A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálási problémáinak megoldása eredményeként úgy, hogy a deriváltot a növekmény és az argumentum növekmény arányának határaként határoztuk meg, megjelent egy derivált táblázat, és pontosan. bizonyos szabályokat különbségtétel. A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. További származékok elemi függvények a deriváltak táblázatában találjuk, a szorzat, összeg és hányados származékainak képletei pedig a differenciálás szabályaiban találhatók. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy „X” deriváltja eggyel egyenlő, a szinusz deriváltja pedig koszinuszral. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg származékaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője kivehető a derivált előjelből:

Ha mégis kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, akkor általában tisztázódnak a származéktáblázat és a legegyszerűbb differenciálási szabályok megismerése után. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Az ív koszinusz származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Származék exponenciális függvény

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. derivált algebrai összeg függvények egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény egy állandó taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Amikor egy szorzat származékát és hányadosát találjuk meg valódi problémákat Mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa található ezekre a származékokra"A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez tipikus hiba, amely a kezdeti szakaszban származékokat tanulmányozva, hanem ahogy több egy- és kétrészes példát is megoldunk átlagos diák már nem követi el ezt a hibát.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egyéb gyakori hiba - mechanikus megoldás komplex függvény deriváltja egyszerű függvény deriváltjaként. Ezért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk a származékokat találni egyszerű funkciók.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összeg differenciálásának szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és mások származékairól trigonometrikus függvények, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy terméket látunk, melynek egyik tényezője az Négyzetgyök attól a független változótól, amelynek deriváltját a deriválttáblázatban láttuk. A termék megkülönböztetésének szabálya szerint és táblázat értéke a négyzetgyök származékát kapjuk:

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.

Fogalmazzuk meg a derivált létezésének szükséges feltételét.

Tétel.

Ha egy függvény egy ponton differenciálható, akkor azon a ponton a függvény folytonos.

Vegyük észre, hogy fordítva nem igaz: a folytonos függvénynek nem lehet deriváltja.

Például a függvény folyamatos at
, de ennél az értéknél nem differenciálható, mivel azon a ponton
funkciógrafika
nincs érintő.

Így a funkció folytonossága szükséges, de nem elégséges állapot a függvény differenciálhatósága.

4.4. Függvények összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának deriváltja

Egy függvény deriváltjának közvetlen definíciós keresése (4.1. szakasz) gyakran bizonyos nehézségekkel jár. A gyakorlatban a függvényeket számos szabály és képlet segítségével különböztetjük meg.

Tétel.

Ha a funkciók
És
egy ponton differenciálható x, akkor ezen a ponton a függvények differenciálhatók
,
,(feltéve, hogy
) és ahol

;

;

,
.

Következmények

1.
, Ahol
.

2. Ha
, Azt.

3.
, Ahol
.

4.6. Komplex függvény származéka

Hadd
És
, Akkor
− komplex függvény köztes argumentummal ués független érvelés x.

Tétel.

Ha a funkciók
származéka van
azon a ponton x, és a funkció
származéka van
a megfelelő ponton
, akkor egy összetett függvény
azon a ponton x származéka van
, amelyet a következő képlettel találunk meg:

vagy
=.

Röviden a következőképpen fogalmazható meg ( láncszabály): egy komplex függvény deriváltja egyenlő az összetevői függvényei deriváltjainak szorzatával.

Ez a szabály tetszőleges számú (bizonyos) köztes argumentumot tartalmazó összetett függvényekre vonatkozik.

Tehát, ha
,
,
,
, Azt

4.7. Az inverz függvény deriváltja

Ha
És
− kölcsönösen inverz differenciálható függvények és
, Azt

vagy
,

azok. az inverz függvény deriváltja egyenlő az adott függvény deriváltjának reciprokával.

Írd le:

vagy .

Példa

Keresse meg egy függvény deriváltját
.

,
, Akkor
,
. Nekünk van
.

.

Így,
.

4.8. Származékos táblázat

A differenciálási folyamat kényelme és egyszerűsítése érdekében a fő elemi függvények deriváltjainak képleteit és a differenciálás szabályait táblázatban foglaljuk össze.

különbségtétel		különbségtétel
			,
	,
	, .
	,
	, Ha ,
	, Ha ,

4.9. Példák összetett függvények deriváltjainak megtalálására

A gyakorlatban leggyakrabban összetett függvények deriváltjait kell megtalálni. Példákkal mutatjuk be, hogyan találjuk meg az ilyen függvények deriváltjait.

1.
,k− szám.

;

2.
.

;

3.
.

;

4.
.

;

.

5.
.

;

6.
.

;

;

.

7.
.

.

8.
.

9.
.

10.
.

.

Komplex függvények differenciálása esetén a derivált táblázat átírható többre Általános nézet.

Képletek az alapvető elemi függvények és a köztes argumentumok megkülönböztetésére (
)

4.10. Paraméteresen meghatározott függvény deriváltja

A változók közötti függőség xÉs y paraméteresen adható meg két egyenlet formájában:

Ahol t− segédváltozó (paraméter).

Funkció
, amelyet ezen egyenletek határoznak meg, összetett függvénynek tekinthető
, Ahol
.

Egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint a következőket kapjuk:

.

Mert
, Azt

.

Példák

Keresse meg a függvények deriváltjait:

1.

.

2.

.

4.11 Implicit függvény deriváltja

Ha az implicit függvényt az egyenlet adja meg
, majd keresse meg a származékát nál nélÁltal x meg kell különböztetnünk ezt az egyenletet x, miközben mérlegeli nál nél függvényében x, majd oldja fel az eredményül kapott egyenletet ehhez képest , kifejezve keresztül xÉs nál nél.

Példa

Keresse meg a függvény deriváltját:
.

;

.

4.12. Logaritmikus differenciálás

Számos esetben, amikor sok tényező szorzatát vagy olyan hányadost kell megkülönböztetni, amelyben a számláló és a nevező is több tényezőből áll, valamint egy exponenciális függvény deriváltjainak megtalálásakor
, alkalmaz logaritmikus differenciálás.

A logaritmikus differenciálás módszere az, hogy -tól adott funkciót nál nél először találták meg természetes logaritmus, majd az eredmény megkülönböztetésre kerül:

.

A kapott egyenlőségből határozzuk meg :

.

Példák

Keresse meg a függvények deriváltjait:

1.
.

;

;

2.
.

;

;

;

.

4.13. Magasabb rendű származékok

Derivált
funkcióból
hívott elsőrendű származéka(vagy az első derivált), és függvénye x.

Az első derivált származékát ún másodrendű származék vagy a második származékot és jelöli
,
,.

Tehát definíció szerint

.

A második derivált a függvény változását gyorsítja.

A másodrendű derivált származékát ún harmadrendű származékés ki van jelölve
,
,.

És így,

.

Derivált n-rend (ill n származékát) a derivált származékának nevezzük ( n-1) Rendelés:

.

Szám n, amely a derivált sorrendjét jelzi, zárójelben van, hogy ne tévessze össze a kitevővel.

Az elsőnél magasabb rendű származékokat nevezzük magasabb rendű származékai.

A származék sorrendjét a negyediktől kezdve római számok vagy zárójelben lévő arab számok jelzik, pl.
vagy
stb.

Kérdések a vizsgához akadémiai fegyelem"A felsőbb matematika elemei"

a 230115 „Programozás számítógépes rendszerekben” szakterületre

2012\2013-as tanév.

Mátrixok és műveletek rajtuk.

(RÓL RŐL. A nulla mátrix olyan mátrix, amelynek minden eleme 0.

RÓL RŐL. Két azonos méretű mxn mátrixot hívunk egyenlő, ha be van kapcsolva metszéspontja az i-edik az egyik és a másik mátrix sora és j-edik oszlopa ugyanazt a számot tartalmazza; i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n.

Hadd A= (a ij) valamilyen mátrix, g pedig tetszőleges szám, akkor g A= (g a ij), vagyis ha az A mátrixot megszorozzuk a g számmal, akkor az A mátrixot alkotó összes számot megszorozzuk g számmal.

Legyen A és B azonos méretű A = (a ij), B = (b ij) mátrixok, akkor ezek A + B összege a c ij képletből meghatározott, azonos dimenziójú C = (c ij) mátrix. = a ij + b ij, vagyis két mátrix összeadásakor a bennük azonosan elhelyezkedő számok páronként összeadódnak.

Az A mátrix megszorozható B mátrixszal, azaz a C = AB mátrix akkor található, ha az A mátrix n oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával, és a C mátrixnak annyi sora lesz, mint az A mátrixnak. sorokat és annyi oszlopot tartalmaz, ahány mátrixnak B oszlopa van. A C mátrix minden elemét egy képlet definiálja.

A C szorzatmátrix c ij eleme egyenlő az összeggel az első faktormátrix i-edik sora elemeinek és a második faktormátrix j-edik oszlopának megfelelő elemeinek szorzata.

A determináns fogalma és tulajdonságai.

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Meghatározó (értékek) .

Döntő(vagy döntő) – az egyik alapfogalom lineáris algebra. Döntő mátrixok van polinom elemekből négyzetmátrix(vagyis olyat, amelyiknek ugyanannyi sora és oszlopa van). BAN BEN általános eset mátrix bármely kommutatív felett definiálható gyűrű, ebben az esetben a determináns ugyanannak a gyűrűnek egy eleme lesz.

TULAJDONSÁG 1. A determináns értéke nem változik, ha minden sorát oszlopra cseréljük, és minden sort egy azonos számú oszlopra cserélünk, azaz

TULAJDONSÁG 2. Egy determináns két oszlopának vagy két sorának átrendezése egyenértékű annak -1-gyel való szorzásával.

TULAJDONSÁG 3. Ha a determinánsnak két egyforma oszlopa vagy két egyforma sora van, akkor az egyenlő nullával.

TULAJDONSÁG 4. Egy determináns egy oszlopának vagy egy sorának minden elemét megszorozzuk tetszőleges k számmal, megegyezik a determináns ezzel a k számmal való szorzásával.

TULAJDONSÁG 5. Ha valamelyik oszlop vagy sor minden eleme nulla, akkor maga a determináns is nulla. Ez az ingatlan különleges eset előző (k=0-nál).

TULAJDONSÁG 6. Ha egy determináns két oszlopának vagy két sorának megfelelő elemei arányosak, akkor a determináns nulla.

TULAJDONSÁG 7. Ha a determináns n-edik oszlopának vagy n-edik sorának minden eleme két tag összege, akkor a determináns két determináns összegeként ábrázolható, amelyek közül az egyik az n-edik oszlopban, ill. , illetve az n-edik sorban van az említett feltételek közül az első, a másik pedig a második; a fennmaradó helyeken álló elemek megegyeznek a három meghatározó mérföldköveinél.

TULAJDONSÁG 8. Ha egy adott oszlop (vagy valamelyik sor) elemeihez hozzáadjuk egy másik oszlop (vagy másik sor) megfelelő elemeit, megszorozva bármely közös szorzó, akkor a determináns értéke nem változik. Például. További tulajdonságok determinánsok az algebrai komplement és a moll fogalmához kapcsolódnak. Valamely elem mollja a determináns, amelyből kapott által adottáthúzva azt a sort és oszlopot, amelynek metszéspontjában ez az elem található.

A determináns bármely elemének algebrai komplementere egyenlő ennek az elemnek az előjelével felvett molljával, ha annak a sornak és oszlopnak az összege, amelynek metszéspontjában az elem található, páros szám, és a ellentétes előjel, ha ez a szám páratlan.

Egy elem algebrai kiegészítését egy olyan nagybetűvel fogjuk jelölni, amelynek neve és száma megegyezik azzal a betűvel, amely magát az elemet jelöli.

TULAJDONSÁG 9. A determináns egyenlő bármely oszlop (vagy sor) elemeinek algebrai komplementereinek szorzatával. Más szóval, a következő egyenlőségek teljesülnek:

Determinánsok számítása.

A determinánsok számítása ismert tulajdonságaikon alapul, amelyek minden rendű determinánsra érvényesek. Ezek a tulajdonságok:

1. Ha átrendezi a determináns két sorát (vagy két oszlopát), a determináns előjelet vált.

2. Ha a determináns két oszlopának (vagy két sorának) megfelelő elemei egyenlőek vagy arányosak, akkor a determináns egyenlő nullával.

3. A determináns értéke nem változik, ha felcseréli a sorokat és az oszlopokat, megtartva a sorrendjüket.

4. Ha egy sor (vagy oszlop) minden elemének van közös tényezője, akkor az kivehető a determináns előjelből.

5. A determináns értéke nem változik, ha egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit hozzáadjuk egy sor (vagy oszlop) elemeihez, megszorozva ugyanazzal a számmal. Harmadrendű determinánsok esetén ez a tulajdonság felírható például így:

6. A másodrendű determinánst a képlet segítségével számítjuk ki

7. A harmadrendű determinánst a képlet segítségével számítjuk ki

Van egy kényelmes séma a harmadrendű determináns kiszámítására (lásd 1. és 2. ábra).

ábrán látható diagram szerint. Az 1. ábrán az összekapcsolt elemek termékeit saját előjelükkel vettük, és az ábra szerinti diagramnak megfelelően. 2 - hátlappal. A determináns értéke egyenlő a kapott hat szorzat algebrai összegével.

Lineáris egyenletrendszerek. Alapfogalmak és definíciók.

Rendszermр lineáris algebrai egyenletek Val veln ismeretlen(vagy, lineáris rendszer, szintén használt rövidítés SLAU) V lineáris algebra alakú egyenletrendszer

Rendszer lineáris egyenletek három változóból határozza meg a halmazt repülőgépek. A metszéspont a megoldás.

Itt van az egyenletek száma, és az ismeretlenek száma. x 1 , x 2 , …, x n- ismeretlenek, amelyeket meg kell határozni. a 11 , a 12 , …, a mn- rendszer együtthatók - és b 1 , b 2 , … b m - ingyenes tagok- ismertnek feltételezik . Együttható indexek ( a ij) rendszerek egyenletszámokat jelölnek ( én) és ismeretlen ( j), amelyen ez az együttható áll, ill .

Az (1) rendszert hívják homogén , ha minden szabad tagja egyenlő nullával ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), különben - heterogén.

Az (1) rendszert hívják négyzet , ha szám m számmal egyenlő egyenletek n ismeretlen.

Megoldás rendszerek (1) - készlet n számok c 1 , c 2 , …, c n, így mindegyik helyettesítése c én ahelyett x én rendszerbe (1) az összes egyenletét a identitások.

Az (1) rendszert hívják közös , ha van legalább egy megoldása, és nem ízületi, ha nincs egyetlen megoldása.

Az (1) típusú közös rendszernek egy vagy több megoldása lehet.

Megoldások c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) és c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) az (1) alakú közös rendszereket nevezzük különféle, ha az egyenlőségek legalább egyike megsértődik:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Az (1) alakú közös rendszert ún bizonyos , ha egyedi megoldása van; ha legalább két különböző megoldása van, akkor ún bizonytalan. Ha több egyenlet van, mint ismeretlen, akkor ezt nevezzük újradefiniált .

Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei (Cramer és Gauss módszer).

Gauss módszer - klasszikus megoldási mód lineáris rendszerek algebrai egyenletek (SLAU). Ez a szekvenciális elimináció módszere változók, amikor elemi transzformációkkal egy egyenletrendszert egy ekvivalens háromszögrendszerré redukálunk, amelyből az összes többi változót szekvenciálisan megtaláljuk, az utolsó (szám szerint) változótól kezdve .

Cramer-módszer (Cramer-szabály)- négyzetek megoldásának módja lineáris algebrai egyenletrendszerek nem nullával döntő fő mátrix(és az ilyen egyenletekre van egyedi megoldás). Nevén szólítva Gabriel Kramer(1704–1752), aki feltalálta a módszert.

Vektorok. Lineáris műveletek rajtuk.

A vektor egy irányított szegmens. Ha egy vektor eleje az A pontban van, a vége pedig a B pontban van, akkor a vektort AB-nek nevezzük. Ha a vektor eleje és vége nincs feltüntetve, akkor azt kisbetűvel jelöljük Latin ábécé a, b, c ,…. BA az AB vektorral ellentétes irányú vektort jelöl. Egy vektort, amelynek eleje és vége egybeesik, nullának nevezzük, és ō-val jelöljük. Iránya bizonytalan.

Egy vektor hossza vagy modulusa a kezdete és vége közötti távolság. Feljegyzések |AB| és |a| jelölje az AB és a vektorok moduljait.

A vektorokat kollineárisnak nevezzük, ha párhuzamosak ugyanazzal az egyenessel, és koplanárisnak, ha párhuzamosak ugyanazzal a síkkal.

Két vektort egyenlőnek mondunk, ha kollineárisak, azonos irányúak és egyenlő hosszúak.

A vektorokon végzett lineáris műveletek a következők:

1) egy vektor szorzása egy számmal (Egy a vektor és egy α szám szorzata egy α∙a. (vagy fordítva a∙α) vektor, amelynek modulusa egyenlő |α a| =| α||a|, és az irány egybeesik az a vektor irányával, ha α>0, és az ellenkezője, ha α< 0.

2) vektorok összeadása (A vektorok összege egy olyan vektor, amelyet jelölünk vektortagok sorozatának ezt az összeadási szabályt a szaggatott vonal lezárásának szabályának nevezzük. Abban az esetben, ha két vektor összege megegyezik a paralelogramma szabályával.

Az e egyenest, amelynek iránya adott, pozitívnak vesszük, e tengelynek nevezzük.

Az a i vektorok lineáris kombinációja egy a vektor, amelyet a képlet határoz meg, ahol néhány szám van.

Ha egy n vektorból álló rendszerre a i az egyenlőség

csak akkor igaz, ha ezt a rendszert lineárisan függetlennek mondjuk. Ha teljesül az (1) egyenlőség -re, amelyek közül legalább az egyik különbözik nullától, akkor az ai vektorrendszert lineárisan függőnek nevezzük. Például bármely kollineáris vektor, három koplanáris vektor, négy vagy több vektor a háromdimenziós térben mindig lineárisan függ.

Három lineárisan rendezett független vektorē 1, ē 2, ē 3 térben bázisnak nevezzük. A nem egysíkú vektorok rendezett hármasa mindig alapot képez. A térben bármely a vektor kibővíthető az ē 1, ē 2, ē 3 bázis szerint, azaz a bázisvektorok lineáris kombinációjaként ábrázolja a: a= xē 1 + yē 2 + zē 3, ahol x, y, z az a koordinátavektor az ē 1, ē 2, ē 3 bázisban van. Egy bázist ortonormálisnak nevezünk, ha a vektorai egymásra merőlegesek és egységnyi hosszúságúak. Az ilyen bázist i, j, k, azaz i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1) jelöljük.

5. példa: A vektorokat i, j, k ortonormális alapon adjuk meg koordinátákkal: a=(2;-1;8), e 1 = (1,2,3), e 2 = (1,-1,- 2), e 3 = (1,-6,0). Győződjön meg arról, hogy az e 1, e 2, e 3 hármas bázist képez, és ebben a bázisban keresse meg a vektor koordinátáit.

Megoldás. Ha a meghatározó Ha az e 1, e 2, e 3 vektorok koordinátáiból áll, nem egyenlő 0-val, akkor az e 1, e 2, e 3 vektorok lineárisan függetlenek, és ezért bázist alkotnak. Biztosítjuk, hogy = -18-4+3-12=-31 Így az e 1, e 2, e 3 hármas az alap.

Jelöljük az a vektor koordinátáit az e 1 , e 2 , e 3 bázisban x, y, z-vel. Ekkor a = (x,y,z) = xe 1 + yе 2 + zе 3. Mivel a = 2i – j +8k feltétellel e 1 = i +2j +3k, e 2 = i – j -2k, e 3 = i – 6j, akkor az a = xe1 + ye 2 + zе 3 egyenlőségből ez ebből következik, hogy 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k. Amint látható, a kapott egyenlőség bal oldalán lévő vektor egyenlő a jobb oldali vektorral, és ez csak akkor lehetséges, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek. Innen kapunk egy rendszert az x, y, z ismeretlenek megkeresésére:

Megoldása: x = 2, y = -1, z = 1. Tehát a = 2e 1 – e 2 + e 3 = (2,-1,1).

Vektorbontás. Skaláris szorzat vektorok.

Skaláris szorzat Néha belső termék- kettős műtét vektorok, melynek eredménye a szám ( skalár), független a koordináta-rendszertől, és jellemzi a faktorvektorok hosszát és a köztük lévő szöget. Ez a művelet a szorzásnak felel meg hossz x vektor be kivetítés y vektorból x vektorba. Ezt a műveletet általában úgy tekintik kommutatívÉs lineáris minden egyes tényezőre.

Általában a következő jelölések egyikét használják:

vagy ( kijelölés Dirac, gyakran használják kvantummechanikaállapotvektorok esetén):

Általában azt feltételezik, hogy a skaláris szorzat pozitív határozott, azaz

Mindenkinek .

Ha ezt nem feltételezzük, akkor a munka ún határozatlan.

Pontos termék V vektor tér felett terület összetett(vagy igazi) számok egy függvény olyan elemekhez, amelyek értéket vesznek fel (vagy) minden elempárhoz definiálják, és teljesítik a következő feltételeket:

Vegye figyelembe, hogy a meghatározás 2. bekezdéséből az következik, hogy . Ezért a 3. tételnek az összetett (általános esetben) értékek ellenére van értelme pont termék.

Vektorok keresztszorzata.

vektoros alkotás- Ezt pszeudovektor, merőleges sík két tényezőből épül fel, ami az eredmény bináris művelet"vektor szorzás" vége vektorok három dimenzióban Euklideszi tér. A munka sem kommutatív, sem asszociációs(ez antikommutatív) és eltér ettől vektorok skaláris szorzata. Számos mérnöki és fizikai feladatban meg kell tudni alkotni két meglévőre merőleges vektort – a vektorszorzat erre lehetőséget ad. A keresztszorzat hasznos a vektorok merőlegességének "mérésére" - két vektor keresztszorzatának hossza egyenlő a hosszaik szorzatával, ha merőlegesek, és nullára csökken, ha a vektorok párhuzamosak vagy antiparallelek.

A vektorszorzat többféleképpen definiálható, és elméletileg bármilyen dimenziójú térben n kiszámíthatja a terméket n-1 vektorokat, egyetlen, mindegyikre merőleges vektort kapva. De ha a szorzat nem triviális bináris szorzatokra korlátozódik vektoreredményekkel, akkor a hagyományos vektorszorzatot csak három dimenzióban határozzuk meg, és hétdimenziós terek. Eredmény vektor termék, mint a skalár, attól függ mérőszámok Euklideszi tér.

Ellentétben a vektorkoordinátákból történő számítás képletével pont termék három dimenzióban derékszögű koordinátarendszer, a keresztszorzat képlete attól függ irányultság derékszögű koordinátarendszer vagy más szóval annak „ kiralitás».

Vektorok vegyes szorzata

Vegyes termék vektorok - skaláris szorzat vektor tovább vektor termék vektorokÉs:

Néha úgy hívják háromszoros skalárszorzat vektorok, nyilván annak a ténynek köszönhető, hogy az eredmény skalár(pontosabban - pszeudoszkaláris).

Geometriai jelentése: A kevert termék modulusa számszerűen megegyezik a térfogattal paralelepipedon, művelt vektorok .

Vegyes munka ferde-szimmetrikus minden érvével kapcsolatban:

vagyis bármely két tényező átrendezése megváltoztatja a szorzat előjelét. Ebből következik, hogy

Különösen,

Egy vegyes munka kényelmesen megírható a használatával Levi-Civita szimbólum (tenzor):

(az utolsó képletben ortonormális alapon minden index felírható alacsonyabbnak is; ebben az esetben ez a képlet teljesen közvetlenül megismétli a formulát a determinánssal, azonban ebben az esetben automatikusan egy szorzót (-1) kapunk a bal bázisok).

Derékszögű derékszögű koordinátarendszer egy síkon.

Vegyünk két egymásra merőleges egyenest a síkon - két Ox és Oy koordinátatengelyt a rajtuk feltüntetett pozitív irányokkal (1. ábra). Egyenes Oh és Oh hívják koordináta tengelyek, metszéspontjuk O a koordináták origója.

Az Ox, Oy koordinátatengelyeket a kiválasztott léptékegységgel derékszögű (vagy derékszögű) koordinátarendszernek nevezzük a síkon.

Adjunk két számot a sík tetszőleges M pontjához: x abszcissza, egyenlő a távolsággal az M ponttól az Oy tengelyig, a „+” jellel, ha M az Oy-től jobbra, és a „-” jellel, ha M az Oy-től balra van; y ordináta, egyenlő az M pont és az Ox tengely távolságával, a „+” jellel, ha M az Ox felett van, és a „-” jellel, ha M az Ox alatt van. Az x abszcisszát és az y ordinátát az M(x;y) pont derékszögű derékszögű koordinátáinak nevezzük.

Az origónak vannak koordinátái (0;0). A koordinátatengelyek a síkot négy részre osztják, amelyeket negyedeknek vagy kvadránsoknak neveznek (néha koordinátaszögeknek is nevezik). A sík azon részét, amely az Ox és Oy pozitív féltengelyek közé záródik, első kvadránsnak nevezzük. Ezután a kvadránsokat az óramutató járásával ellentétes irányban számozzuk (2. ábra). Az első kvadráns összes pontjára x>0, y>0; x kvadráns I pontjaira<0, у>0, I I I negyedben x<0, у<0 и в IV квадранте х>0, y<0.

Poláris koordináták.

Poláris koordináta-rendszer- egy kétdimenziós koordináta-rendszer, amelyben a sík minden pontját két szám határozza meg - a polárszög és a poláris sugár. A polárkoordináta-rendszer különösen hasznos olyan esetekben, amikor a pontok közötti kapcsolatok könnyebben ábrázolhatók sugarak és szögek tekintetében; a gyakoribbaknál kartéziánus vagy derékszögű koordinátarendszer, ilyen összefüggések csak alkalmazásával hozhatók létre trigonometrikus egyenletek.

A poláris koordináta-rendszert egy sugár határozza meg, amelyet nulla- vagy poláris tengelynek nevezünk. Azt a pontot, ahonnan ez a sugár kilép, origónak vagy pólusnak nevezzük. A sík bármely pontját két poláris koordináta határozza meg: radiális és szög. A radiális koordináta (általában jelöléssel) a pont és az origó közötti távolságnak felel meg. Szögkoordináta, más néven polárszög ill azimutés jelölése egyenlő azzal a szöggel, amellyel a poláris tengelyt az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni, hogy ebbe a pontba kerüljön.

Az így meghatározott radiális koordináta értékeket vehet fel nulla előtt végtelenség, és a szögkoordináta 0° és 360° között változik. A kényelem kedvéért azonban a poláris koordináta értéktartománya tovább bővíthető

Egyenlet egy síkon

Meghatározás. A síkon lévő bármely egyenes megadható egy elsőrendű egyenlettel

Ax + Wu + C = 0,

Sőt, az A és B állandók nem egyenlők egyszerre nullával. Ezt az elsőrendű egyenletet nevezzük egy egyenes általános egyenlete. Az A, B és C állandók értékétől függően a következő speciális esetek lehetségesek:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – az egyenes átmegy az origón

A = 0, B ≠0, C ≠0 (by + C = 0) - az Ox tengellyel párhuzamos egyenes

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – az Oy tengellyel párhuzamos egyenes

B = C = 0, A ≠0 – az egyenes egybeesik az Oy tengellyel

A = C = 0, B ≠0 – az egyenes egybeesik az Ox tengellyel

Az egyenes egyenlete az adott kezdeti feltételektől függően különböző formában is bemutatható.

Az egyenes egyenlet használatának fő feladatai

Nem tud válaszolni

Másodrendű görbék

Másodrendű görbe- azon pontok geometriai lokusza, amelyek derékszögű derékszögű koordinátái kielégítik a forma egyenletét

amelyben legalább az egyik együttható nullától eltérő.

A számsor és a függvény határértéke

A számsorozat korlátja. Tekintsünk egy számsorozatot, amelynek közös tagja közelít valamilyen számhoz a a sorozatszám növelése n. Ebben az esetben a számsorról azt mondjuk, hogy rendelkezik határ. Ennek a fogalomnak szigorúbb meghatározása van.

Ez a meghatározás azt jelenti a Van határ számsorozat, ha annak közös tagja korlátlanul közelít a növekedésével n. Geometriailag ez azt jelenti, hogy tetszőleges > 0 esetén találhatunk ilyen számot N hogy attól kezdve n > N mind a sorozat tagjai az intervallumon belül helyezkednek el ( a a). Egy határértékkel rendelkező sorozatot hívunk konvergens; V másképp – divergens.

A sorozat az ún korlátozott, ha létezik ilyen szám M milyen | u n | M  mindenkinek n . Növekvő vagy csökkenő sorozatot nevezünk monoton.

Alaptételek a határértékekről és alkalmazásaikról

1. tétel . (az egyenlőség határáig való átlépésről) Ha két függvény egy bizonyos pont közelében azonos értéket vesz fel, akkor a határértékük ezen a ponton egybeesik.

2. tétel. (az egyenlőtlenség határáig való átlépésről) Ha a függvény értékei f(x) egy bizonyos pont közelében ne lépje túl a függvény megfelelő értékeit g(x) , akkor a függvény határértéke f(x) ezen a ponton nem lépi túl a függvény határát g(x) .

Tétel 3 . Egy állandó határértéke megegyezik magával az állandóval.

Bizonyíték. f(x)=c, bizonyítsuk be.

Vegyünk egy tetszőleges >0-t. Ahogy  bármelyiket elviheti

pozitív szám. Aztán at

Tétel 4. Funkció nem lehet két különböző határérték

egy pont.

Bizonyíték. Tegyük fel az ellenkezőjét. Hadd

És .

Által a határérték és az infinitezimális függvény kapcsolatáról szóló tétel:

f(x)- A= - b.m. nál nél ,

f(x)- B= - b.m. nál nél .

Ezeket az egyenlőségeket kivonva a következőket kapjuk:

B-A= - .

Átlépve a határértékekhez az egyenlőség mindkét oldalán, a következőt kapjuk:

B-A=0, azaz B=A. Kapunk egy ellentmondást, amely igazolja a tételt.

5. tétel. Ha a függvények algebrai összegének minden tagjának határértéke van, akkor az algebrai összegnek is van korlátja, és az algebrai összeg határa megegyezik a határértékek algebrai összegével.

.

Bizonyíték. Hadd , , .

Aztán, által tétel a határérték és a b kapcsolatáról.m. funkciókat:

Ahol - b.m. nál nél .

Adjuk össze ezeket az egyenlőségeket algebrailag:

f(x)+ g(x)- h(x)-(A+B-C)= ,

Ahol b.m. nál nél .

A határérték és a b.m kapcsolatáról szóló tétel szerint. Jellemzők:

A+B-C= .

Tétel 6. Ha a termék mindegyik tényezője véges szám függvények határértéke -ban, akkor a szorzatnak is van határértéke -ban, és a szorzat határértéke megegyezik a határértékek szorzatával.

.

Következmény. A konstans tényező a határjelen túlra vihető.

.

Tétel 7. Ha a funkciók f(x) És g(x) határértéke van,

és , akkor a hányadosuknak is van határa -ban, és a hányados határa egyenlő a határértékek hányadosával.

, .

A funkció folytonossága

ábrán. 15. ábra, és a függvény grafikonja látható . Természetes, hogy folytonos grafikonnak nevezzük, mert egy ceruzamozdulattal megrajzolható anélkül, hogy felemelné a papírról. Állítsunk be egy tetszőleges pontot (számot). Egy másik közeli pont a formába írható, ahol van egy pozitív vagy negatív szám, amit inkrementnek neveznek. Különbség

a függvény növekményének nevezzük a növekménynek megfelelő pontban. Itt azt kell érteni . ábrán. 15, és egyenlő a szakasz hosszával.

A nulla felé fogunk törekedni; akkor a szóban forgó függvény esetében nyilvánvalóan nulla lesz:

. (1)

Tekintsük most a 15. ábra grafikonját, b. Két összefüggő darabból és. Ezek a darabok azonban nem kapcsolódnak folyamatosan, ezért természetes, hogy a gráfot nem folytonosnak nevezzük. Ahhoz, hogy a gráf egy egyértékű függvényt ábrázoljon a pontban, egyezzünk meg abban, hogy az egyenlő az és -t összekötő szakasz hosszával; ennek jeleként a pontot körrel ábrázoljuk a grafikonon, míg a pontra egy nyíl van rajzolva, jelezve, hogy nem tartozik a gráfhoz. Ha a pont a gráfhoz tartozna, akkor a függvény a pontban kétértékű lenne.

Adjunk hozzá egy növekményt, és határozzuk meg a függvény megfelelő növekményét:

Ha hajlamosak vagyunk nullára, akkor most már nem tudjuk megmondani, hogy mi az, ami nullára hajlik. A nullára hajló negatívakra ez igaz, de a pozitívakra egyáltalán nem: az ábrából jól látható, hogy ha pozitív marad, de nullára hajlik, akkor a megfelelő növekmény egy pozitív számra irányul. a szegmens hosszához.

E megfontolások után természetes, hogy egy intervallumon definiált függvényt a szakasz egy pontjában folytonosnak hívunk, ha a növekménye ebben a pontban a növekménynek megfelelően nullára hajlik bármilyen módon. Ezt (a folytonosság tulajdonságát) az (1) reláció formájában írjuk, vagy így is:

A (2) bejegyzés így hangzik: a határérték nullával egyenlő, ha bármely törvény szerint nullára hajlik. A „bármely törvény szerint” kifejezést azonban általában kihagyják, utalva arra.

Ha egy -on definiált függvény nem folytonos a pontban, vagyis ha a (2) tulajdonság nem áll fenn rá legalább a nullára való hajlás egyik módjában, akkor a pontban nem folytonosnak nevezzük.

ábrán látható funkció. A 15. ábrán látható függvény bármely pontban folytonos, de az 1. ábrán látható függvény. 15, b nyilvánvalóan bármely pontban folytonos, a pont kivételével, mert az utóbbi esetében a (2) reláció nem teljesül, ha pozitív marad.

Azt a függvényt, amely egy szakasz bármely pontján (intervallum) folytonos, az adott szakaszon (intervallum) folytonosnak nevezzük.

A folytonos függvény matematikailag kifejez egy olyan tulajdonságot, amellyel a gyakorlatban gyakran találkozunk, nevezetesen, hogy egy független változó kis növekménye egy függő változó (függvény) kis növekedésének felel meg. A folytonos függvény kiváló példái a testek különböző mozgási törvényei, amelyek kifejezik a test által megtett út időfüggőségét. Az idő és a tér folyamatos. Ez vagy az a mozgástörvény bizonyos folytonos kapcsolatot hoz létre közöttük, amelyet az a tény jellemez, hogy az idő kis növekménye megfelel az út kis növekményének.

Az ember úgy jutott el a folytonosság elvonatkoztatásához, hogy megfigyelte a körülötte lévő úgynevezett folytonos közeget - szilárd, folyékony vagy gáznemű, például fémeket, vizet, levegőt. Valójában minden fizikai környezet egy gyűjtemény nagyszámú egymástól elvált mozgó részecskék. Ezek a részecskék és a köztük lévő távolságok azonban olyan kicsik a közeg térfogataihoz képest, hogy makroszkopikus fizikai jelenségeknél szembe kell néznünk vele, hogy sok ilyen jelenség meglehetősen jól tanulmányozható, ha hozzávetőlegesen a vizsgált közeg tömegét tekintjük folyamatosan elosztva, hézagok nélkül az általa elfoglalt térben. Számos fizikai tudományág ezen a feltételezésen alapul, például a hidrodinamika, az aerodinamika és a rugalmasságelmélet. A folytonosság matematikai fogalma természetesen megjelenik ezekben a tudományágakban, mint sok másban is, nagy szerepet.

A folyamatos függvények alkotják a függvények fő osztályát, amelyekkel a matematikai elemzés működik.

Példák folyamatos funkciók elemi funkciók szolgálhatnak (lásd alább a 3.8. pontot). Folyamatosak a változási intervallumokban, ahol meghatározásra kerültek.

A nem folytonos függvények a matematikában a természetben fellelhető nem folytonos folyamatokat tükrözik. Becsapódás közben például egy test sebessége hirtelen megváltozik. Sok minőségi átmenetet ugrások kísérnek. Például egy gramm víz (jég) hőmérséklete és a benne lévő hő kalóriamennyisége közötti összefüggést, amikor az és között változik, ha konvencionálisan feltételezzük, hogy értéken, a következő képletekkel fejezzük ki:

Feltételezzük, hogy a jég hőkapacitása 0,5. Ha ez a függvény határozatlannak bizonyul – többértékű; A kényelem kedvéért megegyezhetünk abban, hogy nagyon határozott értéket vesz fel, például . A függvény, amely nyilvánvalóan nem folytonos helyen, az ábrán látható. 16.

Határozzuk meg egy függvény folytonosságát egy pontban.

Egy függvényt akkor nevezünk folytonosnak egy pontban, ha ennek a pontnak valamely szomszédságában van definiálva, beleértve magát a pontot is, és ha a növekménye ebben a pontban az argumentum növekményének megfelelően nullára hajlik:

Ha tesszük, akkor a következő ekvivalens definíciót kapjuk a folytonosságra: egy függvény folytonos egy pontban, ha ennek a pontnak valamely szomszédságában van definiálva, beleértve magát a pontot is, és ha

; (4)

vagy a nyelvben is: ha mindenkinek van olyan, hogy

A (4) egyenlőség a következőképpen is felírható:

. (4’)

Ez azt mutatja, hogy a folytonos függvény előjele alatt el lehet menni a határig.

Példa 1. Az állandó olyan függvény, amely bármely pontban folytonos. Valójában egy pont egy függvény értékének, egy pontnak ugyanaz az érték . Ezért

.

2. PÉLDA A függvény folytonos bármely értékre, mert és ezért -ra.

3. példa A függvény folytonos bármely . Valóban,

De mindenki számára egyenlőtlenség van

Ha , akkor ez az ábrából következik. 17, amely egy 1 sugarú kört mutat (a hosszúságú ív nagyobb, mint az általa befogott húr, amelynek hossza ). Amikor az egyenlőtlenség (6) egyenlőséggé változik. Ha akkor . Végül, ha , akkor . Az (5)-ből a (6) alapján következik

,

De akkor nyilván

Azt is mondhatjuk, hogy mindenki számára lehet találni pontosan olyat

Jegyezzünk meg egy fontos tételt.

1. Tétel. Ha a és függvények egy pontban folytonosak, akkor összegük, különbségük, szorzatuk és hányadosuk (at) is folytonos ebben a pontban.

Ez a tétel közvetlenül a 6. Tétel 3.2. pontjából következik, figyelembe véve, hogy ebben az esetben

Ugyancsak igaz egy fontos tétel a függvénynek a függvényből való folytonosságáról (komplex függvény).

2. Tétel. Legyen adott egy függvény, amely folytonos a pontban, és egy másik függvény, amely folytonos a pontban, és legyen . Aztán a komplex függvény pontban folyamatos.

Bizonyíték. Vegyük észre, hogy egy függvény folytonosságának definíciójából egy pontban az következik, hogy ennek a pontnak a szomszédságában van definiálva. Ezért

Itt bevezetik a helyettesítést, és figyelembe veszik a pont folytonosságát .

4. példa Funkció

ahol állandó együtthatók vannak, fokszámú polinomnak nevezzük. Bárkinek folyamatos. Végül is a megszerzéshez az állandó számok és a függvény alapján véges számú aritmetikai műveletet kell végrehajtani - összeadást, kivonást és szorzást. De a konstans folytonos függvény (lásd az 1. példát), és a függvény is folytonos (lásd a 2. példát), tehát a folytonosság az 1. Tételből következik.

5. példa A függvény folyamatos. Két folytonos függvény összetétele: , .

6. példa Funkció

folytonos a megadott esetén, mert (lásd 1. Tétel) egyenlő a folytonos függvények felosztásának hányadosával, és az osztó nem egyenlő nullával (a megadott esetén).

7. példa Funkció

folytonos bármely , mert folytonos függvények összetétele: , , (lásd 2. Tétel).

8. példa A függvény folytonos, mert

9. példa Ha egy függvény folytonos egy pontban, akkor a függvény ebben a pontban is folytonos.

Ez a 2. tételből és a 8. példából következik, mivel egy függvény két folytonos függvény összetétele, .

Jegyezzünk meg még két tételt, amelyek közvetlenül a 3.2 § megfelelő 1. és 2. tételéből következnek egy függvény határértékére.

3. Tétel. Ha egy függvény egy pontban folytonos, akkor ennek a pontnak van egy olyan környéke, ahol határos.

4. Tétel. Ha a függvény folytonos az és pontban, akkor van annak a pontnak a szomszédsága, ahol

.

Sőt, ha , akkor

és ha , akkor

A származék fogalma.

Derivált(egy ponton működik) - alapfogalom differenciálszámítás, amely a függvény változási sebességét jellemzi (adott ponton). Ként meghatározott határ a függvény növekménye és növekménye közötti kapcsolat érv amikor az argumentumnövekmény arra hajlik nulla, ha létezik ilyen korlát. Azt a függvényt, amelynek véges deriváltja van (egy ponton), differenciálhatónak nevezzük (ebben a pontban).

A derivált kiszámításának folyamatát ún különbségtétel. Fordított folyamat - megtalálás antiderivatív - integráció.

A származékok geometriai és mechanikai jelentése..

A megkülönböztetés szabályai.

A függvények algebrai összegének deriváltja

1. tétel. Derivált két differenciálható függvény összege (különbsége) egyenlő e függvények deriváltjainak összegével (különbsége):

(u±v)" = u"±v"

Következmény. A differenciálható függvények véges algebrai összegének deriváltja egyenlő a tagok deriváltjainak azonos algebrai összegével. Például,

(u - v + w)" = u" - v" + w"

A függvények szorzatának deriváltját az határozza meg

2. Tétel. Két differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az első függvény szorzatával és a második deriváltjával, plusz a második függvény szorzatával és az első deriváltjával, azaz.

(uv)" = u"v + uv"

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből (cv)" = cv" (c = const).

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes függvények deriváltjainak az összes többi szorzatának összegével.

Például (uvw)" = u"vw + uv"w + uvw"

Két függvény hányadosának deriváltja

a következő tétel fejezi ki.

3. Tétel. Két differenciálható függvény hányadosának deriváltját a képlet határozza meg

Egy komplex függvény deriváltját fejezzük ki

4. Tétel. Ha y = f(u) és u = (ф(x)) argumentumaik differenciálható függvényei, akkor komplex függvény deriváltja y = f (φ(x)) létezik, és egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának a szorzatával a közbülső argumentumhoz és a köztes argumentum deriváltjának a független változóhoz képest, azaz.

Nagyon gyakran be matematikai tesztek deriváltakonösszetett függvények adottak, például y = sin(cos5x). Egy ilyen függvény deriváltja egyenlő: -5sin5x*sin(cos5x)

Tekintse meg a következő videóban az összetett függvény kiszámításának példáját

Elemi függvények származékai.

Elemi függvények származékai egyszerű érvelés	Funkcióy = f (kx +b )	Komplex argumentum elemi függvényeinek származékai
y=xn	y=nxn−1	y=(kx+b)n	y=nk(kx+b)n−1
		y=(kx+b)

Első szint

Függvény származéka. Átfogó útmutató (2019)

Képzeljünk el egy dombos területen áthaladó egyenes utat. Vagyis fel-le jár, de nem fordul jobbra vagy balra. Ha a tengely vízszintesen az út mentén és függőlegesen van irányítva, akkor az útvonal nagyon hasonló lesz valamilyen folytonos függvény grafikonjához:

A tengely egy bizonyos nulla magassági szint az életben a tengerszintet használjuk.

Amint egy ilyen úton haladunk előre, felfelé vagy lefelé is haladunk. Azt is mondhatjuk: ha az argumentum megváltozik (mozgás az abszcissza tengely mentén), akkor a függvény értéke megváltozik (mozgás az ordináta tengelye mentén). Most pedig gondoljuk át, hogyan határozzuk meg utunk „meredekségét”? Milyen érték lehet ez? Nagyon egyszerű: mennyit fog változni a magasság, ha előre halad egy bizonyos távolságot. Végül is tovább különböző területeken utakon haladva előre (az x tengely mentén) egy kilométert, emelkedünk vagy süllyedünk különböző mennyiségben méter a tengerszinthez képest (az ordinata tengelye mentén).

Jelöljük az előrehaladást (értsd: „delta x”).

A görög betűt (delta) általában előtagként használják a matematikában, ami "változást" jelent. Vagyis - ez mennyiségi változás, - változás; akkor mi az? Így van, nagyságrendi változás.

Fontos: egy kifejezés egyetlen egész, egyetlen változó. Soha ne válassza el a „deltát” az „x”-től vagy bármely más betűtől! Azaz például .

Tehát előre, vízszintesen haladtunk előre. Ha összehasonlítjuk az út vonalát a függvény grafikonjával, akkor hogyan jelöljük az emelkedést? Természetesen,. Vagyis ahogy haladunk előre, úgy emelkedünk feljebb.

Az érték könnyen kiszámítható: ha az elején egy magasságban voltunk, majd mozgás után egy magasságban találtuk magunkat, akkor. Ha végpont alacsonyabbnak bizonyult, mint a kezdeti, negatív lesz - ez azt jelenti, hogy nem emelkedünk, hanem csökkenünk.

Térjünk vissza a "meredekséghez": ez egy olyan érték, amely megmutatja, hogy egy egységnyi távolsággal előre haladva mennyivel (meredeken) nő a magasság:

Tételezzük fel, hogy az út egyes szakaszán egy kilométerrel előrehaladva az út egy kilométert emelkedik. Ekkor a lejtés ezen a helyen egyenlő. És ha az út m-rel előrehaladva km-rel csökken? Ekkor a lejtés egyenlő.

Most nézzük meg egy domb tetejét. Ha fél kilométerrel a csúcs előtt veszed a szakasz elejét, és fél kilométerrel utána a végét, akkor láthatod, hogy a magasság szinte megegyezik.

Vagyis a mi logikánk szerint kiderül, hogy itt a meredekség majdnem egyenlő a nullával, ami nyilvánvalóan nem igaz. Egy kilométeren túl sok minden változhat. A meredekség megfelelőbb és pontosabb értékeléséhez kisebb területeket is figyelembe kell venni. Például, ha megméri a magasságváltozást, amikor egy métert mozog, az eredmény sokkal pontosabb lesz. De lehet, hogy még ez a pontosság sem lesz elég számunkra – elvégre ha van egy oszlop az út közepén, egyszerűen elhaladhatunk mellette. Milyen távolságot válasszunk akkor? Centiméter? Milliméter? A kevesebb jobb!

BAN BEN való élet A távolságok milliméteres pontossággal történő mérése több mint elég. De a matematikusok mindig a tökéletességre törekednek. Ezért találták ki a koncepciót elenyésző, azaz az abszolút érték kisebb, mint bármely szám, amelyet meg tudunk nevezni. Például azt mondod: egy trilliomod! Mennyivel kevesebb? És ezt a számot elosztod - és még kevesebb lesz. Stb. Ha azt akarjuk írni, hogy egy mennyiség végtelenül kicsi, akkor a következőképpen írjuk: (azt olvassuk, hogy „x nullára hajlamos”). Nagyon fontos megérteni hogy ez a szám nem nulla! De nagyon közel hozzá. Ez azt jelenti, hogy osztani lehet vele.

A végtelenül kicsivel ellentétes fogalom végtelenül nagy (). Valószínűleg már találkozott vele, amikor az egyenlőtlenségeken dolgozott: ez a szám modulo nagyobb, mint bármely szám, amit csak gondolhat. Ha a legnagyobb lehetséges számok, csak szorozd meg kettővel, és még többet kapsz. És még mindig a végtelen Továbbá mi fog történni. Valójában a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi egymás fordítottja, vagyis at, és fordítva: at.

Most pedig térjünk vissza az utunkra. Az ideálisan számított meredekség az út végtelen kis szegmensére számított meredekség, azaz:

Megjegyzem, hogy végtelenül kicsi elmozdulás esetén a magasságváltozás is végtelenül kicsi lesz. De hadd emlékeztesselek arra, hogy a végtelenül kicsi nem azt jelenti egyenlő nullával. Ha végtelenül kicsi számokat osztunk el egymással, akkor igen rendes szám, Például, . Vagyis egy kis érték pontosan többszöröse lehet egy másiknak.

Minek ez az egész? Az út, a meredekség... Nem autóversenyre megyünk, hanem matematikát tanítunk. A matematikában pedig minden pontosan ugyanaz, csak másként hívják.

A származék fogalma

A függvény deriváltja a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelen kicsiny növekedéséhez.

Fokozatosan a matematikában változásnak nevezik. Azt, hogy az argumentum () mennyiben változik, ahogy mozog a tengely mentén, nevezzük argumentumnövekményés azt jelöljük, hogy a függvény (magasság) mennyit változott a tengely mentén egy távolsággal előre haladva funkciónövekedésés ki van jelölve.

Tehát egy függvény deriváltja a mikorhoz viszonyított arány. A deriváltot ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a függvényt, csak a jobb felső sarokban lévő prímszámmal: vagy egyszerűen. Tehát írjuk fel a derivált képletet a következő jelölésekkel:

Az út analógiájához hasonlóan itt is, amikor a függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív.

Egyenlő lehet-e a derivált nullával? Biztosan. Például, ha sík vízszintes úton haladunk, a meredekség nulla. És igaz, a magasság egyáltalán nem változik. Ugyanez a származékkal: származék állandó funkció(konstansok) egyenlő nullával:

mivel egy ilyen függvény növekménye nullával egyenlő bármely.

Emlékezzünk a dombtető példájára. Kiderült, hogy a szegmens végeit végig lehet rendezni különböző oldalak felülről úgy, hogy a végek magassága azonos legyen, vagyis a szakasz párhuzamos legyen a tengellyel:

A nagy szegmensek azonban a pontatlan mérés jelei. A szakaszunkat önmagával párhuzamosan emeljük fel, majd a hossza csökken.

Végül, amikor végtelenül közel vagyunk a csúcshoz, a szakasz hossza végtelenül kicsi lesz. De ugyanakkor párhuzamos maradt a tengellyel, vagyis a magasságkülönbség a végein nullával egyenlő (nem hajlamos, de egyenlő). Tehát a származék

Ez így is felfogható: amikor a legtetején állunk, egy kis balra vagy jobbra eltolódás elhanyagolhatóan megváltoztatja a magasságunkat.

Van egy tisztán algebrai magyarázat is: a csúcstól balra nő a függvény, jobbra pedig csökken. Amint azt korábban megtudtuk, ha egy függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív. De simán, ugrások nélkül változik (hiszen az út sehol sem változtat élesen a lejtését). Ezért a negatív és a pozitív értékeket biztosan kell lennie. Ott lesz, ahol a függvény nem növekszik és nem is csökken - a csúcspontban.

Ugyanez igaz a vályúra (az a terület, ahol a bal oldali funkció csökken, a jobb oldalon pedig nő):

Egy kicsit bővebben az emelésekről.

Tehát az argumentumot nagyságrendre változtatjuk. Milyen értékről változunk? Mi lett ebből (az érvelésből)? Bármely pontot választhatunk, és most ebből fogunk táncolni.

Tekintsünk egy pontot koordinátával. A benne lévő függvény értéke egyenlő. Ezután ugyanazt a lépést tesszük: növeljük a koordinátát. Most mi az érv? Nagyon könnyű: . Mi most a függvény értéke? Ahová az argumentum megy, ott a függvény is: . Mi a helyzet a függvény növekményével? Semmi új: még mindig ennyivel változott a függvény:

Gyakorold a lépések keresését:

1. Keresse meg a függvény növekményét abban a pontban, amikor az argumentum növekménye egyenlő.
2. Ugyanez vonatkozik a függvényre egy ponton.

Megoldások:

BAN BEN különböző pontokat azonos argumentumnövekmény esetén a függvény növekménye eltérő lesz. Ez azt jelenti, hogy minden pontban más a derivált (ezt már a legelején megbeszéltük - az út meredeksége különböző pontokon). Ezért, amikor deriváltot írunk, meg kell jelölnünk, hogy melyik ponton:

Teljesítmény funkció.

A hatványfüggvény egy olyan függvény, ahol az argumentum bizonyos fokig (logikai, igaz?).

Sőt – bármilyen mértékben: .

A legegyszerűbb eset- ekkor a kitevő:

Keressük a származékát egy pontban. Emlékezzünk vissza a származékos definícióra:

Tehát az érv ról -ra változik. Mennyi a függvény növekménye?

A növekedés ez. De egy függvény bármely ponton egyenlő az argumentumával. Ezért:

A derivált egyenlő:

A származéka egyenlő:

b) Most fontolja meg másodfokú függvény (): .

Most emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy a növekmény értéke elhanyagolható, mivel végtelenül kicsi, ezért a másik taghoz képest jelentéktelen:

Tehát kitaláltunk egy másik szabályt:

c) Folytatjuk a logikai sorozatot: .

Ez a kifejezés többféleképpen egyszerűsíthető: nyissa meg az első zárójelet az összeg kockájának rövidített szorzatának képletével, vagy faktorizálja a teljes kifejezést a kockák különbségi képletével. Próbálja meg saját kezűleg megtenni a javasolt módszerek bármelyikével.

Szóval a következőket kaptam:

És még egyszer emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy figyelmen kívül hagyhatunk minden olyan kifejezést, amely tartalmazza:

Kapunk: .

d) Hasonló szabályok érhetők el nagy teljesítményekre:

e) Kiderül, hogy ez a szabály általánosítható teljesítmény funkció tetszőleges kitevővel, még csak nem is egész számmal:

(2)

A szabály a következő szavakkal fogalmazható meg: „a fokozatot együtthatóként előrehozzuk, majd csökkentjük .

Ezt a szabályt később (majdnem a legvégén) be fogjuk bizonyítani. Most nézzünk néhány példát. Keresse meg a függvények deriváltját:

1. (két módon: képlettel és a derivált definíciójával - a függvény növekményének kiszámításával);

1. . Akár hiszi, akár nem, ez egy erőfüggvény. Ha olyan kérdései vannak, mint „Hogy van ez? Hol a diploma?”, ne feledje a „” témát!
   Igen, igen, a gyök is fok, csak töredéke: .
   Ez azt jelenti, hogy a négyzetgyökünk csak egy hatvány kitevővel:
   .
   A származékot a nemrég tanult képlettel keressük:

   Ha ezen a ponton ismét homályossá válik, ismételje meg a „” témát!!! (fokozatról negatív mutató)

2. . Most a kitevő:

   És most a definíción keresztül (elfelejtetted már?):
   ;
   .
   Most, mint általában, figyelmen kívül hagyjuk a következő kifejezést:
   .

3. . Korábbi esetek kombinációja: .

Trigonometrikus függvények.

Itt egy tényt fogunk használni a magasabb matematikából:

Kifejezéssel.

A bizonyítást az intézet első évében tanulja meg (és ahhoz, hogy odáig eljusson, jól le kell tennie az egységes államvizsgát). Most csak grafikusan mutatom be:

Látjuk, hogy amikor a függvény nem létezik, a grafikonon a pont ki van vágva. De minél közelebb van az értékhez, annál közelebb van a funkció ehhez a „célhoz”.

Ezenkívül ezt a szabályt egy számológép segítségével is ellenőrizheti. Igen, igen, ne szégyellje magát, vegyen egy számológépet, még nem tartunk az egységes államvizsgán.

Szóval, próbáljuk meg: ;

Ne felejtse el a számológépet radián módba kapcsolni!

stb. Azt látjuk, hogy minél kisebb, annál közelebb áll az arány értéke.

a) Tekintsük a függvényt. Szokás szerint keressük meg a növekményét:

A szinuszok különbségét alakítsuk szorzattá. Ehhez a következő képletet használjuk (emlékezzünk a "" témára): .

Most a származék:

Cseréljük ki: . Ekkor infinitezimálisra ez is végtelenül kicsi: . A kifejezés a következő formában jelenik meg:

És most emlékezünk erre a kifejezéssel. És azt is, mi van akkor, ha egy végtelenül kicsi mennyiség elhanyagolható az összegben (azaz at).

Tehát megkapjuk következő szabály:a szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal:

Ezek alapvető („táblázatos”) származékok. Itt vannak egy listában:

Később még néhányat hozzáadunk hozzájuk, de ezek a legfontosabbak, mivel ezeket használják a leggyakrabban.

Gyakorlat:

1. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban;
2. Keresse meg a függvény deriváltját!

Megoldások:

1. Először keressük meg a származékot általános formában, majd cseréljük be az értékét:
   ;
   .
2. Itt van valami hasonló a hatványfüggvényhez. Próbáljuk meg elhozni őt
   normális kinézetű:
   .
   Remek, most már használhatja a képletet:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Mi ez????

Oké, igazad van, még nem tudjuk, hogyan találjunk ilyen származékokat. Itt többféle funkció kombinációját láthatjuk. A velük való együttműködéshez meg kell tanulnia néhány további szabályt:

Kitevő és természetes logaritmus.

A matematikában van egy függvény, amelynek bármely érték származéka megegyezik magának a függvénynek az értékével. Kitevőnek hívják, és egy exponenciális függvény

Ennek a függvénynek az alapja egy állandó – ez végtelen decimális, azaz irracionális szám (például). „Euler-számnak” hívják, ezért betűvel jelölik.

Tehát a szabály:

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal vegyük figyelembe az inverz függvényt. Melyik függvény az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Az exponenciális és a naturális logaritmus derivált szempontból egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, miután menjünk végig a szabályokon különbségtétel.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Újra új kifejezés, újra?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok differenciálja a függvény azonos növekménye at. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel ez lineáris függvény, emlékezik?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, és nem csak a kitevőket (elfelejtette már, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg a függvényünket egy új bázisra redukálni:

Erre fogjuk használni egyszerű szabály: . Akkor:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem írható le többé egyszerű formában. Ezért ebben a formában hagyjuk a válaszban.

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Származékai exponenciális és logaritmikus függvények szinte soha nem jelennek meg az egységes államvizsgán, de nem ártana ismerni őket.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Így derül ki összetett objektum: szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy tábla csokoládé elfogyasztásához a fordított lépéseket kell végrehajtania fordított sorrendben.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Fontos funkcióösszetett függvények: ha a műveletek sorrendje megváltozik, a függvény megváltozik.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Az első példában .

Második példa: (ugyanaz). .

Az a művelet, amelyet utoljára hajtunk végre, el lesz nevezve "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet – ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   A eredeti funkció az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Alkalmazva eredeti példa ez így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Nézzük példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! A koszinusz alól semmi sem jön ki, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is egy komplex függvény, és kivonjuk belőle a gyökeret is, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (egybe rakjuk a csokoládét). csomagolóanyaggal és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

tások, amelyek miatt az egyenlőség (3.10) fontos szerepet játszik mind a elméleti kutatás, és közelítő számításokban.

A függvény deriváltjának és differenciáljának megtalálásának műveleteit nevezzük különbségtétel ezt a funkciót. Gyakori név mindkét műveletet nyilvánvaló függőségük magyarázza. A (3.8) képlet alapján megkapjuk a függvény differenciálját egyszerű szorzás a termelése

vivőhibák, amelyek akkor keletkeznek, amikor egy függvény növekményét a differenciáljával helyettesítjük.

Keressük meg a függvény növekményét és differenciálját

y = 3(x+ x) 2 + (x+ x) − 3 x2 − x= 6 x x+ 3(x) 2 + x= (6 x+ 1) x+ (x) 2 .

Ekkor dy = (6 x + 1) x. Számítsuk ki az udy-t az x = 1 pontban, ha x = 0, 1 y = 7 0, 1 + 3 0, 01 = 0, 73; dy = 7 0, 1 = 0, 7.

Az abszolút hiba y − dy = 0,73 − 0,7 = 0,03, a relatív hiba pedig

y = 0 0, , 03 73 ≈0 ,04.

3.5. A függvények összegének, szorzatának és hányadosának deriváltja

Idézzük fel a kurzusról a híreseket Gimnázium differenciálási szabályok, amelyek bizonyos esetekben lehetővé teszik a függvények származékainak megtalálását anélkül, hogy közvetlenül a definícióhoz folyamodnánk.

3.3. Tétel. Ha az u = u (x) és v = v (x) függvények

x pontban, majd ezen a ponton
				(u+v)
				(UV)		U v+ v u;
					u v − v u				V =v (x) ≠0.

megkülönböztethető

Ezeket az egyenlőségtagokat dx-el megszorozva ugyanazokat a szabályokat kapjuk differenciálok formájában

d (u+ v) = du+ dv;
d (uv) = udv+ vdu;

					udv − vdu

Bizonyíték. Mivel a tétel minden részének bizonyítása teljesen egységesen történik, az egyiket, például a másodikat bizonyítjuk.

Jelöljük y = uv. Adjuk meg x-nek az x-et, és hagyjuk

u ,Δ v ,Δ y az u , v , y függvények növekményei lesznek a pontban									x , megfelelő-
növekedés		x , érv. Akkor
y = (u+ u)(v+ v) − uv= v u+ u v+ u v.
Tekintettel arra, hogy u	és v a függvények értékei a pontban							x nem függ a
argumentum rotációk		x , a (3.1) definíció és a határérték tulajdonságai miatt
átmenetet (lásd a (2.14), (2.15) képleteket találjuk
y ′ =lim		Vlim		Ulim	v+lim
x → 0		x → 0		x → 0		x → 0		x → 0
v = v(x) függvény	a kérdéses ponton					x a differenciáltétel feltételei szerint

hivatkozható, tehát folytonos (3.2. Tétel), ezért

	v = 0 (2.17. folytonossági definíció) és az előző egyenlőség
x → 0					y ′ = vu ′+ uv ′+ u ′ 0 . Helyettesítés itt
kifejezést ad a származékra:
y = uv , a (3.12) képlethez jutunk.							y = C (itt
	Egy állandó függvény deriváltja és differenciálja
VAL VEL -	állandó szám minden x X-re)					egyenlők nullával.
	x X C
					dC = C dx = 0 .
Valójában az X halmaz bármely pontjában van egy ilyen függvénynek
és ugyanaz a jelentés, ami miatt neki						y ≡ 0 bármelyikre	x ebből
	x , x + x X . Innen,			a derivált és a differenciál meghatározása miatt
regionális, a (3.17) képletek következnek.
	A (3.11) képlet tetszőleges véges számú gyenge esetére általánosítható
szükséges funkciókat.
	Ha u = C, hol	C – const, (3.12) és (3.15) képlet,					miatt (3.17),
				d(Cv) = Cdv. Vagyis az állandó szorzó
egyenlőségeket adj meg: (Cv)

A tel kivehető a derivált és differenciáljelekből.

Három tényező esetén a képlet egymás utáni alkalmazása

(3.12), találjuk

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w+ (uv) w′+ (u′ v+ uv′ ) w+ uvw′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′.

Hasonló szabály érvényes, ha tetszőleges számú tényező szorzatát különböztetjük meg.

A következő bekezdésekben a fő elemi függvények származékait kapjuk meg.

3.6. Trigonometrikus függvények származékai

Keressük meg a trigonometrikus függvények deriváltjait, nevezetesen

		Cosx						= − sinx
	(bűn x)					(cos x)
	(tgx) ′ =					(ctgx)′
			cos2 x						sin2x

Vegyük az elsőt. Az y = sin x függvény növekménye x pontban, co-

	megfelelő növekmény				érv, lesz
	y = sin(x+		x )− sinx = 2sin				x cos(x +		x) .
	Figyelembe véve, hogy a bűn 2 x		2 x at
						x → 0	és a termelés definícióját használva
	vizet találunk				2sin 2 x cos(x +			2x)
	y ′ =lim		y = lim
		x → 0		x → 0
		2 2 x cos(x +		2x)		Limcos(x +		x )= cosx .
	x → 0					x → 0

A második képlet hasonló módon bizonyított. A harmadik és negyedik képletet akkor kapjuk meg, ha az érintőt és a kotangenst szinuszban és koszinuszban fejezzük ki, és a (3.13) képletet használjuk.

3.7. Logaritmikus függvények differenciálása

	A képletek érvényesek
					loga e
		(log x)				2. (lnx)

Bizonyítsuk be közülük az elsőt. Az y függvény növekménye = log a x az x pontban, co-

az x növekménynek megfelelő		érv, lesz
y = loga (x + x )− loga x = loga		x + x	Loga (1+	x )= loga e ln(1+	x) ;

(itt a log a A = log a e ln A azonosítót használtuk).

Mivel ln(1 + x x ) x x		x → 0		Akkor definíció szerint derivált
kapunk:	y = log e lim								x )=
y ′ =lim							ln(1+
x → 0			x → 0
Loga e lim								loga e.
	x → 0

3.8. Komplex függvény differenciálása.

Hatvány- és exponenciális függvények deriváltjai

Adjunk meg egy y argumentumx komplex függvényt az y = f (u) képletekkel,

u = ϕ (x) (lásd az 1.4.3. bekezdést)

3.4. Tétel (egy komplex függvény deriváltjáról). Ha a funkciók

y = f (u), u = ϕ (x) differenciálhatóak		a vonatkozóban	egymás
u és x pont, majd a komplex függvény		f [ϕ(x)] is differenciálható
	x , és	y ′x =y ′u u ′x .
	y ′ =f ′(u ) u ′ vagy
Bizonyíték. Növekményt adunk az x független változónak
	x, akkor az u = ϕ (x) függvény u növekményt kap,		mit fog okozni

az y függvény y növekménye = f (u) . Mivel az y = f (u) függvény a tétel feltételei szerint differenciálható a vizsgált u pontban, így a növekménye ebben a pontban ábrázolható formában (lásd 3.4. Definíció)

			u , ahol α (		u ) → o ha u → 0 .
y = f(u) u+ α (u)
				f(u)	x + α(u)
u = ϕ(x) függvény			differenciálható, ezért pontosan folytonos
a fent vizsgált u pontnak megfelelő ke x							(3.2. tétel).
Ennélfogva,				folytonosság		lim u = 0,	és ezért
						x → 0
lim α (u )= 0.
x → 0
Ezt figyelembe véve,		átmenet be			utolsó	egyenlőség	limit at

x → 0, elérjük a (3.18).

A (3.18) tag egyenlőségét dx-el megszorozva egy komplex függvény differenciáljának kifejezését kapjuk

dy = f′ (u) du.

Megjegyzés. Az y = f (u) függvény differenciálja pontosan ugyanilyen alakú lenne, ha az u argumentum nem függvény, hanem független változó lenne. Ezt hívják invariancia tulajdonság(függetlensége) a differenciál formájának az argumentum tekintetében. Figyelembe kell venni, hogy ha u egy független változó, akkor du = u annak tetszőleges növekménye, ha u egy köztes argumentum (vagyis egy függvény), akkor du ennek a függvénynek a differenciálja, azaz a érték, amely nem esik egybe a növekedésével u.

Az utolsó tétel segítségével könnyen előállíthatók a differenciálási képletek

hatvány- és exponenciális függvények kialakítása:

α−1

2). (a

ln a ;

3). (pl

1). (x

) = α x

Igazán,

feltételezve

x > 0,

vegyük mindkét oldal logaritmusát

képletek y = x α; ln y = α ln x . Itt

Ez x függvénye, ami miatt

az utolsó egyenlőség bal oldala x komplex függvénye. Differenciálva az utolsó egyenlőség mindkét oldalát x-hez (a bal oldal mint komplex függvény) azt kapjuk, hogy

1 y y ′ =a 1 x ,

y ′ =ay x =ax x a =ax a − 1 .

Könnyen kimutatható, hogy ez az eredmény x-re is igaz< 0 , если только при

ebben az esetben x α van értelme. Korábban az eredményt α = n esetre kaptuk. A második képletet hasonlóan kapjuk meg, amelyből a = e speciális esetben az utolsó képlet következik.

Megjegyzés. Az előzetes logaritmus technikája, amelyet a hatványfüggvény megkülönböztetésének képletének megszerzésére használtak, független jelentéseés a függvény logaritmusának deriváltjának későbbi megállapításával együtt hívjuk

lnx ) "= cosx lnx + sin x x .

Ennélfogva,

y ′ = x sin x (cosx lnx + sin x x)

Megjegyzés. Az összetett függvények megkülönböztetésének szabálya alkalmazható egy implicit módon meghatározott függvény deriváltjának megkeresésére is.

Valóban, ha x és y kapcsolata F (x, y) = 0 formában van megadva, és ez az egyenlet y-hoz képest megoldható, akkor az y ′ derivált az egyenletből megtalálható.

					(F (x, y (x)) = 0.
Példa 3.4.								y = f (x) adott nem-
		Keresse meg egy függvény deriváltját
kifejezetten egyenlettel		arctan(y) − y+ x= 0 .				y függvény x-ből:
Megkülönböztetjük az egyenlőséget x-hez képest, figyelembe véve
	y'						1 +y
			− y ′+ 1= 0, honnan			y′ =
	1+y 2

3.9. Inverz függvény differenciálása.

Inverz trigonometrikus függvények differenciálása

Legyen kettő kölcsönösen megadva inverz függvények y = f (x) és x = ϕ (y)

(lásd az 1.4.8. pontot).

3.5. Tétel (az inverz függvény deriváltjáról). Ha a funkciók

y = f(x) ,

x = ϕ (y)

növelés (csökkentés) és az x pontban az f (x) függvény

megkülönböztethető

f ′ (x) ≠ 0, akkor a megfelelő pontban

a ϕ (y) függvény is differenciálható (y-hoz képest), és

Bizonyíték.

állítsuk be a növekményt

x = ϕ (y)

növeli

(csökkenő)

x = ϕ (y + y )− ϕ (y )≠ 0és

A tétel feltételei között

x = ϕ (y)

x → 0

y → 0

folytonos (3.2. Tétel), ami miatt

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete