Egy sorozatot korlátosnak mondunk fent, ha. A funkció fogalma

Mivel a jelzett területek rendre egyenlőek

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙ bűn α= 0,5 sinα, S szekt. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0,5 tgα.

Ezért,

sin α< α < tg α.

Osszuk el az egyenlőtlenség minden tagját sin α > 0-val: .

De . Ezért a határértékekre vonatkozó 4. Tétel alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a származtatott képletet az első figyelemre méltó határértéknek nevezzük.

Így az első figyelemre méltó határ a bizonytalanság feltárására szolgál. Vegye figyelembe, hogy a kapott képletet nem szabad összetéveszteni a határértékekkel Példák.

11.Limit és a hozzá kapcsolódó korlátok.

A MÁSODIK FIGYELMEZTETŐ HATÁR

A második figyelemre méltó határ az 1 ∞ bizonytalanság feltárására szolgál, és így néz ki alábbiak szerint

Figyeljünk arra, hogy a második figyelemre méltó határ képletében a kitevőnek inverz kifejezést kell tartalmaznia ahhoz képest, amelyet az egységhez a bázisnál hozzáadunk (hiszen ebben az esetben bevezethető a változók változása, ill. csökkentse a keresett határt a második figyelemre méltó határra)

Példák.

1. Funkció f(x)=(x-1) 2 infinitezimális at x→1, mivel (lásd az ábrát).

2. Funkció f(x)= tg x– végtelenül kicsi at x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – végtelenül kicsi x→0.

4. f(x) = 1/x– végtelenül kicsi x→∞.

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot:

Tétel. Ha a funkció y=f(x)-val reprezentálható x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsiny nagyságrendű α(x): f(x)=b+ α(x) Az .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), Hol fejsze)– végtelenül kicsi at x→a.

Bizonyíték.

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét! Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De mióta fejsze) infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ – a pont szomszédsága a, mindenki előtt x ahonnan, értékek fejsze) kielégíti a kapcsolatot |α(x)|< ε. Majd |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti, hogy.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek X valamilyen δ – egy pont szomszédságából a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, Azt |α(x)|< ε, ami azt jelenti a– végtelenül kicsi.

Mérlegeljük alapvető tulajdonságait végtelenül kicsi függvények.

1. tétel. Algebrai összeg kettő, három, és általában tetszőleges számú végtelen kicsi függvény egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Hadd f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges kis ε esetén > 0 talált δ> 0, olyan, hogy x, kielégítve az egyenlőtlenséget |x – a|<δ , végrehajtják |f(x)|< ε.

Tehát rögzítsünk egy tetszőleges ε számot > 0. Mivel a tétel feltételei szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor van ilyen δ 1 > 0, ami |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, ami |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vegyük δ=min(δ 1 , δ2 } .Akkor a pont szomszédságában a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. A termék végtelen kis funkció fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) at x→a(vagy mikor x→∞) egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Mivel a funkció f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x egy pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény at x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség érvényesül |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af– végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítás is hasonlóan történik.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és , akkor

Következmény 2. Ha és c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke eltér nullától, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Hadd . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátozott függvény szorzata, azaz. a függvény végtelenül kicsi.

Példák.

1. Világos, hogy mikor x→+∞ funkció y=x 2+ 1 végtelenül nagy. Ekkor azonban a fent megfogalmazott tétel szerint a függvény infinitezimális at x→+∞, azaz .

A fordított tétel is bebizonyítható.

2. tétel. Ha a funkció f(x)- végtelenül kicsi x→a(vagy x→∞)és akkor nem tűnik el y= 1/f(x) egy végtelenül nagy függvény.

Végezze el saját maga a tétel bizonyítását.

Példák.

3. , mivel a és függvények végtelenül kicsik at x→+∞, akkor, mivel az infinitezimális függvények összege egy infinitezimális függvény. A függvény egy állandó szám és egy infinitezimális függvény összege. Következésképpen az 1. Tétel infinitezimális függvényekre megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

Így az infinitezimális és a végtelen legegyszerűbb tulajdonságai nagyszerű funkciók a következő feltételes relációkkal írható fel: A≠ 0

13. Azonos rendű infinitezimális függvények, ekvivalens infinitezimálisok.

Infinitezimális függvényeket és nevezzük infinitezimálisnak, azonos kicsinységi sorrendben, ha , jelöli. És végül, ha nem létezik, akkor az infinitezimális függvények összehasonlíthatatlanok.

2. PÉLDA Infinitezimális függvények összehasonlítása

Egyenértékű infinitezimális függvények.

Ha , akkor infinitezimális függvényeket hívunk egyenértékű, jelölje ~ .

Helyileg egyenértékű funkciók:

Mikor ha

Néhány egyenértékűség(címen):

Egyoldalú korlátok.

Eddig fontolgattuk egy függvény határának meghatározását, amikor x→aönkényes módon, pl. a funkció határa nem attól függött, hogy hol helyezték el x kapcsolatban a, balra vagy jobbra a. Azonban meglehetősen gyakori, hogy olyan függvényeket találunk, amelyeknek nincs korlátja ebben a feltételben, de van korlátjuk, ha x→a, az egyik oldalán maradva A, balra vagy jobbra (lásd az ábrát). Ezért bevezetjük az egyoldalú határok fogalmát.

Ha f(x) a határig hajlik b at x egy bizonyos számra hajlamos aÍgy x csak a kisebb értékeket fogadja el a, akkor írnak és hívnak az f(x) függvény határértéke a bal oldali a pontban.

Tehát a szám b a függvény határértékének nevezzük y=f(x) at x→a a bal oldalon, ha bármilyen ε pozitív szám is van, akkor van egy δ szám (kisebb a

Hasonlóképpen, ha x→aés nagy értékeket vesz fel a, akkor írnak és hívnak b pontban a függvény határértéke A jobbra. Azok. szám b hívott az y=f(x) függvény határértéke x→a a jobb oldalon, ha bármilyen ε pozitív szám is van, akkor van ilyen δ (nagyobb A), hogy az egyenlőtlenség mindenkire érvényes.

Vegye figyelembe, hogy ha a határértékek a bal és a jobb oldalon a funkcióhoz f(x) nem esik egybe, akkor a függvénynek nincs határa (kétoldalas) a ponton A.

Példák.

1. Tekintsük a függvényt y=f(x), a szegmensen az alábbiak szerint definiálva

Keressük meg a függvény határait f(x) at x→ 3. Nyilvánvalóan és

Más szóval, tetszőlegesen kis számú epszilonhoz van egy delta szám, amely az epszilontól függ, így abból, hogy bármely x esetén, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, az következik, hogy a függvény értékeinek különbségei ezeken a pontokon önkényesen kicsi.

Egy függvény folytonosságának kritériuma egy pontban:

Funkció akarat folyamatos az A pontban akkor és csak akkor folytonos az A pontban a jobb és a bal oldalon is, vagyis úgy, hogy az A pontban két egyoldalú határérték van, ezek megegyeznek egymással és egyenlőek a a függvény az A pontban.

2. definíció: A funkció folyamatos halmazon, ha ennek a halmaznak minden pontján folytonos.

Függvény származéka egy pontban

Legyen a dana egy környéken definiálva. Mérlegeljük

Ha ez a határ létezik, akkor hívják az f függvény deriváltja a pontban.

Függvény származéka– a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határa, amikor az argumentum növekszik.

A derivált egy pontban történő kiszámításának vagy megtalálásának műveletét nevezzük különbségtétel .

A megkülönböztetés szabályai.

Származék funkciókat f(x) pontban x=x 0 egy függvény növekedésének ezen a ponton az argumentum növekményéhez viszonyított arányának nevezzük, mivel az utóbbi nullára hajlamos különbségtétel. A függvény deriváltját a segítségével számítjuk ki általános szabály differenciálás: Jelöljük f(x) = u, g(x) = v- egy ponton differenciálható függvények X. A megkülönböztetés alapszabályai 1) (egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével) 2) (ebből különösen az következik, hogy egy függvény és egy állandó szorzatának deriváltja egyenlő ennek deriváltjának szorzatával függvény és az állandó) 3) Hányados deriváltja: , ha g  0 4) Komplex függvény deriváltja: 5) Ha a függvény paraméteresen van megadva: , akkor

Példák.

1. y = x a – teljesítmény funkció tetszőleges jelzővel.

Implicit függvény

Ha egy függvényt az y=ƒ(x) egyenlettel adunk meg, y-hoz viszonyítva, akkor a függvényt explicit formában adjuk meg (explicit függvény).

Alatt implicit feladat A függvények egy függvény definícióját egy F(x;y)=0 egyenlet formájában értik, y-hoz képest nincs feloldva.

Bármely explicit módon adott y=ƒ (x) függvény implicitként írható egyenlet adja megƒ(x)-y=0, de nem fordítva.

Nem mindig könnyű, sőt néha lehetetlen megoldani egy egyenletet y-ra (például y+2x+kényelmes-1=0 vagy 2 y -x+y=0).

Ha az implicit függvényt az F(x; y) = 0 egyenlet adja, akkor ahhoz, hogy y deriváltját megtaláljuk x függvényében, nem kell feloldani az egyenletet y függvényében: elegendő ezt az egyenletet x függvényében megkülönböztetni, miközben y-t x függvényének tekintjük, majd oldja meg a kapott y egyenletet."

Származék implicit függvény az x argumentummal és az y függvénnyel kifejezve.

Példa:

Határozzuk meg az y függvény deriváltját az x 3 + y 3 -3xy = 0 egyenlettel!

Megoldás: Az y függvény implicit módon van megadva. Megkülönböztetjük x-hez az x 3 + y 3 -3xy = 0 egyenlőséget. A kapott összefüggésből

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

ebből következik, hogy y 2 y"-xy"=y-x 2, azaz y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Magasabb rendű származékok

Nyilvánvaló, hogy a származék

funkciókat y=f(x) től van funkció is x:

y" =f " (x)

Ha a funkció f" (x) differenciálható, akkor származékát a szimbólum jelöli y"" =f "" (x) x kétszer.
A második derivált származéka, i.e. funkciókat y""=f""(x), hívott az y=f(x) függvény harmadik deriváltja vagy a harmadrendű f(x) függvény deriváltjaés a szimbólumok jelzik

Egyáltalán n-i származéka vagy származéka n rendelési funkció y=f(x) szimbólumok jelzik

Phil Leibniz:

Tegyük fel, hogy a és függvények származékaikkal együtt n-edik rendűekig differenciálhatók. A két függvény szorzatának megkülönböztetésére vonatkozó szabályt alkalmazva megkapjuk

Hasonlítsuk össze ezeket a kifejezéseket a binomiális hatványaival:

Megdöbbentő a megfelelési szabály: ahhoz, hogy képletet kapjunk az és függvények szorzatának 1., 2. vagy 3. rendű származékára, ki kell cserélni a és a hatványokat a kifejezésben (ahol n= 1,2,3) a megfelelő rendek származékai. Kívül, nulla fok mennyiségeket, és nulla rendű deriváltokkal kell helyettesíteni, amelyek alatt a függvényeket és:

Általánosítva ezt a szabályt tetszőleges sorrendű származékokra n, megkapjuk Leibniz képlete,

hol vannak a binomiális együtthatók:

Rolle tétele.

Ez a tétel lehetővé teszi, hogy megtaláljuk kritikus pontok majd használja elegendő feltételek vizsgálja meg az extrémák funkcióját.

Legyen 1) f(x) definiált és folytonos valamilyen zárt intervallumon; 2) van véges derivált, legalább az (a;b) nyitott intervallumban; 3) a végén f-i intervallum elfogadja egyenlő értékeket f(a) = f(b). Ekkor az a és b pont között van egy c pont, amelynek deriváltja ebben a pontban = 0 lesz.

Az intervallumon folytonos függvények tulajdonságára vonatkozó tétel szerint az f(x) függvény ezen az intervallumon veszi fel max és min értékét.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 О

1) Legyen M = m, azaz. m £ f(x) £ M

Þ f(x) az a-tól b-ig terjedő intervallumot veszi fel állandó értékeket, és Þ deriváltja egyenlő lesz nullával. f’(x)=0

2) Legyen M>m

Mert az f(a) = f(b) Þ tétel feltételei szerint a legkisebb vagy a legnagyobb f-i jelentése nem a szegmens végeit veszi fel, de Þ M-et vagy m at-t fog venni belső pont ezt a szegmenst. Ekkor a Fermat-tétel szerint f’(c)=0.

Lagrange-tétel.

Véges növekmény képlete vagy Lagrange-féle átlagérték tétel kimondja, hogy ha egy függvény f folyamatos a [ a;b] és differenciálható az intervallumban ( a;b), akkor van egy olyan pont, hogy

Cauchy-tétel.

Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az intervallumon és differenciálhatók az (a, b) intervallumon és g¢(x) ¹ 0 az (a, b) intervallumon, akkor legalább egy pont e, a< e < b, такая, что

Azok. a függvények növekményeinek aránya egy adott szegmensen megegyezik a deriváltak arányával az e pontban. Példák az előadások problémamegoldó tanfolyamára Test térfogatának kiszámítása segítségével híres terek az övé párhuzamos szakaszok Integrálszámítás

Kiviteli példák tanfolyami munka Elektrotechnika

Ennek a tételnek a bizonyítására első pillantásra nagyon kényelmes a Lagrange-tétel használata. Írjon fel minden függvényhez egy véges különbségi képletet, majd osszák el őket egymással. Ez az elképzelés azonban téves, mert az egyes függvények e pontja általában eltérő. Természetesen bizonyos speciális esetekben ez az intervallumpont mindkét függvénynél azonosnak bizonyulhat, de ez nagyon ritka egybeesés, és nem szabály, ezért nem használható a tétel bizonyítására.

Bizonyíték. Vegye figyelembe a segítő funkciót

Mivel x→x 0, c értéke is x 0-ra hajlik; Menjünk a határig az előző egyenlőségben:

Mert , Azt .

azért

(két infinitezimális arányának határa megegyezik származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik)

L'Hopital szabálya, ∞/∞.

Tétel a monoton függvény határértékéről. A tétel bizonyítása két módszerrel történik. Megadjuk a szigorúan növekvő, nem csökkenő, szigorúan csökkenő és nem növekvő függvények definícióit is. A monoton függvény definíciója.

Meghatározások

Növekvő és csökkenő függvények definíciói
Legyen az f függvény (x) az X valós számok valamelyik halmazán van definiálva.
A függvényt hívják szigorúan növekvő (szigorúan csökkenő), ha minden x′, x′′ ∈ Xúgy hogy x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
A függvényt hívják nem csökkenő (nem növekvő), ha minden x′, x′′ ∈ Xúgy hogy x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Ebből következik, hogy a szigorúan növekvő függvény is nem csökkenő. A szigorúan csökkenő függvény szintén nem növekvő.

A monoton függvény definíciója
A függvényt hívják monoton, ha nem csökkenő vagy nem növekvő.

Egy függvény monotonitásának tanulmányozásához egy bizonyos X halmazon meg kell találnia az értékeinek különbségét a halmazhoz tartozó két tetszőleges pontban. Ha , akkor a függvény szigorúan növekvő; ha , akkor a függvény nem csökken; ha , akkor szigorúan csökken; ha , akkor nem növekszik.

Ha egy bizonyos halmazon a függvény pozitív: , akkor a monotonitás meghatározásához tanulmányozhatja az értékek elosztásának hányadosát a halmaz két tetszőleges pontjában. Ha , akkor a függvény szigorúan növekvő; ha , akkor a függvény nem csökken; ha , akkor szigorúan csökken; ha , akkor nem növekszik.

Tétel
Legyen az f függvény (x) nem csökken az intervallumon (a, b), Hol .
Ha fent az M: szám határolja, akkor a b: pontban véges bal határ van. (x) Ha f
nem korlátozódik felülről, akkor . (x) Ha f (x) alatta az m : szám határolja, akkor az a : pontban van egy véges jobb oldali határ.

Ha f
akkor nincs alább korlátozva.

Ha a és b pont a végtelenben van, akkor a kifejezésekben a határjelek azt jelentik, hogy . (x) nem csökken az intervallumon (a, b) Ez a tétel tömörebben is megfogalmazható.
;
.

Legyen az f függvény

, Hol . Ekkor az a és b pontban egyoldalú határértékek vannak:
;
.

Hasonló tétel a nem növekvő függvényre.
A függvény ne növekedjen azon az intervallumon, ahol . Aztán vannak egyoldalú korlátok: Következmény
Legyen a függvény monoton az intervallumon.

Aztán ebből az intervallumból bármely ponton vannak egyoldalúak

véges határok

Jellemzők: És .

A tétel bizonyítása

A funkció nem csökken

.
;
.

b-
végső szám
A funkció felülről korlátozott
;
;
.
1.1.1. Legyen a függvényt felülről az M szám határolja: for .
végső szám

végső szám
Mivel a függvény nem csökken, akkor amikor .

Majd

at .
Alakítsuk át az utolsó egyenlőtlenséget:
Mert akkor .
Majd

.

végső szám

"Függvény egyoldalú határértékeinek meghatározásai egy végpontban").
végső szám
A funkció felülről nincs korlátozva

1. A függvény ne csökkenjen az intervallumon.

A tétel bizonyítása

at .
1.1. Legyen a b szám véges: .
Majd

1.1.2. A függvény ne legyen fent korlátos.
.
Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ. Jelöljük.:
;
Akkor bárki számára van, szóval
.

Ez azt jelenti, hogy a b pontban a bal oldali határérték a következő (lásd "Függvény egyoldali végtelen határértékeinek meghatározása egy végpontban").
végső szám

b korai plusz végtelen
végső szám
1.2.1. Legyen a függvényt felülről az M szám határolja: for .

Majd

at .
Mivel a függvény fent korlátos, van véges szuprémum
A pontos felső határ meghatározása szerint
Majd

következő feltételekkel
.

Mivel a függvény nem csökken, akkor amikor .

Aztán at .
végső szám
Tehát mindenhez van egy szám, tehát

Ez azt jelenti, hogy az at határérték egyenlő (lásd "Az egyoldalú végtelen határértékek meghatározása a végtelennél").

A funkció nem növekszik

Most nézzük meg azt az esetet, amikor a függvény nem növekszik. A fentiek szerint mindegyik lehetőséget külön-külön megfontolhatja. De azonnal fedezzük őket. Ehhez használjuk. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.
.
Tekintsük a függvényértékek halmazának véges infimumát:
;
Itt B lehet véges szám vagy pont a végtelenben.
.
A pontos alsó korlát meghatározása szerint a következő feltételek teljesülnek:

a B pont bármely szomszédságára van érv, amely mellett
végső szám
A tétel feltételei szerint .
végső szám
ezért .

Mivel a függvény nem növekszik, akkor amikor .
végső szám
Azóta

Vagy

Ezután megjegyezzük, hogy az egyenlőtlenség határozza meg a b pont bal oldali szúrt környezetét.

Tehát azt találtuk, hogy a pont bármely szomszédságában van a b pontnak egy kilyukasztott bal környezete, így

Ez azt jelenti, hogy a bal oldali határ a b pontban: -1 (lásd a függvény határának egyetemes definícióját Cauchy szerint).

Határérték az a pontban
.
Most megmutatjuk, hogy az a pontban van határ, és megtudjuk az értékét.
.

Nézzük a függvényt.
.

A tétel feltételei szerint a függvény monoton -ra.
(1) .
Cseréljük ki az x változót -x-re (vagy végezzünk behelyettesítést, majd cseréljük ki a t változót x-re). Ekkor a függvény monoton .
.
Az egyenlőtlenségek szorzata
végső szám

és sorrendjüket megváltoztatva arra a következtetésre jutunk, hogy a függvény monoton a számára.
végső szám
Hasonló módon könnyen kimutatható, hogy ha nem csökken, akkor nem nő. Akkor a fentebb bizonyított szerint van egy határ
végső szám
Ha nem növekszik, akkor nem csökken. Ebben az esetben van egy határ
végső szám

Most már meg kell mutatni, hogy ha egy függvénynek van korlátja -ban, akkor van korlátja a -ban lévő függvénynek, és ezek a határértékek egyenlőek: Bemutatjuk a jelölést: Fejezzük ki f-t g-vel:
Vegyünk egy tetszőleges pozitív számot.
Vegyünk egy tetszőleges pozitív számot.
Vegyünk egy tetszőleges pozitív számot.
végső szám

Tehát azt találtuk, hogy bárki számára létezik ilyen
végső szám
Ez azt jelenti
.

A tétel bizonyítást nyert.

Figyelem: minden definíció tartalmaz egy X numerikus halmazt, amely a függvény tartományának része: X D(f)-vel. A gyakorlatban leggyakrabban vannak olyan esetek, amikor X - numerikus intervallum(szakasz, intervallum, sugár stb.).

1. definíció.

Egy y = f(x) függvényről azt mondjuk, hogy növekszik egy X halmazon D(f)-vel, ha az X halmaz bármely két x 1 és x 2 pontjára úgy, hogy x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

2. definíció.

Egy y = f(x) függvényről azt mondjuk, hogy csökken egy X halmazon D(f)-vel, ha az X halmaz bármely két x 1 és x 2 pontjára úgy, hogy x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

A gyakorlatban kényelmesebb a következő megfogalmazások használata: a függvény akkor növekszik, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg; egy függvény csökken, ha az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

A 7. és 8. osztályban a függvény növelése vagy csökkentése fogalmának a következő geometriai értelmezését alkalmaztuk: a növekvő függvény grafikonja mentén balról jobbra haladva úgy tűnik, hogy egy dombra mászunk (55. ábra); egy csökkenő függvény grafikonján balról jobbra haladva olyan, mintha dombról mennénk lefelé (56. ábra).
Általában a „növekvő funkció” és a „csökkenő funkció” kifejezéseket kombinálják köznév monoton funkció, a növelő vagy csökkentő függvény vizsgálatát pedig a monotonitás függvényének vizsgálatának nevezzük.

Jegyezzünk meg még egy körülményt: ha egy függvény növekszik (vagy csökken) a természetes definíciós tartományában, akkor általában azt mondjuk, hogy a függvény növekszik (vagy csökken) - anélkül, hogy megadnánk. számkészlet X.

1. példa

Vizsgálja meg a függvényt a monotonitás szempontjából:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Megoldás:

a) Vegyük az x 1 és x 2 argumentum tetszőleges értékeit, és legyen x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Az utolsó egyenlőtlenség azt jelenti, hogy f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Tehát x 1-től< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), ami azt jelenti, hogy az adott függvény csökkenő (a teljes számegyenesen).

3. definíció.

Az y - f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük egy X halmazon D(f)-vel, ha az X halmazban lévő függvény összes értéke nagyobb egy bizonyos számnál (más szóval, ha van olyan m szám, hogy bármely x є X értékre az f( x) >m egyenlőtlenség.

4. definíció.

Egy y = f(x) függvényt felülről korlátosnak mondunk egy X halmazra D(f)-vel, ha a függvény minden értéke kisebb egy bizonyos számnál (más szóval, ha van olyan M szám, mint pl. hogy bármely x є X értékre teljesül az f(x) egyenlőtlenség< М).

Ha az X halmaz nincs megadva, akkor azt feltételezzük arról beszélünk egy függvény korlátairól alulról vagy felülről a teljes definíciós tartományban.

Ha egy függvény alul és felül is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük.

Egy függvény korlátossága könnyen leolvasható a grafikonjáról: ha egy függvény alulról korlátos, akkor a gráfja teljes egészében egy bizonyos y = m vízszintes egyenes felett helyezkedik el (57. ábra); ha egy függvény felülről korlátos, akkor a grafikonja teljes egészében valamilyen y = M vízszintes egyenes alatt helyezkedik el (58. ábra).

2. példa Vizsgálja meg egy függvény korlátosságát
Megoldás. Egyrészt az egyenlőtlenség teljesen nyilvánvaló (definíció szerint négyzetgyök Ez azt jelenti, hogy a függvény alulról korlátos. Másrészt megvan és ezért
Ez azt jelenti, hogy a függvény felső határa van. Most nézd meg a grafikont adott funkciót(52. ábra az előző bekezdésből). A függvény korlátozása fent és lent is meglehetősen könnyen leolvasható a grafikonról.

5. definíció.

Az m számot az y = f(x) függvény legkisebb értékének nevezzük az X C D(f) halmazon, ha:

1) X-ben van olyan x 0 pont, hogy f(x 0) = m;

2) X-ből minden x-re érvényes az m>f(x 0) egyenlőtlenség.

6. definíció.

Az M számot az y = f(x) függvény legnagyobb értékének nevezzük az X C D(f) halmazon, ha:
1) X-ben van olyan x 0 pont, hogy f(x 0) = M;
2) X-ből minden x-re az egyenlőtlenség
A függvény legkisebb értékét a 7. és a 8. évfolyamon egyaránt y szimbólummal, a legnagyobbat y szimbólummal jelöltük.

Ha az X halmaz nincs megadva, akkor feltételezzük, hogy a függvény legkisebb vagy legnagyobb értékének megtalálásáról beszélünk a teljes definíciós tartományban.

A következő hasznos kijelentések nyilvánvalóak:

1) Ha egy függvénynek Y-je van, akkor alább korlátos.
2) Ha egy függvénynek Y, akkor fent korlátos.
3) Ha a függvény nem korlátos alább, akkor Y nem létezik.
4) Ha a függvény nem korlátos fent, akkor Y nem létezik.

3. példa

Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét
Megoldás.

Teljesen nyilvánvaló, főleg ha a függvénygráfot használjuk (52. ábra), hogy = 0 (a függvény x = -3 és x = 3 pontokban éri el ezt az értéket), a = 3 (a függvény ezt az értéket x pontban éri el) = 0.
A 7. és 8. osztályban a függvények további két tulajdonságát említettük. Az elsőt egy függvény konvexitási tulajdonságának nevezték. Egy függvényt akkor tekintünk lefelé konvexnek egy X intervallumon, ha a gráf bármely két pontját (X-ből származó abszcisszákkal) összekötve egy egyenes szegmenssel azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a megrajzolt szakasz alatt van. 59). folytonosság Egy függvény konvex felfelé egy X intervallumon, ha a függvény grafikonjának bármely két pontját (X-ből abszcisszákkal) összekötve egy egyenes szegmenssel azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a megrajzolt szakasz felett van ( 60. ábra).

A második tulajdonság - egy függvény folytonossága az X intervallumon - azt jelenti, hogy a függvény grafikonja az X intervallumon folytonos, azaz. nincs defektje vagy ugrása.

Megjegyzés.

Valójában a matematikában minden, ahogy mondani szokás, „éppen az ellenkezője”: a függvény grafikonja csak akkor jelenik meg folytonos vonalként (szúrások és ugrások nélkül), ha a függvény folytonossága igazolt. De formális meghatározás A funkció folytonossága, amely meglehetősen összetett és finom, még nem tartozik a lehetőségeink közé. Ugyanez mondható el egy függvény konvexitásáról is. A függvények e két tulajdonságának tárgyalása során továbbra is vizuális és intuitív fogalmakra hagyatkozunk.

Most pedig tekintsük át tudásunkat. Emlékezve azokra a függvényekre, amelyeket a 7. és 8. osztályban tanultunk, tisztázzuk, hogyan néznek ki a grafikonjaik, és soroljuk fel a függvény tulajdonságait. egy bizonyos rendű, például ez: definíciós tartomány; monoton; korlátozás; , ; folytonosság; hatótávolság; konvex.

Ezt követően a függvények új tulajdonságai jelennek meg, és a tulajdonságok listája ennek megfelelően módosul.

1. Állandó funkció y = C

ábrán látható az y = C függvény grafikonja. 61 - egyenes, párhuzamos az x tengellyel. Ez annyira érdektelen tulajdonság, hogy nincs értelme felsorolni a tulajdonságait.

Az y = kx + m függvény grafikonja egy egyenes (62., 63. ábra).

Az y = kx + m függvény tulajdonságai:

1)
2) növekszik, ha k > 0 (62. ábra), csökken, ha k< 0 (рис. 63);

4) nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb érték;
5) a függvény folytonos;
6)
7) nincs értelme konvexitásról beszélni.

Az y = kx 2 függvény grafikonja egy olyan parabola, amelynek csúcsa az origóban van, és felfelé mutató ágakkal, ha k > O (64. ábra), és lefelé, ha k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Az y - kx 2 függvény tulajdonságai:

A k> 0 esetre (64. ábra):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = nem létezik;
5) folyamatos;
6) E(f) = a függvény a sugáron csökken, az intervallumon pedig csökken;
7) felfelé konvex.

Az y = f(x) függvény grafikonját pontról pontra ábrázoljuk; Minél több pontot veszünk fel az (x; f(x)) alakból, annál pontosabb képet kapunk a grafikonról. Ha ezekből a pontokból sokat veszünk, akkor teljesebb képet kapunk a grafikonról. Ebben az esetben az intuíció azt mondja nekünk, hogy a grafikont folytonos vonalként kell ábrázolni (a ebben az esetben parabola formájában). Ezután a grafikont olvasva következtetéseket vonunk le a függvény folytonosságáról, lefelé vagy felfelé konvexitásáról, a függvény értéktartományáról. Meg kell értenie, hogy a felsorolt ​​hét tulajdonság közül csak az 1), 2), 3), 4) tulajdonságok „legitim” - „legitim” abban az értelemben, hogy ezeket pontos definíciókra hivatkozva tudjuk igazolni. A fennmaradó tulajdonságokról csak vizuális és intuitív elképzeléseink vannak. Ezzel egyébként nincs is semmi baj. A matematika fejlődésének történetéből ismert, hogy az emberiség gyakran és sokáig használta különféle tulajdonságok bizonyos tárgyakat anélkül, hogy tudnák pontos meghatározások. Aztán amikor ilyen definíciókat lehetett megfogalmazni, minden a helyére került.

A függvény grafikonja hiperbola, a koordinátatengelyek a hiperbola aszimptotáiként szolgálnak (66., 67. ábra).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ha k > 0, akkor a függvény értékkel csökken nyitott gerenda(-oo, 0) és a nyitott gerendán (0, +oo) (66. ábra); ha kell< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nincs korlátozva sem alulról, sem felülről;
4) nincs sem a legkisebb, sem a legnagyobb érték;
5) a függvény folytonos a nyílt sugáron (-oo, 0) és a nyílt sugáron (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U(0,+oo);
7) ha k > 0, akkor a függvény konvex felfelé x-ben< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, azaz a nyitott gerendán (0, +oo) (66. ábra). Ha kell< 0, то функция выпукла вверх при х >O és lefelé konvex x-ben< О (рис. 67).
A függvény grafikonja egy parabola ága (68. ábra). Funkció tulajdonságai:
1) D(f) = növekszik a sugáron (A halmaz), majd azon felül és alul is korlátos lesz.

Valóban, hogy megmutassuk, hogy felülről korlátos, figyelembe kell vennünk az állítmányt

és mutassuk meg, hogy van (létezik) olyan M, amely a [–2;1] intervallumon felvett összes x-re igaz lesz

Ilyen M-et találni nem nehéz. Feltételezhetjük, hogy M = 7, a létezési kvantor legalább egy M értékét megkeresi. Az ilyen M jelenléte megerősíti azt a tényt, hogy a függvény a [–2;1] intervallumon felülről korlátos.

Annak bizonyításához, hogy alulról korlátos, figyelembe kell vennünk az állítmányt

Egy adott predikátum igazságát biztosító M értéke például M = –100.

Bizonyítható, hogy a függvény modulusban is korlátozott lesz: a [–2;1] szakaszból származó összes x esetén a függvény értékei egybeesnek az értékeivel, így M-nek vehetjük, például az előző érték M = 7.

Mutassuk meg, hogy ugyanaz a függvény, de az intervallumon, korlátlan lesz, azaz

Annak bizonyítására, hogy létezik ilyen x, vegyük figyelembe az állítást

Az x szükséges értékeinek megtalálása között pozitív értékeketérv, értjük

Ez azt jelenti, hogy függetlenül attól, hogy milyen pozitív M-et veszünk, az x értékei biztosítják az egyenlőtlenség teljesülését

relációból kapjuk.

Az egész funkciót figyelembe véve valódi tengely, kimutatható, hogy modulusban korlátlan.

Valóban, az egyenlőtlenségtől

Vagyis akármekkora is a pozitív M, vagy biztosítja az egyenlőtlenség teljesülését.

EXTREME FUNKCIÓ.

A függvény a pontban van Vel helyi maximum (minimum), ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy for x¹ Vel ebből a szomszédból az egyenlőtlenség érvényesül

különösen, hogy a szélsőpont csak az intervallum belső pontja lehet, és a benne lévő f(x)-et feltétlenül definiálni kell. Az extrémum hiányának lehetséges eseteit az ábra mutatja. 8.8.

Ha egy függvény egy bizonyos intervallumon nő (csökken) és egy bizonyos intervallumon csökken (növekszik), akkor a pont Vel egy helyi maximum (minimum) pont.

Az f(x) függvény maximumának hiánya a pontban Vel így is megfogalmazható:

_______________________

f(x) maximuma a c pontban van

Ez azt jelenti, hogy ha a c pont nem egy lokális maximumpont, akkor bármilyen legyen is az a környék, amely a c pontot belsőként tartalmazza, legalább egy x érték nem egyenlő c-vel, amelyre . Így ha a c pontban nincs maximum, akkor ezen a ponton lehet, hogy egyáltalán nincs szélsőérték, vagy lehet minimumpont (8.9. ábra).

Az extrémum fogalma összehasonlító értékelést ad egy függvény értékéről bármely ponton a közeli függvényekhez képest. Hasonló összehasonlítás A függvényértékek egy bizonyos intervallum minden pontjára is elvégezhetők.

Egy függvény MAXIMÁLIS (LEGKISEBB) értéke egy halmazon annak az értéke ennek a halmaznak egy pontjában, hogy – at . A függvény legnagyobb értéke a szakasz belső pontján érhető el, a legkisebb pedig – a bal végén.

Egy intervallumon megadott függvény legnagyobb (legkisebb) értékének meghatározásához ki kell választani a legnagyobb (legkisebb) számot a maximumok (minimumok) értékei közül, valamint az elfogadott értékeket. az intervallum végén. Ez lesz a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke. Ezt a szabályt később pontosítjuk.

Nem mindig könnyű megoldani azt a problémát, hogy egy nyitott intervallumon egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét találjuk meg. Például a függvény

intervallumban (8.11. ábra) nem rendelkezik velük.

Győződjön meg arról, hogy például nem ennek a függvénynek van a legnagyobb jelentősége. Valójában, figyelembe véve a függvény monotonitását, azt állíthatjuk, hogy bármennyire is közel állítjuk x értékeit az egységtől balra, lesz másik x, amelyben a függvény értékei nagyobb legyen, mint a felvett fix pontok értéke, de még mindig kisebb egynél.