Két egyenes metszéspontja egy síkban. Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Egyes geometriai feladatok koordinátamódszeres megoldása során meg kell találni az egyenesek metszéspontjának koordinátáit. Leggyakrabban két egyenes metszéspontjának koordinátáit kell keresni egy síkon, de néha meg kell határozni két térbeli egyenes metszéspontjának koordinátáit. Ebben a cikkben annak a pontnak a koordinátáinak megkeresésével foglalkozunk, ahol két egyenes metszi egymást.

Oldalnavigáció.

Két egyenes metszéspontja egy definíció.

Először határozzuk meg két egyenes metszéspontját.

Így ahhoz, hogy egy síkon általános egyenletekkel meghatározott két egyenes metszéspontjának koordinátáit megtaláljuk, meg kell oldanunk egy adott egyenesek egyenleteiből összeállított rendszert.

Nézzük a példamegoldást.

Példa.

Határozzuk meg egy síkon az x-9y+14=0 és 5x-2y-16=0 egyenletekkel meghatározott két egyenes metszéspontját egy téglalap alakú koordinátarendszerben.

Megoldás.

Két általános egyenesegyenletet kapunk, ezekből alkossunk rendszert: . A kapott egyenletrendszer megoldásait könnyen megtalálhatjuk, ha megoldjuk az első egyenletét az x változóra vonatkozóan, és ezt a kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe:

Az egyenletrendszer megtalált megoldása megadja két egyenes metszéspontjának kívánt koordinátáit.

Válasz:

M 0(4, 2) x-9y+14=0 és 5x-2y-16=0.

Tehát két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása, amelyeket általános egyenletek határoznak meg egy síkon, egy két lineáris egyenletrendszer megoldásához vezet, két ismeretlen változóval. De mi van akkor, ha a síkon lévő egyeneseket nem általános egyenletek adják meg, hanem más típusú egyenletek (lásd a síkon lévő egyenes egyenlettípusait)? Ezekben az esetekben először az egyenesek egyenleteit lehet általános alakra redukálni, és csak ezután lehet megkeresni a metszéspont koordinátáit.

Példa.

És .

Megoldás.

Mielőtt megtalálnánk az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, az egyenleteiket redukáljuk általános megjelenés. Átmenet parametrikus egyenes egyenletekből ennek az egyenesnek az általános egyenletéhez úgy néz ki alábbiak szerint:

Most pedig hajtsuk végre szükséges intézkedéseket az egyenes kanonikus egyenletével:

Így az egyenesek metszéspontjának kívánt koordinátái a megoldása egy ilyen alakú egyenletrendszerre . A megoldáshoz a következőket használjuk:

Válasz:

M 0 (-5, 1)

Van egy másik módja annak, hogy megtaláljuk két egyenes metszéspontjának koordinátáit egy síkon. Használata kényelmes, ha az egyik egyenest az alak paraméteres egyenlete adja meg , a másik pedig egy eltérő típusú egyenes egyenlete. Ebben az esetben egy másik egyenletben az x és y változók helyett a kifejezéseket helyettesíthetjük És , ahonnan az adott egyenesek metszéspontjának megfelelő értéket lehet majd megkapni. Ebben az esetben az egyenesek metszéspontja koordinátákkal rendelkezik.

Keressük meg ezzel a módszerrel az előző példában szereplő egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Példa.

Határozza meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit! És .

Megoldás.

Helyettesítsük be az egyenes kifejezést az egyenletbe:

A kapott egyenlet megoldása után azt kapjuk, hogy . Ez az érték a vonalak közös pontjának felel meg És . A metszéspont koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy a paraméteres egyenletekben egy egyenest helyettesítünk:
.

Válasz:

M 0 (-5, 1).

A kép teljessé tételéhez még egy pontot kell megvitatni.

Mielőtt egy síkon megkeresnénk két egyenes metszéspontjának koordinátáit, célszerű megbizonyosodni arról, hogy az adott egyenesek valóban metszik egymást. Ha kiderül, hogy az eredeti egyenesek egybeesnek vagy párhuzamosak, akkor szó sem lehet az ilyen egyenesek metszéspontjának koordinátáiról.

Természetesen megteheti ezt az ellenőrzést, és azonnal létrehozhat egy alakzati egyenletrendszert és oldja meg. Ha egy egyenletrendszer rendelkezik az egyetlen megoldás, akkor megadja annak a pontnak a koordinátáit, ahol az eredeti egyenesek metszik egymást. Ha az egyenletrendszernek nincsenek megoldásai, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak (mivel nincs ilyen pár valós számok x és y, amelyek egyszerre teljesítenék az adott egyenesek mindkét egyenletét). A végtelen számú megoldás jelenlétéből az egyenletrendszerbe az következik, hogy az eredeti egyeneseknek végtelenül sok közös pontok, vagyis egybeesnek.

Nézzünk példákat, amelyek ezekre a helyzetekre illeszkednek.

Példa.

Nézze meg, hogy az egyenesek és az egyenesek metszik-e egymást, és ha metszik, akkor keresse meg a metszéspont koordinátáit.

Megoldás.

A megadott egyenes egyenletek megfelelnek az egyenleteknek És . Oldjuk meg az ezekből az egyenletekből álló rendszert .

Nyilvánvaló, hogy a rendszer egyenletei lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül (a rendszer második egyenletét az elsőből úgy kapjuk meg, hogy mindkét részét megszorozzuk 4-gyel), ezért az egyenletrendszer végtelen halmaz döntéseket. Így az egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

Válasz:

Az egyenletek és ugyanazt az egyenest határozzák meg az Oxy derékszögű koordinátarendszerben, így nem beszélhetünk a metszéspont koordinátáinak megtalálásáról.

Példa.

Keresse meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit! És , ha lehet.

Megoldás.

A probléma állapota lehetővé teszi, hogy a vonalak ne metsszék egymást. Hozzunk létre egy rendszert ezekből az egyenletekből. Alkalmazzuk a megoldást, hiszen ezzel megállapíthatjuk egy egyenletrendszer kompatibilitását vagy inkompatibilitását, és ha kompatibilis, akkor megoldást találhatunk:

A rendszer utolsó egyenlete a Gauss-módszer közvetlen áthaladása után nem lett igazi egyenlőség, ezért az egyenletrendszernek nincsenek megoldásai. Ebből arra következtethetünk, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

Második megoldás.

Nézzük meg, hogy az adott egyenesek metszik-e egymást.

- normál vonal vektor , és a vektor egy normál vonalvektor . Ellenőrizzük a végrehajtást És : egyenlőség igaz, mivel ezért az adott egyenesek normálvektorai kollineárisak. Ekkor ezek a vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek. Így nem tudjuk megtalálni az eredeti egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Válasz:

Az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit nem lehet megtalálni, mivel ezek az egyenesek párhuzamosak.

Példa.

Határozzuk meg a 2x-1=0 és a egyenesek metszéspontjának koordinátáit, ha metszik egymást.

Megoldás.

Állítsunk össze egy egyenletrendszert, amely adott egyenesek általános egyenletei: . Ennek az egyenletrendszernek a főmátrixának determinánsa nem nulla , ezért az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, amely az adott egyenesek metszéspontját jelzi.

Az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához meg kell oldanunk a rendszert:

A kapott megoldás megadja az egyenesek metszéspontjának koordinátáit, azaz 2x-1=0 és .

Válasz:

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása a térben.

Két egyenes metszéspontjának koordinátái in háromdimenziós tér hasonlóan találhatók.

Nézzük a példák megoldásait.

Példa.

Határozzuk meg a térben az egyenletekkel megadott két egyenes metszéspontjának koordinátáit! És .

Megoldás.

A megadott egyenesek egyenleteiből alkossunk egyenletrendszert: . Ennek a rendszernek a megoldása megadja a térbeli egyenesek metszéspontjának szükséges koordinátáit. Találjunk megoldástírott egyenletrendszer.

A rendszer fő mátrixának van formája , és kiterjesztett - .

Határozzuk meg A és a T mátrix rangja. használjuk

Egyes geometriai feladatok koordinátamódszeres megoldása során meg kell találni az egyenesek metszéspontjának koordinátáit. Leggyakrabban két egyenes metszéspontjának koordinátáit kell keresni egy síkon, de néha meg kell határozni két térbeli egyenes metszéspontjának koordinátáit. Ebben a cikkben annak a pontnak a koordinátáinak megkeresésével foglalkozunk, ahol két egyenes metszi egymást.

Oldalnavigáció.

Két egyenes metszéspontja egy definíció.

Először határozzuk meg két egyenes metszéspontját.

A síkon lévő egyenesek egymáshoz viszonyított helyzetéről szóló részben látható, hogy egy síkon lévő két egyenes vagy egybeeshet (és végtelen sok közös pontjuk van), vagy párhuzamos (és két egyenesnek nincs közös pontja), vagy metszi egymást. , amelynek egy közös pontja van. Opciók relatív helyzete kettőnél több egyenes van a térben - egybeeshetnek (végtelen sok közös pontjuk van), lehetnek párhuzamosak (vagyis egy síkban fekszenek és nem metszik egymást), lehetnek metszőek (nem ugyanabban a síkban) , és lehet egy közös pontja is, vagyis a metszéspont. Tehát két egyenest a síkon és a térben metszőnek nevezünk, ha van egy közös pontjuk.

A metsző egyenesek definíciójából az következik egyenesek metszéspontjának meghatározása: Azt a pontot, ahol két egyenes metszi, ezen egyenesek metszéspontjának nevezzük. Más szóval, két metsző egyenes egyetlen közös pontja ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja.

Az érthetőség kedvéért grafikusan ábrázoljuk két egyenes síkbeli és térbeli metszéspontját.

Az oldal tetejére

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megkeresése egy síkon.

Mielőtt egy síkon két egyenes metszéspontjának koordinátáit az ismert egyenleteik alapján megkeresné, fontoljon meg egy segédproblémát.

Oxy aÉs b. Ezt egyenesen feltételezzük a megfelel általános egyenlet egy egyenes és egy egyenes b– típus. Legyen egy pont a síkon, és meg kell találnunk, hogy a pont az-e M 0 adott egyenesek metszéspontja.

Oldjuk meg a problémát.

Ha M0 aÉs b, akkor definíció szerint ez is a sorba tartozik aés egyenes b, azaz koordinátáinak ki kell elégíteniük az egyenletet és az egyenletet is. Ezért be kell cserélnünk a pont koordinátáit M 0 Adott egyenesek egyenleteibe, és nézze meg, hogy ez két helyes egyenlőséget eredményez-e. Ha a pont koordinátái M 0 kielégíti mindkét és egyenletet, akkor a vonalak metszéspontja aÉs b, V egyébként M 0 .

A lényeg M 0 koordinátákkal (2, -3) vonalak metszéspontja 5x-2y-16=0És 2x-5y-19=0?

Ha M 0 valóban adott egyenesek metszéspontja, akkor a koordinátái kielégítik az egyenesek egyenleteit. Ellenőrizzük ezt a pont koordinátáinak helyettesítésével M 0 V adott egyenletek:

Két valódi egyenlőségünk van tehát, M 0 (2, -3)- vonalak metszéspontja 5x-2y-16=0És 2x-5y-19=0.

Az áttekinthetőség kedvéért bemutatunk egy rajzot, amelyen egyenesek láthatók, és láthatóak a metszéspontjaik koordinátái.

igen, pont M 0 (2, -3) a vonalak metszéspontja 5x-2y-16=0És 2x-5y-19=0.

A vonalak metszik egymást? 5x+3y-1=0És 7x-2y+11=0 pontban M 0 (2, -3)?

Helyettesítsük be a pont koordinátáit M 0 az egyenesek egyenletébe, ez a művelet ellenőrzi, hogy a pont tartozik-e a ponthoz M 0 mindkét egyenes egyidejűleg:

A második egyenlet óta, amikor behelyettesítjük a pont koordinátáit M 0 nem vált valódi egyenlőséggé, akkor pont M 0 nem tartozik a sorba 7x-2y+11=0. Ebből a tényből arra a következtetésre juthatunk, hogy a lényeg M 0 nem az adott egyenesek metszéspontja.

A rajzon is jól látható, hogy a lényeg M 0 nem a vonalak metszéspontja 5x+3y-1=0És 7x-2y+11=0. Nyilvánvaló, hogy az adott egyenesek egy koordinátájú pontban metszik egymást (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nem a vonalak metszéspontja 5x+3y-1=0És 7x-2y+11=0.

Most áttérhetünk arra a feladatra, hogy két egyenes metszéspontjának koordinátáit a megadott egyenesegyenletek segítségével egy síkon találjuk meg.

Rögzítsünk egy téglalap alakút a síkra karteziánus rendszer koordináták Oxyés adott két metsző egyenes aÉs b egyenletek és ill. Jelöljük az adott egyenesek metszéspontját mint M 0és oldja meg a következő feladatot: keresse meg két egyenes metszéspontjának koordinátáit aÉs b ezen egyenesek ismert egyenletei szerint és .

Pont M0 az egyes metsző egyenesekhez tartozik aÉs b definíció szerint. Ezután az egyenesek metszéspontjának koordinátái aÉs b teljesíti mind az egyenletet, mind az egyenletet. Ezért két egyenes metszéspontjának koordinátái aÉs b egyenletrendszer megoldása (lásd a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása című cikket).

Így ahhoz, hogy egy síkon általános egyenletekkel meghatározott két egyenes metszéspontjának koordinátáit megtaláljuk, meg kell oldanunk egy adott egyenesek egyenleteiből összeállított rendszert.

Nézzük a példamegoldást.

Határozzuk meg két egyenes metszéspontját egy téglalap alakú koordináta-rendszerben egy síkon az egyenletekkel x-9y+14=0És 5x-2y-16=0.

Két általános egyenesegyenletet kapunk, ezekből alkossunk rendszert: . Az eredményül kapott egyenletrendszer megoldásai könnyen megtalálhatók, ha megoldjuk annak első egyenletét a változóhoz képest xés cserélje be ezt a kifejezést a második egyenletbe:

Az egyenletrendszer megtalált megoldása megadja két egyenes metszéspontjának kívánt koordinátáit.

M 0 (4, 2)– vonalak metszéspontja x-9y+14=0És 5x-2y-16=0.

Tehát két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása, amelyeket általános egyenletek határoznak meg egy síkon, egy két lineáris egyenletrendszer megoldásához vezet, két ismeretlen változóval. De mi van akkor, ha a síkon lévő egyeneseket nem általános egyenletek adják meg, hanem más típusú egyenletek (lásd a síkon lévő egyenes egyenlettípusait)? Ezekben az esetekben először az egyenesek egyenleteit lehet általános alakra redukálni, és csak ezután lehet megkeresni a metszéspont koordinátáit.

Mielőtt megkeresnénk az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, az egyenleteiket általános alakra redukáljuk. Átmenet innen parametrikus egyenletek ennek az egyenesnek az általános egyenletéhez tartozó egyenes a következő:

Most végezzük el a szükséges műveleteket az egyenes kanonikus egyenletével:

Így az egyenesek metszéspontjának kívánt koordinátái egy formájú egyenletrendszer megoldása. A megoldáshoz Cramer módszerét használjuk:

M 0 (-5, 1)

Van egy másik módja annak, hogy megtaláljuk két egyenes metszéspontjának koordinátáit egy síkon. Használata kényelmes, ha az egyik vonalat paraméteres alakú egyenletek adják meg, a másikat pedig egy eltérő típusú egyenes egyenlet. Ebben az esetben a változók helyett egy másik egyenletben xÉs y helyettesítheti a és kifejezéseket, ahonnan az adott egyenesek metszéspontjának megfelelő értéket kaphatja meg. Ebben az esetben az egyenesek metszéspontja koordinátákkal rendelkezik.

Keressük meg ezzel a módszerrel az előző példában szereplő egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Határozzuk meg a és az egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

Helyettesítsük be az egyenes kifejezést az egyenletbe:

A kapott egyenlet megoldása után azt kapjuk, hogy . Ez az érték a és a vonalak közös pontjának felel meg. A metszéspont koordinátáit úgy számítjuk ki, hogy a paraméteres egyenletekben egy egyenest helyettesítünk:
.

M 0 (-5, 1).

A kép teljessé tételéhez még egy pontot kell megvitatni.

Mielőtt egy síkon megkeresnénk két egyenes metszéspontjának koordinátáit, célszerű megbizonyosodni arról, hogy az adott egyenesek valóban metszik egymást. Ha kiderül, hogy az eredeti egyenesek egybeesnek vagy párhuzamosak, akkor szó sem lehet az ilyen egyenesek metszéspontjának koordinátáiról.

Természetesen megteheti egy ilyen ellenőrzés nélkül, de azonnal hozzon létre egyenletrendszert az alakból, és oldja meg. Ha egy egyenletrendszernek egyedi megoldása van, akkor ez megadja annak a pontnak a koordinátáit, ahol az eredeti egyenesek metszik egymást. Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak (mivel nincs ilyen valós számpár xÉs y, amely egyszerre teljesítené az adott egyenesek mindkét egyenletét). A végtelen számú megoldás jelenlétéből egy egyenletrendszerre az következik, hogy az eredeti egyeneseknek végtelen sok közös pontja van, vagyis egybeesnek.

Nézzünk példákat, amelyek ezekre a helyzetekre illeszkednek.

Nézze meg, hogy az egyenesek és az egyenesek metszik-e egymást, és ha metszik, akkor keresse meg a metszéspont koordinátáit.

A megadott egyenesek egyenletei megfelelnek az és egyenleteknek. Oldjuk meg az ezekből az egyenletekből álló rendszert.

Nyilvánvaló, hogy a rendszer egyenletei lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül (a rendszer második egyenletét az elsőből úgy kapjuk meg, hogy mindkét részét megszorozzuk 4 ), ezért az egyenletrendszernek végtelen számú megoldása van. Így az egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

egyenletek és téglalap alakú koordinátarendszerben vannak meghatározva Oxy ugyanaz az egyenes, így nem beszélhetünk a metszéspont koordinátáinak megtalálásáról.

Keresse meg a vonalak metszéspontjának koordinátáit és, ha lehetséges!

A probléma állapota lehetővé teszi, hogy a vonalak ne metsszék egymást. Hozzunk létre egy rendszert ezekből az egyenletekből. A megoldáshoz alkalmazzuk a Gauss-módszert, mivel ez lehetővé teszi egy egyenletrendszer kompatibilitásának vagy inkompatibilitásának megállapítását, és ha kompatibilis, akkor megoldást találunk:

A rendszer utolsó egyenlete a Gauss-módszer közvetlen áthaladása után hibás egyenlőséggé alakult, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. Ebből arra következtethetünk, hogy az eredeti egyenesek párhuzamosak, és nem beszélhetünk ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

Második megoldás.

Nézzük meg, hogy az adott egyenesek metszik-e egymást.

A normálvektor egy egyenes, a vektor pedig egy egyenes normálvektora. Vizsgáljuk meg, hogy igaz-e az és : vektorok kollinearitási feltétele az egyenlőség, mivel tehát az adott egyenesek normálvektorai kollineárisak. Ekkor ezek a vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek. Így nem tudjuk megtalálni az eredeti egyenesek metszéspontjának koordinátáit.

lehetetlen megtalálni az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, mivel ezek az egyenesek párhuzamosak.

Keresse meg az egyenesek metszéspontjának koordinátáit! 2x-1=0és ha keresztezik egymást.

Állítsunk össze egyenletrendszert, amely adott egyenesek általános egyenletei: . Ennek az egyenletrendszernek a főmátrixának determinánsa nem nulla, ezért az egyenletrendszernek egyedi megoldása van, amely az adott egyenesek metszéspontját jelzi.

Az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához meg kell oldanunk a rendszert:

A kapott megoldás megadja az egyenesek metszéspontjának koordinátáit, vagyis az egyenesek metszéspontját 2x-1=0És .

Az oldal tetejére

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása a térben.

A háromdimenziós térben lévő két egyenes metszéspontjának koordinátáit hasonlóan találjuk meg.

Legyen a metsző vonalak aÉs b derékszögű koordináta-rendszerben meghatározott Oxyz két egymást metsző sík egyenlete, azaz egy egyenes a a , és az egyenes vonal rendszere határozza meg b- . Hadd M 0– vonalak metszéspontja aÉs b. Aztán pont M 0 definíció szerint szintén a sorhoz tartozik aés egyenes b, ezért koordinátái kielégítik mindkét egyenes egyenletét. Így az egyenesek metszéspontjának koordinátái aÉs b alakú lineáris egyenletrendszer megoldását ábrázolja. Itt szükségünk lesz információra az olyan lineáris egyenletrendszerek megoldásáról szóló részből, amelyekben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával.

Nézzük a példák megoldásait.

Határozzuk meg a térben az és egyenletekkel meghatározott két egyenes metszéspontjának koordinátáit.

Állítsunk össze egyenletrendszert az adott egyenesek egyenleteiből: . Ennek a rendszernek a megoldása megadja a térbeli egyenesek metszéspontjának szükséges koordinátáit. Keressük a megoldást az írott egyenletrendszerre.

A rendszer főmátrixa formájú , a kiterjesztett pedig - .

Határozzuk meg a mátrix rangját Aés mátrix rang T. A kiskorúak határolásának módszerét alkalmazzuk, de nem írjuk le részletesen a determinánsok számítását (ha szükséges, olvassa el a Mátrix determinánsának számítása című cikket):

Így a fő mátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, és egyenlő hárommal.

Következésképpen az egyenletrendszernek egyedi megoldása van.

Alapmollnak a determinánst vesszük, ezért az utolsó egyenletet ki kell zárni az egyenletrendszerből, mivel nem vesz részt a bázismoll kialakításában. Így,

A kapott rendszer megoldása könnyen megtalálható:

Így az egyenesek metszéspontjának vannak koordinátái (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Meg kell jegyezni, hogy az egyenletrendszernek akkor és csak akkor van egyedi megoldása, ha az egyenesek aÉs b metszik egymást. Ha egyenes AÉs b párhuzamos vagy keresztező, akkor az utolsó egyenletrendszernek nincs megoldása, mivel ebben az esetben az egyeneseknek nincs közös pontja. Ha egyenes aÉs b egybeesik, akkor végtelen számú közös pontjuk van, ezért meghatározott rendszer az egyenleteknek végtelen számú megoldása van. Ezekben az esetekben azonban nem beszélhetünk az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról, mivel az egyenesek nem metszik egymást.

Így ha nem tudjuk előre, hogy az adott egyenesek metszik-e egymást aÉs b vagy nem, akkor célszerű egy alakú egyenletrendszert létrehozni és Gauss-módszerrel megoldani. Ha egyedi megoldást kapunk, akkor az megfelel az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak aÉs b. Ha a rendszer inkonzisztensnek bizonyul, akkor a közvetlen aÉs b ne keresztezd. Ha a rendszernek végtelen számú megoldása van, akkor az egyenesek aÉs b mérkőzés.

A Gauss-módszer használata nélkül is megteheti. Alternatív megoldásként kiszámíthatja a rendszer fő és kiterjesztett mátrixainak rangsorait, és a kapott adatok és a Kronecker-Capelli-tétel alapján arra a következtetésre juthat, hogy egyetlen megoldás létezik, vagy sok megoldás létezik, vagy nem. megoldásokat. Ízlés kérdése.

Ha az egyenesek metszik egymást, akkor határozzuk meg a metszéspont koordinátáit.

A megadott egyenletekből alkossunk rendszert: . Oldjuk meg a Gauss-módszerrel mátrix formában:

Világossá vált, hogy az egyenletrendszernek nincsenek megoldásai, ezért az adott egyenesek nem metszik egymást, és szó sem lehet ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásáról.

nem találjuk meg az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit, mivel ezek az egyenesek nem metszik egymást.

Amikor metsző egyenesek adottak kanonikus egyenletek egy térbeli egyenes vagy egy térbeli egyenes paraméteres egyenlete, akkor először két egymást metsző sík formájában kell megszerezni az egyenleteiket, és csak ezután kell megkeresni a metszéspont koordinátáit.

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben két egymást metsző egyenes van meghatározva Oxyz egyenletek és . Keresse meg ezen egyenesek metszéspontjának koordinátáit!

Határozzuk meg a kezdeti egyeneseket két egymást metsző sík egyenletével:

Az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához hátra van az egyenletrendszer megoldása. Ennek a rendszernek a fő mátrixának rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, és egyenlő hárommal (javaslom, hogy ellenőrizze ezt a tényt). Vegyük alapnak a minort, ezért az utolsó egyenletet kizárhatjuk a rendszerből. Miután a kapott rendszert bármilyen módszerrel (például Cramer módszerével) megoldottuk, megkapjuk a megoldást. Így az egyenesek metszéspontjának vannak koordinátái (-2, 3, -5) .

1. A függvénygrafikonok metszéspontjának koordinátáinak megtalálásához mindkét függvényt egyenlővé kell tenni egymással, át kell vinni őket bal oldalt az összes olyan kifejezést, amely $ x $-t tartalmaz, és jobbra a többit, és keresse meg a kapott egyenlet gyökereit.
2. A második módszer egy egyenletrendszer létrehozása és megoldása az egyik függvény másikkal való helyettesítésével
3. A harmadik módszer magában foglalja grafikai konstrukció funkciók és vizuális definíció metszéspontok.

Két lineáris függvény esete

Tekintsünk kettőt lineáris függvények$ f(x) = k_1 x+m_1 $ és $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Ezeket a függvényeket direktnek nevezzük. Meglehetősen könnyű megszerkeszteni őket, bármilyen két értéket kell venni: $ x_1 $ és $ x_2 $, és meg kell találnia a $ f(x_1) $ és a $ (x_2) $ értéket. Ezután ismételje meg ugyanezt a $ g(x) $ függvénnyel. Ezután vizuálisan keresse meg a függvénygrafikonok metszéspontjának koordinátáját.

Tudnia kell, hogy a lineáris függvényeknek csak egy metszéspontja van, és csak akkor, ha $ k_1 \neq k_2 $. Egyébként $ k_1=k_2 $ esetén a függvények párhuzamosak egymással, mivel $ k $ a meredekségi együttható. Ha $ k_1 \neq k_2 $, de $ m_1=m_2 $, akkor a metszéspont $ M(0;m) $ lesz. A problémák gyors megoldásához tanácsos emlékezni erre a szabályra.

1. példa

Legyen $ f(x) = 2x-5 $ és $ g(x)=x+3 $ adott. Keresse meg a függvénygrafikonok metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás

Hogyan kell ezt csinálni? Mivel két lineáris függvényt mutatunk be, először a $ k_1 = 2 $ és $ k_2 = 1 $ függvény meredekségi együtthatóját nézzük. Megjegyezzük, hogy $ k_1 \neq k_2 $, tehát van egy metszéspont. Keressük meg a $ f(x)=g(x) $ egyenlettel: $$ 2x-5 = x+3 $$ A kifejezéseket $ x $-lal balra, a többit pedig jobbra mozgatjuk: $$ 2x - x = 3+5 $$ Megkaptuk $ x=8 $ a grafikonok metszéspontjának abszcisszáját, és most keressük meg az ordinátát. Ehhez cseréljük be a $ x = 8 $ értéket bármelyik egyenletbe, akár $ f(x) $-ban, akár $ g(x) $-ban: $$ f(8) = 2\cdot 8-5 = 16-5 = 11 $$ Tehát $ M (8;11) $ két lineáris függvény grafikonjának metszéspontja. Ha nem tudja megoldani a problémát, küldje el nekünk. mi biztosítjuk részletes megoldás. Megnézheti a számítás folyamatát, és információkat szerezhet. Ez segít abban, hogy az osztályzatot időben megkapja tanárától!

Válasz

$$ M (8;11) $$

Két nemlineáris függvény esete

3. példa

Keresse meg a függvénygrafikonok metszéspontjának koordinátáit: $ f(x)=x^2-2x+1 $ és $ g(x)=x^2+1 $

Megoldás

Mit kell csinálni kettővel nemlineáris függvények? Az algoritmus egyszerű: az egyenleteket egyenlővé tesszük egymással, és megkeressük a gyökereket: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Körbeterítjük különböző feleknek egyenlettagok $x$-al és anélkül: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ A kívánt pont abszcisszáját megtaláltuk, de ez nem elég. A $y$ ordináta még mindig hiányzik. Behelyettesítjük a $ x = 0 $-t a problémafeltétel két egyenlete bármelyikébe. Például: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - függvénygrafikonok metszéspontja

Válasz

$$ M (0;1) $$

Ezzel online számológép síkon találhatja meg az egyenesek metszéspontját. Részletes megoldást adunk magyarázatokkal. Az egyenesek metszéspontjának koordinátáinak meghatározásához állítsa be az egyenesek egyenletének típusát ("kanonikus", "paraméteres" vagy "általános"), írja be az egyenesek egyenleteinek együtthatóit a cellákba, és kattintson a "Megoldás" gombra. " gombot. Az elméleti rész és számpéldák lásd alább.

×

Figyelmeztetés

Törli az összes cellát?

Bezárás Törlés

Adatbeviteli utasítások. A számok egész számok (például 487, 5, -7623 stb.), tizedesjegyek (pl. 67., 102,54 stb.) vagy törtek formájában kerülnek megadásra. A törtet a/b formában kell megadni, ahol a és b (b>0) egész szám ill. decimális számok. Példák 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 stb.

Az egyenesek metszéspontja egy síkon - elmélet, példák és megoldások

1. Az általános formában megadott egyenesek metszéspontja.

Oxy L 1 és L 2:

Építsünk egy kiterjesztett mátrixot:

Ha B" 2 = 0 és VEL" 2 =0, akkor a lineáris egyenletrendszernek sok megoldása van. Ezért egyenes L 1 és L 2 meccs. Ha B" 2 = 0 és VEL" 2 ≠0, akkor a rendszer inkonzisztens, ezért az egyenesek párhuzamosak és nincs közös pontjuk. Ha B" 2 ≠0, akkor a lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van. A második egyenletből azt találjuk y: y=VEL" 2 /B" 2 és a kapott értéket behelyettesítjük az első talált egyenletbe x: x=−VEL 1 −B 1 y. Megkaptuk a vonalak metszéspontját L 1 és L 2: M(x, y).

2. A kanonikus formában megadott egyenesek metszéspontja.

Legyen egy karteziánus téglalap alakú rendszer koordináták Oxyés ebben a koordinátarendszerben legyenek adottak egyenesek L 1 és L 2:

Nyissuk meg a zárójeleket, és hajtsuk végre az átalakításokat:

Hasonló módszerrel megkapjuk a (7) egyenes általános egyenletét:

A (12) egyenletekből az következik:

A kanonikus formában megadott egyenesek metszéspontjának megtalálását fentebb leírtuk.

4. Különböző nézetekben megadott egyenesek metszéspontja.

Legyen adott egy derékszögű derékszögű koordináta-rendszer Oxyés ebben a koordinátarendszerben legyenek adottak egyenesek L 1 és L 2:

meg fogjuk találni t:

A 1 x 2 +A 1 mt+B 1 y 2 +B 1 pt+C 1 =0,

Oldjuk meg a lineáris egyenletrendszert viszonyítva x, y. Ehhez a Gauss-módszert fogjuk használni. Kapunk:

2. példa Keresse meg az egyenesek metszéspontját L 1 és L 2:

L 1: 2x+3y+4=0,

(20)

(21)

Az egyenesek metszéspontjának megtalálása L 1 és L 2 meg kell oldania a (20) és (21) lineáris egyenletrendszert. Mutassuk be az egyenleteket mátrix formában.

Annak érdekében, hogy eldöntsük geometriai probléma koordináta módszerrel egy metszéspontra van szükség, melynek koordinátáit használjuk fel a megoldásban. Olyan helyzet áll elő, amikor meg kell keresni két egyenes metszéspontjának koordinátáit egy síkon, vagy meg kell határozni ugyanazon vonalak koordinátáit a térben. Ez a cikk azon pontok koordinátáinak megtalálását tárgyalja, ahol adott egyenesek metszik egymást.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Meg kell határozni két egyenes metszéspontját.

Az egyenesek relatív helyzetét egy síkban ábrázoló szakasz azt mutatja, hogy egybeeshetnek, párhuzamosak lehetnek, egy közös pontban metszik egymást, vagy metszik egymást. A térben lévő két egyenest metszőnek nevezzük, ha van egy közös pontjuk.

A vonalak metszéspontjának meghatározása így hangzik:

1. definíció

Azt a pontot, ahol két egyenes metszik, metszéspontjuknak nevezzük. Más szóval, a metszővonalak pontja a metszéspont.

Nézzük az alábbi ábrát.

Mielőtt megtalálná két egyenes metszéspontjának koordinátáit, figyelembe kell venni az alábbi példát.

Ha a síknak O x y koordinátarendszere van, akkor két a és b egyenes van megadva. Az a egyenes egy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 alakú általános egyenletnek felel meg, a b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenesre. Ekkor M 0 (x 0, y 0) a sík egy bizonyos pontja, meg kell határozni, hogy az M 0 pont lesz-e ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja.

A probléma megoldásához be kell tartani a definíciót. Ekkor az egyeneseknek egy olyan pontban kell metszniük egymást, amelynek koordinátái az adott A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenletek megoldása. Ez azt jelenti, hogy a metszéspont koordinátáit behelyettesítjük az összes adott egyenletbe. Ha behelyettesítéskor a helyes azonosságot adják meg, akkor M 0 (x 0 , y 0) tekinthető metszéspontjuknak.

1. példa

Adott két egymást metsző egyenes: 5 x - 2 y - 16 = 0 és 2 x - 5 y - 19 = 0. A (2, - 3) koordinátákkal rendelkező M 0 pont metszéspont lesz?

Megoldás

Ahhoz, hogy az egyenesek metszéspontja érvényes legyen, szükséges, hogy az M 0 pont koordinátái kielégítsék az egyenesek egyenleteit. Ez lecserélésével ellenőrizhető. Ezt értjük

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Mindkét egyenlőség igaz, ami azt jelenti, hogy M 0 (2, - 3) az adott egyenesek metszéspontja.

Ábrázoljuk ezt a döntést az alábbi ábra koordinátavonalán.

Válasz:beállított pont koordinátákkal (2, - 3) lesz az adott egyenesek metszéspontja.

2. példa

Az 5 x + 3 y - 1 = 0 és a 7 x - 2 y + 11 = 0 egyenesek az M 0 (2, - 3) pontban metszik egymást?

Megoldás

A probléma megoldásához be kell cserélni a pont koordinátáit az összes egyenletbe. Ezt értjük

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

A második egyenlőség nem igaz, ez azt jelenti, hogy az adott pont nem tartozik a 7 x - 2 y + 11 = 0 egyeneshez. Ebből azt kapjuk, hogy az M 0 pont nem az egyenesek metszéspontja.

A rajzon jól látható, hogy M 0 nem a vonalak metszéspontja. Közös pontjuk van koordinátákkal (- 1, 2).

Válasz: a (2, - 3) koordinátájú pont nem az adott egyenesek metszéspontja.

Folytatjuk a két egyenes metszéspontjainak koordinátáinak megkeresését a síkon megadott egyenletek segítségével.

Két egymást metsző a és b egyenest az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 alakú egyenletek határozzák meg, amelyek O × y helyen találhatók. Az M 0 metszéspont kijelölésénél azt tapasztaljuk, hogy az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenletek segítségével kell folytatnunk a koordináták keresését.

A definícióból nyilvánvaló, hogy M 0 az egyenesek közös metszéspontja. Ebben az esetben a koordinátáinak meg kell felelniük az A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 és az A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 egyenleteknek. Más szóval, ez a megoldás az eredményül kapott A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 rendszerre.

Ez azt jelenti, hogy a metszéspont koordinátáinak megtalálásához az összes egyenletet hozzá kell adni a rendszerhez, és meg kell oldani.

3. példa

Adott két x - 9 y + 14 = 0 és 5 x - 2 y - 16 = 0 egyenes a síkon. meg kell találni a metszéspontjukat.

Megoldás

Az egyenlet feltételeire vonatkozó adatokat be kell gyűjteni a rendszerbe, ami után x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 eredményt kapunk. A megoldáshoz oldja meg az első egyenletet x-re, és cserélje be a kifejezést a másodikra:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

A kapott számok azok a koordináták, amelyeket meg kellett találni.

Válasz: M 0 (4, 2) az x - 9 y + 14 = 0 és az 5 x - 2 y - 16 = 0 egyenesek metszéspontja.

A koordináták megtalálása egy lineáris egyenletrendszer megoldásához vezet. Ha feltétel szerint más típusú egyenletet adunk meg, akkor azt normál formára kell redukálni.

4. példa

Határozzuk meg az x - 5 = y - 4 - 3 és az x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R egyenesek metszéspontjainak koordinátáit!

Megoldás

Először általános formába kell hoznia az egyenleteket. Ekkor azt kapjuk, hogy x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R a következőképpen alakul:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Ezután felvesszük az egyenletet kanonikus forma x - 5 = y - 4 - 3 és transzformálja. Ezt értjük

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Innentől azt kapjuk, hogy a koordináták a metszéspont

x - 9 év + 14 = 0 3 x - 5 év + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 év = - 20

Használjuk Cramer módszerét a koordináták megkereséséhez:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

Válasz: M 0 (-5, 1) .

A síkon elhelyezkedő egyenesek metszéspontjának koordinátáinak megkeresésére is van mód. Akkor alkalmazható, ha az egyik egyenest x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R alakú parametrikus egyenletek adják meg. Ekkor az x érték helyett behelyettesítjük x = x 1 + a x λ és y = y 1 + a y λ értékkel, ahol λ = λ 0, pontnak megfelelő metszéspont, amelynek koordinátái x 1 + a x · λ 0, y 1 + a y · λ 0.

5. példa

Határozzuk meg az x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R és x - 5 = y - 4 - 3 egyenes metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás

Az x - 5 = y - 4 - 3-ban egy helyettesítést kell végrehajtani az x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ kifejezéssel, akkor kapjuk:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Megoldáskor azt kapjuk, hogy λ = - 1. Ebből következik, hogy van egy metszéspont az x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R és az x - 5 = y - 4 - 3 egyenesek között. A koordináták kiszámításához be kell cserélni a λ = - 1 kifejezést a parametrikus egyenletbe. Ekkor azt kapjuk, hogy x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Válasz: M 0 (-5, 1) .

A téma teljes megértéséhez ismernie kell néhány árnyalatot.

Először meg kell értenie a vonalak helyét. Amikor metszik egymást, akkor más esetekben megtaláljuk a koordinátákat, nem lesz megoldás. Ennek az ellenőrzésnek az elkerülésére létrehozhatunk egy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 alakú rendszert Ha van megoldás, akkor arra következtetünk, hogy az egyenesek metszik egymást. Ha nincs megoldás, akkor párhuzamosak. Ha egy rendszernek végtelen számú megoldása van, akkor azt mondjuk, hogy egybeesnek.

6. példa

Adott x 3 + y - 4 = 1 és y = 4 3 x - 4 egyenesek. Határozza meg, hogy van-e közös pontjuk.

Megoldás

A megadott egyenleteket leegyszerűsítve kapjuk, hogy 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 és 4 3 x - y - 4 = 0.

Az egyenleteket rendszerbe kell gyűjteni a következő megoldáshoz:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Ebből láthatjuk, hogy az egyenletek egymáson keresztül fejeződnek ki, ekkor végtelen számú megoldást kapunk. Ekkor az x 3 + y - 4 = 1 és y = 4 3 x - 4 egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg. Ezért nincsenek metszéspontok.

Válasz: a megadott egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg.

7. példa

Határozzuk meg a 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 és a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 egyenesek pontjának koordinátáit!

Megoldás

A feltétel szerint ez lehetséges, a vonalak nem metszik egymást. Egyenletrendszert kell alkotni és megoldani. A megoldáshoz a Gauss-módszert kell használni, mivel segítségével ellenőrizhető az egyenlet kompatibilitása. A következő rendszert kapjuk:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 év = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Helytelen egyenlőséget kaptunk, ami azt jelenti, hogy a rendszernek nincs megoldása. Arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek párhuzamosak. Nincsenek metszéspontok.

Második megoldás.

Először meg kell határoznia a vonalak metszéspontjának jelenlétét.

n 1 → = (2, 2 - 3) a 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 egyenes normálvektora, majd az n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - vektor normál vektor a 2 3 + 2 x - 7 sorra y - 1 = 0.

Ellenőrizni kell az n 1 → = (2, 2 - 3) és n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) vektorok kollinearitását. 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 alakú egyenlőséget kapunk. Helyes, mert 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Ebből következik, hogy a vektorok kollineárisak. Ez azt jelenti, hogy az egyenesek párhuzamosak és nincs metszéspontjuk.

Válasz: metszéspontok nincsenek, az egyenesek párhuzamosak.

8. példa

Határozzuk meg az adott 2 x - 1 = 0 és y = 5 4 x - 2 egyenesek metszéspontjának koordinátáit!

Megoldás

A megoldáshoz egyenletrendszert állítunk össze. Megkapjuk

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Keressük meg a főmátrix determinánsát. Ehhez 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Mivel ő nem egyenlő nullával, a rendszernek 1 megoldása van. Ebből következik, hogy a vonalak metszik egymást. Oldjunk meg egy rendszert a metszéspontok koordinátáinak megtalálására:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Megállapítottuk, hogy az adott egyenesek metszéspontja M 0 (1 2, - 11 8) koordinátákkal rendelkezik.

Válasz: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Két egyenes metszéspontjának koordinátáinak megtalálása a térben

Ugyanígy megtaláljuk az egyenesek térbeli metszéspontjait.

Ha az a és b egyenesek adottak koordinátasík O x y z metsző síkok egyenletei, akkor van egy a egyenes, amely segítségével meghatározható adott rendszer A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 és b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D egyenes 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Ha az M 0 pont az egyenesek metszéspontja, akkor koordinátáinak mindkét egyenlet megoldásának kell lenniük. Megkapjuk lineáris egyenletek a rendszerben:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Nézzünk meg hasonló feladatokat példák segítségével.

9. példa

Határozza meg az adott egyenesek metszéspontjának koordinátáit x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 és 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Megoldás

Összeállítjuk az x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 rendszert és megoldjuk. A koordináták megtalálásához a mátrixon keresztül kell megoldani. Ekkor megkapjuk az A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 formájú főmátrixot és a T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 kiterjesztett mátrixot. Meghatározzuk a mátrix Gauss rangját.

Ezt értjük

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Ebből következik, hogy a kiterjesztett mátrix rangja 3. Ekkor az x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 egyenletrendszer csak egy megoldást eredményez.

A bázismoll determinánsa 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, akkor az utolsó egyenlet nem érvényes. Azt kapjuk, hogy x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Az x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = rendszer megoldása - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Ez azt jelenti, hogy az x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 és a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 metszéspontnak vannak koordinátái (1, - 3, 0).

Válasz: (1 , - 3 , 0) .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 formájú rendszer = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0-nak csak egy megoldása van. Ez azt jelenti, hogy az a és b vonalak metszik egymást.

Más esetekben az egyenletnek nincs megoldása, vagyis nincsenek közös pontjai sem. Vagyis lehetetlen koordinátákkal rendelkező pontot találni, mivel az nem létezik.

Ezért az A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z alakú rendszer. + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 a Gauss-módszerrel van megoldva. Ha nem kompatibilis, a vonalak nem metszik egymást. Ha végtelen sok megoldás létezik, akkor ezek egybeesnek.

Megoldhatja a mátrix fő és kiterjesztett rangjának kiszámításával, majd alkalmazhatja a Kronecker-Capelli tételt. Kapunk egyet, sok ill teljes hiánya döntéseket.

10. példa

Az x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 és az x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 egyenesek egyenletei adottak. Keresse meg a metszéspontot.

Megoldás

Először is hozzunk létre egyenletrendszert. Azt kapjuk, hogy x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Ezt a Gauss-módszerrel oldjuk meg:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Nyilvánvaló, hogy a rendszernek nincsenek megoldásai, ami azt jelenti, hogy a vonalak nem metszik egymást. Nincs metszéspont.

Válasz: nincs metszéspont.

Ha az egyeneseket kononikus vagy parametrikus egyenletekkel adjuk meg, akkor azokat metsző síkok egyenleteire kell redukálni, majd meg kell keresni a koordinátákat.

11. példa

Adott két egyenes x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R és x 2 = y - 3 0 = z 5 O x y z-ben. Keresse meg a metszéspontot.

Megoldás

Az egyeneseket két egymást metsző sík egyenletével határozzuk meg. Ezt értjük

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Megtaláljuk a 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 koordinátákat, ehhez kiszámoljuk a mátrix rangjait. A mátrix rangja 3, és alap moll 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, ami azt jelenti, hogy az utolsó egyenletet ki kell zárni a rendszerből. Ezt értjük

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Oldjuk meg a rendszert Cramer módszerével. Azt kapjuk, hogy x = - 2 y = 3 z = - 5. Innen azt kapjuk, hogy az adott egyenesek metszéspontja egy (- 2, 3, - 5) koordinátájú pontot ad.

Válasz: (- 2 , 3 , - 5) .

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete