Egy halmazon alulról határolt függvény. A függvények tulajdonságai – Knowledge Hypermarket

Meghívjuk az y=f(x) BOUNDED UPPER (BOTTOM) függvényt az A halmazon a D(f) definíció tartományából, ha létezik ilyen szám. M , hogy ebből a halmazból bármely x esetén teljesül a feltétel

Logikai szimbólumok használatával a definíció a következőképpen írható fel:

f(x) – fent határolt a forgatáson

(f(x) – alulról határolt a forgatáson

A modulusban korlátozott vagy egyszerűen korlátozott funkciókat is figyelembe kell venni.

Meghívunk egy BOUNDED függvényt az A halmazon a definíciós tartományból, ha létezik pozitív szám M azt

A logikai szimbólumok nyelvén

f(x) – korlátozott a forgatáson

A nem korlátos függvényt korlátlannak nevezzük. Tudjuk, hogy a tagadással adott definícióknak kevés a tartalma. Ennek az állításnak definícióként való megfogalmazásához a kvantorműveletek (3.6) és (3.7) tulajdonságait használjuk. Ekkor a függvény korlátosságának tagadása a logikai szimbólumok nyelvében a következőket kapja:

f(x) – korlátozott a forgatáson

A kapott eredmény lehetővé teszi a következő definíció megfogalmazását.

A függvény definíciós tartományába tartozó A halmazon egy függvényt UNLIMITED-nek nevezünk, ha ezen a halmazon bármely pozitív M számhoz van ilyen értéke az x argumentumnak. , hogy az érték továbbra is meg fogja haladni M értékét, azaz.

Példaként tekintsük a függvényt

A teljes valós tengelyen van meghatározva. Ha a [–2;1] szakaszt vesszük (A halmaz), akkor rajta felül és alul is korlátos lesz.

Valójában annak kimutatásához, hogy felülről korlátos, figyelembe kell vennünk az állítmányt

és mutassuk meg, hogy van (létezik) olyan M, amely a [–2;1] intervallumon felvett összes x-re igaz lesz

Ilyen M-et találni nem nehéz. Feltételezhetjük, hogy M = 7, a létezési kvantor legalább egy M értékét megkeresi. Az ilyen M jelenléte megerősíti azt a tényt, hogy a függvény a [–2;1] intervallumon felülről korlátos.

Annak bizonyításához, hogy alulról korlátos, figyelembe kell vennünk az állítmányt

Egy adott predikátum igazságát biztosító M értéke például M = –100.

Bizonyítható, hogy a függvény modulusban is korlátozott lesz: a [–2;1] szakaszból származó összes x esetén a függvény értékei egybeesnek az értékeivel, így M-nek vehetjük, például az előző érték M = 7.

Mutassuk meg, hogy ugyanaz a függvény, de az intervallumon, korlátlan lesz, azaz

Annak bizonyítására, hogy létezik ilyen x, vegyük figyelembe az állítást

Az x szükséges értékeinek megtalálása között pozitív értékeketérv, értjük

Ez azt jelenti, hogy függetlenül attól, hogy milyen pozitív M-et veszünk, az x értékei biztosítják az egyenlőtlenség teljesülését

relációból kapjuk.

A függvényt a teljes valós tengelyen figyelembe véve kimutatható, hogy abszolút értékben korlátlan.

Valóban, az egyenlőtlenségtől

Vagyis akármekkora is a pozitív M, vagy biztosítja az egyenlőtlenség teljesülését.

EXTREME FUNKCIÓ.

A függvény a pontban van Val vel helyi maximum (minimum), ha van ennek a pontnak olyan környéke, hogy for x¹ Val vel ebből a szomszédból az egyenlőtlenség érvényesül

különösen, hogy a szélsőpont csak az intervallum belső pontja lehet, és a benne lévő f(x)-et feltétlenül definiálni kell. Az extrémum hiányának lehetséges eseteit az ábra mutatja. 8.8.

Ha egy függvény egy bizonyos intervallumon nő (csökken) és egy bizonyos intervallumon csökken (növekszik), akkor a pont Val vel egy helyi maximum (minimum) pont.

Az f(x) függvény maximumának hiánya a pontban Val vel így is megfogalmazható:

_______________________

f(x) maximuma a c pontban van

Ez azt jelenti, hogy ha a c pont nem egy lokális maximumpont, akkor bármilyen legyen is az a környék, amely a c pontot belsőként tartalmazza, legalább egy x érték nem egyenlő c-vel, amelyre . Így ha a c pontban nincs maximum, akkor ezen a ponton lehet, hogy egyáltalán nincs szélsőérték, vagy lehet minimumpont (8.9. ábra).

Az extrémum fogalma összehasonlító értékelést ad egy függvény értékéről bármely ponton a közeli függvényekhez képest. Hasonló összehasonlítás függvényértékek végrehajthatók egy bizonyos intervallum minden pontjára.

Egy függvény MAXIMÁLIS (LEGKISEBB) értéke egy halmazon az értéke ennek a halmaznak egy pontjában úgy, hogy – at . A függvény legmagasabb értékét a következő időpontban érjük el belső pont szegmens, és a legkisebb – a bal végén.

Egy intervallumon megadott függvény legnagyobb (legkisebb) értékének meghatározásához ki kell választani a legnagyobb (legkisebb) számot a maximumok (minimumok) értékei közül, valamint az elfogadott értékeket. az intervallum végén. Ez lesz a függvény legnagyobb (legkisebb) értéke. Ezt a szabályt később pontosítjuk.

A probléma megtalálása a legnagyobb és legalacsonyabb értékek a nyitott intervallumú függvények nem mindig könnyen megoldhatók. Például a függvény

intervallumban (8.11. ábra) nem rendelkezik velük.

Győződjön meg arról, hogy például nem ennek a függvénynek van a legnagyobb jelentősége. Valójában, figyelembe véve a függvény monotonitását, azt állíthatjuk, hogy bármennyire is közel állítjuk x értékeit az egységtől balra, lesz másik x, amelyben a függvény értékei nagyobb legyen, mint a felvett fix pontok értéke, de még mindig kisebb egynél.

Határérték tétel monoton funkció. A tétel bizonyítása két módszerrel történik. Megadjuk a szigorúan növekvő, nem csökkenő, szigorúan csökkenő és nem növekvő függvények definícióit is. A monoton függvény definíciója.

Definíciók

Növekvő és csökkenő függvények definíciói
Legyen az f függvény (x) valamilyen halmazon meghatározott valós számok X.
A függvényt hívják szigorúan növekvő (szigorúan csökkenő), ha minden x′, x′′ ∈ Xúgy hogy x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x')< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
A függvényt hívják nem csökkenő (nem növekvő), ha minden x′, x′′ ∈ Xúgy hogy x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Ebből következik, hogy a szigorúan növekvő függvény is nem csökkenő. A szigorúan csökkenő függvény szintén nem növekvő.

A monoton függvény definíciója
A függvényt hívják monoton, ha nem csökkenő vagy nem növekvő.

Egy függvény monotonitásának tanulmányozásához egy bizonyos X halmazon meg kell találnia az értékeinek különbségét a halmazhoz tartozó két tetszőleges pontban. Ha , akkor a függvény szigorúan növekvő; ha , akkor a függvény nem csökken; ha , akkor szigorúan csökken; ha , akkor nem növekszik.

Ha egy bizonyos halmazon a függvény pozitív: , akkor a monotonitás meghatározásához tanulmányozhatja az értékek elosztásának hányadosát a halmaz két tetszőleges pontjában. Ha , akkor a függvény szigorúan növekvő; ha , akkor a függvény nem csökken; ha , akkor szigorúan csökken; ha , akkor nem növekszik.

Tétel
Legyen az f függvény (x) nem csökken az intervallumon (a, b), Ahol .
Ha fent az M: szám határolja, akkor a b: pontban véges bal határ van. (x) Ha f
nem korlátozódik felülről, akkor . (x) Ha f (x) alatta az m : szám határolja, akkor az a : pontban van egy véges jobb oldali határ.

Ha f
nincs alább korlátozva, akkor .

Ha a és b pont a végtelenben van, akkor a kifejezésekben a határjelek azt jelentik, hogy . (x) nem csökken az intervallumon (a, b) Ez a tétel tömörebben is megfogalmazható.
;
.

Legyen az f függvény

, Ahol . Ekkor az a és b pontban egyoldalú határértékek vannak:
;
.

Hasonló tétel a nem növekvő függvényre.
A függvény ne növekedjen azon az intervallumon, ahol . Aztán vannak egyoldalú korlátok: funkciók:
És .

A tétel bizonyítása

A funkció nem csökken

b - végső szám

A funkció felülről korlátozott

1.1.1. Legyen a függvény határa fent az M számmal: for .

.
;
.

Mivel a függvény nem csökken, akkor amikor .
Akkor
nál nél .
;
;
.
Alakítsuk át az utolsó egyenlőtlenséget:
Akkor

Akkor
Mert akkor.

Akkor

"Függvény egyoldalú határértékeinek meghatározásai egy végpontban").
A funkció felülről nincs korlátozva
1. A függvény ne csökkenjen az intervallumon.
1.1. Legyen a b szám véges: .

.

Akkor

1.1.2. A függvény ne legyen fent korlátos.
Akkor
Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.

Jelöljük.

A funkció felülről korlátozott

"Függvény egyoldalú határértékeinek meghatározásai egy végpontban").
Akkor bárki számára van, szóval
1.1. Legyen a b szám véges: .

Ez azt jelenti, hogy a b pontban a bal oldali határérték a következő (lásd "Függvény egyoldali végtelen határértékeinek meghatározása egy végpontban").
.
b korai plusz végtelen 1.2.1. Legyen a függvény határa fent az M számmal: for .:
;
Mivel a függvény fent korlátos, van véges szuprémum
.

A pontos felső határ meghatározása szerint
Akkor

következő feltételekkel
Akkor
minden pozitívum mellett van érv, amely mellett

Akkor

"Függvény egyoldalú határértékeinek meghatározásai egy végpontban").
Mivel a függvény nem csökken, akkor amikor .
Aztán at .
1.1. Legyen a b szám véges: .

Vagy
.

Tehát azt találtuk, hogy bárki számára létezik egy szám, tehát

"Az egyoldalú határértékek meghatározása a végtelenben").
Akkor
1.2. Legyen a b szám egyenlő plusz végtelennel: .

1.2.2. A függvény ne legyen fent korlátos.

Mivel a függvény nem korlátos fent, így bármely M számra van egy argumentum, amelyre

Mivel a függvény nem csökken, akkor amikor .
.
Aztán at .
;
Tehát mindenhez van egy szám, tehát
.
Ez azt jelenti, hogy az at határérték egyenlő (lásd "Az egyoldalú végtelen határértékek meghatározása a végtelennél").

A funkció nem növekszik
Akkor
Most nézzük meg azt az esetet, amikor a függvény nem növekszik. A fentiek szerint mindegyik lehetőséget külön-külön megfontolhatja. De azonnal fedezzük őket. Ehhez használjuk. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben van határ.
Akkor
Tekintsük a függvényértékek halmazának véges infimumát:

Itt B lehet véges szám vagy pont a végtelenben.
Akkor
A pontos alsó korlát meghatározása szerint a következő feltételek teljesülnek:

a B pont bármely szomszédságára van érv, amely mellett

Határérték az a pontban

Most megmutatjuk, hogy az a pontban van határ, és megtudjuk az értékét.

Nézzük a függvényt. -1 A tétel feltételei szerint a függvény monoton -ra.

Cseréljük ki az x változót -x-re (vagy végezzünk behelyettesítést, majd cseréljük ki a t változót x-re). Ekkor a függvény monoton .
.
Az egyenlőtlenségek szorzata
.

és sorrendjüket megváltoztatva arra a következtetésre jutunk, hogy a függvény monoton a számára.
.

Hasonló módon könnyen kimutatható, hogy ha nem csökken, akkor nem nő. Akkor a fentebb bizonyított szerint van egy határ
(1) .
Ha nem növekszik, akkor nem csökken. Ebben az esetben van egy határ
.
Most már meg kell mutatni, hogy ha egy függvénynek van korlátja -ban, akkor van korlátja a -ban lévő függvénynek, és ezek a határértékek egyenlőek:
Akkor

Bemutatjuk a jelölést:
Akkor
Fejezzük ki f-t g-vel:
Akkor
Vegyünk egy tetszőleges pozitív számot.
Akkor

Legyen az A pont epszilon környéke. Az epszilon környéke A véges és végtelen értékére is meg van határozva (lásd "Egy pont szomszédsága"). Mivel van határ (1), akkor a határérték definíciója szerint bármelyikhez létezik olyan, hogy Legyen a véges szám. Fejezzük ki az -a pont bal oldali szúrt környezetét az egyenlőtlenségek segítségével:
Helyettesítsük x-et -x-re, és vegyük figyelembe, hogy:
Helyettesítsük x-et -x-re, és vegyük figyelembe, hogy:
Helyettesítsük x-et -x-re, és vegyük figyelembe, hogy:
Akkor

Az utolsó két egyenlőtlenség határozza meg az a pont szúrt jobb szomszédságát.
Akkor
Akkor
.

Legyen egy -

végtelen szám

, . Ismételjük az érvelést. nál nél ;

Tehát azt találtuk, hogy bárki számára létezik ilyen Ez azt jelenti A tétel bizonyítást nyert. A funkció fogalma. Korlátozott funkciók. M Függvény definíciója: Ha a D számkészletből minden x szám társítva van egyedülálló(y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya.) | Korlátozott és korlátlan funkciók. A függvényt hívják korlátozott, ha van ilyen pozitív szám milyen |.

f

x

M minden értékre x. Ha ilyen szám nem létezik, akkor a függvény igen korlátlan(- x) = egyedülálló (x PÉLDÁK. Funkciók páros, páratlan, monoton. Páros és páratlan függvények. egyedülálló(- x) = - egyedülálló (x PÉLDÁK. Ha azért bármely x a függvény definíciós tartományából a következők érvényesek:f), akkor a függvény meghívásra kerül még ; ha megtörténik: páratlan. Menetrend

páros funkció szimmetrikus az Y tengelyre x(5. ábra), grafikon x páratlan függvény x 2 >y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya. szimmetrikus kb egyedülálló(y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya. 2 ) >korlátlan(y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya. eredet korlátlan(y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya.) (6. ábra). Monoton funkció. Ha az argumentum bármely két értékére x(5. ábra), grafikon x páratlan függvény x 2 >y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya. szimmetrikus kb egyedülálló(y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya. 2 ) <korlátlan(y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya. 1 1 és egyedülálló(y, akkor azt mondják, hogy egy f függvény adott a D halmazon, és írjuk y= f(x), ahol x-et ennek a függvénynek a független változójának vagy argumentumának nevezzük, a D halmaz pedig ennek a függvénynek a definíciós tartománya. 2. feltétel csökkenő. Olyan függvényt hívunk, amely csak növekszik vagy csak csökken monoton.

3. Számsorok. Definíció és példák.

Azt fogjuk mondani, hogy a változó x Van rendezett változó, ha ismert a változásának területe, és bármelyik két értékére meg lehet mondani, hogy melyik az előző és melyik a következő. A rendelt változó mennyiség speciális esete az a változó mennyiség, amelynek értékei alakulnak ki számsorozat x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Ilyen értékeknél a én< j, i, j Î N , jelentése x i előzménynek számít, és x j– későbbi, függetlenül attól, hogy ezen értékek közül melyik a nagyobb. Így a számsorozat olyan változó, amelynek egymást követő értékei újraszámozhatók. Egy numerikus sorozatot fogunk jelölni. A sorozatban lévő egyes számokat annak nevezzük elemeket.

Például a numerikus sorozatot a következő mennyiségek alkotják:

3. , hol a, d– állandó számok.

Határ számsor.

Szám a hívott határ sorozatok x = {x n), ha egy tetszőleges előre meghatározott tetszőlegesen kis ε pozitív számra van ilyen természetes szám N hogy mindenki előtt n>N az |x n - a| egyenlőtlenség< ε.

Ha a szám a sorozatkorlát van x = {x n), akkor ezt mondják x n arra törekszik a, és írj.

Ennek a definíciónak a megfogalmazásához geometriai kifejezések Vezessük be a következő fogalmat. x 0 pont szomszédsága tetszőleges intervallumnak ( a, b), amely magában foglalja ezt a pontot. Gyakran figyelembe veszik egy pont környékét x 0, amelyekre x 0 akkor a közepe x 0 hívott központ a környék és az érték ( b–a)/2 – sugár szomszédság.

Tehát nézzük meg, mit jelent geometriailag a számsorozat határának fogalma. Ehhez a definícióból az utolsó egyenlőtlenséget úgy írjuk, hogy ez az egyenlőtlenség azt jelenti, hogy a sorozat minden eleme számokkal n>N az (a – ε; a + ε) intervallumban kell lennie.

Ezért állandó szám a a számsorozatnak van határa ( x n), ha bármely kis környékre, amelynek középpontja a pont a sugár ε (ε a pont környéke a) van egy ilyen eleme a sorozatnak számmal N hogy minden további elem számozott n>N ezen a környéken lesz elhelyezve.

Példák.

1. Legyen a változó x szekvenciálisan veszi fel az értékeket

Bizonyítsuk be, hogy ennek a számsorozatnak a határa 1. Vegyünk egy tetszőleges ε pozitív számot. Meg kell találnunk egy ilyen természetes számot N hogy mindenki előtt n>N egyenlőtlenség érvényes | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.

majd az |x n - a| összefüggés kielégítésére< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N bármely természetes szám, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, azt kapjuk, amire szükségünk van. Tehát ha vesszük például, akkor az elhelyezést N= 6, mindenkinek n>6 lesz .

2. Egy számsorozat határértékének definíciójával bizonyítsd be, hogy .

Vegyünk egy tetszőleges ε > 0-t. Tekintsük Akkor, ha vagy , azaz. . Ezért bármilyen természetes számot választunk, amely kielégíti az egyenlőtlenséget.

Példák.

3. Gondoljuk át. Nál nél x→1 a tört számlálója 1-re, a nevezője 0-ra hajlik. De mivel, i.e. egy végtelenül kicsi függvény at x→ 1, akkor

4. tétel. Legyen három függvény adott f(x), u(x)És v(x), az egyenlőtlenségek kielégítése u (x)≤f(x)≤ v(x). Ha a funkciók u(x)És v(x) ugyanaz a határérték x→a(vagy x→∞), majd a függvényt f(x) ugyanarra a határra hajlik, i.e. Ha

5. tétel.Én Kövér x→a(vagy x→∞) funkciót y=f(x) nem negatív értékeket fogad el y≥0és ugyanakkor a határra hajlik b, akkor ez a határ nem lehet negatív: b≥0.

Bizonyíték. Ellentmondásos bizonyítást fogunk végezni. Tegyünk úgy, mintha b<0 , Akkor |y – b|≥|b|és ezért a különbségi modulus nem hajlik nullára, amikor x→a. De aztán y nem éri el a határt b nál nél x→a, ami ellentmond a tétel feltételeinek.

6. tétel. Ha két funkciót f(x)És g(x) az érv összes értékére x kielégíti az egyenlőtlenséget f(x)≥ g(x)és vannak határai, akkor az egyenlőtlenség érvényes b≥c.

Bizonyíték. A tétel feltételei szerint f(x)-g(x) ≥0, ezért az 5. Tétel, vagy .

6. Bizonytalanság feltárása (0/0), ∞ -∞

ÉN. Bizonytalanság.

A számláló faktorálásakor azt a szabályt alkalmaztuk, hogy egy polinomot egy polinommal osztunk „szöggel”. A szám óta x=1 a polinom gyöke x 3 – 6x 2 + 11x– 6, majd osztásakor kapjuk

7. Sorozatkorlát . A természetes logaritmus fogalma.

A MÁSODIK FIGYELMEZTETŐ HATÁR

Példák:

Logaritmus a bázishoz e (e- egy transzcendentális szám, amely megközelítőleg egyenlő 2,718281828...) természetes logaritmus. Szám természetes logaritmusa x ln x. A természetes logaritmusokat széles körben használják a matematikában, a fizikában és a mérnöki számításokban.

A logaritmusokat széles körben használják

bázis, úgynevezett természetes. A természetes logaritmusokat a szimbólum jelzi

Egy függvény határának fogalma.

A függvény folytonosságának fogalma közvetlenül kapcsolódik a függvény határának fogalmához.

Az A számot egy f függvény határértékének nevezzük egy a pontban, egy E halmaz határértékének, ha az A pont bármely V(A) szomszédságára létezik az a pontnak olyan átszúrt környéke, hogy a képe az f leképezés az A pont adott V(A) környezetének egy részhalmaza.

Egy f függvény határértékét egy a pontban, az E halmaz határértékét a következőképpen jelöljük: vagy, ha az E halmaz említése elhagyható.

Mivel minden szomszédság hozzárendelhető a saját szabályos (szimmetrikus) szomszédságához, a határ definíciója a matematikai elemzésben megszokott módon a -δ nyelven megfogalmazható:

Egy függvény határértéke egy f pontban az a pontban, az E halmaz határértéke, közvetlenül összefügg a sorozat határértékével.

Figyelembe vesszük az E halmaz összes lehetséges pontsorozatát, amelynek határértéke az a pont, és a függvényértékek megfelelő sorozatait a sorozat pontjaiban. Ha az a pontban létezik egy f függvény határértéke, akkor ez a határérték lesz minden sorozatnak.

Ennek a fordítottja is igaz: ha minden sorozat ugyanarra az értékre konvergál, akkor a függvénynek egy határértéke van ezzel az értékkel.

AZ ELSŐ FIGYELMEZTETŐ HATÁR

A funkció nincs meghatározva, mikor x=0, mivel a tört számlálója és nevezője nullává válik. A függvény grafikonja az ábrán látható.

Ennek a függvénynek a határát azonban meg lehet találni, amikor x→0.

Bizonyítsuk be az írott képletet. Tekintsünk egy 1 sugarú kört, és tegyük fel, hogy a radiánban kifejezett α szög 0-n belül van< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Az ábrából jól látszik, hogy

SΔOAC .

Mivel a jelzett területek rendre egyenlőek

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙ bűn α= 0,5 sinα, S szekt. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0,5 tgα.

Ennélfogva,

sin α< α < tg α.

Osszuk el az egyenlőtlenség összes tagját sin α > 0-val: .

De . Ezért a határértékekről szóló 4. Tétel alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a származtatott képletet az első figyelemre méltó határértéknek nevezzük.

Így az első figyelemre méltó határ a bizonytalanság feltárására szolgál. Vegye figyelembe, hogy a kapott képletet nem szabad összetéveszteni a határértékekkel Példák.

11.Limit és a hozzá kapcsolódó korlátok.

A MÁSODIK FIGYELMEZTETŐ HATÁR

A második figyelemre méltó határ az 1 ∞ bizonytalanság feltárására szolgál, és így néz ki a következő módon

Figyeljünk arra, hogy a második figyelemre méltó határ képletében a kitevőnek inverz kifejezést kell tartalmaznia ahhoz képest, amelyet az egységhez a bázisnál hozzáadunk (hiszen ebben az esetben bevezethető a változók változása, ill. csökkentse a keresett határt a második figyelemre méltó határra)

Példák.

1. Funkció f(x)=(x-1) 2 infinitezimális at x→1, mivel (lásd az ábrát).

2. Funkció f(x)= tg x– végtelenül kicsi at x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – végtelenül kicsi x→0.

4. f(x) = 1/x– végtelenül kicsi at x→∞.

Hozzuk létre a következő fontos kapcsolatot:

Tétel. Ha a funkció y=f(x)-val reprezentálható x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsiny nagyságrendű α(x): f(x)=b+ α(x) Az .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), Ahol fejsze)– végtelenül kicsi at x→a.

Bizonyíték.

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét! Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De azóta fejsze) infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ – a pont szomszédsága a, mindenki előtt x ahonnan, értékek fejsze) kielégíti a kapcsolatot |α(x)|< ε. Akkor |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti, hogy.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek x valamilyen δ – egy pont szomszédságából a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, Azt |α(x)|< ε, ami azt jelenti a– végtelenül kicsi.

Mérlegeljük alapvető tulajdonságait végtelenül kicsi függvények.

1. tétel. Algebrai összeg kettő, három és általában bármelyik véges szám Az infinitezimális egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Hadd f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges tetszőlegesen kicsi ε esetén > 0 talált δ> 0, olyan, hogy x, kielégítve az egyenlőtlenséget |x – a|<δ , előadták |f(x)|< ε.

Tehát rögzítsünk egy tetszőleges ε számot > 0. Mivel a tétel feltételei szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor van ilyen δ 1 > 0, ami |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, ami |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vessünk δ=min(δ 1 , δ2 } .Akkor a pont környékén a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. A termék végtelen kis funkció fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) nál nél x→a(vagy mikor x→∞) egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Mivel a funkció f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x egy pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény at x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség érvényesül |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af– végtelenül kicsi. Az alkalomra x→∞ a bizonyítás is hasonlóan történik.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és , akkor

Következmény 2. Ha c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke eltér nullától, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Hadd . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátozott függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.

Példák.

1. Világos, hogy mikor x→+∞ funkció y=x 2+ 1 végtelenül nagy. Ekkor azonban a fent megfogalmazott tétel szerint a függvény infinitezimális at x→+∞, azaz .

A fordított tétel is bebizonyítható.

2. tétel. Ha a funkció f(x)- végtelenül kicsi x→a(vagy x→∞)és akkor nem tűnik el y= 1/f(x) egy végtelenül nagy függvény.

Végezze el saját maga a tétel bizonyítását.

Példák.

3. , mivel a és függvények végtelenül kicsik at x→+∞, akkor, mivel az infinitezimális függvények összege egy infinitezimális függvény. A függvény egy állandó szám és egy infinitezimális függvény összege. Következésképpen az 1. Tétel infinitezimális függvényekre megkapjuk a szükséges egyenlőséget.

Így az infinitezimális és a végtelen legegyszerűbb tulajdonságai nagyszerű funkciók a következő feltételes relációkkal írható fel: A≠ 0

13. Azonos rendű infinitezimális függvények, ekvivalens infinitezimálisok.

Infinitezimális függvényeket és nevezzük infinitezimálisnak, ugyanolyan kicsinységi sorrendben, ha , jelöli. És végül, ha nem létezik, akkor az infinitezimális függvények összehasonlíthatatlanok.

2. PÉLDA Infinitezimális függvények összehasonlítása

Egyenértékű infinitezimális függvények.

Ha , akkor infinitezimális függvényeket hívunk egyenértékű, jelölje ~ .

Helyileg egyenértékű funkciók:

Mikor ha

Néhány egyenértékűség(nál nél ):

Egyoldalú korlátok.

Eddig fontolgattuk egy függvény határának meghatározását, amikor x→aönkényes módon, pl. a funkció határa nem attól függött, hogy hol helyezték el x felé a, balra vagy jobbra a. Azonban meglehetősen gyakori, hogy olyan függvényeket találunk, amelyeknek nincs korlátja ebben a feltételben, de van korlátjuk, ha x→a, az egyik oldalán maradva A, balra vagy jobbra (lásd az ábrát). Ezért bevezetjük az egyoldalú határok fogalmát.

Ha f(x) a határig hajlik b nál nél x egy bizonyos számra hajlamos aÍgy x csak a kisebb értékeket fogadja el a, akkor írnak és hívnak az f(x) függvény határértéke a bal oldali a pontban.

Tehát a szám b a függvény határértékének nevezzük y=f(x) nál nél x→a a bal oldalon, ha bármilyen ε pozitív szám is van, akkor van egy δ (kisebb a

Hasonlóképpen, ha x→aés nagy értékeket vesz fel a, akkor írnak és hívnak b pontban a függvény határértéke A jobb oldalon. Azok. szám b hívott az y=f(x) függvény határértéke x→a a jobb oldalon, ha bármilyen ε pozitív szám is van, akkor van ilyen δ (nagyobb A), hogy az egyenlőtlenség mindenkire érvényes.

Vegye figyelembe, hogy ha a határértékek a bal és a jobb oldalon a funkcióhoz f(x) nem esik egybe, akkor a függvénynek nincs határa (kétoldali) a ponton A.

Példák.

1. Tekintsük a függvényt y=f(x), a szegmensen az alábbiak szerint definiálva

Keressük meg a függvény határait f(x) nál nél x→ 3. Nyilvánvalóan és

Más szóval, tetszőlegesen kis számú epszilonhoz van egy delta szám, amely az epszilontól függ, így abból, hogy bármely x esetén, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, az következik, hogy a függvény értékeinek különbségei ezeken a pontokon önkényesen kicsi.

Egy függvény folytonosságának kritériuma egy pontban:

Funkció akarat folyamatos az A pontban akkor és csak akkor folytonos az A pontban a jobb és a bal oldalon is, vagyis úgy, hogy az A pontban két egyoldalú határérték van, ezek megegyeznek egymással és egyenlőek a a függvény az A pontban.

2. definíció: A funkció folyamatos halmazon, ha ennek a halmaznak minden pontján folytonos.

Egy függvény deriváltja egy pontban

Legyen a dana egy környéken definiálva. Mérlegeljük

Ha ez a határ létezik, akkor hívják az f függvény deriváltja a pontban.

Függvény származéka– a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határa, amikor az argumentum növekszik.

A derivált egy pontban történő kiszámításának vagy megtalálásának műveletét nevezzük különbségtétel .

A megkülönböztetés szabályai.

Derivált funkciókat f(x) azon a ponton x=x 0 egy függvény növekedésének ezen a ponton az argumentum növekményéhez viszonyított arányának nevezzük, mivel az utóbbi nullára hajlamos különbségtétel. A függvény deriváltját a segítségével számítjuk ki Általános szabály differenciálás: Jelöljük f(x) = u, g(x) = v- egy ponton differenciálható függvények x. A megkülönböztetés alapszabályai 1) (egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltjainak összegével) 2) (ebből különösen az következik, hogy egy függvény és egy állandó szorzatának deriváltja egyenlő ennek deriváltjának szorzatával függvény és az állandó) 3) Hányados deriváltja: , ha g  0 4) Komplex függvény deriváltja: 5) Ha a függvény paraméteresen van megadva: , akkor

Példák.

1. y = x a – teljesítmény funkció tetszőleges jelzővel.

Hallgatólagosan adott funkciót

Ha egy függvényt az y=ƒ(x) egyenlet ad meg, y-hoz képest feloldva, akkor a függvényt explicit formában adjuk meg (explicit függvény).

Alatt implicit feladat A függvények egy függvény definícióját egy F(x;y)=0 egyenlet formájában értik, y-hoz képest nincs feloldva.

Bármely explicit módon adott y=ƒ (x) függvény implicitként írható egyenlet adja megƒ(x)-y=0, de nem fordítva.

Nem mindig könnyű, sőt néha lehetetlen megoldani egy egyenletet y-ra (például y+2x+kényelmes-1=0 vagy 2 y -x+y=0).

Ha az implicit függvényt az F(x; y) = 0 egyenlet adja, akkor ahhoz, hogy y deriváltját megtaláljuk x függvényében, nem kell feloldani az egyenletet y függvényében: elegendő ezt az egyenletet x függvényében megkülönböztetni, miközben y-t x függvényének tekintjük, majd oldja meg a kapott y egyenletet."

Derivált implicit függvény az x argumentummal és az y függvénnyel kifejezve.

Példa:

Határozzuk meg az y függvény deriváltját az x 3 + y 3 -3xy = 0 egyenlettel!

Megoldás: Az y függvény implicit módon van megadva. Megkülönböztetjük x-hez az x 3 +y 3 -3xy=0 egyenlőséget. A kapott összefüggésből

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

ebből következik, hogy y 2 y"-xy"=y-x 2, azaz y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Magasabb rendű származékok

Nyilvánvaló, hogy a származék

funkciókat y=f(x) től van funkció is x:

y" =f " (x)

Ha a funkció f" (x) differenciálható, akkor származékát a szimbólum jelöli y"" =f "" (x) x kétszer.
A második derivált származéka, i.e. funkciókat y""=f""(x), hívott az y=f(x) függvény harmadik deriváltja vagy a harmadrendű f(x) függvény deriváltjaés a szimbólumok jelzik

Egyáltalán n-i származéka vagy származéka n rendelési funkció y=f(x) szimbólumok jelzik

Phil Leibniz:

Tegyük fel, hogy a és függvények deriváltaikkal együtt n-edik rendűekig differenciálhatók. A két függvény szorzatának megkülönböztetésére vonatkozó szabályt alkalmazva megkapjuk

Hasonlítsuk össze ezeket a kifejezéseket a binomiális hatványaival:

Megdöbbentő a megfelelési szabály: ahhoz, hogy képletet kapjunk az és függvények szorzatának 1., 2. vagy 3. rendű származékára, ki kell cserélni a és a hatványokat a kifejezésben (ahol n= 1,2,3) a megfelelő rendek származékai. Kívül, nulla fok mennyiségeket, és nulla rendű deriváltokkal kell helyettesíteni, amelyek alatt a függvényeket és:

Általánosítva ezt a szabályt tetszőleges sorrendű származékokra n, kapunk Leibniz képlete,

hol vannak a binomiális együtthatók:

Rolle tétele.

Ez a tétel lehetővé teszi, hogy megtaláljuk kritikus pontok majd használja elegendő feltételek vizsgálja meg az extrémák funkcióját.

Legyen 1) f(x) definiált és folytonos valamilyen zárt intervallumon; 2) van véges derivált, legalább az (a;b) nyitott intervallumban; 3) az f-i intervallum végén egyenlő értékeket f(a) = f(b). Ekkor az a és b pont között van egy c pont, amelynek deriváltja ebben a pontban = 0 lesz.

Az intervallumon folytonos függvények tulajdonságára vonatkozó tétel szerint az f(x) függvény ezen az intervallumon veszi fel max és min értékét.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 О

1) Legyen M = m, azaz. m £ f(x) £ M

Þ f(x) az a-tól b-ig terjedő intervallumot veszi fel állandó értékek, és Þ deriváltja egyenlő lesz nullával. f’(x)=0

2) Legyen M>m

Mert tétel feltételei szerint f(a) = f(b) Þ annak legkisebb ill legmagasabb érték f-i nem a szakasz végeit veszi fel, de Þ M-et vagy m-t a szakasz belső pontjában. Ekkor a Fermat-tétel szerint f’(c)=0.

Lagrange-tétel.

Véges növekmény képlete vagy Lagrange-féle átlagérték tétel kimondja, hogy ha egy függvény egyedülálló folyamatos a [ a;b] és differenciálható az intervallumban ( a;b), akkor van egy olyan pont, hogy

Cauchy-tétel.

Ha az f(x) és g(x) függvények folytonosak az intervallumon és differenciálhatók az (a, b) intervallumon és g¢(x) ¹ 0 az (a, b) intervallumon, akkor legalább egy pont e, a< e < b, такая, что

Azok. a függvények növekményeinek aránya egy adott szegmensen megegyezik a deriváltak arányával az e pontban. Példák az előadások problémamegoldó tanfolyamára Test térfogatának kiszámítása segítségével híres terekövé párhuzamos szakaszok Integrálszámítás

Kiviteli példák tanfolyami munka Villamosmérnök

Ennek a tételnek a bizonyítására első pillantásra nagyon kényelmes a Lagrange-tétel használata. Írjon fel minden függvényhez egy véges különbségi képletet, majd osszák el őket egymással. Ez az elképzelés azonban téves, mert e pont minden egyes függvényhez általános eset különböző. Természetesen bizonyos speciális esetekben az intervallum ezen pontja mindkét függvénynél azonosnak bizonyulhat, de ez nagyon ritka egybeesés, és nem szabály, ezért nem használható a tétel bizonyítására.

Bizonyíték. Vegye figyelembe a segítő funkciót

Mivel x→x 0, c értéke is x 0-ra hajlik; Menjünk a határig az előző egyenlőségben:

Mert , Azt .

Ezért

(két infinitezimális arányának határa megegyezik származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik)

L'Hopital szabálya, ∞/∞.

Óra és előadás a témában: "Egy függvény tulajdonságai. Növelő és csökkentő függvények"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 9. osztályosoknak
Interaktív tankönyv 9. osztály számára "Szabályok és gyakorlatok a geometriában"
„Érthető geometria” elektronikus tankönyv 7-9

Srácok, folytatjuk a tanulást numerikus függvények. Ma olyan témára fogunk összpontosítani, mint a függvénytulajdonságok. A függvényeknek számos tulajdonságuk van. Ne feledje, milyen tulajdonságokat vizsgáltunk nemrég. Így van, a domain és a domain, ezek az egyik kulcstulajdonságok. Soha ne feledkezzen meg róluk, és ne feledje, hogy egy függvény mindig rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal.

Ebben a részben a függvények néhány tulajdonságát fogjuk meghatározni. Javaslom, hogy a problémák megoldása során kövesse azt a sorrendet, amelyben meghatározzuk őket.

Növekvő és csökkentő funkció

Az első tulajdonság, amit meghatározunk, a növekvő és csökkenő függvény.

Azt mondjuk, hogy egy függvény növekszik az X⊂D(f) halmazon, ha bármely x1 és x2 esetén úgy, hogy x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть magasabb értéket argumentum, a függvény nagyobb értékének felel meg.
Egy függvényt csökkenőnek mondunk az X⊂D(f) halmazon, ha bármely x1 és x2 esetén úgy, hogy x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Azaz az argumentum nagyobb értéke felel meg alacsonyabb érték funkciókat.

A függvény „növelésének” és „csökkentésének” fogalma nagyon könnyen érthető, ha figyelmesen megnézi a függvény grafikonjait. Növekvő függvénynél: úgy tűnik, hogy dombra megyünk fel, csökkenő függvénynél ennek megfelelően megyünk lefelé. Általános forma a növekvő és csökkenő függvényeket az alábbi grafikonok mutatják be.

A növekvő és csökkenő függvényeket általában monotonitásnak nevezik. Azaz a feladatunk a függvény csökkenési és növekedési intervallumainak megtalálása. Általános esetben ezt a következőképpen fogalmazzuk meg: keressük meg a monotonitás intervallumait, vagy vizsgáljunk meg egy függvényt monotonitásra.

Vizsgáljuk meg a $y=3x+2$ függvény monotonitását.
Megoldás: Ellenőrizzük a függvényt bármely x1 és x2 esetén, és legyen x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Mivel, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Korlátozott funkció

Egy $y=f(x)$ függvényt alulról korlátosnak mondjuk az X⊂D(f) halmazon, ha létezik olyan a szám, amelyre bármely хϵХ esetén teljesül az f(x) egyenlőtlenség< a.

A $y=f(x)$ függvényt felülről korlátosnak mondjuk az X⊂D(f) halmazon, ha van olyan a szám, amelyre bármely хϵХ esetén teljesül az f(x) egyenlőtlenség< a.

Ha az X intervallum nincs megadva, akkor a függvény a teljes definíciós tartományban korlátozottnak tekinthető. A fent és lent is korlátos függvényt korlátosnak nevezzük.

A függvény korlátozása könnyen leolvasható a grafikonról. Lehetséges egyenes vonalat húzni
$у=а$, és ha a függvény magasabb ennél a vonalnál, akkor alulról korlátos. Ha lent, akkor ennek megfelelően fent. Az alábbiakban egy alul határolt függvény grafikonja látható. Menetrend korlátozott funkció Srácok, próbáljátok meg magatok rajzolni.

Vizsgáljuk meg a $y=\sqrt(16-x^2)$ függvény korlátosságát.
Megoldás: Valamely szám négyzetgyöke nagyobb, mint vagy egyenlő nullával. Nyilvánvalóan a függvényünk is nagyobb vagy egyenlő nullával, vagyis alulról korlátos.
Csak a négyzetgyököt tudjuk kivonni belőle nem negatív szám, majd $16-x^2≥0$.
Egyenlőtlenségünk megoldása a [-4;4] intervallum lesz. Ezen a szegmensen $16-x^2≤16$ vagy $\sqrt(16-x^2)≤4$, de ez felülről korlátot jelent.
Válasz: a függvényünk két egyenesre korlátozódik: $y=0$ és $y=4$.

Legmagasabb és legalacsonyabb érték

Az y= f(x) függvény legkisebb értéke az X⊂D(f) halmazon olyan m szám, amelyre:

b) Bármely хϵХ esetén $f(x)≥f(x0)$ teljesül.

Az y=f(x) függvény legnagyobb értéke az X⊂D(f) halmazon olyan m szám, amelyre:
a) Van olyan x0, hogy $f(x0)=m$.
b) Bármely хϵХ esetén $f(x)≤f(x0)$ teljesül.

A legnagyobb és legkisebb értékeket általában y max jelöli. és y nevet .

A korlátosság és a legkisebb értékű függvény fogalma szorosan összefügg. A következő állítások igazak:
a) Ha egy függvénynek van minimális értéke, akkor az alább korlátos.
b) Ha egy függvénynek a legnagyobb az értéke, akkor fent korlátos.
c) Ha a függvény nem korlátos fent, akkor a legnagyobb érték nem létezik.
d) Ha a függvény nem korlátos alább, akkor a legkisebb érték nem létezik.

Keresse meg a $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ függvény legnagyobb és legkisebb értékét.
Megoldás: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
$х=4$ $f(4)=5$ esetén az összes többi értéknél a függvény kisebb értékeket vesz fel, vagy nem létezik, vagyis ez a függvény legnagyobb értéke.
Értelemszerűen: $9-4x^2+16x≥0$. Keressük a gyökereket másodfokú trinomikus$(2х+1)(2х-9)≥0$. $x=-0,5$ és $x=4,5$ esetén a függvény minden más ponton eltűnik Nulla felett. Ekkor definíció szerint a függvény legkisebb értéke nullával egyenlő.
Válasz: y max. =5 és y név. =0.

Srácok, mi is tanulmányoztuk a függvény konvexitásának fogalmát. Egyes problémák megoldása során szükségünk lehet erre az ingatlanra. Ez a tulajdonság grafikonok segítségével is könnyen meghatározható.

A függvény lefelé konvex, ha a grafikonon van két pont eredeti funkciója connect, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő vonal alatt lesz.

Egy függvény felfelé konvex, ha az eredeti függvény grafikonján bármely két pont össze van kötve, és a függvény grafikonja a pontokat összekötő vonal felett van.

Egy függvény akkor folytonos, ha a függvényünk grafikonján nincsenek törések, például, mint a fenti függvény grafikonján.

Ha meg kell találnia egy függvény tulajdonságait, akkor a tulajdonságok keresésének sorrendje a következő:
a) Meghatározási terület.
b) Egykedvűség.
c) Korlátozás.
d) A legnagyobb és a legkisebb érték.
d) Folytonosság.
e) Értéktartomány.

Keresse meg a $y=-2x+5$ függvény tulajdonságait.
Megoldás.
a) D(y)=(-∞;+∞) definíciós tartomány.
b) Egykedvűség. Ellenőrizzük az x1 és x2 értékeket, és legyen x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Mivel x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Korlátozás. Nyilvánvaló, hogy a funkció nem korlátozott.
d) A legnagyobb és a legkisebb érték. Mivel a függvény korlátlan, nincs maximum vagy minimum érték.
d) Folytonosság. Függvényünk grafikonján nincs törés, akkor a függvény folytonos.
e) Értéktartomány. E(y)=(-∞;+∞).

Függvény tulajdonságaira vonatkozó feladatok független megoldáshoz

Funkciótulajdonságok keresése:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete