Mit jelent a nem periodikus függvény? Periodikus funkciók

7. számú melléklet

Önkormányzati oktatási intézmény

3. számú középiskola

Tanár

Korotkova

Asya Edikovna

Kurganinszk

2008

TARTALOM

Bevezetés…………………………………………………………………… 2-3

Periodikus függvények és tulajdonságaik……………. 4-6

Problémák………………………………………………………………………… 7-14

Bevezetés

Vegyük észre, hogy az oktatási és módszertani szakirodalom periodicitási problémáinak nincs könnyű sorsa. Ennek magyarázata az a furcsa hagyomány, hogy bizonyos hanyagságot engednek meg az időszakos funkciók meghatározásakor, ami ellentmondásos döntésekhez vezet, és incidenseket provokál a vizsgákon.

Például a „Matematikai kifejezések magyarázó szótára” - M, 1965 című könyvben a következő definíció található: „a periodikus függvény egy függvény.

y = f(x), amelyre van egy t > 0 szám, amely minden x és x+t esetén az f(x + t) = f(x) tartományból.

Adjunk egy ellenpéldát ennek a definíciónak a helytelenségére. E meghatározás szerint a függvény periodikus lesz t = 2π periódussal

с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 korlátozott definíciós területtel, ami ellentmond a periodikus függvényekkel kapcsolatos általánosan elfogadott nézőpontnak.

Sok újabb alternatív iskolai tankönyv hasonló problémákkal küzd.

A. N. Kolmogorov tankönyvében a következő definíció található: „Az f függvény periodicitásáról beszélve úgy gondolják, hogy van egy olyan T ≠ 0, hogy a D (f) definíció tartománya minden x ponttal együtt az x-ből az Ox tengely mentén párhuzamos transzlációval kapott pontokat (jobbra és balra) is tartalmaz T távolságban. Az f függvényt ún. időszakos T ≠ 0 periódussal, ha bármelyik definíciós tartományban ennek a függvénynek az értékei az x, x – T, x + T pontokban egyenlőek, pl. f (x + T) = f (x) = f (x – T).” A tankönyvben tovább írják: „Mivel a szinusz és a koszinusz a teljes számegyenesen definiált, és Sin (x + 2π) = Sin x,

Cos (x + 2π) = Cos x bármely x esetén, a szinusz és a koszinusz egy 2π periódusú függvény periódusa.”

Ebben a példában valamilyen oknál fogva a definíció kötelező feltétele nincs bejelölve:

Sin (x – 2π) = Sin x. Mi a helyzet? Az a tény, hogy ez a feltétel a meghatározásban felesleges. Valóban, ha T > 0 az f(x) függvény periódusa, akkor T is ennek a függvénynek a periódusa lesz.

Szeretnék még egy meghatározást adni M. I. Bashmakov „Algebra és az elemzés kezdetei, 10-11. osztályok” című tankönyvéből. „Az y = f(x) függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan T ≠ 0 szám, amelyre az egyenlőség

f (x + T) = f (x) azonos x minden értékére.

A fenti definíció nem mond semmit a függvény tartományáról, bár a definíció tartományában x-et jelent, nem pedig valódi x-et. Ezzel a definícióval az y = Sin (√x) függvény periodikus lehet 2 , csak x ≥ 0 esetén van megadva, ami hibás.

Az egységes államvizsgán az időszakosságra vonatkozó feladatok vannak. Az egyik tudományos folyóiratban az Egységes Államvizsga C szekciójának tréningjeként megoldást adtak a problémára: „a függvény y (x) = bűn 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) periodikus?”

A megoldás azt mutatja, hogy y (x – π) = y (x) a válaszban van egy extra bejegyzés

„T = π” (elvégre nem vetődik fel a legkisebb pozitív periódus megtalálásának kérdése). Valóban szükséges komplex trigonometrikus oktatás a probléma megoldásához? Hiszen itt a periodicitás fogalmára lehet összpontosítani, mint a probléma feltételének kulcsára.

Megoldás.

f 1 (x) = Sin x – Т = 2π periódusú periodikus függvény

f 2 (x) = Cos x egy T = 2π periódusú periodikus függvény, akkor 2π az f függvények periódusa 3 (x) = Sin (2 + x) és f 4 (x) = Cos (2 + x), (ez a periodicitás definíciójából következik)

f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, periódusa tetszőleges szám, beleértve a 2π-t is.

Mert a közös T periódusú periodikus függvények összege és szorzata is T-periodikus, akkor ez a függvény periodikus.

Remélem, hogy az ebben a munkában bemutatott anyag segít az egységes államvizsgára való felkészülésben a periodicitási problémák megoldásában.

Periodikus függvények és tulajdonságaik

Definíció: egy f(t) függvényt periodikusnak nevezünk, ha bármely t esetén a D függvény definíciós tartományából f van egy ω ≠ 0 szám, amelyre:

1) számok (t ± ω) є D f ;

2) f (t + ω) = f(t).

1. Ha az ω szám = az f (t) függvény periódusa, akkor a kω szám, ahol k = ±1, ±2, ±3, ... az f(t) függvény periódusai is.

PÉLDA f (t) = Sin t. A T = 2π szám ennek a függvénynek a legkisebb pozitív periódusa. Legyen T 1 = 4π. Mutassuk meg, hogy T 1 ennek a funkciónak az időszaka is.

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.

Tehát T1 – az f (t) függvény periódusa = Sin t.

2. Ha az f(t) – ω függvény periodikus, akkor az f (аt) függvények, ahol а є R és f (t + с), ahol с tetszőleges állandó, szintén periodikusak.

Keressük meg az f (аt) függvény periódusát.

f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), azaz. f (аt) = f (а(t + ω/а).

Ezért az f(аt) – ω függvény periódusa 1 = ω/a.

Példa 1. Határozzuk meg az y = Sin t/2 függvény periódusát.

2. példa Határozza meg az y = Sin függvény periódusát (t + π/3).

Legyen f(t) = Sin t; y 0 = Sin (t 0 + π/3).

Ekkor az f(t) = Sin t függvény ugyanazt az értéket veszi fel 0 at = t 0 + π/3.

Azok. az y függvény által felvett összes értéket az f(t) függvény is felveszi. Ha t időként értelmezzük, akkor y minden értéke 0 az y = Sin (t + π/3) függvény π/3 időegységgel korábban kerül elfogadásra, mint a π/3-mal balra „eltolt” f(t) függvény. Nyilván a függvény periódusa emiatt nem fog változni, pl. T y = T 1.

3. Ha F(x) valamilyen függvény, f(t) pedig periodikus függvény, és f(t) az F(x) – D függvény definíciós tartományába tartozik. F , akkor az F(f (t)) függvény periodikus függvény.

Legyen F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) bármely t є D esetén f.

PÉLDA Vizsgálja meg a függvényt periodicitásra: F(x) = ℓ sinx.

Ennek a függvénynek a tartománya D f egybeesik az R valós számok halmazával. f (x) = Sin x.

Ennek a függvénynek az értékkészlete [-1; 1]. Mert szegmens [-1; 1] D-hez tartozik f , akkor az F(x) függvény periodikus.

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).

2 π – ennek a függvénynek a periódusa.

4. Ha az f 1 (t) és f 2 függvények (t) periodikus, rendre ω periódusokkal 1 és ω 2 és ω 1 /ω 2 = r, ahol r egy racionális szám, akkor a függvények

C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) és f 1 (t) f 2 (t) periodikusak (C 1 és C 2 állandók).

Megjegyzés: 1) Ha r = ω 1 /ω 2 = p/q, mert r tehát racionális szám

ω 1 q = ω 2 p = ω, ahol ω ω legkisebb közös többszöröse 1 és ω 2 (NOC).

Tekintsük a C függvényt 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).

Valóban, ω = LCM (ω 1 , ω 2 ) - ennek a függvénynek az időszaka

С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .

2) ω – f függvény periódusa 1 (t) f 2 (t), mert

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).

Definíció: Legyen f 1 (t) és f (t) ω periódusú periodikus függvények 1 és ω 2 , akkor két időszakot mondunk arányosnak, haω 1 /ω 2 = r egy racionális szám.

3) Ha ω 1 és ω 2 periódusok nem összemérhetőek, akkor az f függvények 1 (t) + f 2 (t) és

f 1 (t) f 2 t) nem időszakosak. Vagyis ha f 1 (t) és f 2 (t) eltérnek egy állandótól, periodikustól, folytonostól, periódusaik nem arányosak, akkor f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 t) nem időszakosak.

4) Legyen f(t) = C, ahol C tetszőleges állandó. Ez a funkció periodikus. Periódusa tetszőleges racionális szám, ami azt jelenti, hogy nem rendelkezik a legkisebb pozitív periódussal.

5) Az állítás nagyobb számú függvényre is igaz.

1. példa Vizsgáljuk meg a függvény periodicitását!

F(x) = Sin x + Cos x.

Megoldás. Legyen f 1 (x) = Sin x, akkor ω 1 = 2πk, ahol k є Z.

T 1 = 2π – a legkisebb pozitív periódus.

f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.

T 1 / T 2 arány = 2π/2π = 1 – racionális szám, azaz. függvények periódusai f 1 (x) és f 2 (x) arányosak. Ez azt jelenti, hogy ez a függvény periodikus. Keressük az időszakát. A periodikus függvény definíciója alapján rendelkezünk

Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),

2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,

Sin T/2 (Cos T+2x/2 – Sin T+2x/2) =0,

√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, ezért

Sin Т/2 = 0, majd Т = 2πk.

Mert (х ± 2πk) є D f , ahol f(x) = Sin x + Cos x,

f(x + t) = f(x), akkor az f(x) függvény periodikus a legkisebb 2π pozitív periódussal.

2. példa: Az f(x) = Cos 2x · Sin x függvény periodikus, mekkora a periódusa?

Megoldás. Legyen f 1 (x) = Cos 2x, akkor T 1 = 2π: 2 = π (lásd 2)

Legyen f 2 (x) = Sin x, majd T 2 = 2π. Mert π/2π = ½ racionális szám, akkor ez a függvény periodikus. Időszaka T = NOC

(π, 2π) = 2π.

Tehát ez a függvény periodikus 2π periódussal.

5. Legyen az f(t) függvény, amely nem azonos egy állandóval, folytonos és periodikus, akkor van a legkisebb pozitív periódusa ω 0 , ω-jének bármely más periódusa a következő alakú: ω= kω 0, ahol k є Z.

Megjegyzés: 1) Két feltétel nagyon fontos ennél a tulajdonságnál:

f(t) folytonos, f(t) ≠ C, ahol C állandó.

2) Az ellenkező állítás nem igaz. Vagyis ha minden periódus összemérhető, akkor ebből nem következik, hogy van a legkisebb pozitív periódus. Azok. egy periodikus függvénynek nem lehet a legkisebb pozitív periódusa.

1. példa f(t) = C, periodikus. Periódusa tetszőleges valós szám, nincs legkisebb periódus.

2. példa: Dirichlet-függvény:

D(x) =

Bármely racionális szám a periódusa, nincs legkisebb pozitív periódus.

6. Ha f(t) folytonos periodikus függvény és ω 0 a legkisebb pozitív periódusa, akkor az f(αt + β) függvénynek van a legkisebb pozitív periódusa ω 0 /‌‌/α/. Ez az állítás a (2) bekezdésből következik.

Példa 1. Határozzuk meg az y = Sin (2x – 5) függvény periódusát!

Megoldás. y = Sin (2x – 5) = Sin (2(x – 5/2)).

Az y függvény grafikonját a Sin x függvény grafikonjából kapjuk, először kétszeres „tömörítéssel”, majd 2,5-tel jobbra „eltolással”. „Az eltolódás nem befolyásolja a periodicitást, T = π ennek a függvénynek a periódusa.

Ennek a függvénynek a periódusa könnyen meghatározható a 6. lépés tulajdonságával:

Т = 2π/2 = π.

7. Ha f(t) – ω periodikus függvény, és van f"(t) folytonos deriváltja, akkor f"(t) is periodikus függvény, Т = ω

1. példa f(t) = Sin t, Т = 2πk. Ennek deriváltja f"(t) = Cos t

F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.

2. példa f(t) = Cos t, Т = 2πk. A származéka

F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k є Z.

3. példa f(t) =tg t, periódusa T = πk.

F"(t) = 1/ Cos 2 t szintén periodikus a 7. lépés tulajdonsága szerint, és T = πk periódusa van. Legkisebb pozitív periódusa T = π.

FELADATOK.

№ 1

Az f(t) = Sin t + Sin πt függvény periodikus?

Megoldás. Összehasonlításképpen ezt a problémát kétféleképpen oldjuk meg.

Először is, egy periodikus függvény definíciója alapján. Tegyük fel, hogy f(t) periodikus, akkor bármely t є D esetén ha van:

Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

Sin (t + T) – Sin t = Sin πt – Sin π (t + T),

2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.

Mert ez minden t є D-re igaz f , akkor különösen a t 0 , amelyben az utolsó egyenlőség bal oldala nullává válik.

Akkor van: 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Rezolváljuk T-hez képest.

Sin Т/2 = 0 Т = 2 πk-nél, ahol k є Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Rezolváljuk T-hez képest.

Sin πТ/2 = 0, akkor Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, ahol n є Z.

Mert van azonosságunk, akkor 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, ami nem lehet, mert π irracionális szám, n/k pedig racionális szám. Azaz hibás volt az a feltételezésünk, hogy az f(t) függvény periodikus.

Másodszor, a megoldás sokkal egyszerűbb, ha a periodikus függvények fenti tulajdonságait használja:

Legyen f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Ekkor T 1 / T 2 = 2π/2 = π irracionális szám, azaz. időszakok T 1, T 2 nem arányosak, ami azt jelenti, hogy f(t) nem periodikus.

Válasz: nem.

№ 2

Mutassuk meg, hogy ha α irracionális szám, akkor a függvény

F(t) = Cos t + Cos αt

nem időszakos.

Megoldás. Legyen f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.

Ekkor a menstruációjuk rendre T 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - a legkisebb pozitív periódusok. Keressük meg, T 1/T 2 = 2π/α//2π = /α/ irracionális szám. Tehát T 1 és T 2 összemérhetetlenek, és a funkció

f(t) nem periodikus.

№ 3

Határozzuk meg az f(t) = Sin 5t függvény legkisebb pozitív periódusát.

Megoldás. A 2. tulajdonságelem szerint a következőkkel rendelkezünk:

f(t) – időszakos; T = 2π/5.

Válasz: 2π/5.

№ 4

Az F(x) = arccos x + arcsin x függvény periodikus?

Megoldás. Tekintsük ezt a függvényt

F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,

azok. F(x) egy periodikus függvény (lásd az 5. bekezdés tulajdonságát, 1. példa).

Válasz: igen.

№ 5

A függvény periodikus?

F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?

megoldás. Legyen f 1 (x) = Sin 2x, akkor T 1 = π;

F 2 (x) = Cos 4x, akkor T 2 = 2π/4 = π/2;

F 3 (x) = 5, T 3 – bármilyen valós szám, különösen T 3 feltételezhetjük, hogy egyenlő T-vel 1 vagy T 2 . Ekkor ennek a függvénynek a periódusa T = LCM (π, π/2) = π. Azaz f(x) periodikus T = π periódussal.

Válasz: igen.

№ 6

Az f(x) = x – E(x) függvény periodikus-e, ahol E(x) egy olyan függvény, amely az x argumentumot az adott értéket meg nem haladó legkisebb egész számhoz rendeli.

Megoldás. Az f(x) függvényt gyakran (x) jelöli – az x szám tört része, azaz.

F(x) = (x) = x – E(x).

Legyen f(x) periodikus függvény, azaz. van olyan T > 0 szám, hogy x – E(x) = x + T – E(x + T). Írjuk fel ezt az egyenlőséget

(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),

(x) + (x + T) – igaz a D tartomány bármely x-ére f, feltéve, hogy T ≠ 0 és T є Z. A legkisebb pozitív közülük T = 1, azaz. T =1 olyan, hogy

X + T – E(x + T) = x – E(x),

Ezenkívül (x ± Tk) є D f, ahol k є Z.

Válasz: ez a függvény periodikus.

№ 7

Az f(x) = Sin x függvény periodikus? 2 .

Megoldás. Tegyük fel, hogy f(x) = Sin x 2 periodikus függvény. Ekkor egy periodikus függvény definíciója szerint van egy T ≠ 0 szám, amelyre: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 bármely x є D f esetén.

Sin x 2 = Sin (x + T) 2 = 0,

2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, akkor

Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0 vagy Sin x 2-(x+T) 2 /2 = 0.

Tekintsük az első egyenletet:

Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,

X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),

Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)

Tekintsük a második egyenletet:

Sin x 2-(x+T) 2/2 = 0,

X + T = √- 2πk + x 2,

T = √x 2 - 2πk - x. (2)

Az (1) és (2) kifejezésekből egyértelműen kiderül, hogy T talált értékei x-től függenek, azaz. nincs olyan T>0

Sin x 2 = Sin (x+T) 2

Bármely x-hez a függvény definíciós tartományából. f(x) nem periodikus.

Válasz: nem

№ 8

Vizsgálja meg az f(x) = Cos függvényt periodicitásra 2 x.

Megoldás. Jelentsük meg f(x)-et a duplaszögű koszinusz képlet segítségével

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.

Legyen f 1 (x) = ½, akkor T 1 – bármilyen valós szám lehet; f 2 (x) = ½ Cos 2x egy periodikus függvény, mert két periodikus függvény szorzata, amelyeknek közös periódusa T 2 = π. Ekkor ennek a függvénynek a legkisebb pozitív periódusa

T = LOC (T 1, T 2) =π.

Tehát az f(x) = Cos 2 x – π – periodikus.

Válasz: π periodikus.

№ 9

Lehet-e egy periodikus függvény tartománya:

A) félegyenes [a, ∞),

B) szegmens?

Megoldás. Nem mert

A) periodikus függvény definíciója alapján, ha x є D f, akkor x ± ω is

A függvény tartományába kell tartoznia. Legyen x = a, akkor

X 1 = (a – ω) є [a, ∞);

B) legyen x = 1, majd x 1 = (1 + T) є .

№ 10

Lehet-e periodikus függvény:

A) szigorúan monoton;

B) páros;

C) nem is?

Megoldás. a) Legyen f(x) periodikus függvény, azaz. létezik Т≠0 úgy, hogy bármely x-re a D függvények definíciós tartományából f miért

(x ±T) є D f és f (x±T) = f(x).

Javítsuk ki bármelyik x-et 0 є D f , mert f(x) periodikus, akkor (x 0 +T) є D f és f(x 0) = f(x 0 +T).

Tegyük fel, hogy f(x) szigorúan monoton és a D definíció teljes tartományában f például növekszik. Ezután egy növekvő függvény definíciója szerint bármely x-re 1 és x 2 a D definíció tartományából f x egyenlőtlenségből 1 2 ebből következik, hogy f(x 1) 2 ). Különösen az x feltételből 0 0 + T, ebből következik

F(x 0) 0 +T), ami ellentmond a feltételnek.

Ez azt jelenti, hogy egy periodikus függvény nem lehet szigorúan monoton.

b) Igen, a periodikus függvény lehet páros. Mondjunk néhány példát.

F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) páros periodikus függvény.

0, ha x racionális szám;

D(x) =

1, ha x irracionális szám.

D(x) = D(-x), a D(x) függvény definíciós tartománya szimmetrikus.

A D(x) Direchlet-függvény páros periodikus függvény.

f(x) = (x),

f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).

Ez a funkció nem páros.

c) Egy periodikus függvény lehet páratlan.

f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)

f(x) egy páratlan periodikus függvény.

f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,

f(x) – páratlan és periodikus.

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x) nem páratlan.

f(x) = tan x – páratlan periodikus függvény.

Válasz: nem; Igen; Igen.

№ 11

Hány nulla lehet egy periodikus függvénynek:

1) ; 2) a teljes numerikus tengelyen, ha a függvény periódusa egyenlő T?

Megoldás: 1. a) Az [a, b] szakaszon egy periodikus függvénynek nem lehetnek nullai, például f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2.

b) Az [a, b] intervallumon egy periodikus függvénynek végtelen számú nullája lehet, például a Direchlet-függvény

0, ha x racionális szám,

D(x) =

1, ha x irracionális szám.

c) Az [a, b] intervallumon egy periodikus függvénynek véges számú nullája lehet. Keressük ezt a számot.

Legyen T a függvény periódusa. Jelöljük

X 0 = (min x є(a,b), úgy, hogy f(x) = 0).

Ekkor a nullák száma az [a, b] szakaszon: N = 1 + E (c-x 0 /T).

1. példa x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – T = π periódusú periodikus függvény; x 0 = -π/2; akkor az f(x) függvény nulláinak száma egy adott intervallumon

N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.

2. példa f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – periodikus függvény, T + 1,

x 0 = -2. Ekkor az f(x) függvény nulláinak száma egy adott intervallumon

N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.

3. példa f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.

Ekkor ennek a függvénynek a nulláinak száma egy adott intervallumon

N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.

2. a) Végtelen számú nulla, mert x 0 є D f és f(x 0 ) = 0, akkor minden számra

Х 0 +Тk, ahol k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0, és x alakú pontok 0 ± Tk egy végtelen halmaz;

b) nincsenek nullák; ha f(x) periodikus és bármely

x є D f f(x) >0 vagy f(x) függvény

F(x) = Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;

F(x) = Sin x – 8 + Cos x;

F(x) = Sin x Cos x + 5.

№ 12

Lehet-e periodikus a nem periodikus függvények összege?

Megoldás. Igen talán. Például:

1. f 1 (x) = x – nem periodikus, f 2 (x) = E(x) – nem periodikus

F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – periodikus.

1. f 1 (x) = x – nem periodikus, f(x) = Sin x + x – nem periodikus

F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – periodikus.

Válasz: igen.

№ 13

Az f(x) és φ(x) függvény T periódusú periodikus 1 és T 2 illetőleg. A termékük mindig periodikus függvény?

Megoldás. Nem, csak amikor T 1 és T 2 – arányosak. Például,

F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T2 = 2; majd T 1 / T 2 = 2π/2 = π irracionális szám, ami azt jelenti, hogy f(x) nem periodikus.

f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Legyen f 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;

f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, ami azt jelenti, hogy f(x) nem periodikus.

Válasz: Nem.

Önállóan megoldandó problémák

A függvények közül melyik periodikus, keresse meg a periódust?

1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,

2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,

3. f(x) = cser 3x, 12. f(x) = Sin 2 x+1,

4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,

5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πx + Cos x,

6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),

7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,

8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),

9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, ha n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

Legyen f(x) – T periodikus függvény. Mely függvények periodikusak (keresse meg T)?

1. φ(x) = f(x + λ) – periodikus, mert az Ox tengely menti „eltolódás” nem befolyásolja ω-t; periódusa ω = T.
2. φ(x) = a f(x + λ) + в – ω = T periódusú periodikus függvény.
3. φ(х) = f(kh) – ω = Т/k periódusú periodikus függvény.
4. φ(x) = f(ax + b) egy ω = T/a periódusú periodikus függvény.
5. φ(x) = f(√x) nem periodikus, mert definíciós tartománya Dφ = (x/x ≥ 0), és egy periodikus függvénynek nem lehet féltengely által meghatározott tartománya.
6. φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) egy periodikus függvény, mert

φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.

1. φ(x) = a f 2 (x) + in f(x) + c.

Legyen φ 1 (x) = a f 2 (x) – periodikus, ω 1 = t/2;

φ 2 (x) = f(x)-ben – periodikus, ω 2 = T/T = T;

φ 3 (x) = с – periodikus, ω 3 – tetszőleges szám;

akkor ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) periodikus.

Különben azért, mert ennek a függvénynek a definíciós tartománya a teljes számsor, majd az f – E függvény értékkészlete f є D φ , ami a függvényt jelenti

φ(x) periodikus és ω = Т.

1. φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.

φ(x) – ω = T periódusú periodikus, mert bármely x esetén az f(x) függvény az f(x) ≥ 0 értékeket veszi fel, azaz. értékkészlete E f є D φ , ahol

Dφ – a φ(z) = √z függvény definíciós tartománya.

№ 15

Az f(x) = x függvény 2 időszakos?

Megoldás. Tekintsük x ≥ 0, akkor f(x)-re van egy √x inverz függvény, ami azt jelenti, hogy ezen az intervallumon f(x) monoton függvény, akkor nem lehet periodikus (lásd 10. sz.).

№ 16

Adott egy P(x) = a polinom 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.

P(x) periodikus függvény?

Megoldás. 1. Ha az azonosság egyenlő egy konstanssal, akkor P(x) periodikus függvény, azaz. Ha egy i = 0, ahol i ≥ 1.

2. Legyen P(x) ≠ с, ahol с valamilyen állandó. Tegyük fel, hogy P(x) egy periodikus függvény, és legyen P(x) valódi gyöke, akkor mivel P(x) egy periodikus függvény, akkor ezeknek végtelen soknak kell lenniük. És az algebra alaptétele szerint k számuk akkora, hogy k ≤ n. Ez azt jelenti, hogy P(x) nem periodikus függvény.

3. Legyen P(x) egy teljesen nullától eltérő polinom, és nincs valódi gyöke. Tegyük fel, hogy P(x) egy periodikus függvény. Vezessük be a q(x) = a polinomot 0 , q(x) egy periodikus függvény. Tekintsük a P(x) - q(x) = a különbséget 1 x 2 + … +a n x n.

Mert Az egyenlőség bal oldalán van egy periodikus függvény, majd a jobb oldali függvény is periodikus, és van legalább egy valós gyöke, x = 0. Mert Ha a függvény periodikus, akkor végtelen számú nullának kell lennie. Ellentmondásunk van.

P(x) nem periodikus függvény.

№ 17

Adott egy f(t) – T – periodikus függvény. Az f függvény? a (t), hol

k є Z, egy periodikus függvény, hogyan függenek össze a periódusaik?

Megoldás. A bizonyítást matematikai függvénymódszerrel végezzük. Hadd

f 1 = f(t), akkor f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),

F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 egy periodikus függvény a 4. lépés tulajdonságának megfelelően.

………………………………………………………………………….

Legyen f k-1 = f k-1 (t) – periodikus függvény és T periódusa k-1 összehasonlítható a T periódussal. Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát megszorozva f(t)-vel, megkapjuk f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F k = f k (t) a 4. lépés tulajdonságának megfelelő periodikus függvény. ω ≤ T.

№ 18

Legyen f(x) tetszőleges függvény, amely a -n van definiálva. Az f(x)) függvény periodikus?

Válasz: igen, mert az (x) függvény értékkészlete az f(x) függvény definíciós tartományába tartozik, akkor a 3. tétel tulajdonsága alapján f((x)) egy periodikus függvény, periódusa ω = T = 1 .

№ 19

F(x) egy tetszőleges függvény, amelyet a [-1; 1], az f(sinx) függvény periodikus?

Válasz: igen, periódusa ω = Т = 2π (a 18. sz.-hoz hasonló bizonyítás).

UDC 517,17+517,51

KÉT IDŐSZAKOS FUNKCIÓ ÖSSZEGÉNEK IDŐSZAKA

A/O. Evnin

A munka teljesen megoldja azt a kérdést, hogy mi lehet egy periodikus függvény fő periódusa, amely két ismert főperiódusú periodikus függvény összege. A periodikus függvények periodikus összegére vonatkozó főperiódus hiányának esetét is tanulmányozzuk.

Egy valós változó valós értékű függvényeit tekintjük. Az enciklopédikus kiadásban a „Periodikus függvények” című cikkben olvasható: „A különböző periódusú periodikus függvények összege csak akkor periodikus, ha periódusaik arányosak.” Ez az állítás igaz folytonos függvényekre1, de általános esetben nem. Egy nagyon általános formára egy ellenpéldát építettek fel ben. Ebben a cikkben megtudjuk, mi lehet egy periodikus függvény főperiódusa, amely két ismert főperiódusú periodikus függvény összege.

Előzetes információ

Emlékezzünk vissza, hogy egy / függvényt periodikusnak mondunk, ha egy bizonyos T F O számra a D(f) definíció tartományából származó tetszőleges x esetén az x + T és az x - T számok D(f)-hez tartoznak, és az f(x + egyenlőségek) T) = f(x) =f(x ~ T). Ebben az esetben a Г számot a függvény periódusának nevezzük.

A függvény legkisebb pozitív periódusát (ha természetesen létezik) főperiódusnak nevezzük. A következő tény ismert.

1. Tétel. Ha egy függvénynek van To főperiódusa, akkor a függvény bármely periódusa nTo alakú, ahol n Ф 0 egész szám.

A T\ és T2 számokat összemérhetőnek mondjuk, ha van olyan T0 szám, amely T\-be és T2-be is többszörösen illeszkedik: T\ = T2 = n2T0, n2e Z. Ellenkező esetben a T\ és T2 számok összemérhetetlennek nevezik. A periódusok összemérhetősége (inkommenzurabilitása) tehát azt jelenti, hogy arányuk racionális (irracionális) szám.

Az 1. Tételből az következik, hogy egy olyan függvénynél, amelynek van alapperiódusa, bármely két periódus arányos.

A legkisebb periódussal nem rendelkező függvény klasszikus példája a Dirichlet-függvény, amely a racionális pontokban 1, az irracionális pontokban pedig nulla. Bármely nullától eltérő racionális szám a Dirichlet-függvény periódusa, és bármely irracionális szám nem a periódusa. Amint látjuk, itt is bármely két időszak összehasonlítható.

Adjunk példát egy nem konstans periodikus függvényre, amelynek összemérhetetlen periódusai vannak.

Legyen az /(x) függvény egyenlő 1-gyel az /u + la/2, m, n e Z alakú pontokban, és egyenlő

nulla. Ennek a függvénynek a periódusai között van 1 és l

A függvények összegének periódusa arányos periódusokkal

2. Tétel. Legyen fug periodikus függvények mT0 főperiódussal és „Az, ahol a típus

Kölcsönösen prímszámok. Ekkor az összegük fő periódusa (ha létezik) egyenlő -

ahol k az mn számhoz tartozó természetes szám.

Bizonyíték. Legyen h = / + g. Nyilvánvaló, hogy az mnT0 szám a h periódusa. Erejénél fogva

Az 1. Tétel szerint a h főperiódus alakja, ahol k valamilyen természetes szám. Feltehetőleg

Tegyük fel, hogy k nem relatív prím az m számmal, azaz k - dku m = dm\, ahol d> 1 a legnagyobb

1 A cikk gyönyörű bizonyítéka annak, hogy a páronként össze nem mérhető periódusú folytonos függvények összege tetszőleges számú, nem periódusos. Lásd még.

az m és a k számok nagyobb közös osztója Ekkor a k függvény periódusa egyenlő

és az f=h-g függvény

mxnTo periódusa van, ami nem többszöröse az mTQ főperiódusának. Ellentmondást kapunk az 1. tétellel. Ez azt jelenti, hogy a k és az n számok koprímek. □

3. Tétel. Legyenek m, n és k páronkénti koprímszámok, T0 pedig pozitív szám. Ekkor léteznek olyan fug periodikus függvények, hogy az f, g és (f + g) főperiódusok

mi rendre tT$, nTQ és -

Bizonyíték. A tétel bizonyítása konstruktív lesz: egyszerűen megszerkesztünk egy megfelelő példát. Először fogalmazzuk meg a következő eredményt. Nyilatkozat. Legyenek m relatív prímszámok. Aztán a funkciók

fx - cos- + cos--- és f2= cos- m n m

cos- alapperiódusuk 2ktp. P

Az állítás igazolása. Nyilvánvaló, hogy a 2ptn szám mindkét függvény periódusa. Könnyen ellenőrizheti, hogy ez az időszak a fő pontja a függvénynek. Keressük meg a maximális pontjait.

x = 2lM, te Z.

Nálunk = n!. A típus kölcsönös egyszerűségéből következik, hogy 5 az /r többszöröse, azaz. i = I e b. Ez azt jelenti, hogy /x(x) = 2 o x = 2mstp1,1 e 2, és a /\ függvény maximumának szomszédos pontjai közötti távolság egyenlő 2ktp, és a /1 pozitív periódus nem lehet kisebb, mint a 2 spp. .

A függvényhez másfajta érvelést alkalmazunk (ami szintén alkalmas a függvényre, de

kevésbé elemi). Ahogy az 1. tétel mutatja, a/2 függvény Г főperiódusának alakja -,

ahol k valamilyen természetes szám másodprímje. A G szám egyben a függvény periódusa is lesz

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = - -1 cos

melynek minden periódusa 2pp1 alakú. Így,

2nnl, azaz t = kl. Mivel t és k kölcsönösen

sty, ebből az következik, hogy k = 1.

Most a 3. Tétel bizonyításához megszerkeszthetjük a szükséges példát. Példa. Legyenek m, n és k páronként relatív prímszámok, és legalább egy n vagy k szám különbözik 1-től. Ekkor pf k és a függvény bizonyított állítása alapján

/ (x) = cos--- + cos- t to

És g(x) = cos-cos - p to

2 ltk, illetve 2 tk főperiódusúak, és ezek összege

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

a főidőszak 2 ttp.

Ha n = k = 1, akkor egy függvénypár megteszi

f(x)-2 cos- + COS X és g(x) - COS X. m

Főperiódusaik, valamint a k(x) - 2 függvény periódusa 2lm, 2/gi 2type, ill.

milyen egyszerű ellenőrizni.

Matematika

Jelöljük T = 2lx. Tetszőleges páronkénti mn, n és k koprímszámok esetén az f és £ függvények úgy vannak feltüntetve, hogy az f, g és f + g függvények fő periódusai egyenlőek mT, nT és

A tétel feltételeit a / - n függvények teljesítik;

Összehasonlíthatatlan időszakokkal rendelkező függvények összegének periódusa

A következő állítás szinte nyilvánvaló.

4. Tétel. Legyen fug periódusos függvények összemérhetetlen T) és T2 főperiódusokkal, és ezeknek a h = f + g függvényeknek az összege periodikus és T főperiódusa van. Ekkor a T szám nem összemérhetetlen sem T]-vel, sem T2-vel.

Bizonyíték. Egyrészt, ha a TnT) számok összemérhetőek, akkor a g = h-f függvénynek Г]-vel arányos periódusa van. Másrészt az 1. Tétel értelmében a g függvény bármely periódusa a T2 szám többszöröse. Ellentmondást kapunk a T\ és T2 számok összemérhetetlenségével. A T és T2 számok összemérhetetlenségét hasonló módon bizonyítjuk, d

Figyelemre méltó, sőt kissé meglepő tény, hogy a 4. Tétel fordítva is igaz. Elterjedt az a tévhit, hogy két összemérhetetlen periódusú periodikus függvény összege nem lehet periodikus függvény. Valójában ez nem így van. Ezenkívül az összeg periódusa tetszőleges pozitív szám lehet, amely kielégíti a 4. Tétel állításait.

5. Tétel. Legyenek T\, T2 és T~ páronként összemérhetetlen pozitív számok. Ekkor léteznek olyan fug periodikus függvények, amelyek összege h =/+ g periodikus, és az f guh függvény főperiódusai egyenlőek Th T2-vel, illetve T-vel.

Bizonyíték. A bizonyítás ismét építő jellegű lesz. Konstrukcióink jelentősen függenek attól, hogy a T szám ábrázolható-e vagy sem a T\ és T2 periódusok T = aT\ + pT2 racionális kombinációja formájában (a és P racionális számok).

I. T nem racionális kombinációja Tg és J2-

Legyen A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k ∈ Z) a T1 T2 és T számok egész lineáris kombinációinak halmaza. Azonnal megjegyezzük, hogy ha egy szám mT\ + nT2 formában ábrázolható + kT, akkor egy ilyen ábrázolás egyedi . Valóban, ha mxT\ + n\Tg + k\T- m2Tx + n2T2 + k2T9, akkor

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - π)Тъ és k\ * k2 esetén azt kapjuk, hogy T racionálisan kifejeződik T] és T2 segítségével. Ez azt jelenti, hogy k\ = k2. Most a T\ és T2 számok összemérhetetlenségéből azonnal megkapjuk az m\ = m2 és u = n2 egyenlőségeket.

Fontos tény, hogy az A halmazok és A komplementere zárva vannak az A-ból származó számok összeadásával: ha x e A és y e A, akkor x + y e A; ha x e A és y e A, akkor x + y e A.

Tegyük fel, hogy az A halmaz minden pontjában a / és g függvények egyenlőek nullával, és az A halmazon ezeket a függvényeket a következőképpen definiáljuk:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - gnT\ - kT.

Mivel, mint látható, az x e A számból a T1 T2 és T periódusok lineáris kombinációjának m együtthatói csúcsa egyértelműen visszaáll, a / és g függvények jelzett hozzárendelése helyes.

A h =/ + g függvény az A halmazban egyenlő nullával, és az A halmaz pontjaiban egyenlő

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Közvetlen helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy a T\ szám az f függvény periódusa, a T2 szám a g periódusa, a T~ pedig a h periódusa. Mutassuk meg, hogy ezek az időszakok a főbbek.

Először is megjegyezzük, hogy a / függvény bármely periódusa az A halmazhoz tartozik.

ha 0 fx A,y e A-ban, akkor ox + y e A és f(x + y) = 0 *f(x). Ez azt jelenti, hogy y e A nem a / függvény periódusa

Legyen most x2 egyenlőtlen szám, és f(x 1) ~f(x2). A / függvény definíciójából innen azt kapjuk, hogy x\ - x2 = 1Б ahol I valamilyen nullától eltérő egész szám. Ezért a függvény bármely periódusa T\ többszöröse. Így igazából Tx a fő időszak/

A T2-re és T-re vonatkozó nyilatkozatokat ugyanúgy ellenőrizzük.

Megjegyzés. A könyvben a p. 172-173 egy másik általános konstrukció az I. esetre adott.

II. T a T\ és T2 racionális kombinációja.

Mutassuk be a T\ és T2 periódusok racionális kombinációját Г = - (кхТх + к2Т2) formában, ahol кх és

k2 ™ koprím egészek, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? és d természetes számok. Vezessük be a leZ>-t.

reni készlet B----

Tegyük fel, hogy a B halmaz minden pontjában az f és g függvények egyenlőek nullával, és a B halmazon ezeket a függvényeket a következőképpen definiáljuk:

^ mT\ + nT2 L I

^ mTx + nT2 L

Itt szokás szerint [x] és (x) a számok egész, illetve tört részét jelöli. A k =/+ d függvény a B halmazon egyenlő nullával, és a B halmaz pontjaiban egyenlő

fmTx +pT: l H

Közvetlen helyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy a Tx szám a / függvény periódusa, a T2 szám a g periódus, a T pedig a h periódus. Mutassuk meg, hogy ezek az időszakok a főbbek.

A / függvény bármely periódusa a B halmazhoz tartozik. Valóban, ha 0 * x e B, y e B, akkor f(x) Ф 0, j(x + y) = 0 */(*)■ tehát y e B _ nem funkció időszak/

Tehát a / függvény minden periódusának alakja Тy =

Ahol 5i és 52 egész számok. Hadd

x = -7] 4- -Г2, x e 5. Ha i = 0, akkor f(i) racionális szám. A /(x + 7)) szám racionalitásából következik az -I - I - 0 egyenlőség, ami azt jelenti, hogy az 52 = Xp egyenlőség van, ahol X valamilyen egész

szám. Az /(x + 7)) = /(x) összefüggés a következő alakot veszi fel

^P + I + I w +

Ennek az egyenlőségnek minden egész típusra érvényesnek kell lennie. t-n~ 0-nál az (1) jobb oldala egyenlő

nullára. Mivel a tört részek nem negatívak, ebből azt kapjuk, hogy<0, а при

m = n = d - ] az (1) egyenlőség jobb oldalán lévő törtrészek összege nem kisebb, mint a h-X törtrészek összege

tey a bal oldalon. Ez azt jelenti, hogy ->0. Így X = 0 és 52 = 0. Ezért a / függvény periódusának alakja van

és egyenlőség (1) lesz

p\ | és 52 egész szám. A kapcsolatokból

th(0) = 0 = th(GA) =

azt találjuk, hogy az 51 és ^ számoknak p többszöröseinek kell lenniük, azaz. néhány Ax és A2 egész számra 51 = A\p, E2 = A2p. Ekkor a (3) reláció átírható így

Az A2kx = k2A\ egyenlőségből és a k\ és k2 számok relatív prímességéből következik, hogy A2 osztható k2-vel. Innen

valamilyen t egész számra az A2 = k2t és az Ax ~ kxt egyenlőségek érvényesek, azaz. Th ~-(kxTx + k2T2).

Megmutattuk, hogy a h függvény bármely periódusa többszöröse a T = - (k(Gx + k2T2)9 periódusnak, amely így

zom, a fő. □

Nincs fő időszak

6. Tétel. Legyenek Tx és T2~ tetszőleges pozitív számok. Ekkor léteznek olyan fug periodikus függvények, amelyek fő periódusai megegyeznek T\-vel, illetve T2-vel, és h=f+g összegük periodikus, de nincs főperiódusa.

Bizonyíték. Nézzünk két lehetséges esetet.

I. A Tx és T2 periódusok összemérhetetlenek.

Legyen A = + nT2 +kT\ . Mint fent, könnyen kimutatható, hogy ha a szám

mTx + nT2 + kT formában ábrázolható, akkor az ilyen ábrázolás egyedi.

Tegyük fel, hogy az A halmaz minden pontjában a / és g függvények egyenlőek nullával, és az A halmazon ezeket a függvényeket a következőképpen definiáljuk:

/tól től; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a Tx szám a / függvény főperiódusa, a T2 szám a g főperiódus, és bármely racionális k esetén a kT szám a h - f + g függvény periódusa, amely ezért nem rendelkezik a legkisebb periódussal.

II. A Tx és T2 időszakok összehasonlíthatók.

Legyen Tx = mT0, T2 = nT0, ahol T0 > O, m és n természetes számok. Vegyük figyelembe az I = + halmazt.

Tegyük fel, hogy a B halmaz minden pontjában a fug függvények egyenlőek nullával, és a B halmazon ezeket a függvényeket a következőképpen definiáljuk:

/((/ + ShT0) = Shch + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Shch - 42k.

A h ~ / + g függvény a B halmazban egyenlő nullával, és a B halmaz pontjaiban egyenlő

Könnyen ellenőrizhető, hogy a 7j = mTQ szám a / függvény főperiódusa, a T2 ~ nT0 szám a g főperiódusa, míg a h~ f + g függvény periódusai között ott van a függvény összes száma. l/2kT0 alak, ahol k egy tetszőleges racionális szám. □

A 6. tételt bizonyító konstrukciók a h~ / + g függvény periódusainak a / és g függvények periódusaival való összemérhetetlenségén alapulnak. Végezetül mondjunk egy példát a fug függvényekre úgy, hogy a /, g és / + g függvények összes periódusa arányos egymással, de / és g-nek van alapperiódusa, míg f + g-nek nincs.

Legyen m valamilyen rögzített természetes szám, M pedig olyan irreducibilis, nem egész számú törtek halmaza, amelyek számlálói m többszörösei. Tegyük fel

1 ha heM; 1

ifhe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O más esetekben; 1 ha xeMU

~,ifhe2 2

[Ó különben.

Könnyen belátható, hogy a fug függvények fő periódusai egyenlőek m-vel, illetve 1-gyel, míg a / + g összegnek tetszőleges m/n alakú periódusa van, ahol n tetszőleges természetes szám másodlagos prímája m.

Irodalom

1. Matematikai enciklopédikus szótár/Ch. szerk. Yu.V. Prohorov - M.: Szov. enciklopédia, 1988.

2. Mikaelyan L.V., Sedrakyan N.M. A periodikus függvények összegének periodicitásáról // Matematikai oktatás. - 2000. - 2(13) sz. - 29-33.

3. Gerenshtein A.B., Evnin A.Yu. A periodikus függvények összegéről // Matematika az iskolában. -2002. - 1. sz. - P. 68-72.

4. Ivlev B.M. és egyebek Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek 9. és 10. évfolyamhoz. - M.: Oktatás, 1978.

Értékeinek megismétlése valamilyen szabályos argumentumintervallumban, azaz nem változtatja meg az értékét, amikor valamilyen rögzített, nem nulla számot ad hozzá az argumentumhoz ( időszak függvények) a teljes definíciós tartományban.

Formálisabban szólva, a függvényt periodikusnak nevezik periódussal T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), ha minden pontra x (\displaystyle x) a pont meghatározásának tartományából x + T (\displaystyle x+T)És x − T (\displaystyle x-T) szintén a definíciós tartományába tartoznak, és rájuk az egyenlőség vonatkozik f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\megjelenítési stílus f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

A definíció alapján az egyenlőség periodikus függvényre is igaz f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), Ahol n (\displaystyle n)- tetszőleges egész szám.

Ha azonban időszakok halmaza ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) van egy legkisebb érték, akkor hívják fő (vagy fő) időszak funkciókat.

Példák

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x, cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x, ∀ x ∈ R. (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

• A Dirichlet-függvény periodikus, periódusa bármely nullától eltérő racionális szám. Nincs is főidőszaka.

A periodikus függvények néhány jellemzője

És T 2 (\displaystyle T_(2))(azonban ez a szám egyszerűen pont lesz). Például a függvény f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) a fő időszak az 2 π (\displaystyle 2\pi ), a funkción g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) az időszak egyenlő 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), és azok összege f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) a főperiódus nyilvánvalóan egyenlő azzal π (\displaystyle \pi ).

• Két összemérhetetlen periódusú függvény összege nem mindig nem periódusos függvény.

Cél: a tanulók tudásának összefoglalása és rendszerezése a „Funkciók periodicitása” témában; fejleszteni kell a periodikus függvény tulajdonságainak alkalmazásában, a függvény legkisebb pozitív periódusának megtalálásában, a periódusos függvények grafikonjainak megalkotásában; felkelti az érdeklődést a matematika tanulmányozása iránt; fejleszteni a megfigyelést és a pontosságot.

Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor, feladatkártyák, diák, órák, díszasztalok, népi mesterségek elemei

"A matematika az, amit az emberek a természet és önmaguk irányítására használnak."
A.N. Kolmogorov

Az órák alatt

I. Szervezési szakasz.

A tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése. Ismertesse az óra témáját és céljait.

II. Házi feladat ellenőrzése.

A házi feladatokat minták segítségével ellenőrizzük, és megbeszéljük a legnehezebb pontokat.

III. Az ismeretek általánosítása, rendszerezése.

1. Szóbeli frontális munka.

Elméleti kérdések.

1) Adja meg a függvény periódusának meghatározását!
2) Nevezze meg az y=sin(x), y=cos(x) függvények legkisebb pozitív periódusát!
3). Mi az y=tg(x), y=ctg(x) függvények legkisebb pozitív periódusa
4) Kör segítségével igazolja az összefüggések helyességét:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) Hogyan ábrázoljunk periodikus függvényt?

Orális gyakorlatok.

1) Igazolja a következő összefüggéseket!

a) bűn(740º) = bűn (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)

2. Bizonyítsuk be, hogy az 540º-os szög az y= cos(2x) függvény periódusai közé tartozik.

3. Bizonyítsuk be, hogy a 360º-os szög az y=tg(x) függvény egyik periódusa.

4. Alakítsa át ezeket a kifejezéseket úgy, hogy a benne foglalt szögek abszolút értékben ne haladják meg a 90º-ot.

a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)

5. Hol találkoztál a PERIODUS, PERIODICITY szavakkal?

A hallgatók válaszai: A zenében egy korszak egy olyan szerkezet, amelyben egy többé-kevésbé teljes zenei gondolat jelenik meg. A geológiai időszak egy korszak része, és 35 és 90 millió év közötti időszakokra oszlik.

Radioaktív anyag felezési ideje. Periodikus tört. A folyóiratok olyan nyomtatott kiadványok, amelyek szigorúan meghatározott határidőn belül jelennek meg. Mengyelejev periodikus rendszere.

6. Az ábrákon a periodikus függvények grafikonjainak részei láthatók. Határozza meg a függvény periódusát! Határozza meg a függvény periódusát!

Válasz: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Életed során hol találkoztál ismétlődő elemek felépítésével?

Tanulói válasz: Díszelemek, népművészet.

IV. Kollektív problémamegoldás.

(Feladatok megoldása diákon.)

Tekintsük a függvény periodicitás vizsgálatának egyik módját.

Ezzel a módszerrel elkerülhetőek azok a nehézségek, amelyek annak bizonyításával járnak, hogy egy adott periódus a legkisebb, és szükségtelenné válik a periodikus függvények aritmetikai műveleteivel és egy komplex függvény periodicitásával kapcsolatos kérdésekkel foglalkozni. Az érvelés csak egy periodikus függvény definícióján és a következő tényen alapul: ha T a függvény periódusa, akkor nT(n?0) a periódusa.

1. feladat Keresse meg az f(x)=1+3(x+q>5) függvény legkisebb pozitív periódusát!

Megoldás: Tegyük fel, hogy ennek a függvénynek a T-periódusa. Ekkor f(x+T)=f(x) minden x € D(f) esetén, azaz.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Tegyük fel x=-0,25-öt és kapjuk

(T)=0<=>T=n, n € Z

Azt kaptuk, hogy a kérdéses függvény összes periódusa (ha létezik) az egész számok közé tartozik. Válasszuk ki ezek közül a számok közül a legkisebb pozitív számot. Ez 1 . Nézzük meg, hogy valóban időszak lesz-e 1 .

f(x+1) =3(x+1+0,25)+1

Mivel (T+1)=(T) bármely T esetén, akkor f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), azaz. 1 – f időszak. Mivel az 1 a legkisebb pozitív egész szám, akkor T=1.

2. feladat Mutassuk meg, hogy az f(x)=cos 2 (x) függvény periodikus, és keressük meg a főperiódusát.

3. feladat Keresse meg a függvény fő periódusát!

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Tegyük fel a függvény T-periódusát, akkor bármelyikre x az arány érvényes

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ha x=0, akkor

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ha x=-T, akkor

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Összeadva a következőket kapjuk:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Az összes „gyanús” szám közül válasszuk ki a legkisebb pozitív számot a periódushoz, és ellenőrizzük, hogy f-nek van-e pontja. Ez a szám

f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

Ez azt jelenti, hogy ez az f függvény fő periódusa.

4. feladat. Ellenőrizzük, hogy az f(x)=sin(x) függvény periodikus-e

Legyen T az f függvény periódusa. Akkor bármelyik x-hez

sin|x+Т|=sin|x|

Ha x=0, akkor sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

Tegyük fel. Hogy néhány n esetén a π n szám a periódus

a vizsgált függvény π n>0. Ekkor sin|π n+x|=sin|x|

Ez azt jelenti, hogy n-nek páros és páratlan is kell lennie, de ez lehetetlen. Ezért ez a függvény nem periodikus.

5. feladat Ellenőrizze, hogy a függvény periodikus-e

f(x)=

Legyen T ekkor f periódusa

, tehát sinT=0, Т=π n, n € Z. Tegyük fel, hogy valamilyen n esetén a π n szám valóban ennek a függvénynek a periódusa. Ekkor a 2π n szám lesz a periódus

Mivel a számlálók egyenlőek, ezért a nevezőik is egyenlőek

Ez azt jelenti, hogy az f függvény nem periodikus.

Csoportokban dolgoznak.

Feladatok az 1. csoportnak.

A 2. csoport feladatai.

Ellenőrizze, hogy az f függvény periodikus-e, és keresse meg az alapperiódusát (ha létezik).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

A 3. csoport feladatai.

Munkájuk végén a csoportok bemutatják megoldásaikat.

VI. Összegezve a tanulságot.

Visszaverődés.

A tanár rajzokkal ellátott kártyákat ad a tanulóknak, és megkéri őket, hogy az első rajz egy részét színezzék ki annak megfelelően, hogy szerintük mennyire elsajátították a függvény periodicitás vizsgálatának módszereit, a második rajz egy részét pedig - saját igényeiknek megfelelően. hozzájárulás a leckében végzett munkához.

VII. Házi feladat

1). Ellenőrizze, hogy az f függvény periodikus-e, és keresse meg az alapperiódusát (ha létezik)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Az y=f(x) függvénynek T=2 és f(x)=x 2 +2x periódusa van x € [-2; 0]. Keresse meg a -2f(-3)-4f(3.5) kifejezés értékét

Irodalom/

1. Mordkovich A.G. Algebra és az elemzés kezdetei mélyreható tanulmányozással.
2. Matematika. Felkészülés az egységes államvizsgára. Szerk. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra és kezdeti elemzés 10-11.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete