A differenciálfüggvény munkaképlete. Differenciálok – mik ezek? Hogyan találjuk meg egy függvény differenciálját? Paraméteresen definiált függvények, differenciálásuk

A közönséges differenciálegyenletek azok az egyenletek, amelyek a kívánt y=y(x) függvény egy vagy több deriváltját tartalmazzák.

F(x,y,y 1 ,…,y (n)) = 0, ahol x a független változó.

Döntés alapján differenciálegyenlet függvénynek nevezzük, amely egyenlettel való helyettesítése után diadalmá változtatja.

Néhány megoldási mód a differenciálegyenletek tantárgyból ismert. Számos elsőrendű (elválasztható változókkal rendelkező, homogén, lineáris stb.) egyenlet esetében lehetőség van analitikus transzformációkkal képletek formájában történő megoldásra.

A legtöbb esetben közelítő módszereket alkalmaznak a differenciálegyenletek megoldására, amelyek két csoportra oszthatók:

1) olyan analitikai módszerek, amelyek analitikus kifejezés formájában megoldást adnak;

2) numerikus módszerek, amelyek hozzávetőleges megoldást adnak táblázat formájában.

Tekintsük a felsorolt ​​módszereket a következő példák formájában.

8.1 A szekvenciális differenciálás módszere.

Tekintsük az egyenletet:

kezdeti feltételekkel, hol – megadott számok.

Tegyük fel, hogy a kívánt y=f(x) megoldás egy Taylor-sorban megoldható az (x-x 0) különbség hatványaiban:

2 n +….

A kezdeti feltételek (8.2) megadják az y (k) (x 0) értékeket k=0,1,2,...,(n-1) esetén. Az y (n) (x 0) értékeit a (8.1) egyenletből, behelyettesítve (x-x 0) és a (8.2) kezdeti feltételeket használva megtaláljuk:

y (n) (x 0) = f(x 0 ,y 0 ,y " 0 ,...,y 0 (n-1))

Az y (n+1) (x 0), y (n+2) (x 0)... értékeket a (8.1) egyenlet differenciálásával és x=x 0, y (k) (x) helyettesítésével határozzuk meg. 0)=y 0k (k – 0,1,2).

PÉLDA: Keresse meg az y=y(x) megoldás hatványsor-bővítésének első hét tagját az y "" +0.1(y ") 2 +(1+0.1x)y=0 egyenletre y(0)= kezdeti feltételekkel 1; y" (0) = 2.

MEGOLDÁS: Az egyenletre sorozat formájában keresünk megoldást:

y(x)=y(0)+y"(0)x/1!+y""(0)x 2 /2!+...+y (n) (0)x n /n!...

A kezdeti feltételekből y(0)=1, y " (0)=2. Az y "" (0) meghatározásához megoldjuk adott egyenlet y-hoz képest"":

y""(0)= – 0,1(y") 2 - (1+0,1x)y (8,3)

A kezdeti feltételeket felhasználva megkapjuk

y""(0)= –0,1*4 – 1*1= –1,4

A (8.3) egyenlet bal és jobb oldalának megkülönböztetése x-hez képest

y"""= – 0,2y"y"" - 0,1(xy"+y) - y",

y (4) = – 0,2 (y"y"""+y""" 2) - 0,1 (xy""+2y") - y"",

y (5) = – 0,2(y"y (4) +3y""y""") – 0,1 (xy"""+3y"") - y""",

y (6) = – 0,2(y"y (5) +4y""y (4) +3y"""" 2) - 0,1 (xy (4) +4y""" - y (4) )

A kezdeti feltételeket és az y""(0) értékét behelyettesítve azt kapjuk, hogy y"""(0)= – 1,54;

y (4) (0) = – 1,224; y (5) (0) = 0,1768; y (6) (0) = – 0,7308. Így a kívánt közelítő megoldás a következő formában lesz felírva: y(x) ≈ 1 + 2x – 0,7x 2 – 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 – 0,00101x 6.

8.2 Euler-módszer

A legegyszerűbb numerikus módszerek a differenciálegyenletek megoldása az Euler-módszer, amely azon alapul, hogy a kívánt függvényt egy elsőfokú polinomra cseréljük, pl. lineáris extrapoláció. Arról beszélünk, hogy egy függvény értékét az x argumentum szomszédos pontjaiban találjuk meg, nem pedig közöttük.

Válasszuk a h lépést kicsinek úgy, hogy minden x esetén x 0 és x 1 =x 0 +h között az y függvény értéke alig tér el a lineáris függvénytől. Ekkor a jelzett intervallumon y = y 0 + (x – x 0)y" = y 0 + (x –

Folytatva a függvény értékeinek azonos módon történő meghatározását, meggyőződésünk, hogy az Euler-módszer a képletek szekvenciális végrehajtásának formájában jelenik meg:

∆y k = y" k h

y k+1 = y k + ∆y k

PÉLDA

Az Euler-módszerrel az y" = x – y egyenleteket x 0 =0, y 0 =0 kezdeti feltétellel oldjuk meg egy h=0,1 lépésű szakaszon.

A számításokat a táblázat tartalmazza.

Az 1. és 2. oszlop első sora a kiindulási adatok szerint kerül kitöltésre. Ekkor y"-t a következővel számítja ki adott egyenlet(4. oszlopban), akkor ∆y = y"h – a (4) oszlopban.

Az (5) oszlop egy értéktáblázatot tartalmaz egy adott egyenlet pontos megoldásához.

FINOMÍTOTT EULER-MÓDSZER

Ugyanannyi számítási munkával nagyobb pontosságot ad.

Korábban az integrandusfüggvényt konstansnak tekintettük, egyenlőnek a szakasz bal végén található f(x k ,y k) értékével. Pontosabb értéket kapunk, ha feltételezzük, hogy f(x,y(x)) egyenlő az értékkel az oldal közepén. Ehhez egy dupla szakaszt kell venni (x k-1 ,x k+1), a képlet helyébe

y k+1 =y k +∆y k on y k+1 =y k-1 +2hy" k (8.5)

Ez a képlet a finomított Euler-módszert fejezi ki. De ebben az esetben be kell tartania a következő műveletsort:

Mivel elválaszthatatlanul összekapcsolódnak, mindkettőt több évszázadon keresztül aktívan használják szinte minden olyan probléma megoldására, amely az emberi tudományos és műszaki tevékenység során felmerült.

A differenciálfogalom megjelenése

Az egyik alkotó (Isaac Newton mellett) most először magyarázta el, mi az a differenciálmű. differenciálszámítás híres német matematikus, Gottfried Wilhelm Leibniz. Ezt megelőzően a matematikusok a XVII. egy nagyon homályos és homályos elképzelést használtak bármely végtelenül kicsi „oszthatatlan” részről ismert funkciója, ami nagyon keveset képviselt állandó érték, de nem egyenlő nullával, aminél a függvényértékek egyszerűen nem lehetnek kisebbek. Innen már csak egy lépés volt a függvények argumentumainak infinitezimális növekménye és maguk a függvények megfelelő növekményei fogalmának bevezetése, amely utóbbiak származékaival fejeződik ki. Ezt a lépést pedig szinte egyszerre tette meg a fent említett két nagy tudós.

Sürgős problémák megoldásának szükségessége alapján gyakorlati problémák mechanika, amelyet a gyorsan fejlődő ipar és technológia a tudomány elé állított Newton és Leibniz általános módszerek a függvények változási sebességének meghatározása (elsősorban a test ismert pályán való mozgásának mechanikai sebességéhez képest), ami olyan fogalmak bevezetéséhez vezetett, mint a függvény deriváltja és differenciálja, valamint megoldási algoritmust is találtunk inverz probléma, hogyan találjuk meg a megtett távolságot ismert (változó) sebesség segítségével, ami az integrál fogalmának megjelenéséhez vezetett.

Leibniz és Newton munkáiban jelent meg először az az ötlet, hogy a differenciálok a Δx argumentumok növekményével arányos Δy függvények növekményeinek fő részei, amelyek sikeresen felhasználhatók az utóbbiak értékeinek kiszámítására. Más szavakkal, felfedezték, hogy egy függvény növekménye bármely ponton (a definíciójának tartományán belül) kifejezhető a származékán keresztül: Δу = y"(x) Δх + αΔх, ahol α Δх a maradék tag, amely arra irányul. nulla, mint Δх→ 0, sokkal gyorsabban, mint maga Δx.

A matematikai elemzés megalapítói szerint a differenciálok pontosan az első tagok bármely függvény növekményére vonatkozó kifejezésekben. Mivel még nem rendelkeztek világosan megfogalmazott koncepcióval a szekvenciák határáról, intuitív módon megértették, hogy a differenciálérték a függvény deriváltjára hajlik: Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

Ellentétben Newtonnal, aki elsősorban fizikus volt, és megfontolt matematikai berendezés kutatási segédeszközként fizikai problémák, Leibniz fizetett több figyelmet magát ezt az eszköztárat, beleértve a vizuális és érthető jelölések rendszerét matematikai mennyiségek. Ő javasolta a dy = y"(x)dx függvény differenciáljainak általánosan elfogadott jelölését, a dx argumentumot és a függvény deriváltját az y"(x) = dy/dx arány formájában.

Modern meghatározás

Mi a különbség a modern matematika szemszögéből? Ez szorosan kapcsolódik a változó növekedésének fogalmához. Ha az y változó először y = y 1, majd y = y 2 értéket vesz fel, akkor az y 2 ─ y 1 különbséget y növekményének nevezzük.

A növekedés pozitív is lehet. negatív és egyenlő nullával. A „növekmény” szót Δ jelöli, a Δу jelölés (értsd: „delta y”) az y érték növekedését jelöli. tehát Δу = y 2 ─ y 1 .

Ha a Δу tetszőleges funkció y = f (x) Δу = A Δх + α formában ábrázolható, ahol A-nak nincs függősége Δх-től, azaz adott x esetén A = const, és az α tag Δх→0 esetén még gyorsabban hajlik rá, mint maga Δx, akkor az első („fő”) tag, amely arányos Δx-szel, y = f (x) esetén egy differenciál, amelyet dy-vel vagy df(x)-vel jelölünk (olvassa: „de yrek”, „de ef from x”). . Ezért a differenciálok a függvénynövekmények „fő” összetevői, amelyek lineárisak Δx-hez képest.

Mechanikai értelmezés

Legyen s = f (t) az egyenes vonalúan mozgó jármű távolsága a kiindulási helyzettől (t a menetidő). A Δs növekmény a pont útja a Δt időintervallumban, a differenciál ds = f" (t) Δt az az út, amelyet a pont ugyanabban a Δt időben megtett volna, ha fenntartotta volna az f"(t) sebességet ) t időpontban elérve. Egy végtelenül kicsi Δt esetén a ds képzeletbeli út végtelenül kicsivel különbözik a valódi Δs-től, ami magasabb rendűΔt-hez képest. Ha a sebesség t pillanatban nem nulla, akkor ds a pont kis elmozdulásának közelítő értékét adja meg.

Geometriai értelmezés

Legyen L egyenes az y = f(x) grafikonja. Ekkor Δ x = MQ, Δу = QM" (lásd az alábbi ábrát). Az MN érintő a Δy szakaszt két részre, QN és NM részre osztja." Az első arányos Δх-vel és egyenlő QN = MQ∙tg (QMN szög) = Δх f "(x), azaz QN a dy differenciál.

Az NM" második rész a Δу ─ dy különbséget adja, Δх→0 esetén az NM" hossz még gyorsabban csökken, mint az argumentum növekménye, azaz kicsinységi sorrendje nagyobb, mint Δх. A vizsgált esetben f "(x) ≠ 0 (az érintő nem párhuzamos OX-szal) esetén a QM" és a QN szakaszok egyenértékűek; más szóval, NM" gyorsabban csökken (kisebbségi sorrendje nagyobb), mint a teljes növekmény Δу = QM". Ez látható az ábrán (mivel M "közelít M-hez, az NM szegmens" a QM szegmens egyre kisebb százalékát teszi ki").

Tehát grafikusan egy tetszőleges függvény differenciálja egyenlő az értékkelérintőjének ordinátájának lépései.

Származékos és differenciál

A függvény növekményének kifejezésének első tagjában szereplő A együttható f "(x) deriváltjának értékével egyenlő. Így a következő összefüggés teljesül: - dy = f "(x)Δx, vagy df (x) = f "(x)Δx.

Ismeretes, hogy egy független argumentum növekménye egyenlő a Δх = dx differenciáljával. Ennek megfelelően felírhatjuk: f "(x) dx = dy.

A különbségek megtalálása (néha „megoldásnak” nevezik) ugyanazokat a szabályokat követi, mint a származékok esetében. Ezek listája az alábbiakban található.

Mi az univerzálisabb: egy érv növekedése vagy különbsége

Itt néhány pontosításra van szükség. Egy differenciál ábrázolása f értékkel lehetséges, ha x-et argumentumnak tekintjük. De a függvény lehet összetett is, amelyben x lehet valamilyen t argumentum függvénye. Ekkor a differenciált az f "( x)Δx általában lehetetlen; kivéve abban az esetben lineáris függőség x = at + b.

Ami az f "(x)dx = dy képletet illeti, akkor mind független x argumentum esetén (akkor dx = Δx), mind x paraméteres t-től való függése esetén differenciált jelent.

Például a 2 x Δx kifejezés y = x 2 esetén a differenciálját jelenti, ha x az argumentum. Tegyük most fel x = t 2-t, és tekintsük t-t argumentumnak. Ekkor y = x 2 = t 4.

Ez a kifejezés nem arányos Δt-vel, ezért most 2xΔx nem differenciál. Megtalálható az y = x 2 = t 4 egyenletből. Kiderül, hogy egyenlő dy=4t 3 Δt.

Ha a 2xdx kifejezést vesszük, akkor az y = x 2 differenciált jelenti bármely t argumentumra. Valójában x = t 2 esetén dx = 2tΔt kapjuk.

Ez azt jelenti, hogy 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, azaz a két különböző változóval felírt differenciálkifejezések egybeestek.

A lépések cseréje differenciálművel

Ha f "(x) ≠ 0, akkor Δу és dy ekvivalensek (Δх→0 esetén); ha f "(x) = 0 (ami azt jelenti, hogy dy = 0), akkor nem ekvivalensek.

Például, ha y = x 2, akkor Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2, és dy = 2xΔх. Ha x=3, akkor Δу = 6Δх + Δх 2 és dy = 6Δх, amelyek ekvivalensek Δх 2 →0 miatt, x=0-nál a Δу = Δх 2 és dy=0 értékek nem ekvivalensek.

Ezt a tényt, valamint a differenciál egyszerű szerkezetét (azaz a Δx-hez viszonyított linearitást) gyakran használják közelítő számításokban, azzal a feltételezéssel, hogy Δy ≈ dy kis Δx esetén. Egy függvény differenciáljának megtalálása általában egyszerűbb, mint a számítás pontos érték lépésekben.

Például van egy fémkockánk, amelynek éle x = 10,00 cm Melegítéskor Δx = 0,001 cm-rel meghosszabbodott. Mennyivel nőtt meg a kocka V térfogata? Nálunk V = x 2, tehát dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (cm 3). A ΔV térfogatnövekedés ekvivalens a dV különbséggel, tehát ΔV = 3 cm 3 . Teljes számítással ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. De ebben az eredményben az első kivételével az összes adat megbízhatatlan; ez azt jelenti, hogy nem számít, le kell kerekíteni 3 cm 3 -re.

Nyilvánvalóan ez a megközelítés csak akkor hasznos, ha meg lehet becsülni az általa okozott hiba nagyságát.

Funkciódifferenciál: példák

Próbáljuk meg megtalálni az y = x 3 függvény differenciálját anélkül, hogy a deriváltot megtalálnánk. Adjunk növekményt az argumentumnak, és definiáljuk a Δу-t.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Itt az A = 3x 2 együttható nem függ Δx-től, így az első tag arányos Δx-szel, míg a másik tag 3xΔx 2 + Δx 3 Δx→0-nál gyorsabban csökken, mint az argumentum növekménye. Ezért a 3x 2 Δx kifejezés az y = x 3 differenciál:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx vagy d(x 3) = 3x 2 dx.

Ebben az esetben d(x 3) / dx = 3x 2.

Határozzuk meg most az y = 1/x függvény dy-jét a deriváltján keresztül. Ekkor d(1/x) / dx = ─1/x 2. Ezért dy = ─ Δx/x 2.

Fő differenciálművek algebrai függvények alább adjuk meg.

Hozzávetőleges számítások differenciál segítségével

Sokszor nem nehéz kiszámítani az f (x) függvényt, valamint az f "(x) deriváltját x=a pontban, de ugyanezt az x=a pont közelében nem könnyű. Ekkor a közelítő kifejezés jön a mentésre

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Megadja a függvény közelítő értékét kis Δх növekményekkel az f "(a)Δх differenciálján keresztül.

Ennélfogva, ezt a képletet in függvény közelítő kifejezését adja meg végpont valamilyen Δх hosszúságú szakasz az in értékének összege formájában kiindulópont ez a szakasz (x=a) és a differenciál ugyanabban a kiindulópontban. Ennek a függvényérték-meghatározási módszernek a hibáját az alábbi ábra szemlélteti.

Ugyanakkor az is ismert pontos kifejezés az x=a+Δх függvény értéke, amelyet a véges növekedési képlet (vagy egyébként a Lagrange képlet) ad meg

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

ahol az x = a+ ξ pont az x = a-tól x = a + Δx-ig tartó szakaszon helyezkedik el, bár pontos helyzete ismeretlen. A pontos képlet lehetővé teszi a közelítő képlet hibájának becslését. Ha a Lagrange-képletbe betesszük a ξ = Δx /2-t, akkor ugyan már nem pontos, de általában sokkal jobb közelítést ad, mint az eredeti kifejezés a differenciálon keresztül.

Képletek hibájának becslése differenciál segítségével

Elvileg pontatlanok, és megfelelő hibákat vezetnek be a mérési adatokba. Jellemzőjük a maximális vagy röviden a maximális hiba - pozitív szám, nyilvánvalóan meghaladja ezt a hibát abszolút érték(vagy be utolsó lehetőségként egyenlő vele). A határérték a vele való osztás hányadosa abszolút érték mért érték.

Legyen az y függvény kiszámításához az y= f (x) pontos képlet, de az x értéke egy mérés eredménye, és ezért hibát visz be y-ba. Aztán megtalálni a határt abszolút hiba│‌‌Δу│y függvény, használja a képletet

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

ahol │Δх│ az argumentum maximális hibája. A │‌‌Δу│ értéket felfelé kell kerekíteni, mert A növekmény számításának a differenciálszámítással való helyettesítése pontatlan.

ELŐADÁS 10. DIFFERENCIÁLIS FUNKCIÓ. FERMA, ROLL, LAGRANGE ÉS CAUCHY TÉTELEI.

1. Funkció differenciál

1.1. A függvénydifferenciál definíciója

VAL VEL A származék fogalma szorosan összefügg egy másik alapfogalommal matematikai elemzés– differenciál funkció.

Definíció 1. Az x pont valamelyik szomszédságában definiált y = f (x) függvényt az x pontban differenciálhatónak nevezzük, ha növekménye ebben a pontban

y = f (x + x) − f (x)

úgy néz ki, mint a

y = A x + α(Δx) x,

ahol A egy állandó, és az α(Δx) → 0 függvény x → 0.

Legyen y = f (x) differenciálható függvény, akkor a következő definíciót adjuk.

1. állítás Ahhoz, hogy az y = f (x) függvény egy x pontban differenciálható legyen, szükséges és elegendő, hogy ebben a pontban legyen deriváltja.

Bizonyíték. Szükségesség. Legyen az f (x) függvény a pontban differenciálható

y = f ′ (x)Δx + α(Δx) x.

Az utolsó egyenlőség az y = f (x) függvény differenciálhatóságát jelenti.

1.2. A differenciál geometriai jelentése

Legyen l érintője az y = f (x) függvény grafikonjának az M (x, f (x)) pontban (1. ábra). Mutassuk meg, hogy dy a P Q szakasz értéke.

Tehát az f (x) függvény dy különbsége az x pontban egyenlő az l érintő ordinátájának növekedésével ebben a pontban.

1.3. A differenciál alak változatlansága

Ha x független változó, akkor

dy = f ′ (x)dx.

Tegyük fel, hogy x = ϕ(t), ahol t független változó, y = f (ϕ(t)). Akkor

dy = (f (ϕ(t))′ dt = f′ (x)ϕ′ (t)dt = f′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).

Tehát a differenciál alakja nem változott, pedig az x nem független változó. Ezt a tulajdonságot a differenciál alakjának invarianciájának nevezzük.

1.4. Differenciál alkalmazása közelítő számításokban

Az y = dy + α(Δx) x képletből α(Δx) x elvetve egyértelmű, hogy kicsi

y ≈ dy = f ′ (x)Δx.

Innen kapunk

f (x + x) − f (x) ≈ f ′ (x)Δx,

f (x + x) ≈ f (x) + f ′ (x)Δx. (1) Az (1) képletet közelítő számításokhoz használjuk.

1.5. Magasabb rendű különbségek

Definíció szerint az y = f (x) függvény második differenciálja az x pontban az első differenciál differenciálja ebben a pontban, amelyet jelölünk

d2 y = d(dy).

Számítsuk ki a második különbséget:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(a derivált (f ′ (x)dx)′ kiszámításakor figyelembe vesszük, hogy dx értéke nem függ x-től, ezért a differenciálás során állandó).

Általában az y = f (x) függvény n rendű differenciálját az elsőnek nevezzük

4. példa Számítsa ki egy 3,02 m sugarú kör területének hozzávetőleges értékét.

Megoldás. Használjuk az S = πr2 képletet. Feltételezve, hogy r = 3, r = 0,02, akkor van

S ≈ dS = 2πr r = 2π 3 0,02 = 0,12π.

Ezért a kör területének hozzávetőleges értéke 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈

28, 66 (m2).

5. példa Számítsa ki az arcsin 0,51 hozzávetőleges értékét 0,001 pontossággal. Megoldás. Tekintsük az y = arcsin x függvényt. Feltételezve, hogy x = 0,5, x = 0,01 és

az (1) képlet segítségével

2. Fermat, Rolle, Lagrange és Cauchy tételei

3. definíció. Az y = f (x) függvényről azt mondjuk, hogy van (vagy eléri) egy lokális maximumát (minimumát) az α pontban, ha van az α pontnak olyan U (α) környéke, hogy minden x U (α) esetén:

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

A helyi maximumot és a lokális minimumot a köznév egyesíti

helyi extrémum.

A függvény, amelynek grafikonja az ábrán látható. A 4. ábrán a β, β1 pontokban van egy lokális maximuma és az α, α1 pontokban lokális minimuma.

2. állítás (Fermat) Legyen az y = f (x) függvény differenciálható az α pontban, és legyen lokális szélsőértéke ebben a pontban. Ekkor f ′ (α) = 0.

A Fermat-tétel bizonyításának gondolata a következő. A határozottság érdekében legyen f (x) helyi minimuma az α pontban. Definíció szerint f ′ (α) a reláció x → 0 határértéke

Bizonyíték. Az intervallumon folytonos függvények tulajdonsága szerint vannak olyan x1, x2 pontok, amelyek

extrémum. A tétel feltevései szerint f (x) az α pontban differenciálható. Fermat tétele szerint f ′ (α) = 0. A tétel igazolt.

Rolle tételének egyszerű geometriai jelentése(5. ábra): ha az y = f (x) görbe szélső ordinátái egyenlőek, akkor az y = f (x) görbén van egy pont, ahol a görbe érintője párhuzamos az Ox tengellyel.

Bizonyíték. Figyeljük meg, hogy g(a) =6 g(b). Valóban, be másképp a g(x) függvényre a Rolle-tétel összes feltétele teljesülne. Következésképpen lenne olyan β (a, b) pont, amelyre g′ (β) = 0. Ez azonban ellentmond a tétel feltételeinek.

Vegye figyelembe a következő segítő funkciót:

F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)

A tétel bizonyítást nyert.

5. állítás (Lagrange) Ha y = f (x) folytonos -on, differenciálható az (a, b-n), akkor van olyan α (a, b), hogy

F′(α).

Bizonyíték. Lagrange tétele közvetlenül következik Cauchy tételéből, ahol g(x) =

Geometriailag a Lagrange-tétel azt jelenti, hogy az y = f (x) görbén a pontok között

A és B van egy C pont, amelynek érintője párhuzamos az AB húrral. y

x = c, kielégítve az y(b) − y(a) = (b − a) y′ (c) egyenlőséget, ahol y′ = 2 − 2x. A megfelelő értékeket behelyettesítve kapjuk

y(3) − y(1) = (3 − 1) y′ (c),

(2 3 - 32 ) - (2 1 - 12 ) = (3 - 1) (2 - 2c),

így c = 2, y(2) = 0.

Így az M pont koordinátái (2; 0).

9. példa Paraméteres egyenletekkel meghatározott görbe AB ívén

azaz c = 13/6.

A c talált értéke kielégíti az 1. egyenlőtlenséget< c < 3. Подставив значение t = c в parametrikus egyenletek görbe, akkor x = 169/36, y = 2197/216. Tehát a szükséges pont M (169/36; 2197/216).

Ha a funkció ponton differenciálható , akkor növekménye két tag összegeként ábrázolható

. Ezek a kifejezések infinitezimális függvények at
.Az első tag lineáris ahhoz képest
,a második egy magasabb rendű infinitezimális, mint
.Igazán,

.

Így a második kifejezés at
gyorsabban nullázódik, amikor megtalálja a függvény növekményét
az első kifejezés játssza a főszerepet
vagy (mivel
)
.

Meghatározás . A függvénynövekmény fő része
azon a ponton , lineáris képest
,differenciálnak nevezzük funkciókat ezen a ponton és ki van jelölvedyvagydf(x)

. (2)

Így a következő következtetést vonhatjuk le: a független változó differenciája egybeesik a növekményével, azaz
.

A kapcsolat (2) most formát ölt

(3)

Megjegyzés . A tömörség (3) képletét gyakran a formába írják

(4)

A differenciál geometriai jelentése

Tekintsük a differenciálható függvény grafikonját
. Pontok
és a függvény grafikonjához tartoznak. Azon a ponton Mérintő húzott NAK NEK olyan függvény grafikonjára, amelynek szöge a tengely pozitív irányával van
által jelöljük
. Rajzoljunk egyenes vonalakat MN a tengellyel párhuzamos Ökör És
a tengellyel párhuzamos Oy. A függvény növekménye megegyezik a szakasz hosszával
. Tól től derékszögű háromszög
, amiben
, kapunk

A fenti megfontolások lehetővé teszik számunkra a következő következtetést:

Funkció differenciál
azon a ponton Ezt a függvény grafikonjának érintőjének ordinátájának növekedése ábrázolja a megfelelő pontban
.

A differenciál és a derivált kapcsolata

Tekintsük a (4) képletet

.

Osszuk el ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát dx, Akkor

.

És így, egy függvény deriváltja egyenlő a differenciáljának a független változó differenciáljához viszonyított arányával.

Gyakran ez a hozzáállás egyszerűen egy függvény deriváltját jelző szimbólumként kezeljük nál nélérveléssel x.

A származékra vonatkozó kényelmes jelölések is:

,
stb.

A bejegyzéseket is használják

,
,

különösen kényelmes, ha összetett kifejezés deriváltját vesszük.

2. Összeg, szorzat és hányados differenciálja.

Mivel a differenciált a deriváltból úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk a független változó differenciáljával, így az alapvető elemi függvények deriváltjait, valamint a deriváltak keresésének szabályait ismerve hasonló szabályokhoz juthatunk a differenciálok megtalálásához.

1 0 . Az állandó különbsége nulla

.

2 0 . Véges számú differenciálható függvény algebrai összegének differenciálja egyenlő ezen függvények differenciálösszegének algebrai összegével

3 0 . Két differenciálható függvény szorzatának differenciálja egyenlő az összeggel az első függvény szorzata a második és a második függvény az első differenciáljával

.

Következmény. A konstans szorzót ki lehet venni a differenciál előjelből

.

Példa. Keresse meg a függvény differenciálját.

Megoldás: Írjuk be ezt a függvényt az űrlapba

,

akkor kapunk

.

4. Paraméteresen definiált függvények, differenciálásuk.

Meghatározás . Funkció
paraméteresen adottnak mondjuk, ha mindkét változó x És nál nél mindegyik külön van definiálva, mint ugyanazon segédváltozó - paraméter egyértékű függvényet:

Aholtbelül változik
.

Megjegyzés . A függvények paraméteres specifikációját széles körben használják az elméleti mechanikában, ahol a paraméter t jelöli az időt és az egyenleteket
a változás törvényeit ábrázolják egy mozgó pont vetületeiben
a tengelyen
És
.

Megjegyzés . Mutassuk be a kör és az ellipszis parametrikus egyenleteit.

a) Kör középpontjával az origóban és a sugárban r paraméteres egyenletei vannak:

Ahol
.

b) Írjuk fel az ellipszis paraméteres egyenleteit:

Ahol
.

A paraméter kizárásával t A vizsgált egyenesek parametrikus egyenleteiből eljuthatunk kanonikus egyenleteikhez.

Tétel . Ha a funkció y érvelésből x-et paraméteresen adják meg az egyenletek
, Ahol
És
tekintetében megkülönböztethetőtfunkciók és
, Azt

.

Példa. Keresse meg egy függvény deriváltját nál nél tól től x, paraméteres egyenletekkel adjuk meg.

Megoldás.
.