Eszközök és tartozékok a munkához. Összetett ábra súlypontjának koordinátáinak kiszámítása Excelben

Utasítás

Próbáld megtalálni a központot gravitáció lakás figurák empirikusan. Vegyünk egy új, élezetlen ceruzát, és helyezzük függőlegesen. Helyezzen rá egy lapos figurát. Jelölje be az ábrán azt a pontot, ahol az stabilan áll a ceruzán. Ez lesz a központ gravitáció a tiéd figurák. Ceruza helyett egyszerűen használja felfelé nyújtott mutatóujját. De ez azért van, mert gondoskodnia kell arról, hogy az ujj egyenesen álljon, ne billegjen vagy remegjen.

Annak bizonyítására, hogy a kapott pont a tömegközéppont, készítsen lyukat egy tűvel. Fűzzünk át egy cérnát a lyukon, és kössünk csomót az egyik végére, hogy a cérna ne ugorjon ki. A cérna másik végét megfogva lógassa le róla a testét. Ha a központ gravitációÍgy van, az alak pontosan, a padlóval párhuzamosan helyezkedik el. Az oldala nem fog inogni.

Keresse meg a központot gravitáció figurák mértanilag. Ha kapsz egy háromszöget, építsd meg a . Ezek a szakaszok összekötik a háromszög csúcsait a szemközti oldal közepével. A lényeg lesz központ háromszög tömegek. Az oldal felezőpontjának megtalálásához akár félbe is hajthatja a figurát, de ne feledje, hogy ez megzavarja az egyenletességet figurák.

Hasonlítsa össze a kapott eredményeket geometriailag és kísérletileg! Jelentse a kísérlet előrehaladását. A kis hibák normálisnak számítanak. A tökéletlenséggel magyarázzák figurák, műszerek pontatlansága, emberi tényező (kisebb munkahibák, emberi szem tökéletlensége stb.).

Források:

• Lapos alak súlypontjának koordinátáinak kiszámítása

Az ábra középpontja többféleképpen is megtalálható, attól függően, hogy milyen adatok ismertek már róla. Érdemes megfontolni egy kör középpontjának megtalálását, amely a középponttól egyenlő távolságra lévő pontok gyűjteménye, mivel ez az egyik leggyakoribb ábra.

Szükséged lesz

• - négyzet;
• - vonalzó.

Utasítás

A kör középpontjának megtalálásának legegyszerűbb módja, ha meghajlítjuk a papírlapot, amelyre rajzoltuk, és a résre nézve megbizonyosodunk arról, hogy pontosan félbe van hajtva. Ezután hajtsa be a lapot az első hajtásra merőlegesen. Így átmérőket kapunk, amelyek metszéspontja az ábra közepe.

P1= m1*g, P2= m2*g;

A súlypont a két tömeg között van. És ha az egész testet t.O-ban felfüggesztjük, egyensúlyi állapot következik be, vagyis ezek megszűnnek felülmúlni egymást.

Különféle geometriai alakzatoknak van fizikája és számításai a súlypontra vonatkozóan. Mindegyiknek megvan a maga megközelítése és saját módszere.

Tekintettel a korongra, tisztázzuk, hogy a súlypont benne van, pontosabban az átmérők (ahogy az ábrán látható a t.C - az átmérők metszéspontja). A paralelepipedon vagy egy homogén gömb középpontja ugyanúgy megtalálható.

A bemutatott korong és két m1 és m2 tömegű test homogén tömegű és szabályos alakú. Itt megjegyezhető, hogy az általunk keresett súlypont ezeken a tárgyakon belül van. Az inhomogén tömegű és szabálytalan alakú testeknél azonban a középpont túl is található. Érzi, hogy a feladat egyre nehezebbé válik.

A „fiúnak látszó nők” divatja már rég elmúlt, de a szebbik nem képviselői továbbra is lapos fenekre vágynak. Bár manapság „divat” a virágzó szexualitás, a harmonikus, szép és edzett test demonstrálása. Valójában ebben az esetben a szép fenék nem csak a női, hanem a férfi szépség elengedhetetlen alkotóeleme.

Utasítás

Annak érdekében, hogy szamár lakás, akkor a következőket kell tennie. 1. gyakorlat: „A lábak felemelése” Ezt a gyakorlatot több változatban is elvégezheti – álljon négykézláb – a kiindulási helyzetben, majd emelje fel mindegyik lábát úgy, hogy a comb párhuzamos legyen a padlóval. Rögzítse a lábát nyomott helyzetbe, és rugózó mozdulatokat hajtson végre felfelé. Ugyanakkor ügyeljen a lábának a boka- és térdízületekben történő rögzítésére, próbálja meg ne változtatni ezt a pozíciót.

2. gyakorlat: „A medence felemelése” Feküdj le, helyezd a karjaidat párhuzamosan a testeddel, és hajlítsd be a lábaidat térdre. Ezt követően emelje fel a medencéjét a padlóról, erősen megfeszítve a fenekét. Ebben az esetben a felső rész és a kezek nem szállhatnak le a padlóról. Ugyanabban a helyzetben végezzen ruganyos felfelé mozdulatokat.

3. gyakorlat: „Emelés” Álljon vállszélességű lábbal. Felváltva emelje fel és engedje le az egyik térdét, amennyire csak lehetséges. Amikor felemeli a térdét, próbáljon meg egy lábon maradni mozgás nélkül, amíg csak lehetséges. Ez a gyakorlat nagyon jól működik azon a területen, amely közvetlenül a fenék felett található.

4. gyakorlat: „Guggolás kismedencei elrablással” Álljon úgy, hogy a lábai szélesebbek legyenek, mint a vállai, és a lábai párhuzamosak legyenek velük. Ebben az esetben a bal lábnak kissé a jobb mögött kell lennie. Ezután guggoljon le, támaszkodjon a bal lábára, és mozgassa hátra a medencéjét. Ugyanakkor nyújtsa ki a karját a bal lába előtt, tartsa egyenesen a hátát. Ezt követően álljon fel, helyezze át teljes súlyát a jobb lábára, vegye vissza a bal lábát, és emelje fel a karját a feje fölé, majd ismételje meg a lábát.

5. gyakorlat: „Kitörés a kocsikerékkel”. Ezután dőljön előre a csípőtől. Ugyanakkor tárja szélesre a karját, mintha kocsikereket akarna csinálni. Tartsa ezt a pozíciót néhány másodpercig, majd álljon fel, megtartva a jobb láb helyzetét. A bal kezével tegyen egy lépést balra, és fordítsa kifelé a lábujját. Guggoljon le, és dőljön balra.

Videó a témáról

Források:

• lapos popsi 2019-ben

A hétköznapi értelemben a tömegközéppont az a pont, amelyre a testre ható összes erő eredője alkalmazható. A legegyszerűbb példa egy gyermekhinta egy közönséges tábla formájában. Számítások nélkül minden gyerek úgy választja ki a deszka támasztékát, hogy egyensúlyban tartsa a hintán álló nehéz embert (és talán még túl is nyomjon). Összetett testek és metszetek esetén a pontos számítások és a megfelelő képletek nélkülözhetetlenek. Még ha nehézkes kifejezéseket kap is, a legfontosabb, hogy ne féljen tőlük, hanem emlékezzen arra, hogy kezdetben arról beszélünk szinte elemi feladatról.

Utasítás

Tekintsük a legegyszerűbb kart (lásd az 1. ábrát) egyensúlyi helyzetben. Helyezzen x12-t a vízszintes tengelyre az abszcisszával, és helyezzen m₁ és m2 tömegű anyagpontokat az élekre. Tekintsük a koordinátáikat a 0x tengely mentén ismertnek és egyenlőnek x₁ és x2. A kar akkor van egyensúlyi helyzetben, ha a súlyerők Р1=m₁g és P₂=m₂g nyomatékai egyenlőek. A nyomaték egyenlő az erő szorzatával a karjával, amely az erő alkalmazási pontjától a függőlegeshez x=x12 függőlegesre leengedett merőleges hosszaként adódik. Ezért az 1. ábra szerint m1gℓ1=m2gℓ2, 11=х12-х1, ℓ₂=х2-512. Ekkor m₁(х₂2-х₁)=m₂(х2-х12). Oldja meg ezt az egyenletet, és kapja meg, hogy x₁₂=(m1x₁+m2x2)/(m₁+m₂).

Az y12 ordináta meghatározásához ugyanazt az érvelést és számításokat kell alkalmazni, mint az 1. lépésben. Továbbra is kövesse az 1. ábrán látható ábrát, ahol m₁gh₂=m2gh₂, h₁=y₁₂-y₂, h2=y2-y12. Ekkor m1(y12-y1)=m2(y2-y12). Az eredmény: y12=(m101+m202)/(m1+m2). Ezután vegyük figyelembe, hogy a kétpontos rendszer helyett a teljes tömeg (m₁+m₂) egy M₁₂(x12,у12) pontja van.

A kétpontos rendszerhez adjunk hozzá egy másik tömeget (m₃) koordinátákkal (x3, y₃). Számításkor továbbra is azt kell feltételezni, hogy két ponttal van dolgunk, ahol a másodiknak tömege (m₁+m₂) és koordinátái (x12,y12) vannak. Az 1. és 2. lépés összes műveletét megismételve erre a két pontra, a három pont középpontjába kerül x1x₁+m₂x₂+m₃x3)/(m1+m₂+m3), y₁₂3=(m₁у₁+m3) m1 +m2 +m3). Ezután adja hozzá a negyedik, ötödik és így tovább pontokat. Ugyanazon eljárás többszöri megismétlése után győződjön meg arról, hogy egy n pontból álló rendszerre a súlypont koordinátáit a képlet segítségével számítjuk ki (lásd 2. ábra). Jegyezze meg magának azt a tényt, hogy a munka során a gravitációs gyorsulás g csökkent. Ezért a tömegközéppont és a súlypont koordinátái egybeesnek.

Képzeljük el, hogy a vizsgált szakaszon van egy bizonyos D tartomány, amelynek felületi sűrűsége ρ=1. Az ábrát felülről és alulról az y=φ(x) és y=ψ(x), x є [a,b] görbék grafikonjai korlátozzák. Osszuk fel a D területet x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) függőlegesekkel vékony csíkokra úgy, hogy azokat megközelítőleg ∆хi alappal rendelkező téglalapoknak tekintsük (lásd az 1. ábrát). .3). Ebben az esetben tekintsük a ∆хi szakasz közepét egybeesőnek a ξi=(1/2) tömegközéppont abszcisszájával. Tekintsük a téglalap magasságát megközelítőleg [φ(ξi)-ψ(ξi)]-nak. Ekkor az elemi terület tömegközéppontjának ordinátája ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].

A sűrűség egyenletes eloszlása ​​miatt vegye figyelembe, hogy a szalag tömegközéppontja egybeesik a geometriai középpontjával. A megfelelő ∆mi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]∆хi elemi tömeg a (ξi,ηi) pontban koncentrálódik. Eljött a pillanat a fordított átmenetre a diszkrét formában bemutatott tömegről a folyamatosra. A súlypont koordinátáinak kiszámítására szolgáló képleteknek megfelelően (lásd 2. ábra) integrál összegeket képezünk, amelyeket a 4a ábra szemléltet. Ha a ∆xi→0 (ξi→xi) határértékre megy át összegekből határozott integrálokra, kapja meg a végső választ (4b. ábra). A válaszban nincs tömeg. Az S=M egyenlőség csak mennyiségi értelemben értendő. A méretek itt különböznek egymástól.

A háromszög mediánja az az átmérő, amely az alappal párhuzamos húrokat kettévágja, ezért a háromszög területének súlypontja (217) rajta van. Következésképpen a háromszög három mediánja, metszi egymást, meghatározza a háromszög területének súlypontját.

Az elemi megfontolások azt mutatják, hogy a háromszög mediánjai a megfelelő csúcshoz képest mindegyik hosszuk kétharmadának megfelelő pontban metszik egymást. Ezért a háromszög területének súlypontja bármelyik középpontján fekszik, a hosszának kétharmadának távolságra a csúcstól.

219. Négyszög.

A négyszög területének súlypontját két egyenes metszéspontja határozza meg, amelyet a súlypontok eloszlási tulajdonságának alkalmazásával kapunk (213. tétel).

Először osszuk fel a négyszöget átlósan két háromszögre. Egy négyszög súlypontja azon az egyenesen fekszik, amely e háromszögek súlypontjait összeköti. Ez az egyenes az első a két kötelező egyenes közül.

Ugyanígy megkapjuk a második egyenest is, a négyszöget két (az előzőektől eltérő) háromszögre osztva egy másik átló segítségével.

220. Sokszög.

Tudjuk, hogyan találjuk meg egy háromszög és egy négyszög területének súlypontját. Egy tetszőleges számú oldallal rendelkező sokszög területének súlypontjának meghatározásához tegyük fel, hogy tudjuk, hogyan találjuk meg egy kisebb oldalszámú sokszög területének súlypontját.

Ezután ugyanazt teheti, mint a négyszög esetében. Egy adott sokszög területét két különböző módon osztjuk két részre átlók rajzolásával. Mindkét esetben az egyes részek súlypontja közvetlenül kapcsolódik egymáshoz. Ez a két vonal a kívánt súlypontban metszi egymást.

221. Körív.

Legyen szükség egy s hosszúságú AB körív súlypontjának meghatározására. Hasonlítsuk össze a kört két egymásra merőleges OX és OY átmérővel, amelyek közül az első átmegy az AB ív C közepén. A súlypont az OX tengelyen fekszik, ami a szimmetriatengely. Ezért elegendő meghatározni az 5-öt. Ehhez a következő képletet kapjuk:

Legyenek ezek: a - a kör sugara, c - az AB húr hossza, - az OX tengely és az elemértékekhez húzott sugár közötti szög, amely megfelel az AB ív végeinek. Nálunk:

Ezután B-t integrációs változónak véve és az AB ív mentén végrehajtva az integrációt, a következőt kapjuk:

Következésképpen a körív súlypontja az ív közepén áthúzott sugáron van egy olyan pontban, amelynek távolsága a kör középpontjától a negyedik arányos az ív hosszával, a sugárral és a húrral.

222. Körkörös szektor.

A körív és két OA és OB sugár közé zárt szektor közbülső sugarak segítségével végtelenül kicsi, egymással egyenlő szektorokra bontható. Ezeket az elemi szektorokat végtelenül keskeny háromszögeknek tekinthetjük; mindegyik súlypontja az előző szerint az e szektor elemi ívének közepén áthúzott sugáron fekszik, a sugár hosszának kétharmadának távolságra a kör középpontjától . Az összes elemi háromszög egyenlő tömege a súlypontjukban koncentrálva egy egyenletes körívet alkot, amelynek sugara egyenlő a szektorív sugarának kétharmadával. A vizsgált eset így ennek a homogén ívnek a súlypontjának megtalálására redukálódik, vagyis az előző bekezdésben megoldott problémára.

223. Tetraéder.

Határozzuk meg a tetraéder térfogatának súlypontját. Az egyik élen átmenő és a szemközti él közepén átmenő sík az az átmérős sík, amely az utolsó éllel párhuzamos húrokat kettévágja: ezért ez tartalmazza a tetraéder térfogatának súlypontját. Következésképpen a tetraéder hat síkja, amelyek mindegyike átmegy az egyik élen és a szemközti él közepén, egy pontban metszi egymást, amely a tetraéder térfogatának súlypontját jelenti.

Tekintsük az ABCD tetraédert (37. ábra); kössük össze az A csúcsot az alap BCD I súlypontjával; Az AI egyenes az áthaladó átmérős síkok metszéspontja

az AB éleken keresztül, és ezért tartalmazza a kívánt súlypontot. A pont a BH medián kétharmadának távolságára helyezkedik el a B csúcstól. Ugyanígy vegyünk egy K pontot az AH mediánon, amely a hosszának kétharmadánál van a csúcstól. A B K egyenes metszi az A vonalat a tetraéder súlypontjában. Levonjuk az ABN és JN háromszögek hasonlóságából, jól látható, hogy IK az AB harmadik része), majd a háromszögek és a BGA hasonlóságából arra következtetünk, hogy van egy harmadik rész.

Következésképpen a tetraéder térfogatának súlypontja azon a szakaszon található, amely a tetraéder bármely csúcsát összeköti a szemközti oldal súlypontjával, a szegmens hosszának háromnegyedére a csúcstól.

Vegyük észre azt is, hogy két szemközti él R és L felezőpontját összekötő egyenes (38. ábra) az ezeken az éleken átmenő átmérős síkok metszéspontja, amely átmegy a tetraéder súlypontján is. Így a tetraéder ellentétes éleinek felezőpontjait összekötő három egyenes metszi egymást a súlypontjában.

Legyen H és egy pár szemközti él felezőpontja (38. ábra), M, N pedig két másik szemközti él felezőpontja. A HNLM ábra egy paralelogramma, amelynek oldalai rendre párhuzamosak a többivel

két borda. A két szemközti él felezőpontját összekötő HL és MN egyenesek ennek a paralelogrammának az átlói, ami azt jelenti, hogy a metszéspontban ketté vannak osztva. Így a tetraéder súlypontja a tetraéder két ellentétes élének felezőpontját összekötő szakasz közepén található.

224. Sokszög alapú gúla.

A piramis súlypontja azon a szakaszon fekszik, amely a gúla tetejét összeköti az alap súlypontjával, e szakasz hosszának háromnegyede a csúcstól.

Ennek a tételnek a bizonyítására a piramist tetraéderekre bontjuk a piramis tetején és az ABCD alap átlóin keresztül húzott síkokkal (például BD a 39. ábrán).

Rajzoljunk egy síkot, amely az éleket a hosszuk háromnegyedének távolságára metszi felülről. Ez a sík tartalmazza a tetraéderek, tehát a piramisok súlypontjait. A tetraéderek tömegei, amelyekről feltételezzük, hogy súlypontjukban koncentrálódnak, arányosak a térfogatukkal, tehát az alapok területével (39. ábra) vagy a háromszögek területével is rossz, ágy,..., hasonló az előzőekhez és az abcd szekáns síkban helyezkedik el... Így tehát a kívánt súlypont egybeesik az abcd sokszög súlypontjával. Ez utóbbi azon az egyenesen fekszik, amely összeköti a piramis S csúcsát az alapsokszög (hasonlóan elhelyezkedő) tömegközéppontjával.

225. Prizma. Henger. Kúp.

A szimmetria alapján a prizma és a henger súlypontjai az alapok súlypontjait összekötő szakasz közepén helyezkednek el.

Ha a kúpot egy azonos csúcsú gúla határának tekintjük, akkor meg vagyunk győződve arról, hogy a kúp súlypontja a kúp csúcsát az alap tömegközéppontjával összekötő szakaszon van. e szakasz hosszának háromnegyede a csúcstól számítva. Azt is mondhatjuk, hogy a kúp súlypontja egybeesik a kúp metszetének súlypontjával az alappal párhuzamos és a kúp magasságának egynegyedére az alaptól húzott síkkal.

Súlypont(vagy tömegközéppont) egy bizonyos test olyan pontja, amelynek megvan az a tulajdonsága, hogy ha a testet felfüggesztjük erről a pontról, akkor megtartja pozícióját.

Az alábbiakban a különböző tömegközéppontok keresésével kapcsolatos kétdimenziós és háromdimenziós problémákat vizsgáljuk meg - elsősorban a számítási geometria szempontjából.

Az alábbiakban tárgyalt megoldásokban két fő megoldás különíthető el: tény. Az első az, hogy egy anyagi pontrendszer tömegközéppontja egyenlő koordinátáik átlagával, tömegükkel arányos együtthatókkal véve. A második tény az, hogy ha ismerjük két nem metsző alak tömegközéppontját, akkor egyesülésük tömegközéppontja a két középpontot összekötő szakaszon lesz, és azt ugyanolyan arányban osztja el, mint a tömegközéppontot. a második ábra az első tömegére vonatkozik.

Kétdimenziós eset: sokszögek

Valójában, amikor egy kétdimenziós alak tömegközéppontjáról beszélünk, az alábbi három egyikét érthetjük feladatokat:

• A pontrendszer tömegközéppontja - i.e. az összes tömeg csak a sokszög csúcsaiban összpontosul.
• A keret tömegközéppontja - i.e. Egy sokszög tömege a kerületére koncentrálódik.
• Egy szilárd alak tömegközéppontja - i.e. A sokszög tömege eloszlik a teljes területén.

E problémák mindegyikének van önálló megoldása, és az alábbiakban külön tárgyaljuk őket.

A pontrendszer tömegközéppontja

Ez a három probléma közül a legegyszerűbb, és megoldása az anyagi pontrendszer tömegközéppontjának jól ismert fizikai képlete:

hol vannak a pontok tömegei, azok sugárvektorai (meghatározva az origóhoz viszonyított helyzetüket), és a tömegközéppont kívánt sugárvektora.

Különösen, ha minden pontnak azonos tömege van, akkor a tömegközéppont koordinátái: számtani átlag pontok koordinátái. Mert háromszög ezt a pontot hívják súlypontés egybeesik a mediánok metszéspontjával:

Mert bizonyíték Ezek a képletek elegendőek ahhoz, hogy emlékezzünk arra, hogy az egyensúly olyan ponton jön létre, ahol az összes erő nyomatékainak összege nulla. Ebben az esetben ez azt a feltételt jelenti, hogy a ponthoz viszonyított összes pont sugárvektorának összege, megszorozva a megfelelő pontok tömegével, egyenlő nullával:

és innen kifejezve megkapjuk a szükséges képletet.

Keret tömegközéppontja

De ekkor a sokszög minden oldala helyettesíthető egy ponttal - ennek a szegmensnek a közepével (mivel egy homogén szegmens tömegközéppontja ennek a szegmensnek a közepe), a tömeg megegyezik a szegmens hosszával.

Most van egy problémánk az anyagi pontrendszerrel kapcsolatban, és az előző bekezdés megoldását alkalmazva azt kapjuk, hogy:

ahol a sokszög i-edik oldalának felezőpontja, az i-edik oldal hossza, a kerülete, azaz. az oldalak hosszának összege.

Mert háromszög a következő állítás mutatható meg: ez a pont az felező metszéspont egy háromszög, amelyet az eredeti háromszög oldalainak felezőpontjai alkotnak. (Ennek bemutatásához a fenti képletet kell használni, majd észre kell venni, hogy a felezők a kapott háromszög oldalait ugyanolyan arányban osztják el, mint ezen oldalak tömegközéppontja).

Szilárd alak tömegközéppontja

Úgy gondoljuk, hogy a tömeg egyenletesen oszlik el az ábrán, azaz. a sűrűség az ábra minden pontjában azonos számmal egyenlő.

Háromszög tok

Azt állítják, hogy egy háromszög esetében a válasz ugyanaz súlypont, azaz a csúcsok koordinátáinak számtani átlaga által alkotott pont:

Háromszög eset: bizonyíték

Itt egy elemi bizonyítást adunk, amely nem használja az integrálok elméletét.

Archimedes volt az első, aki ilyen tisztán geometriai bizonyítékot adott, de ez nagyon összetett volt, sok geometriai konstrukcióval. Az itt közölt bizonyíték Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way" című cikkéből származik.

A bizonyítás lényege annak bemutatása, hogy a háromszög tömegközéppontja az egyik mediánon fekszik; Ha ezt a folyamatot még kétszer megismételjük, megmutatjuk, hogy a tömegközéppont a mediánok metszéspontjában, azaz a súlypontban van.

Osszuk négy részre ezt a háromszöget, összekötve az oldalak felezőpontjait, az ábrán látható módon:

A kapott négy háromszög hasonló az együtthatójú háromszöghöz.

Az 1-es és a 2-es háromszögek együtt alkotnak egy paralelogrammát, amelynek tömegközéppontja az átlóinak metszéspontjában van (mivel ez egy olyan alakzat, amely mindkét átlóra szimmetrikus, és így a középpontja is tömegnek mind a két átlón kell feküdnie). A pont az 1. és 2. számú háromszög közös oldalának közepén található, és szintén a háromszög mediánján található:

Legyen most a vektor az 1. számú háromszög csúcsától a tömegközéppontig húzott vektor, és legyen a vektor a pontig húzott vektor (amely, emlékezzünk, annak az oldalnak a közepe, amelyen fekszik) :

Célunk, hogy megmutassuk, hogy a és a vektorok kollineárisak.

Jelöljük és -vel azokat a pontokat, amelyek a 3. és 4. számú háromszögek tömegközéppontjai. Ekkor nyilvánvalóan e két háromszög halmazának tömegközéppontja lesz a pont, amely a szakasz közepe. Ráadásul a pontról pontra tartó vektor egybeesik a vektorral.

A háromszög kívánt tömegközéppontja a pontokat összekötő szakasz közepén található és (mivel a háromszöget két egyenlő területű részre osztottuk: 1-2. és 3.-4.):

Így a csúcstól a súlypontig tartó vektor . Másrészt azért, mert az 1. számú háromszög hasonló egy együtthatós háromszöghöz, akkor ugyanaz a vektor egyenlő . Innen kapjuk az egyenletet:

hol találjuk:

Így bebizonyítottuk, hogy a és vektorok kollineárisak, ami azt jelenti, hogy a kívánt súlypont a csúcsból kiinduló mediánon fekszik.

Sőt, menet közben bebizonyítottuk, hogy a centroid a csúcstól számítva minden mediánt eloszt az arányban.

Sokszög tok

Térjünk most át az általános esetre - pl. az alkalomra poligon. Számára ez az érvelés már nem alkalmazható, ezért a feladatot háromszögre redukáljuk: nevezetesen a sokszöget háromszögekre osztjuk (azaz háromszögeljük), megkeressük minden háromszög tömegközéppontját, majd megkeressük a középpontját. a háromszögek kapott tömegközéppontjainak tömege.

A végső képlet a következő:

ahol a háromszög súlypontja egy adott sokszög háromszögelésében, a háromszögelés harmadik háromszögének területe, a teljes sokszög területe.

Egy konvex sokszög háromszögelése triviális feladat: ehhez például vehetünk háromszögeket, ahol .

Sokszög eset: alternatív módszer

Másrészt a fenti képlet használata nem túl kényelmes nem konvex sokszögek, hiszen ezek háromszögelése önmagában nem egyszerű feladat. De az ilyen sokszögeknél egyszerűbb megközelítést is kitalálhat. Nevezetesen, rajzoljunk egy analógiát azzal, hogyan kereshet egy tetszőleges sokszög területét: kiválasztunk egy tetszőleges pontot, majd az ebből a pontból és a sokszög pontjaiból alkotott háromszögek előjel-területeit összegezzük: . Hasonló technika használható a tömegközéppont megkeresésére: csak most összegezzük a háromszögek tömegközéppontjait a területükkel arányos együtthatókkal, pl. A tömegközéppont végső képlete:

ahol egy tetszőleges pont, a sokszög pontjai, a háromszög súlypontja, ennek a háromszögnek az előjeles területe, a teljes sokszög előjeles területe (azaz).

Háromdimenziós tok: poliéder

A kétdimenziós esethez hasonlóan a 3D-ben is azonnal a probléma négy lehetséges megfogalmazásáról beszélhetünk:

• A pontrendszer tömegközéppontja - a poliéder csúcsai.
• A keret tömegközéppontja a poliéder élei.
• A felület tömegközéppontja - i.e. a tömeg eloszlik a poliéder felületén.
• A tömör poliéder tömegközéppontja - i.e. a tömeg eloszlik a poliéderben.

A pontrendszer tömegközéppontja

Mint a kétdimenziós esetben, alkalmazhatjuk a fizikai képletet, és ugyanazt az eredményt kapjuk:

amely egyenlő tömegek esetén minden pont koordinátáinak számtani átlagává alakul.

A poliéder keret tömegközéppontja

A kétdimenziós esethez hasonlóan egyszerűen lecseréljük a poliéder minden élét egy, ennek az élnek a közepén található anyagponttal, és ennek az élnek a hosszával megegyező tömeggel. Miután megkaptuk az anyagi pontok problémáját, könnyen megtaláljuk a megoldását e pontok koordinátáinak súlyozott összegeként.

A poliéder felületének tömegközéppontja

A poliéder felületének minden lapja egy kétdimenziós alakzat, amelynek tömegközéppontját kereshetjük. Ha megtaláltuk ezeket a tömegközéppontokat, és minden oldalt a tömegközéppontjukkal helyettesítünk, az anyagi pontokkal egy olyan problémát kapunk, amely már könnyen megoldható.

Szilárd poliéder tömegközéppontja

A tetraéder esete

Mint a kétdimenziós esetben, először is oldjuk meg a legegyszerűbb problémát – a tetraéder problémáját.

Azt állítják, hogy a tetraéder tömegközéppontja egybeesik a mediánjainak metszéspontjával (a tetraéder mediánja a csúcsától a szemközti oldal tömegközéppontjáig húzott szakasz; így a tetraéder mediánja áthalad a csúcson és egy háromszöglap mediánjainak metszéspontján).

Miért van ez így? Itt a kétdimenziós esethez hasonló érvelés helyes: ha egy tetraédert két tetraéderre vágunk a tetraéder csúcsán átmenő sík és az ellentétes lap valamelyik mediánja segítségével, akkor mindkét kapott tetraéder térfogata azonos lesz (hiszen a háromszöglap a medián által két egyenlő területű háromszögre lesz osztva, és a két tetraéder magassága nem változik). Ezeket az érveket többször megismételve azt találjuk, hogy a tömegközéppont a tetraéder mediánjainak metszéspontjában van.

Ezt a pontot - a tetraéder mediánjainak metszéspontját - annak nevezzük súlypont. Kimutatható, hogy valójában a tetraéder csúcsainak koordinátáinak számtani átlagával megegyező koordinátákkal rendelkezik:

(erre abból lehet következtetni, hogy a centroid az arányban osztja el a mediánokat)

A tetraéder és a háromszög esetei között tehát nincs alapvető különbség: a csúcsok számtani középértékével megegyező pont a tömegközéppont a feladat két megfogalmazásában: mindkettőben, ha a tömegek csak a csúcsokban helyezkednek el, és amikor a tömegek eloszlanak a teljes területen/térfogatban. Valójában ez az eredmény egy tetszőleges dimenzióra általánosít: egy tetszőleges tömegközéppontra szimplex(szimplex) a csúcsai koordinátáinak számtani átlaga.

Egy tetszőleges poliéder esete

Térjünk most át az általános esetre – egy tetszőleges poliéder esetére.

Ismét, mint a kétdimenziós esetben, ezt a problémát egy már megoldottra redukáljuk: a poliédert tetraéderekre osztjuk (azaz tetraéderesítjük), megkeressük mindegyik tömegközéppontját, és megkapjuk a végső választ a kérdésre. a probléma a talált középpontok súlyozott összege wt.

A súlypont fogalma már az ókorban felmerült; Archimedes nagyban hozzájárult a súlypontok elméletének kidolgozásához. Annak ellenére, hogy a súlypont fogalmát ma már inkább fizikaórákon, mint matematikából tanulják, fontos szerepet játszik a geometriában. Különösen már Arkhimédész esetében a súlypont fogalma megkönnyítette egyes alakzatok (például egy parabola szegmens), valamint a különböző térbeli testek (különösen egy labda) térfogatának megtalálását. ).

„A lapos testek egyensúlyáról vagy a lapos alakok súlypontjairól” című értekezésében Arkhimédész axiomatikusan fejti ki a súlypontok elméletét, ahogyan Eukleidész is kifejti a geometriát az „Elemek” című könyvében. Először bizonyos számú „feltételezést”, azaz axiómát adunk meg.

Itt az „egyenlő” ismét egyenlő méretűt jelent, jelen esetben – azonos súlyú. A javaslat lényege, hogy ha bizonyos számok felfüggesztve egyensúlyban vannak, akkor az egyensúly nem sérül, ha bármelyiket azonos súlyú számmal helyettesítjük.

Rizs. 2. Két, a harmadikkal egyenlő súlyú szám egyenlő

Ezekre a feltételezésekre alapozva Arkhimédész számos következményt bizonyít.

Az „Egyensúlyról...” című könyvben szereplő bizonyítások főként „ellentmondásos” módszerrel valósulnak meg. Tekintsük például az 1. következményt. Legyenek a megadott súlyok egyenlő hosszon kiegyensúlyozva egyenlőtlenek. Majd miután a nagyobbból kiveszünk valamit, és hozzáadjuk a kisebbhez, az egyensúlyt meg kell szakítani (a 2. és 3. axióma szerint), és ez ellentmond annak, hogy az egyenlő hosszúságú testek kiegyensúlyozódnak (az 1. axióma szerint). ).

Ennek bizonyítására Arkhimédész külön-külön két esetet vesz figyelembe: a megadott súlyok arányosak vagy összemérhetetlenek. Az első esetben mindkét test súlya egy bizonyos P 0 súly többszöröse: P 1 = n 1 P 0, P 2 = n 2 P 0. Arkhimédész egy P 1 súlyú testet n 1 egyenként P 0 súlyú testtel, egy P 2 súlyú testet pedig n 2 P 0 súlyú testtel helyettesít, és mindezeket (n 1 + n 2) egy egyenesre helyezi. hogy a szomszédosok súlyainak középpontjai egyenlő távolságra helyezkedjenek el egymástól.

Ráadásul a 6. feltevés szerint ez a fajta csere nem befolyásolja a súlypont helyzetét. És mivel a 3. következtetés szerint ezeknek az (n 1 + n 2) testeknek középen van a súlypontja, akkor az eredeti két testnél ugyanott van. Ebből következik, hogy l 1 /l 2 = P 2 /P 1 .

Az összemérhetetlen súlyok esetében Arkhimédész ismét ellentmondással érvel: feltételezi, hogy a súllyal rendelkező és a feltételt kielégítő szegmensekre felfüggesztett testek nem lesznek egyensúlyban. Ez azt jelenti, hogy a súly több vagy kevesebb lesz, mint az egyensúlyhoz szükséges. Ha nagyobb, akkor levonunk belőle valamilyen súlyt úgy, hogy a fennmaradó súly egyrészt még mindig nagyobb legyen, mint az egyensúlyhoz szükséges, másrészt úgy, hogy egyrészt arányos legyen akkor mivel nagyobb az egyensúlyhoz szükségesnél), másrészt (mert kiderül, hogy ellentmondás, ami azt jelenti, hogy nem lehet több, mint amennyi az egyensúlyhoz szükséges. Ha kisebb, mint az egyensúlyhoz szükséges, akkor többet jelent, és ugyanaz az érvelés viszonylagosan végrehajtható. Tehát a tőkeáttétel törvénye bebizonyosodott.

(Ismert, hogy a kar nagy helyet foglalt el Arkhimédész tevékenységében - nemcsak elméleti szerelő, hanem a ténylegesen használt mechanikai eszközök tervezője is; Arkhimédész szavai: „Adj egy támaszpontot, és megmozgatom a Földet” gyakran idézik).

A már elmondottak alapján világos, hogyan lehet például megtalálni az ABC háromszög csúcsaiban elhelyezkedő három egyenlő pontsúly súlypontját. Ugyanis az A és B pontban lévő (egy testnek tekintett) terhelések súlypontja az AB szakasz közepén helyezkedik el, és mindhárom csúcs súlypontjának a C csúcsot összekötő egyenesen kell lennie. az AB oldal közepe, vagyis a C pontból húzott háromszög mediánján, és azt a (PA + PB) arányban kell osztania: PC = 2:1 a C tetejétől számítva. Mivel ugyanez az érvelés vonatkozik a másik két mediánra is, kiderül, hogy mindhárom medián egy pontban metszi egymást (nevezetesen egyetlen súlypontban), és a csúcstól számítva 2:1 arányban osztjuk el vele. Ezt az állítást általában "medián tételnek" nevezik. Rizs. 7. A medián tétel bizonyítása a tőkeáttétel törvényével történik A súlypont fogalmát használva próbálja meg bizonyítani a következő tételeket egy tetszőleges DABC tetraéderre (vagyis egy 4 háromszögből álló háromszög piramisra). Arkhimédész munkáiban néhány lapos alak súlypontját keresi (ezeket feltételezik, hogy vastagságban és sűrűségben egységesek). A szimmetriából meglehetősen könnyű megérteni, hogy a paralelogramma súlypontja az átlók metszéspontjában van. Kevésbé nyilvánvaló, hogy hol van a háromszög súlypontja. Kiderült, hogy a mediánok metszéspontjában is található: ezért ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezik (és nem csak a háromszög három csúcsának súlypontjának). Elegendő bebizonyítani, hogy a súlypont a háromszög tetszőleges mediánján fekszik (mivel így mindháromon fekszik, egybeesik a metszéspontjukkal). Arkhimédész kétféleképpen hajtja végre a bizonyítást; csak egyet fogunk figyelembe venni. Archimedes ismét ellentmondással bizonyítja: legyen az ABC háromszög súlypontja valami olyan G pont, amely nem az AD mediánon fekszik. Kössük össze ezt a pontot az A, B és C pontokkal. Rajzoljunk DE, DF és EF szakaszokat, ahol E az AB felezőpontja, F pedig az AC felezőpontja. Rajzoljuk EK-t és FL-t párhuzamosan AG-val (K az AG-n, L a BG-n fekszik). Legyen EF metszéspontja AG-vel az M pontban, KL pedig DG-vel az N pontban. Tekintsük a BED háromszöget. Mivel hasonló a BAC háromszöghez, a súlypontja hasonló módon helyezkedik el, ezért egybeesik a K ponttal (a BAG és BEK háromszögek szögeinek egyenlősége miatt hasonlóak). Hasonlóképpen, a DFC háromszög súlypontja egybeesik az L ponttal. Az ebből a két háromszögből képzett ábra súlypontja a KL szakasz közepén helyezkedik el (mivel a BED és a DFC háromszögek egyenlőek), és egybeesik az N ponttal (ami hasonló háromszögekkel is ábrázolható). A LEDF paralelogramma súlypontja az M pontban van. Ez azt jelenti, hogy az ebből a paralelogrammából és a BED és DFC háromszögekből álló teljes ABC háromszög súlypontja az MN szakaszhoz tartozik. Ez azt jelenti, hogy a G pont az MN szakaszon fekszik, ami lehetetlen, hacsak G nem az AD mediánon van. Tehát a háromszög súlypontja valóban egybeesik a mediánok metszéspontjával.

6.1. Általános információk

Párhuzamos erők központja
Tekintsünk két párhuzamos erőt, amelyek egy irányba irányulnak, és , amelyek pontokban a testre vonatkoznak A 1 és A 2 (6.1. ábra). Ennek az erőrendszernek van egy eredője, amelynek hatásvonala egy bizonyos ponton halad át VEL. Pont pozíció VEL a Varignon-tétel segítségével találhatjuk meg:

Ha megfordítja az erőket és közel a pontokhoz A 1 és A 2 egy irányban és ugyanabban a szögben, akkor kapunk egy új párhuzamos salas rendszert azonos modulokkal. Ebben az esetben az eredőjük is átmegy a ponton VEL. Ezt a pontot párhuzamos erők középpontjának nevezzük.
Tekintsük a szilárd testre pontokban ható párhuzamos és azonos irányú erők rendszerét. Ennek a rendszernek van eredménye.
Ha a rendszer minden egyes erejét az alkalmazási pontok közelében ugyanabban az irányban és ugyanabban a szögben elforgatjuk, akkor új, azonos irányú párhuzamos erőkből álló rendszereket kapunk, azonos modulokkal és alkalmazási pontokkal. Az ilyen rendszerek eredője ugyanazzal a modulussal rendelkezik R, de minden alkalommal más irányba. Miután összeszedtem az erőmet F 1 és F 2 azt találjuk, hogy eredőjük R 1, amely mindig átmegy a ponton VEL 1, amelynek helyzetét az egyenlőség határozza meg. Hajtogatás tovább R 1 és F 3, megtaláljuk az eredőjüket, amely mindig átmegy a ponton VEL 2 egyenes vonalon fekve A 3 VEL 2. Miután befejeztük az erők összeadásának folyamatát, arra a következtetésre jutunk, hogy az összes erő eredője valóban mindig ugyanazon a ponton fog áthaladni. VEL, amelynek a pontokhoz viszonyított helyzete változatlan marad.
Pont VEL, amelyen a párhuzamos erők eredő rendszerének hatásvonala áthalad ezen erők alkalmazási pontjai közelében, azonos szögben, azonos irányban, párhuzamos erők középpontjának nevezzük (6.2. ábra).

6.2. ábra

Határozzuk meg a párhuzamos erők középpontjának koordinátáit. A pont helyzete óta VEL a testhez képest változatlan, akkor a koordinátái nem függnek a koordinátarendszer megválasztásától. Fordítsuk meg az összes erőt az alkalmazásuk körül úgy, hogy párhuzamosak legyenek a tengellyel Óés alkalmazzuk a Varignon-tételt elforgatott erőkre. Mert R" ezeknek az erőknek az eredője, akkor Varignon tétele szerint megvan , mert , , kapunk

Innen megtaláljuk a párhuzamos erők középpontjának koordinátáját zc:

A koordináták meghatározásához xc hozzunk létre egy kifejezést a tengely körüli erőnyomatékra Oz.

A koordináták meghatározásához yc fordítsuk meg az összes erőt úgy, hogy párhuzamosak legyenek a tengellyel Oz.

A párhuzamos erők középpontjának helyzete az origóhoz képest (6.2. ábra) a sugárvektorával határozható meg:

6.2. Merev test súlypontja

Súlypont egy merev test egy pontja mindig ehhez a testhez kapcsolódik VEL, amelyen áthalad egy adott test eredő gravitációs erőinek hatásvonala, a test tetszőleges térbeli helyzetére.
A súlypontot a testek és a folytonos közegek egyensúlyi helyzetének stabilitásának tanulmányozására használják a gravitáció hatására, és néhány más esetben, nevezetesen: az anyagok szilárdságában és a szerkezeti mechanikában - Vereschagin szabályának alkalmazásakor.
A test súlypontjának meghatározásának két módja van: analitikus és kísérleti. A tömegközéppont meghatározásának analitikai módszere közvetlenül következik a párhuzamos erők középpontjának fogalmából.
A súlypont koordinátáit, mint a párhuzamos erők középpontját, a következő képletek határozzák meg:

Ahol R- teljes testtömeg; pk- a testrészecskék tömege; xk, yk, zk- testrészecskék koordinátái.
Homogén test esetén az egész test és bármely részének súlya arányos a térfogattal P=Vγ, pk =vk γ, Hol γ - egységnyi térfogatú tömeg, V- testtérfogat. Kifejezések helyettesítése P, pk a súlypont koordinátáit meghatározó képletbe és közös tényezővel redukálva γ , kapunk:

Pont VEL, melynek koordinátáit a kapott képletek határozzák meg, hívjuk a térfogat súlypontja.
Ha a test vékony, homogén lemez, akkor a súlypontot a következő képletek határozzák meg:

Ahol S- a teljes lemez területe; sk- részének területe; xk, yk- a lemezrészek súlypontjának koordinátái.
Pont VEL ebben az esetben úgy hívják a terület súlypontja.
A síkidomok súlypontjának koordinátáit meghatározó kifejezések számlálóit -val hívjuk terület statikus pillanatai a tengelyekhez képest atÉs X:

Ezután a terület súlypontja a következő képletekkel határozható meg:

Azon testeknél, amelyek hossza többszöröse a keresztmetszeti méreteknek, határozza meg a vonal súlypontját. A vonal súlypontjának koordinátáit a következő képletek határozzák meg:

Ahol L- vonal hossza; lk- részeinek hossza; xk, yk, zk- a vonal egyes részeinek súlypontjának koordinátája.

6.3. A testek súlypontjainak koordinátáinak meghatározására szolgáló módszerek

A kapott képletek alapján gyakorlati módszereket lehet javasolni a testek súlypontjainak meghatározására.
1. Szimmetria. Ha egy testnek van szimmetriaközéppontja, akkor a súlypont a szimmetria középpontjában van.
Ha a testnek van szimmetriasíkja. Például az XOU sík, akkor a súlypont ebben a síkban található.
2. Hasítás. Az egyszerű formájú testekből álló testeknél a hasítási módszert alkalmazzuk. A test részekre oszlik, amelyek súlypontját a szimmetria módszere határozza meg. Az egész test súlypontját a térfogat (terület) súlypontjának képletei határozzák meg.

Példa. Határozza meg az alábbi ábrán látható lemez súlypontját (6.3. ábra). A lemez többféleképpen osztható téglalapokra, és meghatározható az egyes téglalapok súlypontjának koordinátái és területük.

6.3. ábra

Válasz: xc=17,0 cm; yc= 18,0 cm.

3. Kiegészítés. Ez a módszer a particionálási módszer speciális esete. Akkor használatos, ha a testen vannak kivágások, szeletek stb., ha ismertek a test súlypontjának koordinátái a kivágás nélkül.

Példa. Határozzuk meg egy kör alakú lemez súlypontját, amelynek kivágási sugara van! r = 0,6 R(6.4. ábra).

6.4

A kerek lemeznek van szimmetriaközéppontja. Tegyük a koordináták origóját a lemez közepére. Lemezterület kivágás nélkül, kivágási terület. Négyzet alakú lemez kivágással; .
A kivágással ellátott lemeznek van egy szimmetriatengelye О1 x, tehát, yc=0.

4. Integráció. Ha a testet nem lehet véges számú részre osztani, amelyek súlypontjainak helyzete ismert, akkor a testet tetszőleges kis térfogatokra osztjuk, amelyekre a particionálási módszerrel a képlet a következő: .
Aztán a határig mennek, nullára irányítják az elemi térfogatokat, azaz. a mennyiségeket pontokba kötni. Az összegeket a test teljes térfogatára kiterjesztett integrálok helyettesítik, majd a térfogat súlypontjának koordinátáinak meghatározására szolgáló képletek a következő alakot öltik:

Képletek egy terület súlypontjának koordinátáinak meghatározására:

A lemezek egyensúlyának vizsgálatakor, a szerkezetmechanikai Mohr-integrál számításakor meg kell határozni a terület súlypontjának koordinátáit.

Példa. Határozzuk meg egy sugarú körív súlypontját! R központi szöggel AOB= 2α (6.5. ábra).

Rizs. 6.5

A kör íve szimmetrikus a tengelyre Ó, ezért az ív súlypontja a tengelyen fekszik Ó, yс = 0.
Az egyenes súlypontjának képlete szerint:

6.Kísérleti módszer. Az összetett konfigurációjú inhomogén testek súlypontja kísérletileg meghatározható: akasztás és mérlegelés módszerével. Az első módszer az, hogy a testet különböző pontokon egy kábelre függesztjük fel. A kábel iránya, amelyre a testet felfüggesztik, megadja a gravitáció irányát. Ezen irányok metszéspontja határozza meg a test súlypontját.
A mérési módszer magában foglalja először egy test, például egy autó tömegének meghatározását. Ezután a mérlegen meghatározzák a jármű hátsó tengelyének nyomását a támasztékra. Egy ponthoz, például az első kerekek tengelyéhez viszonyított egyensúlyi egyenlet felállításával kiszámíthatja a távolságot ettől a tengelytől az autó súlypontjához (6.6. ábra).

6.6

Néha a problémák megoldása során a súlypont koordinátáinak meghatározására különböző módszereket kell egyszerre alkalmazni.

6.4. Néhány egyszerű geometriai alakzat súlypontja

A gyakran előforduló alakú testek (háromszög, körív, szektor, szakasz) súlypontjának meghatározásához célszerű referenciaadatokat használni (6.1. táblázat).

6.1. táblázat

Néhány homogén test súlypontjának koordinátái