Mit jelent az, hogy egy sorozat alul korlátos? A funkció fogalma

Mivel a jelzett területek rendre egyenlőek

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙ bűn α= 0,5 sinα, S szekt. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0,5tgα.

Ezért,

sin α< α < tg α.

Osszuk el az egyenlőtlenség minden tagját sin α > 0-val: .

De . Ezért a határértékekre vonatkozó 4. Tétel alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a származtatott képletet az első figyelemre méltó határértéknek nevezzük.

Így az első figyelemre méltó határ a bizonytalanság feltárására szolgál. Vegye figyelembe, hogy a kapott képletet nem szabad összetéveszteni a határértékekkel Példák.

11.Limit és a hozzá kapcsolódó korlátok.

A MÁSODIK FIGYELMEZTETŐ HATÁR

A második figyelemre méltó határ az 1 ∞ bizonytalanság feltárására szolgál, és így néz ki alábbiak szerint

Figyeljünk arra, hogy a második figyelemre méltó határ képletében a kitevőnek inverz kifejezést kell tartalmaznia ahhoz képest, amelyet az egységhez a bázisnál hozzáadunk (hiszen ebben az esetben bevezethető a változók változása, ill. csökkentse a keresett határt a második figyelemre méltó határra)

Példák.

1. Funkció f(x)=(x-1) 2 infinitezimális at x→1, mivel (lásd az ábrát).

2. Funkció f(x)= tg x– végtelenül kicsi at x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – végtelenül kicsi x→0.

4. f(x) = 1/x– végtelenül kicsi x→∞.

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot:

Tétel. Ha a funkció y=f(x)-val reprezentálható x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsiny nagyságrendű α(x): f(x)=b+ α(x) Az .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), Hol fejsze)– végtelenül kicsi at x→a.

Bizonyíték.

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét! Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De mióta fejsze) infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ – a pont szomszédsága a, mindenki előtt x ahonnan, értékek fejsze) kielégíti a kapcsolatot |α(x)|< ε. Majd |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti, hogy.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek X valamilyen δ – egy pont szomszédságából a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, Azt |α(x)|< ε, ami azt jelenti a– végtelenül kicsi.

Mérlegeljük alapvető tulajdonságait végtelenül kicsi függvények.

1. tétel. Algebrai összeg kettő, három és általában bármelyik véges szám Az infinitezimális egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Hadd f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges tetszőlegesen kicsi ε esetén > 0 talált δ> 0, olyan, hogy x, kielégítve az egyenlőtlenséget |x – a|<δ , végrehajtják |f(x)|< ε.

Tehát rögzítsünk egy tetszőleges ε számot > 0. Mivel a tétel feltételei szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor van ilyen δ 1 > 0, ami |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, ami |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vegyük δ=min(δ 1 , δ2 } .Akkor a pont szomszédságában a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. A termék végtelen kis funkció fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) at x→a(vagy mikor x→∞) egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték. A funkció óta f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x egy pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény at x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség érvényesül |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af– végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítás is hasonlóan történik.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és , akkor

Következmény 2. Ha és c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke eltér nullától, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Hadd . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátozott függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.

Példák.

1. Világos, hogy mikor x→+∞ funkció y=x 2+ 1 végtelenül nagy. Ekkor azonban a fent megfogalmazott tétel szerint a függvény infinitezimális at x→+∞, azaz .

A fordított tétel is bebizonyítható.

2. tétel. Ha a funkció f(x)- végtelenül kicsi x→a(vagy x→∞)és akkor nem tűnik el y= 1/f(x) egy végtelenül nagy függvény.

Végezze el saját maga a tétel bizonyítását.

Példák.

3. , mivel a és függvények végtelenül kicsik at x→+∞, akkor, mivel az infinitezimális függvények összege egy infinitezimális függvény. A függvény egy állandó szám és egy infinitezimális függvény összege. Következésképpen az 1. Tétel infinitezimális függvényekre megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

Így az infinitezimális és a végtelen legegyszerűbb tulajdonságai nagyszerű funkciók a következő feltételes relációkkal írható fel: A≠ 0

13. Azonos rendű infinitezimális függvények, ekvivalens infinitezimálisok.

Infinitezimális függvényeket és nevezzük infinitezimálisnak, azonos kicsinységi sorrendben, ha , jelöli. És végül, ha nem létezik, akkor az infinitezimális függvények összehasonlíthatatlanok.

2. PÉLDA Infinitezimális függvények összehasonlítása

Egyenértékű infinitezimális függvények.

Ha , akkor infinitezimális függvényeket hívunk egyenértékű, jelölje ~ .

Helyileg egyenértékű funkciók:

Mikor ha

Néhány egyenértékűség(címen):

Egyoldalú korlátok.

Eddig fontolgattuk egy függvény határának meghatározását, amikor x→aönkényes módon, pl. a funkció határa nem attól függött, hogy hol helyezték el x kapcsolatban a, balra vagy jobbra a. Azonban meglehetősen gyakori, hogy olyan függvényeket találunk, amelyeknek nincs korlátja ebben a feltételben, de van korlátjuk, ha x→a, az egyik oldalán maradva A, balra vagy jobbra (lásd az ábrát). Ezért bevezetjük az egyoldalú határok fogalmát.

Ha f(x) a határig hajlik b at x egy bizonyos számra hajlamos aÍgy x csak a kisebb értékeket fogadja el a, akkor írnak és hívnak az f(x) függvény határértéke a bal oldali a pontban.

Tehát a szám b a függvény határértékének nevezzük y=f(x) at x→a a bal oldalon, ha bármilyen ε pozitív szám is van, akkor van egy δ szám (kisebb a

Hasonlóképpen, ha x→aés nagy értékeket vesz fel a, akkor írnak és hívnak b pontban a függvény határértéke A jobbra. Azok. szám b hívott az y=f(x) függvény határértéke x→a a jobb oldalon, ha bármilyen ε pozitív szám is van, akkor van ilyen δ (nagyobb A), hogy az egyenlőtlenség mindenkire érvényes.

Vegye figyelembe, hogy ha a határértékek a bal és a jobb oldalon a funkcióhoz f(x) nem esik egybe, akkor a függvénynek nincs határa (kétoldalas) a ponton A.

Példák.

1. Tekintsük a függvényt y=f(x), a szegmensen az alábbiak szerint definiálva

Keressük meg a függvény határait f(x) at x→ 3. Nyilvánvalóan és

Más szóval, tetszőlegesen kis számú epszilonhoz van egy delta szám, amely az epszilontól függ, így abból, hogy bármely x esetén, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, az következik, hogy a függvény értékeinek különbségei ezeken a pontokon önkényesen kicsi.

Egy függvény folytonosságának kritériuma egy pontban:

Funkció akarat folyamatos az A pontban akkor és csak akkor folytonos az A pontban a jobb és a bal oldalon is, vagyis úgy, hogy az A pontban két egyoldalú határérték van, ezek megegyeznek egymással és egyenlőek a a függvény az A pontban.

2. definíció: A funkció folyamatos halmazon, ha ennek a halmaznak minden pontján folytonos.

Függvény származéka egy pontban

Legyen a dana egy környéken definiálva. Mérlegeljük

Ha ez a határ létezik, akkor hívják az f függvény deriváltja a pontban.

Függvény származéka– a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határa, amikor az argumentum növekszik.

A derivált egy pontban történő kiszámításának vagy megtalálásának műveletét nevezzük különbségtétel .

A megkülönböztetés szabályai.

Származék funkciókat f(x) pontban x=x 0 egy függvény növekedésének ezen a ponton az argumentum növekményéhez viszonyított arányának nevezzük, mivel az utóbbi nullára hajlamos különbségtétel. A függvény deriváltját a segítségével számítjuk ki általános szabály differenciálás: Jelöljük f(x) = u, g(x) = v- egy ponton differenciálható függvények X. A megkülönböztetés alapszabályai 1) (egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével) 2) (ebből különösen az következik, hogy egy függvény és egy állandó szorzatának deriváltja egyenlő ennek deriváltjának szorzatával függvény és az állandó) 3) Hányados deriváltja: , ha g  0 4) Komplex függvény deriváltja: 5) Ha a függvény paraméteresen van megadva: , akkor

Példák.

1. y = x a – teljesítmény funkció tetszőleges jelzővel.

Implicit függvény

Ha egy függvényt az y=ƒ(x) egyenlet ad meg, y-hoz képest feloldva, akkor a függvényt explicit formában adjuk meg (explicit függvény).

Alatt implicit feladat A függvények egy függvény definícióját egy F(x;y)=0 egyenlet formájában értik, y-hoz képest nincs feloldva.

Bármely explicit módon adott y=ƒ (x) függvény implicitként írható egyenlettel adottƒ(x)-y=0, de nem fordítva.

Nem mindig könnyű, sőt néha lehetetlen megoldani egy egyenletet y-ra (például y+2x+kényelmes-1=0 vagy 2 y -x+y=0).

Ha az implicit függvényt az F(x; y) = 0 egyenlet adja, akkor ahhoz, hogy y deriváltját megtaláljuk x függvényében, nem kell feloldani az egyenletet y függvényében: elegendő ezt az egyenletet x függvényében megkülönböztetni, miközben y-t x függvényének tekintjük, majd oldja meg a kapott y egyenletet."

Származék implicit függvény az x argumentummal és az y függvénnyel kifejezve.

Példa:

Határozzuk meg az y függvény deriváltját az x 3 + y 3 -3xy = 0 egyenlettel!

Megoldás: Az y függvény implicit módon van megadva. Megkülönböztetjük x-hez az x 3 + y 3 -3xy = 0 egyenlőséget. A kapott összefüggésből

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

ebből következik, hogy y 2 y"-xy"=y-x 2, azaz y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Magasabb rendű származékok

Nyilvánvaló, hogy a származék

funkciókat y=f(x) től van funkció is x:

y" =f " (x)

Ha a funkció f" (x) differenciálható, akkor származékát a szimbólum jelöli y"" =f "" (x) x kétszer.
A második derivált származéka, i.e. funkciókat y""=f""(x), hívott az y=f(x) függvény harmadik deriváltja vagy a harmadrendű f(x) függvény deriváltjaés a szimbólumok jelzik

Egyáltalán n-i származéka vagy származéka n rendelési funkció y=f(x) szimbólumok jelzik

Phil Leibniz:

Tegyük fel, hogy a és függvények származékaikkal együtt n-edik rendűekig differenciálhatók. A két függvény szorzatának megkülönböztetésére vonatkozó szabályt alkalmazva megkapjuk

Hasonlítsuk össze ezeket a kifejezéseket a binomiális hatványaival:

Megdöbbentő a megfelelési szabály: ahhoz, hogy képletet kapjunk az és függvények szorzatának 1., 2. vagy 3. rendű származékára, ki kell cserélni a és a hatványokat a kifejezésben (ahol n= 1,2,3) a megfelelő rendek származékai. Kívül, nulla fok mennyiségeket, és nulla rendű deriváltokkal kell helyettesíteni, amelyek alatt a függvényeket és:

Általánosítva ezt a szabályt tetszőleges sorrendű származékokra n, megkapjuk Leibniz képlete,

hol vannak a binomiális együtthatók:

Rolle tétele.

Ez a tétel lehetővé teszi, hogy megtaláljuk kritikus pontok majd használja elegendő feltételeket vizsgálja meg az extrémák funkcióját.

Legyen 1) f(x) definiált és folytonos valamilyen zárt intervallumon; 2) van véges derivált, legalább az (a;b) nyitott intervallumban; 3) a végén f-i intervallum elfogadja egyenlő értékeket f(a) = f(b). Ekkor az a és b pont között van egy c pont, amelynek deriváltja ebben a pontban = 0 lesz.

Az intervallumon folytonos függvények tulajdonságára vonatkozó tétel szerint az f(x) függvény ezen az intervallumon veszi fel max és min értékét.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 О

1) Legyen M = m, azaz. m £ f(x) £ M

Þ f(x) az a-tól b-ig terjedő intervallumot veszi fel állandó értékek, és Þ deriváltja nulla lesz. f’(x)=0

2) Legyen M>m

Mert az f(a) = f(b) Þ tétel feltételei szerint a legkisebb vagy a legnagyobb f-i érték nem a szakasz végeit veszi fel, de Þ M-et vagy m-t a szakasz belső pontjában. Ekkor a Fermat-tétel szerint f’(c)=0.

Lagrange-tétel.

Véges növekmény képlete vagy Lagrange-féle átlagérték tétel kimondja, hogy ha egy függvény egyedülálló folyamatos a [ a;b] és differenciálható az intervallumban ( a;b), akkor van egy olyan pont, hogy

Cauchy-tétel.

Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az intervallumon és differenciálhatók az (a, b) intervallumon és g¢(x) ¹ 0 az (a, b) intervallumon, akkor legalább egy pont e, a< e < b, такая, что

Azok. a függvények növekményeinek aránya egy adott szegmensen megegyezik a deriváltak arányával az e pontban. Példák az előadások problémamegoldó tanfolyamára Test térfogatának kiszámítása segítségével híres terek az övé párhuzamos szakaszok Integrálszámítás

Kiviteli példák tanfolyami munka Elektrotechnika

Ennek a tételnek a bizonyítására első pillantásra nagyon kényelmes a Lagrange-tétel használata. Írjon fel minden függvényhez egy véges különbségi képletet, majd osszák el őket egymással. Ez az elképzelés azonban téves, mert e pont minden egyes függvényhez általános eset különböző. Természetesen bizonyos speciális esetekben ez az intervallumpont mindkét függvénynél azonosnak bizonyulhat, de ez nagyon ritka egybeesés, és nem szabály, ezért nem használható a tétel bizonyítására.

Bizonyíték. Vegye figyelembe a segítő funkciót

Mivel x→x 0, c értéke is x 0-ra hajlik; Menjünk a határig az előző egyenlőségben:

Mert , Azt .

azért

(két infinitezimális arányának határa megegyezik származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik)

L'Hopital szabálya, ∞/∞.

Figyelem: minden definíció tartalmaz egy X numerikus halmazt, amely a függvény tartományának része: X D(f)-vel. A gyakorlatban leggyakrabban vannak olyan esetek, amikor X - numerikus intervallum(szakasz, intervallum, sugár stb.).

1. definíció.

Egy y = f(x) függvényről azt mondjuk, hogy növekszik egy X halmazon D(f)-vel, ha az X halmaz bármely két x 1 és x 2 pontjára úgy, hogy x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

2. definíció.

Egy y = f(x) függvényről azt mondjuk, hogy csökken egy X halmazon D(f)-vel, ha az X halmaz bármely két x 1 és x 2 pontjára úgy, hogy x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

A gyakorlatban kényelmesebb a következő megfogalmazások használata: egy függvény növekszik, ha magasabb értéket az argumentum nagyobb függvényértéknek felel meg; a függvény csökken, ha az argumentum nagyobb értéke felel meg alacsonyabb érték funkciókat.

A 7. és 8. osztályban a függvény növelése vagy csökkentése fogalmának a következő geometriai értelmezését alkalmaztuk: a növekvő függvény grafikonja mentén balról jobbra haladva úgy tűnik, hogy egy dombra mászunk (55. ábra); egy csökkenő függvény grafikonján balról jobbra haladva olyan, mintha dombról mennénk lefelé (56. ábra).
Általában a „növekvő funkció” és a „csökkenő funkció” kifejezéseket kombinálják köznév monoton funkció, a növelő vagy csökkentő függvény vizsgálatát pedig a monotonitás függvényének vizsgálatának nevezzük.

Jegyezzünk meg még egy körülményt: ha egy függvény növekszik (vagy csökken) a természetes definíciós tartományában, akkor általában azt mondjuk, hogy a függvény növekszik (vagy csökken) - anélkül, hogy megadnánk. számkészlet X.

1. példa

Vizsgálja meg a függvényt a monotonitás szempontjából:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Megoldás:

a) Vegyük az x 1 és x 2 argumentum tetszőleges értékeit, és legyen x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Az utolsó egyenlőtlenség azt jelenti, hogy f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Tehát x 1-től< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), ami azt jelenti, hogy az adott függvény csökkenő (a teljes számegyenesen).

3. definíció.

Az y - f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük egy X halmazon D(f)-vel, ha az X halmazban lévő függvény összes értéke nagyobb egy bizonyos számnál (más szóval, ha van olyan m szám, amely bármely x є X értékre az f( x) >m egyenlőtlenség.

4. definíció.

Egy y = f(x) függvényt felülről korlátosnak mondunk egy X halmazra D(f)-vel, ha a függvény minden értéke kisebb egy bizonyos számnál (más szóval, ha van olyan M szám, mint pl. hogy bármely x є X értékre teljesül az f(x) egyenlőtlenség< М).

Ha az X halmaz nincs megadva, akkor azt feltételezzük arról beszélünk egy függvény korlátairól alulról vagy felülről a teljes definíciós tartományban.

Ha egy függvény alul és felül is korlátos, akkor korlátosnak nevezzük.

Egy függvény korlátossága könnyen leolvasható a grafikonjáról: ha egy függvény alulról korlátos, akkor a gráfja teljes egészében egy bizonyos y = m vízszintes egyenes felett helyezkedik el (57. ábra); ha egy függvény felülről korlátos, akkor a grafikonja teljes egészében valamilyen y = M vízszintes egyenes alatt helyezkedik el (58. ábra).

2. példa Vizsgálja meg egy függvény korlátosságát
Megoldás. Egyrészt az egyenlőtlenség teljesen nyilvánvaló (definíció szerint négyzetgyök Ez azt jelenti, hogy a függvény alulról korlátos. Másrészt megvan és ezért
Ez azt jelenti, hogy a függvény felső határa van. Most nézd meg a grafikont adott funkciót(52. ábra az előző bekezdésből). A függvény korlátozása fent és lent is meglehetősen könnyen leolvasható a grafikonról.

5. definíció.

Az m számot az y = f(x) függvény legkisebb értékének nevezzük az X C D(f) halmazon, ha:

1) X-ben van olyan x 0 pont, hogy f(x 0) = m;

2) X-ből minden x-re érvényes az m>f(x 0) egyenlőtlenség.

6. definíció.

Az M számot az y = f(x) függvény legnagyobb értékének nevezzük az X C D(f) halmazon, ha:
1) X-ben van olyan x 0 pont, hogy f(x 0) = M;
2) X-ből minden x-re az egyenlőtlenség
A függvény legkisebb értékét a 7. és a 8. évfolyamon egyaránt y szimbólummal, a legnagyobbat y szimbólummal jelöltük.

Ha az X halmaz nincs megadva, akkor feltételezzük, hogy a függvény legkisebb vagy legnagyobb értékének megtalálásáról beszélünk a teljes definíciós tartományban.

A következő hasznos kijelentések nyilvánvalóak:

1) Ha egy függvénynek Y-je van, akkor alább korlátos.
2) Ha egy függvénynek Y-je van, akkor fent korlátos.
3) Ha a függvény nem korlátos alább, akkor Y nem létezik.
4) Ha a függvény nem korlátos fent, akkor Y nem létezik.

3. példa

Keresse meg egy függvény legkisebb és legnagyobb értékét
Megoldás.

Teljesen nyilvánvaló, főleg ha a függvénygráfot használjuk (52. ábra), hogy = 0 (a függvény x = -3 és x = 3 pontokban éri el ezt az értéket), a = 3 (a függvény ezt az értéket x pontban éri el) = 0.
A 7. és 8. osztályban a függvények további két tulajdonságát említettük. Az elsőt egy függvény konvexitási tulajdonságának nevezték. Egy függvényt akkor tekintünk lefelé konvexnek egy X intervallumon, ha a gráf bármely két pontját (X-ből származó abszcisszákkal) összekötve egy egyenes szegmenssel azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a megrajzolt szakasz alatt van. 59). folytonosság Egy függvény konvex felfelé egy X intervallumon, ha a függvény grafikonjának bármely két pontját (X-ből abszcisszákkal) összekötve egy egyenes szegmenssel azt találjuk, hogy a gráf megfelelő része a megrajzolt szakasz felett van ( 60. ábra).

A második tulajdonság - egy függvény folytonossága az X intervallumon - azt jelenti, hogy a függvény grafikonja az X intervallumon folytonos, azaz. nincs defektje vagy ugrása.

Megjegyzés.

Valójában a matematikában, ahogy mondani szokták, minden „éppen az ellenkezője”: a függvény grafikonja csak akkor jelenik meg folytonos vonalként (szúrások és ugrások nélkül), ha a függvény folytonossága bizonyított. De formális definíció A funkció folytonossága, amely meglehetősen összetett és finom, még nem tartozik a lehetőségeink közé. Ugyanez mondható el egy függvény konvexitásáról is. A függvények e két tulajdonságának tárgyalása során továbbra is vizuális és intuitív fogalmakra hagyatkozunk.

Most pedig tekintsük át tudásunkat. Emlékezve azokra a függvényekre, amelyeket a 7. és 8. osztályban tanultunk, tisztázzuk, hogyan néznek ki a grafikonjaik, és soroljuk fel a függvény tulajdonságait, betartva egy bizonyos rend, például ez: definíciós tartomány; monoton; korlátozás; , ; folytonosság; hatótávolság; konvex.

Ezt követően a függvények új tulajdonságai jelennek meg, és a tulajdonságok listája ennek megfelelően módosul.

1. Állandó funkció y = C

ábrán látható az y = C függvény grafikonja. 61 - egyenes, párhuzamos az x tengellyel. Ez annyira érdektelen tulajdonság, hogy nincs értelme felsorolni a tulajdonságait.

Az y = kx + m függvény grafikonja egy egyenes (62., 63. ábra).

Az y = kx + m függvény tulajdonságai:

1)
2) növekszik, ha k > 0 (62. ábra), csökken, ha k< 0 (рис. 63);

4) nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb érték;
5) a függvény folytonos;
6)
7) nincs értelme konvexitásról beszélni.

Az y = kx 2 függvény grafikonja egy olyan parabola, amelynek csúcsa az origóban van, és felfelé mutató ágakkal, ha k > O (64. ábra), és lefelé, ha k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Az y - kx 2 függvény tulajdonságai:

A k> 0 esetre (64. ábra):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = nem létezik;
5) folyamatos;
6) E(f) = a függvény a sugáron csökken, az intervallumon pedig csökken;
7) felfelé konvex.

Az y = f(x) függvény grafikonját pontról pontra ábrázoljuk; Minél több pontot veszünk fel az (x; f(x)) alakból, annál pontosabb képet kapunk a grafikonról. Ha ezekből a pontokból sokat veszünk, akkor teljesebb képet kapunk a grafikonról. Ebben az esetben az intuíció azt mondja nekünk, hogy a grafikont folytonos vonalként kell ábrázolni (a ebben az esetben parabola formájában). Ezután a grafikont olvasva következtetéseket vonunk le a függvény folytonosságáról, lefelé vagy felfelé konvexitásáról, a függvény értéktartományáról. Meg kell értenie, hogy a felsorolt ​​hét tulajdonság közül csak az 1), 2), 3), 4) tulajdonságok „legitim” - „legitim” abban az értelemben, hogy ezeket pontos definíciókra hivatkozva tudjuk igazolni. A fennmaradó tulajdonságokról csak vizuális és intuitív elképzeléseink vannak. Ezzel egyébként nincs is semmi baj. A matematika fejlődésének történetéből ismert, hogy az emberiség gyakran és sokáig használta különféle tulajdonságok bizonyos tárgyakat anélkül, hogy tudnák pontos meghatározások. Aztán amikor ilyen definíciókat lehetett megfogalmazni, minden a helyére került.

A függvény grafikonja hiperbola, a koordinátatengelyek a hiperbola aszimptotáiként szolgálnak (66., 67. ábra).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ha k > 0, akkor a függvény értékkel csökken nyitott gerenda(-oo, 0) és a nyitott gerendán (0, +oo) (66. ábra); ha kell< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nincs korlátozva sem alulról, sem felülről;
4) nincs sem a legkisebb, sem a legnagyobb érték;
5) a függvény folytonos a nyílt sugáron (-oo, 0) és a nyílt sugáron (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U(0,+oo);
7) ha k > 0, akkor a függvény konvex felfelé x-ben< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, azaz a nyitott gerendán (0, +oo) (66. ábra). Ha kell< 0, то функция выпукла вверх при х >O és lefelé konvex x-ben< О (рис. 67).
A függvény grafikonja egy parabola ága (68. ábra). Funkció tulajdonságai:
1) D(f) = , növekszik a sugáron. Ezen a szegmensen $16-x^2≤16$ vagy $\sqrt(16-x^2)≤4$, de ez felülről korlátot jelent.
Válasz: a függvényünk két egyenesre korlátozódik: $y=0$ és $y=4$.

Legmagasabb és legalacsonyabb érték

Az y= f(x) függvény legkisebb értéke az X⊂D(f) halmazon olyan m szám, amelyre:

b) Bármely хϵХ esetén $f(x)≥f(x0)$ teljesül.

Az y=f(x) függvény legnagyobb értéke az X⊂D(f) halmazon olyan m szám, amelyre:
a) Van olyan x0, hogy $f(x0)=m$.
b) Bármely хϵХ esetén $f(x)≤f(x0)$ teljesül.

A legnagyobb és legkisebb értékeket általában y max jelöli. és y nevet .

A korlátosság és a legkisebb értékű függvény fogalma szorosan összefügg. A következő állítások igazak:
a) Ha egy függvénynek van minimális értéke, akkor ez alább korlátos.
b) Ha létezik legmagasabb érték függvényt, akkor fent korlátos.
c) Ha a függvény nem korlátos fent, akkor a legnagyobb érték nem létezik.
d) Ha a függvény nem korlátos alább, akkor a legkisebb érték nem létezik.

Keresse meg a $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét.
Megoldás: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$х=4$ $f(4)=5$ esetén az összes többi értéknél a függvény kisebb értékeket vesz fel, vagy nem létezik, vagyis ez a függvény legnagyobb értéke.
Értelemszerűen: $9-4x^2+16x≥0$. Keressük a gyökereket másodfokú trinomikus$(2х+1)(2х-9)≥0$. $x=-0,5$ és $x=4,5$ esetén a függvény minden más ponton eltűnik nagyobb nullánál. Ekkor definíció szerint a függvény legkisebb értéke nullával egyenlő.
Válasz: y max. =5 és y név. =0.

Srácok, tanulmányoztuk a függvény konvexitásának fogalmát is. Egyes problémák megoldása során szükségünk lehet erre az ingatlanra. Ez a tulajdonság grafikonok segítségével is könnyen meghatározható.

A függvény lefelé konvex, ha a grafikonon van két pont eredeti funkció connect, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő vonal alatt lesz.

Egy függvény felfelé konvex, ha az eredeti függvény grafikonján bármely két pont össze van kötve, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő vonal felett van.

Egy függvény akkor folytonos, ha a függvényünk grafikonján nincsenek törések, például, mint a fenti függvény grafikonján.

Ha meg kell találnia egy függvény tulajdonságait, akkor a tulajdonságok keresésének sorrendje a következő:
a) Meghatározási terület.
b) Egykedvűség.
c) Korlátozás.
d) A legnagyobb és a legkisebb érték.
d) Folytonosság.
e) Értéktartomány.

Keresse meg a $y=-2x+5$ függvény tulajdonságait.
Megoldás.
a) D(y)=(-∞;+∞) definíciós tartomány.
b) Egykedvűség. Ellenőrizzük az x1 és x2 értékeket, és legyen x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Mivel x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Korlátozás. Nyilvánvaló, hogy a funkció nem korlátozott.
d) A legnagyobb és legkisebb érték. Mivel a függvény korlátlan, nincs maximum vagy minimum érték.
d) Folytonosság. Függvényünk grafikonján nincs törés, akkor a függvény folytonos.
e) Értéktartomány. E(y)=(-∞;+∞).

Függvény tulajdonságaira vonatkozó feladatok független megoldáshoz