Határozzuk meg az y sin 2x függvény deriváltját. A szinusz származéka: (sin x)′

Ha követi a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményének a határa. y a Δ argumentumnövekményhez x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbálja meg ezzel a képlettel kiszámítani, mondjuk, a függvény deriváltját f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor néhány oldalas számítás után egyszerűen elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy a függvények teljes választékából megkülönböztethetjük az úgynevezett elemi függvényeket. Viszonylag egyszerű kifejezésekről van szó, amelyek származékait régóta számítják és táblázatba foglalják. Az ilyen függvényeket nagyon könnyű megjegyezni – származékaikkal együtt.

Elemi függvények származékai

Az elemi függvények az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Sőt, egyáltalán nem nehéz megjegyezni őket - ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Származék
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, nulla!)
Hatvány racionális kitevővel	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	−sin x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Természetes logaritmus	f(x) = log x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(semmi nem változott)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában a konstansok kivehetők a derivált előjeléből. Például:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvalóan az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók – és még sok más. Így jelennek meg új, már nem különösebben elemi, hanem bizonyos szabályok szerint differenciált funkciók. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Legyenek adottak a függvények f(x) És g(x), amelynek származékait ismerjük. Például vehetjük a fent tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a „kivonás” fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) két elemi függvény összege, ezért:

f ’(x) = (x 2 + bűn x)’ = (x 2)’ + (bűn x)’ = 2x+ cos x;

Hasonlóan indokoljuk a funkciót g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

A termék származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan úgy gondolják, hogy ha egy összeg deriváltja egyenlő a deriváltok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk">egyenlő a származékok szorzatával. De bassza meg! Egy szorzat deriváltját egy teljesen más képlettel számítják ki. Nevezetesen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (- sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

Funkció g(x) az első szorzó egy kicsit bonyolultabb, de az általános séma nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első tényezője g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nálunk:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)” · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Kérjük, vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a derivált faktorizálásra kerül. Formálisan ezt nem kell megtenni, de a legtöbb derivált nem önmagában számít, hanem a függvény vizsgálatára. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával lesz egyenlő, előjelei meghatározásra kerülnek, és így tovább. Ilyen esetben jobb, ha egy kifejezést faktorizált.

Ha két funkció van f(x) És g(x), és g(x) ≠ 0 azon a halmazon, amelyre kíváncsiak vagyunk, új függvényt definiálhatunk h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez a derivált is megtalálható:

Nem gyenge, mi? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? És így! Ez az egyik legösszetettebb képlet – palack nélkül nem tudod kitalálni. Ezért jobb, ha konkrét példákkal tanulmányozzuk.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait:

Minden tört számlálója és nevezője elemi függvényeket tartalmaz, így csak a hányados származékának képletére van szükségünk:

A hagyomány szerint tizedeljük a számlálót – ez nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül egy fél kilométer hosszú képlet. Például elég a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x, mondjuk, be x 2 + ln x. Meg fog menni f(x) = bűn ( x 2 + ln x) - ez egy összetett függvény. Ennek is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok alapján nem lehet megtalálni.

Mit tegyek? Ilyen esetekben egy összetett függvény deriváltjának változó és képlet lecserélése segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ha x helyettesíti t(x).

A képlet megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért jobb, ha konkrét példákkal magyarázzuk el, az egyes lépések részletes leírásával.

Feladat. Keresse meg a függvények deriváltjait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2 + ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2. kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor kapunk egy elemi függvényt f(x) = e x. Ezért cserét végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Egy komplex függvény deriváltját a következő képlettel keressük:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! Fordított cserét végzünk: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell x 2 + ln x = t. Nálunk:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2 + ln x. Majd:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Ennyi! Amint az az utolsó kifejezésből látható, az egész probléma a derivált összeg kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Az órákon nagyon gyakran a „származék” kifejezés helyett a „prím” szót használom. Például az összeg ütése egyenlő a vonások összegével. Így világosabb? Hát ez jó.

Így a derivált kiszámítása az ugyanazon ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Utolsó példaként térjünk vissza a derivált hatványhoz racionális kitevővel:

(x n)’ = n · x n − 1

Ezt kevesen tudják a szerepben n lehet, hogy törtszám is. Például a gyökér az x 0.5. Mi van, ha valami díszes van a gyökér alatt? Az eredmény ismét egy összetett funkció lesz - szeretnek ilyen konstrukciókat adni teszteken és vizsgákon.

Feladat. Keresse meg a függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most csinálunk egy cserét: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t. A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5) · t' = 0,5 · t–0,5 · t ’.

Végezzük el a fordított cserét: t = x 2 + 8x− 7. Van:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

Alkalmazás

A származék megoldása az oldalon a diákok és iskolások által lefedett anyag konszolidálására. Egy függvény deriváltjának néhány másodperc alatti kiszámítása nem tűnik nehéznek, ha online problémamegoldó szolgáltatásunkat használja. Minden harmadik tanuló képes lesz részletes elemzést adni egy alapos tanulmányozáshoz a gyakorlati órán. Az ország oktatási intézményeiben a matematika népszerűsítésével kapcsolatban gyakran keresnek meg minket az illetékes osztály osztálya. Ebben az esetben hogyan nem említhetjük meg a derivált online megoldását egy zárt számsorozatra? Sok gazdag egyén kifejezheti zavarodottságát. De eközben a matematikusok nem ülnek egy helyben, és nem dolgoznak sokat. A derivált számológép a bemeneti paraméterek változásait lineáris karakterisztikák alapján fogadja el, elsősorban a kockák csökkenő pozícióinak felsőbbsége miatt. Az eredmény olyan elkerülhetetlen, mint a felszín. Kiindulási adatként az online származékos ügylet kiküszöböli a szükségtelen lépések megtételét. Kivéve a kitalált házimunkát. Amellett, hogy a származékok online megoldása szükséges és fontos szempont a matematika tanulásában, a diákok gyakran nem emlékeznek a múltbeli problémákra. A tanuló lusta teremtmény lévén ezt megérti. De a diákok vicces emberek! Vagy a szabályok szerint tegyük, vagy egy függvény ferde síkban való deriváltja adhat gyorsulást egy anyagi pontnak. Irányítsuk valahova a lefelé irányuló térbeli sugár vektorát. A szükséges válaszban a derivált megtalálása a matematikai rendszer instabilitása miatt elvont elméleti iránynak tűnik. Tekintsünk egy számrelációt nem használt opciók sorozatának. A kommunikációs csatorna a kocka zárt bifurkációjának pontjától csökkenő vektor mentén egy ötödik vonallal bővült. A görbült terek síkján a derivált online megoldása arra a következtetésre vezet, amely a bolygó legnagyobb elméit is elgondolkodtatta a múlt században. A matematika területén zajló események során öt alapvetően fontos tényező került a nyilvánosság elé, amelyek hozzájárulnak a változókiválasztás helyzetének javításához. A ponttörvény tehát kimondja, hogy az online derivatívát nem minden esetben számítják ki részletesen, az egyetlen kivétel a lojálisan progresszív pillanat. Az előrejelzés a fejlődés új szakaszához vezetett. Eredményekre van szükségünk. A felület alatt áthaladó matematikai lejtő vonalában a módus-derivatív kalkulátor a hajlítókészleten lévő termékek metszéspontjában található. Továbbra is elemezni kell a függvény differenciálódását az epszilon szomszédságához közeli független pontjában. Ezt a gyakorlatban mindenki ellenőrizheti. Ennek eredményeként a programozás következő szakaszában lesz mit eldönteni. A hallgatónak, mint mindig, szüksége van az online származékra, függetlenül attól, hogy milyen képzeletbeli kutatást végez. Kiderül, hogy a derivált online konstanssal szorozva megoldása nem az anyagi pont általános mozgási irányát változtatja meg, hanem egy egyenes mentén a sebességnövekedést jellemzi. Ebben az értelemben hasznos lesz a derivált számológépünk használata, és a függvény összes értékének kiszámítása a definíció teljes halmazán. Nincs szükség a gravitációs tér erőhullámainak tanulmányozására. A származékok online megoldása semmi esetre sem mutatja meg a kimenő sugár hajlamát, de csak ritka esetekben, amikor erre valóban szükség van, az egyetemisták el tudják képzelni. Vizsgáljuk meg az igazgatót. A legkisebb rotor értéke megjósolható. Alkalmazza a jobbra néző vonalak eredményét, amelyek mentén a golyót leírják, de az online derivált számológép a speciális erősségű és nemlineáris függő figurák alapja. Elkészült a matematikai projekt beszámolója. Személyi jellemzők: a legkisebb számok és a függvény ordináta tengely menti deriváltja közötti különbség ugyanazon függvény homorúságát a magasságba hozza. Van irány - van következtetés. Könnyebb átültetni a gyakorlatba az elméletet. A hallgatóknak javaslatuk van a tanulmányok megkezdésének időpontjára vonatkozóan. Tanári válasz kell. Ugyanúgy, mint az előző álláspontnál, a matematikai rendszert nem olyan művelet alapján szabályozzák, amely segít megtalálni a deriváltot Az alsó féllineáris változathoz hasonlóan az online derivált is részletesen jelzi a megoldás azonosítását degenerált feltételes törvény. A képletek kiszámításának ötlete most vetődött fel. Egy függvény lineáris differenciálása a megoldás igazságát az irreleváns pozitív variációk egyszerű lefektetésére tereli. Az összehasonlító jelek fontosságát a funkció folyamatos megszakításának tekintjük a tengely mentén. Ez a hallgató szerint a legtudatosabb következtetés fontossága, amelyben az online derivált más, mint a matematikai elemzés hű példája. A görbe kör sugara az euklideszi térben éppen ellenkezőleg, a deriváltkalkulátor természetes ábrázolását adta a döntő problémák stabilitásra való cseréjének. Megtalálták a legjobb módszert. Könnyebb volt egy szinttel feljebb léptetni a feladatot. Vezessen a független különbségarány alkalmazhatósága a deriváltak online megoldásához. A megoldás az abszcissza tengelye körül forog, leírva a kör alakját. Van kiút, és ez az egyetemisták elméletileg alátámasztott kutatásain alapszik, amelyekből mindenki tanul, és az időpillanatokban is van a függvény származéka. Megtaláltuk az előrelépés módját, és ezt a diákok megerősítették. Megengedhetjük magunknak, hogy megtaláljuk a deriváltot anélkül, hogy túllépnénk a matematikai rendszer átalakításának természetellenes megközelítésén. A bal oldali arányossági jel geometriai sorozattal növekszik, mint egy online derivált számológép matematikai ábrázolása a végtelen y tengelyen lévő lineáris tényezők ismeretlen körülményei miatt. A matematikusok világszerte bebizonyították a gyártási folyamat kivételes természetét. A körön belül van egy legkisebb négyzet az elmélet leírása szerint. Az online származék ismét részletesen kifejezi azt a feltételezésünket, hogy mi befolyásolhatja az elméletileg kifinomult véleményt. Az általunk közölt elemzett jelentéstől eltérő jellegű vélemények születtek. Különös figyelem nem fordulhat elő karaink hallgatóira, de nem okos és technológiailag fejlett matematikusokra, akiknek a függvények megkülönböztetése csak ürügy. A származék mechanikai jelentése nagyon egyszerű. Az emelőerőt az időben felfelé csökkenő állandó terek online deriváltjaként számítjuk ki. A nyilvánvalóan derivált számológép egy szigorú folyamat a mesterséges átalakulás amorf testként való elfajulásának problémájának leírására. Az első derivált egy anyagi pont mozgásának változását jelzi. A háromdimenziós teret nyilvánvalóan a származékok online megoldására kiképzett technológiák kontextusában figyelik meg, sőt, ez minden kollokviumban egy matematikai tudományágról szól. A második derivált egy anyagi pont sebességének változását jellemzi, és meghatározza a gyorsulást. Az affin transzformáción alapuló meridián megközelítés egy függvény deriváltját egy ponton a függvény definíciós tartományából egy új szintre emeli. Egy online derivált számológép nem létezhet számok és bizonyos esetekben szimbolikus jelölések nélkül a megfelelő végrehajtási pillanathoz, a dolgok átalakítható elrendezése mellett a feladatban. Meglepő módon az anyagi pont második gyorsulása jellemzi a gyorsulás változását. Rövid időn belül elkezdjük a származékos megoldás online tanulmányozását, de amint elérünk egy bizonyos mérföldkövet a tudásban, hallgatónk leállítja ezt a folyamatot. A kapcsolatteremtés legjobb módja, ha élőben kommunikálunk egy matematikai témában. Vannak alapelvek, amelyeket semmilyen körülmények között nem lehet megsérteni, bármilyen nehéz is a feladat. Hasznos időben és hibamentesen megtalálni a származékot az interneten. Ez a matematikai kifejezés új helyzetéhez vezet. A rendszer stabil. A származék fizikai jelentése nem olyan népszerű, mint a mechanikusé. Nem valószínű, hogy valaki emlékszik arra, hogy az online derivált hogyan jelenítette meg részletesen a síkon a függvény vonalainak körvonalát a normálban az abszcissza tengelyével szomszédos háromszögből. Az ember komoly szerepet érdemel a múlt század kutatásában. Különböztessük meg a függvényt a definíciós tartomány pontjaiban és a végtelenben három elemi szakaszban. Írásos formában csak a kutatás területén lesz, de a matematikában és a számelméletben átveheti a fővektor helyét, amint a történések összekapcsolják az online derivált számológépet a problémával. Ha volt oka, akkor lenne oka egyenlet létrehozására. Nagyon fontos minden bemeneti paramétert szem előtt tartani. A legjobbat nem mindig fogadják el egyenesen, e mögött a legjobban dolgozó elmék kolosszális száma áll, akik tudták, hogyan számítják ki az online származékot a térben. Azóta a konvexitást a folytonos függvény tulajdonságának tekintik. Mégis jobb, ha először azt a feladatot tűzi ki, hogy a derivatívákat a lehető legrövidebb időn belül online oldja meg. Így a megoldás teljes lesz. A teljesítetlen normáktól eltekintve ez nem tekinthető elegendőnek. Kezdetben szinte minden diák javasol egy egyszerű módszert arra vonatkozóan, hogy egy függvény deriváltja hogyan idéz elő ellentmondásos kiterjesztési algoritmust. A felszálló sugár irányába. Ennek általános javaslatként van értelme. Korábban egy konkrét matematikai művelet befejezésének kezdetét jelöltük, de ma ez fordítva lesz. Talán a derivált online megoldása újra felvetheti a kérdést, és ennek megőrzésére közös véleményt fogadunk el a tanári értekezleten zajló vita során. A találkozó résztvevőinek megértését reméljük. A logikai értelme a derivált számológép leírásában rejlik a számok rezonanciájában a probléma gondolatának bemutatási sorrendjéről, amelyre a múlt században a világ nagy tudósai válaszoltak. Segít egy összetett változó kinyerésében a transzformált kifejezésből, és online megtalálhatja a származékot egy ugyanolyan típusú hatalmas művelet végrehajtásához. Az igazság sokszor jobb, mint a találgatás. A trend legalacsonyabb értéke. Az eredmény nem fog sokáig várni, ha egy egyedi szolgáltatást használunk a precíz meghatározáshoz, amelyhez részletesen a származékos online lényege van. Közvetve, de lényegre törően, amint azt egy bölcs ember mondta, az unió különböző városaiból sok diák kérésére hoztak létre egy online származékkalkulátort. Ha van különbség, akkor minek dönteni kétszer. Az adott vektor ugyanazon az oldalon van, mint a normál. A múlt század közepén a funkciódifferenciálást egyáltalán nem úgy érzékelték, mint manapság. A folyamatban lévő fejlesztéseknek köszönhetően megjelent az online matematika. Az idő múlásával a diákok elfelejtik a matematika tantárgyakat kellően elismerni. A derivált online megoldása a gyakorlati ismeretekkel alátámasztott elméleti alkalmazáson alapuló tézisünket joggal vitatja. Ez túllép a megjelenítési tényező meglévő értékén, és a képletet explicit formában írjuk a függvényhez. Előfordul, hogy azonnal meg kell találnia egy származékot az interneten anélkül, hogy bármilyen számológépet használna, azonban bármikor igénybe veheti egy diák trükkjét, és továbbra is használhat egy szolgáltatást, például egy webhelyet. Így a tanuló sok időt takarít meg a példák másolásával a durva jegyzetfüzetből a végső formába. Ha nincs ellentmondás, akkor az ilyen összetett példák megoldásához használja a lépésről lépésre szolgáltatást.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények deriváltjainak megtalálásának problémáinak megoldása eredményeként a derivált az inkrementum és az argumentum növekmény arányának határaként definiálva, megjelent a derivált táblázat és a pontosan meghatározott differenciálási szabályok. . A származékok keresésének területén elsőként Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dolgozott.

Ezért napjainkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának fent említett határát, hanem csak a táblázatot kell használni. származékai és a differenciálás szabályai. A derivált megtalálására a következő algoritmus alkalmas.

A származék megtalálásához, szükséged van egy kifejezésre a prímjel alá egyszerű függvényeket komponensekre bontaniés meghatározza, hogy milyen lépéseket (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók összefüggenek. Ezután az elemi függvények deriváltjait a derivált táblázatban, a szorzat, az összeg és a hányados származékainak képleteit pedig a differenciálás szabályaiban találjuk. A derivált táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy egy függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz.

A derivált táblázatból megtudjuk, hogy "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig koszinusszal. Ezeket az értékeket behelyettesítjük a deriváltak összegébe, és megkeressük a probléma feltételéhez szükséges deriváltot:

2. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Egy olyan összeg származékaként differenciálunk, amelyben a második tag állandó tényezője kivehető a derivált előjelből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy valami honnan származik, azokat rendszerint tisztázzuk, miután megismerkedtünk a származékok táblázatával és a differenciálás legegyszerűbb szabályaival. Jelenleg rájuk megyünk.

Egyszerű függvények deriváltjainak táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200...), amely a függvénykifejezésben szerepel. Mindig egyenlő nullával. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran van rá szükség
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "X". Mindig egyenlő eggyel. Ezt is fontos sokáig emlékezni
3. Végzettség származéka. A feladatok megoldása során a nem négyzetgyököket hatványokká kell konvertálnia.
4. Változó deriváltja a -1 hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. A szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő származéka
9. A kotangens származéka
10. Az arcszinus származéka
11. Az ív koszinusz származéka
12. Arktangens származéka
13. Az ívkotangens származéka
14. A természetes logaritmus deriváltja
15. Logaritmikus függvény deriváltja
16. A kitevő származéka
17. Exponenciális függvény deriváltja

A megkülönböztetés szabályai

1. Összeg vagy különbözet ​​származéka
2. A termék származéka
2a. Egy kifejezés származéka szorozva egy állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény deriváltja

1. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatók, akkor a függvények ugyanazon a ponton differenciálhatók

és

azok. függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor deriváltjaik egyenlőek, azaz

2. szabályHa a funkciók

egy ponton differenciálhatóak, akkor a termékük ugyanazon a ponton differenciálható

és

azok. Két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatának és a másik függvény szorzatának összegével.

Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

Következmény 2. Több differenciálható függvény szorzatának deriváltja egyenlő az egyes tényezők és az összes többi derivált szorzatának összegével.

Például három szorzóhoz:

3. szabály.Ha a funkciók

egy bizonyos ponton megkülönböztethető És , akkor ezen a ponton a hányadosuk is differenciálhatóu/v , és

azok. két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja, valamint a számláló és a nevező deriváltja szorzatának különbsége, a nevezője pedig a nevező négyzete. az egykori számláló.

Hol lehet keresni a dolgokat más oldalakon

Egy szorzat származékának és hányadosának valós problémákban való megtalálásakor mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, ezért a cikkben több példa is található ezekre a származékokra."A szorzat származéka és a függvények hányadosa".

Megjegyzés. Nem szabad összekeverni a konstanst (vagyis egy számot) összegben szereplő tagként és állandó tényezőként! Egy tag esetén a deriváltja egyenlő nullával, állandó tényező esetén pedig kikerül a származékok előjeléből. Ez egy tipikus hiba, amely a származékok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de mivel az átlaghallgató több egy- és kétrészes példát old meg, ezt a hibát már nem követi el.

És ha egy termék vagy hányados megkülönböztetésekor van egy kifejezés u"v, amelyben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz egy állandó, akkor ennek a számnak a deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla lesz (ezt az esetet a 10. példa tárgyalja).

Egy másik gyakori hiba, hogy egy összetett függvény deriváltját mechanikusan egy egyszerű függvény deriváltjaként oldják meg. azért komplex függvény deriváltja külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények deriváltjait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezések átalakítását. Ehhez előfordulhat, hogy új ablakban kell megnyitnia a kézikönyvet. Erőkkel és gyökerekkel rendelkező cselekvésekÉs Műveletek törtekkel .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek származékaira, vagyis amikor a függvény így néz ki , majd kövesse a „Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka” című leckét.

Ha olyan feladatod van, mint pl , akkor felveszi az „Egyszerű trigonometrikus függvények származékai” leckét.

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés egy szorzatot reprezentál, faktorai pedig összegek, amelyek közül a másodikban az egyik tag konstans tényezőt tartalmaz. Alkalmazzuk a szorzatdifferenciálási szabályt: két függvény szorzatának deriváltja egyenlő ezen függvények szorzatainak összegével a másik függvény deriváltjával:

Ezután alkalmazzuk az összegdifferenciálás szabályát: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő ezen függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tagnak mínusz előjele van. Minden összegben látunk egy független változót, amelynek deriváltja eggyel, és egy állandót (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az „X” egy lesz, a mínusz 5 pedig nullává. A második kifejezésben az "x"-t megszorozzuk 2-vel, így kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" deriváltja. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált deriváltokat behelyettesítjük a szorzatok összegébe, és megkapjuk a probléma feltétele által megkövetelt teljes függvény deriváltját:

4. példa Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados differenciálására a képletet alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő egy törttel, amelynek számlálója a nevező és a számláló deriváltja és a számláló szorzata és a számláló származéka közötti különbség. nevező, a nevező pedig az előbbi számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példában már megtaláltuk a számlálóban szereplő tényezők deriváltját. Ne felejtsük el azt sem, hogy a szorzatot, amely az aktuális példában a számláló második tényezője, mínuszjellel vesszük:

Ha olyan problémákra keres megoldást, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol a gyökök és hatványok folytonos halmaza van, mint pl. , akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökökkel rendelkező törtek összegeinek származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények deriváltjairól, vagyis amikor a függvény így néz ki , akkor egy lecke neked "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy szorzatot látunk, melynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a derivált táblázatban ismerkedtünk meg. A szorzat megkülönböztetésének szabályát és a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét alkalmazva kapjuk:

6. példa. Keresse meg egy függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan hányadost látunk, amelynek osztaléka a független változó négyzetgyöke. A 4. példában megismételt és alkalmazott hányadosok differenciálási szabályát, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatos értékét felhasználva kapjuk:

A számlálóban lévő tört eltávolításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt -val.

A középiskolai matematika szakokon és a felsőoktatási intézményekben az egyik fő probléma az adott függvény deriváltjának megtalálása. Lehetetlen teljesen feltárni egy függvényt és megszerkeszteni a gráfját a deriváltja nélkül. Egy függvény deriváltja könnyen megtalálható, ha ismeri a differenciálás alapvető szabályait, valamint az alapfüggvények deriváltjainak táblázatát. Nézzük meg, hogyan találjuk meg egy függvény deriváltját.

A függvény deriváltja a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik.

Ennek a definíciónak a megértése meglehetősen nehéz, mivel a határ fogalmát az iskolában nem tanulják teljesen. De ahhoz, hogy különféle függvények deriváltjait megtaláljuk, nem szükséges megérteni a definíciót, hagyjuk a matematikusokra, és folytassuk a derivált megtalálását.

A derivált megtalálásának folyamatát differenciálásnak nevezzük. Amikor megkülönböztetünk egy függvényt, új függvényt kapunk.

Jelölésükhöz a latin f, g stb. betűket használjuk.

A származékokra sokféle jelölés létezik. A stroke-ot fogjuk használni. Például a g" írás azt jelenti, hogy megtaláljuk a g függvény deriváltját.

Származékos táblázat

Annak érdekében, hogy megválaszoljuk a derivált megtalálásának kérdését, szükség van a fő függvények deriváltjainak táblázatára. Az elemi függvények deriváltjainak kiszámításához nem szükséges bonyolult számításokat végezni. Elég csak megnézni az értékét a származékos táblázatban.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

1. példa Keresse meg az y=500 függvény deriváltját.

Látjuk, hogy ez állandó. A derivált táblázatból ismert, hogy egy állandó deriváltja nullával egyenlő (1. képlet).

2. példa Keresse meg az y=x 100 függvény deriváltját.

Ez egy hatványfüggvény, amelynek kitevője 100, és a deriváltjának megtalálásához meg kell szorozni a függvényt a kitevővel, és csökkenteni kell 1-gyel (3. képlet).

(x 100)"=100 x 99

3. példa Keresse meg az y=5 x függvény deriváltját

Ez egy exponenciális függvény, számítsuk ki a deriváltját a 4-es képlet segítségével.

4. példa Keresse meg az y= log 4 x függvény deriváltját

A logaritmus deriváltját a 7-es képlet segítségével találjuk meg.

(log 4 x)"=1/x ln 4

A megkülönböztetés szabályai

Most nézzük meg, hogyan találjuk meg egy függvény deriváltját, ha nem szerepel a táblázatban. A legtöbb vizsgált függvény nem elemi, hanem elemi függvények kombinációja egyszerű műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás és számmal való szorzás) segítségével. A származékaik megtalálásához ismerni kell a differenciálás szabályait. Az alábbiakban az f és g betűk függvényeket jelölnek, a C pedig egy állandót.

1. A konstans együttható kivehető a derivált előjeléből

5. példa Keresse meg az y= 6*x 8 függvény deriváltját!

Kiveszünk egy állandó 6-os tényezőt, és csak x 4-et különböztetünk meg. Ez egy hatványfüggvény, amelynek deriváltját a deriválttáblázat 3. képletével találjuk meg.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48*x7

2. Egy összeg deriváltja egyenlő a származékok összegével

(f + g)"=f" + g"

6. példa Keresse meg az y= x 100 +sin x függvény deriváltját

Egy függvény két függvény összege, amelyek származékait a táblázatból megtaláljuk. Mivel (x 100)"=100 x 99 és (sin x)"=cos x. Az összeg deriváltja egyenlő lesz a következő származékok összegével:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. A különbség deriváltja egyenlő a deriváltak különbségével

(f – g)"=f" – g"

7. példa Keresse meg az y= x 100 – cos x függvény deriváltját

Ez a függvény két függvény különbsége, amelyek származékait szintén megtaláljuk a táblázatból. Ekkor a különbség deriváltja egyenlő a deriváltak különbségével, és ne felejtsük el megváltoztatni az előjelet, mivel (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

8. példa Keresse meg az y=e x +tg x– x 2 függvény deriváltját!

Ennek a függvénynek van összege és különbsége is, keressük meg az egyes tagok származékait:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Ekkor az eredeti függvény deriváltja egyenlő:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. A termék származéka

(f * g)"=f" * g + f * g"

9. példa Keresse meg az y= cos x *e x függvény deriváltját

Ehhez először meg kell keresni az egyes tényezők deriváltját (cos x)"=–sin x és (e x)"=e x. Most cseréljünk be mindent a termékképletbe. Az első függvény deriváltját megszorozzuk a másodikkal, és összeadjuk az első függvény szorzatát a második deriváltjával.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. A hányados származéka

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

10. példa Keresse meg az y= x 50 /sin x függvény deriváltját

A hányados deriváltjának megtalálásához először külön keressük meg a számláló és a nevező deriváltját: (x 50)"=50 x 49 és (sin x)"= cos x. A hányados deriváltját behelyettesítve a képletbe, a következőt kapjuk:

(x 50 /sin x)"= 50x49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Komplex függvény származéka

Az összetett függvény olyan függvény, amelyet több függvény összetétele képvisel. Van egy szabály az összetett függvény deriváltjának megtalálására is:

(u (v))"=u"(v)*v"

Nézzük meg, hogyan találjuk meg egy ilyen függvény deriváltját. Legyen y= u(v(x)) komplex függvény. Nevezzük az u függvényt külsőnek, v - belsőnek.

Például:

y=sin (x 3) egy összetett függvény.

Ekkor y=sin(t) egy külső függvény

t=x 3 - belső.

Próbáljuk meg kiszámítani ennek a függvénynek a deriváltját. A képlet szerint meg kell szorozni a belső és a külső függvények deriváltjait.

(sin t)"=cos (t) - a külső függvény deriváltja (ahol t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - a belső függvény deriváltja

Ekkor (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 egy komplex függvény deriváltja.

Bemutatjuk a szinusz - sin(x) derivált képletének bizonyítását és levezetését. Példák a sin 2x, szinusz négyzet és kocka deriváltjainak kiszámítására. Az n-edrendű szinusz deriváltjának képletének levezetése.

Az x változóra vonatkozó derivált x szinuszából egyenlő x koszinuszával:
(sin x)′ = cos x.

Bizonyíték

A szinusz deriváltjának képletének levezetéséhez a derivált definícióját használjuk:
.

Ennek a határnak a megtalálásához a kifejezést úgy kell átalakítanunk, hogy ismert törvényekre, tulajdonságokra és szabályokra redukáljuk. Ehhez négy tulajdonságot kell ismernünk.
1) Az első figyelemre méltó határ jelentése:
(1) ;
2) A koszinuszfüggvény folytonossága:
(2) ;
3) Trigonometrikus képletek. A következő képletre lesz szükségünk:
(3) ;
4) Limit tulajdonság:
Ha és , akkor
(4) .

Alkalmazzuk ezeket a szabályokat a korlátunkra. Először transzformáljuk az algebrai kifejezést
.
Ehhez alkalmazzuk a képletet
(3) .
A mi esetünkben
;
;
;
;
.

.
.

Majd
.

Most végezzük el a helyettesítést.

.

at , . Alkalmazzuk az első figyelemre méltó határt (1):

Végezzük el ugyanazt a helyettesítést, és használjuk a folytonosság (2) tulajdonságát:

Mivel a fent kiszámított határértékek léteznek, a (4) tulajdonságot alkalmazzuk:
A szinusz deriváltjának képlete bebizonyosodott. Példák Nézzünk egyszerű példákat a szinust tartalmazó függvények deriváltjainak megtalálására. A következő függvények származékait találjuk: y = sin 2x; y =.

bűn 2 x

és y = bűn 3 x.

1. példa

Keresse meg a származékát
bűn 2x
Megoldás
.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.

Jelentkezünk.

itt .

Válasz
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. Példák.

1. példa

Írjuk át az eredeti függvényt érthetőbb formában:
.
Keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:
.
Alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.

.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

Alkalmazhatja az egyik trigonometriai képletet. Majd
.

(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.

3. példa

Keresse meg a kocka szinusz deriváltját:
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. y = sin 2x; y =.

Magasabb rendű származékok

Vegye figyelembe, hogy a származéka bűn x az első sorrend a következőképpen fejezhető ki szinuszon keresztül:
.

Keressük meg a másodrendű deriváltot egy komplex függvény deriváltjának képletével:

.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

Most már észrevehetjük ezt a különbséget bűn x az argumentumának növekedését okozza .
(5) .

Ekkor az n-edrendű derivált alakja:

Bizonyítsuk be ezt a matematikai indukció módszerével.

Már ellenőriztük, hogy a esetén érvényes-e az (5) képlet.

Tegyük fel, hogy az (5) képlet egy bizonyos értékre érvényes.
.
Bizonyítsuk be, hogy ebből az következik, hogy az (5) képlet teljesül -re.

.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:
Írjuk fel az (5) képletet ide:
.
Ezt az egyenletet az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával különböztetjük meg:

Így találtuk:

Ha behelyettesítjük, akkor ez a képlet az (5) alakot veszi fel. A képlet bevált. Előző cikk: Mekkora a fénysebesség