A matematikai modell elkészítéséhez a következőkre lesz szüksége:

1. gondosan elemezzen egy valós tárgyat vagy folyamatot;
2. kiemeli legjelentősebb jellemzőit és tulajdonságait;
3. változókat definiálni, pl. paraméterek, amelyek értékei befolyásolják az objektum fő jellemzőit és tulajdonságait;
4. logikai-matematikai kapcsolatok (egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségek, logikai-matematikai konstrukciók) segítségével írja le egy objektum, folyamat vagy rendszer alapvető tulajdonságainak függését a változók értékétől;
5. megszorítások, egyenletek, egyenlőségek, egyenlőtlenségek, logikai és matematikai konstrukciók segítségével kiemeli egy objektum, folyamat vagy rendszer belső összefüggéseit;
6. külső összefüggések azonosítása és leírása megszorítások, egyenletek, egyenlőségek, egyenlőtlenségek, logikai és matematikai konstrukciók segítségével.

A matematikai modellezés egy objektum, folyamat vagy rendszer tanulmányozása és matematikai leírásának elkészítése mellett a következőket foglalja magában:

1. egy objektum, folyamat vagy rendszer viselkedését modellező algoritmus felépítése;
2. a modell és az objektum, folyamat vagy rendszer megfelelőségének ellenőrzése számítási és teljes körű kísérletek alapján;
3. modell beállítása;
4. a modell segítségével.

A vizsgált folyamatok és rendszerek matematikai leírása a következőktől függ:

1. egy valós folyamat vagy rendszer természetét, és a fizika, a kémia, a mechanika, a termodinamika, a hidrodinamika, az elektrotechnika, a plaszticitáselmélet, a rugalmasságelmélet stb. törvényei alapján állítják össze.
2. a valós folyamatok és rendszerek tanulmányozásának és kutatásának megkövetelt megbízhatósága és pontossága.

A matematikai modell felépítése általában a vizsgált tárgy, folyamat vagy rendszer legegyszerűbb, legdurvább matematikai modelljének felépítésével és elemzésével kezdődik. A jövőben szükség esetén finomítják a modellt, és teljesebbé teszik az objektumhoz való megfelelését.

Vegyünk egy egyszerű példát. Meg kell határozni az íróasztal felületét. Ez általában úgy történik, hogy megmérik a hosszát és szélességét, majd megszorozzák a kapott számokat. Ez az elemi eljárás tulajdonképpen a következőket jelenti: egy valós objektumot (asztalfelületet) helyettesítünk egy absztrakt matematikai modellel - egy téglalappal. Az asztalfelület hosszának és szélességének mérésével kapott méretek a téglalaphoz vannak rendelve, és egy ilyen téglalap területét hozzávetőlegesen az asztal kívánt területének tekintjük. Az íróasztal téglalapmodellje azonban a legegyszerűbb, legdurvább modell. Ha komolyabban közelíti meg a problémát, mielőtt egy téglalap modellt használna a táblázat területének meghatározásához, ezt a modellt ellenőrizni kell. Az ellenőrzéseket a következőképpen lehet elvégezni: mérje meg az asztal ellentétes oldalainak hosszát, valamint átlóinak hosszát, és hasonlítsa össze őket. Ha a szükséges pontossággal a szemközti oldalak hossza és az átlók hossza páronként egyenlő, akkor a táblázat felülete valóban téglalapnak tekinthető. Ellenkező esetben a téglalap modellt el kell utasítani, és le kell cserélni egy általános négyszög modellre. Magasabb pontossági követelmény esetén szükség lehet a modell további finomítására, például az asztal sarkainak lekerekítésének figyelembevételére.

Ezzel az egyszerű példával megmutattuk, hogy a matematikai modellt nem egyedileg határozza meg az objektum, folyamat ill rendszer.

VAGY (holnap pontosítjuk)

A matematika megoldásának módjai. Modellek:

1, A természet törvényein alapuló modell felépítése (analitikai módszer)

2. Formális út statisztikai módszerekkel. Eredmények feldolgozása és mérése (statisztikai megközelítés)

3. Modell felépítése elemek (komplex rendszerek) modellje alapján

1, Analitikai – elegendő tanulmányozás mellett. Az általános minta ismert. Modellek.

2. kísérlet. Információ hiányában.

3. Utánzás m - a tárgy tulajdonságait tárja fel. Általában.

Példa matematikai modell felépítésére.

Matematikai modell a valóság matematikai ábrázolása.

Matematikai modellezés a matematikai modellek megalkotásának és tanulmányozásának folyamata.

Minden matematikát használó természet- és társadalomtudomány alapvetően matematikai modellezéssel foglalkozik: lecserélik az objektumot annak matematikai modelljére, majd az utóbbit tanulmányozzák. A matematikai modell és a valóság közötti kapcsolat hipotézisek, idealizálások és leegyszerűsítések láncolatával valósul meg. Matematikai módszerekkel általában egy ideális objektumot írnak le, amelyet az értelmes modellezés szakaszában építettek fel.

Miért van szükség modellekre?

Nagyon gyakran nehézségek merülnek fel bármilyen tárgy tanulmányozásakor. Maga az eredeti néha nem elérhető, vagy nem tanácsos a használata, vagy az eredeti bevonása költséges. Mindezek a problémák szimulációval megoldhatók. Egy modell bizonyos értelemben helyettesítheti a vizsgált objektumot.

A modellek legegyszerűbb példái

§ A fénykép egy személy modelljének nevezhető. Egy személy felismeréséhez elég megnézni a fényképét.

§ Az építész egy új lakóterület makettjét készítette el. Egy sokemeletes épületet kézmozdulattal át tud mozgatni egyik részből a másikba. A valóságban ez nem lenne lehetséges.

Modell típusok

A modelleket fel lehet osztani anyag"És tökéletes. a fenti példák anyagmodellek. Az ideális modellek gyakran ikonikus formákkal rendelkeznek. A valódi fogalmakat felváltja néhány jel, amely könnyen rögzíthető papírra, számítógép memóriájába stb.

Matematikai modellezés

A matematikai modellezés a szimbolikus modellezés osztályába tartozik. Ezenkívül bármilyen matematikai objektumból modellek készíthetők: számok, függvények, egyenletek stb.

Matematikai modell felépítése

§ A matematikai modell felépítésének több szakasza is megfigyelhető:

1. A probléma megértése, a számunkra legfontosabb tulajdonságok, tulajdonságok, mennyiségek, paraméterek azonosítása.

2. A jelölés bevezetése.

3. Korlátozási rendszer felállítása, amelynek a megadott értékeknek meg kell felelniük.

4. Olyan feltételek megfogalmazása és rögzítése, amelyeket a kívánt optimális megoldásnak teljesítenie kell.

A modellezési folyamat nem ér véget a modell létrehozásával, hanem csak azzal kezdődik. A modell összeállítása után választanak egy módszert a válasz megtalálására és a probléma megoldására. a válasz megtalálása után összehasonlítják a valósággal. És előfordulhat, hogy a válasz nem kielégítő, ilyenkor módosítják a modellt, vagy akár teljesen más modellt választanak.

Példa egy matematikai modellre

Feladat

A két bútorgyárat magába foglaló termelőszövetség gépparkjának frissítésére szorul. Sőt, az első bútorgyárnak három gépet, a másodiknak pedig hét gépet kell cserélnie. Megrendeléseket két szerszámgépgyárban lehet leadni. Az első üzem legfeljebb 6 gépet tud legyártani, a második üzem pedig akkor fogad el rendelést, ha legalább három van belőlük. Meg kell határoznia a rendelések feladásának módját.

A számítógép szilárdan belépett az életünkbe, és gyakorlatilag nincs olyan emberi tevékenységi terület, ahol ne használnának számítógépet. A számítógépeket ma már széles körben használják új gépek, új technológiai folyamatok létrehozása és kutatása során, valamint azok optimális lehetőségeinek felkutatásában; gazdasági problémák megoldásakor, tervezési és termelésirányítási problémák megoldása során különböző szinteken. A rakétagyártásban, a repülőgépgyártásban, a hajógyártásban, valamint a gátak, hidak stb. tervezésében nagyméretű objektumok létrehozása általában lehetetlen számítógépek használata nélkül.

Ahhoz, hogy a számítógépet az alkalmazott feladatok megoldásában használhassuk, mindenekelőtt az alkalmazott feladatot kell „lefordítani” formális matematikai nyelvre, pl. egy valós objektumhoz, folyamathoz vagy rendszerhez meg kell építeni annak matematikai modelljét.

A "modell" szó a latin modusból (másolat, kép, körvonal) származik. A modellezés egy A objektum helyettesítése egy másik B objektummal. A lecserélt A objektumot eredeti vagy modellező objektumnak, a B helyettesítőt pedig modellnek nevezzük. Más szavakkal, a modell az eredeti objektum helyettesítője, amely az eredeti bizonyos tulajdonságainak tanulmányozását biztosítja.

A modellezés célja az egymással és a külső környezettel kölcsönhatásba lépő objektumokról információk megszerzése, feldolgozása, bemutatása és felhasználása; és a modell itt egy tárgy tulajdonságainak és viselkedési mintáinak megértésének eszközeként működik.

A matematikai modellezés egy valós objektum, folyamat vagy rendszer tanulmányozásának eszköze olyan matematikai modellel való helyettesítéssel, amely kényelmesebb a számítógépes kísérleti kutatáshoz.

A matematikai modellezés a valós folyamatok és jelenségek matematikai modelljeinek megalkotásának és tanulmányozásának folyamata. Valamennyi matematikai apparátust használó természet- és társadalomtudomány alapvetően matematikai modellezéssel foglalkozik: lecserélik a valós tárgyat a modelljére, majd az utóbbit tanulmányozzák. Mint minden modellezésnél, a matematikai modell sem írja le teljes mértékben a vizsgált jelenséget, és az így kapott eredmények alkalmazhatóságára vonatkozó kérdések nagyon értelmesek. A matematikai modell a valóság leegyszerűsített leírása matematikai fogalmak segítségével.

A matematikai modell egy objektum vagy folyamat lényeges jellemzőit fejezi ki az egyenletek és más matematikai eszközök nyelvén. Ami azt illeti, maga a matematika annak köszönheti létét, amit tükrözni próbál, pl. modelljét, saját nyelvén, a környező világ mintáit.

Nál nél matematikai modellezés egy objektum tanulmányozása a matematika nyelvén, bizonyos matematikai módszerekkel megfogalmazott modellen keresztül történik.

A matematikai modellezés útja korunkban sokkal átfogóbb, mint a teljes körű modellezés. A matematikai modellezés fejlődéséhez óriási lökést adott a számítógépek megjelenése, bár maga a módszer a matematikával egyidőben keletkezett több ezer évvel ezelőtt.

A matematikai modellezés mint olyan nem mindig igényel számítógépes támogatást. Minden matematikai modellezéssel foglalkozó szakember mindent megtesz a modell analitikus tanulmányozása érdekében. Az analitikus megoldások (azaz a vizsgálat eredményeit az eredeti adatokon keresztül kifejező képletek segítségével) általában kényelmesebbek és informatívabbak, mint a numerikus megoldások. Az összetett matematikai problémák megoldására szolgáló analitikai módszerek lehetőségei azonban nagyon korlátozottak, és általában ezek a módszerek sokkal összetettebbek, mint a numerikusak.

A matematikai modell valós objektumok, folyamatok vagy rendszerek hozzávetőleges ábrázolása, matematikai kifejezésekkel kifejezve, és megőrzi az eredeti lényeges jellemzőit. A matematikai modellek kvantitatív formában, logikai és matematikai konstrukciók segítségével leírják egy objektum, folyamat vagy rendszer alapvető tulajdonságait, paramétereit, belső és külső kapcsolatait.

Minden modell két osztályba sorolható:

1. igazi,
2. tökéletes.

A valódi modellek viszont a következőkre oszthatók:

1. teljes körű,
2. fizikai,
3. matematikai.

Az ideális modellek a következőkre oszthatók:

1. vizuális,
2. ikonszerű,
3. matematikai.

A valódi teljes léptékű modellek valós tárgyak, folyamatok és rendszerek, amelyeken tudományos, műszaki és ipari kísérleteket végeznek.

A valódi fizikai modellek olyan modellek, próbabábok, amelyek az eredetiek fizikai tulajdonságait reprodukálják (kinematikai, dinamikus, hidraulikus, termikus, elektromos, könnyű modellek).

Az igazi matematikai modellek az analóg, szerkezeti, geometriai, grafikus, digitális és kibernetikai modellek.

Ideális vizuális modellek a diagramok, térképek, rajzok, grafikonok, grafikonok, analógok, szerkezeti és geometriai modellek.

Ideális jelmodellek a szimbólumok, ábécé, programozási nyelvek, rendezett jelölés, topológiai jelölés, hálózati ábrázolás.

Az ideális matematikai modellek az analitikus, funkcionális, szimulációs és kombinált modellek.

A fenti besorolásban egyes modellek kettős értelmezésűek (például analóg). Minden modell, kivéve a teljes léptékűeket, a mentális modellek egy osztályába kombinálható, mert az emberi absztrakt gondolkodás termékei.

A játékelmélet elemei

Általános esetben egy játék megoldása meglehetősen nehéz feladat, és a probléma összetettsége és a megoldásához szükséges számítások mennyisége meredeken növekszik . Ezek a nehézségek azonban nem alapvető természetűek, és csak nagyon nagy mennyiségű számításhoz kapcsolódnak, ami bizonyos esetekben gyakorlatilag lehetetlennek bizonyulhat. A megoldáskeresés módszerének elvi szempontja minden esetben megmarad ugyanaz.

Illusztráljuk ezt egy játék példájával. Adjunk neki geometriai – már térbeli – értelmezést. Három stratégiánkat három pont fogja képviselni a síkon ; az első az origóban található (1. ábra). a második és a harmadik - a tengelyeken ÓÉs OU az elejétől 1-es távolságokon.

Az I-I, II-II és III-III tengelyeket a pontokon át kell húzni a síkra merőlegesen . Az I-I tengelyen a stratégia nyeresége a II-II és a III-III tengelyen a stratégiák nyeresége. Minden ellenséges stratégia az I-I, II-II és III-III tengelyeken levágott sík képviseli, a nyereménnyel egyenlő szegmensek

megfelelő stratégiával és stratégiával . Miután így felépítettük az ellenség összes stratégiáját, kapunk egy síkcsaládot a háromszög felett (2. ábra).

Ennél a családnál is megszerkeszthet egy alsó korlátot a kifizetésre, ahogy ezt az esetben is megtettük, és ezen a határon keresheti meg a síkon a maximális magasságú N pontot. . Ez a magasság lesz a játék ára.

Az optimális stratégiában a stratégiák gyakoriságát a koordináták határozzák meg (x, y) N pont, nevezetesen:

Egy ilyen geometriai konstrukció azonban még egy tok esetében sem könnyű megvalósítani, és sok időt és képzelőerőt igényel. A játék általános esetben átkerül a -dimenziós térbe, és elveszti az egyértelműségét, bár a geometriai terminológia használata számos esetben hasznos lehet. A játékok gyakorlati megoldása során kényelmesebb nem geometriai analógiákat, hanem kiszámított analitikai módszereket alkalmazni, különösen, mivel ezek a módszerek az egyedüliek alkalmasak a számítógépes feladat megoldására.

Mindezek a módszerek lényegében egy probléma megoldását jelentik egymást követő próbák során, de a kísérletek sorrendjének sorrendbe állítása lehetővé teszi egy olyan algoritmus felépítését, amely a leggazdaságosabb módon vezet a megoldáshoz.

Itt röviden áttekintünk egy számítási módszert a játékok megoldására - úgynevezett lineáris programozási módszerrel.

Ehhez először általános megfogalmazást adunk a játék megoldásának problémájáról. Legyen adva egy játék T játékos stratégiák AÉs n játékos stratégiák BAN BENés a fizetési mátrix adott

Megoldást kell találni a játékra, vagyis az A és B játékosok két optimális vegyes stratégiáját

ahol (a és a számok egy része egyenlő lehet nullával).

Optimális stratégiánk S*A legalább , az ellenség bármilyen viselkedése esetén hasznot kell, hogy biztosítson számunkra, és a -val egyenlő nyereséget biztosítson az optimális viselkedéséhez (stratégia S*B).Hasonló stratégia S*B nem kell nagyobb veszteséget okoznia az ellenségnek bármely viselkedésünk esetén, és nem lehet nagyobb az optimális viselkedésünkhöz (stratégia S*A).

A játék értéke ebben az esetben számunkra ismeretlen; feltételezzük, hogy egyenlő valamilyen pozitív számmal. Ha így hiszünk, nem sértjük meg az érvelés általánosságát; Ahhoz, hogy > 0 legyen, nyilván elég, ha a mátrix minden eleme nem negatív. Ezt mindig úgy érhetjük el, hogy az elemekhez kellően nagy pozitív értéket adunk, ekkor a játék ára L-el nő, de a megoldás nem változik.

Válasszuk ki az optimális stratégiánkat S*A. Ekkor az ellenfél stratégiája szerinti átlagos nyereményünk egyenlő lesz:

Optimális stratégiánk S*A rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy az ellenség bármilyen viselkedése esetén legalább hasznot hoz; ezért egyik szám sem lehet kisebb, mint . Számos feltételt kapunk:

(1)

Osszuk el az (1) egyenlőtlenségeket egy pozitív értékkel, és jelöljük:

Ekkor az (1) feltétel így lesz írva

(2)

ahol nem negatív számok vannak. Mert a mennyiségek kielégítik a feltételt

Garantált nyereményeinket a lehető legmagasabbra szeretnénk tenni; Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben a (3) egyenlőség jobb oldala minimális értéket vesz fel.

Így a játék megoldásának problémája a következő matematikai problémára vezethető vissza: nem negatív mennyiségek meghatározása , eleget tesz a (2) feltételnek, így azok összege

minimális volt.

Általában a szélsőértékek (maximum és minimum) megtalálásával kapcsolatos problémák megoldása során a függvényt differenciálják, és a deriváltokat nullára állítják. De egy ilyen technika ebben az esetben haszontalan, mivel a Ф függvény, amely kell minimalizálja, lineáris, és származékai az összes argumentum tekintetében egyenlőek eggyel, azaz nem tűnnek el sehol. Következésképpen a függvény maximumát valahol az argumentumok változási tartományának határán érjük el, amit az argumentumok és feltételek nem-negativitásának követelménye határoz meg (2). A szélsőséges értékek differenciálással történő megtalálásának technikája nem alkalmas olyan esetekben sem, amikor a nyeremény alsó (vagy felső) határának maximumát határozzák meg a játék megoldásához, ahogy mi is tettük. például a játékok megoldásánál tették ezt. Valóban, az alsó korlátot egyenesek szakaszai teszik ki, és a maximumot nem azon a ponton érik el, ahol a derivált nullával egyenlő (ilyen pont nincs). hanem az intervallum határán vagy az egyenes szakaszok metszéspontjában.

Az ilyen, a gyakorlatban gyakran előforduló problémák megoldására a matematikában speciális apparátust fejlesztettek ki lineáris programozás.

A lineáris programozási probléma a következőképpen fogalmazódik meg.

Adott egy lineáris egyenletrendszer:

(4)

Meg kell találni a mennyiségek nemnegatív értékeit, amelyek kielégítik a feltételeket (4), és ezzel egyidejűleg minimalizálni kell a mennyiségek adott homogén lineáris függvényét (lineáris forma):

Könnyen belátható, hogy a fentebb felvetett játékelméleti probléma a lineáris programozási probléma speciális esete

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy a (2) feltételek nem ekvivalensek a (4) feltételekkel, mivel egyenlőségjelek helyett egyenlőtlenségjeleket tartalmaznak. Az egyenlőtlenség jeleitől azonban könnyű megszabadulni, ha új, ál-nem-negatív változókat és írási feltételeket (2) adunk meg a következő formában:

(5)

A minimalizálandó Φ alak egyenlő

A lineáris programozó berendezés lehetővé teszi az értékek kiválasztását viszonylag kis számú egymást követő minta felhasználásával , megfelel a megadott követelményeknek. A jobb érthetőség kedvéért itt bemutatjuk ennek a készüléknek a használatát közvetlenül az adott játékok megoldásának anyagán.

A matematikai modellek típusai

Attól függően, hogy milyen eszközökkel, milyen feltételek mellett és milyen megismerési tárgyakhoz viszonyítva valósul meg a modellek valóságtükrözési képessége, keletkezik nagy sokféleségük, és ezzel együtt osztályozások is. A meglévő osztályozások általánosításával az alkalmazott matematikai apparátus alapján azonosítjuk azokat az alapmodelleket, amelyek alapján speciális modelleket fejlesztünk (8.1. ábra).

8.1. ábra - A modellek formális osztályozása

A matematikai modellek a vizsgált objektumokat (folyamatokat, rendszereket) kifejezett funkcionális összefüggések formájában jelenítik meg: algebrai egyenlőségek és egyenlőtlenségek, integrál és differenciál, véges különbség és egyéb matematikai kifejezések (valószínűségi változó eloszlási törvénye, regressziós modellek stb.). ), valamint a matematikai relációk logikáját.

A matematikai modell felépítésének két alapvető jellemzője - az ok-okozati összefüggések leírásának típusa és időbeli változása - függvényében determinisztikus és sztochasztikus, statikus és dinamikus modelleket különböztetünk meg (8.2. ábra).

Az ábrán bemutatott diagram célja a következő jellemzők megjelenítése:

1) a matematikai modellek lehetnek determinisztikusak és sztochasztikusak is;

2) a determinisztikus és sztochasztikus modellek lehetnek statikusak és dinamikusak is.

A matematikai modellt ún determinisztikus (determinisztikus), ha minden paramétere és változója egyedileg meghatározott mennyiség, és az információ teljes bizonyosságának feltétele is teljesül. Ellenkező esetben az információs bizonytalanság körülményei között, amikor a modell paraméterei és változói valószínűségi változók, a modell ún. sztochasztikus (valószínűségi).

8.2. ábra – Matematikai modellek osztályai

A modell az ún dinamikus, ha legalább egy változó időnként változik, és statikus, ha elfogadjuk azt a hipotézist, hogy a változók nem változnak az idők során.

A legegyszerűbb esetben egyensúlyi modellek mérlegegyenlet formájában jár el, ahol a bal oldalon az esetleges bevételek összege, a jobb oldalon pedig a kiadási rész szerepel, szintén összeg formájában. Így kerül bemutatásra például egy szervezet éves költségvetése.

Statisztikai adatok alapján nem csak mérlegmodellek, hanem korrelációs és regressziós modellek is építhetők.

Ha az Y függvény nem csak az x 1, x 2, ... x n változóktól függ, hanem más tényezőktől is, akkor az Y és x 1, x 2, ... x n közötti kapcsolat pontatlan vagy korrelációs, ellentétben a pontos vagy funkcionális kapcsolat. Például a legtöbb esetben az OPS kimeneti paraméterei és belső és külső környezetének tényezői között megfigyelt összefüggések korrelatívak (lásd 5. téma).

Korrelációs-regressziós modellekúgy kapjuk meg, hogy statisztikai apparátus segítségével tanulmányozzuk a tényezők egész komplexumának egy adott jellemző értékére gyakorolt ​​hatását. Ebben az esetben nemcsak a korrelációs kapcsolat megállapítása a feladat, hanem ennek a kapcsolatnak az analitikus kifejezése is, vagyis olyan egyenletek kiválasztása, amelyek ezt a korrelációs függőséget leírják (regressziós egyenlet).

A regressziós egyenlet paramétereinek számértékeinek megtalálásához a legkisebb négyzetek módszerét használjuk. Ennek a módszernek az a lényege, hogy olyan egyenest válasszunk ki, amelyből az egyes pontok Y ordinátáinak négyzetes eltéréseinek összege a legkisebb lenne.

A korrelációs-regressziós modelleket gyakran alkalmazzák a jelenségek tanulmányozása során, amikor két vagy több sorozat releváns jellemzői között kell kapcsolatot felállítani. Ebben az esetben főként a forma páros és többszörös lineáris regresszióját alkalmazzák

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

A legkisebb négyzetek módszerének alkalmazásával megállapítható az a vagy a 1, a 2, ..., a n és b paraméterek értéke, majd a közelítés pontossága és a kapott regressziós egyenlet szignifikanciája. értékelik.

Külön csoportot osztanak ki grafikus-analitikai modellek . Különféle grafikus képeket használnak, ezért jó a tisztaságuk.

A gráfelmélet a diszkrét matematika egyik elmélete, amely gráfokat vizsgál, amelyeken pontok és azokat összekötő vonalak halmazát értjük. A gráf egy független matematikai objektum (először D. Koenig vezette be). A fa- és hálózati modellek leggyakrabban gráfelmélet alapján épülnek fel.

A famodell (fa) egy irányítatlan összekapcsolt gráf, amely nem tartalmaz ciklusokat vagy ciklusokat. Ilyen modell például a célfa.

A hálózati modellek széles körben alkalmazhatók a munkamenedzsmentben. A hálózati modellek (grafikonok) a munkavégzés sorrendjét és az egyes munkák időtartamát tükrözik (8.3. ábra).

8.3. ábra - A munkatermelés hálózati modellje

A hálózati diagram minden sora némi munka. A mellette lévő szám a végrehajtás időtartamát jelzi.

A hálózati modellek lehetővé teszik az úgynevezett kritikus út megtalálását és a munka ütemezésének időbeli optimalizálását más erőforrások korlátozásával.

A hálózati modellek lehetnek determinisztikusak vagy sztochasztikusak. Ez utóbbi esetben a munka időtartamát a valószínűségi változók eloszlásának törvényei határozzák meg.

Optimalizációs modellek arra szolgál, hogy meghatározza a rendszer optimális pályáját a cél eléréséhez, miközben bizonyos korlátozásokat ír elő viselkedésének és mozgásának ellenőrzésére. Ebben az esetben az optimalizálási modellek különböző típusú problémákat írnak le egy bizonyos célfüggvény szélsőértékének megtalálásához (optimalizációs kritérium).

A korlátozott erőforrások - műszaki, anyagi, munkaerő- és pénzügyi - feltételek mellett a vezetési célok elérésének optimális módjának azonosítására műveleti kutatási módszereket alkalmaznak. Ide tartoznak a matematikai programozás módszerei (lineáris és nemlineáris, egészszámú, dinamikus és sztochasztikus programozás), analitikai és valószínűségi-statisztikai módszerek, hálózati módszerek, sorelméleti módszerek, játékelmélet (konfliktushelyzetek elmélete) stb.

Az optimalizálási modelleket mennyiségi és ütemezési tervezésre, készletgazdálkodásra, az erőforrások és a munka elosztására, a berendezések cseréjére, paraméterezésére és szabványosítására, a szállítási hálózaton az árukészletek áramlásának elosztására és egyéb irányítási feladatokra használják.

A műveletelméleti kutatás egyik fő eredménye a vezetési modellek és a problémamegoldó módszerek tipizálása. Például egy szállítási probléma megoldására, annak méretétől függően, szabványos módszereket fejlesztettek ki - a Vogel-módszert, a potenciálmódszert, a szimplex módszert. Valamint a készletgazdálkodási probléma megoldása során annak megfogalmazásától függően analitikai és valószínűségi-statisztikai módszerek, dinamikus és sztochasztikus programozási módszerek alkalmazhatók.

A menedzsmentben kiemelt jelentőséget tulajdonítanak a hálózattervezési módszereknek. Ezek a módszerek lehetővé tették, hogy egy új és nagyon kényelmes nyelvet találjunk az összetett többlépcsős művek és projektek leírására, modellezésére és elemzésére. Az operációkutatásban jelentős helyet kap a komplex rendszerek vezérlésének fejlesztése a sorelméleti módszerekkel (lásd 8.3. fejezet) és a Markov-folyamatok apparátusával.

Markov véletlen folyamatok modelljei- Differenciálegyenlet-rendszer, amely a rendszer működését vagy folyamatait rendezett állapotok halmazaként írja le a rendszer viselkedésének bizonyos pályája mentén. A modelleknek ezt az osztályát széles körben használják összetett rendszerek működésének matematikai modellezésében.

Játékelméleti modellek az optimális stratégia kiválasztását szolgálja korlátozott véletlenszerű információ vagy teljes bizonytalanság mellett.

A játék egy valós konfliktushelyzet matematikai modellje, amelynek megoldása bizonyos szabályok és algoritmusok szerint történik, amelyek a döntéshozó bizonyos viselkedési stratégiáját írják le bizonytalanság körülményei között.

Vannak „játékok a természettel” és „játékok az ellenséggel”. A helyzet alapján meghatározzák a döntéshozatal értékelésének módszereit és kritériumait. Így amikor „játszunk a természettel”, a következő kritériumokat alkalmazzuk: Laplace, maximin (Wald-kritérium) és minimax, Hurwitz és Savage, valamint számos más algoritmikus szabály. Az „ellenféllel való játékokban” fizetési mátrixok, maximin és minimax kritériumok, valamint speciális matematikai transzformációk alapján döntenek, mivel a döntéshozó barátságtalan ellenféllel kerül szembe.

A számításba vett matematikai modelltípusok nem fedik le a lehetséges sokféleséget, csupán az egyes típusokat jellemzik az osztályozás elfogadott szempontjától függően. V.A. Kardash megpróbált létrehozni egy rendszert a modellek négy szempont szerinti osztályozására (8.4. ábra).

A - modellek a paraméterek térbeli differenciálása nélkül;

B - modellek a paraméterek térbeli differenciálásával

8.4. ábra - A modellek osztályozása a részletezés négy szempontja szerint

A számítástechnikai eszközök fejlődésével a döntéshozatal egyik legelterjedtebb módja az üzleti játék, amely egy ember aktív részvételével végzett numerikus kísérlet. Több száz üzleti játék létezik. A menedzsment, a közgazdaságtan, a szervezetelmélet, a pszichológia, a pénzügy és a kereskedelem számos problémájának tanulmányozására használják őket.

Mi az a matematikai modell?

A matematikai modell fogalma.

A matematikai modell nagyon egyszerű fogalom. És nagyon fontos. A matematikai modellek kötik össze a matematikát és a valós életet.

Egyszerűen, a matematikai modell bármely helyzet matematikai leírása. Ez minden. A modell lehet primitív vagy rendkívül összetett. Bármi legyen is a helyzet, ilyen a modell.)

Bármelyikben (ismétlem - bármilyen!) abban az esetben, ha számolnia és kiszámítania kell valamit - matematikai modellezéssel foglalkozunk. Még ha nem is gyanítjuk.)

P = 2 CB + 3 CM

Ez a bejegyzés a vásárlásaink költségeinek matematikai modellje lesz. A modell nem veszi figyelembe a csomagolás színét, a lejárati dátumot, a pénztárosok udvariasságát stb. Ezért ő modell, nem valódi vásárlás. De a kiadások, pl. amire szükségünk van- biztosan megtudjuk. Természetesen, ha a modell helyes.

Hasznos elképzelni, mi is az a matematikai modell, de ez nem elég. A legfontosabb, hogy ezeket a modelleket meg lehessen építeni.

A probléma matematikai modelljének elkészítése (konstruálása).

A matematikai modell létrehozása azt jelenti, hogy a probléma feltételeit lefordítjuk matematikai formára. Azok. a szavakat egyenletté, képletté, egyenlőtlenséggé stb. Sőt, alakítsd át úgy, hogy ez a matematika szigorúan megfeleljen a forrásszövegnek. Ellenkező esetben egy másik, számunkra ismeretlen probléma matematikai modelljét kapjuk.)

Pontosabban kell

Végtelen számú feladat van a világon. Ezért kínáljon világos, lépésről lépésre szóló utasításokat a matematikai modell elkészítéséhez Bármi a feladatok lehetetlenek.

De van három fő pont, amire figyelni kell.

1. Furcsa módon minden probléma szöveget tartalmaz.) Ez a szöveg általában tartalmaz egyértelmű, nyílt információ. Számok, értékek stb.

2. Bármilyen probléma van rejtett információ. Ez egy olyan szöveg, amely további ismereteket feltételez a fejedben. Nélkülük - semmi. Ráadásul a matematikai információk gyakran egyszerű szavak mögé rejtőznek, és... elsuhannak a figyelem mellett.

3. Bármilyen feladatot meg kell adni az adatok összekapcsolása egymással. Ez a kapcsolat megadható egyszerű szövegben (valami egyenlő valamivel), vagy elrejthető egyszerű szavak mögé. De az egyszerű és világos tényeket gyakran figyelmen kívül hagyják. A modell pedig semmilyen módon nincs összeállítva.

Mindjárt leszögezem: e három pont érvényesítéséhez többször (és figyelmesen!) el kell olvasni a problémát. A szokásos dolog.

És most - példák.

Kezdjük egy egyszerű problémával:

Petrovich visszatért a horgászatból, és büszkén mutatta be fogását a családnak. Közelebbről megvizsgálva kiderült, hogy 8 hal az északi tengerekből származik, az összes hal 20%-a a déli tengerekből, és egyetlen egy sem a helyi folyóból, ahol Petrovich horgászott. Hány halat vásárolt Petrovich a Seafood boltban?

Mindezeket a szavakat valamilyen egyenletté kell alakítani. Ehhez ismétlem, hozzon létre matematikai kapcsolatot a feladatban szereplő összes adat között.

Hol kezdjem? Először is vegyük ki az összes adatot a feladatból. Kezdjük sorrendben:

Figyeljünk az első pontra.

Melyik van itt? kifejezett matematikai információ? 8 hal és 20%. Nem sok, de nem is kell sok.)

Figyeljünk a második pontra.

Keres rejtett információ. Itt van. Ezek a szavak: "Az összes hal 20%-a". Itt meg kell értenie, hogy mik a százalékok és hogyan számítják ki őket. Ellenkező esetben a probléma nem oldható meg. Pontosan ez a kiegészítő információ, aminek a fejében kell lennie.

Van még matematikai teljesen láthatatlan információ. Ez feladat kérdés: "Hány halat vettem..." Ez is egy szám. Enélkül pedig nem alakul ki modell. Ezért ezt a számot jelöljük betűvel "X". Még nem tudjuk, hogy x mit jelent, de ez a megjelölés nagyon hasznos lesz számunkra. További részletek arról, hogy mit vegyünk X-hez és hogyan kezeljük, a Hogyan oldjunk meg matematikai feladatokat című leckében? Azonnal írjuk le:

x darab – a halak teljes száma.

A mi feladatunkban a déli halakat százalékban adjuk meg. Ezeket darabokra kell alakítanunk. Miért? Akkor miben Bármi fel kell rajzolni a modell problémáját azonos típusú mennyiségben. Darabok – tehát minden darabokban van. Ha mondjuk órákat és perceket adunk meg, akkor mindent egyetlen dologra fordítunk le – vagy csak órákat, vagy csak perceket. Nem számít, mi az. Fontos, hogy minden érték azonos típusú volt.

Térjünk vissza az információközléshez. Aki nem tudja, hogy mennyi a százalék, az soha nem árulja el, igen... De aki tudja, azonnal azt mondja, hogy az itteni százalékok az összhalszámon alapulnak. És ezt a számot nem ismerjük. Semmi sem fog működni!

Nem hiába írjuk be a halak teljes számát (darabokban!) "X" kijelölt. A déli halak számát nem lehet majd megszámolni, de leírjuk? Mint ez:

0,2 x darab - a déli tengerekből származó halak száma.

Most letöltöttük az összes információt a feladatból. Nyilvánvaló és rejtett is.

Figyeljünk a harmadik pontra.

Keres matematikai összefüggés feladatadatok között. Ez az összefüggés olyan egyszerű, hogy sokan nem veszik észre... Ez gyakran megtörténik. Itt hasznos, ha egyszerűen felírja az összegyűjtött adatokat egy halomba, és megnézi, mi az.

mi van nálunk? Eszik 8 darabészaki hal, 0,2 x darab- déli hal és x hal- teljes összeg. Össze lehet kapcsolni valahogy ezeket az adatokat? Igen Könnyű! A halak teljes száma egyenlő dél és észak összege! Hát ki gondolta volna...) Szóval leírjuk:

x = 8 + 0,2x

Ez az egyenlet feladatunk matematikai modellje.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ebben a problémában Nem kérnek tőlünk semmit! Mi magunk, fejből jöttünk rá, hogy a déli és az északi halak összege adja a teljes számot. A dolog annyira nyilvánvaló, hogy nem veszik észre. De e bizonyíték nélkül nem lehet matematikai modellt létrehozni. Mint ez.

Most már használhatja a matematika teljes erejét ennek az egyenletnek a megoldására). Pontosan ezért állították össze a matematikai modellt. Megoldjuk ezt a lineáris egyenletet, és megkapjuk a választ.

Válasz: x=10

Hozzuk létre egy másik probléma matematikai modelljét:

Megkérdezték Petrovicstól: „Sok pénzed van?” Petrovich sírni kezdett, és így válaszolt: „Igen, csak egy kicsit, ha az összes pénz felét elköltöm, és a többi felét, akkor csak egy zacskó pénzem marad…” Mennyi pénze van Petrovichnak. ?

Ismét pontról pontra dolgozunk.

1. Explicit információkat keresünk. Nem találja meg azonnal! Explicit információ az egy pénzes zsák. Van néhány másik fele... Nos, a második pontban ezt vizsgáljuk meg.

2. Rejtett információkat keresünk. Ezek felek. Mit? Nem túl világos. Továbbra is keresünk. Van még egy feladatkérdés: – Mennyi pénze van Petrovicsnak? Jelöljük betűvel a pénz mennyiségét "X":

x- az összes pénz

És újra elolvassuk a problémát. Már tudván, hogy Petrovics x pénz. Itt a felezés fog működni! Leírjuk:

0,5 x- az összes pénz fele.

A maradék is fele lesz, i.e. 0,5 x. A fele pedig így írható:

0,5 x 0,5 x = 0,25 x- a maradék fele.

Most minden rejtett információ feltárásra került és rögzített.

3. Kapcsolatot keresünk a rögzített adatok között. Itt egyszerűen elolvashatja Petrovics szenvedését és leírhatja matematikailag):

Ha az összes pénz felét elköltöm...

Jegyezzük fel ezt a folyamatot. Az összes pénz - X. Fél - 0,5 x. Elkölteni annyi, mint elvenni. A mondatból felvétel lesz:

x - 0,5 x

igen a többi fele...

Vonjuk ki a maradék másik felét:

x - 0,5 x - 0,25x

akkor már csak egy zsák pénzem marad...

És itt megtaláltuk az egyenlőséget! Az összes kivonás után egy zsák pénz marad:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Íme, egy matematikai modell! Ez megint egy lineáris egyenlet, megoldjuk, kapjuk:

Megfontolandó kérdés. Mi az a négy? Rubel, dollár, jüan? És milyen mértékegységekben van a pénz a matematikai modellünkben? Zsákokban! Ez négyet jelent táska pénzt Petrovichtól. Jó is.)

A feladatok természetesen elemiek. Ez kifejezetten a matematikai modell elkészítésének lényegének megragadására szolgál. Egyes feladatok sokkal több adatot tartalmazhatnak, amelyekben könnyen elveszhet. Ez gyakran előfordul az ún. kompetencia feladatokat. Példákkal mutatjuk be, hogyan lehet matematikai tartalmat kinyerni egy halom szavakból és számokból

Még egy megjegyzés. A klasszikus iskolai problémáknál (medencét megtöltő csövek, valahol lebegő csónakok stb.) általában minden adatot nagyon óvatosan választanak ki. Két szabály van:
- elegendő információ van a problémában a megoldáshoz,
- Egy problémában nincs szükségtelen információ.

Ez egy tipp. Ha a matematikai modellben fel nem használt érték maradt, gondolja át, van-e hiba. Ha nincs elegendő adat, akkor valószínűleg nem azonosítottak és rögzítettek minden rejtett információt.

A kompetenciával kapcsolatos és egyéb életfeladatokban ezeket a szabályokat nem tartják be szigorúan. Ötletem sincs. De az ilyen problémákat is meg lehet oldani. Ha persze a klasszikusokon gyakorolsz.)

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

ELŐADÁSJEGYZET

Az árfolyam szerint

"Gépek és szállítórendszerek matematikai modellezése"

A tantárgy a matematikai modellezéssel kapcsolatos kérdéseket, a matematikai modellek ábrázolásának formáját és elvét vizsgálja. Az egydimenziós nemlineáris rendszerek megoldásának numerikus módszereit vizsgáljuk. A számítógépes modellezés és a számítási kísérletek kérdései kiterjednek. Figyelembe kell venni a tudományos vagy ipari kísérletek eredményeként kapott adatok feldolgozásának módszereit; különböző folyamatok kutatása, tárgyak, folyamatok és rendszerek viselkedési mintáinak azonosítása. A kísérleti adatok interpolációjának és közelítésének módszereit vizsgáljuk. A nemlineáris dinamikus rendszerek számítógépes modellezésével és megoldásával kapcsolatos kérdéseket tárgyaljuk. Különösen az első, második és magasabb rendű közönséges differenciálegyenletek numerikus integrálásának és megoldásának módszereit vizsgáljuk.

Előadás: Matematikai modellezés. A matematikai modellek formája és ábrázolásának elvei

Az előadás a matematikai modellezés általános kérdéseit tárgyalja. Megadjuk a matematikai modellek osztályozását.

A számítógép szilárdan belépett az életünkbe, és gyakorlatilag nincs olyan emberi tevékenységi terület, ahol ne használnának számítógépet. A számítógépeket ma már széles körben használják új gépek, új technológiai folyamatok létrehozása és kutatása során, valamint azok optimális lehetőségeinek felkutatásában; gazdasági problémák megoldásakor, tervezési és termelésirányítási problémák megoldása során különböző szinteken. A rakétagyártásban, a repülőgépgyártásban, a hajógyártásban, valamint a gátak, hidak stb. tervezésében nagyméretű objektumok létrehozása általában lehetetlen számítógépek használata nélkül.

Ahhoz, hogy a számítógépet az alkalmazott feladatok megoldásában használhassuk, mindenekelőtt az alkalmazott feladatot kell „lefordítani” formális matematikai nyelvre, pl. egy valós objektumhoz, folyamathoz vagy rendszerhez meg kell építeni annak matematikai modelljét.

A "modell" szó a latin modusból (másolat, kép, körvonal) származik. A modellezés egy A objektum helyettesítése egy másik B objektummal. A lecserélt A objektumot eredeti vagy modellező objektumnak, a B helyettesítőt pedig modellnek nevezzük. Más szavakkal, a modell az eredeti objektum helyettesítője, amely az eredeti bizonyos tulajdonságainak tanulmányozását biztosítja.

A modellezés célja az egymással és a külső környezettel kölcsönhatásba lépő objektumokról információk megszerzése, feldolgozása, bemutatása és felhasználása; és a modell itt egy tárgy tulajdonságainak és viselkedési mintáinak megértésének eszközeként működik.

A modellezést széles körben alkalmazzák az emberi tevékenység különböző területein, különösen a tervezés és a menedzsment területén, ahol speciálisak a kapott információk alapján történő hatékony döntéshozatal folyamatai.

A modell mindig meghatározott céllal épül fel, ami befolyásolja, hogy egy objektív jelenség mely tulajdonságai szignifikánsak és melyek nem. A modell olyan, mint az objektív valóság kivetítése egy bizonyos szögből. Néha, a céloktól függően, számos objektív valóság vetületet kaphat, amelyek konfliktusba kerülnek. Ez általában olyan összetett rendszerekre jellemző, amelyekben minden egyes vetület kiválasztja azt, ami egy adott célhoz elengedhetetlen a lényegtelenek halmazából.

A modellezéselmélet egy olyan tudományág, amely az eredeti objektumok tulajdonságainak tanulmányozásának módjait vizsgálja más modellobjektumokkal való helyettesítés alapján. A modellezés elmélete a hasonlóság elméletén alapszik. A modellezés során abszolút hasonlóság nem következik be, és csak arra törekszik, hogy a modell kellően tükrözze a vizsgált objektum működésének aspektusát. Abszolút hasonlóság csak akkor jöhet létre, ha az egyik objektumot egy másik, pontosan ugyanolyan objektum helyettesíti.

Minden modell két osztályba sorolható:

1. valódi,

2. ideális.

A valódi modellek viszont a következőkre oszthatók:

1. teljes körű,

2. fizikai,

3. matematikai.

Az ideális modellek a következőkre oszthatók:

1. vizuális,

2. ikonikus,

3. matematikai.

A valódi teljes léptékű modellek valós tárgyak, folyamatok és rendszerek, amelyeken tudományos, műszaki és ipari kísérleteket végeznek.

A valódi fizikai modellek olyan modellek, próbabábok, amelyek az eredetiek fizikai tulajdonságait reprodukálják (kinematikai, dinamikus, hidraulikus, termikus, elektromos, könnyű modellek).

Az igazi matematikai modellek az analóg, szerkezeti, geometriai, grafikus, digitális és kibernetikai modellek.

Ideális vizuális modellek a diagramok, térképek, rajzok, grafikonok, grafikonok, analógok, szerkezeti és geometriai modellek.

Ideális jelmodellek a szimbólumok, ábécé, programozási nyelvek, rendezett jelölés, topológiai jelölés, hálózati ábrázolás.

Az ideális matematikai modellek az analitikus, funkcionális, szimulációs és kombinált modellek.

A fenti besorolásban egyes modellek kettős értelmezésűek (például analóg). Minden modell, kivéve a teljes léptékűeket, a mentális modellek egy osztályába kombinálható, mert az emberi absztrakt gondolkodás termékei.

Foglalkozzunk a modellezés egyik leguniverzálisabb típusával - a matematikával, amely a szimulált fizikai folyamatot matematikai összefüggésrendszerrel párosítja, amelynek megoldása lehetővé teszi, hogy választ kapjunk az objektum viselkedésére vonatkozó kérdésre anélkül, hogy létrehoznánk egy tárgyat. fizikai modell, amely gyakran drágának és hatástalannak bizonyul.

A matematikai modellezés egy valós objektum, folyamat vagy rendszer tanulmányozásának eszköze olyan matematikai modellel való helyettesítéssel, amely kényelmesebb a számítógépes kísérleti kutatáshoz.

A matematikai modell valós objektumok, folyamatok vagy rendszerek hozzávetőleges ábrázolása, matematikai kifejezésekkel kifejezve, és megőrzi az eredeti lényeges jellemzőit. A matematikai modellek kvantitatív formában, logikai és matematikai konstrukciók segítségével írják le egy objektum, folyamat vagy rendszer alapvető tulajdonságait, paramétereit, belső és külső összefüggéseit.

Általában egy valós objektum, folyamat vagy rendszer matematikai modelljét funkcionális rendszerként ábrázolják

Ф i (X,Y,Z,t)=0,

ahol X a bemeneti változók vektora, X= t,

Y - kimeneti változók vektora, Y= t,

Z - külső hatások vektora, Z= t,

t - időkoordináta.

A matematikai modell felépítése abból áll, hogy meghatározzuk az összefüggéseket bizonyos folyamatok és jelenségek között, olyan matematikai apparátust hozunk létre, amely lehetővé teszi az egyes folyamatok és jelenségek, a szakember számára érdekes fizikai mennyiségek és a folyamatot befolyásoló tényezők közötti kapcsolat mennyiségi és minőségi kifejezését. végeredmény.

Általában annyi van belőlük, hogy lehetetlen bevezetni a teljes készletüket a modellbe. A matematikai modell felépítésénél a kutatási feladat a végeredményt szignifikánsan nem befolyásoló tényezők azonosítása és kizárása a mérlegelésből (egy matematikai modell általában lényegesen kevesebb tényezőt tartalmaz, mint a valóságban). A kísérleti adatok alapján hipotéziseket állítunk fel a végeredményt kifejező mennyiségek és a matematikai modellbe bevezetett tényezők közötti kapcsolatról. Az ilyen kapcsolatot gyakran parciális differenciálegyenlet-rendszerek fejezik ki (például szilárd-, folyadék- és gázmechanika, szűréselmélet, hővezető képesség, elektrosztatikus és elektrodinamikus terek elmélete).

Ennek a szakasznak a végső célja egy matematikai probléma megfogalmazása, amelynek megoldása a kellő pontossággal kifejezi a szakembert érdeklő eredményeket.

Egy matematikai modell formája és ábrázolásának elve számos tényezőtől függ.

A konstrukció elvei alapján a matematikai modelleket a következőkre osztják:

1. elemző;

2. utánzás.

Az analitikus modellekben a valós objektumok, folyamatok vagy rendszerek működési folyamatait explicit funkcionális függőségek formájában írják le.

Az analitikus modell a matematikai probléma függvényében típusokra oszlik:

1. egyenletek (algebrai, transzcendentális, differenciális, integrál),

2. közelítési problémák (interpoláció, extrapoláció, numerikus integráció és differenciálás),

3. optimalizálási problémák,

4. sztochasztikus problémák.

Ahogy azonban a modellező objektum összetettebbé válik, az analitikus modell felépítése megoldhatatlan problémává válik. Ekkor a kutató kénytelen szimulációs modellezést alkalmazni.

A szimulációs modellezés során az objektumok, folyamatok vagy rendszerek működését egy sor algoritmus írja le. Az algoritmusok valós elemi jelenségeket szimulálnak, amelyek egy folyamatot vagy rendszert alkotnak, miközben megőrzik logikai szerkezetüket és sorrendjüket az idő múlásával. A szimulációs modellezés lehetővé teszi, hogy a forrásadatokból információt szerezzünk egy folyamat vagy rendszer bizonyos időpontokban fennálló állapotairól, de az objektumok, folyamatok vagy rendszerek viselkedésének előrejelzése itt nehézkes. Azt mondhatjuk, hogy a szimulációs modellek számítógépes számítási kísérletek olyan matematikai modellekkel, amelyek valós objektumok, folyamatok vagy rendszerek viselkedését imitálják.

A vizsgált valós folyamatok és rendszerek természetétől függően a matematikai modellek a következők lehetnek:

1. determinisztikus,

2. sztochasztikus.

A determinisztikus modellekben feltételezzük, hogy nincsenek véletlenszerű hatások, a modell elemei (változók, matematikai összefüggések) meglehetősen pontosan megállapítottak, és a rendszer viselkedése pontosan meghatározható. A determinisztikus modellek felépítésénél leggyakrabban algebrai egyenleteket, integrálegyenleteket és mátrixalgebrát használnak.

A sztochasztikus modell figyelembe veszi a folyamatok véletlenszerűségét a vizsgált objektumokban és rendszerekben, amelyet a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika módszerei írnak le.

A bemeneti információ típusa alapján a modelleket a következőkre osztják:

1. folyamatos,

2. diszkrét.

Ha az információk és a paraméterek folyamatosak, és a matematikai kapcsolatok stabilak, akkor a modell folytonos. És fordítva, ha az információk és a paraméterek diszkrétek, és a kapcsolatok instabilok, akkor a matematikai modell diszkrét.

A modellek időbeli viselkedése alapján a következőkre oszthatók:

1. statikus,

2. dinamikus.

A statikus modellek egy objektum, folyamat vagy rendszer viselkedését írják le bármely időpontban. A dinamikus modellek egy objektum, folyamat vagy rendszer időbeli viselkedését tükrözik.

A matematikai modell és a valós objektum, folyamat vagy rendszer közötti megfelelés mértéke alapján a matematikai modelleket a következőkre osztják:

1. izomorf (azonos alakú),

2. homomorf (különböző alakú).

Egy modellt akkor nevezünk izomorfnak, ha teljes elemenkénti megfelelés van közte és egy valós objektum, folyamat vagy rendszer között. Homomorf - ha csak az objektum és a modell legjelentősebb komponensei között van megfelelés.

A jövőben a matematikai modell típusának rövid meghatározásához a fenti osztályozásban a következő jelölést fogjuk használni:

Első levél:

D - determinisztikus,

C - sztochasztikus.

Második levél:

N - folyamatos,

D - diszkrét.

Harmadik levél:

A - analitikus,

És - utánzás.

1. Nincs (pontosabban nincs figyelembe véve) a véletlenszerű folyamatok befolyása, i.e. determinisztikus modell (D).

2. Az információk és a paraméterek folyamatosak, azaz. modell - folyamatos (N),

3. A forgattyús mechanizmus modell működését nemlineáris transzcendentális egyenletek formájában írjuk le, azaz. modell – analitikai (A)

2. Előadás: A matematikai modellek megalkotásának jellemzői

Az előadás a matematikai modell felépítésének folyamatát ismerteti. Adott a folyamat verbális algoritmusa.

Ahhoz, hogy a számítógépet az alkalmazott feladatok megoldásában használhassuk, mindenekelőtt az alkalmazott feladatot kell „lefordítani” formális matematikai nyelvre, pl. egy valós objektumhoz, folyamathoz vagy rendszerhez meg kell építeni annak matematikai modelljét.

A matematikai modellek kvantitatív formában, logikai és matematikai konstrukciók segítségével írják le egy objektum, folyamat vagy rendszer alapvető tulajdonságait, paramétereit, belső és külső összefüggéseit.

A matematikai modell elkészítéséhez a következőkre lesz szüksége:

1. gondosan elemezzen egy valós tárgyat vagy folyamatot;

2. kiemeli legjelentősebb jellemzőit és tulajdonságait;

3. definiáljon változókat, azaz. paraméterek, amelyek értékei befolyásolják az objektum fő jellemzőit és tulajdonságait;

4. logikai-matematikai összefüggések (egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségek, logikai-matematikai konstrukciók) segítségével írja le egy objektum, folyamat vagy rendszer alapvető tulajdonságainak függését a változók értékétől;

5. megszorítások, egyenletek, egyenlőségek, egyenlőtlenségek, logikai és matematikai konstrukciók segítségével emelje ki egy objektum, folyamat vagy rendszer belső összefüggéseit;

6. azonosítani és leírni a külső összefüggéseket megszorítások, egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenlőtlenségek, logikai és matematikai konstrukciók segítségével.

A matematikai modellezés egy objektum, folyamat vagy rendszer tanulmányozása és matematikai leírásának elkészítése mellett a következőket foglalja magában:

1. egy objektum, folyamat vagy rendszer viselkedését modellező algoritmus felépítése;

2. a modell és az objektum, folyamat vagy rendszer megfelelőségének ellenőrzése számítási és teljes körű kísérletek alapján;

3. modell beállítása;

4. a modell használata.

A vizsgált folyamatok és rendszerek matematikai leírása a következőktől függ:

1. egy valós folyamat vagy rendszer természetét és a fizika, kémia, mechanika, termodinamika, hidrodinamika, elektrotechnika, plaszticitáselmélet, rugalmasságelmélet stb. törvényei alapján állítják össze.

2. a valós folyamatok és rendszerek tanulmányozásának és kutatásának megkövetelt megbízhatósága és pontossága.

A matematikai modell kiválasztásának szakaszában a következőket állapítják meg: egy objektum, folyamat vagy rendszer linearitása és nemlinearitása, dinamizmusa vagy staticitása, stacionaritása vagy nem stacionaritása, valamint a vizsgált objektum vagy folyamat meghatározottságának foka. A matematikai modellezés során az ember szándékosan elvonatkoztat az objektumok, folyamatok vagy rendszerek sajátos fizikai természetétől, és főként az ezeket a folyamatokat leíró mennyiségek közötti mennyiségi függőségek vizsgálatára összpontosít.

A matematikai modell soha nem teljesen azonos a vizsgált objektummal, folyamattal vagy rendszerrel. Az egyszerűsítés és idealizálás alapján az objektum hozzávetőleges leírása. Ezért a modell elemzéséből kapott eredmények hozzávetőlegesek. Pontosságukat a modell és az objektum közötti megfelelőség (megfelelőség) foka határozza meg.

A matematikai modell felépítése általában a vizsgált tárgy, folyamat vagy rendszer legegyszerűbb, legdurvább matematikai modelljének felépítésével és elemzésével kezdődik. A jövőben szükség esetén finomítják a modellt, és teljesebbé teszik az objektumhoz való megfelelését.

Vegyünk egy egyszerű példát. Meg kell határozni az íróasztal felületét. Ez általában úgy történik, hogy megmérik a hosszát és szélességét, majd megszorozzák a kapott számokat. Ez az elemi eljárás tulajdonképpen a következőket jelenti: egy valós objektumot (asztalfelületet) helyettesítünk egy absztrakt matematikai modellel - egy téglalappal. Az asztalfelület hosszának és szélességének mérésével kapott méretek a téglalaphoz vannak rendelve, és egy ilyen téglalap területét hozzávetőlegesen az asztal kívánt területének tekintjük.

Az íróasztal téglalapmodellje azonban a legegyszerűbb, legdurvább modell. Ha komolyabban közelíti meg a problémát, mielőtt egy téglalap modellt használna a táblázat területének meghatározásához, ezt a modellt ellenőrizni kell. Az ellenőrzéseket a következőképpen lehet elvégezni: mérje meg az asztal ellentétes oldalainak hosszát, valamint átlóinak hosszát, és hasonlítsa össze őket. Ha a szükséges pontossággal a szemközti oldalak hossza és az átlók hossza páronként egyenlő, akkor a táblázat felülete valóban téglalapnak tekinthető. Ellenkező esetben a téglalap modellt el kell utasítani, és le kell cserélni egy általános négyszög modellre. Magasabb pontossági követelmény esetén szükség lehet a modell további finomítására, például az asztal sarkainak lekerekítésének figyelembevételére.

Ezzel az egyszerű példával megmutattuk, hogy a matematikai modellt nem egyedileg határozza meg a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer. Ugyanazon táblázathoz alkalmazhatunk téglalapmodellt, vagy egy általános négyszög összetettebb modelljét, vagy egy lekerekített sarkú négyszöget. Az egyik vagy másik modell kiválasztását a pontosság követelménye határozza meg. A pontosság növekedésével a modellnek bonyolultnak kell lennie, figyelembe véve a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer új és új jellemzőit.

Vegyünk egy másik példát: egy forgattyús mechanizmus mozgásának tanulmányozását (2.1. ábra).

Rizs. 2.1.

Ennek a mechanizmusnak a kinematikai elemzéséhez mindenekelőtt meg kell alkotni a kinematikai modelljét. Ezért:

1. Cseréljük a mechanizmust annak kinematikai diagramjával, ahol az összes láncszemet merev csatlakozásokra cseréljük;

2. A diagram segítségével levezetjük a mechanizmus mozgásegyenletét;

3. Ez utóbbit differenciálva megkapjuk a sebesség és a gyorsulás egyenleteit, amelyek I. és 2. rendű differenciálegyenletek.

Írjuk fel ezeket az egyenleteket:

ahol C 0 a C csúszka jobb szélső helyzete:

r – forgattyús sugár AB;

l – hajtórúd BC hossza;

– a hajtókar forgási szöge;

Az így kapott transzcendentális egyenletek egy lapos axiális forgattyús mechanizmus mozgásának matematikai modelljét képviselik, amely a következő egyszerűsítő feltevéseken alapul:

1. nem érdekeltek minket a testek mechanizmusában szereplő tömegek szerkezeti formái és elrendezése, és a szerkezet összes testét egyenes szegmensekre cseréltük. Valójában a mechanizmus összes láncszeme tömeges és meglehetősen összetett alakú. Például a hajtórúd egy összetett szerelvény, amelynek alakja és méretei természetesen befolyásolják a mechanizmus mozgását;

2. a vizsgált mechanizmus mozgásának matematikai modelljének megalkotásakor nem vettük figyelembe a mechanizmusba foglalt testek rugalmasságát sem, pl. minden láncszemet absztrakt, abszolút merev testnek tekintettek. Valójában a mechanizmusban szereplő összes test rugalmas test. Amikor a mechanizmus elmozdul, valahogy deformálódni fognak, és még rugalmas rezgések is előfordulhatnak bennük. Mindez természetesen a mechanizmus mozgására is hatással lesz;

3. nem vettük figyelembe a linkek gyártási hibáját, az A, B, C kinematikai párok hézagait stb.

Fontos tehát még egyszer hangsúlyozni, hogy minél magasabb követelményeket támasztanak a problémamegoldás eredményeinek pontosságával szemben, annál nagyobb szükség van a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer jellemzőinek figyelembevételére a matematikai modell felépítésénél. Fontos azonban, hogy itt időben megálljunk, hiszen egy összetett matematikai modell nehezen megoldható problémává válhat.

A modell akkor konstruálható meg a legkönnyebben, ha jól ismertek egy objektum, folyamat vagy rendszer viselkedését és tulajdonságait meghatározó törvényszerűségek, és széleskörű gyakorlati tapasztalat áll rendelkezésre alkalmazásukban.

Bonyolultabb helyzet áll elő, ha a vizsgált objektumról, folyamatról vagy rendszerről nem rendelkezünk elegendő tudással. Ebben az esetben a matematikai modell felépítése során további feltételezéseket kell tenni, amelyek a hipotézisek természetéből adódnak. Az ilyen hipotetikus modell tanulmányozása során levont következtetések feltételesek. A következtetések ellenőrzéséhez össze kell hasonlítani a modell számítógépen történő tanulmányozásának eredményeit egy teljes körű kísérlet eredményeivel. Így az a kérdés, hogy egy bizonyos matematikai modell alkalmazható-e a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer vizsgálatára, nem matematikai kérdés, és matematikai módszerekkel nem is oldható meg.

Az igazság fő kritériuma a kísérlet, a gyakorlat a szó legtágabb értelmében.

A matematikai modell felépítése alkalmazott problémákban a munka egyik legbonyolultabb és legfontosabb szakasza. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a megfelelő modell kiválasztása sok esetben a probléma több mint felére történő megoldását jelenti. Ennek a szakasznak az a nehézsége, hogy matematikai és speciális ismeretek kombinációját igényli. Ezért nagyon fontos, hogy az alkalmazott feladatok megoldása során a matematikusok speciális ismeretekkel rendelkezzenek az objektumról, partnereik, szakembereik pedig rendelkezzenek bizonyos matematikai kultúrával, a szakterületükön szerzett kutatási tapasztalattal, számítógépes és programozási ismeretekkel.

3. előadás Számítógépes modellezés és számítási kísérlet. Matematikai modellek megoldása

A számítógépes modellezés, mint a tudományos kutatás új módszere a következőkön alapul:

1. matematikai modellek felépítése a vizsgált folyamatok leírására;

2. a legújabb számítógépek használata nagy sebességgel (másodpercenként millió művelet), és képes párbeszédet folytatni egy személlyel.

A számítógépes modellezés lényege a következő: egy matematikai modell alapján számítási kísérletsorozatot hajtanak végre számítógép segítségével, azaz. objektumok vagy folyamatok tulajdonságait tanulmányozzuk, megtaláljuk optimális paramétereiket, működési módjukat, és finomítjuk a modellt. Például, ha rendelkezik egy egyenlettel, amely leírja egy adott folyamat menetét, megváltoztathatja annak együtthatóit, kezdeti és peremfeltételeit, és tanulmányozhatja az objektum viselkedését. Ezenkívül megjósolható egy objektum viselkedése különféle körülmények között.

A számítási kísérlet lehetővé teszi, hogy egy költséges, teljes körű kísérletet számítógépes számításokkal helyettesítsen. Lehetővé teszi, hogy rövid időn belül és jelentős anyagköltségek nélkül számos lehetőség tanulmányozása a tervezett objektum vagy folyamat különböző működési módjaihoz, ami jelentősen csökkenti a komplex rendszerek fejlesztéséhez és a termelésben történő megvalósításához szükséges időt. .

A számítógépes modellezés és a számítási kísérlet, mint a tudományos kutatás új módszere, lehetővé teszi a matematikai modellek felépítéséhez használt matematikai apparátus továbbfejlesztését, illetve matematikai módszerekkel a matematikai modellek pontosítását, bonyolítását. Számítási kísérlet lebonyolítására a legígéretesebb felhasználása korunk jelentős tudományos, műszaki és társadalmi-gazdasági problémáinak megoldására (atomerőművek reaktorainak tervezése, gátak és vízerőművek, magnetohidrodinamikus energiaátalakítók tervezése, valamint a közgazdaságtan területén) - kiegyensúlyozott terv készítése egy iparágra, régióra, országra stb.).

Egyes folyamatokban, ahol egy természetes kísérlet veszélyes az emberi életre és egészségre, a számítási kísérlet az egyetlen lehetséges (termonukleáris fúzió, űrkutatás, vegyipar és egyéb iparágak tervezése és kutatása).

A matematikai modell és a valós objektum, folyamat vagy rendszer megfelelőségének ellenőrzésére a számítógépes kutatás eredményeit összehasonlítják egy prototípus teljes léptékű modellen végzett kísérlet eredményeivel. A teszteredmények segítségével a matematikai modellt igazítjuk, vagy megoldódik a felépített matematikai modell alkalmazhatóságának kérdése meghatározott objektumok, folyamatok vagy rendszerek tervezésére vagy tanulmányozására.

Végezetül ismételten hangsúlyozzuk, hogy a számítógépes modellezés és a számítási kísérlet lehetővé teszi, hogy egy „nem matematikai” objektum tanulmányozását egy matematikai probléma megoldására redukáljuk. Ez lehetőséget ad arra, hogy egy jól fejlett matematikai berendezést és hatékony számítástechnikai technológiával kombinálva tanulmányozzuk. Ez az alapja a matematika és a számítógépek használatának a való világ törvényeinek megértéséhez és a gyakorlatban való használatához.

Valós objektumok, folyamatok vagy rendszerek viselkedésének tervezésével vagy tanulmányozásával kapcsolatos problémákban a matematikai modellek általában nemlineárisak, mivel tükrözniük kell a bennük előforduló valós fizikai nemlineáris folyamatokat. Ráadásul ezeknek a folyamatoknak a paramétereit (változóit) fizikai nemlineáris törvények kapcsolják össze. Ezért a valós objektumok, folyamatok vagy rendszerek viselkedésének tervezésével vagy tanulmányozásával kapcsolatos problémáknál leggyakrabban matematikai modelleket, például DNS-t használnak.

Az 1. előadásban megadott besorolás szerint:

D – a modell determinisztikus, a véletlenszerű folyamatok hatása hiányzik (pontosabban nem veszi figyelembe).

N – folytonos modell, az információk és a paraméterek folyamatosak.

Egy – analitikus modell, a modell működését egyenletek (lineáris, nemlineáris, egyenletrendszerek, differenciál- és integrálegyenletek) formájában írják le.

Tehát felépítettük a vizsgált objektum, folyamat vagy rendszer matematikai modelljét, pl. az alkalmazott problémát matematikai problémaként mutatta be. Ezt követően kezdődik az alkalmazott probléma megoldásának második szakasza - a megfogalmazott matematikai probléma megoldására szolgáló módszer keresése vagy fejlesztése. A módszernek kényelmesnek kell lennie a számítógépen történő megvalósításhoz, és biztosítania kell a megoldás kívánt minőségét.

A matematikai problémák megoldására szolgáló összes módszer 2 csoportra osztható:

1. pontos módszerek a problémák megoldására;

2. numerikus módszerek a feladatok megoldására.

A matematikai feladatok megoldásának egzakt módszereiben a választ képletek formájában kaphatjuk meg.

Például egy másodfokú egyenlet gyökereinek kiszámítása:

vagy például derivált függvények kiszámítása:

vagy egy határozott integrál kiszámítása:

Ha azonban a képletben a számokat véges tizedes törtként helyettesítjük, akkor is hozzávetőleges értéket kapunk az eredményből.

A legtöbb gyakorlatban felmerülő probléma esetében a pontos megoldási módszerek vagy ismeretlenek, vagy nagyon nehézkes képleteket adnak. Ezek azonban nem mindig szükségesek. Egy alkalmazott probléma akkor tekinthető gyakorlatilag megoldottnak, ha a szükséges pontossággal meg tudjuk oldani.

Az ilyen problémák megoldására olyan numerikus módszereket fejlesztettek ki, amelyekben az összetett matematikai problémák megoldása nagyszámú egyszerű aritmetikai művelet egymás utáni végrehajtására redukálódik. A numerikus módszerek közvetlen fejlesztése a számítási matematikához tartozik.

A numerikus módszerre példa a téglalapok közelítő integrációs módszere, amely nem igényli az integrandus antideriváltjának kiszámítását. Az integrál helyett a végső kvadratúra összegét számítjuk ki:

x 1 =a – az integráció alsó határa;

x n+1 =b – az integráció felső határa;

n – azon szegmensek száma, amelyekre az (a,b) integrációs intervallum fel van osztva;

– elemi szakasz hossza;

f(x i) – az integrandus értéke az elemi integrációs szegmensek végén.

Minél több n szegmensre van felosztva az integrációs intervallum, annál közelebb van a közelítő megoldás az igazhoz, azaz. annál pontosabb az eredmény.

Így az alkalmazott feladatokban mind az egzakt megoldási módszerek, mind a numerikus megoldási módszerek alkalmazásakor a számítási eredmények közelítőek. Csak az a fontos, hogy a hibák a kívánt pontosságon belül legyenek.

A matematikai feladatok megoldásának numerikus módszerei régóta ismertek, már a számítógépek megjelenése előtt is, de ritkán és a számítások rendkívüli bonyolultsága miatt csak viszonylag egyszerű esetekben alkalmazták őket. A numerikus módszerek széles körű elterjedése a számítógépeknek köszönhetően vált lehetővé.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete