Természetes számok ábrázolása a számegyenes pontokkal. Valós számok, kép a számtengelyen

Azt már tudjuk, hogy a $R$ valós számok halmaza racionális és irracionális számokból áll.

A racionális számok mindig ábrázolhatók tizedes törtként (véges vagy végtelen periodikus).

Az irracionális számokat végtelen, de nem periodikus tizedes törtként írjuk fel.

A $R$ valós számok halmaza tartalmazza a $-\infty $ és $+\infty $ elemeket is, amelyekre a $-\infty egyenlőtlenségek érvényesek

Nézzük meg a valós számok ábrázolásának módjait.

Közönséges törtek

A közönséges törteket két természetes szám és egy vízszintes törtvonal használatával írjuk le. A törtsáv valójában az osztásjelet helyettesíti. A vonal alatti szám a tört nevezője (osztó), a vonal feletti szám a számláló (osztó).

Meghatározás

Egy törtet akkor nevezünk megfelelőnek, ha a számlálója kisebb, mint a nevezője. Ezzel szemben egy törtet helytelen törtnek nevezünk, ha a számlálója nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező.

A közönséges törtek esetében egyszerű, szinte nyilvánvaló összehasonlítási szabályok vannak ($m$,$n$,$p$ - természetes számok):

1. két azonos nevezőjű tört közül a nagyobb számlálóval rendelkező nagyobb, azaz $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ $m>n$ esetén;
2. két azonos számlálójú tört közül a kisebb nevező nagyobb, azaz $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ $ m esetén
3. egy megfelelő tört mindig kisebb egynél; a nem megfelelő tört mindig nagyobb egynél; az a tört, amelyben a számláló egyenlő a nevezővel, egyenlő eggyel;
4. Minden helytelen tört nagyobb minden megfelelő törtnél.

Tizedes számok

A tizedes szám (tizedes tört) jelölésének formája: egész rész, tizedespont, tört rész. A közönséges tört tizedes jelölését úgy kaphatjuk meg, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel a „szöggel”. Ez véges tizedes törtet vagy végtelen periodikus tizedes törtet eredményezhet.

Meghatározás

A tört rész számjegyeit decimálisnak nevezzük. Ebben az esetben a tizedesvessző utáni első számjegyet tizedes számjegynek, a másodikat százas számjegynek, a harmadikat ezred számjegynek nevezik, stb.

1. példa

Határozza meg a 3,74 decimális szám értékét! A következőt kapjuk: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

A decimális szám kerekíthető. Ebben az esetben meg kell adnia azt a számjegyet, amelyre a kerekítést végrehajtja.

A kerekítés szabálya a következő:

1. az ettől a számjegytől jobbra lévő összes számjegyet nullára cseréljük (ha ezek a számjegyek a tizedesvessző előtt vannak), vagy el kell hagyni (ha ezek a számjegyek a tizedesvessző után vannak);
2. ha egy adott számjegyet követő első számjegy kisebb, mint 5, akkor ennek a számjegynek a számjegye nem változik;
3. ha egy adott számjegyet követő első számjegy 5 vagy több, akkor ennek a számjegynek a számjegye eggyel nő.

2. példa

1. Kerekítsük az 17302-es számot ezerre: 17000.
2. Kerekítsük fel az 17378-as számot százra: 17400.
3. Kerekítsük az 17378,45 számot tízesre: 17380.
4. Kerekítsük a 378,91434-es számot a legközelebbi századra: 378,91.
5. Kerekítsük a 378,91534-es számot a legközelebbi századra: 378,92.

Tizedes szám átalakítása törtté.

1. eset

A tizedes szám egy befejező tizedes tört.

A következő példa az átalakítási módszert mutatja be.

2. példa

Jelenleg: 3,74 USD=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Lecsökkentjük egy közös nevezőre, és megkapjuk:

A tört csökkenthető: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

2. eset

A tizedes egy végtelen periodikus tizedes tört.

A konverziós módszer azon alapul, hogy egy periodikus tizedes tört periodikus részét egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegének tekinthetjük.

4. példa

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. A progresszió első tagja $a=0.74$, a progresszió nevezője $q=0.01$.

5. példa

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . A progresszió első tagja $a=0.08$, a progresszió nevezője $q=0.1$.

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegét a $s=\frac(a)(1-q) $ képlettel számítjuk ki, ahol $a$ az első tag, $q$ pedig a $ progresszió nevezője. \left (0

6. példa

Alakítsuk át a $0,\left(72\right)$ végtelen periodikus tizedes törtet szabályossá.

A progresszió első tagja $a=0.72$, a progresszió nevezője $q=0.01$. A következőt kapjuk: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11) $. Így $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

7. példa

Alakítsuk át a $0.5\left(3\right)$ végtelen periodikus tizedes törtet szabályossá.

A progresszió első tagja $a=0.03$, a progresszió nevezője $q=0.1$. A következőt kapjuk: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30) $.

Így $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

A valós számok a számtengely pontjaival ábrázolhatók.

Ebben az esetben a számtengelyt egy végtelen egyenesnek nevezzük, amelyen az origó ($O$ pont), a pozitív irány (nyíl jelölve) és a skála (az értékek megjelenítéséhez) van kiválasztva.

Az összes valós szám és a számtengely összes pontja között egy az egyhez egyezés van: minden pont egyetlen számnak felel meg, és fordítva, minden szám egyetlen pontnak felel meg. Következésképpen a valós számok halmaza folytonos és végtelen, ahogy a számegyenes is folytonos és végtelen.

A valós számok halmazának egyes részhalmazait numerikus intervallumoknak nevezzük. Egy numerikus intervallum elemei $x\in R$ számok, amelyek kielégítenek egy bizonyos egyenlőtlenséget. Legyen $a\in R$, $b\in R$ és $a\le b$. Ebben az esetben az intervallumok típusai a következők lehetnek:

1. Intervallum $\left(a,\; b\right)$. Ugyanakkor $a
2. $\left$ szegmens. Ráadásul $a\le x\le b$.
3. Félszegmensek vagy félidőközök $\left$. Ráadásul $ a \le x
4. Végtelen intervallumok, például $a

A pont szomszédságának nevezett intervallumtípus szintén fontos. Egy adott $x_(0) \in R$ pont szomszédsága egy tetszőleges $\left(a,\; b\right)$ intervallum, amely magában foglalja ezt a pontot, azaz $a 0$ a sugara.

Egy szám abszolút értéke

A $x$ valós szám abszolút értéke (vagy modulusa) egy nemnegatív valós szám $\left|x\right|$, amelyet a következő képlet határoz meg: $\left|x\right|=\left\(\ begin(tömb)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Geometriailag a $\left|x\right|$ a távolságot jelenti a számegyenesen lévő $x$ és 0 pontok között.

Az abszolút értékek tulajdonságai:

1. a definícióból az következik, hogy $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. az összeg modulusára és két szám különbségének modulusára a következő egyenlőtlenségek érvényesek: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, valamint $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. a szorzat modulusára és két szám hányadosának modulusára a következő egyenlőségek igazak: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ és $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Egy tetszőleges $a>0$ szám abszolút értékének meghatározása alapján a következő egyenlőtlenségpárok ekvivalenciája is megállapítható:

1. ha $\left|x\right|
2. ha $\left|x\right|\le a$, akkor $-a\le x\le a$;
3. ha $\left|x\right|>a$, akkor vagy $xa$;
4. ha $\left|x\right|\ge a$, akkor vagy $x\le -a$ vagy $x\ge a$.

8. példa

Oldja meg a $\left|2\cdot x+1\right| egyenlőtlenséget

Ez az egyenlőtlenség megegyezik a -7 $ egyenlőtlenségekkel

Innen kapunk: -8 $

§1.1. Valós számok
A valós számokkal való első ismerkedés egy iskolai matematika tanfolyamon történik. Minden valós számot véges vagy végtelen tizedes tört képvisel.

A valós számokat két osztályra osztják: a racionális számok osztályára és az irracionális számok osztályára. Racionális olyan számok, amelyek alakja , ahol mÉs n másodprím egész számok, de
. (A racionális számok halmazát betűvel jelöljük K). A fennmaradó valós számokat hívják irracionális. A racionális számokat véges vagy végtelen periodikus törttel ábrázoljuk (ugyanúgy, mint a közönséges törteket), akkor azok és csak azok a valós számok lesznek irracionálisak, amelyeket végtelen nem periódusos törtekkel lehet ábrázolni.

Például szám
- racionális, és
,
,
stb. – irracionális számok.

A valós számokat algebraira is fel lehet osztani - a racionális együtthatós polinom gyökére (ezek közé tartozik különösen az összes racionális szám - az egyenlet gyökei
) – és a transzcendentálisakra – az összes többi (például számok
és mások).

Az összes természetes, egész és valós szám halmazát ennek megfelelően a következőképpen jelöljük: NZ, R
(a Naturel, Zahl, Reel szavak kezdőbetűi).

§1.2. Valós számok képe a számegyenesen. Intervallumok

Geometriailag (az egyértelműség kedvéért) a valós számokat egy végtelen (mindkét irányban) egyenesen lévő pontok ábrázolják, ún. számszerű tengely. Ebből a célból felveszünk egy pontot a vizsgált egyenesen (az origó a 0 pont), a pozitív irányt jelzik, nyíllal ábrázolva (általában jobbra), és kiválasztanak egy mértékegységet, amelyet korlátlan ideig félretesznek. a 0 pont mindkét oldalán. Így ábrázoljuk az egész számokat. Egy szám egy tizedesjegyű ábrázolásához minden szegmenst tíz részre kell osztani stb. Így minden valós számot egy pont képvisel a számegyenesen. Vissza az egyes pontokhoz
a szakasz hosszával megegyező valós számnak felel meg
és „+” vagy „–” jellel vesszük, attól függően, hogy a pont az origótól jobbra vagy balra esik. Ily módon egy az egyhez megfeleltetés jön létre az összes valós szám halmaza és a számtengely összes pontja között. A „valós szám” és a „számtengely-pont” kifejezéseket úgy használjuk szinonimák.

Szimbólum Jelölni fogunk egy valós számot és a hozzá tartozó pontot is. A pozitív számok a 0 ponttól jobbra, a negatív számok balra helyezkednek el. Ha
, akkor a számtengelyen a pont a ponttól balra fekszik . Legyen a lényeg
számnak felel meg, akkor a számot a pont koordinátájának nevezzük, írjuk
; Gyakrabban magát a pontot ugyanazzal a betűvel jelölik, mint a számot. A 0 pont a koordináták origója. A tengelyt szintén a betű jelöli (1.1. ábra).

Rizs. 1.1. Számtengely.
Az összes fekvő szám halmaza között adott számok, és intervallumnak vagy intervallumnak nevezzük; a végek tartozhatnak hozzá, vagy nem. Tisztázzuk ezt. Hadd
. A feltételnek megfelelő számkészlet
, amelyet intervallumnak (szűk értelemben) vagy nyitott intervallumnak neveznek, és amelyet a szimbólum jelöl
(1.2. ábra).

Rizs. 1.2. Intervallum
Olyan számkészlet
zárt intervallumnak (szegmens, szegmens) nevezzük, és jelöljük
; A számtengelyen a következőképpen van jelölve:

Rizs. 1.3. Zárt intervallum
A nyitott réstől csak két ponttal (véggel) és . De ez a különbség alapvető, jelentős, amint azt később látni fogjuk, például a függvények tulajdonságainak vizsgálatakor.

A „minden szám (pont) halmaza” szavak elhagyása xígy” stb., megjegyezzük továbbá:

És
, jelölve
És
félig nyitott vagy félig zárt időközök (néha: félig szünetek);

vagy
eszközök:
vagy
és ki van jelölve
vagy
;

vagy
eszközök
vagy
és ki van jelölve
vagy
;

, jelölve
az összes valós szám halmaza. Jelvények
„végtelen” szimbólumok; helytelen vagy ideális számoknak nevezzük.

§1.3. Valós szám abszolút értéke (vagy modulusa).
Meghatározás. Abszolút érték (vagy modul) számot magának a számnak nevezzük, ha
vagy
Ha
. Az abszolút értéket a szimbólum jelzi . Így,

Például,
,
,
.

Geometriailag pont távolságot jelent a az eredethez. Ha van két pontunk és , akkor a köztük lévő távolságot így ábrázolhatjuk
(vagy
). Például,
majd a távolságot
.

Az abszolút mennyiségek tulajdonságai.

1. A definícióból az következik

,
, vagyis
.

2. Az összeg és a különbség abszolút értéke nem haladja meg az abszolút értékek összegét:
.

1) Ha
, Azt
. 2) Ha
, Azt . ▲

3.
.

, majd a 2. tulajdonság szerint:
, azaz
. Hasonlóképpen, ha elképzeled
, akkor eljutunk az egyenlőtlenséghez
▲

4.
– a definícióból következik: mérlegeljük az eseteket
És
.

5.
, feltéve, hogy
Ugyanez következik a definícióból is.

6. Egyenlőtlenség
,
, azt jelenti
. Ezt az egyenlőtlenséget a köztük lévő pontok elégítik ki
És
.

7. Egyenlőtlenség
egyenlőtlenséggel egyenlő
, azaz . Ez egy intervallum, amelynek középpontja egy hosszpont
. Úgy hívják
egy pont (szám) környéke. Ha
, akkor a környéket defektesnek nevezzük: ez a vagy
. (1.4. ábra).

8.
amiből az következik, hogy az egyenlőtlenség
(
) egyenlő az egyenlőtlenséggel
vagy
; és egyenlőtlenség
pontokat határoz meg, amelyekhez
, azaz ezek a szegmensen kívül eső pontok
, pontosan:
És
.

§1.4. Néhány fogalom és jelölés
Mutassunk be néhány széles körben használt fogalmat és jelölést a halmazelméletből, a matematikai logikából és a modern matematika más ágaiból.

1 . Koncepció készletek a matematika egyik alapvető eleme, kezdeti, univerzális – ezért nem definiálható. Csak leírható (szinonimákkal helyettesítve): gyűjtemény, egyes tárgyak, dolgok gyűjteménye, amelyeket egyes jellemzők egyesítenek. Ezeket az objektumokat ún elemeket sokaság. Példák: sok homokszem a parton, csillagok az Univerzumban, tanulók az osztályteremben, egyenlet gyökerei, egy szakasz pontjai. Meghívjuk azokat a halmazokat, amelyek elemei számok numerikus halmazok. Egyes szabványos készleteknél speciális jelöléseket vezetnek be, például N,Z,R- lásd az 1.1.

Hadd A– sok és x az eleme, akkor ezt írják:
; olvas" x tartozik A» (
elemek befogadó jele). Ha a tárgy x nem szerepel benne A, akkor írnak
; így szól: " x nem tartozik A" Például,
N; 8,51N; de 8.51 R.

Ha x egy halmaz elemeinek általános megjelölése A, akkor írnak
. Ha lehetséges az összes elem megnevezését felírni, akkor írjon
,
stb. Az egyetlen elemet nem tartalmazó halmazt üres halmaznak nevezzük, és a  szimbólummal jelöljük; például az egyenlet gyökeinek (valós) halmaza
üres van.

A készlet ún végső, ha véges számú elemből áll. Ha mindegy, milyen természetes számot veszünk fel N, a halmazban A akkor több elem van, mint N A hívott végtelen halmaz: végtelenül sok elem van benne.

Ha a halmaz minden eleme ^A sokakhoz tartozik B, Azt egy halmaz részének vagy részhalmazának nevezzük Bés írj
; olvas" A tartalmazza B» (
halmazoknál szerepel egy befogadó jel). Például, NZR. Ha és
, akkor azt mondják, hogy a készletek AÉs B egyenlőek és írják
. Különben írnak
. Például ha
, A
az egyenlet gyökeinek halmaza
, Azt .

Mindkét halmaz elemeinek halmaza AÉs B hívott egyesítés halmaz és jelölve van
(Néha
). A és azokhoz tartozó elemek halmaza AÉs B, hívott útkereszteződés halmaz és jelölve van
. Egy halmaz összes elemének halmaza ^A, amelyeket nem tartalmaz B, hívott különbség halmaz és jelölve van
. Ezeket a műveleteket sematikusan a következőképpen ábrázolhatjuk:

Ha egy-egy megfeleltetés megállapítható a halmazok elemei között, akkor azt mondják, hogy ezek a halmazok ekvivalensek és írják
. Bármilyen készlet A, egyenértékű a természetes számok halmazával N= hívott megszámlálható vagy megszámlálható. Más szóval, egy halmazt akkor nevezünk megszámlálhatónak, ha elemei számozhatók és végtelenbe rendezhetők utósorozat
, amelynek minden tagja különböző:
at
, és alakban is felírható. Más végtelen halmazokat nevezünk számtalan. Megszámlálható, kivéve magát a készletet N, lesznek például készletek
, Z. Kiderült, hogy az összes racionális és algebrai szám halmaza megszámlálható, és bármely intervallum összes irracionális, transzcendentális, valós számának és pontjának megfelelő halmaza megszámlálhatatlan. Azt mondják, hogy az utóbbiak a kontinuum hatalmával rendelkeznek (a hatvány az elemek száma (száma) fogalmának általánosítása egy végtelen halmazra).

2 . Legyen két állítás, két tény: és
. Szimbólum
azt jelenti: „ha igaz, akkor igaz és” vagy „következik”, „azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke rendelkezik az angol tulajdonsággal Létezik- léteznek.

Belépés:

, vagy
, azt jelenti: van (legalább egy) a tulajdonsággal rendelkező objektum . És a felvétel
, vagy
, azt jelenti: mindenkinek megvan a tulajdona. Konkrétan a következőket írhatjuk:
És .

Ebben a cikkben részletesen megvizsgáljuk szám modulusa. Különféle definíciókat adunk egy szám modulusára, bemutatjuk a jelöléseket és grafikus illusztrációkat adunk. Ugyanakkor nézzünk meg különféle példákat egy szám modulusának definíció szerinti megtalálására. Ezt követően felsoroljuk és indokoljuk a modul főbb tulajdonságait. A cikk végén beszélünk arról, hogyan határozzuk meg és találjuk meg a komplex szám modulusát.

Oldalnavigáció.

Szám modul - definíció, jelölés és példák

Először bemutatjuk szám modulus kijelölése. Az a szám modulusát ként írjuk fel, azaz a számtól balra és jobbra függőleges kötőjeleket teszünk a modulus előjelként. Mondjunk egy-két példát. Például a −7 modul felírható így: ; A 4.125-ös modul a következőképpen van írva: , és a modulnak van egy formája.

A modulus következő definíciója a valós számok halmazának alkotórészeiként hivatkozik a , tehát a és az egész számokra, valamint a racionális és irracionális számokra. Egy komplex szám modulusáról beszélünk in.

Meghatározás.

A szám modulusa– ez vagy maga az a szám, ha a pozitív szám, vagy a −a szám, az a szám ellentéte, ha a negatív szám, vagy 0, ha a=0.

Egy szám modulusának hangos definícióját gyakran a következő formában írják le , ez a bejegyzés azt jelenti, hogy ha a>0, ha a=0, és ha a<0 .

A lemez kompaktabb formában is bemutatható . Ez a jelölés azt jelenti, hogy ha (a nagyobb vagy egyenlő, mint 0), és ha a<0 .

Ott van a bejegyzés is . Itt külön meg kell magyaráznunk azt az esetet, amikor a=0. Ebben az esetben , de −0=0, mivel a nullát önmagával ellentétes számnak tekintjük.

Adjunk példák egy szám modulusának megtalálására a megadott definíciót használva. Például keressük meg a 15 és a számok moduljait. Kezdjük a kereséssel. Mivel a 15-ös szám pozitív, modulusa értelemszerűen megegyezik ezzel a számmal, azaz . Mi egy szám modulusa? Mivel negatív szám, modulusa egyenlő a számmal ellentétes számmal, vagyis a számmal . Így, .

Ennek a pontnak a befejezéseként bemutatunk egy következtetést, amelyet nagyon kényelmes a gyakorlatban használni egy szám modulusának megtalálásakor. Egy szám modulusának meghatározásából az következik egy szám modulusa egyenlő a modulusjel alatti számmal anélkül, hogy figyelembe vennénk az előjelét, és a fent tárgyalt példákból ez nagyon jól látható. A megadott utasítás megmagyarázza, hogy miért hívják egy szám modulját is a szám abszolút értéke. Tehát egy szám modulusa és egy szám abszolút értéke egy és ugyanaz.

Egy szám modulusa mint távolság

Geometriailag egy szám modulusa úgy értelmezhető távolság. Adjunk egy szám modulusának meghatározása a távolságon keresztül.

Meghatározás.

A szám modulusa– ez a távolság a koordinátaegyenes origójától az a számnak megfelelő pontig.

Ez a meghatározás összhangban van egy szám modulusának az első bekezdésben megadott meghatározásával. Tisztázzuk ezt a pontot. Az origó és a pozitív számnak megfelelő pont közötti távolság egyenlő ezzel a számmal. A nulla az origónak felel meg, ezért az origó és a 0 koordinátájú pont távolsága nullával egyenlő (nem kell félretenni egyetlen egységszakaszt és egyetlen olyan szegmenst sem, amely az egységszakasz bármely töredékét alkotja. hogy O pontból 0 koordinátájú pontba jussunk). Az origó és a negatív koordinátájú pont távolsága megegyezik a pont koordinátájával ellentétes számmal, mivel egyenlő az origó és annak a pontnak a távolságával, amelynek koordinátája ellentétes szám.

Például a 9-es szám modulusa egyenlő 9-cel, mivel az origó és a 9-es koordinátájú pont távolsága kilenc. Mondjunk egy másik példát. A −3,25 koordinátájú pont az O ponttól 3,25 távolságra található, tehát .

A szám modulusának megfogalmazott definíciója két szám különbsége modulusának egy speciális esete.

Meghatározás.

Két szám különbségének modulja a és b egyenlő az a és b koordinátájú koordinátaegyenes pontjai közötti távolsággal.

Vagyis ha az A(a) és B(b) koordinátaegyenes pontjai adottak, akkor az A pont és a B pont távolsága egyenlő az a és b számok különbségének modulusával. Ha az O pontot (eredetet) vesszük B pontnak, akkor egy szám modulusának e bekezdés elején megadott definícióját kapjuk.

Szám modulusának meghatározása a számtani négyzetgyök segítségével

Alkalmanként előfordul modulus meghatározása számtani négyzetgyök segítségével.

Például számítsuk ki a −30 számok modulusát és ennek alapján. megvan. Hasonlóképpen kiszámítjuk a kétharmad modulját: .

Egy szám modulusának az aritmetikai négyzetgyökön keresztüli meghatározása is összhangban van a jelen cikk első bekezdésében megadott meghatározással. Mutassuk meg. Legyen a pozitív szám, és −a negatív szám. Majd És , ha a=0 , akkor .

Modul tulajdonságai

A modulnak számos jellemző eredménye van - modul tulajdonságait. Most ezek közül mutatjuk be a főbb és leggyakrabban használtakat. Ezen tulajdonságok igazolásánál egy szám távolsági modulusának meghatározására fogunk támaszkodni.

Kezdjük a modul legnyilvánvalóbb tulajdonságával - Egy szám modulusa nem lehet negatív szám. Szó szerinti formában ennek a tulajdonságnak tetszőleges a szám alakja van. Ez a tulajdonság nagyon könnyen igazolható: egy szám modulusa távolság, a távolság pedig nem fejezhető ki negatív számként.

Térjünk át a következő modultulajdonságra. Egy szám modulusa akkor és csak akkor nulla, ha ez a szám nulla. A nulla modulusa definíció szerint nulla. A nulla az origónak felel meg; a koordinátaegyenes egyetlen pontja sem felel meg nullának, mivel minden valós szám egyetlen ponthoz kapcsolódik a koordinátaegyenesen. Ugyanezen okból a nullától eltérő bármely szám az origótól eltérő pontnak felel meg. És az origótól az O ponttól eltérő pontig mért távolság nem nulla, mivel két pont távolsága akkor és csak akkor nulla, ha ezek a pontok egybeesnek. A fenti érvelés bizonyítja, hogy csak a nulla modulusa egyenlő nullával.

Menjünk tovább. Az ellentétes számoknak egyenlő moduljai vannak, azaz bármely a számhoz. Valójában a koordinátaegyenes két pontja, amelyek koordinátái ellentétes számok, azonos távolságra van az origótól, ami azt jelenti, hogy az ellentétes számok moduljai egyenlőek.

A modul következő tulajdonsága: Két szám szorzatának modulusa egyenlő e számok modulusainak szorzatával, vagyis . Definíció szerint az a és b számok szorzatának modulusa egyenlő vagy a·b-vel, ha , vagy −(a·b)-vel, ha . A valós számok szorzásának szabályaiból az következik, hogy az a és b számok modulusának szorzata egyenlő vagy a·b, , vagy −(a·b) ha , ami bizonyítja a kérdéses tulajdonságot.

A b-vel osztva egy szám modulusa egyenlő egy szám modulusának hányadosával osztva b modulusával, vagyis . Igazoljuk a modul ezen tulajdonságát. Mivel a hányados egyenlő a szorzattal, akkor. Az előző ingatlanunknak köszönhetően . Nincs más hátra, mint az egyenlőség használata, amely egy szám modulusának definíciója alapján érvényes.

A modul következő tulajdonsága egyenlőtlenségként van felírva: , a , b és c tetszőleges valós számok. Az írott egyenlőtlenség nem más, mint háromszög egyenlőtlenség. Ennek tisztázása érdekében vegyük fel a koordinátaegyenes A(a), B(b), C(c) pontjait, és tekintsünk egy ABC degenerált háromszöget, amelynek csúcsai ugyanabban az egyenesben vannak. Definíció szerint a különbség modulusa megegyezik az AB szakasz hosszával, - az AC szakasz hosszával és - a CB szakasz hosszával. Mivel a háromszög egyik oldalának hossza nem haladja meg a másik két oldal hosszának összegét, az egyenlőtlenség igaz , ezért az egyenlőtlenség is igaz.

Az imént bizonyított egyenlőtlenség sokkal gyakoribb a formában . Az írott egyenlőtlenséget általában a modul külön tulajdonságának tekintik, a következő megfogalmazással: „ Két szám összegének modulusa nem haladja meg e számok modulusainak összegét" De az egyenlőtlenség egyenesen következik az egyenlőtlenségből, ha b helyett −b-t teszünk, és c=0-t veszünk.

Komplex szám modulusa

Adjunk komplex szám modulusának meghatározása. Adják meg nekünk komplex szám, algebrai formában írva, ahol x és y néhány valós szám, amelyek egy adott z komplex szám valós és képzetes részét jelentik, és a képzetes egység.

Meghatározás.

Komplex szám modulusa z=x+i·y egy adott komplex szám valós és képzetes részei négyzetösszegének számtani négyzetgyöke.

Egy z komplex szám modulusát jelöljük, majd egy komplex szám modulusának megadott definícióját így írhatjuk fel .

Ez a definíció lehetővé teszi bármely komplex szám modulusának kiszámítását algebrai jelöléssel. Például számítsuk ki egy komplex szám modulusát. Ebben a példában egy komplex szám valós része egyenlő, a képzetes része pedig mínusz négy. Ekkor egy komplex szám modulusának definíciójával megvan .

Egy komplex szám modulusának geometriai értelmezése a távolságon keresztül adható meg, a valós szám modulusának geometriai értelmezésével analóg módon.

Meghatározás.

Komplex szám modulusa z a komplex sík elejétől a z számnak megfelelő pontig terjedő távolság ebben a síkban.

A Pitagorasz-tétel szerint az O pont és egy (x, y) koordinátájú pont távolsága így található, tehát , ahol . Ezért a komplex szám modulusának utolsó definíciója megegyezik az elsővel.

Ez a definíció azt is lehetővé teszi, hogy azonnal jelezzük, hogy egy z komplex szám modulusa mennyivel egyenlő, ha trigonometrikus formában úgy van felírva vagy demonstratív formában. itt . Például egy komplex szám modulusa egyenlő 5-tel, és egy komplex szám modulusa egyenlő.

Azt is észreveheti, hogy egy komplex szám és a komplex konjugált szám szorzata adja a valós és a képzetes rész négyzeteinek összegét. Tényleg,. A kapott egyenlőség lehetővé teszi, hogy egy komplex szám modulusának egy másik definícióját adjuk meg.

Meghatározás.

Komplex szám modulusa z ennek a számnak és számkomplex konjugáltjának szorzatának számtani négyzetgyöke, azaz.

Végezetül megjegyezzük, hogy a megfelelő bekezdésben megfogalmazott modul összes tulajdonsága komplex számokra is érvényes.

Hivatkozások.

• Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézményekben.
• Luntz G.L., Elsgolts L.E. Egy összetett változó függvényei: tankönyv egyetemek számára.
• Privalov I.I. Bevezetés egy komplex változó függvényelméletébe.

Vissza Előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a bemutató összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

Felszerelés: projektor, vetítővászon, személyi számítógép, multimédiás bemutató

Az óra előrehaladása

1. Szervezési mozzanat.

2. A tanulók tudásának frissítése.

2.1. Válaszoljon a tanulók házi feladattal kapcsolatos kérdéseire.

2.2. A keresztrejtvény megfejtése (elméleti anyag ismétlése) (2. dia):

(Érvényes – A keresztrejtvény megfejtése után a kiemelt függőleges oszlopban olvassa el a mai óra témájának nevét.

(3., 4. dia)

3. Új téma magyarázata. a 3.1. – Srácok, már találkoztatok a modul fogalmával, használtátok a | jelölést

| . Korábban csak racionális számokról beszéltünk. Most be kell vezetnünk a modulus fogalmát bármely valós számra.

Minden valós szám egyetlen pontnak felel meg a számegyenesen, és fordítva, a számegyenes minden pontja egyetlen valós számnak felel meg. A racionális számokkal végzett műveletek összes alapvető tulajdonsága megmarad a valós számoknál. Bemutatjuk a valós szám modulusának fogalmát.

(5. dia). x Meghatározás. Nem negatív valós szám modulusa x| = x hívja magát ezt a számot: | ; negatív valós szám modulusa X x| = – x .

– hívja a másik számot: |

Írd le a füzetedbe az óra témáját és a modul meghatározását: A gyakorlatban különféle modul tulajdonságait , Például. :

(6. dia) Szóban töltse ki a 16.3 (a, b) – 16.5 (a, b) pontokat a modul definíciójának, tulajdonságainak alkalmazásához. .

(7. dia) ; negatív valós szám modulusa 3.4. Bármilyen valós számra x kiszámítható | | = |x| .

, azaz funkcióról beszélhetünk y = |x| Feladat 1. Készítsen gráfot, és sorolja fel a függvény tulajdonságait!

y

(8., 9. dia)..

Az egyik tanuló egy függvényt ábrázol a táblán 1. ábra

Az ingatlanokat a tanulók sorolják fel.

(10. dia)< 0 и x > 0.

1) Definíciós tartomány – (– ∞; + ∞) .

2) y=0 x=0-nál; y > 0 x-nél

3) A függvény folyamatos.

4) y naim = 0 x = 0 esetén, y naib nem létezik.

5) A funkció alulról korlátozott, felülről nem. 6) A függvény a sugáron csökken (– ∞; 0), a sugáron pedig nő. Előző cikk: Mekkora a fénysebesség