Elemek geometriai átlaga. Geometriai átlag

A számtani átlag és a mértani átlag témakör a 6-7. osztályos matematika programban szerepel. Mivel a bekezdés meglehetősen könnyen érthető, gyorsan elkészül, és a végére tanévben az iskolások elfelejtik őt. Ehhez azonban az alapvető statisztikák ismerete szükséges letette az egységes államvizsgát, valamint nemzetközi SAT vizsgákra. Igen és azért mindennapi élet fejlett elemző gondolkodás soha nem fáj.

Hogyan kell kiszámítani a számok számtani és geometriai átlagát

Tegyük fel, hogy van egy számsor: 11, 4 és 3. A számtani átlag az összes szám összege osztva a megadott számok számával. Vagyis a 11, 4, 3 számok esetén a válasz 6 lesz. Hogyan kapunk 6-ot?

Megoldás: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

A nevezőnek olyan számot kell tartalmaznia, amely megegyezik azon számok számával, amelyek átlagát meg kell találni. Az összeg osztható 3-mal, mivel három tag van.

Most meg kell találnunk a geometriai átlagot. Tegyük fel, hogy van egy számsor: 4, 2 és 8.

Egy szám geometriai középértéke a gyök alatti összes adott szám hatványos szorzata összeggel egyenlő adott számok Azaz a 4-es, 2-es és 8-as szám esetén a válasz 4 lesz. Így alakult:

Megoldás: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Mindkét lehetőségnél egész válaszokat kaptunk, mivel a példában speciális számokat vettünk. Ez nem mindig történik meg. A legtöbb esetben a választ kerekíteni kell, vagy a gyökérben kell hagyni. Például a 11, 7 és 20 számok számtani átlaga ≈ 12,67, a geometriai átlag pedig ∛1540. A 6-os és 5-ös számokra pedig 5,5 és √30 lesz a válasz.

Megtörténhet, hogy a számtani közép egyenlő lesz a geometriai átlaggal?

Természetesen lehet. De csak két esetben. Ha van olyan számsor, amely csak egyesekből vagy nullákból áll. Figyelemre méltó az is, hogy a válasz nem a számuktól függ.

Bizonyítás mértékegységekkel: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (számtani átlag).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometriai átlag).

Bizonyítás nullákkal: (0 + 0) / 2=0 (számtani átlag).

√(0 × 0) = 0 (geometriai átlag).

Más lehetőség nincs és nem is lehet.

Az átlagértékek szerepet játszanak a statisztikákban fontos szerepet, mert lehetővé teszik, hogy megkapjuk az elemzett jelenség általános jellemzőjét. A leggyakoribb átlag természetesen a . Ez akkor fordul elő, amikor az elemek összegének felhasználásával aggregáló mutatót képeznek. Például több alma tömege, az egyes értékesítési napok teljes bevétele stb. De ez nem mindig történik meg. Néha egy aggregált mutató nem összegzés, hanem más matematikai műveletek eredményeként jön létre.

Tekintsük a következő példát. A havi infláció egy hónap árszínvonalának változása az előző hónaphoz képest. Ha ismertek az egyes hónapok inflációs rátái, hogyan lehet kiszámítani az éves értéket? Statisztikai szempontból ez egy láncindex, tehát a helyes válasz: a havi inflációs ráták szorzatával. Azaz általános mutató Az infláció nem összeg, hanem szorzat. Most hogyan lehet megtudni az átlagos havi inflációt, ha van éves érték? Nem, ne osszuk el 12-vel, hanem vegyük a 12. gyöket (a fok a tényezők számától függ). IN általános eset A geometriai átlag kiszámítása a következő képlettel történik:

Azaz az eredeti adatok szorzatának gyöke, ahol a fokot a tényezők száma határozza meg. Például két szám geometriai átlaga az négyzetgyök munkájukból

három számból - a termék kockagyöke

stb.

Ha minden eredeti számot a geometriai átlagukkal helyettesítünk, a szorzat ugyanazt az eredményt adja.

Hogy jobban megértsük, mi a geometriai közép, és miben különbözik a számtani átlagtól, nézzük meg a következő ábrát. Van egy körbe írt derékszögű háromszög.

Tól derékszög medián kihagyva a(a hipotenúza közepéig). Szintén derékszögből csökken a magasság b, ami a ponton van P a hipotenuszt két részre osztja mÉs n. Mert A hipotenusz a körülírt kör átmérője, a medián pedig a sugár, akkor nyilvánvaló, hogy a medián hossza a számtani átlaga mÉs n.

Számítsuk ki, mekkora a magasság b. A háromszögek hasonlósága miatt ABPÉs BCP az egyenlőség igaz

Vagyis a magasság derékszögű háromszög azoknak a szakaszoknak a geometriai középértéke, amelyekre felosztja a hipotenuszt. Ilyen egyértelmű különbség.

Az M.S. Excel átlag a geometriai az SRGEOM függvény segítségével kereshető meg.

Minden nagyon egyszerű: hívja meg a függvényt, adja meg a tartományt és kész.

A gyakorlatban ezt a mutatót nem használják olyan gyakran, mint a számtani átlagot, de mégis előfordul. Például van ilyen humán fejlettségi index, amely az életszínvonal összehasonlítására szolgál különböző országokban. Több index geometriai átlagaként számítják ki.

Vannak más átlagértékek is. Róluk máskor.

A számtani átlaggal ellentétben a geometriai átlag lehetővé teszi egy változó időbeli változásának mértékének becslését. A geometriai átlag az n érték szorzatának n-edik gyöke (Excelben az =SRGEOM függvényt használjuk):

G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Hasonló paraméter átlagos geometriai jelentése megtérülési ráta - a képlet határozza meg:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,

ahol R i a nyereség rátája i-edik időszak idő.

Tegyük fel például, hogy a kezdeti befektetés 100 000 dollár Az első év végére 50 000 dollárra esik, és a második év végére visszaáll a 100 000 dolláros kezdeti szintre -éves periódus 0, mivel a források kezdeti és végső összege megegyezik egymással. Az éves megtérülési ráták számtani átlaga azonban = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 vagy 25%, mivel a megtérülési ráta az első évben R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 , a másodikban pedig R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Ugyanakkor a profitráta geometriai középértéke két évre egyenlő: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Így a geometriai átlag pontosabban tükrözi a beruházások volumenének változását (pontosabban a változás hiányát) két éves időszak alatt, mint a számtani átlag.

Érdekes tények. Először is, a geometriai átlag mindig kisebb lesz, mint ugyanazon számok számtani átlaga. Kivéve azt az esetet, amikor az összes vett szám egyenlő egymással. Másodszor, ha figyelembe vesszük a derékszögű háromszög tulajdonságait, megérthetjük, miért nevezzük az átlagot geometriainak. A derékszögű háromszög magassága, leengedve a hipotenuszra, a lábak hipotenuszra való vetületei közötti átlagos arányos, és az egyes lábak átlagosan arányosak a hipotenusus és a hipotenuszra való vetülete között. Ez ad geometriai módszer két (hosszúságú) szakasz geometriai átlagának megalkotása: e két szakasz összegének átmérőjével kört kell alkotni, majd a csatlakozási ponttól a körrel való metszéspontig visszaállított magasság adja a kívánt értéket:

Rizs. 4.

Második fontos tulajdon számszerű adatok - azok variációja, az adatok szórásának mértékét jellemzi. Két különböző minta átlagban és eltérésben is eltérhet.

Az adatok változásának öt becslése létezik:

interkvartilis tartomány,

diszperzió,

szórás,

variációs együttható.

A tartomány a legnagyobb és a különbség legkisebb elemek minták:

Tartomány = X Max - X Min

A 15 befektetési alap éves átlagos hozamára vonatkozó adatokat tartalmazó minta tartománya nagyon magas szintű a kockázat egy rendezett tömb segítségével számítható ki: Tartomány = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Ez azt jelenti, hogy a nagyon magas kockázatú alapok legmagasabb és legalacsonyabb átlagos éves hozama közötti különbség 24,6%.

A tartomány az adatok általános terjedését méri. Bár a mintatartomány nagyon egyszerű becslése az adatok általános terjedésének, gyengesége, hogy nem veszi figyelembe, hogy pontosan hogyan oszlanak meg az adatok a minimum és maximum elemek között. A B skála azt mutatja, hogy ha egy minta legalább egy szélső értéket tartalmaz, a mintatartomány nagyon pontatlan becslése az adatok terjedésének.

Ez elveszik az átlag számításánál.

Átlagos jelentése számkészlet egyenlő az S számok összegével osztva e számok számával. Azaz kiderül, hogy átlagos jelentése egyenlő: 19/4 = 4,75.

Kérjük, vegye figyelembe

Ha csak két szám geometriai középértékét kell megkeresnie, akkor nincs szükség mérnöki számológépre: a második gyöket (négygyököt) bármely számból kivonhatja a egy szokásos számológép.

Hasznos tanácsok

Ellentétben a számtani átlaggal, a geometriai átlagot nem annyira befolyásolják a közötti nagy eltérések és ingadozások. külön értékeket a vizsgált mutatókészletben.

Források:

• Online számológép, amely kiszámítja a geometriai átlagot
• átlagos geometriai képlet

Átlagosérték egy számhalmaz egyik jellemzője. Olyan számot jelöl, amely nem lehet kívül a legnagyobb és által meghatározott tartományon legalacsonyabb értékek ebben a számkészletben. Átlagos A számtani érték a leggyakrabban használt átlagtípus.

Utasítás

Adja össze a halmazban lévő összes számot, és ossza el a tagok számával, hogy megkapja a számtani átlagot. A konkrét számítási feltételektől függően néha könnyebb elosztani az egyes számokat a készletben lévő értékek számával, és összeadni az eredményt.

Használja például a Windows operációs rendszerben található elemet, ha nem lehetséges fejben kiszámítani a számtani átlagot. A programindító párbeszédpanel segítségével nyithatja meg. Ehhez nyomja meg a WIN + R gyorsbillentyűket, vagy kattintson a Start gombra, és válassza ki a Futtatás parancsot a főmenüből. Ezután írja be a calc szót a beviteli mezőbe, és nyomja meg az Enter billentyűt, vagy kattintson az OK gombra. Ugyanezt megteheti a főmenüben is - nyissa meg, lépjen az „Összes program” szakaszba, majd a „Normál” részben válassza ki a „Számológép” sort.

Írja be egymás után a készletben lévő összes számot úgy, hogy mindegyik után nyomja meg a Plusz billentyűt (az utolsó kivételével), vagy kattintson a megfelelő gombra a számológép felületén. A számokat a billentyűzetről vagy a megfelelő kezelőfelület gombjaira kattintva is beírhatja.

Nyomja meg a perjel billentyűt, vagy kattintson erre a számológép felületén az utolsó beállított érték megadása után, és írja be a számok számát a sorozatba. Ezután nyomja meg az egyenlőségjelet, és a számológép kiszámítja és megjeleníti a számtani átlagot.

Ugyanerre a célra használhat táblázatszerkesztőt. Microsoft Excel. Ebben az esetben indítsa el a szerkesztőt, és írja be a számsor összes értékét a szomszédos cellákba. Ha az egyes számok beírása után megnyomja az Entert vagy a le vagy jobb nyílbillentyűt, maga a szerkesztő mozgatja a beviteli fókuszt a szomszédos cellára.

Kattintson az utoljára beírt szám melletti cellára, ha nem csak az átlagot szeretné látni. Bontsa ki a Görög szigma (Σ) legördülő menüt a Kezdőlap lap Szerkesztés parancsaihoz. Válassza ki a sort" Átlagos", és a szerkesztő beilleszti a szükséges képletet az átlag kiszámításához számtani érték a kiválasztott cellába. Nyomja meg az Enter billentyűt, és az érték kiszámításra kerül.

A számtani átlag a központi tendencia egyik mérőszáma, amelyet széles körben alkalmaznak a matematikában és a statisztikai számításokban. Számos érték számtani átlagának megtalálása nagyon egyszerű, de minden feladatnak megvannak a maga árnyalatai, amelyeket egyszerűen ismerni kell a helyes számítások elvégzéséhez.

Mi az a számtani közép

A számtani átlag határozza meg a teljes eredeti számtömb átlagos értékét. Más szóval, egy bizonyos számkészletből kiválasztunk egy minden elemre közös értéket, matematikai összehasonlítás amely minden elemével megközelítőleg egyenlő természetű. A számtani átlagot elsősorban pénzügyi és statisztikai jelentések készítésekor, illetve hasonló kísérletek eredményeinek kiszámításához használják.

Hogyan találjuk meg a számtani átlagot

Keresd az átlagot számtani szám számtömb esetén kezdje meg meghatározni ezen értékek algebrai összegét. Például, ha a tömb tartalmazza a 23, 43, 10, 74 és 34 számokat, akkor ezek algebrai összege 184 lesz. Íráskor a számtani átlagot μ (mu) vagy x (x) betűvel jelöljük. bár). Következő algebrai összeg el kell osztani a tömbben lévő számok számával. A vizsgált példában öt szám szerepel, így a számtani átlag 184/5 lesz, és 36,8 lesz.

A negatív számokkal való munka jellemzői

Ha a tömb negatív számokat tartalmaz, akkor a számtani átlagot hasonló algoritmussal találjuk meg. A különbség csak akkor áll fenn, ha a programozási környezetben számolunk, vagy ha a problémának további feltételei vannak. Ezekben az esetekben a számok számtani középértékének megállapítása -val különböző jelek három lépésből áll:

1. Az általános számtani átlag meghatározása standard módszerrel;
2. Negatív számok számtani középértékének meghatározása.
3. Pozitív számok számtani középértékének kiszámítása.

Az egyes műveletekre adott válaszok vesszővel vannak elválasztva.

Természetes és tizedes törtek

Ha egy számtömb kerül bemutatásra tizedesjegyek, a megoldást az egész számok számtani középértékének számítási módszerével hajtjuk végre, de az eredményt a feladatnak a válasz pontosságára vonatkozó követelményei szerint csökkentjük.

Amikor dolgozik természetes frakciók oda kell vinni őket közös nevező, amelyet megszorozunk a tömbben lévő számok számával. A válasz számlálója az eredeti törtelemek megadott számlálóinak összege lesz.

• Mérnöki számológép.

Utasítás

Ne feledje, hogy általában az átlag geometriai számokúgy kapjuk meg, hogy ezeket a számokat megszorozzuk, és kivesszük belőlük a számok számának megfelelő hatvány gyökerét. Például, ha meg kell találnia öt szám geometriai átlagát, akkor ki kell vonnia a hatvány gyökerét a szorzatból.

Két szám geometriai átlagának meghatározásához használja az alapszabályt. Keresse meg a szorzatukat, majd vegye ki a négyzetgyökét, mivel a szám kettő, ami a gyök hatványának felel meg. Például a 16 és 4 számok geometriai átlagának megtalálásához keresse meg a 16 4 = 64 szorzatát. A kapott számból vegye ki a négyzetgyököt √64=8. Ez lesz a kívánt érték. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ennek a két számnak a számtani átlaga nagyobb, mint 10, és egyenlő azzal. Ha a teljes gyökér nem kerül kivonásra, kerekítse az eredményt a szükséges sorrendet.

Kettőnél több szám geometriai átlagának meghatározásához használja az alapszabályt is. Ehhez keresse meg az összes szám szorzatát, amelyhez meg kell találnia a geometriai átlagot. A kapott szorzatból vonjuk ki a számok számával megegyező hatvány gyökét. Például a 2, 4 és 64 számok geometriai átlagának megtalálásához keresse meg a szorzatukat. 2 4 64=512. Mivel meg kell találnia három szám geometriai átlagának eredményét, vegye fel a szorzat harmadik gyökerét. Nehéz ezt szóban megtenni, ezért használjon mérnöki számológépet. Erre a célra van egy "x^y" gomb. Tárcsázza az 512-es számot, nyomja meg az "x^y" gombot, majd tárcsázza a 3-as számot, és nyomja meg az "1/x" gombot. Az 1/3 értékének meghatározásához nyomja meg az "=" gombot. Azt az eredményt kapjuk, hogy az 512-t 1/3 hatványra emeljük, ami a harmadik gyökérnek felel meg. Kap 512^1/3=8. Ez a 2,4 és 64 számok geometriai átlaga.

Használatával mérnöki számológép A geometriai átlagot más módon is megtalálhatja. Keresse meg a napló gombot a billentyűzeten. Ezután vegye fel az egyes számok logaritmusát, keresse meg az összegüket, és osszuk el a számok számával. Vegye ki az antilogaritmust a kapott számból. Ez lesz a számok geometriai átlaga. Például ugyanazon számok (2, 4 és 64) geometriai átlagának megtalálásához hajtson végre egy műveletsort a számológépen. Tárcsázza a 2-es számot, majd nyomja meg a napló gombot, nyomja meg a „+” gombot, tárcsázza a 4-es számot, és ismét nyomja meg a log és a „+” gombot, tárcsázza a 64-et, nyomja meg a log és a „=” gombot. Az eredmény a szám lesz egyenlő az összeggel decimális logaritmus a 2-es, 4-es és 64-es számokat. A kapott számot osszuk el 3-mal, mivel ennyi számnak kell a mértani középértéket keresni. Az eredményből vegye ki az antilogaritmust a kis- és nagybetűs gomb megnyomásával, és használja ugyanazt a naplóbillentyűt. Az eredmény a 8-as szám lesz, ez a kívánt geometriai átlag.

Geometriai átlagot alkalmazunk olyan esetekben, amikor egy jellemző egyedi értékei képviselik relatív értékek láncértékek formájában konstruált dinamika, a dinamikasorozat egyes szintjének előző szintjéhez viszonyított arányként, azaz az átlagos növekedési együtthatót jellemzi.

A módozatot és a mediánt nagyon gyakran számítják ki a statisztikai feladatokban, és kiegészítik azokat átlagos jellemzők aggregátumok és felhasználják matematikai statisztika elemezni az eloszlássorozat típusát, amely lehet normál, aszimmetrikus, szimmetrikus stb.

A mediánhoz hasonlóan a sokaságot négy egyenlő részre osztó jellemző értékeit számítják ki - kvartelek, öt részre - ötösök, tízre egyenlő részek - lelassul, száz egyenlő részre - százalékel. Használja az elemzésben variációs sorozat a figyelembe vett jellemzők statisztikai megoszlása ​​lehetővé teszi a vizsgált sokaság alaposabb és részletesebb jellemzését.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete