Testgyorsulási egyenlet. Centripetális gyorsulás - képlet levezetése és gyakorlati alkalmazása

Az egyenletesen gyorsított mozgás olyan gyorsulással járó mozgás, amelynek vektora nagyságában és irányában nem változik. Példák az ilyen mozgásra: kerékpár legurul a dombról; a vízszinteshez képest szögben eldobott kő.

Tekintsük az utolsó esetet részletesebben. A követ a pálya bármely pontján érinti a gravitáció g → gyorsulása, amelynek nagysága nem változik, és mindig egy irányba irányul.

A vízszintessel szögben bedobott test mozgása a függőleges és vízszintes tengelyhez viszonyított mozgások összegeként ábrázolható.

Az X tengely mentén a mozgás egyenletes és egyenes vonalú, az Y tengely mentén pedig egyenletesen gyorsul és egyenes vonalú. Figyelembe vesszük a sebesség- és gyorsulásvektorok vetületeit a tengelyre.

A sebesség képlete egyenletesen gyorsított mozgás közben:

Itt v 0 a test kezdeti sebessége, a = c o n s t a gyorsulás.

Mutassuk meg a grafikonon, hogy egyenletesen gyorsított mozgásnál a v (t) függés egyenes alakja.

A gyorsulás a sebességgráf meredekségével határozható meg. A fenti ábrán a gyorsulási modulus egyenlő az ABC háromszög oldalainak arányával.

a = v - v 0 t = B C A C

Minél nagyobb a β szög, annál nagyobb a grafikon lejtése (meredeksége) az időtengelyhez képest. Ennek megfelelően minél nagyobb a test gyorsulása.

Az első grafikonhoz: v 0 = - 2 m s; a = 0,5 m s 2.

A második grafikonra: v 0 = 3 m s; a = - 1 3 m s 2 .

Ezzel a grafikonnal a test t idő alatti elmozdulását is kiszámíthatja. Hogyan kell ezt csinálni?

Jelöljünk ki egy kis ∆ t időtartamot a grafikonon. Feltételezzük, hogy olyan kicsi, hogy a ∆t idő alatti mozgás egyenletes mozgásnak tekinthető, amelynek sebessége megegyezik a test sebességével a ∆t intervallum közepén. Ekkor a ∆ s elmozdulás a ∆ t idő alatt egyenlő lesz ∆ s = v ∆ t értékkel.

Osszuk fel a teljes t időt infinitezimális ∆ t intervallumokra. Az s elmozdulás t idő alatt megegyezik az O D E F trapéz területével.

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + (v - v 0) 2 t.

Tudjuk, hogy v - v 0 = a t, így a test mozgatásának végső képlete a következő lesz:

s = v 0 t + a t 2 2

Ahhoz, hogy egy adott időpontban megtaláljuk a test koordinátáját, hozzá kell adni az elmozdulást a test kezdeti koordinátájához. Az egyenletesen gyorsuló mozgás során a koordináták változása az egyenletesen gyorsuló mozgás törvényét fejezi ki.

Az egyenletesen gyorsuló mozgás törvénye

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .

Egy másik gyakori probléma, amely az egyenletesen gyorsított mozgás elemzésekor merül fel, az elmozdulás megtalálása a kezdeti és végsebesség, valamint a gyorsulás adott értékéhez.

A fent leírt egyenletek közül t-t kiszűrve és megoldva kapjuk:

s = v 2 - v 0 2 2 a.

Az ismert kezdeti sebesség, gyorsulás és elmozdulás segítségével meghatározható a test végsebessége:

v = v 0 2 + 2 a s .

v 0 = 0 esetén s = v 2 2 a és v = 2 a s

Fontos!

A kifejezésekben szereplő v, v 0, a, y 0, s mennyiségek algebrai mennyiségek. A mozgás jellegétől és a koordinátatengelyek irányától függően egy adott feladat körülményei között pozitív és negatív értékeket is felvehetnek.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Tartalom:

A gyorsulás a mozgó test sebességének változási sebességét jellemzi. Ha egy test sebessége állandó marad, akkor nem gyorsul. A gyorsulás csak akkor következik be, ha a test sebessége megváltozik. Ha egy test sebessége egy bizonyos állandó mértékben nő vagy csökken, akkor az ilyen test állandó gyorsulással mozog. A gyorsulás mértéke méter per másodperc per másodperc (m/s2), és két sebesség és idő értékéből vagy a testre kifejtett erő értékéből számítható ki.

Lépések

1 Az átlagos gyorsulás kiszámítása két sebességnél

1. 1 Képlet az átlagos gyorsulás kiszámításához. Egy test átlagos gyorsulását a kezdeti és végsebességéből (a sebesség egy bizonyos irányú mozgás sebessége) és abból az időből számítják, amely alatt a test eléri a végsebességét. A gyorsulás kiszámításának képlete: a = Δv / Δt, ahol a gyorsulás, Δv a sebesség változása, Δt a végsebesség eléréséhez szükséges idő.
   • A gyorsulás mértékegysége méter per másodperc per másodperc, azaz m/s 2.
   • A gyorsulás vektormennyiség, azaz érték és irány egyaránt megadja. Az érték a gyorsulás numerikus jellemzője, az irány pedig a test mozgási iránya. Ha a test lelassul, akkor a gyorsulás negatív lesz.
2. 2 Változók meghatározása. Lehet számolni ΔvÉs Δt alábbiak szerint: Δv = v k - v nÉs Δt = t k - t n, Hol v to- végsebesség, v n- kezdeti sebesség, t hogy- utolsó idő, t n– kezdeti időpont.
   • Mivel a gyorsulásnak van iránya, mindig vonjuk le a kezdeti sebességet a végsebességből; ellenkező esetben a számított gyorsulás iránya helytelen lesz.
   • Ha a feladatban nincs megadva a kezdeti idő, akkor azt feltételezzük, hogy tn = 0.
3. 3 Keresse meg a gyorsulást a képlet segítségével. Először írja le a képletet és a kapott változókat. Képlet: . Vonjuk ki a kezdeti sebességet a végsebességből, majd az eredményt osszuk el az időintervallummal (időváltozás). Megkapja az átlagos gyorsulást egy adott időtartam alatt.
   • Ha a végsebesség kisebb, mint a kezdeti sebesség, akkor a gyorsulás negatív értékű, vagyis a test lelassul.
   • 1. példa: Egy autó 18,5 m/s-ról 46,1 m/s-ra gyorsul 2,47 s alatt. Keresse meg az átlagos gyorsulást.
     • Írd fel a képletet: a = Δv / Δt = (v k - v n)/(t k - t n)
     • Írd le a változókat: v to= 46,1 m/s, v n= 18,5 m/s, t hogy= 2,47 s, t n= 0 s.
     • Számítás: a= (46,1-18,5)/2,47 = 11,17 m/s2.
   • 2. példa: Egy motorkerékpár 22,4 m/s sebességgel kezd fékezni, és 2,55 s után megáll. Keresse meg az átlagos gyorsulást.
     • Írd fel a képletet: a = Δv / Δt = (v k - v n)/(t k - t n)
     • Írd le a változókat: v to= 0 m/s, v n= 22,4 m/s, t hogy= 2,55 s, t n= 0 s.
     • Számítás: A= (0-22,4)/2,55 = -8,78 m/s2.

2. Gyorsulás számítása erővel

1. 1 Newton második törvénye. Newton második törvénye szerint a test akkor gyorsul, ha a rá ható erők nem egyensúlyozzák ki egymást. Ez a gyorsulás a testre ható nettó erőtől függ. Newton második törvénye alapján megtudhatja egy test gyorsulását, ha ismeri a tömegét és a testre ható erőt.
   • Newton második törvényét a következő képlet írja le: F res = m x a, Hol F vágás– a testre ható eredő erő, m- testtömeg, a– a test gyorsulása.
   • Amikor ezzel a képlettel dolgozik, használjon metrikus mértékegységeket, amelyek a tömeget kilogrammban (kg), az erőt newtonban (N) és a gyorsulást méter per másodperc per másodpercben (m/s2) mérik.
2. 2 Keresse meg a test tömegét. Ehhez helyezze a testet a mérlegre, és határozza meg a tömegét grammban. Ha nagyon nagy testet fontolgat, nézzen utána a tömegének a kézikönyvekben vagy az interneten. A nagy testek tömegét kilogrammban mérik.
   • A gyorsulás fenti képlettel történő kiszámításához át kell konvertálnia a grammokat kilogrammokra. A grammban megadott tömeget elosztjuk 1000-el, hogy megkapjuk a kilogrammban kifejezett tömeget.
3. 3 Keresse meg a testre ható nettó erőt! A keletkező erőt nem egyensúlyozzák más erők. Ha egy testre két különböző irányú erő hat, és az egyik nagyobb, mint a másik, akkor a keletkező erő iránya egybeesik a nagyobb erő irányával. A gyorsulás akkor következik be, amikor olyan erő hat olyan testre, amelyet más erők nem egyensúlyoznak ki, és ami a test sebességének ezen erő hatásának irányában történő megváltozásához vezet.
   • Például Ön és a testvére kötélhúzásban van. Ön 5 N erővel húzza a kötelet, a bátyja pedig 7 N erővel húzza a kötelet (ellentétes irányban). A kapott erő 2 N, és a testvére felé irányul.
   • Ne feledje, hogy 1 N = 1 kg∙m/s 2.
4. 4 A gyorsulás kiszámításához rendezze át az F = ma képletet. Ehhez ossza el a képlet mindkét oldalát m-rel (tömeg), és kapja meg: a = F/m. Így a gyorsulás meghatározásához osszuk el az erőt a gyorsuló test tömegével.
   • Az erő egyenesen arányos a gyorsulással, vagyis minél nagyobb erő hat egy testre, annál gyorsabban gyorsul.
   • A tömeg fordítottan arányos a gyorsulással, vagyis minél nagyobb egy test tömege, annál lassabban gyorsul.
5. 5 Számítsa ki a gyorsulást a kapott képlet segítségével! A gyorsulás egyenlő a testre ható erőnek a tömegével osztva. Helyettesítse be a kapott értékeket ebbe a képletbe a test gyorsulásának kiszámításához.
   • Például: 10 N-nek megfelelő erő hat egy 2 kg tömegű testre. Keresse meg a test gyorsulását.
   • a = F/m = 10/2 = 5 m/s 2

3 Tesztelje tudását

1. 1 A gyorsulás iránya. A gyorsulás tudományos fogalma nem mindig esik egybe ennek a mennyiségnek a mindennapi életben való használatával. Ne feledje, hogy a gyorsulásnak van iránya; a gyorsulás pozitív, ha felfelé vagy jobbra irányul; a gyorsulás negatív, ha lefelé vagy balra irányul. Ellenőrizze a megoldást az alábbi táblázat alapján:
2. 2 Az erő iránya. Ne feledje, hogy a gyorsulás mindig egyirányú a testre ható erővel. Egyes problémák olyan adatokat szolgáltatnak, amelyek célja félrevezetni Önt.
   • Példa: egy 10 kg tömegű játékcsónak 2 m/s 2 gyorsulással észak felé halad. A nyugati irányba fújó szél 100 N erőt fejt ki a hajóra. Határozza meg a hajó északi irányú gyorsulását.
   • Megoldás: Mivel az erő merőleges a mozgás irányára, nem befolyásolja az adott irányú mozgást. Ezért a csónak gyorsulása északi irányban nem változik, és 2 m/s 2 lesz.
3. 3 Eredményes erő. Ha egy testre egyszerre több erő hat, keresse meg az eredő erőt, majd folytassa a gyorsulás kiszámításával. Tekintsük a következő problémát (kétdimenziós térben):
   • Vlagyimir 150 N erővel húz (jobb oldalon) egy 400 kg tömegű konténert. Dmitrij 200 N erővel lök (bal oldalon) egy konténert. A szél jobbról balra fúj és a konténerre hat. 10 N erővel. Határozza meg a tartály gyorsulását.
   • Megoldás: A probléma körülményei megzavarják Önt. Valójában nagyon egyszerű. Rajzolja fel az erők irányának diagramját, így látni fogja, hogy 150 N erő irányul jobbra, 200 N erő is jobbra, de 10 N erő irányul balra. Így a keletkező erő: 150 + 200 - 10 = 340 N. A gyorsulás: a = F/m = 340/400 = 0,85 m/s 2.

Minden feladat, amelyben a tárgyak mozgása, mozgása vagy forgása történik, valamilyen módon a sebességhez kapcsolódik.

Ez a kifejezés egy tárgy mozgását a térben egy bizonyos időtartamon keresztül jellemzi - az egységnyi távolság egységeinek számát. A matematika és a fizika mindkét szekciójának gyakori „vendége”. Az eredeti test egyenletesen és gyorsulással is változtathatja a helyét. Az első esetben a sebesség érték statikus és nem változik mozgás közben, a másodikban éppen ellenkezőleg, nő vagy csökken.

Hogyan találjuk meg a sebességet - egyenletes mozgás

Ha a test mozgási sebessége a mozgás kezdetétől az út végéig változatlan maradt, akkor állandó gyorsulással - egyenletes mozgással - mozgásról beszélünk. Lehet egyenes vagy ívelt. Az első esetben a test pályája egyenes.

Ekkor V=S/t, ahol:

• V – kívánt sebesség,
• S – megtett távolság (teljes út),
• t – teljes mozgási idő.

Hogyan találjuk meg a sebességet - a gyorsulás állandó

Ha egy tárgy gyorsulással mozgott, akkor a sebessége mozgás közben változott. Ebben az esetben a következő kifejezés segít megtalálni a kívánt értéket:

V=V (kezdet) + at, ahol:

• V (start) – az objektum kezdeti sebessége,
• a – a test gyorsulása,
• t – teljes utazási idő.

Hogyan találjuk meg a sebességet - egyenetlen mozgás

Ebben az esetben van olyan helyzet, amikor a test különböző időpontokban haladt át az út különböző szakaszain.
S(1) – t(1),
S(2) – t(2) esetén stb.

Az első szakaszban V(1) „tempóban” történt a mozgás, a másodikban – V(2) stb.

Egy objektum teljes útvonalon való mozgásának sebességének (átlagos értékének) meghatározásához használja a következő kifejezést:

Hogyan lehet megtalálni a sebességet - egy tárgy forgását

Forgás esetén szögsebességről beszélünk, amely meghatározza, hogy az elem egységnyi idő alatt milyen szögben forog. A kívánt értéket az ω (rad/s) szimbólum jelzi.

• ω = Δφ/Δt, ahol:

Δφ – áthaladt szög (szögnövekmény),
Δt – eltelt idő (mozgási idő – időnövekedés).

• Ha a forgás egyenletes, akkor a kívánt értékhez (ω) olyan fogalom társul, mint a forgási periódus - mennyi idő alatt teljesít az objektumunk 1 teljes fordulatot. Ebben az esetben:

ω = 2π/T, ahol:
π – állandó ≈3,14,
T – pont.

Vagy ω = 2πn, ahol:
π – állandó ≈3,14,
n – keringési frekvencia.

• Adott egy objektum ismert lineáris sebessége a mozgási útvonal minden pontjára, és annak a körnek a sugara, amely mentén mozog, az ω sebesség meghatározásához a következő kifejezésre lesz szüksége:

ω = V/R, ahol:
V – a vektormennyiség számértéke (lineáris sebesség),
R a test röppályájának sugara.

Hogyan találja meg a sebességet - mozgó pontok közelebb és távolabb

Az ilyen jellegű problémáknál helyénvaló lenne a megközelítési sebesség és az indulás sebessége kifejezéseket használni.

Ha az objektumok egymás felé irányulnak, akkor a megközelítés (eltávolítás) sebessége a következő lesz:
V (közelebb) = V(1) + V(2), ahol V(1) és V(2) a megfelelő objektumok sebessége.

Ha az egyik test utoléri a másikat, akkor V (közelebb) = V(1) – V(2), V(1) nagyobb, mint V(2).

Hogyan találjuk meg a sebességet - mozgás egy víztesten

Ha az események a vízen zajlanak, akkor az áramlás sebessége (azaz a víz mozgása egy álló parthoz képest) hozzáadódik az objektum saját sebességéhez (a test mozgása a vízhez képest). Hogyan kapcsolódnak egymáshoz ezek a fogalmak?

Az árammal való mozgás esetén V=V(saját) + V(áramlás).
Ha az árammal szemben – V=V(saját) – V(áram).

Gyorsulás- fizikai vektormennyiség, amely azt jellemzi, hogy egy test (anyagi pont) milyen gyorsan változtatja mozgásának sebességét. A gyorsulás az anyagi pont fontos kinematikai jellemzője.

A mozgás legegyszerűbb fajtája az egyenletes egyenes vonalú mozgás, amikor a test sebessége állandó, és a test tetszőleges egyenlő időközönként ugyanazt az utat járja be.

De a legtöbb mozgás egyenetlen. Egyes területeken a testsebesség nagyobb, máshol kisebb. Ahogy az autó mozogni kezd, egyre gyorsabban és gyorsabban halad. megálláskor pedig lelassul.

A gyorsulás a sebesség változásának mértékét jellemzi. Ha például egy test gyorsulása 5 m/s2, akkor ez azt jelenti, hogy a test sebessége másodpercenként 5 m/s-kal változik, azaz 5-ször gyorsabban, mint 1 m/s2 gyorsulásnál.

Ha egy test sebessége egyenetlen mozgás közben egyenlő időn belül egyenlő mértékben változik, akkor a mozgást ún. egyenletesen gyorsul.

A gyorsulás SI mértékegysége az a gyorsulás, amelynél a test sebessége másodpercenként 1 m/s-kal, azaz másodpercenként méter per másodperccel változik. Ezt az egységet 1 m/s2-nek nevezik, és „m/másodperc négyzetméternek” nevezik.

A sebességhez hasonlóan a test gyorsulását is nemcsak számértéke, hanem iránya is jellemzi. Ez azt jelenti, hogy a gyorsulás is vektormennyiség. Ezért a képeken nyílként van ábrázolva.

Ha egy test sebessége egyenletesen gyorsított lineáris mozgás közben növekszik, akkor a gyorsulás a sebességgel azonos irányú (a. ábra); ha egy adott mozgás során a test sebessége csökken, akkor a gyorsulás ellentétes irányú (b. ábra).

Átlagos és pillanatnyi gyorsulás

Egy anyagi pont átlagos gyorsulása egy bizonyos időtartam alatt a sebességében ez idő alatt bekövetkezett változás és az intervallum időtartamának aránya:

\(\lt\vec a\gt = \dfrac (\Delta \vec v) (\Delta t) \)

Egy anyagi pont pillanatnyi gyorsulása egy adott időpontban az átlagos gyorsulás határa \(\Delta t \to 0\) . A függvény deriváltjának definícióját szem előtt tartva a pillanatnyi gyorsulás a sebesség időbeli deriváltjaként definiálható:

\(\vec a = \dfrac (d\vec v) (dt) \)

Tangenciális és normál gyorsulás

Ha a sebességet így írjuk fel \(\vec v = v\hat \tau \) , ahol \(\hat \tau \) a mozgási pálya érintőjének egységegysége, akkor (kétdimenziós koordinátában rendszer):

\(\vec a = \dfrac (d(v\hat \tau)) (dt) = \)

\(= \dfrac (dv) (dt) \hat \tau + \dfrac (d\hat \tau) (dt) v =\)

\(= \dfrac (dv) (dt) \hat \tau + \dfrac (d(\cos\theta\vec i + sin\theta \vec j)) (dt) v =\)

\(= \dfrac (dv) (dt) \hat \tau + (-sin\theta \dfrac (d\theta) (dt) \vec i + cos\theta \dfrac (d\theta) (dt) \vec j))v\)

\(= \dfrac (dv) (dt) \hat \tau + \dfrac (d\theta) (dt) v \hat n \),

ahol \(\theta \) a sebességvektor és az x tengely közötti szög; \(\hat n \) - mértékegység a sebességre merőlegesen.

Így,

\(\vec a = \vec a_(\tau) + \vec a_n \),

Ahol \(\vec a_(\tau) = \dfrac (dv) (dt) \hat \tau \)- érintőleges gyorsulás, \(\vec a_n = \dfrac (d\theta) (dt) v \hat n \)- normál gyorsulás.

Tekintettel arra, hogy a sebességvektor a mozgási pályára érintőlegesen irányul, akkor \(\hat n \) a mozgási pálya normáljának egysége, amely a pálya görbületi középpontjára irányul. Így a normál gyorsulás a pálya görbületi középpontja felé irányul, míg a tangenciális gyorsulás azt érintőleges. A tangenciális gyorsulás a sebesség nagyságának változásának mértékét, míg a normál gyorsulás az irányváltoztatás mértékét jellemzi.

A görbült pálya mentén történő mozgás minden időpillanatban a pálya görbületi középpontja körüli forgásként ábrázolható \(\omega = \dfrac v r\) szögsebességgel, ahol r a pálya görbületi sugara. Abban az esetben

\(a_(n) = \omega v = (\omega)^2 r = \dfrac (v^2) r \)

Gyorsulásmérés

A gyorsulás mértéke méterben (osztva) másodpercenként a második hatványra (m/s2). A gyorsulás nagysága határozza meg, hogy egy test sebessége mennyivel változik egységnyi idő alatt, ha állandóan ilyen gyorsulással mozog. Például egy 1 m/s 2 gyorsulással mozgó test másodpercenként 1 m/s-ot változtat.

Gyorsulási egységek

• méter per másodperc négyzet, m/s², SI származtatott mértékegység
• centiméter per másodperc négyzetben, cm/s², a GHS rendszer származtatott egysége

Gyorsulás a kinematikai képletben. Gyorsulás a kinematikai definícióban.

Mi a gyorsulás?

A sebesség vezetés közben változhat.

A sebesség vektormennyiség.

A sebességvektor irányában és nagyságában változhat, pl. méretben. A sebesség ilyen változásainak figyelembevételére gyorsítást használnak.

A gyorsulás meghatározása

A gyorsulás definíciója

A gyorsulás a sebesség bármely változásának mértéke.

A gyorsulás, más néven teljes gyorsulás, egy vektor.

Gyorsulási vektor

A gyorsulási vektor két másik vektor összege. E másik vektorok egyikét tangenciális gyorsulásnak, a másikat normál gyorsulásnak nevezik.

Leírja a sebességvektor nagyságának változását.

Leírja a sebességvektor irányváltozását.

Egyenes vonalban haladva a sebesség iránya nem változik. Ebben az esetben a normál gyorsulás nulla, és a teljes és érintőleges gyorsulás egybeesik.

Egyenletes mozgásnál a sebességmodul nem változik. Ebben az esetben a tangenciális gyorsulás nulla, a teljes és a normál gyorsulás megegyezik.

Ha egy test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, akkor a gyorsulása nulla. Ez pedig azt jelenti, hogy a teljes gyorsulás összetevői, pl. a normál gyorsulás és a tangenciális gyorsulás is nulla.

Teljes gyorsulás vektor

A teljes gyorsulásvektor egyenlő a normál és tangenciális gyorsulások geometriai összegével, amint az az ábrán látható:

Gyorsulási képlet:

a = a n + a t

Teljes gyorsító modul

Teljes gyorsító modul:

A teljes gyorsulásvektor és a normál gyorsulás közötti alfa szög (más néven a teljes gyorsulásvektor és a sugárvektor közötti szög):

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a teljes gyorsulási vektor nem tangenciálisan irányul a pályára.

A tangenciális gyorsulás vektora az érintő mentén irányul.

A teljes gyorsulásvektor irányát a normál és tangenciális gyorsulásvektorok vektorösszege határozza meg.