Meghatározás. Legyen az \(y = f(x)\) függvény definiálva egy bizonyos intervallumban, amely a benne lévő \(x_0\) pontot tartalmazza. Adjunk az argumentumnak egy \(\Delta x \) növekményt úgy, hogy ne hagyja el ezt az intervallumot. Keressük meg a \(\Delta y \) függvény megfelelő növekményét (ha az \(x_0 \) pontból a \(x_0 + \Delta x \) pontba megyünk) és állítsuk össze a \(\frac(\Delta) relációt y)(\Delta x) \). Ha ennek az aránynak van korlátja a \(\Delta x \rightarrow 0\\), akkor a megadott határértéket hívják függvény deriváltja\(y=f(x) \) az \(x_0 \) pontban, és jelölje \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Az y szimbólumot gyakran használják a derivált jelölésére. Vegye figyelembe, hogy az y" = f(x) egy új függvény, de természetesen kapcsolódik az y = f(x) függvényhez, amely minden olyan x pontban van meghatározva, ahol a fenti határérték létezik. Ezt a függvényt így hívják: az y = f(x) függvény deriváltja.

A származék geometriai jelentése a következő. Ha lehetséges az y = f(x) függvény grafikonjának érintője az x=a abszcissza pontban, amely nem párhuzamos az y tengellyel, akkor f(a) az érintő meredekségét fejezi ki. :
\(k = f"(a)\)

Mivel \(k = tg(a) \), akkor a \(f"(a) = tan(a) \) egyenlőség igaz.

Most értelmezzük a derivált definícióját a közelítő egyenlőségek szemszögéből. Legyen az \(y = f(x)\) függvénynek deriváltja egy adott \(x\) pontban:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Ez azt jelenti, hogy az x pont közelében a közelítő egyenlőség \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), azaz \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Az így kapott közelítő egyenlőség értelmes jelentése a következő: a függvény növekménye „majdnem arányos” az argumentum növekedésével, az arányossági együttható pedig a derivált értéke adott pont X. Például az \(y = x^2\) függvényre a \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) közelítő egyenlőség érvényes. Ha gondosan elemezzük egy derivált definícióját, azt találjuk, hogy tartalmaz egy algoritmust annak megtalálására.

Fogalmazzuk meg.

Hogyan találjuk meg az y = f(x) függvény deriváltját?

1. Javítsa ki az \(x\) értékét, keresse meg az \(f(x)\)
2. Adjon az \(x\) argumentumnak egy növekményt \(\Delta x\), lépjen a következőre: új pont\(x+ \Delta x \), keresse meg: \(f(x+ \Delta x) \)
3. Keresse meg a függvény növekményét: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Hozza létre a \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) relációt
5. Számítsa ki a $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ez a határérték a függvény deriváltja az x pontban.

Ha egy y = f(x) függvénynek van deriváltja egy x pontban, akkor azt egy x pontban differenciálhatónak nevezzük. Az y = f(x) függvény deriváltjának megtalálására szolgáló eljárást nevezzük különbségtétel függvények y = f(x).

Vizsgáljuk meg a következő kérdést: hogyan függ össze egy függvény folytonossága és differenciálhatósága egy ponton?

Legyen az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható. Ekkor az M(x; f(x) pontban lévő függvény grafikonjára egy érintőt lehet húzni, és visszaidézve, az érintő szögegyütthatója egyenlő f "(x). Egy ilyen gráf nem „törhet" az M pontban, azaz a függvénynek folytonosnak kell lennie az x pontban.

Ezek „gyakorlati” érvek voltak. Adjunk egy szigorúbb érvelést. Ha az y = f(x) függvény az x pontban differenciálható, akkor teljesül a \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) egyenlőség. Ha ebben az egyenlőségben \(\Delta x) \) nullára hajlik, akkor \(\Delta y \) nullára, és ez a feltétele a függvény folytonosságának egy pontban.

Így, ha egy függvény egy x pontban differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.

A fordított állítás nem igaz. Például: függvény y = |x| mindenhol folytonos, különösen az x = 0 pontban, de a függvény grafikonjának érintője a „csomópontban” (0; 0) nem létezik. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton nem lehet érintőt húzni, akkor a derivált abban a pontban nem létezik.

Egy másik példa. Az \(y=\sqrt(x)\) függvény folytonos a teljes számegyenesen, beleértve az x = 0 pontot is. És a függvény grafikonjának érintője bármely pontban létezik, beleértve az x = 0 pontot is. De ezen a ponton az érintő egybeesik az y tengellyel, azaz merőleges az abszcissza tengelyre, egyenlete x = 0. Egy ilyen egyenesnek nincs szögegyütthatója, ami azt jelenti, hogy \(f) "(0)\) nem létezik.

Tehát megismerkedtünk egy függvény új tulajdonságával - a differenciálhatósággal. Hogyan lehet egy függvény grafikonjából arra következtetni, hogy differenciálható?

A válasz valójában fent van. Ha egy függvény grafikonjára egy ponton olyan érintőt lehet rajzolni, amely nem merőleges az abszcissza tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény differenciálható. Ha egy függvény grafikonjának érintője egy ponton nem létezik, vagy merőleges az abszcissza tengelyre, akkor ezen a ponton a függvény nem differenciálható.

A megkülönböztetés szabályai

A derivált megtalálásának műveletét ún különbségtétel. Ennek a műveletnek a végrehajtása során gyakran kell dolgozni hányadosokkal, összegekkel, függvények szorzataival, valamint „függvények függvényeivel”, azaz összetett függvényekkel. A derivált definíciója alapján levezethetünk differenciálási szabályokat, amelyek megkönnyítik ezt a munkát. Ha C egy állandó szám és f=f(x), g=g(x) néhány differenciálható függvény, akkor a következők igazak differenciálási szabályok:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Egy komplex függvény deriváltja:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Egyes függvények deriváltjainak táblázata

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

1- Származék, jelentése in különböző feladatokatés tulajdonságait

1.1. A származék fogalma

Legyen a függvény at– f(x) intervallumon határozzák meg D. Vegyünk egy X0 értéket Dés vegyük figyelembe a ∆ növekményt X: x0 +∆x D. Ha egy függvény változásának (növekményének) és az argumentum megfelelő növekményéhez viszonyított arányának van határa, amikor az utóbbi hajlamos To nulla, akkor hívják függvény deriváltja at= f(x) pontban x = x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

A származékok megtalálásának folyamatát ún különbségtétel .

Ha f"(x) véges minden x D, majd a függvény at= f(x) hívott megkülönböztethető V D. Egy függvény differenciálhatóságának pontos megfogalmazását és a függvény differenciálhatóságának kritériumát az 1.5.

A derivált definícióját felhasználva megkapjuk az alapvető elemi függvények differenciálási szabályait és deriváltjait, amelyeket azután táblázatokban foglalunk össze.

10. Egy állandó deriváltja nulla:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

Igazán,

Különösen,

30 . A funkcióért y = x2 származéka y' = 2x.

Ennek a képletnek a származtatásához megtaláljuk a függvény növekményét:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">A képlet Newton-binomiális, kimutatható, hogy hatványfüggvényre

1.2. Az egyoldalú derivált fogalma

Az alapokban matematikai elemzés funkcióhoz at=f(x) bevezették a bal és jobb oldali határok fogalmát egy ponton A:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

jobb oldali származék -

Emlékezzünk arra, hogy egy függvény véges határértéke létezik at= f(x) pontban x = a Szükséges és elegendő, hogy a függvény bal és jobb oldali határértéke ezen a ponton véges és egyenlő legyen:

(x - 0) = f’(x + 0).

1.3. A magasabb rendű származékok fogalma

Hagyjuk a funkcióhoz at= f(x) , meghatározva a készleten D, van egy származéka y"= f"(x) mindenkor x D,T. e. a derivált egy függvény, és számára felvethető a derivált létezésének kérdése. Az első derivált származéka, ha létezik - egy adott függvény második deriváltja vagy másodrendű származék

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

n-edrendű származéka

0, y"" = 0,...y(n) = 0. A függvényhez y = x2 származéka y'= 2x. Majd y"= 2, y""= 0,..., y(n) = 0.

1.4. A derivált geometriai és mechanikai értelmezése

1.4.1. A származék mechanikai jelentése. Az egyenetlen mozgás sebességének és gyorsulásának problémája

Legyen a test által megtett út időbeli függése t, függvény írja le s = s(t), a mozgási sebesség és a gyorsulás pedig függvények v = v(t), a = a(t). Ha egy test egyenletesen mozog, akkor a fizikából ismert s = vּt, azaz v = s/ t. Ha egy test egyenletes gyorsulással mozog és vo= 0, majd gyorsulás a = v/ t.

Ha a mozgás nem egyenletes és egyenletesen gyorsul, akkor átlagos érték sebesség és gyorsulás bizonyos időn belül Δ t, nyilvánvalóan egyenlőek.

Hadd v(t)- mozgási sebesség, a(t)- gyorsulás időben t.

Aztán így,

Feltéve, hogy az utóbbi korlátok fennállnak.

A származék mechanikai jelentése: út deriválts = s(t) nemidőtVan pillanatnyi sebesség mozgás anyagi pont, azazv(t)= s"(t). Az út második deriváltja az idő függvényében- gyorsulás, azaz.s""(t)= v"(t)=a(t).

A függvény deriváltja fogalmának bevezetésével F. Engels szerint a mozgás bekerült a matematikába, hiszen a derivált bármely folyamat változási sebességét jelenti, például: egy test felmelegedésének vagy hűtésének folyamatát, sebességét. vegyi anyag áramlásának vagy nukleáris reakció stb.

Példa 1.1. A vezetőn átfolyó elektromosság mennyiségét (coulombban) a törvény határozza meg K = 2 t2 + 3 t + 4 . Keresse meg az áramot a harmadik másodperc végén.

Megoldás. Áramerősség én = K" = 4 t+3. at t = 3 én=15 k/s=15 A.

1.4.2.3 érintő probléma. A származék geometriai jelentése

Legyen a függvény at= f(x) meghatározott és egy ponton folytonos X= x0 és ennek a pontnak valamelyik szomszédságában. Nézzük meg egy függvény deriváltjának geometriai jelentését.

A probléma megoldása érdekében megtesszük alábbiak szerint. Vegyünk egy pontot a függvény grafikonján (1.1. ábra) M(x0 + Δx, y0 + Δy)és rajzoljon egy szekánt M0M. Tegyük rendbe a lényeget M az M0 ponthoz, azaz Δ-hez x → 0. Pont M() mozdulatlan, ezért a határban lévő szekáns az érintő pozícióját veszi fel TO.

Az y függvény grafikonjának érintője= f(x) epontM0 az M0M szekáns határhelyzetét hívjuk, feltéve, hogy az M pont a Г görbe mentén az M0 ponthoz tartf- függvénygrafikony = f(x).

Ezután a szekáns szögegyütthatója M0M

határban egyenlő lesz lejtő tangens:

{ x0 ) = tgα, ahol α az érintő és az érintő közötti szög pozitív irányÖkör tengely(lásd 1.1. ábra).

Amint az ismeretes analitikus geometria ponton átmenő egyenes egyenlete ( x0, y0) és lejtős k akarat

y – y0 =k(x-x0).

Aztán figyelembe véve geometriai jelentése származék, érintő egyenlet (TO) a függvény grafikonjára at= f(x) pontban (x0,y0)úgy néz ki

(K)y =f(x0 ) + f"(x0 )(x- x0 ).

Normál egyenlet (N) - az érintkezési pont érintőjére merőlegesen:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(Ó)- O-kis Δx).

Tétel. A funkció érdekében at= f(x) az x pontban differenciálható volt D), szükséges és elegendő, hogy ezen a ponton véges deriváltja legyen y' =f"(x).

Bizonyíték . Szükség. Legyen a függvény y= f(x) x pontban differenciálható D, azaz az (1.1) összefüggés teljesül. Ekkor a derivált definíciója szerint, figyelembe véve (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Ezután a függvény, határértéke és egy végtelenül kicsiny mennyiség kapcsolatáról szóló tétel alapján

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

két tag összegeként ábrázolható, amelyek közül az első arányos az argumentum növekedésével Δx arányossági tényezővel f"(X), a második pedig végtelenül kicsivel több magasrendű, hogyan Δx, azaz (1.1) teljesül, és ezért a függvény a pontban differenciálható x D.

Vegye figyelembe, hogy az arány

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, de a függvény folytonos for X= 0.

1.6. A megkülönböztetés szabályai

1. A függvények algebrai összegének differenciálása. Algebrai összeg véges szám A differenciálható függvények egy differenciálható függvény, és a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő algebrai összeg származékai. Például: két funkcióhoz

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Fontolja meg a funkció megváltoztatását és ±v amikor a Δ argumentum megváltozik X:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Mivel minden feltétel szerinti tag határértéke létezik és véges, az algebrai összeg határa megegyezik a határértékek algebrai összegével. azaz funkció (és ±v) tetszőleges ponton differenciálható XÉs (u± v)" = u’ ± v’ . Az állítás bebizonyosodott.

2° A függvények szorzatának differenciálása . Két differenciálható függvény szorzata egy differenciálható függvény, és a szorzat deriváltja egyenlő az első és a második tényező deriváltjának szorzatával változás nélkül, plusz az első tényező szorzata a második deriváltjával:

(Ésv) = És"v + uv".

A fenti szabály könnyen általánosítható például tetszőleges számú differenciálható függvény szorzatára.

Bizonyíték. Feltétel szerint egy tetszőleges ponton x D

A Δ megváltoztatásakor X funkcióváltás

alakban ábrázoljuk

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Mivel a differenciálhatóság miatt, ill

lim Δ v = 0 a függvény folytonossága miatt, majd a határértékek tulajdonságai szerint

Δx→ KÖRÜLBELÜL

(uv)" = u"v + uv".

A függvények szorzatának differenciálására vonatkozó szabályból következően arra kérjük az olvasókat, hogy szerezzék meg egy hatványfüggvény deriváltját. ip,n N :

(Ésn)’ = apáca-1 És'

3° Következmény 2°-tól. Az állandó tényező előjelből kivehető

származéka:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Bizonyíték. A Δ megváltoztatásakor X fontolja meg a differenciálható függvények változásait u = u(x),v= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δx) - az ő)],Δ v = [ v(x+ Δx) - v(x)].

A megváltozott függvényértékek a következők lesznek: és + Aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Funkciók És= w(x),v = v(x) ≠ 0 feltétel szerint differenciálható, ezért folytonos, pl.

A határértékek tulajdonságai szerint

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Az összetett függvény megkülönböztetése . Legyen a függvény at= f(És) tekintetében differenciálható X, funkció És= az ő) tekintetében megkülönböztethető X. Aztán a komplex függvény at= f(u(x)) tekintetében megkülönböztethető X, És

y"=f"(u)∙ u"

Bizonyíték . A funkciók differenciálhatósága miatt f(u), u(x) és a határértékek tulajdonságai

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Inverz függvény differenciálása . Legyen a függvény y =f(x) tekintetében megkülönböztethető XÉs y"x ≠ 0. Ezután az inverz függvény x =g(at) tekintetében differenciálható atÉs x"y =1/y"x

Bizonyíték. Igazán,

A könnyebb használat érdekében az 1. táblázatban bemutatjuk a megkülönböztetés alapvető szabályait.

1. táblázat

A megkülönböztetés szabályai

Képlet száma
	c =const, c" = 0.
	(u± v)" =u"± v", És= az övék),v = v(x).
	(u∙v)= c∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",Vel = const.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\x = g(y)=>x"at =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

A függvény deriváltjának definícióját és a differenciálási szabályokat felhasználva megtaláljuk a fő elemi függvények deriváltjait, melyeket az alábbiakban a 2. táblázatban mutatunk be.

2. táblázat

Alapvető elemi függvények származékai

	Egyszerű funkciók	Összetett funkciók

Belépő szint

Függvény származéka. Átfogó útmutató (2019)

Képzeljünk el egy dombos területen áthaladó egyenes utat. Vagyis fel-le jár, de nem fordul jobbra vagy balra. Ha a tengely vízszintesen az út mentén és függőlegesen van irányítva, akkor az útvonal nagyon hasonló lesz valamilyen folytonos függvény grafikonjához:

A tengely egy bizonyos nulla magassági szint az életben a tengerszintet használjuk.

Amint egy ilyen úton haladunk előre, felfelé vagy lefelé is haladunk. Azt is mondhatjuk: ha az argumentum megváltozik (mozgás az abszcissza tengely mentén), akkor a függvény értéke megváltozik (mozgás az ordináta tengelye mentén). Most pedig gondoljuk át, hogyan határozzuk meg utunk „meredekségét”? Milyen érték lehet ez? Nagyon egyszerű: mennyit fog változni a magasság, ha előre halad egy bizonyos távolságot. Végül is tovább különböző területeken utakon haladva előre (az x tengely mentén) egy kilométert, emelkedünk vagy süllyedünk különböző mennyiségben méter a tengerszinthez képest (az ordinata tengelye mentén).

Jelöljük az előrehaladást (értsd: „delta x”).

A görög betűt (delta) általában a matematikában használják "változást" jelentő előtagként. Vagyis - ez mennyiségi változás, - változás; akkor mi az? Így van, nagyságrendi változás.

Fontos: egy kifejezés egyetlen egész, egyetlen változó. Soha ne válassza el a „deltát” az „x”-től vagy bármely más betűtől!

Azaz például .

Tehát előre, vízszintesen haladtunk előre. Ha összehasonlítjuk az út vonalát a függvény grafikonjával, akkor hogyan jelöljük az emelkedést? Természetesen,. Vagyis ahogy haladunk előre, úgy emelkedünk feljebb. Az érték könnyen kiszámítható: ha az elején egy magasságban voltunk, majd mozgás után egy magasságban találtuk magunkat, akkor. Ha végpont

alacsonyabbnak bizonyult, mint a kezdeti, negatív lesz - ez azt jelenti, hogy nem emelkedünk, hanem csökkenünk.

Tételezzük fel, hogy az út egyes szakaszán egy kilométerrel előrehaladva az út egy kilométert emelkedik. Ekkor a lejtés ezen a helyen egyenlő. És ha az út m-rel előrehaladva km-rel csökken? Ekkor a lejtés egyenlő.

Most nézzük meg egy domb tetejét. Ha fél kilométerrel a csúcs előtt veszed a szakasz elejét, és fél kilométerrel utána a végét, akkor láthatod, hogy a magasság szinte megegyezik.

Vagyis a mi logikánk szerint kiderül, hogy itt a meredekség majdnem egyenlő a nullával, ami nyilvánvalóan nem igaz. Egy kilométeren túl sok minden változhat. A meredekség megfelelőbb és pontosabb értékeléséhez kisebb területeket is figyelembe kell venni. Például, ha megméri a magasságváltozást, amikor egy métert mozog, az eredmény sokkal pontosabb lesz. De lehet, hogy még ez a pontosság sem lesz elég számunkra – elvégre ha van egy oszlop az út közepén, egyszerűen elhaladhatunk mellette. Milyen távolságot válasszunk akkor? Centiméter? Milliméter? A kevesebb több!

IN igazi életet A távolságok milliméteres pontossággal történő mérése több mint elég. De a matematikusok mindig a tökéletességre törekednek. Ezért találták ki a koncepciót elenyésző, azaz az abszolút érték kisebb, mint bármely szám, amelyet meg tudunk nevezni. Például azt mondod: egy trilliomod! Mennyivel kevesebb? És ezt a számot elosztod - és még kevesebb lesz. És így tovább. Ha azt akarjuk írni, hogy egy mennyiség végtelenül kicsi, akkor a következőképpen írjuk: (azt olvassuk, hogy „x nullára hajlamos”). Nagyon fontos megérteni hogy ez a szám nem nulla! De nagyon közel hozzá. Ez azt jelenti, hogy osztani lehet vele.

A végtelenül kicsivel ellentétes fogalom végtelenül nagy (). Valószínűleg már találkozott vele, amikor az egyenlőtlenségeken dolgozott: ez a szám modulo nagyobb, mint bármelyik szám, amit csak gondolhat. Ha a legnagyobb lehetséges számok, csak szorozd meg kettővel, és még többet kapsz. És még mindig a végtelen ráadásul mi fog történni. Valójában a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi egymás fordítottja, vagyis at, és fordítva: at.

Most pedig térjünk vissza az utunkra. Az ideálisan számított meredekség az út végtelen kis szegmensére számított meredekség, azaz:

Megjegyzem, hogy végtelenül kicsi elmozdulás esetén a magasságváltozás is végtelenül kicsi lesz. De hadd emlékeztesselek arra, hogy a végtelenül kicsi nem azt jelenti, hogy egyenlő a nullával. Ha végtelenül kicsi számokat osztunk el egymással, akkor igen rendes szám, Például . Vagyis egy kis érték pontosan többszöröse lehet egy másiknak.

Minek ez az egész? Az út, a meredekség... Nem autóversenyre megyünk, hanem matematikát tanítunk. A matematikában pedig minden pontosan ugyanaz, csak másként hívják.

A származék fogalma

A függvény deriváltja a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum infinitezimális növekedéséhez.

Fokozatosan a matematikában változásnak nevezik. Meghívjuk, hogy az argumentum () mennyiben változik a tengely mentén mozogva argumentumnövekményés azt jelöljük, hogy a függvény (magasság) mennyit változott a tengely mentén egy távolsággal előre haladva funkciónövekményés ki van jelölve.

Tehát egy függvény deriváltja a mikorhoz viszonyított arány. A deriváltot ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a függvényt, csak a jobb felső sarokban lévő prímszámmal: vagy egyszerűen. Tehát írjuk fel a derivált képletet a következő jelölésekkel:

Az út analógiájához hasonlóan itt is, amikor a függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív.

Egyenlő lehet-e a derivált nullával? Biztosan. Például, ha sík vízszintes úton haladunk, a meredekség nulla. És igaz, a magasság egyáltalán nem változik. Ugyanez a származékkal: származék állandó funkció(konstansok) egyenlő nullával:

mivel egy ilyen függvény növekménye nullával egyenlő bármely.

Emlékezzünk a dombtető példájára. Kiderült, hogy a szegmens végeit végig lehet rendezni különböző oldalak felülről úgy, hogy a végek magassága azonos legyen, vagyis a szakasz párhuzamos legyen a tengellyel:

De a nagy szegmensek a pontatlan mérés jelei. A szakaszunkat önmagával párhuzamosan emeljük fel, majd a hossza csökken.

Végül, amikor végtelenül közel vagyunk a csúcshoz, a szakasz hossza végtelenül kicsi lesz. De ugyanakkor párhuzamos maradt a tengellyel, vagyis a magasságkülönbség a végein nullával egyenlő (nem hajlamos, de egyenlő). Tehát a származék

Ez így is felfogható: amikor a legtetején állunk, egy kis balra vagy jobbra eltolódás elhanyagolhatóan megváltoztatja a magasságunkat.

Van egy tisztán algebrai magyarázat is: a csúcstól balra nő a függvény, jobbra pedig csökken. Amint azt korábban megtudtuk, ha egy függvény növekszik, a derivált pozitív, ha csökken, akkor negatív. De simán, ugrások nélkül változik (mivel az út sehol sem változtat élesen a lejtését). Ezért a negatív és a pozitív értékeket biztosan kell lennie. Ott lesz, ahol a függvény nem növekszik és nem is csökken - a csúcspontban.

Ugyanez igaz a vályúra (az a terület, ahol a bal oldali funkció csökken, a jobb oldalon pedig nő):

Egy kicsit bővebben az emelésekről.

Tehát az argumentumot nagyságrendre változtatjuk. Milyen értékről változunk? Mi lett ebből (az érvelésből)? Bármely pontot választhatunk, és most ebből fogunk táncolni.

Tekintsünk egy pontot koordinátával. A benne lévő függvény értéke egyenlő. Ezután ugyanazt a lépést tesszük: növeljük a koordinátát. Most mi az érv? Nagyon egyszerű: . Mi most a függvény értéke? Ahová az argumentum megy, ott a függvény is: . Mi a helyzet a függvény növekményével? Semmi új: még mindig ennyivel változott a függvény:

Gyakorold a lépések keresését:

1. Keresse meg a függvény növekményét abban a pontban, amikor az argumentum növekménye egyenlő.
2. Ugyanez vonatkozik a függvényre egy ponton.

Megoldások:

IN különböző pontokat azonos argumentumnövekmény esetén a függvény növekménye eltérő lesz. Ez azt jelenti, hogy minden pontban más a derivált (ezt már a legelején megbeszéltük - az út meredeksége különböző pontokon). Ezért, amikor deriváltot írunk, meg kell jelölnünk, hogy melyik ponton:

Teljesítmény funkció.

A hatványfüggvény egy olyan függvény, ahol az argumentum bizonyos fokig (logikai, igaz?).

Sőt – bármilyen mértékben: .

A legegyszerűbb eset- ekkor a kitevő:

Keressük meg a származékát egy pontban. Emlékezzünk vissza a származékos definícióra:

Tehát az érvelés ról -ra változik. Mennyi a függvény növekménye?

A növekedés ez. De egy függvény bármely ponton egyenlő az argumentumával. Ezért:

A derivált egyenlő:

A származéka egyenlő:

b) Most fontolja meg másodfokú függvény (): .

Most emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy a növekmény értéke elhanyagolható, mivel végtelenül kicsi, ezért a másik taghoz képest jelentéktelen:

Tehát kitaláltunk egy másik szabályt:

c) Folytatjuk a logikai sorozatot: .

Ez a kifejezés többféleképpen egyszerűsíthető: nyissa meg az első zárójelet az összeg kockájának rövidített szorzatának képletével, vagy faktorizálja a teljes kifejezést a kockák különbségi képletével. Próbálja meg saját kezűleg megtenni a javasolt módszerek bármelyikével.

Szóval a következőket kaptam:

És még egyszer emlékezzünk erre. Ez azt jelenti, hogy figyelmen kívül hagyhatunk minden olyan kifejezést, amely tartalmazza:

Kapunk: .

d) Hasonló szabályok érhetők el nagy teljesítményekre:

e) Kiderül, hogy ez a szabály általánosítható egy tetszőleges kitevővel, még csak nem is egész számmal:

(2)

A szabály a következő szavakkal fogalmazható meg: „a fokozatot együtthatóként előrehozzuk, majd csökkentjük .

Ezt a szabályt később (majdnem a legvégén) be fogjuk bizonyítani. Most nézzünk néhány példát. Keresse meg a függvények deriváltját:

1. (két módon: képlettel és a derivált definíciójával - a függvény növekményének kiszámításával);

1. . Akár hiszi, akár nem, ez egy hatalomfüggvény. Ha olyan kérdései vannak, mint „Hogy van ez? Hol a diploma?”, ne feledje a „” témát!
   Igen, igen, a gyök is fok, csak töredéke: .
   Ez azt jelenti, hogy a négyzetgyökünk csak egy hatvány kitevővel:
   .
   A származékot a nemrég tanult képlettel keressük:

   Ha ezen a ponton ismét homályossá válik, ismételje meg a „” témát!!! (kb. diplomával negatív mutató)

2. . Most a kitevő:

   És most a definíción keresztül (elfelejtetted már?):
   ;
   .
   Most, mint általában, figyelmen kívül hagyjuk a következő kifejezést:
   .

3. . Korábbi esetek kombinációja: .

Trigonometrikus függvények.

Itt egy tényt fogunk használni a magasabb matematikából:

Kifejezéssel.

A bizonyítást az intézet első évében tanulja meg (és ahhoz, hogy odáig eljusson, jól le kell tennie az egységes államvizsgát). Most csak grafikusan mutatom be:

Látjuk, hogy amikor a függvény nem létezik, a grafikonon a pont ki van vágva. De minél közelebb van az értékhez, annál közelebb van a funkció ehhez a „célhoz”.

Ezenkívül ezt a szabályt egy számológép segítségével is ellenőrizheti. Igen, igen, ne szégyellje magát, vegyen egy számológépet, még nem tartunk az egységes államvizsgán.

Szóval, próbáljuk meg: ;

Ne felejtse el a számológépet radián módba kapcsolni!

stb. Azt látjuk, hogy minél kisebb, annál közelebb áll az arány értéke.

a) Tekintsük a függvényt. Szokás szerint keressük meg a növekményét:

A szinuszok különbségét alakítsuk szorzattá. Ehhez a következő képletet használjuk (emlékezzünk a "" témára): .

Most a származék:

Cseréljük ki: . Ekkor infinitezimálisra ez is végtelenül kicsi: . A kifejezés a következő formában jelenik meg:

És most emlékezünk erre a kifejezéssel. És azt is, mi van akkor, ha egy végtelenül kicsi mennyiség elhanyagolható az összegben (azaz at).

Tehát megkapjuk következő szabály:a szinusz deriváltja egyenlő a koszinusszal:

Ezek alapvető („táblázatos”) származékok. Itt vannak egy listában:

Később még néhányat hozzáadunk hozzájuk, de ezek a legfontosabbak, mivel ezeket használják a leggyakrabban.

Gyakorlat:

1. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban;
2. Keresse meg a függvény deriváltját!

Megoldások:

1. Először is keressük meg a származékot általános nézet, majd helyettesítse be az értékét:
   ;
   .
2. Nálunk is van valami hasonló teljesítmény funkció. Próbáljuk meg elhozni őt
   normális kinézetű:
   .
   Remek, most már használhatja a képletet:
   .
   .
3. . Eeeeeee... Mi ez????

Oké, igazad van, még nem tudjuk, hogyan találjunk ilyen származékokat. Itt többféle funkció kombinációját láthatjuk. A velük való együttműködéshez meg kell tanulnia néhány további szabályt:

Kitevő és természetes logaritmus.

A matematikában van egy függvény, amelynek bármely érték deriváltja egyidejűleg megegyezik magának a függvénynek az értékével. Kitevőnek hívják, és egy exponenciális függvény

Ennek a függvénynek az alapja egy állandó – ez végtelen decimális, azaz irracionális szám (például). Ezt „Euler-számnak” hívják, ezért betűvel jelölik.

Tehát a szabály:

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, nézzük meg azonnal inverz függvény. Melyik függvény az inverze exponenciális függvény? Logaritmus:

Esetünkben az alap a szám:

Az ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mivel egyenlő? Természetesen.

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: Kiállító és természetes logaritmus- a függvények deriváltjaik szempontjából egyedülállóan egyszerűek. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal rendelkeznek, amit később, miután menjünk végig a szabályokon különbségtétel.

A megkülönböztetés szabályai

Mi szabályai? Újra új kifejezés, már megint?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Ez minden. Mi másnak nevezhetjük ezt a folyamatot egy szóval? Nem derivált... A matematikusok a differenciált a függvény azonos növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjelből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Legyen, vagy egyszerűbben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. egy ponton;
2. egy ponton;
3. egy ponton;
4. pontban.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A termék származéka

Itt minden hasonló: vezessünk be egy új függvényt, és keressük meg a növekményét:

Származék:

Példák:

1. Keresse meg az és függvények deriváltjait;
2. Keresse meg a függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan kell megtalálni bármely exponenciális függvény deriváltját, nem csak a kitevőket (elfelejtette már, hogy mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg új alapra hozni a függvényünket:

Erre fogjuk használni egyszerű szabály: . Majd:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Sikerült?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított egy kitevő deriváltjához: úgy ahogy volt, ugyanaz marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem írható le többé egyszerű formában. Ezért ebben a formában hagyjuk a válaszban.

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló a helyzet: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért egy tetszőleges logaritmus más bázisú kereséséhez, például:

Ezt a logaritmust az alapra kell redukálnunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevező egyszerűen egy állandó (állandó szám, változó nélkül). A származékot nagyon egyszerűen kapjuk meg:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg az Egységes Államvizsgában, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arctangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha nehéznek találja a logaritmust, olvassa el a „Logaritmusok” témakört, és minden rendben lesz), de matematikai szempontból a „komplex” szó nem azt jelenti, hogy „nehéz”.

Képzeljen el egy kis futószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Így derül ki összetett objektum: szalaggal becsomagolt és átkötött csokoládé. Egy tábla csokoládé elfogyasztásához a fordított lépéseket kell végrehajtania fordított sorrendben.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd négyzetre emeljük a kapott számot. Tehát kapunk egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd négyzetre teszed, amit kaptam (szalaggal megkötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az érték meghatározásához az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az elsőből eredővel.

Könnyen megtehetjük ugyanezeket a lépéseket fordított sorrendben: először négyzetre tesszük, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát: . Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Fontos funkcióösszetett függvények: ha a műveletek sorrendje megváltozik, a függvény megváltozik.

Más szóval, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Az első példában .

Második példa: (ugyanaz). .

Az a művelet, amelyet utoljára hajtunk végre, el lesz nevezve "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet – ennek megfelelően "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonló a változók megváltoztatásához: például egy függvényben

1. Milyen műveletet hajtunk végre először? Először számoljuk ki a szinust, és csak azután kockázzuk fel. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de külső.
   A eredeti funkciója az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

Változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kibontjuk a csokoládét, és megkeressük a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. kapcsolatban eredeti példaígy néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Vizsgáljuk meg példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld megvágni! Semmi sem jön ki a koszinusz alól, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy ez egy háromszintű komplex függvény: elvégre ez már önmagában is komplex funkció, és a gyökeret is kivonjuk belőle, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba tesszük a csokoládét és szalaggal az aktatáskában). De nincs okunk félni: ezt a funkciót továbbra is a megszokott sorrendben „pakoljuk ki”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje ugyanaz, mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Szinusz. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

SZÁRMAZÉK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Függvény származéka- a függvény növekményének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelenül kicsiny növekedéséhez:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjelből:

Az összeg származéka:

A termék származéka:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a „belső” függvényt, és megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a „külső” függvényt, és megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.

Származékos számítás- az egyik legtöbb fontos műveletek V differenciálszámítás. Az alábbiakban egy táblázat található a származékok kereséséhez egyszerű funkciók. Több összetett szabályok differenciálás, lásd a többi leckét:

• Exponenciális és logaritmikus függvények deriváltjainak táblázata

Használja a megadott képleteket referenciaértékként. Segítenek dönteni differenciálegyenletekés feladatokat. A képen az egyszerű függvények származékait tartalmazó táblázatban található egy „csalólap” a derivált megtalálásának főbb eseteiről, használható formában, mellette minden esetre magyarázat.

Egyszerű függvények származékai

1. Egy szám deriváltja nulla
с´ = 0
Példa:
5´ = 0

Magyarázat:
A derivált azt mutatja meg, hogy egy függvény értéke milyen sebességgel változik, amikor az argumentuma megváltozik. Mivel a szám semmilyen körülmények között nem változik, változásának mértéke mindig nulla.

2. Változó származéka egyenlő eggyel
x' = 1

Magyarázat:
Az (x) argumentum minden egyes növelésével a függvény értéke (a számítás eredménye) ugyanannyival növekszik. Így az y = x függvény értékének változási sebessége pontosan megegyezik az argumentum értékének változási sebességével.

3. Egy változó és egy tényező deriváltja egyenlő ezzel a tényezővel
сx´ = с
Példa:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Magyarázat:
IN ebben az esetben, minden alkalommal, amikor a függvény argumentuma megváltozik ( X) értéke (y) bennövekszik Vel egyszer. Így a függvény értékének változási sebessége az argumentum változási sebességéhez viszonyítva pontosan megegyezik az értékkel Vel.

Honnan következik az
(cx + b)" = c
vagyis a differenciál lineáris függvény y=kx+b egyenlő az egyenes meredekségével (k).

4. Egy változó modulo deriváltja egyenlő ennek a változónak a modulusának hányadosával
|x|"= x / |x| feltéve, hogy x ≠ 0
Magyarázat:
Mivel egy változó deriváltja (lásd a 2. képletet) egyenlő az egységgel, a modul deriváltja csak annyiban tér el, hogy a függvény változási sebességének értéke a kiindulási pont áthaladásakor az ellenkezőjére változik (próbáljon meg rajzolni egy grafikont Az y = |x| függvényből pontosan ezt az értéket adja vissza, és az x / |x| kifejezést adja vissza< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - egy. Vagyis az x változó negatív értékeinél az argumentum minden növekedésével a függvény értéke pontosan ugyanazzal az értékkel csökken, pozitív értékek esetén pedig éppen ellenkezőleg, nő, de pontosan ugyanazzal az értékkel. .

5. Változó származéka hatványra egyenlő ennek a hatványnak a számának és egy változónak az eggyel csökkentett hatvány szorzatával
(x c)"= cx c-1, feltéve, hogy x c és cx c-1 definiált, és c ≠ 0
Példa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Emlékezni a képletre:
Mozgassa le a változó mértékét tényezőként, majd magát a fokot csökkentse eggyel. Például x 2 esetén a kettő megelőzte az x-et, majd a csökkentett teljesítmény (2-1 = 1) egyszerűen 2x-et adott nekünk. Ugyanez történt x 3-mal is - „lefelé mozgatjuk” a hármast, csökkentjük eggyel, és kocka helyett négyzetet kapunk, azaz 3x 2-t. Kicsit "tudománytalan", de nagyon könnyen megjegyezhető.

6.Tört származéka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Példa:
Mivel a tört értékre emelve ábrázolható negatív fokozat
(1/x)" = (x -1)", akkor alkalmazhatja a derivált táblázat 5. szabályának képletét
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Tört származéka tetszőleges fokozatú változóval a nevezőben
(1/x c)" = - c / x c+1
Példa:
(1/x2)" = -2/x3

8. A gyökér származéka(az alábbi változó származéka négyzetgyök)
(√x)" = 1 / (2√x) vagy 1/2 x -1/2
Példa:
(√x)" = (x 1/2)" azt jelenti, hogy alkalmazhatja az 5. szabály képletét
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Tetszőleges fok gyöke alatti változó származéka
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Ha követi a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményének a határa. y a Δ argumentumnövekményhez x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbálja meg ezzel a képlettel kiszámítani, mondjuk, a függvény deriváltját f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor néhány oldalas számítás után egyszerűen elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy a függvények teljes választékából megkülönböztethetjük az úgynevezett elemi függvényeket. Ez relatív egyszerű kifejezések, amelynek származékait régóta számítják és felsorolják a táblázatban. Az ilyen függvényeket nagyon könnyű megjegyezni – származékaikkal együtt.

Elemi függvények származékai

Az elemi függvények az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Sőt, egyáltalán nem nehéz megjegyezni őket - ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Származék
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Hatvány racionális kitevővel	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	−sin x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = log x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(semmi nem változott)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában az állandók kivehetők a derivált előjeléből. Például:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvaló, hogy az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók - és még sok más. Így új funkciók jelennek meg, amelyek már nem különösebben elemiek, de a tekintetben is megkülönböztethetők bizonyos szabályokat. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Legyenek adottak a függvények f(x) És g(x), amelynek származékait ismerjük. Például vehetjük a fentebb tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a „kivonás” fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) két elemi függvény összege, ezért:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2)’ + (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan indokoljuk a funkciót g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

A termék származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan úgy gondolják, hogy ha egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk">egyenlő a származékok szorzatával. De bassza meg! Egy szorzat deriváltját egy teljesen más képlettel számítják ki. Nevezetesen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

Funkció g(x) az első tényező egy kicsit bonyolultabb, de általános séma ez nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első tényezője g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nálunk:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)” · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a derivált faktorizálásra kerül. Formálisan ezt nem kell megtenni, de a legtöbb derivált nem önmagában számít, hanem a függvény vizsgálatára. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával lesz egyenlő, előjelei meghatározásra kerülnek, és így tovább. Ilyen esetben jobb, ha egy kifejezést faktorizált.

Ha két funkció van f(x) És g(x), és g(x) ≠ 0 azon a halmazon, amelyre kíváncsiak vagyunk, új függvényt definiálhatunk h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez a derivált is megtalálható:

Nem gyenge, mi? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? És így! Ez az egyik legtöbb összetett képletek- Palack nélkül nem tudod kitalálni. Ezért jobb, ha tanulmányozzuk konkrét példák.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait:

Minden tört számlálója és nevezője elemi függvényeket tartalmaz, így csak a hányados derivált képletére van szükségünk:

A hagyomány szerint tizedeljük a számlálót – ez nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül egy fél kilométer hosszú képlet. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x, mondjuk, be x 2 + ln x. Meg fog menni f(x) = bűn ( x 2 + ln x) - ez egy összetett függvény. Ennek is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok alapján nem lehet megtalálni.

Mit tegyek? Ilyen esetekben egy összetett függvény deriváltjának változó és képlet lecserélése segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ha x helyettesíti t(x).

A képlet megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért is célszerű konkrét példákkal magyarázni, azzal részletes leírás minden lépést.

Feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2. kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor menni fog elemi funkció f(x) = e x. Ezért cserét végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Egy komplex függvény deriváltját a következő képlettel keressük:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! Fordított cserét végzünk: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell x 2 + ln x = t. Nálunk:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2 + ln x. Majd:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ennyi! Amint az abból látható utolsó kifejezés, az egész probléma a derivált összeg kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Az órákon nagyon gyakran a „származék” kifejezés helyett a „prím” szót használom. Például egy prím az összegből egyenlő az összeggelütések. Így világosabb? Hát ez jó.

Így a derivált kiszámítása az ugyanazon ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Mint utolsó példa Térjünk vissza a derivált hatványhoz racionális kitevővel:

(x n)’ = n · x n − 1

Ezt kevesen tudják a szerepben n jól cselekedhet törtszám. Például a gyökér az x 0.5. Mi van, ha valami díszes van a gyökér alatt? Az eredmény ismét egy összetett funkció lesz – szeretnek ilyen konstrukciókat adni tesztekés vizsgák.

Feladat. Keresse meg a függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most csinálunk egy cserét: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t. A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Végezzük el a fordított cserét: t = x 2 + 8x− 7. Van:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete