2. Természetes alapváltozók bevezetése. Simplex asztal felépítése. A nulladik terv meghatározása.

Simplex módszer. A szimplex módszer algoritmusa.

Simplex módszer- algoritmus a lineáris programozás optimalizálási feladatának megoldására csúcsok felsorolásával konvex poliéder V többdimenziós tér. A módszert George Danzig amerikai matematikus dolgozta ki 1947-ben.

A szimplex módszer ötlete az, hogy a feltett leíró problémát lefordítják matematikai forma. Matematikai megfogalmazás a feladat a kívánt eredményt jelző célfüggvény egyenletét tartalmazza - a célfüggvény minimumát vagy maximumát meghatározva; egyenlőségek vagy egyenlőtlenségek által meghatározott lineáris kényszerrendszerek. Megkapta matematikai leírás mátrix formába vezet. Ezután a probléma mátrixos leírása kanonikus formára redukálódik. A rendszer után lineáris egyenletek kanonikus formára redukálva megkezdjük a lineáris programozási probléma megoldását. A probléma megoldására szolgáló algoritmus mátrixok összeállításának sorozatából áll. A megoldás minden lépése közelebb visz a kívánt eredmény eléréséhez.

A szimplex módszer számítási sémájában egy rendezett folyamatot valósítanak meg, amelyben valamilyen kezdeti megengedett sarokpontból (általában az origóból) kiindulva egymást követő átmenetek egy megengedettből szélső pont másikra, amíg meg nem találjuk az optimális megoldásnak megfelelő pontot.

Simplex módszer algoritmus

1. Elhozzuk a korlátozások rendszerét kanonikus forma(ha a rendszer korlátozott). Ezenkívül egyetlen bázis azonosítható a rendszerben.

2. Keresse meg az eredetit referenciaterv(a KZLP egyenletrendszer nemnegatív alapmegoldásai). A referenciatervek mindegyikét a rendszer m lineárisan határozza meg független vektorok amelyet egy adott n vektorból álló rendszer tartalmaz A 1 , A 2 ,…, A n. Felső határ az adott feladatban szereplő referenciatervek számát a kombinációk száma határozza meg nm-el);

3. Építünk szimplex asztal (szimplex asztal egy mátrix, amely egy (nem degenerált) lineáris programozási probléma megengedhető bázismegoldásainak számbavételére szolgál szimplex módszerrel történő megoldáskor. Egy kanonikus formára redukált lineáris programozási egyenletrendszer együtthatóinak mátrixából van kialakítva, az úgynevezett szimplex algoritmus szerinti szekvenciális transzformációja korlátozott számú lépést (iterációt) tesz lehetővé a kívánt eredmény eléréséhez - egy terv, amely biztosítja; a célfüggvény szélső értéke).

4. A szimplex táblában ellenőrizzük a vektorok negativitását, azaz. értékelések Zj – Сj a sorba írt értéknek ≤ 0-nak kell lennie (legalább), Zj – Сj ≥ 0(a maximumig). Ha a becslések kielégítik az optimalitási feltételeket, akkor a probléma megoldódott.

5. Ha néhány vektornál megsértik az optimalitási feltételeket, akkor be kell vinni a bázisba egy vektort, amely megfelel:

max[θ 0 j (Zj – Сj)] ; min[θ 0 j (Zj – Сj)] ; θ 0 j = min, Ahol x i> 0

Vektor elem θ j ami megfelel θ 0 j megengedőnek nevezik; azt a sort és oszlopot, amelyben található, útmutatónak nevezzük, a vezetősorban lévő vektor elhagyja a bázist.

6. Keressük meg az új bázisban szereplő összes vektor tágulási együtthatóját. Alkalmazzuk a Giordano Gauss módszert

Nézzük meg az optimális referenciatervet. Ha a becslés kielégíti az optimalitási feltételeket, akkor a probléma megoldódik, ha nem, akkor az 5-7.

2. Természetes alapváltozók bevezetése. Simplex asztal felépítése. A nulladik terv meghatározása.

A szimplex módszer a leghatékonyabb a megoldásban összetett feladatokés egy iteratív (lépésről lépésre haladó) folyamatot képvisel, kezdve azzal nulla(referencia) oldat (csúcs n-dimenziós poliéder). Továbbá az optimális tervlehetőség keresése során feltételezzük, hogy tovább halad sarokpontok(a poliéder csúcsai), amíg a célfüggvény értéke el nem éri a maximális (minimális) értéket. Tekintsük a szimplex módszer algoritmusát egy korlátozott nyersanyagforrású forgalomtervezési probléma példáján!

A cég értékesíti n termékcsoportok, amelyek m korlátozott anyagi és pénzforrások b i ≥0 (1 ≤ én≤ m) . Mindenki erőforrásköltsége ismert én- az egyes csoportok áruegységeinek előállításának és értékesítésének típusa, mátrix formájában ( a ij) és az áruegység értékesítéséből a vállalkozás által kapott nyereség j-a célfüggvényben szereplő csoport Z(x). A lineáris programozási módszer nem különbözik az (1) - (2) rendszertől:

Z(X) = с 1 Х 1 + с 2 Х 2 + с 3 ѥ 3 + … +с n Х n → max (perc) (1)

a 11 X 1 + a 12 X 2 +…a 1n X n ≤ b 1,

a 21 X 1 + a 22 X 2 +…a 2n X n ≤ b 2 (2)

a m1 X 1 + a m2 X 2 +…a mn X n ≤ b m,

X 1 ≥ 0 X 2 ≥ 0 X 3 ≥ 0 … X n ≥ 0

A probléma szimplex módszerrel történő megoldásának szakaszai a következők:

1) Nulla referenciaterv készítése. Új nemnegatív (alap)változókat vezetünk be, amelyeknek köszönhetően a (2) egyenlőtlenségrendszer egyenletrendszerré válik:

a 11 X 1 + a 12 X 2 +…a 1n X n + X n+1 = b 1

a 21 X 1 + a 22 X 2 +…a 2n X n + X n+2 = b 2 (3)

……………………………………..

a m1 X 1 + a m2 X 2 +…a mn X n + X n+m = b m,

Ha a bemeneti változókat oszlopvektornak vesszük, akkor azok reprezentálnak egyetlen (alapvető) vektorok. Vegye figyelembe, hogy az alapváltozóknak egyszerű fizikai jelentése- Ezt maradék adott termelési tervhez adott erőforrás a raktárban, ezért ezt az alapot hívott természetes. Megoldjuk a (3) rendszert az alapváltozókra vonatkozóan:

X n+1 = b 1, -a 11 X 1 - a 12 X 2 -…a 1n X n

X n+2 = b 2 - a 21 X 1 - a 22 X 2 -…a 2n X n (4)

………………………………………..

X n+m = b m, - a m1 X 1 + a m2 X 2 +…a mn X n

A célfüggvényt átírjuk a formába

Z(X) = 0-(-с 1 Х 1 -с 2 Х 2 -с 3 ѥ 3 -…-с n Х n) (5)

Feltételezve, hogy a szükséges fő változók X 1 = X 2 = X 3 = ... = X n = 0, nulla referenciatervet kapunk X = (0, 0, ...0, b 1, b 2, b 3 ... b m), amelynél Z(X) = 0 (minden készleten lévő erőforrás, semmi előállítás). Egy szimplex táblába írjuk be a tervet.

Terv	Alap	C i /C j	Jelentése X i	X 1	X 2	X n	Xn+1	Xn+2	X n+ 3	Qmin
	Xn+1		b 1	egy 11	egy 12	egy 13				b 1/a 12
Xn+2		b 2	a 21	a 22	a 23				b 2/a 22
Xn+3		b 3	egy 31	egy 32	egy 33				b 3/a 32
Z(X) = 0	-C 1	- C 2	- C 3				Index. vonal

2) Az indexsor negatív együtthatói közül válassza ki a legnagyobbat abszolút érték, amely meghatározza a vezető oszlopot, és megmutatja, hogy a következő iterációnál (lépésnél) melyik változó lép át a főből (ingyenes) az alapba (valójában az a termékcsoport kerül kiválasztásra, amelynek értékesítése a maximális bevételt eredményezi). Ezután a b i nyersanyagkészleteket elosztjuk a megfelelő költségegyütthatókkal, az eredményeket táblázatba írjuk és meghatározzuk a minimális Q min értéket (az az erőforrás kerül kiválasztásra, amelynek tartaléka legerősebben korlátozza a kiválasztott termékcsoport kibocsátását). Ez az érték kiválasztja a vezető sort és az Xi változót, amely a következő lépésben (iteráció) elhagyja a bázist és szabaddá válik.

3) Az új tervre való áttérés a szimplex tábla Jordan-Gauss módszerrel történő újraszámításának eredményeként történik. Először az alapban lévő X j-t cseréljük le a vezető oszlop X i-jére. Osszuk el a bevezető sor összes elemét a feloldóelemmel (RE), aminek eredményeként az RE helye a felvezető sorban 1 lesz. Mivel X i alap lett, a fennmaradó együtthatóinak egyenlőnek kell lenniük 0. A terv új elemei a téglalap szabály szerint találhatók

NE=SE – (A*B)/RE (6)

Az így kapott tervet az indexsor együtthatóival értékeljük: ha ezek mind pozitívak, akkor a terv optimális, ha nem, akkor a következő iteráció (lépés) végrehajtásával javítható a terv.

Példa. 20 ezer rubelt különítettek el a gyártóhely felszerelésének vásárlására. A berendezés legfeljebb 72 nm-es területen helyezhető el. Kétféle berendezés rendelhető: A típusú, 6 nm-es gyártóterületet igénylő és 6 ezer darabot biztosító berendezés. műszakonkénti termékek (ára 5000 rubel) és B típusú, 12 négyzetméter területet igényelnek, és 3 ezer darabot gyártanak (ár 2000 rubel). Mi az optimális berendezésbeszerzési terv a telephely maximális termelékenységének biztosításához?

Jelöljük X 1-el, illetve X 2-vel a vásárolt A és B típusú berendezések mennyiségét.

A webhely termelékenysége ( objektív funkció): Z(X) =6×1 +3×2.

A fő korlátozások összefüggenek

készpénzzel: 5 × 1 + 2 × 2 ≤ 20,

gyártóhelyi területtel: 6Х 1 +12Х 2 ≤ 72.

Új alapváltozókat vezetünk be X 3 (a maradék Pénz berendezés vásárlása után) és X 4 (a berendezés elhelyezése után fennmaradó terület), és írja át a korlátozásokat egyenletrendszer formájában:

5X 1 + 2X 2 + X 3 =20 (X 3 = 20 – 5X 1 – 2X 2)

6X 1 + 12X 2 + X 4 = 72 (X 4 = 72 – 6X 1 – 12X 2)

Ebben az esetben a célfüggvény: Z(X) = 6Х 1 +3Х 2 +0Х 3 +0Х 4 .

Referencia (0.) tervet készítünk: X = (0, 0, 20, 72), i.e. még nem vásároltak semmit (nem költötték el, üres a hely). Simplex asztal készítése

Terv	Alap	C i /C j	Jelentése X i	X 1	X 2	X 3	X 4	Qmin
	X 3							20/5=4
X 4							72/6=12
Z(X) = 0	- 6	- 3			Indexsor
	→X 1				0,4	0,2		4/0,4=10
X 4				9,6	-1,2		48/9,6=5
Z(X)=6*4=24		-0,6	1,2		Indexsor
	X 1					0,25	-1/24	-
→X 2					-1/8	5/48	-
Z(X) =6*2+3*5=27			9/8	1/16	Indexsor

Nyilvánvaló, hogy a vezető oszlop X 1-nek felel meg, mivel ennek a legnagyobb indexe 6. A Q min = 4 minimális értékét (a legsúlyosabb erőforrás-korlátozás) úgy találjuk meg, hogy meghatározunk egy vezető sort, amely megmutatja, hogy az X 3 az alapváltozókból származik. , és X helyett 1 . A vezető sor elemeit újraszámoljuk, elosztjuk 5-tel, és a (6) képlet segítségével meghatározzuk a második és indexsor elemeit. Az 1. terv célfüggvénye Z(X) = 6*4+3*0 = 24.

Az X 2 oszlop indexsorának egyik együtthatója azonban negatív marad -0,6 ezt a tervet nem optimális, és további iteráció (lépés) szükséges a javításához. A 2. oszlopot kiválasztjuk vezetőnek, és a minimális Q min = 5 érték alapján meghatározzuk a vezető sort az X 4 alapváltozóval. Ugyanezen transzformációk végrehajtása után megkapjuk a 2. tervet, amely optimális lesz, mivel minden index együttható pozitív.

Elemezzük a kapott eredményeket. Az optimális megoldáshoz a célfüggvény rendelkezik maximális érték 27 ezer rubel, miközben mindkét forrást kivonják az alapból, ezért teljesen elköltötték.

Győződjünk meg erről: 5*2+2*5 = 20 ezer rubel, 6*2+12*5=72 nm. A szükséges megoldás X = (2; 5;0;0) Ez nem mindig történik meg.

10. sz. előadás

Téma: Simplex módszer mesterséges alapú problémákra

A szimplex megoldási módszer további (alap)változók bevezetésén alapul, amelyek lehetővé teszik a képzést identitásmátrix. Ha a problémamegszorítások egyenlőtlenségek formájában jelennek meg:

a i1 X 1 + a i2 X 2 +…a in X n ≥ b i (1)

vagy egyenletek:

a i1 X 1 + a i2 X 2 +…a in X n = b i (1*),

akkor lehetetlen beszerezni a referenciatervet a kívánt formában. Ebben az esetben az egyenlőségek (1*) betartása érdekében bevezetjük mesterséges alapon Y i , és a mesterséges változók nem kapcsolódnak közvetlenül a feladat tartalmához, de lehetővé teszik egy referencia (kiindulási) terv készítését:

a i1 X 1 + a i2 X 2 +…a in X n +Y i = b i (2)

A célfüggvény a probléma maximális megoldása során a következő formában lesz írva:

Z(X) =∑C j X j +(-M)∑Y i (3),

hasonló probléma megoldása során legalább:

Z(X)=∑CjXj +(M)∑Yi (3*),

ahol M nagyon nagy pozitív szám, egyfajta büntetés a mesterséges változók használatáért.

Az (1) egyenlőtlenségek esetén kezdetben további X n + i változókat vezetünk be mínusz előjellel. Mátrixuk nem lesz egységes, ezért az (1) rendszer minden egyenlőtlenségébe mesterséges У i változókat vezetünk be:

a i1 X 1 +a i2 X 2 +…a in X n –X n+i +Y i =b i (4)

A célfüggvény ebben az esetben Z(X)=∑C j X j +0∑X n + i +(-M)∑Y i (a maximum megkereséséhez). A mesterséges alap alkalmazása nagyobb rugalmasságot ad a szimplex módszernek, és sokféle probléma megoldására teszi lehetővé.

Példa . Határozza meg kétféle A és B termék előállításának maximális és minimális nyereségét, ha a termelési költségek és az egységnyi termék értékesítéséből származó jövedelmezőség szerepel a táblázatban. A fő feltétel a munkavállalók teljes foglalkoztatása a vállalkozásnál.

Matematikailag a termelési kimeneti korlátozások az űrlapba lesznek írva vegyes rendszer:

1X 1 + 1X 2 ≤ 6,

2X 1 + 1X 2 =8.

Az első egyenlőtlenséghez bevezetjük az X 3 alapváltozót, a második egyenlethez pedig az Y 1 mesterséges változót:

1X 1 + 1X 2 + X 3 = 6,

2X 1 + 1X 2 +Y 1 =8.

A kapott egyenletrendszerből fejezzük ki X 3-at és Y 1-et, és a maximum meghatározásához képzeljük el a célfüggvényt:

Z(X)= 3X 1 + 2X 2 +0X 3 –MY 1 = 3X 1 + 2X 2 –M(8-2X 1 –X 2)=

3X 1 + 2X 2 – 8M +2MX 1 + MX 2 = (2M + 3)X 1 + (M + 2)X 2 -8M

A referenciatervhez - X=(0,0,6,8). Készítsünk egy szimplex táblát:

Terv	Alap	C i /C j	Jelentése X i	X 1	X 2	X 3	I 1	Qmin
	X 3							6/1=6
I 1	-M						8/2=4
Z(X) = -8 M	-2M-3	-M-2			Indexsor
	X 3				0,5		-0,5	2/0,5=4
→X 1				0,5		0,5	4/0,5=8
Z(X)=3*4=12		- 0,5		M+1,5	Indexsor
	→X 2						-1	-
X 1					-1		-
Z(X) =3*2+2*4=14				M+1	Indexsor

A referenciaterv javítása általában az Y 1 mesterséges változó alapból való eltávolításával kezdődik. A második iterációban megkaptuk az optimális tervet X = (2,4,0,0), 14-es maximális bevétellel. ezer. dörzsölés. , és az indexsor együtthatói nem negatívak. Könnyen ellenőrizhető, hogy ennél a feladatnál egy optimális terv mellett az erőforrások teljes mértékben kihasználásra kerülnek (2*1+4*1=6; 2*2+1*4=8).

A minimális jövedelmezőség megállapításánál a célfüggvényt másként fogalmazzuk meg (+MY 1-et adunk meg kifejezésként:

Z(X)= 3X 1 + 2X 2 +0X 3 +MY 1 = 3X 1 + 2X 2 +M(8-2X 1-X 2)=

3X 1 + 2X 2 +8M - 2MX 1 -MX 2 = (3 - 2M)X 1 + (2 - M)X 2 +8M

A referenciaterv ugyanaz, de a szimplex tábla indexsor-együtthatói eltérőek. A vezető oszlopot, mint korábban, a legnagyobb választja ki abszolút érték pozitív együttható X 1 esetén a vezető sort a Q min =4 minimális értéke határozza meg. Az első iterációnál az Y 1 mesterséges változót a bázisból származtatjuk.

Terv	Alap	C i /C j	Jelentése X i	X 1	X 2	X 3	I 1	Qmin
	X 3							6/1=6
I 1	M						8/2=4
Z(X) = 8M	2M-3	M-2			Indexsor
	X 3				0,5		-0,5	2/0,5=4
→X 1				0,5		0,5	4/0,5=8
Z(X)=3*4=12		- 0,5		-M+1,5	Indexsor

Az együtthatók negatív értékei az X i indexsorban az 1. terv optimálisságát jelzik, míg minimális jövedelem 12 ezer rubel.

Ezt csak az A termék kibocsátása biztosítja (B termék nem készül), az alapanyagok nincsenek teljesen felhasználva (maradvány X 3 = 2t), miközben a fő feltétel teljesül - a dolgozók teljes mértékben foglalkoztatottak a termelésben.

11. sz. előadás

Téma: Lezárt közlekedési probléma

1. A zárt matematikai megfogalmazása közlekedési probléma. Meghatározás szükséges mennyiség ismeretlen.

2. A közlekedési probléma megoldási tervének meghatározásának szakaszai.

Az egyik univerzális módszerek egy egyszerű módszer. A szimplex módszerben a referenciatervek irányított keresését hajtják végre, abban az értelemben, hogy amikor egyik referenciatervről a másikra lépünk, a célfüggvény növekszik. Írjuk fel a problémát kanonikus formában:

f=(n; j=1)ΣCj*Xj (max)

(n;j=1)Σaij*xj=aio (i=1,m)

Xj>=0 (j=1,n)

Ha a probléma megoldható, akkor annak optimális terve egybeesik az egyenletek legalább egyik támogató megoldásával. Ezt a referenciatervet találjuk meg szimplex módszerrel a referenciatervek rendezett keresésének eredményeként. A sorrendet abban az értelemben értjük, hogy amikor az egyik referenciatervről a másikra lépünk, a célfüggvény megfelelő értékei nőnek. Ezért a szimplex módszert nevezzük m-ház következetes fejlesztési tervet.

Alapgondolat egyszerű módszer ilyen egyszerű. m-d 2 szakaszra oszlik:

1. a kezdeti referenciaterv megtalálása;

2. konzisztens fejlesztés az optimális megtalálásáig, amelyben a célfüggvény eléri a maximális értékét.

8. A ZLP támogatási tervének optimálisságának jele.

Támogatási terv attribútum az oszlopelemek nem-negativitása ingyenes tagok, nem számítva az f karakterlánc elemeit. Egy optimális terv jele- ha a szimplex tábla tartalmaz egy támogatási tervet, az f-sor minden olyan elemét, amely nem negatív (nem számítva a booo szabad kifejezést), akkor ez a támogatási terv az optimális. Ha az f=boo-(n-m;j=1)Σboj*Xj+m relációban az összes szabad változó értéke nulla, akkor a célfüggvény egyenlő lesz az f(vectorXo)=boo szabad taggal. Az ingyenes érték növekedésével változó függvény csökkenni kezd, ezért a Ho tervnél a függvény szélső értéket vesz fel.

9. A ZLP kezdeti referenciatervének megtalálása.

A kezdeti referenciaterv megtalálásához a következőket javasolhatjuk algoritmus:

1. írd fel a feladatot Jordan tábla formájában úgy, hogy a szabad kifejezések oszlopának minden eleme ne legyen negatív, pl. az aio>=0 (i=1,m) egyenlőtlenség teljesült. Azokat az egyenleteket, amelyekben a szabad tagok negatívak, először megszorozzuk -1-gyel.

		-x1….. -xn
0=	a1o	a11…. a1n
…..	…..	………………………..
0=	amo	am1… amn
f=		-c1…. -cn

Alakítsa át a táblázatot Jordan eliminációs lépésekkel, a bal oldali oszlop nulláit a megfelelő x-re cserélve. Ugyanakkor minden lépésnél megengedő választható minden olyan oszlop, amely legalább egy pozitív elemet tartalmaz. A feloldó sort a szabad tagok és a feloldó oszlop megfelelő pozitív elemei közötti arányok közül a legkisebb arány határozza meg. Ha a kivételi folyamat során 0 karakterláncot találunk, az összes elemet amelyek nullák, és a szabad tag eltér nullától, akkor a rendszernek nincs megoldása a restriktív egyenletekre. Ha olyan 0 sorral találkozunk, amelyben a szabad tagon kívül nincs más pozitív elem, akkor a rendszernek nincs korlátozó egyenlete. nem negatív megoldások Ha vannak korlátozó egyenletek közös, akkor bizonyos számú lépés után a bal oldali oszlopban lévő összes nullát x-re cseréljük, és ezáltal egy bizonyos alapot, következésképpen egy megfelelő referenciatervet kapunk.

10. A ZLP optimális referenciatervének megtalálása.

Ho kezdeti támogatási tervét megvizsgálják az optimálisság szempontjából.

Ha az f-sorban nincsenek negatív elemek (nem számítva a szabad tagot), a -terv az optimális. Ha nincs is nulla elem az f-sorban, akkor csak egy optimális terv van; ha az elemek között van legalább egy nulla, akkor optimális tervek végtelen halmaz. Ha az f sorban van legalább egy negatív elem, és nincs pozitív elem a megfelelő oszlopban, akkor a célfüggvény nincs korlátozva a megvalósítható tartományban. A probléma nem megoldható. Ha az f sorban van legalább egy negatív elem, és minden ilyen elemet tartalmazó oszlopban van legalább egy pozitív elem, akkor át lehet lépni egy új referenciatervre, amely közelebb áll az optimálishoz. Ehhez az f-sorban negatív elemet tartalmazó oszlopot a következőnek tekintjük megengedő; Meghatározzák a feloldó karakterláncot a minimális szimplex relációból, és végrehajtják a Jordan eliminációs lépést. Az így kapott referenciatervet ismét megvizsgáljuk az optimálisság szempontjából. Ezt addig ismételjük, amíg meg nem találjuk az optimális referenciatervet, vagy meg nem állapítjuk a probléma megoldhatatlanságát.

11. A célfüggvény határtalanságának jele tervrajzon és geometriai ábrán.

A célfüggvény határtalanságának jele, hogy az optimális terv keresése során az f-sorban negatív elemű oszlopot kapunk, amely egyetlen pozitív elemet sem tartalmaz.

12. Az optimális tervek és geometriai illusztráció halmazának végtelenségének jele.

Egy tervhalmaz végtelenségének jele, ha az f-sorban egy szimplex pont van, amely legalább egy nulla elem optimális tervét tartalmazza, nem számítva a szabad tagot. Keressünk egy optimális X1* tervet, egy nulla elemmel az f-sorban. Egy másik optimális X2* tervet találhatunk, ha az f-sorban nulla elemet tartalmazó oszlopot választunk felbontásként. A többi optimalizálva van. A tervek lineáris kombinációként definiálhatók:

Х1*= λХ1*+(1-λ)Х2* 0=<λ<=λ

Simplex módszer

1. A szimplex módszer ötlete

Tekintsünk egy univerzális módszert a kanonikus LP probléma megoldására.

szimplex módszerként ismert.

Ahogy a 2. fejezetben megállapítottuk, a kanonikus probléma tervkészlete egy konvex poliéder halmaz, véges sok sarokponttal. És ha ennek a problémának van optimális megoldása, akkor azt legalább egy sarokponton elérjük.

Bármely sarokpont a feladat alaptervéhez kapcsolódik, amelyben a változók nullával egyenlőek, a többi változó pedig a feltételmátrix lineárisan független oszlopainak felel meg. Ezek a lineárisan független oszlopok nem szinguláris bázismátrixot alkotnak.

Az összes sarokponton végzett iteráció számítási szempontból költséges, ezért nem hatékony. J. Dantzig 1944-ben egy rendezett eljárást javasolt a sarokpontok számbavételére, amelyben az optimális megoldás megtalálásához elegendő ezeknek csak kis részét megvizsgálni. Ezt az eljárást szimplex módszernek nevezik.

J. Danzig azt javasolta, hogy a bázismátrixban csak egy vektort cseréljenek le, amikor egyik szélső pontból a másikba mozognak. Ez azt jelenti, hogy egy ilyen átmenet során ki kell zárnunk az egyik alapváltozót - nem alapváltozót kell tenni (nullával egyenlő), és a helyére be kell vezetni egy új változót a nem alapváltozók közül (nulla) - alapváltozót (pozitívvá) kell tenni. ).

Kiderül, hogy geometriailag egy ilyen csere az egyik sarokpontból egy szomszédos pontba való átmenethez vezet, amelyet egy közös él köt össze az előző ponttal.

A szomszédos pontok közül az kerül kiválasztásra, amelynél a célfüggvény a legnagyobb mértékben növekszik. Mivel a sarokpontok száma véges, véges számú átmeneten keresztül meg fog találni a célfüggvény legnagyobb értékű csúcsát, vagy korlátlan számú tervhalmazra megállapítani a célfüggvény határtalanságát.

A szimplex módszer általános sémája a következő fő lépésekből áll.

· 0 lépés. A kiindulási alap és a hozzá tartozó kezdeti sarokpont (alapvonal) meghatározása.

· 1 lépés. Az aktuális alapterv optimálisságának ellenőrzése. Ha az optimalitási kritérium teljesül, akkor a terv optimális és a megoldás kész. Másképp folytassa a 2. lépéssel.

· 2. lépés. Az alapváltozókba bevezetett változó megkeresése. (A célfüggvény növelésének feltételéből).

· 3. lépés. Az alapváltozók közül kizárt változó keresése (A feladat korlátainak megőrzésének feltételéből).

· 4. lépés. Az új alapvonal (szomszédos sarokpont) koordinátáinak megkeresése. Folytassák az 1. lépéssel.

Az 1-4. lépések ismételt lépései a szimplex módszer egy iterációját képezik.

Ebből a diagramból az következik, hogy egyrészt a szimplex módszer elindításához rendelkeznie kell valamilyen sarokponttal - egy kezdeti alaptervvel, másrészt meg kell tudnia vizsgálni az aktuális sarokpontot az optimálisság szempontjából anélkül, hogy az összes szomszédos pontot kiszámítaná. csúcsok. Ezek a problémák könnyen megoldhatók, ha a kanonikus LP-problémának van valamilyen speciális formája.

Meghatározás. Azt fogjuk mondani, hogy a kanonikus LP-problémának van egy „preferált formája”, ha

1.az egyenletek jobb oldala, .

A feltételmátrix egy egységnyi méretű részmátrixot tartalmaz

Más szóval, bármely egyenletben van együtthatós változó egyenlő eggyel, hiányzik a többi egyenletből. Az 1. feltétel nem megterhelő, hiszen valamelyik egyenlet negatív jobb oldala esetén elég azt (-1) megszorozni. Egy preferenciális típusú probléma esetén a kezdeti alapvonal megtalálása nagyon egyszerű.

Példa .

A feltételmátrixnak és a megszorítások jobb oldalának vektorának alakja van

Egy dolog azonnal nyilvánvaló bázismátrix: egységvektorokkal

Következésképpen alapváltozók, az x2, x4 pedig nem alapváltozók. Ha az egyenletrendszerben x2=x4 =0, akkor azonnal x1 =10, x3 =20, x5 =8. Látjuk, hogy az alapváltozók értéke megegyezik a megszorítások jobb oldalával. Ebből egyértelmű az a követelmény, hogy a bi jobb oldala pozitív legyen.

A jövőben az alapváltozókat vektorba fogjuk egyesíteni xB.

Így a preferált forma kanonikus problémájában az AB =E egységrészmátrixot vesszük kezdeti bázismátrixnak, és a megfelelő bázisváltozók egyenlők a megszorítások jobb oldalával: xB =b.

. A szimplex módszer legegyszerűbb megvalósítása

A szimplex módszer legegyszerűbb megvalósítását („egyszerű C-módszer”) alkalmazzuk a kanonikus LP-problémára, amelynek „preferált formája” van. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezzük, hogy az azonosság-almátrix az első m oszlopban található. Ekkor a kanonikus probléma a következőképpen lesz felírva

f(x) = c 1x 1+ c 2x 2+… + c m x m + c m+1 x m+1 +… + c n x n ??max(3,1)x 1+ a 1 m+1 x m+1 + … + a 1n x n = b 1(3.2)x 2+ a 2m+1 x m+1 + … + a 2n x n = b 2………………………………………………………….x m + a mm+1 x m+1 + … + a mn x n = b m x j ³ 0, j=1,2,…, n.(3.3)

Feltétel Mátrix

az első m oszlopban m x m méretű egységalmátrixot tartalmaz, ezért AB =(A1, A2,…, Am)=E.

A szimplex módszer (elmélet) alapvető lépései

Mivel az egységbázis mátrix a feltételmátrix első m oszlopában található, a kezdeti alapterv első m koordinátája alap, az utolsó n - m koordináta pedig nem alap, azaz nullával egyenlő:

o = (x1, x2,…, xm, 0,…, 0).

Az xo pont koordinátáit behelyettesítve a (3.2) megszorításokba, és figyelembe véve, hogy m+1 =... = xn = 0, megkapjuk: x1 = b1, x2 = b2,..., xm = bm, hogy xoB = b.

Tehát a kezdeti alapterv így néz ki:

xo = (b1,…, bm, 0,…, 0),

ahol сБ = (с1,…, сm) egy vektor, amely az alapváltozók célfüggvényének együtthatóiból áll.

1 lépés.

A (3.2) kényszerrendszerből az alapváltozókat nem alapváltozókkal fejezzük ki:

x 1= b 1 - a 1 m+1 x m+1 - ... - a 1n x n, x 2= b 2- a 2m+1 x m+1 - ... - a 2n x n, ………………………………………… x m = b m - a mm+1 x m+1 - ... - amn x n, (3.4)

Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a (3.1) célfüggvénybe.

f(x)=c 1(b 1- a 1 m+1 x m+1 - ... - a 1n x n) + c 2(b 2- a 2m+1 x m+1 - ... - a2n x n ) +

………………………………………………..

C m (b m - a mm+1 x m+1 - ... - a mn x n ) + c m+1 x m+1 +… +cn x n .

Csoportosítsuk a kifejezéseket ugyanazokkal a nem alapvető változókkal:

f (x) = - (c1 a1m+1 + c2 a2m+1 + … + cm amm+1 - cm+1).xm+1 - …-

- (c 1 a 1n + c 2 a 2n + … + c m a mn - c n). x n. (3.5)

Vegye figyelembe, hogy a zárójelben lévő kifejezések úgy írhatók fel

c 1 a 1 m+1 + c 2 a 2m+1 + … + c m a mm+1 - c m+1 = < cB , A m+1 > - c m+1 = D m+1 ,

…………………………………………………………………………………………………………………………1 a 1n + c 2 a 2n + … + c m a mn - c n= < cB , A n > - c n= D n ,

hol azzal B = (val 1,…, Val vel m ) egy vektor, amely a célfüggvény együtthatóiból áll az alapváltozókra, A m+1 ,…, A n - az A feltételmátrix oszlopai az x nem alapváltozókhoz m+1,…, x n .

Kifejezések

D j = < сB , A j > - cj , j = m+1,…, n,(3,6)

szimplex különbségeknek vagy szimplex alapvonal becsléseknek nevezzük.

A (3.6) figyelembevételével a célfüggvény (3.5) képlete átírható a formába

Ez a képlet lehetővé teszi az alapterv optimálisságának előjelét. Ha minden szimplex becslés nem alapszámokkal D j ³ 0, akkor az aktuális alapterv optimális.

Valójában, ha legalább egy becslés, például ?k, szigorúan negatív, akkor a megfelelő xk nem alapváltozót adjuk meg. pozitív érték, és az x terv többi nem alapváltozója, feltételezve egyenlő nullával, kapunk

f(x) = f(x o ) - D k x k =f(x o ) + | D k | x k > f(x o ),(3.7)

vagyis ebben az esetben x terv o lehetne javítani.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az egységalapú oszlopoknak megfelelő szimplex becslések mindig 0-val egyenlőek.

2. lépés. Az alapváltozókba bevezetett változó megkeresése.

Ahogy a (3.7) képletből következik, a célfüggvény növelhető, ha a bázisváltozókba egy x nem alapváltozót viszünk be (pozitívvá) j , ami negatív értékelésnek felel meg? j < 0. Если таких оценок несколько, то обычно в состав базисных вводят небазисную переменную хNak nek a legnagyobb abszolút negatív becsléssel, vagyis olyannal, amelyre

ahol D j =< CБ, Aj >- cj, j = m+1,…, n (nem alapváltozók száma).

Így kapjuk meg új terv

x1 = (x1,…, xm,0,…, xk,…, 0,…, 0).

De az x1 nem alapterv, mivel a pozitív koordináták száma egyenlő m+1, a nulla koordináták száma egyenlő n - m -1.

Új sarokpont megszerzéséhez állítsuk az egyik alapváltozót nullára, azaz eltávolítunk egy változót az alapváltozók közül.

3. lépés

Helyettesítsük be az x1 pont koordinátáit a (3.4) feltételekbe, és vegyük figyelembe, hogy az xj változóknak nem negatívaknak kell lenniük.

x 1= b 1- a 1k x k ³ 0 x 2= b 2- a 2k x k ³ 0 ……………………………. x m = b m - a mk xk ³ 0(3.8)

A (3.7) képletből világos, hogy minél nagyobb x értéke Nak nek > 0, annál jobban nő a célfüggvény. Próbáljuk meg megtalálni x maximális értékét Nak nek , anélkül, hogy megsértené a probléma korlátait és teljesítené a nem-negativitás feltételeit (3.8).

A (3.8) egyenlőtlenségek átírhatók így

A 1k x k £ b 1 a 2k x k £ b 2 ……………… a mk x k £ b m (3.9)

A (3.9) egyenlőtlenségrendszer megoldása során két eset lehetséges: x együtthatók között Nak nek nincs pozitív: a ik £ 0, i=1,2,…, m. Mivel b én > 0, akkor a (3.9) egyenlőtlenségek bármely tetszőlegesre teljesülnek nagyon fontos x Nak nek. Ez arra utal, hogy a célfüggvény nincs korlátozva a tervek halmazára (max f(x) ® ¥ ) és ezért nincs megoldás az LP feladatra.) x együtthatók között Nak nek vannak pozitív a ik > 0. A (3.9) egyenlőtlenségrendszer megoldásával kapjuk:

x Nak nek £ b én /a ik , minden i-re amiért aik > 0.(3.10)

Legnagyobb x érték Nak nek , amely eleget tesz minden korlátozásnak (3.10), egyenlő az egyenlőtlenségek jobb oldalán lévő legkisebb arányszámmal

x Nak nek =min(b én /a ik ) minden i: aik > 0.

Legyen a minimum elérve i = r-nél, azaz x-nél Nak nek ? b r /a rk . Ez azt jelenti, hogy az x bázisváltozó r feltételek mellett (3.8) eltűnik.

x r = b r - a rk x k = b r - a rk (b r /bárka ) = 0, 1 ??r ??m.

Változó x r ki van zárva az alapból. Ennek eredményeként az alap- és nem-alapváltozók új összetételét kaptuk, amely egy alap- és egy nem-alapkoordinátában különbözik az eredetitől.

4. lépés

Az új alapvonal így fog kinézni

1= (x 1, x 2,…, 0,…, x m , 0,…, xk ,0,…, 0),

ahol az x helyen r ára nulla, és x Nak nek > 0.ez az alapterv egy új alapmátrixnak felel meg:

Egy új x1 sarokpont koordinátáinak megtalálásához a kanonikus LP feladatot egy új preferált formára redukáljuk, azaz olyan formára, hogy a mátrix azonossággá (= E) válik. Ehhez az Ak oszlopot egységábrázolásra kell konvertálni,

R-edik sor,

amelyben az együttható = 1, és az összes többi elem =0, i ??r. Ez a rendszer egyenletein végzett elemi műveletek segítségével érhető el. A megoldás akkor ér véget, ha egy bizonyos pontra minden becslés Dj ³ 0.

3. A szimplex módszer megvalósítása példa segítségével

Mutassuk be a szimplex módszer alkalmazását a 2. fejezetből vett példán keresztül.

Mérlegeljük kanonikus probléma LP

f(x) = x 1+ 2x 2 +0 x 3 +0x 4max(3,11)-x 1+ 2x 2+x 3= 4,(3,12)3 x 1 +2x 2+x 4= 12,(3,13)x j? 0, j = 1,2,3,4.(3,14)

Feltétel mátrix A = (A 1, A 2, A 3, A 4), Ahol

Célvektor c =(c1, c2, c3, c4)=(1, 2, 0, 0); jobb oldalak vektora b=(b1, b2) = (4, 12).

0 lépés. A kiinduló sarokpont (alapvonal) megkeresése.

A feladatnak előnyös formája van, mivel az egyenletek jobb oldala pozitív, az A3, A4 feltétel mátrixának oszlopai pedig egységnyi részmátrixot alkotnak. Ez azt jelenti, hogy a kezdeti bázismátrix = (A3, A4); x3 és x4 alapváltozók, x1 és x2 nem alapváltozók, cB = (c3, c4) = (0, 0).

A kezdeti alapvonal így néz ki

x0 = (0, 0, x3, x4) = (0, 0, 4, 12); f(xo) = 0.

1 lépés. Az alapterv optimálisságának ellenőrzése.

Számítsunk szimplex becsléseket nem alapváltozókra a (3.6) képlet segítségével!

D1 =< cБ, A1 >- c1 = 0 · (-1) + 0 · 3 - 1 = -1.

D2 =< cБ, A2 >- c2 = 0 · 2 + 0 · 2 - 2 = -2.

Mivel a becslések negatívak, az xo terv nem optimális. Új alapvonalat (szomszédos sarokpontot) fogunk keresni, amelynek a célfüggvény értéke nagyobb.

2. lépés. A bázisba bevitt változó megkeresése.

A célfüggvény növelhető, ha az x1 vagy x2 nem alapváltozók egyike szerepel az alapváltozók között (pozitívan), mivel mindkét becslés Dj< 0. Обычно в состав базисных вводят небазисную переменную с наибольшей по модулю отрицательной оценкой, поэтому будем вводить в базис переменную x2.

3. lépés A bázisból származtatott változó definíciója.

Az x2 változó bázisba való beírása után az új terv form1 = (0, x2, x3, x4) lesz.

Ez a terv nem alap, mivel csak egy nulla koordinátát tartalmaz, ami azt jelenti, hogy az x3 vagy x4 változók egyikét nullává kell tenni (az alapból kizárni).

Helyettesítsük be az x1 = (0, x2, x3, x4) tervkoordinátákat a feladatkényszerbe. Kapunk

Fejezzük ki innen az x3 és x4 alapváltozókat a bázisba bevitt x2 változón keresztül.

x 3= 4-2x 2,(3,15)x 4= 12 - 2x2 .(3.16)

Tehát az x változók 3és x 4 nem negatívnak kell lennie, akkor egyenlőtlenségi rendszert kapunk

4-2x 2 ³ 0 ,(3,17)12 - 2x 2 ³ 0 .(3.18)

Hogyan több értéket x 2, annál inkább növekszik a célfüggvény. Keressük meg az új bázisváltozónak azt a maximális értékét, amely nem sérti a feladat korlátait, azaz teljesíti a (3.17), (3.18) feltételeket.

Írjuk át a formába az egyenlőtlenségeket

x2 £ 4,

x2 £ 12,

ahol az x maximális értéke 2= min (4/2, 12/2) = 2. Ennek az értéknek a (3.15), (3.16) kifejezések behelyettesítése x-re 3és x 4, x-et kapunk 3= 0. Ezért x 3 alapból származik .

4. lépésAz új alapvonal koordinátáinak meghatározása.

Az új alapvonal (szomszédos sarokpont):

x 1= (0, x2, 0.x 4).

Ennek a pontnak az alapja az A2 és A4 oszlopokból áll, tehát = (A2, A4). Megjegyezzük, hogy ez a bázis nem unitárius, mivel az A2 vektor = (2, 2), ezért a (3.11) - (3.14) feladatnak nincs preferált formája az új bázishoz képest. Alakítsuk át a (3.12), (3.13) feladat feltételeit úgy, hogy az az x2, x4 új alapváltozókra nézve a preferált formát vegye fel, vagyis hogy az x2 változó együtthatóval szerepeljen az első egyenletben. egyenlő eggyel, és nincs jelen a második egyenletben. Írjuk át a feladat egyenleteit

x1+2x2+x3 = 4, (p1)

x1 +2x2 + x4 = 12. (p2)

Osszuk el az első egyenletet x2 együtthatójával. Új egyenletet kapunk = p1 / 2, amely ekvivalens az eredetivel

1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2. ()

Ezt az egyenletet, amelyet feloldásnak nevezünk, arra használjuk, hogy kiküszöböljük az x2 változót a második egyenletből. Ehhez meg kell szorozni az egyenletet 2-vel, és ki kell vonni a p2-ből. A = p2 - 2 = p2 - p1 egyenletet kapjuk.

x1 - x3 + x4 = 8. ()

Ennek eredményeként az eredeti probléma (3.11) - (3.14) új „preferált” reprezentációját kaptuk az x2, x4 új bázisváltozókra vonatkozóan:

f(x) = x1+ 2x2 + 0 x3 + 0 x4® max

1/2 x1+ x2+ 1/2 x3 = 2. ()

x1 - x3 + x4 = 8. ()

xj³ 0, j = 1,2,3,4.

Ha itt helyettesítjük az új alapterv x1 = (0, x2,0, x4) ábrázolását, azonnal megtaláljuk a koordinátáit, mivel az alapváltozók értéke megegyezik az egyenletek jobb oldalával

x1 = (0,2,0,8); f(x1)=4.

Ezzel befejeződik a szimplex módszer első iterációja. Ezután a probléma megoldásának folyamata az 1. lépéstől folytatódik, amely a talált terv optimálisságának ellenőrzéséből áll. A megoldás akkor ér véget, amikor az aktuális alapterv összes szimplex becslése nem negatív.

A második iterációt nem az első séma szerint hajtjuk végre, mivel kényelmesebb a szimplex módszer összes számítását elvégezni táblázatos formában.

szimplex változós kanonikus programozás

Irodalom

1. Ökonometria: Tankönyv / Szerk. I.I. Eliseeva. - M.: Pénzügy és Statisztika, 2002. - 344 p.: ill.

Workshop az ökonometriáról: Proc. pótlék / I.I. Eliseeva, S.V. Kurysheva, N.M. Gordeenko és mások; Szerk. I.I. Eliseeva. - M.: Pénzügy és Statisztika, 2002. - 192 p.: ill.

Kremer N.Sh., Putko B.A. Ökonometria: Tankönyv egyetemek számára. - M.: UNITY-DANA, 2002. - 311 p.

Magnus Y.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Ökonometria. Kezdő tanfolyam: tankönyv. - M.: Delo, 2001. - 400 p.

Katyshev P.K., Magnus Y.R., Peresetsky A.A. Problémák gyűjteménye ehhez kezdeti tanfolyamökonometria. - 3. kiadás, rev. - M.: Delo, 2003. - 208 p.

Dougherty K. Bevezetés az ökonometriába. - M.: Pénzügy és Statisztika, 1999.

Johnston J. Ökonometriai módszerek. - M.: Statisztika, 1980.

Kane E. Gazdasági statisztikaés ökonometria. Bevezetés a kvantitatívba gazdasági elemzés. Vol. 1. - M.: Statisztika, 1977.

Lange O. Bevezetés az ökonometriába / Ford. lengyelből - M.: Haladás, 1964.

Lizer S. Ökonometriai módszerek és problémák. - M.: Statisztika, 1971.

Malenvo E. Az ökonometria statisztikai módszerei. - M.: Statisztika, 1976.

Tintner G. Bevezetés az ökonometriába. - M.: Pénzügy és Statisztika, 1965.

Ayvazyan S.A., Mkhitaryan V.S. Alkalmazott statisztikaés az ökonometria alapjai: tankönyv egyetemek számára. - M.: EGYSÉG, 1998.

Ventzel E.S. Valószínűségszámítás: Tankönyv egyetemek számára. - 6. kiadás - M.: Feljebb. iskola, 1999.

3. előadás. Simplex táblázatok. A szimplex módszer algoritmusa.

§ 3 EGYSZERŰ MÓDSZER

3.1. A szimplex módszer általános ötlete. Geometriai értelmezés

A grafikus módszer a lineáris programozási feladatok nagyon szűk osztályára alkalmazható: hatékonyan képes megoldani legfeljebb két változót tartalmazó feladatokat. Figyelembe vették a lineáris programozás alaptételeit, amelyekből az következik, hogy ha egy lineáris programozási feladatnak van optimális megoldása, akkor az megfelel a megoldási poliéder legalább egy sarokpontjának, és egybeesik a megoldási poliéder legalább egyik megengedett alapmegoldásával. korlátok rendszere. Bármely lineáris programozási probléma megoldásának módját jelölték meg: felsorolni a kényszerrendszer véges számú megvalósítható alapmegoldását, és ezek közül kiválasztani azt, amelyiken a célfüggvény az optimális megoldást adja. Geometriailag ez megfelel a megoldási poliéder összes sarokpontjának számbavételének. Egy ilyen kimerítő keresés végső soron optimális megoldáshoz vezet (ha létezik), de gyakorlati megvalósítása óriási nehézségekkel jár, hiszen a valós problémák esetében a megvalósítható alapmegoldások száma, bár véges, rendkívül nagy lehet.

A keresendő megengedhető alapmegoldások száma csökkenthető, ha a keresést nem véletlenszerűen, hanem a lineáris függvény változásait figyelembe véve, pl. biztosítva, hogy mindenki következő megoldás„jobb” (vagy legalábbis „nem rosszabb”) volt, mint az előző, a lineáris függvény értékei szerint (növelve a maximum megtalálásakor, csökkentve a minimum megtalálásakor
). Ez a keresés lehetővé teszi, hogy csökkentse a lépések számát, amikor megtalálja az optimálisat. Magyarázzuk meg ezt egy grafikus példával.

Legyen a megvalósítható megoldások tartománya sokszöggel ábrázolva ABCDE. Tegyük fel, hogy a sarokpontja A megfelel az eredeti megvalósítható alapmegoldásnak. A véletlenszerű kereséshez a sokszög öt sarokpontjának megfelelő öt megvalósítható alapmegoldást kell tesztelni. A rajzból azonban jól látszik, hogy a felső után A jövedelmező elmenni szomszédos csúcs BAN BEN, majd az optimális pontig VAL VEL.Öt helyett csak három csúcson mentünk keresztül, következetesen javítva a lineáris függvényt.

A megoldás egymás utáni javításának ötlete egy univerzális módszer alapját képezte a lineáris programozási problémák megoldására - szimplex módszer vagy a terv szekvenciális javításának módszere.

A szimplex módszer geometriai jelentése a kényszerpoliéder egyik csúcsából (amelyet kezdeti csúcsnak nevezünk) szekvenciális átmenetből áll a szomszédosba, amelyben a lineáris függvény a legjobb (legalábbis nem a legrosszabb) értéket veszi fel a korláthoz képest. a probléma célja; az optimális megoldás megtalálásáig - az a csúcs, ahol a célfüggvény optimális értékét elérjük (ha a feladatnak van végső optimuma).

A szimplex módszert először J. Danzig amerikai tudós javasolta 1949-ben, de még 1939-ben a módszer ötleteit L. V. orosz tudós dolgozta ki. Kantorovics.

A szimplex módszer, amely lehetővé teszi bármely lineáris programozási probléma megoldását, univerzális. Jelenleg számítógépes számításokhoz használják, de a szimplex módszerrel egyszerű példák kézzel is megoldhatók.

A szimplex módszer - a megoldás szekvenciális javítása - megvalósításához elsajátításra van szükség három fő elem:

módszer egy probléma kezdeti megvalósítható alapvető megoldásának meghatározására;

a legjobb (pontosabban, nem rosszabb) megoldásra való áttérés szabálya;

kritérium a talált megoldás optimálisságának ellenőrzésére.

A szimplex módszer használatához a lineáris programozási feladatot le kell redukálni kanonikus formára, azaz. a kényszerrendszert egyenletek formájában kell bemutatni.

A szakirodalom kellően részletesen leírja: a kezdeti támogatási terv (kezdetben elfogadható alapmegoldás) megtalálása, mesterséges bázis módszer alkalmazása is, az optimális támogatási terv megtalálása, feladatok megoldása szimplex táblák segítségével.

3.2. A szimplex módszer algoritmusa.

Tekintsük a ZLP szimplex módszerrel történő megoldását, és mutassuk be a maximalizálási probléma kapcsán.

1. A feladat feltételei alapján összeállítjuk annak matematikai modelljét.

2. Az elkészült modellt kanonikus formára konvertáljuk. Ebben az esetben egy kezdeti referenciatervvel rendelkező alapot lehet azonosítani.

3. A probléma kanonikus modelljét szimplex tábla formájában írjuk fel úgy, hogy minden szabad tag nem negatív. Ha a kezdeti referenciaterv van kiválasztva, folytassa az 5. lépéssel.

Szimplex tábla: egy kényszeregyenletrendszert és egy célfüggvényt a kezdeti alaphoz képest feloldott kifejezések formájában kell megadni. A célfüggvény együtthatóit tartalmazó sor
, hívott
–karakterlánc vagy célfüggvény karakterlánc.

4. Keresse meg a kezdeti referenciatervet szimplex transzformációk végrehajtásával a minimális szimplex relációknak megfelelő pozitív feloldó elemekkel, anélkül, hogy figyelembe venné az elemek előjeleit.
– vonalak. Ha a transzformációk során egy 0 sorral találkozunk, amelynek a szabad tag kivételével minden eleme nulla, akkor a probléma kényszeregyenletrendszere inkonzisztens. Ha olyan 0 sorral találkozunk, amelyben a szabad tagon kívül nincs más pozitív elem, akkor a restriktív egyenletrendszernek nincsenek nemnegatív megoldásai.

A (2.55), (2.56) rendszer redukcióját új alapra fogjuk hívni szimplex transzformáció . Ha egy szimplex transzformációt formális algebrai műveletnek tekintünk, akkor észrevehető, hogy a művelet eredményeként a szerepek újraelosztásra kerülnek egy bizonyos rendszerben lévő két változó között. lineáris függvények: az egyik változó függőről függetlenre, a másik pedig, ellenkezőleg, függetlenről függőre. Ez a művelet az algebrában ún Jordan kieső lépés.

5. A talált kezdeti támogatási tervet megvizsgáljuk az optimálisság szempontjából:

a) ha bent van
– nincs negatív elem a sorban (nem számítva a szabad futamidőt), akkor a terv optimális. Ha nincsenek nullák, akkor csak egy optimális terv van; ha van legalább egy nulla, akkor végtelen sok optimális terv van;

b) ha c
– legalább egy negatív elem van a sorban, amely megfelel a nem pozitív elemek oszlopának, akkor
;

c) ha benne van
– a sorban van legalább egy negatív elem, az oszlopában pedig legalább egy pozitív elem, akkor át lehet lépni egy új referenciatervre, amely közelebb áll az optimálishoz. Ehhez a megadott oszlopot feloldó oszlopnak kell kijelölni, a minimális szimplex arányt használva meg kell keresni a feloldó sort és végrehajtani egy szimplex transzformációt. Az így kapott referenciatervet ismét megvizsgáljuk az optimálisság szempontjából. A leírt folyamatot addig ismételjük, amíg el nem születik egy optimális terv, vagy amíg a probléma megoldhatatlansága meg nem állapítható.

A bázisban szereplő változó együtthatók oszlopát feloldásnak nevezzük. Így a bázisba bevitt változó kiválasztása (vagy egy feloldó oszlop kiválasztása) a negatív elem által
-strings, növelő funkciót biztosítunk
.

Kicsit nehezebb meghatározni a bázisból kizárandó változót. Ehhez összeállítják a szabad tagok arányát a feloldó oszlop pozitív elemeihez (az ilyen kapcsolatokat szimplexnek nevezik), és megkeresik közülük a legkisebbet, amely meghatározza a kizárt változót tartalmazó sort (feloldást). A minimum szimplex reláció szerinti bázisból kizárt változó (illetve a feloldósor választása) a már megállapított báziskomponensek pozitivitását garantálja az új referenciatervben.

Az algoritmus 3. pontjában feltételezzük, hogy a szabad kifejezések oszlop összes eleme nem negatív. Ez a követelmény nem szükséges, de ha teljesül, akkor minden további szimplex transzformáció csak pozitív feloldóelemekkel történik, ami kényelmes a számításokhoz. Ha a szabad kifejezések oszlopban negatív számok vannak, akkor a feloldó elemet a következőképpen kell kiválasztani:

1) nézd meg például egy negatív szabad kifejezésnek megfelelő sort – egy sort, és jelöljünk ki benne egy negatív elemet, és a megfelelő oszlopot tekintjük megoldónak (feltételezzük, hogy a probléma kényszerei konzisztensek);

2) hozza létre a szabad kifejezések oszlopának elemeinek viszonyait a feloldó oszlop megfelelő, azonos előjelű elemeihez (simplex relációk);

3) válassza ki a legkisebb szimplex relációt. Ez határozza meg az engedélyezési karakterláncot. Legyen ez pl. R-vonal;

4) a feloldó oszlop és sor metszéspontjában egy felbontó elem található. Ha az elem megengedő –karakterláncok, akkor a szimplex transzformáció után ennek a karakterláncnak a szabad tagja lesz pozitív. BAN BEN másképp a következő lépésben ismét rátérünk -vonal. Ha a probléma megoldható, akkor bizonyos számú lépés után nem marad negatív elem a szabad kifejezések oszlopában.

Ha egy bizonyos valós termelési helyzetet PLP formába helyezünk, akkor a modellbe a kanonikus formára konvertálás során bevezetendő járulékos változóknak mindig van bizonyos gazdasági jelentése.

Numerikus módszerek 1

Nemlineáris egyenletek megoldása 1

1. problémanyilatkozat

Gyökér lokalizáció 2

Gyökérfinomítás 4

A gyökérfinomítás módszerei 4

Módszer félosztály 4

Akkordmódszer 5

Newton-módszer (tangens módszer) 6

Numerikus integráció 7

7. problémameghatározás

Téglalap 8. módszer

Trapéz módszer 9

Parabola-módszer (Simpson-képlet) 10

Numerikus módszerek

A gyakorlatban a legtöbb esetben nem lehet pontos megoldást találni a felmerült matematikai problémára. Ez azért fordul elő, mert a kívánt megoldás általában nem elemi vagy más ismert függvényekben fejeződik ki. Ezért a numerikus módszerek nagy jelentőséget kaptak.

Alatt numerikus módszerek olyan problémák megoldási módszereire utal, amelyek aritmetikára és néhány számokkal kapcsolatos logikai műveletre vezethetők vissza. A feladat összetettségétől, a megadott pontosságtól és az alkalmazott módszertől függően hatalmas számú műveletre lehet szükség, és itt nem nélkülözheti a nagy sebességű számítógépet.

A numerikus módszerrel kapott megoldás általában közelítő, azaz tartalmaz némi hibát. A hibaforrások a probléma hozzávetőleges megoldásában a következők:

a megoldási módszer hibája;

kerekítési hibák a számokkal végzett műveleteknél.

A módszerhibát az okozza mert a numerikus módszer általában egy másik, egyszerűbb problémát old meg, amely közelíti (közelíti) az eredeti problémát. Egyes esetekben a numerikus módszer az végtelen folyamat, melyik a határban a kívánt megoldáshoz vezet. A folyamat egy lépésben megszakadva közelítő megoldást ad.

Kerekítési hiba a feladat megoldása során végrehajtott aritmetikai műveletek számától függ. Ugyanazon probléma megoldására különféle numerikus módszerek használhatók. A kerekítési hibákra való érzékenység jelentősen függ a választott módszertől.

Nemlineáris egyenletek megoldása Feladatfelvetés

A nemlineáris egyenletek egy ismeretlennel való megoldása az egyik fontos matematikai probléma, amely a fizika, a kémia, a biológia és a tudomány és a technológia más területein felmerül.

BAN BEN általános eset nemlineáris egyenlet egy ismeretlennel ezt írhatjuk:

f(x) = 0 ,

Ahol f(x) – az argumentum valamilyen folytonos függvénye x.

Bármilyen szám x 0 , ahol f(x 0 ) ≡ 0, az egyenlet gyökének nevezzük f(x) = 0.

A nemlineáris egyenletek megoldására szolgáló módszereket a egyenes(analitikus, precíz) és ismétlődő. A közvetlen módszerek lehetővé teszik, hogy a megoldást egy bizonyos reláció (képlet) formájában írjuk le. Ebben az esetben a gyökök értékeit ezzel a képlettel lehet kiszámítani véges számú aritmetikai műveletben. Hasonló módszereket fejlesztettek ki trigonometrikus, logaritmikus, exponenciális és egyszerű algebrai egyenletek megoldására is.

A gyakorlatban előforduló nemlineáris egyenletek túlnyomó többsége azonban nem oldható meg közvetlen módszerekkel. Még a negyedik fokozatnál magasabb algebrai egyenletre sem lehet megkapni analitikus megoldás képlet formájában -val véges szám aritmetikai műveletek. Minden ilyen esetben olyan numerikus módszerekhez kell fordulni, amelyek lehetővé teszik a gyökerek hozzávetőleges értékeinek tetszőleges pontosságú meghatározását.

A numerikus megközelítéssel a nemlineáris egyenletek megoldásának problémája két szakaszra oszlik: lokalizáció gyökerek (szétválasztása), azaz. ilyen szegmensek keresése a tengelyen x, amelyen belül egyetlen gyökér található, és a gyökerek tisztázása, azaz a gyökerek hozzávetőleges értékeinek kiszámítása adott pontossággal.

A gyökerek lokalizációja

Az egyenlet gyökeinek szétválasztására f(x) = 0 szükség van egy olyan kritériumra, amely lehetővé teszi annak ellenőrzését, hogy először is a vizsgált szegmensen [ a,b] van egy gyök, másodszor pedig, hogy ez a gyök az egyetlen a jelzett szegmensben.

Ha a funkció f(x) folyamatos a [ a,b], a szegmens végén pedig értékei különböző jelek, azaz

f(a)  f(b) < 0 ,

akkor ezen a szegmensen van legalább egy gyökér.

1. ábra: Gyökerek szétválasztása. Funkció f(x) nem monoton a [ a,b].

Ez a feltétel, amint az (1) ábrán látható, nem biztosítja a gyökér egyediségét. Elegendő kiegészítő feltétel, amely biztosítja a gyökér egyediségét a szegmensen [ a,b] az a követelmény, hogy a függvény monoton legyen ezen az intervallumon. Egy függvény monotonitásának jeleként használhatjuk az első derivált előjelének állandóságának feltételét. f′( x) .

Így ha az intervallumon [ a,b] a függvény folytonos és monoton, és értékei a szegmens végén eltérő előjelűek, akkor a vizsgált szegmensen egy és csak egy gyök van.

Ezzel a kritériummal elválaszthatja a gyökereket elemző módon, egy függvény monotonitási intervallumainak megtalálása.

A gyökérszétválasztás elvégezhető grafikusan, ha lehetséges a függvény grafikonja y=f(x) . Például az (1) ábrán látható függvény grafikonja azt mutatja, hogy ez a függvény egy intervallumon három monotonitási intervallumra osztható, és ezen az intervallumon három gyöke van.

A gyökérszétválasztás is elvégezhető táblázatosút. Tegyük fel, hogy a (2.1) egyenlet minden minket érdeklő gyöke a [ A, B]. Ennek a szegmensnek (gyökér keresési intervallum) kiválasztása történhet például egy konkrét fizikai vagy egyéb probléma elemzése alapján.

Rizs. 2. A gyökérhonosítás táblázatos módszere.

Kiszámoljuk az értékeket f(x) pontból kiindulva x=A, néhány lépéssel jobbra haladva h(2. ábra). Amint egy pár szomszédos érték észlelhető f(x) különböző előjelekkel, tehát az argumentum megfelelő értékei x a gyökeret tartalmazó szegmens határainak tekinthető.

Az egyenletek gyökereinek szétválasztására szolgáló táblázatos módszer megbízhatósága a függvény természetétől függ f(x) és a kiválasztott lépésméreten h. Valóban, ha kellően kis értékre h(h<<|B−A|) az aktuális szakasz határain [ x, x+h] funkciót f(x) azonos előjelű értékeket vesz fel, akkor természetes, hogy elvárjuk, hogy az egyenlet f(x) = 0-nak nincs gyökere ezen a szegmensen. Ez azonban nem mindig van így: ha a függvény monotonitásának feltétele nem teljesül f(x) a szegmensen [ x, x+h] lehet az egyenlet gyöke (3a. ábra).

3a ábra 3b ábra

A szegmensen több gyökér is található [ x, x+h] is megjelenhet, ha a feltétel teljesül f(x)  f(x+ h) < 0 (3b. ábra). Az ilyen helyzetekre számítva meglehetősen kicsi értékeket kell választania h.

A gyökerek ily módon történő elválasztásával lényegében hozzávetőleges értékeit kapjuk a kiválasztott lépésig. Tehát ha például a lokalizációs szegmens közepét vesszük a gyökér hozzávetőleges értékének, akkor ennek az értéknek az abszolút hibája nem haladja meg a keresési lépés felét ( h/2). Az egyes gyökerek közelében lévő lépések csökkentésével elvileg tetszőleges előre meghatározott értékre növelhető a gyökérszétválasztás pontossága. Ez a módszer azonban nagy mennyiségű számítást igényel. Ezért a probléma paramétereinek változtatásával végzett numerikus kísérletek során, amikor ismételten gyökérkeresésre van szükség, egy ilyen módszer nem alkalmas a gyökerek finomítására, és csak a gyökerek elkülönítésére (lokalizálására), pl. kezdeti közelítések meghatározása hozzájuk. A gyökérfinomítást más, gazdaságosabb módszerekkel végezzük.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete