Hogyan számítsuk ki egy szám átlagát. Hogyan találjuk meg a számok számtani és geometriai átlagát

Átlagok módszere

3.1 Az átlagok lényege és jelentése a statisztikában. Átlagok típusai

Átlagos méret a statisztikában minőségileg homogén jelenségek, folyamatok valamely változó jellemző szerint általánosított jellemzője, amely a populáció egy egységére vonatkozó jellemző szintjét mutatja. Átlagos érték elvont, mert a populáció valamely személytelen egységében lévő jellemző értékét jellemzi.Esszenciaátlagértéke, hogy az egyénen és a véletlenen keresztül feltárul az általános és a szükséges, vagyis a tömegjelenségek alakulásának tendenciája, mintázata. Az átlagos értékekben általánosított jellemzők a népesség minden egységében rejlenek. Emiatt az átlagérték nagy jelentőséggel bír a tömegjelenségekben rejlő, a populáció egyes egységeiben nem észrevehető minták azonosításában.

Átlagok használatának általános elvei:

ésszerűen meg kell választani azt a népességegységet, amelyre az átlagértéket számítják;

az átlagérték meghatározásakor az átlagolandó jellemző minőségi tartalmából kell kiindulni, figyelembe kell venni a vizsgált jellemzők kapcsolatát, valamint a számításhoz rendelkezésre álló adatokat;

az átlagos értékeket minőségileg homogén populációk alapján kell kiszámítani, amelyeket a csoportosítási módszerrel kapnak, amely magában foglalja az általánosító mutatók rendszerének kiszámítását;

az általános átlagokat csoportátlagokkal kell alátámasztani.

Az elsődleges adatok jellegétől, a statisztikai alkalmazási körtől és a számítási módszertől függően a következőket különböztetjük meg: a médiumok fő típusai:

1) teljesítmény átlagok(számtani átlag, harmonikus, geometriai, négyzet- és köbös átlag);

2) szerkezeti (nem paraméteres) azt jelenti(mód és medián).

A statisztikában a vizsgált sokaság minden egyes esetben változó jellemző szerint való helyes jellemzését csak egy nagyon specifikus átlagtípus biztosítja. Azt a kérdést, hogy egy adott esetben milyen típusú átlagot kell alkalmazni, a vizsgált sokaság konkrét elemzése, valamint az eredmények értelmességének elve alapján oldjuk meg az összegzés vagy a mérlegelés során. Ezeket és más elveket a statisztika is kifejezi átlagok elmélete.

Például a számtani átlag és a harmonikus átlag egy változó jellemző átlagos értékének jellemzésére szolgál a vizsgált sokaságban. A geometriai átlagot csak a dinamika átlagos sebességének számításakor, a másodfokú átlagot pedig csak a variációs indexek kiszámításakor használjuk.

Az átlagértékek kiszámítására szolgáló képleteket a 3.1. táblázat tartalmazza.

3.1. táblázat – Képletek az átlagértékek kiszámításához

Átlagok típusai	Számítási képletek
Átlagok típusai	egyszerű	súlyozott
1. Számtani közép
2. Harmonikus átlag
3. Geometriai átlag
4. Átlagos négyzet

Megnevezések:- mennyiségek, amelyekre az átlagot számítják; - átlag, ahol a fenti sáv azt jelzi, hogy az egyes értékek átlagolása megtörténik; - gyakoriság (egy jellemző egyedi értékeinek megismételhetősége).

Nyilvánvaló, hogy a különböző átlagok származnak általános képlet a teljesítmény átlagára (3.1) :

, (3.1)

ha k = + 1 - számtani átlag; k = -1 - harmonikus átlag; k = 0 - geometriai átlag; k = +2 - négyzetes átlag.

Az átlagértékek lehetnek egyszerűek vagy súlyozottak. Súlyozott átlagok olyan értékeket hívunk, amelyek figyelembe veszik, hogy az attribútumértékek egyes változatai eltérő számmal rendelkezhetnek; ebben a tekintetben minden opciót meg kell szorozni ezzel a számmal. Ebben az esetben a „skálák” a különböző csoportokban lévő összesített egységek számai, pl. Mindegyik opció gyakorisága szerint „súlyozott”. Az f frekvenciát nevezzük statisztikai súly vagy átlagos súlya.

Végül az átlag helyes megválasztása a következő sorrendet feltételezi:

a) általános népességmutató megállapítása;

b) mennyiségek matematikai összefüggésének meghatározása egy adott általános mutatóhoz;

c) az egyes értékeket átlagértékekkel helyettesítjük;

d) az átlag kiszámítása a megfelelő egyenlet segítségével.

3.2 A számtani átlag és tulajdonságai, számítási technikák. Harmonikus átlag

Számtani átlag– a leggyakoribb közepes méretű típus; akkor számítják ki, ha az átlagolt jellemző térfogatát a vizsgált statisztikai sokaság egyes egységeire vonatkozó értékeinek összegeként képezik.

A számtani átlag legfontosabb tulajdonságai:

1. Az átlag szorzata a gyakoriságok összegével mindig egyenlő a változatok (egyedi értékek) gyakoriságok szorzatának összegével.

2. Ha minden opcióból kivon (összead) tetszőleges számot, akkor az új átlag ugyanennyivel csökken (növekszik).

3. Ha minden opciót megszorozunk (osztunk) valamilyen tetszőleges számmal, akkor az új átlag ugyanennyivel nő (csökken)

4. Ha minden gyakoriságot (súlyt) elosztunk vagy szorozunk bármely számmal, akkor a számtani átlag nem változik.

5. Az egyes opciók számtani átlagtól való eltéréseinek összege mindig nulla.

Kivonhat egy tetszőleges állandó értéket egy karakterisztika összes értékéből (lehetőleg a középső opció vagy a legmagasabb frekvenciájú opciók értékéből), csökkentheti a kapott különbségeket egy közös tényezővel (jobban az intervallum értékével), és fejezze ki a gyakoriságokat részletekben (százalékban), és a számított átlagot szorozza meg a közös tényezővel, és adjon hozzá egy tetszőleges állandó értéket. A számtani átlag kiszámításának ezt a módszerét ún feltételes nullától számított számítási módszer .

Geometriai átlag alkalmazását találja az átlagos növekedési ráták (átlagos növekedési együtthatók) meghatározásában, amikor egy jellemző egyedi értékeit relatív értékek formájában mutatják be. Akkor is használják, ha meg kell találni egy jellemző minimális és maximális értéke közötti átlagot (például 100 és 1000 000 között).

Közepes négyzet egy jellemző változásának mérésére szolgál az aggregátumban (a szórás számítása).

Statisztikában érvényes az átlagok többségének szabálya:

X kár.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Strukturális átlagok (módus és medián)

Egy populáció szerkezetének meghatározásához speciális átlagmutatókat használnak, amelyek magukban foglalják a mediánt és a móduszokat, vagy az úgynevezett strukturális átlagokat. Ha a számtani átlagot az attribútumértékek összes változatának felhasználása alapján számítjuk ki, akkor a medián és a módus jellemzi annak a változatnak az értékét, amely a rangsorolt variációs sorozatban egy bizonyos átlagos pozíciót foglal el.

Divat- az attribútum legtipikusabb, leggyakrabban előforduló értéke. Mert diszkrét sorozat A divat a legmagasabb gyakoriságú opció lesz. A divat meghatározására intervallum sorozat Először a modális intervallumot (a legmagasabb frekvenciájú intervallumot) határozzuk meg. Ezután ezen az intervallumon belül megtaláljuk a jellemző értékét, amely lehet egy mód.

Egy intervallumsorozat módusának adott értékének meghatározásához a (3.2) képletet kell használni.

(3.2)

ahol XMo a modális intervallum alsó határa; i Mo - a modális intervallum értéke; f Mo - a modális intervallum gyakorisága; f Mo-1 - a modálist megelőző intervallum gyakorisága; f Mo+1 a modálist követő intervallum gyakorisága.

A divat széles körben elterjedt a marketingtevékenységben a fogyasztói kereslet tanulmányozása során, különösen a legnépszerűbb ruházati és cipőméretek meghatározásakor, valamint az árpolitika szabályozása során.

Középső - a rangsorolt sokaság közepére eső változó jellemző értéke. Mert rangsorolt sorozat páratlan számmal egyedi értékek (például 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) a medián az az érték lesz, amely a sorozat közepén helyezkedik el, pl. a negyedik érték a 6. Mert rangsorolt sorozat páros számmal egyedi értékek (például 1, 5, 7, 10, 11, 14) esetén a medián a számtani középérték lesz, amelyet két szomszédos értékből számítanak ki. Esetünkben a medián (7+10)/2= 8,5.

Így a medián meghatározásához először meg kell határoznia a sorozatszámát (a rangsorolt sorozatban elfoglalt helyét) a (3.3) képletekkel:

(ha nincsenek frekvenciák)

NÉn =
(ha vannak frekvenciák) (3.3)

ahol n az egységek száma az aggregátumban.

A medián számértéke intervallum sorozat halmozott frekvenciák határozzák meg egy diszkrét variációs sorozatban. Ehhez először meg kell jelölni azt az intervallumot, ahol az eloszlás intervallumsorozatában a medián található. A medián az az első intervallum, ahol a halmozott gyakoriságok összege meghaladja a megfigyelések felét az összes megfigyelésből.

A medián számértékét általában a (3.4) képlet határozza meg.

(3.4)

ahol x Ме a medián intervallum alsó határa; iMe - intervallumérték; SМе -1 a mediánt megelőző intervallum felhalmozott gyakorisága; fMe - a medián intervallum gyakorisága.

A talált intervallumon belül a mediánt is az Me = képlet segítségével számítjuk ki xl e, ahol az egyenlőség jobb oldalán lévő második tényező a medián helyét mutatja a medián intervallumon belül, x pedig ennek az intervallumnak a hossza. A medián a variációs sorozatot felére osztja a gyakorisággal. Még mindig elhatározás alatt kvartilis , amelyek a variációs sorozatot valószínűség szerint 4 egyenlő méretű részre osztják, és decilis , osztva a sort 10 egyenlő részre.

Átlagos érték- ez egy általános mutató, amely minőségileg homogén populációt jellemez egy bizonyos mennyiségi jellemző szerint. Például a lopásért elítélt személyek átlagéletkora.

Az igazságügyi statisztikákban az átlagértékeket használják a következők jellemzésére:

Az ebbe a kategóriába tartozó ügyek mérlegelési ideje átlagosan;

Átlagos követelésméret;

A vádlottak átlagos száma ügyenként;

Átlagos kár;

A bírák átlagos munkaterhelése stb.

Az átlag mindig egy nevesített érték, és ugyanazzal a dimenzióval rendelkezik, mint a sokaság egyedi egységének jellemzője. Minden átlagérték egy-egy változó jellemző szerint jellemzi a vizsgált sokaságot, ezért minden átlagérték mögött e sokaság egységeinek a vizsgált jellemző szerinti eloszlási sorozata húzódik meg. Az átlag típusának megválasztását a mutató tartalma és az átlagérték kiszámításához szükséges kiindulási adatok határozzák meg.

A statisztikai kutatásban használt összes átlagtípus két kategóriába sorolható:

1) teljesítmény átlagok;

2) strukturális átlagok.

Az átlagok első kategóriája a következőket tartalmazza: számtani átlag, harmonikus átlag, mértani átlag És négyzetgyökér . A második kategória az divatÉs középső. Ezenkívül a felsorolt teljesítményátlagok mindegyikének két formája lehet: egyszerű És súlyozott . Az átlag egyszerű formája a vizsgált jellemző átlagos értékének meghatározására szolgál, ha a számítást nem csoportosított statisztikai adatokon végzik, vagy ha az aggregátumban minden opció csak egyszer fordul elő. A súlyozott átlagok olyan értékek, amelyek figyelembe veszik, hogy az attribútumértékek változatai eltérő számmal rendelkezhetnek, ezért minden változatot meg kell szorozni a megfelelő gyakorisággal. Más szavakkal, minden opciót a gyakoriságuk alapján „súlyoznak”. A gyakoriságot statisztikai súlynak nevezzük.

Egyszerű számtani átlag- a leggyakoribb átlagtípus. Ez egyenlő az attribútum egyedi értékeinek összegével osztva ezen értékek teljes számával:

Ahol x 1 ,x 2 , … ,x N a változó jellemző (változatok) egyedi értékei, N pedig a sokaságban lévő egységek száma.

Súlyozott számtani átlag olyan esetekben használják, amikor az adatokat eloszlási sorozatok vagy csoportosítások formájában mutatják be. Kiszámítása az opciók és a hozzájuk tartozó gyakoriságok szorzatának összege, osztva az összes opció gyakoriságának összegével:

Ahol x i- jelentése én a jellemző th változatai; f i- frekvencia én opciók.

Így minden változat értéket a gyakoriságával súlyoznak, ezért a gyakoriságokat néha statisztikai súlyoknak is nevezik.

Megjegyzés. Amikor egy számtani átlagról beszélünk anélkül, hogy megjelölnénk a típusát, akkor az egyszerű számtani átlagot értjük.

12. táblázat.

Megoldás. A számításhoz a súlyozott számtani átlag képletet használjuk:

Így egy büntetőügyben átlagosan két vádlott van.

Ha az átlagérték kiszámítása intervallum eloszlási sorozatok formájában csoportosított adatok felhasználásával történik, akkor először meg kell határoznia minden x"i intervallum középső értékét, majd az átlagértéket az aritmetikai súlyozott átlag segítségével kell kiszámítani. képlet, amelyben x"i helyett xi.

Példa. A lopásért elítélt bűnözők életkorára vonatkozó adatokat a táblázat tartalmazza:

13. táblázat.

Határozza meg a lopásért elítélt bűnözők átlagéletkorát!

Megoldás. A bűnözők átlagéletkorának intervallumvariációs sorozat alapján történő meghatározásához először meg kell találni az intervallumok középértékeit. Mivel egy intervallumsorozat van megadva az első és az utolsó nyitott intervallumokkal, ezeknek az intervallumoknak az értékeit egyenlőnek kell tekinteni a szomszédos zárt intervallumok értékeivel. Esetünkben az első és az utolsó intervallum értéke 10.

Most megtaláljuk a bűnözők átlagéletkorát a súlyozott számtani átlaggal:

Így a lopásért elítélt bűnözők átlagéletkora megközelítőleg 27 év.

Harmonikus egyszerű az attribútum reciprok értékeinek számtani középértékének reciproka:

ahol 1/ x i az opciók fordított értékei, N pedig a sokaságban lévő egységek száma.

Példa. A járásbíróság bíráinak átlagos éves munkaterhének meghatározásához a büntetőügyek elbírálása során tanulmányt készítettek a bíróság 5 bírájának munkaterheléséről. Az egy-egy büntetőügyre fordított átlagos idő a vizsgált bírák mindegyikénél egyenlőnek bizonyult (napokban): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Keresse meg az átlagos költségeket az egyiken büntetőügy, valamint az adott járásbíróság bíráinak átlagos éves munkaterhelése a büntetőügyek elbírálásakor.

Megoldás. Egy büntetőügyben eltöltött átlagos idő meghatározásához a harmonikus átlagképletet használjuk:

A számítások leegyszerűsítése érdekében a példában egy év napjainak számát 365-nek vesszük, beleértve a hétvégéket is (ez a számítási módszert nem befolyásolja, és a gyakorlatban hasonló mutató kiszámításakor szükséges a munkavégzés számának helyettesítése napok egy adott évben 365 nap helyett). Ekkor az adott kerületi bíróság bíráinak átlagos éves munkateherje a büntetőügyek elbírálásakor: 365 (nap): 5,56 ≈ 65,6 (ügy).

Ha az egyszerű számtani átlagképletet használnánk egy-egy büntetőügyben eltöltött átlagos idő meghatározásához, a következőket kapnánk:

365 (nap): 5,64 ≈ 64,7 (esetek), i.e. a bírák átlagos munkaterhelése kisebbnek bizonyult.

Vizsgáljuk meg ennek a megközelítésnek az érvényességét. Ehhez minden bíró esetében egy-egy büntetőügyben eltöltött időre vonatkozó adatokat fogunk felhasználni, és kiszámítjuk, hogy mindegyikük hány büntetőügyet vizsgált évente.

Ennek megfelelően kapunk:

365 (nap): 6 ≈ 61 (esetek), 365 (nap): 5,6 ≈ 65,2 (esetek), 365 (nap): 6,3 ≈ 58 (esetek),

365 (nap): 4,9 ≈ 74,5 (esetek), 365 (nap): 5,4 ≈ 68 (esetek).

Most számoljuk ki az adott kerületi bíróság bíráinak átlagos éves munkaterhét a büntetőügyek elbírálásakor:

Azok. az átlagos éves terhelés megegyezik a harmonikus átlag használatával.

Így ebben az esetben a számtani átlag használata jogellenes.

Azokban az esetekben, amikor egy jellemző változatai és térfogati értékeik (a változatok és a frekvencia szorzata) ismertek, de maguk a frekvenciák nem ismertek, a súlyozott harmonikus átlag képletet használjuk:

Ahol x i az attribútumopciók értékei, w i pedig az opciók térfogati értékei ( w i = x i f i).

Példa. A büntetés-végrehajtás különböző intézményei által előállított azonos típusú termék egy egységárára, értékesítési volumenére vonatkozó adatokat a 14. táblázat tartalmazza.

14. táblázat

Keresse meg a termék átlagos eladási árát.

Megoldás. Az átlagár kiszámításakor az eladási összeg és az eladott darabszám arányát kell használnunk. Az eladott darabszámot nem ismerjük, de az áru eladások mennyiségét tudjuk. Ezért az eladott áruk átlagárának meghatározásához a súlyozott harmonikus átlag képletet használjuk. Megkapjuk

Ha itt a számtani átlag képletet használja, akkor olyan átlagárat kaphat, amely irreális lesz:

Geometriai átlagúgy számítják ki, hogy az N fok gyökerét kivonják az attribútumváltozatok összes értékének szorzatából:

Ahol x 1 ,x 2 , … ,x N- a változó jellemző egyedi értékei (változatai), és

N- az egységek száma a populációban.

Ezt az átlagtípust az idősorok átlagos növekedési ütemének kiszámítására használják.

Közepes négyzet a szórás kiszámítására szolgál, amely a változás mutatója, és az alábbiakban lesz szó róla.

A népesség szerkezetének meghatározásához speciális átlagmutatókat használnak, amelyek magukban foglalják középső És divat , vagy az úgynevezett strukturális átlagok. Ha a számtani átlagot az attribútumértékek összes változatának felhasználása alapján számítjuk ki, akkor a medián és a módus annak a változatnak az értékét jellemzi, amely a rangsorolt (rendezett) sorozatban egy bizonyos átlagos pozíciót foglal el. A statisztikai sokaság egységei a vizsgált jellemző változatai szerint növekvő vagy csökkenő sorrendbe rendezhetők.

Medián (én)- ez az érték, amely megfelel a rangsorolt sorozat közepén található opciónak. A medián tehát a rangsorolt sorozatnak az a változata, amelynek mindkét oldalán ebben a sorozatban azonos számú populációs egységnek kell lennie.

A medián meghatározásához először meg kell határoznia annak sorszámát a rangsorolt sorozatban a következő képlet segítségével:

ahol N a sorozat térfogata (a sokaság egységeinek száma).

Ha a sorozat páratlan számú tagból áll, akkor a medián megegyezik az N Me számú opcióval. Ha a sorozat páros számú tagból áll, akkor a medián a középen elhelyezkedő két szomszédos opció számtani középértéke.

Példa. Adott egy rangsorolt sorozat 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. A sorozat térfogata N = 9, ami azt jelenti, hogy N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Ezért Me = 6, azaz . ötödik lehetőség. Ha a sor 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16-ot ad, azaz. páros számú tagú sorozat (N = 8), akkor N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Ez azt jelenti, hogy a medián egyenlő a negyedik és ötödik opció összegének felével, azaz. Me = (9 + 11) / 2 = 10.

Egy diszkrét variációs sorozatban a mediánt a felhalmozott gyakoriságok határozzák meg. Az opció gyakoriságai az elsőtől kezdve összegezve a mediánszám túllépéséig. Az utolsó összegzett opciók értéke a medián lesz.

Példa. A 12. táblázat adatai alapján keresse meg a vádlottak büntetőügyenkénti medián számát!

Megoldás. Ebben az esetben a variációs sorozat térfogata N = 154, ezért N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Az első és a második opció frekvenciáit összegezve a következőt kapjuk: 75 + 43 = 118, azaz. túlléptük a medián számot. Tehát én = 2.

Egy intervallumváltozat-sorozatban az eloszlás először azt az intervallumot jelzi, amelyben a medián elhelyezkedik. Őt hívják középső . Ez az első olyan intervallum, amelynek felhalmozott frekvenciája meghaladja az intervallumvariációs sorozat térfogatának felét. Ezután a medián számértékét a következő képlet határozza meg:

Ahol x Én- a medián intervallum alsó határa; i a medián intervallum értéke; S Me-1- a mediánt megelőző intervallum felhalmozott gyakorisága; f Én- a medián intervallum gyakorisága.

Példa. Határozza meg a lopásért elítélt elkövetők medián életkorát a 13. táblázatban bemutatott statisztikák alapján.

Megoldás. A statisztikai adatokat egy intervallumvariációs sorozat mutatja be, ami azt jelenti, hogy először meghatározzuk a medián intervallumot. A sokaság térfogata N = 162, ezért a medián intervallum a 18-28 intervallum, mert ez az első intervallum, amelynek halmozott frekvenciája (15 + 90 = 105) meghaladja az intervallumvariáció sorozat térfogatának (162: 2 = 81) felét. Most a fenti képlet segítségével határozzuk meg a medián számértékét:

Így a lopásért elítéltek fele 25 év alatti.

Divat (hétfő) Egy olyan jellemző értékének nevezik, amely leggyakrabban a népesség egységeiben található. A divatot a legelterjedtebb jellemző értékének meghatározására használják. Egy diszkrét sorozat esetén az üzemmód a legmagasabb frekvenciájú opció lesz. Például a 3. táblázatban bemutatott diszkrét sorozatokhoz Mo= 1, mivel ez az érték a legmagasabb frekvenciának felel meg - 75. Az intervallumsorozat módjának meghatározásához először határozza meg modális intervallum (a legmagasabb frekvenciájú intervallum). Ezután ezen az intervallumon belül megtaláljuk a jellemző értékét, amely lehet egy mód.

Értékét a következő képlet segítségével találjuk meg:

Ahol xMo- a modális intervallum alsó határa; i a modális intervallum értéke; f Mo- a modális intervallum gyakorisága; f Mo-1- a modálist megelőző intervallum gyakorisága; f Mo+1- a modálist követő intervallum gyakorisága.

Példa. Határozza meg a lopásért elítélt bűnözők életkorát, amelyek adatait a 13. táblázat tartalmazza.

Megoldás. A legmagasabb frekvencia a 18-28 intervallumnak felel meg, ezért az üzemmódnak ebben az intervallumban kell lennie. Értékét a fenti képlet határozza meg:

Így a legtöbben 24 évesek a lopásért elítélt bűnözők.

Az átlagérték a vizsgált jelenség egészének általános jellemzőjét adja. Azonban két azonos átlagértékkel rendelkező populáció jelentősen eltérhet egymástól a vizsgált jellemző értékének ingadozásának (variációjának) mértékében. Például az egyik bíróságon a következő szabadságvesztést szabták ki: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 év, egy másikban pedig - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 évesek. Mindkét esetben a számtani átlag 6,7 év. Ezek a populációk azonban jelentősen eltérnek egymástól a kiszabott szabadságvesztés egyéni értékeinek átlagos értékhez viszonyított terjedésében.

Az első bíróságon pedig, ahol ez a szórás meglehetősen nagy, a szabadságvesztés átlagos értéke nem tükrözi a teljes lakosságot. Így, ha egy jellemző egyedi értékei alig különböznek egymástól, akkor a számtani átlag meglehetősen indikatív jellemzője lesz egy adott populáció tulajdonságainak. Ellenkező esetben a számtani átlag megbízhatatlan jellemzője lesz ennek a sokaságnak, és a gyakorlatban nem lesz hatékony. Ezért figyelembe kell venni a vizsgált jellemző értékeinek változását.

Variáció- ezek bármely jellemző értékének különbségei egy adott populáció különböző egységei között ugyanabban az időszakban vagy időpontban. A „variáció” kifejezés latin eredetű - variatio, ami különbséget, változást, ingadozást jelent. Ez annak eredményeként jön létre, hogy egy jellemző egyedi értékei különböző tényezők (feltételek) együttes hatására alakulnak ki, amelyek minden egyes esetben eltérően kombinálódnak. Egy jellemző változásának mérésére különféle abszolút és relatív mutatókat használnak.

A változás főbb mutatói a következők:

1) a változtatás hatóköre;

2) átlagos lineáris eltérés;

3) diszperzió;

4) szórás;

5) variációs együttható.

Nézzük meg röviden mindegyiket.

Variációs tartomány Az R a számítás egyszerűsége szempontjából a leginkább hozzáférhető abszolút mutató, amelyet egy adott populáció egységeinek jellemző legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbségként határoznak meg:

A változási tartomány (ingadozások tartománya) fontos mutatója egy tulajdonság variabilitásának, de csak szélsőséges eltéréseket tesz lehetővé, ami korlátozza az alkalmazási kört. Egy adott tulajdonság variabilitása alapján történő változásának pontosabb jellemzésére más mutatókat használnak.

Átlagos lineáris eltérés egy jellemző egyedi értékeinek átlagtól való eltéréseinek abszolút értékeinek számtani átlagát jelenti, és a képletekkel határozzák meg:

1) Mert csoportosítatlan adatok

2) Mert variációs sorozat

A variáció legszélesebb körben használt mértéke azonban az diszperzió . Ez jellemzi a vizsgált jellemző értékeinek szórásának mértékét az átlagos értékéhez képest. A diszperziót az eltérések négyzetes átlagaként határozzuk meg.

Egyszerű szórás csoportosítatlan adatokhoz:

Variancia súlyozott a variációs sorozathoz:

Megjegyzés. A gyakorlatban jobb a következő képleteket használni a variancia kiszámításához:

Az egyszerű eltéréshez

Súlyozott szóráshoz

Szórás a variancia négyzetgyöke:

A szórás az átlag megbízhatóságának mértéke. Minél kisebb a szórása, annál homogénebb a sokaság, és a számtani átlag annál jobban tükrözi a teljes sokaságot.

A szóródás fentebb tárgyalt mérőszámai (variációs tartomány, szórás, szórás) abszolút mutatók, amelyek alapján nem mindig lehet megítélni egy jellemző változékonyságának mértékét. Egyes feladatokban relatív szórási indexeket kell használni, amelyek közül az egyik variációs együttható.

Variációs együttható- a szórás és a számtani átlag aránya, százalékban kifejezve:

A variációs együtthatót nemcsak a különböző jellemzők vagy ugyanazon jellemzők különböző populációkban való eltérésének összehasonlító értékelésére használják, hanem a populáció homogenitásának jellemzésére is. Egy statisztikai sokaság akkor tekinthető mennyiségileg homogénnek, ha a variációs együttható nem haladja meg a 33%-ot (a normál eloszláshoz közeli eloszlások esetén).

Példa. A büntetés-végrehajtási intézetben a bíróság által kiszabott büntetés letöltésére kiszabott 50 elítélt szabadságvesztésének időtartamáról a következő adatok állnak rendelkezésre: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Készítsen eloszlássorozatot a szabadságvesztés feltételei szerint!

2. Határozza meg az átlagot, a szórást és a szórást!

3. Számítsa ki a variációs együtthatót, és vonjon le következtetést a vizsgált populáció homogenitására vagy heterogenitására!

Megoldás. Egy diszkrét eloszlási sorozat felépítéséhez meg kell határozni az opciókat és a frekvenciákat. A probléma megoldása a szabadságvesztés időtartama, a gyakoriság pedig az egyes opciók száma. A gyakoriságok kiszámítása után a következő diszkrét eloszlási sorozatot kapjuk:

Keressük az átlagot és a szórást. Mivel a statisztikai adatokat diszkrét variációs sorozatok reprezentálják, ezek kiszámításához a súlyozott számtani átlag és a diszperzió képleteit fogjuk használni. Kapunk:

= = 4,1;

= 5,21.

Most kiszámítjuk a szórást:

A variációs együttható megkeresése:

Ebből következően a statisztikai sokaság mennyiségileg heterogén.

Mi a számtani átlag

Több mennyiség számtani közepe e mennyiségek összegének a számukhoz viszonyított aránya.

Egy bizonyos számsorozat számtani átlaga ezeknek a számoknak az összege osztva a tagok számával. Így a számtani átlag egy számsor átlagértéke.

Mi több szám számtani középértéke? És egyenlők ezeknek a számoknak az összegével, amelyet elosztunk az összegben szereplő tagok számával.

Hogyan találjuk meg a számtani átlagot

Nincs semmi bonyolult több szám számtani átlagának kiszámításában vagy megtalálásában, elegendő az összes bemutatott számot összeadni, és a kapott összeget elosztani a tagok számával. A kapott eredmény ezeknek a számoknak a számtani átlaga lesz.

Nézzük meg ezt a folyamatot részletesebben. Mit kell tennünk, hogy kiszámítsuk a számtani átlagot és megkapjuk ennek a számnak a végeredményét?

Először is, a kiszámításához meg kell határoznia egy számkészletet vagy azok számát. Ez a készlet tartalmazhat nagy és kis számokat, számuk pedig bármi lehet.

Másodszor, ezeket a számokat össze kell adni, és megkapjuk az összegüket. Természetesen, ha a számok egyszerűek és kevés van belőlük, akkor a számításokat kézzel írva végezhetjük el. De ha a számkészlet lenyűgöző, akkor jobb, ha számológépet vagy táblázatot használ.

Negyedszer pedig az összeadásból kapott összeget el kell osztani a számok számával. Ennek eredményeként egy eredményt kapunk, amely ennek a sorozatnak a számtani középértéke lesz.

Miért kell a számtani közép?

A számtani átlag nem csak a matematika órákon a példák, feladatok megoldására lehet hasznos, hanem más, az ember mindennapi életében szükséges célokra is. Ilyen cél lehet a számtani átlag kiszámítása a havi átlagos pénzügyi kiadás kiszámításához, vagy az úton eltöltött idő kiszámítása, a látogatottság, a termelékenység, a mozgás sebessége, a hozam és még sok más megállapítása érdekében.

Így például próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi időt tölt iskolába utazással. Iskolába mész vagy hazatérve minden alkalommal más időt töltesz az úton, mert ha sietsz, gyorsabban jársz, így az út kevesebb időt vesz igénybe. De hazatérve lassan sétálhat, kommunikálhat az osztálytársakkal, gyönyörködhet a természetben, ezért az utazás több időt vesz igénybe.

Ezért nem fogja tudni pontosan meghatározni az úton eltöltött időt, de a számtani átlagnak köszönhetően megközelítőleg megtudhatja az úton töltött időt.

Tegyük fel, hogy a hétvégét követő első napon tizenöt percet töltöttél az úton otthonról az iskolába, a második napon húsz percig tartott az út, szerdán huszonöt perc alatt tette meg a távot, és ugyanennyi volt az útja. csütörtökön, pénteken pedig nem siettél, és egy egész fél órára visszatértél.

Keressük meg mind az öt nap számtani átlagát, összeadva az időt. Így,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Most oszd el ezt az összeget a napok számával

Ennek a módszernek köszönhetően megtanulta, hogy az otthonról az iskolába vezető út körülbelül huszonhárom percet vesz igénybe.

Házi feladat

1.Egyszerű számításokkal keresse meg az osztályában tanuló tanulók heti látogatottságának számtani átlagát!

2. Keresse meg a számtani átlagot:

3. Oldja meg a problémát:

Az átlagérték analitikai szempontból a legértékesebb, és a statisztikai mutatók univerzális kifejezési formája. A legelterjedtebb átlagnak - a számtani átlagnak - számos matematikai tulajdonsága van, amelyek a számításánál felhasználhatók. Ugyanakkor a fajlagos átlag kiszámításakor mindig célszerű annak logikai képletére támaszkodni, amely az attribútum térfogatának a sokaság térfogatához viszonyított aránya. Minden átlaghoz csak egy valós kezdeti összefüggés van, amelynek megvalósítása a rendelkezésre álló adatoktól függően eltérő formájú átlagokat igényelhet. Mindazonáltal minden olyan esetben, amikor az átlagolt érték jellegéből következik a súlyok jelenléte, lehetetlen ezek súlyozatlan képleteit használni a súlyozott átlagképletek helyett.

Az átlagérték az attribútumnak a sokaságra legjellemzőbb értéke és a sokaság attribútumának nagysága egyenlő arányban elosztva a sokaság egységei között.

Azt a jellemzőt, amelyre az átlagértéket számítjuk, nevezzük átlagolva .

Az átlagérték abszolút vagy relatív értékek összehasonlításával számított mutató. Az átlagértéket jelöljük

Az átlagérték a vizsgált jelenséget befolyásoló összes tényező befolyását tükrözi, és ezek eredője. Más szóval, az egyéni eltérések kioltása és az esetek befolyásának kiküszöbölése, az átlagérték, amely ennek a cselekvésnek az eredményeinek általános mértékét tükrözi, a vizsgált jelenség általános mintájaként működik.

Az átlagértékek használatának feltételei:

Ø a vizsgált populáció homogenitása. Ha egy véletlenszerű tényező hatásának kitett populáció egyes elemei a vizsgált jellemző értékei jelentősen eltérnek a többitől, akkor ezek az elemek befolyásolják a populáció átlagának nagyságát. Ebben az esetben az átlag nem a sokaságra jellemző attribútum értékét fejezi ki. Ha a vizsgált jelenség heterogén, akkor megköveteli a homogén elemeket tartalmazó csoportokra bontását. Ebben az esetben csoportátlagokat számítanak ki - csoportátlagokat, amelyek a jelenség legjellemzőbb értékét fejezik ki minden csoportban, majd kiszámítják az összes elemre az összesített átlagértéket, amely a jelenség egészét jellemzi. Kiszámítása a csoportátlagok átlagaként történik, súlyozva az egyes csoportokban szereplő populációs elemek számával;

Ø összesen elegendő számú egység;

Ø a jellemző maximális és minimális értéke a vizsgált sokaságban.

Átlagos érték (mutató)egy jellemző általánosított mennyiségi jellemzője szisztematikus aggregátumban meghatározott hely és idő körülmények között.

A statisztikákban az átlagok következő formáit (típusait), amelyeket teljesítménynek és strukturálisnak neveznek, használják:

Ø számtani átlag(egyszerű és súlyozott);

egyszerű

A statisztikákban különféle típusú átlagokat használnak, amelyek két nagy osztályba sorolhatók:

Hatványértékek (harmonikus átlag, geometriai átlag, számtani átlag, másodfokú átlag, köbközép);

Strukturális átlagok (módus, medián).

Kiszámolni teljesítmény átlagok minden elérhető jellemző értéket használni kell. DivatÉs középső csak az eloszlás szerkezete határozza meg, ezért strukturális, helyzeti átlagoknak nevezzük. A mediánt és a módust gyakran átlagjellemzőként használják azokban a populációkban, ahol a teljesítményátlag kiszámítása lehetetlen vagy nem praktikus.

A leggyakoribb átlagtípus a számtani átlag. Alatt számtani átlag Egy olyan jellemző értékeként értendő, amellyel a sokaság minden egysége rendelkezne, ha a jellemző összes értékének összege egyenletesen oszlik el a sokaság összes egysége között. Ennek az értéknek a kiszámítása a változó jellemző összes értékének összeadásával és a kapott összeg elosztásával a sokaságban lévő egységek teljes számával történik. Például öt munkás teljesített egy alkatrészgyártási megrendelést, míg az első 5 alkatrészt, a második 7, a harmadik 4, a negyedik 10, az ötödik 12 alkatrészt készített. opció csak egyszer fordult elő, hogy meghatározzuk

Egy dolgozó átlagos teljesítményének meghatározásához az egyszerű aritmetikai átlagképletet kell alkalmazni:

azaz példánkban egy dolgozó átlagos teljesítménye egyenlő

Az egyszerű számtani átlag mellett tanulnak súlyozott számtani átlag. Például számítsuk ki a tanulók átlagéletkorát egy 20 fős csoportban, akiknek életkora 18 és 22 év között van, ahol xi– az átlagolt jellemző változatai, fi– gyakoriság, amely megmutatja, hogy hányszor fordul elő i-thérték az aggregátumban (5.1. táblázat).

5.1. táblázat

A tanulók átlagéletkora

A súlyozott számtani átlag képletet alkalmazva a következőt kapjuk:

Van egy bizonyos szabály a súlyozott számtani átlag kiválasztására: ha két mutatóra van egy adatsor, amelyek közül az egyikhez ki kell számítani

átlagos érték, és ugyanakkor a logikai képlet nevezőjének számértékei ismertek, a számláló értékei pedig ismeretlenek, de ezeknek a mutatóknak a szorzataként megtalálhatók, akkor az átlagértéket meg kell adni a számtani súlyozott átlag képlettel kell kiszámítani.

Egyes esetekben a kiinduló statisztikai adatok jellege olyan, hogy a számtani átlag számítása értelmét veszti, és az egyetlen általánosító mutató csak más típusú átlagérték lehet - harmonikus átlag. Jelenleg az elektronikus számítástechnika elterjedése miatt a számtani átlag számítási tulajdonságai elvesztették relevanciájukat az általános statisztikai mutatók számításánál. A harmonikus középérték, amely lehet egyszerű és súlyozott is, nagy gyakorlati jelentőségre tett szert. Ha egy logikai képlet számlálójának számértékei ismertek, és a nevező értékei ismeretlenek, de megtalálhatók az egyik mutató egy másikkal való részleges osztásaként, akkor az átlagértéket a harmonikus segítségével számítjuk ki. súlyozott átlag képlet.

Például tudassuk, hogy az első 210 km-t 70 km/h-val, a maradék 150 km-t 75 km/h-val tette meg az autó. A számtani átlagképlet segítségével lehetetlen meghatározni egy autó átlagsebességét a teljes 360 km-es út során. Mivel az opciók az egyes szakaszok sebességei xj= 70 km/h és X2= 75 km/h, és a súlyokat (fi) az út megfelelő szakaszainak tekintjük, akkor az opciók és a súlyok szorzatának sem fizikai, sem gazdasági jelentése nem lesz. Ebben az esetben a hányadosok az útszakaszok megfelelő sebességekre osztásából nyernek jelentést (xi opciók), azaz az egyes útszakaszok áthaladására fordított idő (fi) / xi). Ha az út egyes szakaszait fi-vel jelöljük, akkor a teljes útvonalat?fi-vel, a teljes útvonalon eltöltött időt pedig?fi-vel fejezzük ki. fi / xi , Ekkor az átlagsebesség a teljes út hányadosaként osztva a teljes eltöltött idővel:

Példánkban a következőket kapjuk:

Ha a harmonikus átlag használatakor az összes (f) opció súlya egyenlő, akkor a súlyozott helyett használhatja egyszerű (súlyozatlan) harmonikus átlag:

ahol xi egyéni opciók; n– az átlagolandó jellemző változatainak száma. A sebességpéldában egyszerű harmonikus átlagot lehetett alkalmazni, ha a különböző sebességgel megtett útszakaszok egyenlőek.

Bármely átlagértéket úgy kell kiszámítani, hogy amikor az az átlagolt jellemző minden változatát felváltja, az átlagolt mutatóhoz társított végső, általános mutató értéke ne változzon. Így, ha az útvonal egyes szakaszain a tényleges sebességet lecseréljük azok átlagos értékére (átlagsebesség), a teljes távolság nem változhat.

Az átlagérték formáját (képletét) ennek a végső mutatónak az átlagolthoz való viszonyának jellege (mechanizmusa) határozza meg, ezért a végső mutató, amelynek értéke nem változhat az opciók átlagértékére cserélésekor, a hívott meghatározó mutató. Az átlag képletének levezetéséhez létre kell hozni és meg kell oldani egy egyenletet az átlagolt mutató és a meghatározó közötti kapcsolat felhasználásával. Ezt az egyenletet úgy állítjuk össze, hogy az átlagolt jellemző (mutató) változatait az átlagértékükre cseréljük.

A statisztikában a számtani átlagon és a harmonikus átlagon kívül az átlag más típusait (formáit) is alkalmazzák. Ezek mind speciális esetek teljesítmény átlag. Ha minden típusú teljesítmény átlagot számolunk ugyanarra az adatra, akkor az értékeket

egyformák lesznek, itt a szabály érvényes főrendűátlagos. Az átlag kitevőjének növekedésével maga az átlagérték nő. A gyakorlati kutatásokban leggyakrabban használt képleteket a különféle teljesítményátlagok számítására a táblázat tartalmazza. 5.2.

5.2. táblázat

A hatalmi eszközök típusai

A geometriai átlagot akkor használjuk, ha van n növekedési együtthatók, míg a jellemző egyedi értékei általában relatív dinamikai értékek, láncértékek formájában, a dinamikai sorozat minden szintjének előző szintjéhez viszonyítva. Az átlag tehát az átlagos növekedési ütemet jellemzi. Átlagos geometriai egyszerű képlettel számítjuk ki

Képlet súlyozott geometriai átlag a következő formája van:

A fenti képletek azonosak, de az egyiket az aktuális együtthatókra vagy növekedési rátákra, a másodikat pedig a sorozatszintek abszolút értékeire alkalmazzuk.

Közepes négyzet másodfokú függvények értékeivel végzett számításokhoz használják, egy jellemző egyedi értékeinek ingadozásának mértékét mérik az eloszlási sorozat számtani átlaga körül, és a képlettel számítják ki

Súlyozott átlagos négyzet egy másik képlettel számítjuk ki:

Átlagos köbméter köbös függvényértékekkel történő számításokhoz használják, és a képlet segítségével számítják ki

átlagos köbös súlyozott:

Az összes fent tárgyalt átlagérték általános képletként is bemutatható:

hol az átlagérték; – egyéni jelentés; n– a vizsgált sokaság egységeinek száma; k– az átlag típusát meghatározó kitevő.

Ugyanazon forrásadatok használata esetén annál több k az általános teljesítményátlag képletben minél nagyobb az átlagérték. Ebből következik, hogy a teljesítményátlagok értékei között természetes kapcsolat van:

A fent leírt átlagértékek általános képet adnak a vizsgált populációról, és ebből a szempontból elméleti, alkalmazott és oktatási jelentőségük vitathatatlan. Előfordul azonban, hogy az átlagérték nem esik egybe a ténylegesen létező opciók egyikével sem, ezért a statisztikai elemzésben a figyelembe vett átlagok mellett célszerű olyan konkrét opciók értékeit használni, amelyek nagyon specifikus pozíciót foglalnak el a rendszerben. attribútumértékek rendezett (rangsorolt) sorozata. Ezen mennyiségek közül a leggyakrabban használt szerkezeti, vagy leíró, átlagos– mód (Mo) és medián (Me).

Divat– egy adott populációban leggyakrabban előforduló jellemző értéke. Egy variációs sorozathoz képest a módus a rangsorolt sorozat leggyakrabban előforduló értéke, azaz a legmagasabb gyakoriságú opció. A divat felhasználható a gyakrabban látogatott üzletek meghatározásában, a termék leggyakoribb árának meghatározásában. A népesség jelentős részére jellemző jellemző méretét mutatja, és a képlet határozza meg

ahol x0 az intervallum alsó határa; h– intervallum mérete; fm– intervallum gyakorisága; fm_ 1 – az előző intervallum gyakorisága; fm+ 1 – a következő intervallum gyakorisága.

Középső a rangsorolt sor közepén található opciót hívjuk meg. A medián a sorozatot két egyenlő részre osztja úgy, hogy mindkét oldalán ugyanannyi népességi egység legyen. Ebben az esetben a sokaságban lévő egységek egyik felének a változó jellemző értéke kisebb, mint a medián, míg a másik fele ennél nagyobb. A mediánt olyan elem tanulmányozásakor használjuk, amelynek értéke nagyobb vagy egyenlő, vagy ugyanakkor kisebb vagy egyenlő, mint egy eloszlássorozat elemeinek fele. A medián általános képet ad arról, hogy az attribútumértékek hol koncentrálódnak, más szóval, hol van a középpontjuk.

A medián leíró jellege abban nyilvánul meg, hogy egy változó jellemző értékeinek mennyiségi korlátját jellemzi, amellyel a populáció egységeinek fele rendelkezik. A diszkrét variációs sorozat mediánjának megtalálásának problémája könnyen megoldható. Ha a sorozat minden egysége sorszámot kap, akkor a medián opció sorszáma (n + 1) / 2 páratlan számú n-es számmal , akkor a medián két sorozatszámmal rendelkező opció átlagos értéke lesz n/ 2 és n/ 2 + 1.

Az intervallumvariációs sorozat mediánjának meghatározásakor először határozza meg azt az intervallumot, amelyben az található (medián intervallum). Ezt az intervallumot az jellemzi, hogy a felhalmozott frekvenciák összege egyenlő vagy meghaladja a sorozat összes frekvenciájának összegének a felét. Az intervallumvariáció-sorozat mediánját a képlet segítségével számítjuk ki

Ahol X0– az intervallum alsó határa; h– intervallum mérete; fm– intervallum gyakorisága; f– a sorozat tagjainak száma;

M -1 – az adott sorozatot megelőző sorozat halmozott tagjainak összege.

A medián mellett a vizsgált populáció szerkezetének teljesebb jellemzése érdekében az opciók egyéb értékeit is használják, amelyek nagyon specifikus helyet foglalnak el a rangsorolt sorozatban. Ezek közé tartozik kvartilisÉs decilis. A kvartilisek a sorozatot a gyakoriságok összege alapján 4 egyenlő részre osztják, a decilisek pedig 10 egyenlő részre. Három kvartilis és kilenc decilis van.

A medián és a módusz a számtani átlagtól eltérően nem szünteti meg a változó jellemző értékeinek egyéni különbségeit, ezért a statisztikai sokaság további és nagyon fontos jellemzői. A gyakorlatban gyakran használják az átlag helyett vagy azzal együtt. A medián és a módusz kiszámítása különösen azokban az esetekben célszerű, amikor a vizsgált sokaság bizonyos számú egységet tartalmaz a változó jellemző nagyon nagy vagy nagyon kicsi értékével. Az opciók ezen, a sokaságra nem túl jellemző értékei, bár befolyásolják a számtani átlag értékét, nem befolyásolják a medián és a módusz értékeit, ami az utóbbit nagyon értékes mutatóvá teszi a gazdasági és statisztikai szempontból. elemzés.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete