az \(M\left((x,y) \right)\) pont \(x\) abszcisszán a \(r\) sugárhoz viszonyított aránya:
\(\cos \alpha = x/r\)


Tangens A \(\alpha\) szög egy \(M\left((x,y) \jobbra)\) pont \(y\) ordinátájának és az abszcisszán \(x\) aránya:
\(\tan \alpha = y/x,\;\;x \ne 0\)


Kotangens A \(\alpha\) szög egy \(M\left((x,y) \jobbra)\) pont \(x\) abszcisszán a \(y\) ordinátához viszonyított aránya:
\(\kiságy \alpha = x/y,\;\;y \ne 0\)


Metsző A \(\alpha\) szög az \(r\) sugarának és az \(x\) pont abszcisszájának aránya: \(M\left((x,y) \right)\):
\(\sec \alpha = r/x = 1/x,\;\;x \ne 0\)


Koszekáns A \(\alpha\) szög az \(r\) sugarának és a \(M\left((x,y) \right)\ pont \(y\) ordinátájának aránya:
\(\csc \alpha = r/y = 1/y,\;\;y \ne 0\)


Az egységkörben a vetületek \(x\), \(y\) a \(M\left((x,y) \right)\) pontok és a sugár \(r\) egy derékszögű háromszöget alkotnak, amelyben \(x,y \) a lábak, és \(r\) a hipotenúza. Ezért a trigonometrikus függvények fenti definíciói a függelékben derékszögű háromszög a következőképpen vannak megfogalmazva:
Sinus szög \(\alpha\) a szemközti oldal és a hipotenusz aránya.
Koszinusz szög \(\alpha\) a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.
Tangens A \(\alpha\) szöget a szomszédos szárnak nevezzük.
Kotangens A \(\alpha\) szöget az ellenkező szárnak nevezzük.
Metsző szög \(\alpha\) a hipotenusz és a hipotenusz aránya szomszédos láb.
Koszekáns szög \(\alpha\) a hipotenusz és a szemközti láb aránya.


A szinuszfüggvény grafikonja
\(y = \sin x\), tartomány: \(x \in \mathbb(R)\), tartomány: \(-1 \le \sin x \le 1\)




A koszinusz függvény grafikonja
\(y = \cos x\), tartomány: \(x \in \mathbb(R)\), tartomány: \(-1 \le \cos x \le 1\)

1. nál nél olyan elemi függvények, amelyek argumentuma a elemi függvények. A trigonometrikus függvények egy derékszögű háromszög oldalai és hegyesszögei közötti összefüggéseket írják le. A trigonometrikus függvények alkalmazási területei rendkívül változatosak. Például bármely periodikus folyamat ábrázolható trigonometrikus függvények összegeként (Fourier-sor). Ezek a függvények gyakran megjelennek differenciál- és funkcionális egyenletek megoldása során.

2. A trigonometrikus függvények a következő 6 függvényt tartalmazzák: sinus, koszinusz, tangens,kotangens, metszőÉs koszekáns. Mindegyik függvényhez tartozik egy inverz trigonometrikus függvény.

3. A trigonometrikus függvények geometriai meghatározását célszerű bevezetni a segítségével egységkör. Az alábbi ábrán egy r=1 sugarú kör látható. A körön az M(x,y) pontot jelöljük. Az OM sugárvektor és az Ox tengely pozitív iránya közötti szög egyenlő α-val.

4. Sinus az α szög az M(x,y) pont y ordinátájának az r sugárhoz viszonyított aránya:
sinα=y/r.
Mivel r=1, akkor a szinusz egyenlő az M(x,y) pont ordinátájával.

5. Koszinuszα szög az M(x,y) pont x abszcissza és az r sugár aránya:
cosα=x/r

6. Tangens az α szög egy M(x,y) pont y ordinátájának és az x abszcissza hányadosa:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangens Az α szög egy M(x,y) pont x abszcissza és y ordinátájának aránya:
cotα=x/y,y≠0

8. Metsző Az α szög az M(x,y) pont r sugarának és x abszcisszájának aránya:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Koszekáns az α szög az r sugarának az M(x,y) pont y ordinátájához viszonyított aránya:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Az egységkörben az M(x,y) pontok x, y vetületei és az r sugarú derékszögű háromszöget alkotnak. ahol x,y a lábak, az r pedig a hypotenusa. Ezért a trigonometrikus függvények fenti definíciói derékszögű háromszögre alkalmazva a következők:
Sinusα szög a szemközti oldal és a hipotenusz aránya.
Koszinuszα szög a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.
Tangens Az α szöget a szomszédos szárnak nevezzük.
Kotangens Az α szöget az ellenkező oldallal szomszédos oldalnak nevezzük.
Metszőα szög a hipotenusz és a szomszédos láb aránya.
Koszekáns az α szög a hipotenusz és a szemközti láb aránya.

11. A szinuszfüggvény grafikonja
y=sinx, definíciós tartomány: x∈R, értéktartomány: −1≤sinx≤1

12. A koszinusz függvény grafikonja
y=cosx, tartomány: x∈R, tartomány: −1≤cosx≤1

13. Az érintőfüggvény grafikonja
y=tanx, definíciós tartomány: x∈R,x≠(2k+1)π/2, értéktartomány: −∞

14. A kotangens függvény grafikonja
y=cotx, tartomány: x∈R,x≠kπ, tartomány: −∞

15. A szekáns függvény grafikonja
y=secx, tartomány: x∈R,x≠(2k+1)π/2, tartomány: secx∈(−∞,−1]∪∪.

3. A függvény páros.

4. A függvény periodikus, amelynek legkisebb pozitív periódusa 2*π.

Y = barna(x)

Az y=tg(x) függvény grafikonja.

Alaptulajdonságok:

1. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, kivéve az x=π/2 +π*k alakú pontokat, ahol k egész szám.

3. A függvény páratlan.

Y = ctg(x)

Az y=ctg(x) függvény grafikonja.

Alaptulajdonságok:

1. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, kivéve az x=π*k alakú pontokat, ahol k egész szám.

2. Korlátlan funkció. Az értékkészlet a teljes számsor.

3. A függvény páratlan.

4. A függvény periodikus, amelynek legkisebb pozitív periódusa egyenlő π-val.

Segítségre van szüksége a tanulmányaihoz?

Lehetővé teszi számos jellemző eredmény megállapítását - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságai. Ebben a cikkben három fő tulajdonságot fogunk megvizsgálni. Az első az α szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének előjelét jelzi attól függően, hogy melyik koordinátanegyed szöge α. Ezután megvizsgáljuk a periodicitás tulajdonságát, amely megállapítja az α szög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékeinek invarianciáját, amikor ez a szög egész számú fordulattal változik. A harmadik tulajdonság az α és −α ellentétes szögek szinusz, koszinusz, tangens és kotangens értékei közötti kapcsolatot fejezi ki.

Ha érdekli a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvények tulajdonságai, tanulmányozhatja őket a cikk megfelelő részében.

Oldalnavigáció.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jelei negyedenként

Ebben a bekezdésben az „I, II, III és IV koordinátanegyed szöge” kifejezés jelenik meg. Magyarázzuk el, melyek ezek a szögek.

Vegyünk egy egységkört, jelöljük meg rajta az A(1, 0) kezdőpontot, és forgassuk el az O pont körül α szöggel, és feltesszük, hogy az A 1 (x, y) pontba jutunk.

Azt mondják α szög az I, II, III, IV koordinátanegyed szöge, ha az A 1 pont az I, II, III, IV negyedben van; ha az α szög olyan, hogy az A 1 pont az Ox vagy Oy koordinátaegyenesek bármelyikén fekszik, akkor ez a szög nem tartozik a négy negyed egyikéhez sem.

Az érthetőség kedvéért itt egy grafikus illusztráció. Az alábbi rajzokon 30, -210, 585 és -45 fokos elforgatási szögek láthatók, amelyek az I, II, III és IV koordinátanegyedek szögei.

Szögek 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … fokok nem tartoznak egyik koordinátanegyedhez sem.

Most nézzük meg, hogy milyen jeleknek van az α forgásszög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense értéke attól függően, hogy melyik α kvadránsszög.

Szinusz és koszinusz esetén ez könnyen megtehető.

Az α szög szinusza definíció szerint az A 1 pont ordinátája. Nyilvánvalóan az I. és II. koordinátanegyedben pozitív, a III. és IV. negyedévben pedig negatív. Így az α szög szinuszának az 1. és 2. negyedben plusz, a 3. és 6. negyedben mínusz jele van.

Az α szög koszinusza viszont az A 1 pont abszcissza. Az I. és IV. negyedévben pozitív, a II. és III. negyedévben negatív. Következésképpen az α szög koszinuszának értékei az I. és IV. negyedben pozitívak, a II. és III. negyedben pedig negatívak.

Az érintő és a kotangens negyedének előjeleinek meghatározásához emlékeznie kell a definíciókra: az érintő az A 1 pont ordinátájának az abszcisszahoz viszonyított aránya, a kotangens pedig az A 1 pont abszcisszának az ordinátához viszonyított aránya. Aztán től számosztás szabályai azonos és eltérő előjellel ebből az következik, hogy az érintőnek és a kotangensnek pluszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele megegyezik, és mínuszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele eltérő. Következésképpen a szög érintőjének és kotangensének az I. és III. koordinátanegyedben +, a II. és IV. negyedben pedig mínuszjel van.

Valóban, például az első negyedben az A 1 pont x abszcissza és y ordinátája is pozitív, akkor az x/y hányados és az y/x hányados is pozitív, ezért az érintőnek és a kotangensnek + előjele van. A második negyedben pedig az x abszcissza negatív, az y ordináta pedig pozitív, ezért mind az x/y, mind az y/x negatív, ezért az érintőnek és a kotangensnek mínusz előjele van.

Térjünk át a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens következő tulajdonságára.

Periodikus tulajdonság

Most megvizsgáljuk a szög szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének talán legnyilvánvalóbb tulajdonságát. Ez a következő: ha a szög egész számú teljes fordulattal változik, akkor ennek a szögnek a szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének értéke nem változik.

Ez érthető: ha a szög egész számú fordulattal változik, az egységkörön mindig az A kezdőpontból az A 1 pontba jutunk, ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke változatlan marad, mivel az A 1 pont koordinátái változatlanok.

Képletekkel a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonsága a következőképpen írható fel: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, ahol α a forgásszög radiánban, z tetszőleges, amelynek abszolút értéke azt a teljes fordulatszámot jelzi, amellyel a α szög változik, a z szám előjele pedig a fordulás irányát jelzi.

Ha az α elforgatási szöget fokban adjuk meg, akkor a jelzett képletek a következőre íródnak át: sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα.

Nézzünk példákat ennek a tulajdonságnak a használatára. Például, , mert , A . Íme egy másik példa: vagy .

Ezt a tulajdonságot a redukciós képletekkel együtt nagyon gyakran használják a „nagy” szögek szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonságát néha periodicitás tulajdonságnak is nevezik.

Ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságai

Legyen A 1 az A(1, 0) kezdőpont O pont körüli α szöggel történő elforgatásával kapott pont, A 2 pont pedig az A pont −α szöggel, α szöggel ellentétes elforgatásának eredménye.

Az ellentétes szögű szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek tulajdonsága egy meglehetősen nyilvánvaló tényen alapul: a fent említett A 1 és A 2 pontok vagy egybeesnek (at), vagy szimmetrikusan helyezkednek el az Ox tengelyhez képest. Azaz, ha az A 1 pontnak vannak (x, y) koordinátái, akkor az A 2 pontnak (x, −y) koordinátái lesznek. Innentől kezdve a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit használva felírjuk a és az egyenlőségeket.
Összehasonlítva az alak α és −α ellentétes szögeinek szinuszai, koszinuszai, érintői és kotangensei közötti összefüggésekre jutunk.
Ez a vizsgált tulajdonság képletek formájában.

Nézzünk példákat ennek a tulajdonságnak a használatára. Például az egyenlőségek ill .

Csak azt kell megjegyezni, hogy az ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságát az előző tulajdonsághoz hasonlóan gyakran használják a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor, és lehetővé teszi a negatívak teljes elkerülését. szögek.

Bibliográfia.

• Algebra: Tankönyv 9. osztály számára. átl. iskola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky - M.: Oktatás, 1990. - 272 pp.: ISBN 5-09-002727-7
• Algebraés az elemzés kezdete: Proc. 10-11 évfolyamnak. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: ISBN 5-09-013651-3.
• Basmakov M. I. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv. 10-11 évfolyamnak. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Nevelés, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.