Program lineáris, másodfokú és törtegyenlőtlenségek nem csak a problémára ad választ, hanem vezet is részletes megoldás magyarázatokkal, pl. megjeleníti a megoldási folyamatot a matematikai és/vagy algebrai ismeretek tesztelésére.

Sőt, ha az egyik egyenlőtlenség megoldása során meg kell oldani pl. másodfokú egyenlet, akkor annak részletes megoldása is megjelenik (spoilert tartalmaz).

Ez a program hasznos lehet a középiskolás diákok számára a felkészülés során tesztek, a szülőknek, hogy nyomon kövessék gyermekeik megoldásait az egyenlőtlenségekre.

Ez a program hasznos lehet középiskolások számára középiskolák tesztekre és vizsgákra való felkészülés során, az Egységes Államvizsga előtti tudásellenőrzéskor, hogy a szülők számos matematikai és algebrai feladat megoldását irányítsák. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni? házi feladat

matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldásokkal is használhatja programjainkat. Így levezényelheti saját és/vagy saját képzését. fiatalabb testvérek

vagy nővérek, miközben a megoldandó problémák terén növekszik az iskolai végzettség.

Az egyenlőtlenségek beírásának szabályai
Bármely latin betű működhet változóként.

Például: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) stb.
A számok egész vagy tört számként is megadhatók. Ráadásul, törtszámok

nem csak tizedesként, hanem közönséges törtként is beírható.
A tizedes törtek bevitelének szabályai. Tizedesjegyben törtrész
ponttal vagy vesszővel elválasztható az egésztől. Például beléphet tizedesjegyek

így: 2,5x - 3,5x^2
A közönséges törtek bevitelének szabályai.

Csak egy egész szám lehet tört számlálója, nevezője és egész része.

A nevező nem lehet negatív. Belépéskor numerikus tört /
A számlálót osztásjel választja el a nevezőtől: Egész rész &
a törttől és jellel elválasztva:
Bemenet: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2

Eredmény: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Kifejezések beírásakor használhat zárójelet. Ebben az esetben az egyenlőtlenségek megoldásánál először a kifejezések egyszerűsödnek. Például:

5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3) Válassza ki a megfelelő jel

egyenlőtlenségeket, és írja be a polinomokat az alábbi mezőkbe.

Kattintson a gombra az első egyenlőtlenség típusának megváltoztatásához.

> >= < <=

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!

Kiderült, hogy a probléma megoldásához szükséges néhány szkript nem lett betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehetséges, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.

A JavaScript le van tiltva a böngészőjében.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.

Mert Nagyon sokan vannak, akik hajlandóak megoldani a problémát, kérései sorba kerültek.
Néhány másodperc múlva megjelenik a megoldás lent.
Kérjük, várjon mp...

Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el, mit írja be a mezőkbe.

Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:

Egy kis elmélet.

Egyenlőtlenségrendszerek egy ismeretlennel. Numerikus intervallumok

7. osztályban ismerkedtél meg a rendszer fogalmával, és megtanultad megoldani a két ismeretlenes lineáris egyenletrendszert. Ezután megvizsgáljuk a lineáris egyenlőtlenségek rendszereit egy ismeretlennel. Intervallumok (intervallumok, félintervallumok, szakaszok, sugarak) felhasználásával egyenlőtlenségi rendszerek megoldáshalmazai írhatók fel. Megismerheti a számintervallumok jelölését is.

Ha a \(4x > 2000\) és \(5x \leq 4000\) egyenlőtlenségekben ismeretlen szám x azonosak, akkor ezeket az egyenlőtlenségeket együtt tekintjük, és azt mondjuk, hogy egyenlőtlenségrendszert alkotnak: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \jobbra .$$

A göndör zárójel azt mutatja, hogy meg kell találnia x olyan értékeit, amelyekre a rendszer mindkét egyenlőtlensége helyes numerikus egyenlőtlenséggé alakul. Ez a rendszer- egy példa egy ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlőtlenség rendszerére.

Az egy ismeretlennel rendelkező egyenlőtlenségrendszer megoldása az ismeretlennek az az értéke, amelynél a rendszer összes egyenlőtlensége valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik. Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása azt jelenti, hogy minden megoldást megtalálunk erre a rendszerre, vagy megállapítjuk, hogy nincs ilyen.

Az \(x \geq -2 \) és \(x \leq 3 \) egyenlőtlenségek a következő formában írhatók fel kettős egyenlőtlenség: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Az egy ismeretlennel való egyenlőtlenségrendszerek megoldásai különbözőek számkészletek. Ezeknek a készleteknek neve van. Igen, bekapcsolva számtengely az x számok halmaza úgy, hogy a \(-2 \leq x \leq 3 \) egy szakaszt ábrázol, amelynek vége a -2 és 3 pontban van.

-2

3

Ha \(a egy szegmens, és [a; b]

Ha \(a egy intervallum, és jelölése (a; b)

A \(x\) számhalmazok, amelyek kielégítik az \(a \leq x egyenlőtlenségeket, félintervallumok, és jelölésük [a; b) és (a; b])

Szegmenseket, intervallumokat, félintervallumokat és sugarakat nevezünk numerikus intervallumok.

Így, numerikus intervallumok egyenlőtlenségek formájában adható meg.

A két ismeretlennel rendelkező egyenlőtlenség megoldása egy számpár (x; y), amely az adott egyenlőtlenséget igazzá változtatja numerikus egyenlőtlenség. Egy egyenlőtlenség megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldás halmazát. Így az x > y egyenlőtlenség megoldásai például (5; 3), (-1; -1) számpárok lesznek, mivel \(5 \geq 3 \) és \(-1 \geq - 1\)

Egyenlőtlenségi rendszerek megoldása

Dönt lineáris egyenlőtlenségek egy ismeretlennel, amit már megtanultál. Tudod, mi az egyenlőtlenségek rendszere és a rendszer megoldása? Ezért az egyenlőtlenségrendszerek egy ismeretlennel való megoldásának folyamata nem okoz nehézséget.

És mégis, emlékeztessünk: egy egyenlőtlenségrendszer megoldásához minden egyenlőtlenséget külön kell megoldani, majd meg kell találni a megoldások metszéspontját.

Például az eredeti egyenlőtlenségrendszert a következőre redukáltuk:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Ennek az egyenlőtlenségrendszernek a megoldásához jelölje meg az egyes egyenlőtlenségek megoldását a számegyenesen, és keresse meg a metszéspontjukat:

-2

3

A metszéspont a [-2; 3] - ez a megoldás az eredeti egyenlőtlenségrendszerre.

Óra és előadás a témában: "Egyenlőtlenségek rendszerei. Megoldási példák"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, véleményeiket, kívánságaikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrizte.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az Integral webáruházban 9. osztályosoknak
Interaktív tankönyv 9. osztály számára "Szabályok és gyakorlatok a geometriában"
„Érthető geometria” elektronikus tankönyv 7-9

Egyenlőtlenségek rendszere

Srácok, tanultatok-e lineáris és másodfokú egyenlőtlenségek, megtanult problémákat megoldani ezekben a témákban. Most térjünk át egy új matematikai fogalomra - az egyenlőtlenségek rendszerére. Az egyenlőtlenségrendszer hasonló az egyenletrendszerhez. Emlékszel egyenletrendszerekre? Hetedik osztályban egyenletrendszereket tanultál, próbálj meg emlékezni, hogyan oldottad meg őket.

Vezessük be az egyenlőtlenségrendszer definícióját.
Több egyenlőtlenség valamilyen x változóval egyenlőtlenség-rendszert alkot, ha meg kell találni x összes olyan értékét, amelyre minden egyenlőtlenség igaz. numerikus kifejezés.

Az x bármely olyan értéke, amelyre az egyes egyenlőtlenségek a megfelelő numerikus kifejezést veszik, az egyenlőtlenség megoldása. Privát megoldásnak is nevezhető.
Mi az a privát megoldás? Például a válaszban az x>7 kifejezést kaptuk. Ekkor x=8 vagy x=123, vagy bármely más, hétnél nagyobb szám egy adott megoldás, és az x>7 kifejezés általános megoldás. Az általános megoldást sok privát megoldás alkotja.

Hogyan kombináltuk az egyenletrendszert? Így van, göndör zárójel, és így csinálják ugyanezt az egyenlőtlenségekkel. Nézzünk egy példát egy egyenlőtlenségrendszerre: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Ha az egyenlőtlenségek rendszere abból áll azonos kifejezések, például $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Mit jelent tehát: megoldást találni az egyenlőtlenségek rendszerére?
Egy egyenlőtlenség megoldása egy egyenlőtlenség részmegoldásának halmaza, amely egyszerre kielégíti a rendszer mindkét egyenlőtlenségét.

Az egyenlőtlenségrendszer általános alakját a következőképpen írjuk fel: $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Jelöljük $Х_1$-t az f(x)>0 egyenlőtlenség általános megoldásaként.
$X_2$ a g(x)>0 egyenlőtlenség általános megoldása.
$X_1$ és $X_2$ konkrét megoldások halmaza.
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a $X_1$ és a $X_2$ számokhoz tartozó számok lesznek.
Emlékezzünk a halmazokon végzett műveletekre. Hogyan találjuk meg egy halmaz olyan elemeit, amelyek egyszerre mindkét halmazhoz tartoznak? Így van, erre van egy kereszteződési művelet. Tehát egyenlőtlenségünk megoldása a $A= X_1∩ X_2$ halmaz lesz.

Példák az egyenlőtlenségi rendszerek megoldására

Nézzünk példákat az egyenlőtlenségi rendszerek megoldására.

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!
a) $\begin(esetek)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(esetek)2x-4≤6\\-x-4
Megoldás.
a) Oldja meg az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön!
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
5x-10 dollár
Jelöljük az intervallumainkat egy koordináta egyenesen.

A rendszer megoldása az intervallumaink metszéspontja lesz. Az egyenlőtlenség szigorú, akkor a szegmens nyitott lesz.
Válasz: (1;3).

B) Az egyes egyenlőtlenségeket külön is megoldjuk.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $.


A rendszer megoldása az intervallumaink metszéspontja lesz. A második egyenlőtlenség szigorú, ekkor a szegmens a bal oldalon nyitott lesz.
Válasz: (-5; 5].

Foglaljuk össze a tanultakat.
Tegyük fel, hogy meg kell oldani az egyenlőtlenségrendszert: $\begin(esetek)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(esetek)$.
Ekkor az intervallum ($x_1; x_2$) az első egyenlőtlenség megoldása.
Intervallum ($y_1; y_2$) a megoldás a második egyenlőtlenségre.
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása az egyes egyenlőtlenségek megoldásainak metszéspontja.

Az egyenlőtlenségrendszerek nemcsak elsőrendű egyenlőtlenségekből állhatnak, hanem bármilyen más típusú egyenlőtlenségből is.

Az egyenlőtlenségi rendszerek megoldásának fontos szabályai.
Ha a rendszer egyik egyenlőtlenségének nincs megoldása, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Ha az egyik egyenlőtlenség a változó bármely értékére teljesül, akkor a rendszer megoldása a másik egyenlőtlenség megoldása lesz.

Példák.
Oldja meg az egyenlőtlenségrendszert:$\begin(esetek)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(esetek)$
Megoldás.
Oldjuk meg az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Oldjuk meg a második egyenlőtlenséget.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0 $.

Az egyenlőtlenség megoldása az intervallum.
Rajzoljuk mindkét intervallumot ugyanarra az egyenesre, és keressük meg a metszéspontot.
Az intervallumok metszéspontja a (4; 6] szakasz).
Válasz: (4;6].

Oldja meg az egyenlőtlenségek rendszerét!
a) $\begin(esetek)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(esetek)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(esetek )$.

Megoldás.
a) Az első egyenlőtlenségnek van x>1 megoldása.
Keressük meg a második egyenlőtlenség diszkriminánsát.
$D=16-4*2*4=-16$. $D Emlékezzünk a szabályra: ha az egyik egyenlőtlenségnek nincs megoldása, akkor az egész rendszernek nincs megoldása.
Válasz: Nincsenek megoldások.

B) Az első egyenlőtlenségnek van x>1 megoldása.
Második egyenlőtlenség nagyobb nullánál minden x-re. Ekkor a rendszer megoldása egybeesik az első egyenlőtlenség megoldásával.
Válasz: x>1.

Egyenlőtlenségi rendszerek problémái független megoldáshoz

Egyenlőtlenségrendszerek megoldása:
a) $\begin(esetek)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(esetek)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(esetek)x^2-25 d) $\begin(esetek)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(esetek)$
e) $\begin(esetek)x^2+36

Ebben a cikkben az előfizetőim egy másik kérdésére válaszolok. A kérdések különböző módon jönnek. Nem mindegyik van helyesen megfogalmazva. Némelyik pedig úgy van megfogalmazva, hogy nem derül ki azonnal, mit akar kérdezni a szerző. Ezért között hatalmas változatosság A kérdések küldésekor igazán érdekeseket kell kiválasztanom, ilyen „gyöngyszemeket”, amelyek megválaszolása nem csak izgalmas, de, ahogy nekem úgy tűnik, hasznos is a többi olvasóm számára. És ma válaszolok egy ilyen kérdésre. Hogyan ábrázoljuk az egyenlőtlenségek rendszerének megoldási halmazát?


Ez tényleg jó kérdés. Mert a módszer grafikus megoldás matematikai problémák nagyon erőteljes módszer. Az embert úgy tervezték meg, hogy kényelmesebb legyen számára az információkat különféle módon érzékelni vizuális anyagok. Ezért, ha elsajátítja ezt a módszert, akkor hidd el, nélkülözhetetlen lesz az Ön számára mind az egységes államvizsga feladatok megoldása során, különösen a második részből, más vizsgákból, mind az optimalizálási feladatok megoldásánál, és így tovább. .

Szóval itt van. Hogyan válaszolhatunk erre a kérdésre? Kezdjük egyszerűen. Az egyenlőtlenségek rendszere csak egy változót tartalmazzon.

1. példa Rajzolja meg az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásait: Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Egyszerűsítsük ezt a rendszert. Ehhez adjunk 7-et az első egyenlőtlenség mindkét oldalához, és osszuk el mindkét oldalt 2-vel anélkül, hogy megváltoztatnánk az egyenlőtlenség előjelét, mivel a 2 pozitív szám. A második egyenlőtlenség mindkét oldalához 4-et adunk a következő rendszert egyenlőtlenségek:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Általában egy ilyen problémát egydimenziósnak neveznek. Miért? Igen, mert ahhoz, hogy sok megoldását ábrázolja, kellően közvetlen. Egy számsor, hogy pontos legyek. Jelöljük ezen a számegyenesen a 6. és 8. pontot. Nyilvánvaló, hogy a 8-as pont jobbra lesz, mint a 6-os, mert a számegyenesen a nagyobb számok jobbra vannak a kisebbektől. Ezen kívül a 8. pont árnyékolásra kerül, mivel az első egyenlőtlenség jelölése szerint ez benne van a megoldásában. Ellenkezőleg, a 6. pont árnyékolatlan lesz, mivel nem szerepel a második egyenlőtlenség megoldásában:

Jelöljük most nyíllal a 8-nál kisebb vagy azzal egyenlő értékeket, ahogy azt a rendszer első egyenlőtlensége megköveteli, és egy nyíllal alatta - a 6-nál nagyobb értékeket, amint azt a rendszer megköveteli. a rendszer második egyenlőtlensége:

Meg kell válaszolni azt a kérdést, hogy a számegyenesen hol találhatók az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásai. Emlékezz egyszer s mindenkorra. A rendszer szimbóluma - a göndör kapcsos zárójel - a matematikában az „én” kötőszót helyettesíti. Vagyis a képletek nyelvének lefordítása emberi nyelv, azt mondhatjuk, hogy olyan értékeket kell megadnunk, amelyek 6-nál nagyobbak ÉS kisebbek vagy egyenlőek 8-cal. Vagyis a szükséges intervallum a megjelölt intervallumok metszéspontjában van:

Tehát a számegyenesen ábrázoltuk az egyenlőtlenségrendszer megoldásainak halmazát abban az esetben, ha az egyenlőtlenségrendszer csak egy változót tartalmaz. Ez az árnyékolt intervallum minden olyan értéket tartalmaz, amelyre a rendszerbe írt összes egyenlőtlenség teljesül.

Most gondoljunk többet nehéz eset. Tartalmazzon rendszerünk két és változós egyenlőtlenségeket. Ebben az esetben nem lehet csak egyenes vonalat használni egy ilyen rendszer megoldásainak ábrázolására. Túllépünk az egydimenziós világon, és egy újabb dimenziót adunk hozzá. Itt egy egész repülőgépre van szükségünk. Nézzük meg a helyzetet egy konkrét példa segítségével.

Tehát hogyan ábrázolható egy adott egyenlőtlenségrendszer megoldásainak halmaza két változóval téglalap alakú rendszer koordináták a repülőn? Kezdjük a legegyszerűbb dologgal. Tegyük fel magunknak a kérdést, hogy ennek a síknak melyik tartományát határozza meg az egyenlőtlenség. Az egyenlet egy, a tengelyre merőleges egyenest határoz meg ÖKÖR ponton keresztül (0;0). Azaz valójában ez az egyenes egybeesik a tengellyel OY. Nos, mivel olyan értékekre vagyunk kíváncsiak, amelyek 0-nál nagyobbak vagy egyenlőek, ezért az egyenestől jobbra fekvő teljes félsík megfelelő:

Sőt, minden pont, amely a tengelyen fekszik OY, nekünk is megfelelőek, mert az egyenlőtlenség nem szigorú.

Hogy megértsük, melyik területen koordinátasík beállítja a harmadik egyenlőtlenséget, akkor meg kell alkotnia a függvény grafikonját. Ez egy egyenes, amely átmegy az origón és például az (1;1) ponton. Ez valójában egy egyenes, amely az első koordinátanegyedet alkotó szög felezőjét tartalmazza.

Most nézzük meg a harmadik egyenlőtlenséget a rendszerben, és gondolkodjunk el. Milyen területet kell megtalálnunk? Nézzük: . Nagyobb vagy egyenlőségjel. Vagyis a helyzet hasonló az előző példához. Csak itt a „több” nem azt jelenti, hogy „jobbra több”, hanem „magasabb”. Mert OY- ez a miénk függőleges tengely. Vagyis a síkon a harmadik egyenlőtlenséggel meghatározott terület az egyenes felett vagy azon lévő pontok halmaza:

Az első egyenlőtlenséggel a rendszer egy kicsit kevésbé kényelmes. De miután meg tudtuk határozni a harmadik egyenlőtlenség által meghatározott területet, azt hiszem, már világos, hogyan kell cselekedni.

Ezt az egyenlőtlenséget úgy kell bemutatni, hogy a bal oldalon csak a változó legyen, a jobb oldalon pedig csak a változó. Ehhez ki kell vonni az egyenlőtlenség mindkét oldalát, és mindkét oldalt el kell osztani 2-vel, anélkül, hogy az egyenlőtlenség előjelét megváltoztatná, mert a 2 pozitív szám. Ennek eredményeként a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

Már csak egy egyenes vonalat kell húzni a tengelyt metsző koordinátasíkon OY az A(0;4) pontban és egy egyenes a pontban. Ez utóbbit úgy tanultam meg, hogy az egyenesek egyenletei jobb oldalát egyenlítettem és megkaptam az egyenletet. Ebből az egyenletből megtaláljuk a metszéspont koordinátáját, és a koordináta, gondolom kitaláltad, egyenlő a koordinátával. Azok számára, akik még mindig nem találták ki, ez azért van, mert megvan az egyik metsző egyenes egyenlete: .

Amint ezt az egyenest meghúztuk, azonnal kijelölhetjük a kívánt területet. Az egyenlőtlenség jele itt „kisebb vagy egyenlő”. Ez azt jelenti, hogy a kívánt terület az ábrázolt egyenes alatt vagy közvetlenül azon található:

Nos, az utolsó kérdés. Hol van az a kívánt régió, amely kielégíti a rendszer mindhárom egyenlőtlenségét? Nyilvánvalóan mindhárom megjelölt terület metszéspontjában található. Újra átkelés! Ne feledje: a rendszerjel a matematikában metszéspontot jelent. Itt van, ez a terület:

Jól utolsó példa. Még általánosabban. Tegyük fel most, hogy nem egy változónk van a rendszerben, nem is kettő, hanem akár három!

Mivel három változó van, egy ilyen egyenlőtlenségi rendszer megoldási halmazának ábrázolásához szükségünk lesz egy harmadik dimenzióra azon kettő mellett, amellyel az előző példában dolgoztunk. Vagyis kimászunk a síkból a térbe és ábrázoljuk térrendszer koordináták három dimenzióval: X, YÉs Z. Ami megfelel a hossznak, szélességnek és magasságnak.

Kezdjük azzal, hogy ebben a koordináta-rendszerben ábrázoljuk az egyenlet által meghatározott felületet. Formájában nagyon hasonlít a síkon lévő kör egyenletéhez, csak még egy tagot adunk hozzá a változóhoz. Könnyen kitalálható, hogy ez egy olyan gömb egyenlete, amelynek középpontja az (1;3;2) pontban van, és amelynek sugarának négyzete 4. Vagyis maga a sugár 2.

Aztán egy kérdés. Mit állít tehát maga az egyenlőtlenség? Azoknak, akiket ez a kérdés zavarba ejt, javaslom, hogy fontolják meg alábbiak szerint. A képletek nyelvét emberi nyelvre fordítva azt mondhatjuk, hogy minden olyan gömböt meg kell jelölni, amelynek középpontja az (1;3;2) pontban van, és amelyek sugara kisebb vagy egyenlő, mint 2. ezek a gömbök az ábrázolt gömbön belül helyezkednek el! Valójában ez az egyenlőtlenség határozza meg az egészet belső területábrázolt gömb. Ha akarja, meghatároz egy golyót, amelyet az ábrázolt gömb határol:

Az x+y+z=4 egyenlettel definiált felület egy sík, amely a koordinátatengelyeket (0;0;4), (0;4;0) és (4;0;0) pontokban metszi. Nos, világos, hogy minél nagyobb az egyenlőségjeltől jobbra lévő szám, annál távolabb helyezkednek el a koordináta középpontjától a sík és a koordinátatengelyek metszéspontjai. Vagyis a második egyenlőtlenség egy adott sík „fölött” elhelyezkedő félteret határoz meg. A hagyományos „magasabb” kifejezést használva tovább értem a koordinátaértékek tengelyek mentén történő növelésének irányába.

Ez a sík metszi az ábrázolt gömböt. Ebben az esetben a metszéspont egy kör. Még azt is kiszámíthatja, hogy a koordináta-rendszer középpontjától milyen távolságra van ennek a körnek a középpontja. Egyébként aki kitalálja, hogyan kell ezt megtenni, írja meg kommentben a megoldásait, válaszait. Így a kezdeti egyenlőtlenségrendszer egy olyan térrégiót határoz meg, amely ettől a síktól távolabb helyezkedik el a növekvő koordináták irányában, de be van zárva az ábrázolt gömbbe:

Így ábrázolják az egyenlőtlenségek rendszerének számos megoldását. Ha 3-nál több változó van a rendszerben (például 4), akkor a megoldások halmazát már nem lehet egyértelműen ábrázolni. Mert ehhez 4 dimenziós koordináta-rendszer kellene. De normális ember nem tudja elképzelni, hogyan lehet 4 egymásra merőleges koordinátatengelyt elhelyezni. Bár van egy barátom, aki azt állítja, hogy meg tudja csinálni, méghozzá könnyedén. Nem tudom, hogy igazat mond-e, talán igazat mond. De ennek ellenére a normális emberi képzelet nem engedi ezt megtenni.

Remélem hasznosnak találtad a mai órát. Ha ellenőrizni szeretné, mennyire értette meg, végezze el az alábbi házi feladatot.

Rajzolja meg az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásait:

ql-right-eqno"> title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Az anyagot Sergey Valerievich készítette

Ez a cikk tartalmazza kezdeti információk egyenlőtlenségek rendszereiről. Itt található az egyenlőtlenségek rendszerének meghatározása és az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásának meghatározása. Felsoroljuk azokat a főbb rendszertípusokat is, amelyekkel az iskolai algebraórákon leggyakrabban kell dolgozni, és példákat is adunk.

Oldalnavigáció.

Mi az egyenlőtlenségek rendszere?

Kényelmes az egyenlőtlenségrendszereket ugyanúgy definiálni, mint ahogy az egyenletrendszer definícióját bevezettük, vagyis a jelölés típusa és a benne foglalt jelentés alapján.

Meghatározás.

Egyenlőtlenségek rendszere egy olyan rekord, amely bizonyos számú, egymás alá írt egyenlőtlenséget reprezentál, bal oldalon kapcsos kapcsos zárójellel egyesítve, és jelöli azon megoldások halmazát, amelyek egyidejűleg megoldások a rendszer minden egyenlőtlenségére.

Mondjunk egy példát egy egyenlőtlenség-rendszerre. Vegyünk két tetszőlegeset, például 2 x−3>0 és 5−x≥4 x−11, írjuk őket egymás alá
2x−3>0,
5-x≥4 x-11
és egyesítsünk egy rendszerjellel - göndör kapcsos zárójellel, ennek eredményeként a következő formájú egyenlőtlenségrendszert kapjuk:

Hasonló elképzelést adnak az egyenlőtlenségek rendszereiről is iskolai tankönyvek. Érdemes megjegyezni, hogy definícióikat szűkebben adják meg: az egyváltozós egyenlőtlenségekre vagy két változóval.

Az egyenlőtlenségi rendszerek fő típusai

Nyilvánvaló, hogy végtelenül sokat lehet alkotni különféle rendszerek egyenlőtlenségek Annak érdekében, hogy ne vesszenek el ebben a sokszínűségben, célszerű olyan csoportokban gondolkodni, amelyeknek megvan a sajátjuk jellegzetes vonásai. Minden egyenlőtlenségi rendszer csoportokra osztható a következő kritériumok szerint:

• a rendszerben lévő egyenlőtlenségek számával;
• a rögzítésben érintett változók számával;
• maguk az egyenlőtlenségek típusai szerint.

A rekordban szereplő egyenlőtlenségek száma alapján kettős, három, négyes stb. rendszereket különböztetünk meg. egyenlőtlenségek Az előző bekezdésben példát adtunk egy rendszerre, amely két egyenlőtlenség rendszere. Mutassunk egy másik példát a négy egyenlőtlenség rendszerére .

Külön elmondjuk, hogy nincs értelme egyetlen egyenlőtlenség rendszeréről beszélni, ebben az esetben lényegében arról beszélünk magáról az egyenlőtlenségről, nem a rendszerről.

Ha a változók számát nézzük, akkor léteznek egyenlőtlenségi rendszerek egy, kettő, három stb. változók (vagy ahogy szokták mondani, ismeretlenek). Nézd meg a két bekezdéssel feljebb írt utolsó egyenlőtlenségi rendszert. Ez egy három változóból álló rendszer: x, y és z. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első két egyenlőtlensége nem tartalmazza mindhárom változót, hanem csak az egyiket. Ennek a rendszernek az összefüggésében ezeket a hárommal való egyenlőtlenségként kell érteni az űrlap változói x+0·y+0·z≥−2 és 0·x+y+0·z≤5. Vegye figyelembe, hogy az iskola az egyenlőtlenségekre összpontosít egy változóval.

Továbbra is meg kell vitatni, hogy milyen típusú egyenlőtlenségek vannak a rögzítési rendszerekben. Az iskolában főleg két (ritkábban - három, még ritkábban - négy vagy több) egyenlőtlenség rendszerét veszik figyelembe, egy vagy két változóval, és maguk az egyenlőtlenségek általában teljes egyenlőtlenségek első vagy második fokozat (ritkábban - több magas fokok vagy töredékesen racionális). De ne lepődjön meg, ha az egységes államvizsgára felkészítő anyagaiban irracionális, logaritmikus, exponenciális és egyéb egyenlőtlenségeket tartalmazó egyenlőtlenségi rendszerekkel találkozik. Példaként adjuk az egyenlőtlenségek rendszerét , innen származik.

Mi a megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére?

Vezessünk be egy másik, az egyenlőtlenségi rendszerekkel kapcsolatos definíciót - az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásának meghatározását:

Meghatározás.

Egy változós egyenlőtlenségrendszer megoldása A változó olyan értékének nevezzük, amely a rendszer minden egyenlőtlenségét igazzá változtatja, más szóval a rendszer minden egyenlőtlenségének megoldása.

Magyarázzuk meg egy példával. Vegyünk egy két egyenlőtlenség rendszerét egy változóval. Vegyük az x változó értékét 8-cal, ez definíció szerint megoldása egyenlőtlenségrendszerünkre, mivel a rendszer egyenlőtlenségeibe való behelyettesítése két helyes numerikus egyenlőtlenséget ad: 8>7 és 2−3·8≤0. Ellenkezőleg, az egység nem megoldás a rendszerre, mivel ha az x változót helyettesítjük vele, az első egyenlőtlenség hibás 1>7 numerikus egyenlőtlenséggé változik.

Hasonlóképpen bevezethetjük a megoldás definícióját egy kettős, három és egyenlőtlenségi rendszerhez nagy számban változók:

Meghatározás.

Egyenlőtlenségrendszer megoldása kettővel, hárommal stb. változók párnak, hármasnak stb. ezeknek a változóknak az értékeit, ami egyben megoldás a rendszer minden egyenlőtlenségére, vagyis a rendszer minden egyenlőtlenségét helyes numerikus egyenlőtlenséggé változtatja.

Például egy x=1, y=2 értékpár vagy más jelöléssel (1, 2) egy kétváltozós egyenlőtlenségrendszer megoldása, mivel 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Előfordulhat, hogy az egyenlőtlenségrendszereknek nincs megoldása, lehet véges számú megoldása, vagy végtelen számú megoldása lehet. Az emberek gyakran beszélnek az egyenlőtlenségek rendszerének megoldásairól. Ha egy rendszernek nincsenek megoldásai, akkor a megoldásainak üres halmaza van. Ha véges sok megoldás van, akkor a megoldások halmaza véges sok elemet tartalmaz, ha pedig végtelen sok megoldás van, akkor a megoldások halmaza végtelen sok elemből áll.

Egyes források meghatározzák az egyenlőtlenségek rendszerének sajátos és általános megoldását, mint például Mordkovich tankönyveiben. Alatt az egyenlőtlenségek rendszerének privát megoldása megértse egyetlen döntését. Viszont az egyenlőtlenségek rendszerének általános megoldása- ezek mind az ő személyes döntései. Ezeknek a kifejezéseknek azonban csak akkor van értelme, ha konkrétan hangsúlyozni kell, hogy milyen megoldásról beszélünk, de ez általában már a szövegkörnyezetből is kiderül, így sokkal gyakrabban egyszerűen azt mondják, hogy „megoldás az egyenlőtlenségek rendszerére”.

Az egyenlőtlenségek rendszerének és megoldásainak ebben a cikkben bemutatott definícióiból az következik, hogy az egyenlőtlenségek rendszerének megoldása a rendszer összes egyenlőtlenségére vonatkozó megoldáshalmazok metszéspontja.

Hivatkozások.

1. Algebra: tankönyv 8. osztály számára. általános műveltség intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. 9. évfolyam. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Az algebra és a matematikai elemzés kezdetei. 11. évfolyam. 2 órában 1. rész. Tankönyv általános oktatási intézmények tanulói számára (profilszint) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Egységes államvizsga-2013. Matematika: standard vizsgalehetőségek: 30 lehetőség / szerk. A. L. Semenova, I. V. Jascsenko. – M.: „Nemzetnevelés” Kiadó, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - iskola).

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete