Fokozatképletek a csökkentés és az egyszerűsítés folyamatában összetett kifejezések, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat ugyanazzal az alappal megszorozva a mutatóik összeadódnak:

a m·a n = a m + n .

2. Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk, kitevőjüket levonjuk:

3. A szorzat teljesítménye 2 ill több tényezők egyenlő e tényezők hatványainak szorzatával:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n /b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(a m) n = a m n .

Minden fenti képlet igaz balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. A hozzáállás gyökere egyenlő az aránnyal a gyökök osztója és osztója:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeli a gyökér fokát be n egyszer és egyben beépül n a th hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkenti n egyidejűleg vonjuk ki a gyökeret n fokozata gyökszám, akkor a gyökér értéke nem változik:

Végzettség c negatív mutató. Egy nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám hatványával egyenlő kitevővel abszolút érték nem pozitív indikátor:

Képlet a m:a n =a m - n nem csak arra használható m> n, hanem azzal is m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n =a m - n igazságossá vált, amikor m=n, jelenlét kell nulla fok.

Egy diploma nulla indexszel. Bármely nullával nem egyenlő szám hatványa nulla kitevővel egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Fokszám tört kitevővel. Valós szám emelésére A fokig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m- ennek a számnak a hatványa A.

Nézzünk egy kis példát. Számítsuk ki 4√(5 12).

Használjuk a szám gyökének és hatványának tulajdonságait. 5 12 = (5 3) 4, ezért a következőképpen írhatjuk fel a feltételt:

• 4√((5 3) 4) = (4√(5 3)) 4 = 5 3 = 125.

Így azt kapjuk, hogy 4√(5 12) = 5 (12/4) . Az is kimutatható, hogy pl.

• 5√(3 (-4)) = 3 (-4/3) .

Bizonyíték

• Ha n néhány természetes szám, és n nagyobb vagy egyenlő 2-vel, m valamilyen egész szám, és az m/n hányados egész szám lesz, akkor >0 esetén a következő egyenlőség érvényesül: n√(a m) = a (m/n) .

Bizonyítsuk be ezt a tényt. m/n valamilyen egész szám (feltétel szerint), vagyis az osztás eredményeként a k egész számot kapjuk (m/n = k). Ekkor felírhatjuk, hogy m=k*n. Ezután a fok és a tulajdonságait felhasználva számtani gyök kapunk:

• n√ (a m) = n√(a (n*k)) =n√((a k) n) = a k = a (m/n) .

Vagyis n√(a m) = a (m/n) . Q.E.D.

Ha m-t n-nel osztva nem egész számot kapunk, akkor az a (m/n) alakú fokot, ahol a>0, úgy határozzuk meg, hogy a fenti képlet (n√(a m) = a (m/n)), hű maradt.

• Vagyis a képlet n√(a m) = a (m/n) bármely m egész számra érvényes lesz, bármely n természetes szám kettőnél nagyobb vagy egyenlő, és a>0.

Például,

• 16 (3/4) = 4√(16 3) = 4√(2 12) = 2 3 = 8.
• 7 (5/4) = 4√(7 5) = 4√((7 4)*7) = 7*4√7.

Mint már tudjuk, az m/n alakú számokat, ahol n valamilyen természetes szám, m pedig egész szám, tört- vagy racionális számoknak nevezzük.

A fentiek mindegyikéből azt kapjuk, hogy a fok bármely racionális kitevőre és a fok bármely pozitív bázisára definiálva van.

Sajátosságok

Érdemes megjegyezni, hogy ha a racionális szám a kitevőben pozitív, akkor az n√(a m) kifejezésnek nem csak pozitív a, hanem nullával egyenlő értéke esetén is van értelme.

• n√(0 m) = 0.

Ezért a matematikában úgy gondolják, hogy ha m/n > 0, a 0 (m/n) = 0 egyenlőség fennáll.

Vegye figyelembe azt is, hogy bármely egész számra, bármely természetes m-re és n-re, valamint pozitív a-ra a következő egyenlőség igaz:

a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Például 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Ebben a cikkben megtudjuk, mi ez egy szám hatványa. Itt megadjuk egy szám hatványának definícióit, miközben részletesen megvizsgáljuk az összes lehetséges kitevőt, kezdve a természetes kitevővel és az irracionális kitevővel bezárólag. Az anyagban sok példát talál a fokozatokra, amelyek lefedik az összes felmerülő finomságot.

Oldalnavigáció.

Hatvány természetes kitevővel, szám négyzete, szám kocka

Kezdjük azzal. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy az a szám hatványának meghatározása -val természetes mutató n adva van a-ra, amit meg fogunk nevezni fokozat alapján, és n, amelyeket hívni fogunk kitevő. Azt is megjegyezzük, hogy a természetes kitevővel rendelkező fokot egy szorzat határozza meg, így az alábbi anyag megértéséhez ismernie kell a számok szorzását.

Meghatározás.

n természetes kitevővel rendelkező szám hatványa az a n alakú kifejezés, amelynek értéke egyenlő n tényező szorzatával, amelyek mindegyike egyenlő a-val, azaz .
Konkrétan egy 1 kitevővel rendelkező a szám hatványa maga az a szám, azaz a 1 =a.

Rögtön említést érdemel a diplomaolvasás szabályairól. Univerzális módszer az a n bejegyzést olvasva: „a n hatványára”. Egyes esetekben a következő opciók is elfogadhatók: „a az n-edik hatványra” és „a n-edik hatványa”. Például vegyük a 8 12 hatványt, ez „nyolc a tizenkettő hatványához”, vagy „nyolc a tizenkettedik hatványhoz”, vagy „nyolc tizenkettedik hatványa”.

A szám második hatványának, valamint a szám harmadik hatványának saját neve van. Egy szám második hatványát nevezzük négyzetre a számot Például a 7 2 „hét négyzet” vagy „a hetes szám négyzete”. Egy szám harmadik hatványát nevezzük kockás számok Például az 5 3 úgy is olvasható, hogy „öt kocka”, vagy azt is mondhatja, hogy „az 5-ös szám kocka”.

Ideje hozni példák természetes kitevős fokokra. Kezdjük az 5 7 fokkal, itt az 5 a fok alapja, a 7 pedig a kitevő. Adjunk egy másik példát: 4,32 az alap, a természetes szám pedig 9 a (4,32) 9 kitevője.

Felhívjuk figyelmét, hogy a utolsó példa A 4,32 fokszám alapját zárójelben írjuk: az eltérések elkerülése érdekében a természetes számoktól eltérő fokszámot zárójelbe tesszük. Példaként a következő fokokat adjuk meg természetes kitevőkkel , alapjaik nem természetes számok, ezért zárójelben vannak írva. Nos, a teljes érthetőség kedvéért ezen a ponton megmutatjuk a (−2) 3 és −2 3 formájú rekordokban rejlő különbséget. A (−2) 3 kifejezés a −2 hatványa 3 természetes kitevőjével, és a −2 3 kifejezés (ahogyan írható fel −(2 3) ) a számnak, a 2 3 hatvány értékének felel meg. .

Figyeljük meg, hogy van egy jelölés az a szám hatványára, amelynek n kitevője a^n. Sőt, ha n egy többértékű természetes szám, akkor a kitevő zárójelben van. Például a 4^9 a 4 9 hatványának másik jelölése. És itt van még néhány példa a fokozatok „^” szimbólummal történő írására: 14^(21) , (−2,1)^(155) . A következőkben elsősorban az a n alakú fokjelölést fogjuk használni.

A természetes kitevővel rendelkező hatványra emelés ellentétes problémája az, hogy meg kell találni a hatvány alapját ismert érték fok és ismert mutató. Ez a feladat oda vezet.

Ismeretes, hogy a racionális számok halmaza egész számokból és törtekből áll, és mindegyik törtszám lehet pozitív vagy negatív közönséges tört. Az előző bekezdésben a fokszámot egész kitevővel határoztuk meg, így ezzel is kiegészítve a fok definícióját racionális mutató, jelentést kell adnia az a szám hatványának m/n tört kitevővel, ahol m egy egész szám, n pedig természetes szám. Tegyük ezt.

Tekintsünk egy fokot a forma tört kitevőjével. Ahhoz, hogy a hatalom-hatalom tulajdonság érvényben maradjon, az egyenlőségnek fennállnia kell . Ha figyelembe vesszük a kapott egyenlőséget és azt, hogy hogyan határoztuk meg, akkor logikus az elfogadása, ha adott m, n és a esetén van értelme a kifejezésnek.

Könnyen ellenőrizhető, hogy az egész kitevővel rendelkező fok összes tulajdonsága érvényes-e (ezt a racionális kitevővel rendelkező fok metszettulajdonságaiban tették meg).

A fenti érvelés lehetővé teszi számunkra, hogy a következőket tegyük következtetés: ha adott m, n és a kifejezésnek van értelme, akkor az m/n törtkitevővel rendelkező a hatványt a m hatványának n-edik gyökének nevezzük.

Ez az állítás közel visz minket a törtkitevővel rendelkező fok definíciójához. Már csak le kell írni, hogy m, n és a miben van értelme a kifejezésnek. Az m, n és a korlátozásoktól függően két fő megközelítés létezik.

A legegyszerűbb mód az a megszorítása, ha pozitív m esetén a≥0, negatív m esetén a>0 (mivel m≤0 esetén m 0 foka nincs meghatározva). Akkor kapunk következő definíciót fokot törtkitevővel.

Meghatározás.

Pozitív a szám hatványa m/n tört kitevővel, ahol m egész szám és n természetes szám, az a szám n-edik gyökének nevezzük az m hatványhoz, azaz .

A nulla törthatványát is meghatározzuk azzal az egyetlen kitétellel, hogy az indikátornak pozitívnak kell lennie.

Meghatározás.

Nulla hatványa tört pozitív kitevővel m/n, ahol m pozitív egész szám, n pedig természetes szám, a következőképpen definiálható .
Ha a fokszám nincs meghatározva, vagyis a nulla szám fokszámának tört negatív kitevőjével nincs értelme.

Megjegyzendő, hogy a törtkitevős fok ilyen definíciójával van egy figyelmeztetés: egyes negatív a, valamint néhány m és n esetén a kifejezésnek van értelme, és ezeket az eseteket elvetettük az a≥0 feltétel bevezetésével. Például a bejegyzéseknek van értelme vagy , és a fent megadott definíció arra kényszerít bennünket, hogy azt mondjuk, hogy a hatványok az alak törtkitevőjével nincs értelme, mivel az alap nem lehet negatív.

Egy másik megközelítés a fok meghatározására m/n tört kitevővel az, hogy a gyök páros és páratlan kitevőit külön kell figyelembe venni. Ez a megközelítés további feltételt igényel: a hatványát, amelynek kitevője , a hatványának tekintjük, amelynek kitevője a megfelelő redukálhatatlan tört(Ennek a feltételnek a fontosságát alább ismertetjük.) Vagyis ha m/n egy irreducibilis tört, akkor bármely k természetes szám esetén a fokszámot először helyettesíti a -val.

Páros n és pozitív m esetén a kifejezésnek értelme van bármely nem negatív a esetén (negatív m esetén a páros gyöknek nincs értelme, az a számnak továbbra is különböznie kell a nullától (különben osztás lesz). nullával). Páratlan n és pozitív m esetén pedig az a szám tetszőleges lehet (a páratlan fok gyöke bármely valós számra definiálva van), negatív m esetén pedig az a számnak nullától eltérőnek kell lennie (hogy ne legyen osztás nulla).

A fenti okfejtés elvezet bennünket a törtkitevővel rendelkező fok ezen definíciójához.

Meghatározás.

Legyen m/n irreducibilis tört, m egész szám, n pedig természetes szám. Bármely redukálható törtnél a fokot helyettesíti a. Az m/n irreducibilis törtkitevőjű szám hatványa az



Magyarázzuk meg, miért cseréljük le először egy redukálható tört kitevővel rendelkező fokot egy irreducibilis kitevővel rendelkező fokra. Ha egyszerűen definiálnánk a fokot, és nem tennénk fenntartást az m/n tört redukálhatatlanságával kapcsolatban, akkor a következőhöz hasonló helyzetekkel állnánk szemben: mivel 6/10 = 3/5, akkor az egyenlőségnek teljesülnie kell. , De , A .

A hatvány arra szolgál, hogy leegyszerűsítse a szám önmagával való szorzását. Például írás helyett írhatsz 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Ennek az átmenetnek a magyarázata a cikk első részében található). A fokozatok megkönnyítik a hosszú vagy összetett kifejezések vagy egyenletek írását; a hatványokat is könnyű összeadni és kivonni, ami egyszerűsített kifejezést vagy egyenletet eredményez (pl. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Jegyzet: ha döntenie kell exponenciális egyenlet(egy ilyen egyenletben az ismeretlen a kitevőben van), olvassa el.

Lépések

Egyszerű feladatok megoldása diplomákkal

Szorozzuk meg a hatvány alapját önmagával a számokkal egyenlő az indikátorral fokon. Ha egy hatványfeladatot kézzel kell megoldanunk, írjuk át a hatványt szorzási műveletként, ahol a hatvány alapját megszorozzuk önmagával. Például adott egy diploma 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Ebben az esetben a 3. hatvány alapját meg kell szorozni önmagával 4-szer: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Íme további példák:

Először szorozza meg az első két számot. Például, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne aggódjon – a számítási folyamat nem olyan bonyolult, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Először szorozza meg az első két négyest, majd cserélje ki az eredménnyel. így:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Szorozzuk meg az eredményt (példánkban 16) a következő számmal. Minden további eredmény arányosan növekszik. Példánkban szorozzuk meg 16-ot 4-gyel. Így:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Folytassa az első két szám eredményének szorzását a következő számmal, amíg meg nem kapja a végső választ. Ehhez szorozza meg az első két számot, majd a kapott eredményt szorozza meg a sorozat következő számával. Ez a módszer minden fokozatra érvényes. Példánkban a következőket kell kapnia: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Oldja meg a következő problémákat. Ellenőrizze a választ egy számológép segítségével.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. A számológépén keresse meg az "exp" vagy "" feliratú kulcsot. x n (\displaystyle x^(n))", vagy "^". Ezzel a gombbal egy számot hatványra emelhet. Szinte lehetetlen egy fokot kézzel kiszámítani egy nagy mutatóval (például a fok 9 15 (\displaystyle 9^(15))), de a számológép könnyen megbirkózik ezzel a feladattal. Windows 7 rendszerben a standard számológép mérnöki módba kapcsolható; Ehhez kattintson a „View” -> „Engineering” menüpontra. A normál módba való váltáshoz kattintson a „Nézet” -> „Normál” gombra.

   • Ellenőrizze a választ a segítségével keresőmotor(Google vagy Yandex). A számítógép billentyűzetén található "^" billentyűvel írja be a kifejezést a keresőmotorba, amely azonnal megjeleníti a helyes választ (és esetleg hasonló kifejezéseket javasol tanulmányozására).

   Hatványok összeadása, kivonása, szorzása

   1. Csak akkor adhat hozzá és vonhat ki fokokat, ha vannak azonos indokok. Ha azonos bázisokkal és kitevőkkel kell hatványokat hozzáadnia, akkor az összeadási műveletet helyettesítheti a szorzási művelettel. Például adott a kifejezés 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ne feledje, hogy a diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) formában ábrázolható 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Így, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\megjelenítési stílus 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ahol 1 +1 =2). Vagyis számolja meg a hasonló fokok számát, majd szorozza meg ezt a fokot ezzel a számmal. Példánkban emelje fel a 4-et az ötödik hatványra, majd a kapott eredményt szorozza meg 2-vel. Ne feledje, hogy az összeadási művelet helyettesíthető a szorzási művelettel, pl. 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Íme további példák:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Ha a hatványokat ugyanazzal a bázissal szorozzuk, akkor azok kitevői összeadódnak (az alap nem változik). Például adott a kifejezés x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Ebben az esetben csak hozzá kell adnia a mutatókat, az alapot változatlanul hagyva. Így, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Íme a szabály vizuális magyarázata:

      Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevők megszorozódnak. Például diplomát adnak. Mivel a kitevőket szorozzuk, akkor (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Ennek a szabálynak az a lényege, hogy hatványokkal szorozzuk (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ötször önmagára. így:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Mivel az alap ugyanaz, a kitevők egyszerűen összeadódnak: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 x 2 = x 10 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. A negatív kitevővel rendelkező hatványt törtté kell konvertálni (fordított hatvány). Nem baj, ha nem tudod, mi az a kölcsönös végzettség. Ha negatív kitevőjű végzettséget adnak, pl. 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), írja be ezt a fokot a tört nevezőjébe (a számlálóba tegyen 1-et), és tegye pozitívvá a kitevőt. Példánkban: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Íme további példák:

      Ha a fokokat ugyanazzal az alappal osztjuk fel, akkor kitevőjüket levonjuk (az alap nem változik). Az osztási művelet a szorzási művelet ellentéte. Például adott a kifejezés 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))). Vonjuk ki a nevezőben lévő kitevőt a számlálóban lévő kitevőből (a bázist ne változtassuk meg). Így, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • A nevezőben lévő hatvány a következőképpen írható fel: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne feledje, hogy a tört egy szám (hatvány, kifejezés), negatív kitevővel.

   4. Az alábbiakban felsorolunk néhány kifejezést, amelyek segítenek megtanulni, hogyan kell megoldani a kitevőkkel kapcsolatos problémákat. A megadott kifejezések lefedik az ebben a részben bemutatott anyagot. A válasz megtekintéséhez egyszerűen válassza ki az egyenlőségjel utáni üres helyet.

   Feladatok megoldása törtkitevőkkel

   A tört kitevővel rendelkező hatvány (például ) gyökérműveletté alakul. Példánkban: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Itt nem mindegy, hogy milyen szám szerepel a törtkitevő nevezőjében. Például, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- az „x” negyedik gyöke, azaz x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ha a kitevő az helytelen tört, akkor egy ilyen fok két fokra bontható a feladat megoldásának egyszerűsítése érdekében. Nincs ebben semmi bonyolult – csak emlékezzünk a hatalomszorzás szabályára. Például diplomát adnak. Alakítsunk át egy ilyen hatványt olyan gyökré, amelynek hatványa egyenlő a tört kitevő nevezőjével, majd emelje fel ezt a gyöket hatványra egyenlő a számlálóval törtmutató. Ehhez ne feledje = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . Példánkban:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. Egyes számológépeken van egy gomb a kitevők kiszámításához (először meg kell adni az alapot, majd meg kell nyomni a gombot, majd a kitevőt). Jelölése ^ vagy x^y. Ne feledje, hogy az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával, például 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Sőt, bármely szám eggyel szorozva vagy elosztva egyenlő önmagával, pl. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) És.
   4. Tudd, hogy a 0 0 hatvány nem létezik (egy ilyen hatványnak nincs megoldása). Ha számológépen vagy számítógépen próbál megoldani egy ilyen fokozatot, akkor hibaüzenetet kap. De ne feledje, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám 1, például 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. IN felsőbb matematika, amely működik képzeletbeli számok: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Hol i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e konstans körülbelül 2,7; a tetszőleges állandó. Ennek az egyenlőségnek a bizonyítéka bármely felsőbb matematika tankönyvben megtalálható.

   Figyelmeztetések

   • A kitevő növekedésével az értéke nagymértékben növekszik. Tehát ha a válasz rossznak tűnik, akkor valójában helyes lehet. Ezt bármelyik ábrázolással ellenőrizheti exponenciális függvény pl 2x.

Belépő szint

Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Miért van szükség diplomára? Hol lesz rájuk szüksége? Miért érdemes időt szánni a tanulmányozásukra?

Hogy mindent megtudjon a diplomákról, mire valók, hogyan hasznosíthatja tudását mindennapi élet olvassa el ezt a cikket.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz sikeres befejezése OGE vagy egységes államvizsga és felvétel álmai egyetemére.

Gyerünk... (Menjünk!)

Fontos megjegyzés! Ha képletek helyett gobbledygook-ot lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a Cmd+R (Mac rendszeren) billentyűkombinációt.

BEVEZETŐI SZINT

A hatalomra emelés ugyanaz matematikai művelet mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent elmagyarázok emberi nyelv nagyon egyszerű példák. Legyen óvatos. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindenkinek van két üveg kólája. Mennyi kóla van? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanaz a példa a kólával másképp is írható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják, hogyan tudják gyorsabban „megszámolni”. A mi esetünkben azt vették észre, hogy a nyolc embernek ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Természetesen mindent megtehetsz lassabban, nehezebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És még egy, szebb:

Milyen okos számolási trükköket találtak még ki a lusta matematikusok? jobb - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy a kettőtől az ötödik hatványhoz... És fejben oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Csak annyit kell tennie ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják másodfokúnak? négyzet számok, a harmadik pedig - kocka? Mit jelent ez? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük a szám négyzetével vagy második hatványával.

Képzeld négyzet alakú medence méterről méterre méretű. A medence a dachánál van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De... a medencének nincs feneke! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence alsó részét.

Egyszerűen kiszámolhatja az ujjával, hogy a medence alja méterenkénti kockákból áll. Ha 1 méteres csempe van, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempét? A csempe nagy valószínűséggel cm-es lesz, és akkor megkínozzák az „ujjal számolva”. Akkor szorozni kell. Tehát a medence aljának egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét helyezünk. Szorozzuk meg, és kapunk csempéket ().

Észrevette, hogy a medencefenék területének meghatározásához ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával? Mit jelent ez? Mivel ugyanazt a számot szorozzuk, használhatjuk a „hatványozás” technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb, és kevesebb a számítási hiba is. Az egységes államvizsga esetében ez nagyon fontos).
Tehát harminc a második hatvány lesz (). Vagy azt is mondhatjuk, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat: számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. Számuk kiszámításához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolc négyzetet írhat. Kapsz sejteket. () Szóval?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként -ban mérik köbméter. Váratlan, igaz?) Rajzolj egy medencét: egy méteres fenéket és egy méter mélységet, és próbáld megszámolni, hogy hány méteres méteres kocka fér bele a medencédbe.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy... huszonkettő, huszonhárom... Hányat kaptál? Nem veszett el? Nehéz az ujjával számolni? Ennyi! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal... Könnyebb, nem?

Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítenék. Mindent egyetlen műveletre redukáltunk. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám szorozódik önmagával... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát amit egyszer megszámoltál az ujjaddal, azt egy művelettel megcsinálják: három kocka egyenlő. Így van írva: .

Csak az marad emlékezz a foktáblázatra. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, továbbra is számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzzek arról, hogy a diplomákat felmondók és ravasz emberek találták ki, hogy megoldják a sajátjukat. életproblémák, és hogy ne okozzunk neked problémákat, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden keresett millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden milliód megduplázódik minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és „az ujjaddal számolsz”, az azt jelenti, hogy nagyon dolgos emberés.. hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kettő szorozva kettővel... a második évben - ami történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám szorozva van önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és az kapja meg ezeket a milliókat, aki a leggyorsabban tud számolni... Érdemes emlékezni a számok erejére, nem gondolod?

5. példa a valós életből

Van egy milliód. Minden év elején minden millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű nem? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatványhoz egyenlő egy millióval. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudod, hogy egy szám hatványra emelésével sokkal könnyebbé válik az életed. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne keveredjen össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Ön szerint mi az a kitevő? Nagyon egyszerű – ez a szám van a szám hatványának „tetején”. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen diplomaalap? Még egyszerűbb - ez a szám az alján található.

Íme egy rajz a jó mérethez.

Hát be általános nézet, az általánosítás és a jobb emlékezet érdekében... A „ ” bázissal és „ ” kitevővel rendelkező fokot a „fok”-nak olvassuk, és a következőképpen írjuk:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok felsorolásakor használunk: egy, kettő, három... Amikor objektumokat számolunk, nem mondjuk: „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad”, vagy „nulla pont öt”. Ezek nem természetes számok. Szerinted milyen számok ezek?

Az olyan számok, mint a „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes (vagyis mínuszjellel vett) számokat és a számokat. A nullát könnyű megérteni – ez az, amikor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív („mínusz”) számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális számok. Hogyan keletkeztek, szerinted? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy hiányoznak a természetes számok a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok... Érdekes, nem?

Több is van irracionális számok. Mik ezek a számok? Röviden, végtelen decimális. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Folytatás:

Határozzuk meg egy olyan fok fogalmát, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése azt jelenti, hogy megszorozzuk önmagával:
3. Egy szám kockára bontása azt jelenti, hogy háromszorosára szorozzuk önmagával:

Meghatározás. Emelje a számot értékre természetes fok- azt jelenti, hogy egy számot önmagával megszorozunk:
.

A fokozatok tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk: mi az És ?

Definíció szerint:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: szorzót adtunk a tényezőkhöz, és az eredmény szorzó.

De definíció szerint ez egy kitevős szám hatványa, vagyis: , amit bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen biztos ugyanazok az okok!
Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

csak az erők szorzatára!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

2. ennyi egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen:

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni?

De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

Hatáskörében természetes mutató az alap lehet tetszőleges szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ? Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük meg az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít.

Varázsütésre a kifejezések helyet változtattak. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Egész a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a " " jellel felvetve) és a számot hívjuk.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Most nézzük az új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk egy bizonyos fokot egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot vel, és ugyanazt kaptuk, mint volt - . Milyen számmal kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, tovább. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. Másrészt, mint bármely nulla hatványhoz tartozó szám, ennek is egyenlőnek kell lennie. Szóval mennyi igaz ebből? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani nullával, hanem nulla hatványra emelni sem.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Ahhoz, hogy megértsük, mi az a negatív fokozat, tegyük úgy, mint az alábbiakban utoljára: szorozni néhány normál szám ugyanilyen negatív mértékben:

Innentől kezdve egyszerűen kifejezheti, hogy mit keres:

Most bővítsük ki az eredményül kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:

Egy szám egy negatív hatványhoz ugyanannak a számnak a reciprokja pozitív fokozat. De ugyanakkor Az alap nem lehet null:(mert nem lehet vele osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha, akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. Szám, nem egyenlő nullával, negatív fokon ugyanannak a számnak az inverze pozitív fokú: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák független megoldásokra:

Problémák elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de az egységes államvizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásaikat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan birkózik meg velük könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most mérlegeljük racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: minden, ami törtként ábrázolható, ahol és egész számok, és.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok", vegye figyelembe a törtet:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzünk a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th hatvány gyöke a hatványra emelés fordított művelete: .

Kiderül, hogy. Nyilván ezt speciális eset bővíthető: .

Most hozzáadjuk a számlálót: mi az? A válasz könnyen megkapható a teljesítmény-teljesítmény szabály segítségével:

De lehet az alap bármilyen szám? Hiszen a gyökér nem vonható ki minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: tetszőleges számra emelve páros fokozat- a szám pozitív. Vagyis a negatív számokból még gyököket sem lehet kinyerni!

Ez azt jelenti, hogy ilyen számokra nem lehet emelni tört hatvány páros nevezővel, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

Egy szám más, redukálható törtként is ábrázolható, például vagy.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak kettő különböző bejegyzések ugyanaz a szám.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De ha másképp írjuk fel a mutatót, akkor megint bajba kerülünk: (vagyis egészen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében megfontoljuk csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát ha:

• — természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A racionális kitevők nagyon hasznosak a gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most jön a legnehezebb rész. Most kitaláljuk fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonsága itt pontosan ugyanaz, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, kivéve a kivételt

Hiszen definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel.

Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám;

...számot a nulladik hatványig- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen egy szám;

...negatív egész fokozat- Mintha történt volna valami" fordított folyamat", vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem elosztották.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett mutatójú diplomát, vagyis egy mutató nem páros valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a hatvány hatványra emelésének szokásos szabályával:

Most nézd meg a mutatót. Nem emlékeztet semmire? Emlékezzünk vissza a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

Ebben az esetben

Kiderül, hogy:

Válasz: .

2. A kitevőben lévő törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — fokozatalap;
• - kitevő.

Fok természetes indikátorral (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Fok egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

Építés a nulla fokig:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az negatív egész szám szám:

(mert nem lehet vele osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha, akkor.

Példák:

Hatvány racionális kitevővel

• — természetes szám;
• - egész szám;

Példák:

A fokozatok tulajdonságai

A problémamegoldás megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

Definíció szerint:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban Szükségszerűen ugyanazoknak az okoknak kell lenniük. Ezért kombináljuk a hatásköröket az alappal, de ez különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak a hatványok szorzatára vonatkozik!

Semmi esetre sem írhatsz ilyet.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk rá a fokozat definíciójára:

Csoportosítsuk át ezt a munkát a következőképpen:

Kiderül, hogy a kifejezés önmagával szorozva van, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Lényegében ezt nevezhetjük „a jelző zárójelből való kivételének”. De ezt soha nem teheti meg összesen: !

Emlékezzünk a rövidített szorzóképletekre: hányszor akartuk leírni? De ez végül is nem igaz.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy milyennek kell lennie indikátor fokon. De mi legyen az alap? Hatáskörében természetes indikátor az alap lehet tetszőleges szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, mely jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív? A? ?

Az elsőnél minden világos: akárhány pozitív számot szorozunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Emlékszünk az egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz a mínuszért pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk (-vel), akkor - .

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. A következőket tudjuk megfogalmazni egyszerű szabályok:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. Negatív szám, beépített páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5) példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: végül is nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszünk, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap nullánál kisebb. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és elosztjuk őket egymással, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezéseket:

Megoldások :

Ha figyelmen kívül hagyjuk a nyolcadik hatványt, mit látunk itt? Emlékezzünk a 7. osztály programjára. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Nézzük alaposan a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések sorrendje rossz. Ha megfordítanák, a 3. szabály alkalmazható lenne. De hogyan? Kiderült, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít nekünk.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így alakul:

Varázsütésre a kifejezések helyet változtattak. Ez a „jelenség” minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket könnyen megváltoztathatjuk. De fontos emlékezni: Minden jel egyszerre változik! Nem helyettesítheti azzal, hogy csak egy olyan hátrányt változtat meg, amelyet nem szeretünk!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki és egyszerűsítsük a diploma fogalmát:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány betű van összesen? alkalommal szorzókkal – mire emlékeztet ez? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: Ott csak szorzók voltak. Vagyis ez definíció szerint egy kitevővel rendelkező szám hatványa:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot irracionális kitevővel elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor a fokokat természetes, egész és racionális kitevőkkel tanulmányoztuk, minden alkalommal létrehoztunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy leírást ismerősebb kifejezésekkel. Például egy természetes kitevővel rendelkező fok önmagával többszörösen megszorzott szám; a nulla hatványhoz tartozó szám mintegy önmagával szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív kitevőjével - olyan, mintha valami „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Inkább tiszta matematikai objektum, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjeszthessék.

Egyébként a tudományban gyakran használnak összetett kitevős fokot, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lehetősége lesz megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

1. Emlékezzünk a négyzetek különbségére. Válasz: .
2. A törteket ugyanarra a formára redukáljuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségest. Kapjuk például: .
3. Semmi különös, a fokok szokásos tulajdonságait használjuk:

A SZEKCIÓ ÖSSZEFOGLALÁSA ÉS AZ ALAPKÉPLETEK

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Hatvány racionális kitevővel

fok, amelynek kitevője a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

fok, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

A fokozatok tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Bármilyen mértékben pozitív szám pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST MEGVAN A SZÓ...

Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentbe, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk a diplomatulajdonságok használatával kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete