Mi van a pi-ben? A Pi egy normális szám? Pi istenien hangzik

SZÁM p – a kör kerületének és átmérőjének aránya állandó érték, és nem függ a kör méretétől. Az ezt a kapcsolatot kifejező számot általában a görög 241 betűvel jelölik (a „perijereia” szóból - kör, periféria). Ezt a jelölést Leonhard Euler 1736-ban kezdték használni, de először William Jones (1675–1749) használta 1706-ban. Mint minden irracionális számot, ezt is egy végtelen, nem periodikus tizedes tört képviseli:

p= 3,141592653589793238462643... A körökkel és kerek testekkel kapcsolatos gyakorlati számítások igénye már az ókorban is arra késztetett bennünket, hogy racionális számokkal 241 közelítést keressünk. Az ókori Mezopotámia ékírásos tábláiban található információ arról, hogy a kör pontosan háromszor hosszabb az átmérőnél. Ugyanaz a számérték p a Biblia szövegében is szerepel: „És csinált egy tengert rézből, egyik végétől a másikig tíz sing hosszú, teljesen kerek, öt sing magas, és harminc singnyi zsinór vette körül” (1Királyok 7:23). ). Az ókori kínaiak is ezt hitték. De már Kr.e. 2 ezerben. az ókori egyiptomiak pontosabb értéket használtak a 241-es számhoz, amelyet a kör átmérőjének képletéből kapnak d:

Ez a szabály a Rhind papirusz 50. feladatából a 4(8/9) 2 » 3.1605 értéknek felel meg. Az 1858-ban talált Rhindi papirusz első tulajdonosáról kapta a nevét, Ahmesz írnok másolta le Kr.e. 1650 körül, az eredeti szerzője ismeretlen, csak annyit sikerült megállapítani, hogy a szöveg az 1650-es évek második felében keletkezett. 19. század. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. Bár a szövegkörnyezetből nem derül ki, hogy az egyiptomiak hogyan fogadták a képletet. Az úgynevezett moszkvai papiruszban, amelyet egy diák másolt le Kr.e. 1800 és 1600 között. egy régebbi szövegből, Kr.e. 1900 körül, van egy másik érdekes probléma a "4½ lyukú" kosár felületének kiszámításával kapcsolatban. Nem tudni, milyen alakú volt a kosár, de ebben minden kutató egyetért a számmal p ugyanazt a közelítő értéket 4(8/9) 2 veszik.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan jutottak az ókori tudósok erre vagy arra az eredményre, meg kell próbálnia megoldani a problémát csak az akkori tudás és számítási technikák segítségével. Pontosan ezt teszik az ókori szövegek kutatói, de a megoldások, amelyeket sikerül megtalálniuk, nem feltétlenül „ugyanazok”. Nagyon gyakran több megoldási lehetőséget kínálnak egy-egy problémára, mindenki kedvére válogathat, de senki sem állíthatja, hogy ez volt az ókorban alkalmazott megoldás. A kör területét illetően hihetőnek tűnik A. E. Raik, számos matematikatörténeti könyv szerzőjének hipotézise: a kör területe az átmérő dösszehasonlítjuk a körülötte leírt négyzet területével, amelyből sorra eltávolítjuk az oldalakkal és a kis négyzeteket (1. ábra). A mi jelölésünkben a számítások így fognak kinézni: első közelítéssel egy kör területe S egyenlő a négyzet területe és oldala közötti különbséggel dés négy kis négyzet teljes területe A az oldalával d:

Ezt a hipotézist hasonló számítások támasztják alá a moszkvai papirusz egyik problémájában, ahol számolni javasolt

6. századtól IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. a matematika gyorsan fejlődött az ókori Görögországban. Az ókori görög geométerek szigorúan bebizonyították, hogy a kör kerülete arányos az átmérőjével. l = 2p R; R- a kör sugara, l – hossza), és a kör területe egyenlő a kerület és a sugár szorzatának felével:

S = ½ l R = p R 2 .

Ezeket a bizonyítékokat Cnidus Eudoxusának és Arkhimédésznek tulajdonítják.

3. században. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. Arkhimédész esszéjében A kör méréséről kiszámította a körbe írt és körülötte körülírt szabályos sokszögek kerületét (2. ábra) - 6-tól 96-ig. Így megállapította, hogy a szám p 3 10/71 és 3 1/7 között van, azaz. 3.14084< p < 3,14285. Последнее значение до сих пор используется при расчетах, не требующих особой точности. Более точное приближение 3 17/120 (p A "3.14166"-ot a híres csillagász, a trigonometria megalkotója, Claudius Ptolemaiosz (2. század) találta meg, de nem került használatba.

Az indiaiak és az arabok ezt hitték p= . Ezt a jelentést Brahmagupta (598 - kb. 660) indiai matematikus is megadja. Kínában a tudósok a 3. században. 3 7/50-es értéket használt, ami rosszabb az arkhimédeszi közelítésnél, de az 5. század második felében. -ért kapott Zu Chun Zhi (430 körül – 501 körül). p közelítés 355/113 ( p"3,1415927). Az európaiak számára ismeretlen maradt, és Adrian Antonis holland matematikus csak 1585-ben fedezte fel újra. Ez a közelítés csak a hetedik tizedesjegy hibáját eredményezi.

Pontosabb közelítés keresése p a jövőben is folytatódott. Például al-Kashi (15. század első fele) in Értekezés a körről(1427) 17 tizedesjegyet számolt p. Európában ugyanezt a jelentést találták 1597-ben. Ehhez ki kellett számítania egy szabályos 800 335 168-gon oldalát. Ludolf Van Zeijlen (1540–1610) holland tudós 32 helyes tizedesjegyet talált rá (1615-ben posztumusz publikálva), ezt a közelítést Ludolf-számnak nevezték.

Szám p nem csak geometriai feladatok megoldásánál jelenik meg. F. Vieta (1540–1603) kora óta az egyes egyszerű törvények szerint összeállított számtani sorozatok határainak keresése ugyanennyire vezetett. p. Ebben a tekintetben a szám meghatározásakor p Szinte minden híres matematikus részt vett: F. Viet, H. Huygens, J. Wallis, G. W. Leibniz, L. Euler. Különféle kifejezéseket kaptak 241-re végtelen szorzat, sorozat összege, végtelen tört formájában.

Például 1593-ban F. Viet (1540–1603) levezette a képletet

1658-ban az angol William Brounker (1620–1684) megtalálta a szám ábrázolását. p végtelen folyamatos törtként

azt azonban nem tudni, hogyan jutott erre az eredményre.

1665-ben John Wallis (1616–1703) bebizonyította

Ez a képlet az ő nevét viseli. Kevés haszna van a 241 szám gyakorlati meghatározásának, de hasznos a különféle elméleti vitákban. A végtelen művek egyik első példájaként vonult be a tudomány történetébe.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) a következő képletet állította fel 1673-ban:

számot kifejezve p/4 a sorozat összegeként. Ez a sorozat azonban nagyon lassan konvergál. Számolni p tíz számjegy pontossággal, szükség lenne, ahogy Isaac Newton kimutatta, meg kell találni 5 milliárd szám összegét, és körülbelül ezer év folyamatos munkát kell erre fordítani.

John Machin (1680–1751) londoni matematikus 1706-ban a képlet alkalmazásával

megkapta a kifejezést

amelyet még mindig az egyik legjobbnak tartanak közelítő számításokhoz p. Csupán néhány óra manuális számlálás szükséges ugyanazon tíz pontos tizedesjegy megtalálásához. John Machin maga számította ki p 100 helyes jellel.

Ugyanezt a sorozatot használja az arctg-hez xés képletek

számérték p számítógépen százezer tizedesjegy pontossággal kaptuk. Ez a fajta számítás a véletlenszerű és pszeudovéletlen számok fogalmával kapcsolatban érdekes. Egy meghatározott számú karakterből álló rendezett gyűjtemény statisztikai feldolgozása p megmutatja, hogy egy véletlen sorozat számos jellemzőjével rendelkezik.

Van néhány szórakoztató módszer a számok megjegyezésére p pontosabb, mint a 3.14. Például, miután megtanulta a következő négysort, könnyen megnevezhet hét tizedesjegyet p:

Csak meg kell próbálni

És emlékezz mindenre úgy, ahogy van:

Három, tizennégy, tizenöt,

Kilencvenkettő és hat.

(S. Bobrov Mágikus kétszarvú)

A következő kifejezések egyes szavában lévő betűk számának megszámlálása is megadja a szám értékét p:

– Mit tudok én a körökről? ( p"3,1416). Ezt a mondást Ya.I Perelman javasolta.

– Szóval ismerem a Pi nevű számot. - Szép munka!" ( p"3,1415927).

„Tanuld meg és ismerd meg a szám mögött álló számot, hogyan vegyük észre a szerencsét” ( p"3,14159265359).

Az egyik moszkvai iskola tanára ezzel a mondattal állt elő: „Tudom, és tökéletesen emlékszem rá”, tanítványa pedig vicces folytatást komponált: „És sok jel felesleges számomra, hiába.” Ez a páros 12 számjegy definiálását teszi lehetővé.

Így néz ki a 101-es szám p nincs kerekítés

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Napjainkban a számítógép segítségével a szám jelentése p több millió helyes számjegyből számítják ki, de ilyen pontosságra nincs szükség egyetlen számításnál sem. De a szám analitikus meghatározásának lehetősége ,

Az utolsó képletben a számláló minden prímszámot tartalmaz, és a nevezők eggyel eltérnek tőlük, és a nevező nagyobb, mint a számláló, ha alakja 4 n+ 1, és egyébként kevesebb.

Bár a 16. század vége óta, i.e. Amióta a racionális és az irracionális számok fogalma kialakult, sok tudós meg volt róla győződve p- irracionális szám, de ezt csak 1766-ban Johann Heinrich Lambert (1728–1777) német matematikus az exponenciális és trigonometrikus függvények Euler által felfedezett kapcsolata alapján szigorúan bebizonyította. Szám p nem ábrázolható egyszerű törtként, függetlenül attól, hogy mekkora a számláló és a nevező.

1882-ben a müncheni egyetem professzora, Carl Louise Ferdinand Lindemann (1852–1939), C. Hermite francia matematikus eredményeit felhasználva bebizonyította, hogy p– transzcendentális szám, azaz. ez nem a gyöke egyetlen algebrai egyenletnek sem a n x n + a n– 1 xn- 1 + … + a 1 x+a 0 = 0 egész együtthatókkal. Ez a bizonyíték véget vetett a kör négyzetre emelésének ősi matematikai problémájának történetének. Ez a probléma évezredeken keresztül dacolt a matematikusok erőfeszítéseivel, a „kör négyzetre emelése” kifejezés egy megoldhatatlan probléma szinonimájává vált. És kiderült, hogy a lényeg a szám transzcendentális természete p.

E felfedezés emlékére Lindemann mellszobrát állították fel a müncheni egyetem matematikai előadóterme előtti teremben. A neve alatti talapzaton van egy kör, amelyet egy egyenlő területű négyzet metsz, amelybe bele van írva a betű p.

Marina Fedosova

Mivel egyenlő a Pi? ismerjük és emlékszünk az iskolából. Egyenlő: 3,1415926 és így tovább... Egy hétköznapi embernek elég tudnia, hogy ezt a számot úgy kapjuk meg, hogy egy kör kerületét elosztjuk az átmérőjével. De sokan tudják, hogy a Pi szám nem csak a matematika és a geometria váratlan területein jelenik meg, hanem a fizikában is. Nos, ha belemélyedsz ennek a számnak a természetének részleteibe, sok meglepő dolgot fogsz észrevenni a végtelen számsorok között. Lehetséges, hogy Pi az univerzum legmélyebb titkait rejti?

Végtelen szám

Maga a Pi szám a mi világunkban egy olyan kör hosszaként jelenik meg, amelynek átmérője eggyel egyenlő. De annak ellenére, hogy a Pi-vel egyenlő szegmens meglehetősen véges, a Pi szám 3,1415926-tal kezdődik, és a végtelenségig tart olyan számsorokban, amelyek soha nem ismétlődnek. Az első meglepő tény az, hogy ez a geometriában használt szám nem fejezhető ki az egész számok törtrészeként. Más szóval, nem írhatja fel két a/b szám arányaként. Ráadásul a Pi szám transzcendentális. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan egész együtthatós egyenlet (polinom), amelynek megoldása a Pi szám lenne.

Azt a tényt, hogy a Pi szám transzcendentális, von Lindemann német matematikus bizonyította 1882-ben. Ez a bizonyíték lett a válasz arra a kérdésre, hogy lehet-e körzővel és vonalzóval olyan négyzetet rajzolni, amelynek területe megegyezik egy adott kör területével. Ezt a problémát egy kör négyzetesítésének kereséseként ismerik, ami ősidők óta aggasztja az emberiséget. Úgy tűnt, hogy ennek a problémának egyszerű megoldása van, és hamarosan meg fog oldódni. De éppen a Pi szám érthetetlen tulajdonsága mutatta meg, hogy nincs megoldás a kör négyzetre emelésének problémájára.

Az emberiség legalább négy és fél évezrede óta próbál egyre pontosabb Pi értéket szerezni. Például a Bibliában a Királyok Harmadik Könyvében (7:23) a Pi számot 3-nak veszik.

A figyelemre méltó pontosságú Pi értéke a gízai piramisokban található: a piramisok kerületének és magasságának aránya 22/7. Ez a tört Pi megközelítőleg 3,142-vel egyenlő értékét adja... Kivéve persze, ha az egyiptomiak véletlenül beállították ezt az arányt. Ugyanezt az értéket már a nagy Arkhimédész Kr.e. 3. századi Pi számának kiszámításakor is megkapta.

Az Ahmesz papiruszában, egy ókori egyiptomi matematikai tankönyvben, amely Kr.e. 1650-ből származik, a Pi értéke 3,160493827.

A Kr.e. 9. század körüli ősi indiai szövegekben a legpontosabb értéket a 339/108-as szám fejezte ki, amely 3,1388-nak felelt meg...

Arkhimédész után közel kétezer évig az emberek megpróbálták megtalálni a Pi kiszámításának módját. Voltak köztük híres és ismeretlen matematikusok is. Például Marcus Vitruvius Pollio római építész, Claudius Ptolemaiosz egyiptomi csillagász, Liu Hui kínai matematikus, Arjabhata indiai bölcs, Pisa középkori matematikusa, Fibonacci, Al-Khwarizmi arab tudós, akinek a nevéből származik a szó. „algoritmus” jelent meg. Mindannyian és sokan mások is a legpontosabb Pi-számítási módszereket keresték, de a 15. századig a számítások bonyolultsága miatt soha nem kaptak 10 tizedesjegynél többet.

Végül 1400-ban Madhava indiai matematikus Sangamagramból 13 számjegy pontossággal számította ki a Pi-t (bár az utolsó kettőben még mindig tévedett).

A jelek száma

A 17. században Leibniz és Newton felfedezte az infinitezimális mennyiségek elemzését, amely lehetővé tette a Pi progresszívebb kiszámítását - hatványsorok és integrálok segítségével. Maga Newton 16 tizedesjegyet számolt, de ezt nem említette könyveiben – ez halála után vált ismertté. Newton azt állította, hogy pusztán unalomból számította ki a Pi-t.

Ugyanebben az időben más kevésbé ismert matematikusok is megjelentek, és új képleteket javasoltak a Pi szám trigonometrikus függvényekkel történő kiszámítására.

Például ezt a képletet használta John Machin csillagásztanár 1706-ban a Pi kiszámításához: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Analitikai módszerekkel Machin ebből a képletből származtatta a Pi számot száz tizedesjegyig.

Egyébként ugyanebben 1706-ban a Pi szám hivatalos megjelölést kapott görög betű formájában: William Jones matematikai munkájában használta, a görög „periféria” szó első betűjét véve, ami „kört” jelent. .” Az 1707-ben született nagyszerű Leonhard Euler népszerűsítette ezt az elnevezést, amelyet ma már minden iskolás ismer.

A számítógépek korszaka előtt a matematikusok azon dolgoztak, hogy a lehető legtöbb előjelet kiszámítsák. Ezzel kapcsolatban néha vicces dolgok merültek fel. W. Shanks amatőr matematikus 1875-ben kiszámította a Pi 707 számjegyét. Ezt a hétszáz jelet 1937-ben örökítették meg a párizsi Palais des Discoverys falán. Kilenc évvel később azonban figyelmes matematikusok felfedezték, hogy csak az első 527 karaktert számolták ki helyesen. A múzeumnak jelentős kiadásokat kellett vállalnia a hiba kijavításához – most már minden adat helyes.

Amikor megjelentek a számítógépek, a Pi számjegyeinek számát teljesen elképzelhetetlen sorrendben kezdték számolni.

Az egyik első elektronikus számítógép, az 1946-ban megalkotott ENIAC, óriási méretű volt, és akkora hőt termelt, hogy a szoba 50 Celsius-fokra melegedett fel, kiszámolta a Pi első 2037 számjegyét. Ez a számítás 70 órát vett igénybe a gépnek.

Ahogy a számítógépek fejlődtek, a Pi-ről szerzett ismereteink egyre inkább a végtelenbe kerültek. 1958-ban 10 ezer számjegyet számoltak ki a számból. 1987-ben a japánok 10 013 395 karaktert számoltak ki. 2011-ben Shigeru Hondo japán kutató túllépte a 10 billió karakteres határt.

Hol találkozhatsz még Pi-vel?

Így a Pi számról szerzett ismereteink gyakran iskolai szinten maradnak, és biztosan tudjuk, hogy ez a szám elsősorban a geometriában pótolhatatlan.

A kör hosszára és területére vonatkozó képletek mellett a Pi számot használják az ellipszisek, gömbök, kúpok, hengerek, ellipszoidok stb. képleteiben: egyes helyeken a képletek egyszerűek és könnyen megjegyezhetőek, de másokban nagyon összetett integrálokat tartalmaznak.

Ekkor matematikai képletekben találkozhatunk a Pi számmal, ahol első pillantásra nem látszik a geometria. Például az 1/(1-x^2) határozatlan integrálja egyenlő Pi-vel.

A Pi-t gyakran használják sorozatanalízisben. Például itt van egy egyszerű sorozat, amely a Pi-hez konvergál:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

A sorozatok közül Pi a híres Riemann zéta-függvényben jelenik meg legváratlanul. Lehetetlen erről dióhéjban beszélni, tegyük fel, hogy egyszer a Pi szám segít megtalálni a prímszámok kiszámításának képletét.

És teljesen meglepő: a Pi a matematika két legszebb „királyi” képletében jelenik meg - a Stirling-képletben (amely segít megtalálni a faktoriális és a gamma-függvény hozzávetőleges értékét) és az Euler-képletben (amely akár öt matematikai állandót is összekapcsol).

A legváratlanabb felfedezés azonban a valószínűségszámításban várt a matematikusokra. A Pi szám is ott van.

Például annak a valószínűsége, hogy két szám viszonylag prím lesz, 6/PI^2.

Pi megjelenik Buffon 18. században megfogalmazott tűdobási problémájában: mekkora a valószínűsége annak, hogy egy vonalas papírra dobott tű átmegy valamelyik vonalon. Ha a tű hossza L, és a vonalak távolsága L, és r > L, akkor a 2L/rPI valószínűségi képlet segítségével közelítőleg kiszámíthatjuk a Pi értékét. Képzeld csak el – véletlenszerű eseményekből is megkaphatjuk a Pi-t. És mellesleg a Pi jelen van a normál valószínűségi eloszlásban, megjelenik a híres Gauss-görbe egyenletében. Ez azt jelenti, hogy a Pi még alapvetőbb, mint a kerület és az átmérő aránya?

Pi-vel a fizikában is találkozhatunk. A Pi megjelenik a két töltés közötti kölcsönhatás erejét leíró Coulomb-törvényben, Kepler harmadik törvényében, amely egy bolygó Nap körüli forgási periódusát mutatja, sőt, megjelenik a hidrogénatom elektronpályáinak elrendezésében is. És ami ismét a leghihetetlenebb, az az, hogy a Pi szám a Heisenberg-féle bizonytalansági elv képletében van elrejtve – a kvantumfizika alaptörvényében.

Pi titkai

Carl Sagan Kapcsolat című regényében, amelyen az azonos című film alapul, idegenek azt mondják a hősnőnek, hogy Pi jelei között van egy titkos üzenet Istentől. Egy bizonyos pozíciótól kezdve a számban szereplő számok megszűnnek véletlenszerűek lenni, és olyan kódot képviselnek, amelyben az Univerzum összes titka meg van írva.

Ez a regény valójában egy olyan rejtélyt tükröz, amely a világ minden táján foglalkoztatta a matematikusokat: vajon a Pi egy normális szám, amelyben a számjegyek egyenlő gyakorisággal vannak szórva, vagy valami nincs rendben ezzel a számmal? És bár a tudósok hajlanak az első lehetőségre (de nem tudják bizonyítani), a Pi szám nagyon titokzatosnak tűnik. Egy japán ember egyszer kiszámolta, hogy a 0-tól 9-ig tartó számok hányszor fordulnak elő a Pi első trillió számjegyében. És láttam, hogy a 2-es, 4-es és 8-as számok gyakoribbak, mint a többi. Ez lehet az egyik utalás arra, hogy a Pi nem teljesen normális, és a benne lévő számok valóban nem véletlenszerűek.

Emlékezzünk mindarra, amit fentebb olvastunk, és kérdezzük meg magunktól, milyen más irracionális és transzcendentális szám található oly gyakran a való világban?

És vannak még furcsaságok is. Például a Pi első húsz számjegyének összege 20, és az első 144 számjegy összege egyenlő a „fenevad számával” 666.

A „Suspect” című amerikai tévésorozat főszereplője, Finch professzor azt mondta a hallgatóknak, hogy a Pi szám végtelensége miatt bármilyen számkombináció megtalálható benne, a születési dátumtól kezdve a bonyolultabb számokig. . Például a 762. pozícióban hat kilences sorozat található. Ezt a pozíciót Feynman-pontnak nevezik a híres fizikus után, aki észrevette ezt az érdekes kombinációt.

Azt is tudjuk, hogy a Pi szám tartalmazza a 0123456789 sorozatot, de a 17 387 594 880. számjegynél található.

Mindez azt jelenti, hogy a Pi szám végtelenjében nemcsak érdekes számkombinációk találhatók, hanem a „Háború és béke” kódolt szövege, a Biblia, sőt, ha van ilyen, az Univerzum fő titka is.

Egyébként a Bibliáról. A matematika híres népszerűsítője, Martin Gardner 1966-ban kijelentette, hogy a Pi milliomodik számjegye (akkor még nem ismert) az 5. Számításait azzal magyarázta, hogy a Biblia angol változatában a 3. sz. könyv, 14. fejezet, 16 vers (3-14-16) a hetedik szó öt betűt tartalmaz. A milliomodik számot nyolc évvel később érték el. Ez volt az ötös szám.

Érdemes ezek után azt állítani, hogy a Pi szám véletlenszerű?

Ma van Pi születésnapja, amelyet amerikai matematikusok kezdeményezésére március 14-én, délután 1 óra 59 perckor ünnepelnek. Ez összefügg a Pi pontosabb értékével: mindannyian megszoktuk, hogy ezt az állandót 3,14-nek tekintjük, de a szám így folytatható: 3, 14159... Ezt egy naptári dátumra fordítva 03.14, 1-et kapunk: 59.

Fotó: AiF/ Nadezhda Uvarova

Vlagyimir Zaljapin, a Dél-uráli Állami Egyetem Matematikai és Funkcionális Analízis Tanszékének professzora szerint július 22-ét továbbra is „Pi-napnak” kell tekinteni, mivel az európai dátumformátumban ezt a napot 22/7-nek írják, és ennek a törtnek az értéke. megközelítőleg egyenlő Pi értékével.

„A kör kerületének és átmérőjének arányát adó szám története ősidőkig nyúlik vissza” – mondja Zalyapin. - Már a sumérok és a babilóniaiak tudták, hogy ez az arány nem függ a kör átmérőjétől, és állandó. A Pi szám egyik első említése megtalálható a szövegekben Ahmesz egyiptomi írnok(Kr. e. 1650 körül). Az ókori görögök, akik sokat kölcsönöztek az egyiptomiaktól, hozzájárultak ennek a titokzatos mennyiségnek a kialakulásához. A legenda szerint Archimedes annyira elragadtatta a számítások, hogy észre sem vette, hogyan foglalták el a római katonák szülővárosát, Siracusát. Amikor a római katona közeledett hozzá, Arkhimédész görögül kiáltott: „Ne érintsd meg a köreimet!” Válaszul a katona megszúrta egy karddal.

Plató elég pontos Pi értéket kapott idejére - 3,146. Ludolf van ZeilenÉlete nagy részét a Pi első 36 tizedesjegyének kiszámításával töltötte, és halála után a sírkövére vésték."

Irracionális és abnormális

A professzor szerint az új tizedesjegyek kiszámítására való törekvést mindenkor az a vágy határozta meg, hogy ennek a számnak a pontos értékét megkapják. Feltételezték, hogy a Pi racionális, ezért egyszerű törtként fejezhető ki. És ez alapvetően rossz!

A Pi szám azért is népszerű, mert misztikus. Ősidők óta létezik az állandót imádók vallása. A Pi hagyományos értéke mellett - egy matematikai állandó (3,1415...), amely a kör kerületének és átmérőjének arányát fejezi ki, a számnak sok más jelentése is van. Érdekesek az ilyen tények. A gízai nagy piramis méreteinek mérése során kiderült, hogy magasságának az alapja kerületéhez viszonyított aránya ugyanolyan, mint a kör sugara a hosszához képest, azaz ½ Pi.

Ha a Föld egyenlítőjének hosszát a Pi segítségével kilencedik tizedesjegyig számítja ki, a számítások hibája csak körülbelül 6 mm lesz. A Pi-ben harminckilenc tizedesjegy elegendő ahhoz, hogy kiszámítsuk az Univerzum ismert kozmikus objektumait körülvevő kör kerületét, legfeljebb egy hidrogénatom sugarával!

A Pi tanulmányozása magában foglalja a matematikai elemzést is. Fotó: AiF/ Nadezhda Uvarova

Káosz a számokban

Egy matematikaprofesszor szerint 1767-ben Lambert megállapította a Pi szám irracionalitását, vagyis azt, hogy lehetetlen két egész szám arányaként ábrázolni. Ez azt jelenti, hogy a Pi tizedesjegyeinek sorozata számokban megtestesült káosz. Más szóval, a tizedesjegyek „farka” bármilyen számot, számsort, bármilyen szöveget tartalmaz, ami volt, van és lesz, de ezt az információt egyszerűen nem lehet kinyerni!

„Lehetetlen megtudni a Pi pontos értékét” – folytatja Vlagyimir Iljics. - De ezek a próbálkozások nincsenek feladva. 1991-ben Csudnovszkijúj 2260000000 tizedesjegyet ért el a konstansból, 1994-ben pedig 4044000000-et. Ezt követően lavinaszerűen nőtt a Pi helyes számjegyeinek száma.”

A kínaiak világrekordot tartanak a Pi memorizálásában Liu Chao, aki 67 890 tizedesjegyet tudott hiba nélkül megjegyezni és 24 óra 4 percen belül reprodukálni.

Az aranymetszésről

Egyébként a „pi” és egy másik elképesztő mennyiség - az aranymetszés - közötti összefüggés valójában soha nem bizonyított. Az emberek már régóta észrevették, hogy az „arany” arány – más néven Phi szám – és a Pi szám kettővel elosztva kevesebb mint 3%-kal tér el egymástól (1,61803398... és 1,57079632...). A matematika esetében azonban ez a három százalék túl jelentős különbség ahhoz, hogy ezeket az értékeket azonosnak tekintsük. Ugyanígy elmondhatjuk, hogy a Pi-szám és a Phi-szám rokona egy másik jól ismert állandónak - az Euler-számnak, mivel ennek gyökere közel van a Pi-szám feléhez. Pi egyik fele 1,5708, Phi 1,6180, E gyöke 1,6487.

Ez csak egy része a Pi értékének. Fotó: Képernyőkép

Pi születésnapja

A Dél-Urali Állami Egyetemen az állandó születésnapját minden tanár és matematikus diák ünnepli. Ez mindig is így volt – nem mondható, hogy az érdeklődés csak az utóbbi években jelent meg. A 3.14-es számot még egy különleges ünnepi koncerttel is köszöntik!

Ha összehasonlítja a különböző méretű köröket, akkor a következőket veszi észre: a különböző körök mérete arányos. Ez azt jelenti, hogy ha egy kör átmérője bizonyos számú alkalommal növekszik, akkor ennek a körnek a hossza is ugyanannyiszor növekszik. Matematikailag ez így írható fel:

C 1		C 2
	=
d 1		d 2	(1)

ahol C1 és C2 két különböző kör hossza, d1 és d2 pedig átmérőjük.
Ez az összefüggés arányossági együttható – a számunkra már ismert π állandó – jelenlétében működik. Az (1) összefüggésből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a C kör hossza egyenlő e kör átmérőjének és a körtől független π arányossági együtthatónak a szorzatával:

C = π d.

Ez a képlet más formában is felírható, kifejezve egy adott kör R sugarán keresztül a d átmérőt:

С = 2π R.

Ez a képlet pontosan a hetedikesek kalauza a körök világába.

Ősidők óta az emberek megpróbálták megállapítani ennek az állandónak az értékét. Például Mezopotámia lakói a következő képlet segítségével számították ki egy kör területét:

Honnan jön a π = 3?

Az ókori Egyiptomban a π értéke pontosabb volt. Kr.e. 2000-1700-ban egy Ahmesz nevű írnok összeállított egy papiruszt, amelyben különféle gyakorlati problémák megoldására találunk recepteket. Tehát például egy kör területének megtalálásához a következő képletet használja:

			8			2
S	=	(		d	)
			9

Milyen okokból jutott el ehhez a képlethez? – Ismeretlen. Valószínűleg azonban az ő megfigyelései alapján, ahogy más ókori filozófusok is tették.

Arkhimédész nyomdokain

A két szám közül melyik nagyobb, mint 22/7 vagy 3,14?
- Egyenrangúak.
- Miért?
- Mindegyik egyenlő π-vel.
A. A. Vlaszov. A vizsgakártyáról.

Vannak, akik úgy vélik, hogy a 22/7 tört és a π szám azonos. De ez tévhit. A fenti helytelen vizsgán (lásd az epigráfot) kívül egy nagyon szórakoztató rejtvényt is hozzáadhat ehhez a csoporthoz. A feladat így hangzik: „rendezzünk egy mérkőzést úgy, hogy az egyenlőség igaz legyen.”

A megoldás a következő lenne: a bal oldali két függőleges gyufához „tetőt” kell képezni, a jobb oldali nevezőben található függőleges gyufák egyikét használva. A π betű vizuális képét kapja.

Sokan tudják, hogy a π = 22/7 közelítést az ókori görög matematikus, Arkhimédész határozta meg. Ennek tiszteletére ezt a közelítést gyakran „archimedesi” számnak nevezik. Archimédésznek nemcsak közelítő értékét sikerült megállapítania π-re, hanem megtalálta ennek a közelítésnek a pontosságát is, nevezetesen, hogy találjon egy szűk numerikus intervallumot, amelyhez a π érték tartozik. Arkhimédész egyik művében az egyenlőtlenségek láncolatát bizonyítja, amely modern módon így nézne ki:

	10		6336					14688				1
3		<			<	π	<			<	3
	71			1					1			7
			2017					4673
				4					2

egyszerűbben is leírható: 3 140 909< π < 3,1 428 265...

Amint az egyenlőtlenségekből láthatjuk, Arkhimédész egészen 0,002-es pontossággal talált egy meglehetősen pontos értéket. A legmeglepőbb az, hogy az első két tizedesjegyet találta: 3,14... Ezt az értéket használjuk leggyakrabban egyszerű számításoknál.

Gyakorlati használat

Két ember utazik a vonaton:
- Nézd, a sínek egyenesek, a kerekek kerekek.
Honnan jön a kopogás?
- Honnan? A kerekek kerekek, de a terület
kör pi er négyzet, ez a négyzet, ami kopog!

Általában a 6-7. osztályban ismerkednek meg ezzel a csodálatos számmal, de a 8. osztály végére alaposabban tanulmányozzák. A cikknek ebben a részében bemutatjuk azokat az alapvető és legfontosabb képleteket, amelyek hasznosak lesznek a geometriai feladatok megoldásában, de kezdetben megegyezünk abban, hogy a π-t 3,14-nek vesszük a számítás megkönnyítése érdekében.

Talán a leghíresebb képlet az iskolások körében, amely π-t használ, a kör hosszának és területének képlete. Az első, a kör területének képlete a következőképpen van írva:

	π D 2
S=π R 2 =
	4

ahol S a kör területe, R a sugara, D a kör átmérője.

A kör kerületét, vagy ahogy néha nevezik, a kör kerületét a következő képlettel számítjuk ki:

C = 2 π R = π d,

ahol C a kerülete, R a sugara, d a kör átmérője.

Nyilvánvaló, hogy a d átmérő egyenlő két R sugárral.

A kerület képletéből könnyen megtalálhatja a kör sugarát:

ahol D az átmérő, C a kerülete, R a kör sugara.

Ezek olyan alapképletek, amelyeket minden tanulónak tudnia kell. Ezenkívül néha nem a teljes kör területét kell kiszámítani, hanem csak annak egy részét - az ágazatot. Ezért bemutatjuk Önnek - egy képletet a kör szektorának területének kiszámításához. Ez így néz ki:

			α
S	=	π R 2
			360 ˚

ahol S a szektor területe, R a kör sugara, α a középponti szög fokban.

Olyan titokzatos 3.14

Valóban, titokzatos. Mert ezeknek a varázslatos számoknak a tiszteletére ünnepeket szerveznek, filmeket készítenek, nyilvános rendezvényeket tartanak, verseket írnak és még sok mást.

Például 1998-ban bemutatták Darren Aronofsky amerikai rendező „Pi” című filmjét. A film számos díjat kapott.

Minden év március 14-én 1:59:26-kor a matematika iránt érdeklődők a "Pi-napot" ünneplik. Az ünnepre az emberek kerek tortát készítenek, kerek asztalhoz ülnek és megbeszélik a Pi számot, oldanak meg Pi-vel kapcsolatos feladatokat, rejtvényeket.

A költők is felfigyeltek erre a csodálatos számra egy ismeretlen személy ezt írta:
Csak meg kell próbálnia mindent úgy emlékezni, ahogy van – három, tizennégy, tizenöt, kilencvenkettő és hat.

Érezzük jól magunkat!

Érdekes rejtvényeket kínálunk a Pi számmal. Fejtsd ki az alábbiakban titkosított szavakat.

1. π R

2. π L

3. π k

Válaszok: 1. lakoma; 2. Fájl; 3. Nyikorgás.

2017. január 13

***

Mi a közös a Lada Priora kerékben, a jegygyűrűben és a macska csészealjban? Természetesen azt fogod mondani, hogy szépség és stílus, de merek veled vitatkozni. Pi! Ez egy olyan szám, amely egyesít minden kört, kört és gömbölyűséget, amibe különösen beletartozik anyám gyűrűje, apám kedvenc autójának kereke, sőt kedvenc macskám, Murzik csészealja is. Hajlandó vagyok fogadni, hogy a legnépszerűbb fizikai és matematikai állandók rangsorában a Pi kétségtelenül az első helyet foglalja el. De mi van mögötte? Talán néhány szörnyű káromkodás a matematikusoktól? Próbáljuk megérteni ezt a kérdést.

Mi a "Pi" szám, és honnan származik?

Modern számkijelölés π (Pi) Johnson angol matematikusnak köszönhetően jelent meg 1706-ban. Ez a görög szó első betűje περιφέρεια (periféria vagy kör). Azok számára, akik régen tanultak matematikát, és ezen kívül semmiképpen, emlékeztessük arra, hogy a Pi szám a kör kerületének és átmérőjének aránya. Az érték konstans, azaz bármely kör konstans, függetlenül a kör sugarától. Az emberek tudtak erről az ókorban. Így az ókori Egyiptomban a Pi számot a 256/81 aránynak vették, a védikus szövegekben pedig 339/108-nak adják az értéket, míg Arkhimédész a 22/7 arányt javasolta. De sem ezek, sem sok más módja a Pi szám kifejezésének nem adott pontos eredményt.

Kiderült, hogy a Pi szám transzcendentális, és ennek megfelelően irracionális. Ez azt jelenti, hogy nem ábrázolható egyszerű törtként. Ha decimálisan fejezzük ki, akkor a tizedesvessző utáni számsor a végtelenbe rohan, ráadásul anélkül, hogy periodikusan ismételné önmagát. Mit jelent mindez? Nagyon egyszerű. Szeretnéd tudni annak a lánynak a telefonszámát, akit szeretsz? Valószínűleg a Pi tizedespontja utáni számjegysorozatban található.

A telefonszámot itt láthatja ↓

A pi szám 10 000 számjegyig pontos.

π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..

Nem találtad? Akkor nézd meg.

Általában ez nem csak telefonszám lehet, hanem bármilyen számokkal kódolt információ. Például, ha elképzeli Alekszandr Szergejevics Puskin összes munkáját digitális formában, akkor azokat a Pi számban tárolták, még mielőtt megírta volna, még születése előtt. Elvileg még mindig ott tárolják. Amúgy a matematikusok átkai be π jelen vannak, és nem csak matematikusok. Egyszóval a Pi szám mindent tartalmaz, még olyan gondolatokat is, amik holnap, holnapután, egy év múlva, esetleg kettő múlva meglátogatják a fényes fejedet. Ezt nagyon nehéz elhinni, de még ha elképzeljük is, hogy elhisszük, még nehezebb lesz információt szerezni belőle és megfejteni. Szóval, ahelyett, hogy ezekben a számokban elmélyülnénk, talán könnyebb odamenni ahhoz a lányhoz, akit szeretsz, és megkérdezni a számát?.. De azoknak, akik nem keresik a könnyű utakat, vagy egyszerűen csak érdeklik, mi a Pi szám, több módot ajánlok számításokat. Tekintsd egészségesnek.

Mivel egyenlő a Pi? Kiszámítási módszerek:

1. Kísérleti módszer. Ha a Pi szám egy kör kerületének és átmérőjének aránya, akkor az első, talán legkézenfekvőbb módja annak, hogy megtaláljuk titokzatos állandónkat, az lesz, ha manuálisan elvégzünk minden mérést, és kiszámítjuk a Pi számot a π=l képlet segítségével. /d. Ahol l a kör kerülete, d pedig az átmérője. Minden nagyon egyszerű, csak fel kell élesítenie magát egy menettel a kerület meghatározásához, egy vonalzóval az átmérő és valójában magának a szál hosszának meghatározásához, és egy számológéppel, ha problémái vannak a hosszú felosztással. A mérendő minta szerepe lehet egy serpenyő vagy egy üveg uborka, nem számít, a lényeg? hogy a tövében egy kör legyen.

A figyelembe vett számítási módszer a legegyszerűbb, de sajnos két jelentős hátránya van, amelyek befolyásolják a kapott Pi-szám pontosságát. Egyrészt a mérőeszközök hibája (esetünkben egy menetes vonalzó), másrészt semmi garancia nincs arra, hogy az általunk mért kör alakja megfelelő lesz. Ezért nem meglepő, hogy a matematika számos más módszert adott a π kiszámítására, ahol nincs szükség precíz mérésekre.

2. Leibniz sorozat. Számos végtelen sorozat létezik, amelyek lehetővé teszik a Pi pontos kiszámítását nagyszámú tizedesjegyig. Az egyik legegyszerűbb sorozat a Leibniz-sorozat. π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) . ..
Egyszerű: veszünk olyan törteket, amelyeknek a számlálója 4 (ez van felül) és egy szám a páratlan számok sorozatából a nevezőben (ez van lent), sorban összeadjuk és kivonjuk őket, és megkapjuk a Pi számot. . Minél több iteráció vagy ismétlés történik egyszerű műveleteinkkel, annál pontosabb az eredmény. Egyszerű, de nem hatékony, egyébként 500 000 iterációra van szükség ahhoz, hogy a Pi pontos értékét tíz tizedesjegyig megkapjuk. Vagyis a szerencsétlen négyet akár 500 000-szer kell majd osztanunk, és ezen felül még 500 000-szer kell kivonnunk és összeadnunk a kapott eredményeket. Ki akarod próbálni?

3. Nilakanta sorozat. Nincs ideje a Leibniz-sorozattal foglalkozni? Van alternatíva. A Nilakanta sorozat, bár egy kicsit bonyolultabb, lehetővé teszi, hogy gyorsan elérjük a kívánt eredményt. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11) *12) - (4/(12*13*14) ... Azt hiszem, ha alaposan megnézzük a sorozat adott kezdeti részletét, minden világossá válik, és feleslegesek a kommentek. Haladjunk tovább ezzel.

4. Monte Carlo módszer Egy meglehetősen érdekes módszer a Pi kiszámítására a Monte Carlo módszer. Ilyen extravagáns nevet kapott a monacói királyság azonos nevű városának tiszteletére. Ennek pedig a véletlen az oka. Nem, nem véletlenül nevezték el, a módszer egyszerűen véletlen számokon alapul, és mi lehet véletlenszerűbb a Monte Carlo-i kaszinó rulettasztalain megjelenő számoknál? A Pi kiszámítása nem az egyetlen alkalmazása ennek a módszernek az ötvenes években, ezt használták a hidrogénbomba számításainál. De ne tereljük el a figyelmünket.

Vegyünk egy négyzetet, amelynek oldala egyenlő 2r, és írjon be egy sugarú kört r. Most, ha véletlenszerűen pontokat teszel egy négyzetbe, akkor a valószínűség P Az, hogy egy pont körbe esik, a kör és a négyzet területének aránya. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.

Most fejezzük ki a Pi számot innen π=4P. Nem kell mást tenni, mint kísérleti adatokat szerezni, és megtalálni a P valószínűséget a kör találatainak arányaként N kr hogy eltalálja a teret N négyzetméter. Általában a számítási képlet így fog kinézni: π=4N cr / N négyzet.

Szeretném megjegyezni, hogy ennek a módszernek a megvalósításához nem szükséges egy kaszinóba menni, elég bármilyen többé-kevésbé tisztességes programozási nyelvet használni. Nos, a kapott eredmények pontossága a kapott pontok számától függ, minél több, annál pontosabb. Sok sikert kívánok 😉

Tau szám (Következtetés helyett).

Azok, akik távol állnak a matematikától, valószínűleg nem tudják, de előfordul, hogy a Pi számnak van egy testvére, aki kétszer akkora. Ez a Tau(τ) szám, és ha Pi a kerület és az átmérő aránya, akkor Tau ennek a hossznak a sugárhoz viszonyított aránya. És ma néhány matematikus javaslatot tesz arra, hogy hagyják el a Pi számot, és cseréljék le Taura, mivel ez sok szempontból kényelmesebb. De egyelőre ezek csak javaslatok, és ahogy Lev Davidovich Landau mondta: „Az új elmélet akkor kezd dominálni, amikor a régi támogatói kihalnak.”

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete